Repérage dans le plan 1 Repères 2 Coordonnées

Repérage dans le plan
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1.1
Repères
Définition
Un repère du plan est défini par trois points O, I, J non alignés.
Le point O est l’origine du repère.
La droite (OI) est l’axe des abscisses.
La droite (OJ) est l’axe des ordonnées.
1.2
Types de repères
– si le triangle OIJ est rectangle en O alors le repère est orthogonal : (OI)⊥(OJ).
– Si le triangle OIJ est rectangle et isocèle en O alors le repère est orthonormé : OI = OJ et
(OI)⊥(OJ).
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2.1
Coordonnées
Propriété
Dans un repère, tout point M du plan est repéré par un unique couple (xM ; yM ) de réels, appelé
couple de coordonnées de M .
xM est l’abscisse de M et yM est l’ordonnée de M .
M (xM ; yM ) se lit "le point M a pour coordonnées (xM ; yM )".
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2.2
Exemple
Dans le repère orthonormé (O; I, J) ci-dessus, placer les points A(−1; 3), B(0; 1, 5), C(4; 1),
D(2; −0, 5), E(−1; 0).
2.3
Coordonnées du milieu d’un segment
Propriété : dans un repère du plan, si A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) sont deux points quelconques, alors
yA + yB
xA + xB
et yI =
le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées (xI ; yI ) avec xI =
2
2
Pour la démonstration de cette propriété, on construit un point C tel que les droites (AC) et (BC)
soient parallèles aux axes de coordonnées et on utilise le théorème des milieux dans le triangle ABC.
Exemple : si I
yI =
3
milieu de [AB] avec A(−1; 3) et B(4; 1), alors xI =
−1+4
3
=
et
2
2
3+1
= 2.
2
Distance entre deux points du plan
Propriété : dans un repère orthonormé, si A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ) sont deux points quelconques,
alors la distance entre A et B est le nombre
p
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
C’est une application du théorème de Pythagore : si ABC est rectangle en C et si les droites
(AC) et (BC) sont parallèles aux axes de coordonnées alors AB 2 = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
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4.1
Droites
Courbe représentative d’une fonction affine
Définition : dans un repère du plan, la courbe représentative D d’une fonction affine f est l’ensemble des points M de coordonnées (x; y) où x ∈ R et y = ax + b ; c’est une droite.
On dit que la droite D a pour équation y = ax + b dans le repère choisi.
Le nombre a est le coefficient directeur de cette droite.
Le nombre b est l’ordonnée à l’origine ; c’est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec
l’axe des ordonnées, donc du point de la droite qui a pour abscisse 0.
M (x; y) ∈ D
⇐⇒
f (x) = ax + b = y
Pour tracer la droite D on choisit deux valeurs de x et on calcule les images f (x) respectives afin
d’obtenir deux points de la droite.
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4.2
Propriété
Toute droite du plan admet une équation de la forme y = mx + p ou de la forme x = c.
Pour la première forme y = mx + p, ce sont les représentations graphiques des fonctions affines ;
pour la deuxième forme x = c, ce sont les droites parallèles à l’axe des ordonnées.
4.3
Calcul du coefficient directeur
Si A et B sont deux points distincs d’une droite D, non parallèle à l’axe des ordonnées, avec
A(xA ; yA ) et B(xB ; yB ), alors une équation de cette droite est de la forme y = mx + p et
m=
yB − yA
f (xB ) − f (xA )
=
xB − xA
xB − xA
Remarque : si on connait m, alors pour déterminer p, il suffit, dans l’équation y = mx + p, de
remplacer x et y par les coordonnées d’un point de la droite.
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Parallélisme
•
Si D et D0 ont pour équations respectives y = mx + p et y = m0 x + p0 alors :
D et D0 parallèles
⇐⇒
m = m0
D et D0 sécantes
⇐⇒
m 6= m0
• Trois points distincts A, B, C sont alignés s’ils ont la même abscisse ou si les droites (AB)
et (AC) ont le même coefficient directeur, soit :
yB − yA
y C − yA
=
xB − xA
xC − xA
6
6.1
Applications et méthodes
Lire des coordonnées
Tracer un carré ABCD, placer E milieu de [AB] et F milieu de [BD].
Dans le repère orthonormé (A; B, D), donner les coordonnées des différents points.
6.2
Démontrer qu’un triangle est rectangle
Dans un repère orthonormé, on donne les points A(−2; 1), B(2; −1) et C(1; −3).
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
Indication : utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.
6.3
Etudier l’alignement de trois points
Dans un repère orthonormé, on donne les points A(−8; −2), B(0; 2) et C(16; 10).
Les points A, B, C sont-ils alignés ?
Indication : soit on compare les coefficients directeurs des droites (AB) et (AC), soit on détermine
si le point C appartient à la droite (AB).
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Intersections de droites
Soit D1 et D2 les droites d’équations respectives y = ax + b et y = mx + p.
Si a 6= m alors les droites D1 et D2 sont sécantes en un point A(xA ; yA ), dont les coordonnées
vérifient les deux égalités yA = axA + b et yA = mxA + p.
y = ax + b
On dit que (xA ; yA ) est la solution du système d’équations :
y = mx + p
Exemple soit D1 d’équation y = 3x − 2 et D2 d’équation y = −2x + 8.
Les coefficients directeurs 3 et −2 sont différents donc ces droites sont sécantes
en un point A.
y = 3x − 2
Pour déterminer les coordonnées du point d’intersection, on résoud le système
y = −2x + 8
Soit 3x − 2 = −2x + 8, ce qui nous donne 5x = 10 et donc x = 2.
On obtient la valeur de y en remplaçant x par sa valeur dans l’une des deux équations, par exemple
y = 3 × 2 − 2 = 4.
(2; 4) est la solution du système et le point A a donc pour coordonnées (2; 4).
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