1 Conditionner par rapport à un événement

ISFA Semestre automne 2016-2017
Probabilités avancées - Master Économétrie et Statistique
Hugo Vanneuville, Institut Camille Jordan, Lyon 1, bureau 219
http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/vanneuville/
Quatrième séance
Espérance conditionnelle
Si vous avez des questions, n’hésitez pas à m’envoyer un mail à l’adresse v[email protected]on1.fr.
Lorsqu’on a une information partielle sur une variable aléatoire, on aimerait pouvoir décrire comment se
comporte notre variable sachant cette information. Les outils mathématiques nécessaires pour cela
sont les conditionnements.
1. Les conditionnements par rapport à un événement sont utiles pour répondre à la question : Si j’ai
une variable aléatoire Xet que je sais qu’un événement Aest satisfait, qu’est-ce que j’en déduis
sur le comportement de X?
2. Les conditionnements par rapport à une variable aléatoire sont utiles pour répondre à la question :
Si j’ai deux variables aléatoires Xet Yet que je connais Y, qu’est-ce que j’en déduis sur le
comportement de X?
1 Conditionner par rapport à un événement
On rappelle que, si Aet Bsont deux événements et si P[B]>0, alors la probabilité de Asachant B
est définie par :
PhA
Bi=P[A∩B]
P[B].
De même, si Xest une variable aléatoire vérifiant E[|X|]<+∞et si Best un événement vérifiant
P[B]>0, alors l’espérance de Xsachant Best définie par :
EhX
Bi=E[X1B]
P[B].
Exercice 1. L’exercice suivant est la question 2de l’Exercice 1de la feuille de TD 6.
Soient Aet Bdeux événements indépendants tels que :
P[A]=1/2,P[A∪B]=2/3.
Déterminer P[Bc|A].
Exercice 2. On arrive à une station vélo’v vide et on attend que quelqu’un dépose un vélo’v. On
rappelle que le temps d’attente Test une variable exponentielle de paramètre λ > 0. Calculer :
EhT
T≥1i.
1

Exercice 3. Les exercices suivants sont les exercices 4et 5de la deuxième séance :
1. (Exercice 4de la deuxième séance.) Soient Bun événement vérifiant P[B]∈]0,1[ et Aun événement
vérifiant P[A]6= 0.
(a) Pourquoi est-ce que PhA
Biet PhA Bcisont bien définies ?
(b) Montrer que :
P[A] = PhA
BiP[B] + PhA BciP[Bc].
(c) En déduire la formule de Bayes :
PhB
Ai=
PhA
BiP[B]
PhA
BiP[B] + PhA BciP[Bc]
.
Le but de la formule de Bayes est de pouvoir calculer PhB
Ailorsqu’on a accès à P[B],
PhA
Biet PhA Bci, Cf l’exercice ci-dessous.
2. (Exercice 5de la deuxième séance : Test pour la maladie de la vache folle.) On a les données
suivantes sur le test de la vache folle : (1) quand il est appliqué à une vache malade, il est positif
(i.e. il indique “la vache est malade”) dans 99,8% des cas ; (2) quand il est appliqué à une vache
saine, il est négatif dans 99,6% des cas. Par ailleurs, on sait qu’une vache sur 100 000 est malade.
Quelle est la probabilité qu’une vache soit malade sachant que le test qu’on lui a appliqué est
positif ?
2 Conditionner par rapport à une variable aléatoire discrète
Soient Xet Ydeux variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité. On suppose que X
ne peut prendre qu’une quantité dénombrable de valeurs et on note El’ensemble des valeurs possibles.
On suppose aussi que Yest une variable aléatoire réelle et que E[|Y|]<+∞. On définit l’espérance
conditionnelle de Ysachant X, notée EhY
Xi, par :
EhY
Xi=X
x∈E
EhY
X=xi1{X=x}.
Autrement dit, EhY
Xiest la variable aléatoire qui, pour tout x∈X, prend la valeur EhY X=xi
sur l’événement {X=x}.
Exercice 4. Lancer d’un dé. On considère Ω = {1,· · · ,6}muni de la probabilité uniforme. On définit
X(ω) = 1{ωest pair}et Y(ω) = ω. Déterminer EhY
Xi.
Exercice 5. Cet exercice est la question 1de l’Exercice 6de la feuille de TD 6.
On considère une variable aléatoire Nà valeurs dans N, et une suite de variables aléatoires indépendantes
et de même loi (Ci)i≥1, indépendante de N. On pose
Y=
N
X
i=1
Ci.
Déterminer EhY
Ni.
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Exercice 6. On arrive à une station vélo’v vide et on attend que quelqu’un dépose un vélo’v. On rappelle
que le temps d’attente T(en minutes, disons) est une variable exponentielle de paramètre λ > 0. On
note Sla variable aléatoire qui vaut 1si on a attend plus d’une minute et qui vaut 0sinon. Déterminer :
EhT
Si.
3 Conditionner par rapport à une variable aléatoire quelconque
On énonce ici le théorème-clef qu’on peut voir comme une définition de l’espérance conditionnelle.
Le but est ensuite de manipuler cette caractérisation de l’espérance conditionnelle.
On rappelle la définition suivante : Soit (Ω,F,P)un espace de probabilité, soient X: (Ω,F,P)→
(E, E)une variable aléatoire (où (E, E)est un certain espace mesurable) et Yune variable aléatoire
réelle sur (Ω,F,P). On dit que Yest mesurable par rapport à Xs’il existe une fonction mesurable
ϕ: (E, E)→Rtelle que Y=ϕ(X).
Théorème et définition 1 Soient Xet Ydeux variables aléatoires définies sur le même espace de
probabilité. On suppose que Yest une variable aléatoire réelle telle que E[|Y|]<+∞. L’espérance
conditionnelle de Ysachant Xest l’unique (à un événement de mesure nulle près) variable aléatoire
mesurable par rapport à X, notée EhY
Xitelle que, pour toute variable aléatoire réelle Zbornée et
mesurable par rapport à Xon a :
E[Y Z] = EhEhY
XiZi.
Exercice 7. Refaire les Exercices 5et 6mais en utilisant le “Théorème et définition 1” plutôt que la
définition donnée en Section 2.
Exercice 8. Montrer que, dans le cas où Xne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs, la définition
de la Section 2est compatible avec le “Théorème et définition 1”.
Exercice 9. Montrer que, si Xet Ysont comme dans le théorème ci-dessus et si fest une fonction
mesurable bornée : (E, E)→R, alors :
Ehf(X)Y
Xi=f(X)EhY Xi.
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