Alg`ebre - Y. Aubry - Université de Toulon

Universit´e de Toulon Ann´ee 2014/2015
U.F.R. de Sciences
Math´ematiques
Licence de Math´ematiques - 3`eme ann´ee
Alg`ebre
Unit´e d’enseignement M-54
Travaux Dirig´es
Yves Aubry
1

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2

Universit´e de Toulon Ann´ee 2014/2015
U.F.R. de Sciences
Math´ematiques
Licence 3-i`eme ann´ee
Premi`ere partie
3

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4

Universit´e de Toulon Ann´ee 2014/2015
U.F.R. de Sciences
Math´ematiques Evariste Galois (1811-1832)
Licence 3-i`eme ann´ee
Alg`ebre T.D. - 1
Exercice. Construction de Z(ou plus g´en´eralement, sym´etrisation d’un semi-groupe)
Quiz : Exemples (ou non) de groupes
Les ensembles suivants munis de la loi indiqu´ee sont-ils des groupes ?
1. (Z,+)
2. (Z,×)
3. (Z− {0},×), (Z∗,×).
4. L’ensemble des entiers relatifs pairs muni de l’addition.
5. L’ensemble des entiers relatif impairs muni de l’addition.
6. (Q,+)
7. (Q,×)
8. (Q∗,×)
9. (Q(√2) = {a+b√2, a, b ∈Q},+)
10. (Q(i√5)∗={a+ib√5, a, b ∈Q,(a, b)6= (0,0)},×)
11. (R,+), (R∗,×), (C,+), (C∗,×)
12. L’ensemble des racines n-i`eme de l’unit´e µn={e2ikπ
n, k = 0, . . . , n −1}muni de la
multiplication.
13. L’ensemble SXdes permutations d’un ensemble X(i.e. des bijections de X) muni de la loi
de composition des applications.
14. (P(E),∩) o`u P(E) est l’ensemble des parties d’un ensemble E.
15. (P(E),∪)
16. (P(E),∆) o`u ∆ est la diff´erence sym´etrique (A∆B=A∪B−A∩B= (A−B)∪(B−A))
17. (Mn(R),+)
18. (Mn(R),×)
19. (GLn(R),×)
20. L’ensemble {0,1}muni de l’addition avec 1 + 1 = 0.
Exercice. Montrer que tout semi-groupe fini est un groupe.
(Rappelons qu’un semi-groupe est un ensemble muni d’une loi de composition interne associative
telle que tout ´el´ement soit r´egulier (`a droite et `a gauche)).
Remarquons que cela montre que tout anneau fini int`egre est un corps (rappellons qu’il suffit
pour cela de montrer que tout ´el´ement non nul (i.e. diff´erent de l’´el´ement neutre de la premi`ere
loi) de l’anneau est inversible (i.e. admet un sym´etrique pour la seconde loi).
De mani`ere analogue, on montre que toute partie non vide, stable et finie d’un groupe en est
un sous-groupe.
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