Repérage dans le plan 1 Repères 2 Coordonnées

Repérage dans le plan
1 Repères
1.1 Définition
Un repère du plan est défini par trois points O,I,Jnon alignés.
Le point Oest l’origine du repère.
La droite (OI)est l’axe des abscisses.
La droite (OJ)est l’axe des ordonnées.
1.2 Types de repères
– si le triangle OIJ est rectangle en Oalors le repère est orthogonal : (OI)⊥(OJ).
– Si le triangle OIJ est rectangle et isocèle en Oalors le repère est orthonormé : OI =OJ et
(OI)⊥(OJ).
2 Coordonnées
2.1 Propriété
Dans un repère, tout point Mdu plan est repéré par un unique couple (xM;yM)de réels, appelé
couple de coordonnées de M.
xMest l’abscisse de Met yMest l’ordonnée de M.
M(xM;yM)se lit "le point Ma pour coordonnées (xM;yM)".
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2.2 Exemple
Dans le repère orthonormé (O;I, J)ci-dessus, placer les points A(−1; 3),B(0; 1,5),C(4; 1),
D(2; −0,5),E(−1; 0).
2.3 Coordonnées du milieu d’un segment
Propriété : dans un repère du plan, si A(xA;yA)et B(xB;yB)sont deux points quelconques, alors
le milieu Idu segment [AB]a pour coordonnées (xI;yI)avec xI=xA+xB
2et yI=yA+yB 2
Pour la démonstration de cette propriété, on construit un point Ctel que les droites (AC)et (BC)
soient parallèles aux axes de coordonnées et on utilise le théorème des milieux dans le triangle ABC.
Exemple : si Imilieu de [AB]avec A(−1; 3) et B(4; 1), alors xI=−1+4
2=3 2et
yI=3+1
2= 2.
3 Distance entre deux points du plan
Propriété : dans un repère orthonormé, si A(xA;yA)et B(xB;yB)sont deux points quelconques,
alors la distance entre Aet Best le nombre
AB =p(xB−xA)2+ (yB−yA)2
C’est une application du théorème de Pythagore : si ABC est rectangle en Cet si les droites
(AC)et (BC)sont parallèles aux axes de coordonnées alors AB2= (xB−xA)2+ (yB−yA)2
4 Droites
4.1 Courbe représentative d’une fonction affine
Définition : dans un repère du plan, la courbe représentative Dd’une fonction affine fest l’en-
semble des points Mde coordonnées (x;y)où x∈Ret y=ax +b; c’est une droite.
On dit que la droite Da pour équation y=ax +bdans le repère choisi.
Le nombre aest le coefficient directeur de cette droite.
Le nombre best l’ordonnée à l’origine; c’est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec
l’axe des ordonnées, donc du point de la droite qui a pour abscisse 0.
M(x;y)∈ D ⇐⇒ f(x) = ax +b=y
Pour tracer la droite Don choisit deux valeurs de xet on calcule les images f(x)respectives afin
d’obtenir deux points de la droite.
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4.2 Propriété
Toute droite du plan admet une équation de la forme y=mx +pou de la forme x=c.
Pour la première forme y=mx +p, ce sont les représentations graphiques des fonctions affines;
pour la deuxième forme x=c, ce sont les droites parallèles à l’axe des ordonnées.
4.3 Calcul du coefficient directeur
Si Aet Bsont deux points distincs d’une droite D, non parallèle à l’axe des ordonnées, avec
A(xA;yA)et B(xB;yB), alors une équation de cette droite est de la forme y=mx +pet
m=f(xB)−f(xA)
xB−xA
=yB−yA
xB−xA
Remarque : si on connait m, alors pour déterminer p, il suffit, dans l’équation y=mx +p, de
remplacer xet ypar les coordonnées d’un point de la droite.
5 Parallélisme
•Si Det D0ont pour équations respectives y=mx +pet y=m0x+p0alors :
Det D0parallèles ⇐⇒ m=m0
Det D0sécantes ⇐⇒ m6=m0
•Trois points distincts A,B,Csont alignés s’ils ont la même abscisse ou si les droites (AB)
et (AC)ont le même coefficient directeur, soit :
yB−yA
xB−xA
=yC−yA
xC−xA
6 Applications et méthodes
6.1 Lire des coordonnées
Tracer un carré ABCD, placer Emilieu de [AB]et Fmilieu de [BD].
Dans le repère orthonormé (A;B, D), donner les coordonnées des différents points.
6.2 Démontrer qu’un triangle est rectangle
Dans un repère orthonormé, on donne les points A(−2; 1),B(2; −1) et C(1; −3).
Démontrer que le triangle ABC est rectangle.
Indication : utiliser la réciproque du théorème de Pythagore.
6.3 Etudier l’alignement de trois points
Dans un repère orthonormé, on donne les points A(−8; −2),B(0; 2) et C(16; 10).
Les points A,B,Csont-ils alignés?
Indication : soit on compare les coefficients directeurs des droites (AB)et (AC), soit on détermine
si le point Cappartient à la droite (AB).
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7 Intersections de droites
Soit D1et D2les droites d’équations respectives y=ax +bet y=mx +p.
Si a6=malors les droites D1et D2sont sécantes en un point A(xA;yA), dont les coordonnées
vérifient les deux égalités yA=axA+bet yA=mxA+p.
On dit que (xA;yA)est la solution du système d’équations : y=ax +b
y=mx +p
Exemple soit D1d’équation y= 3x−2et D2d’équation y=−2x+ 8.
Les coefficients directeurs 3et −2sont différents donc ces droites sont sécantes en un point A.
Pour déterminer les coordonnées du point d’intersection, on résoud le système y= 3x−2
y=−2x+ 8
Soit 3x−2 = −2x+ 8, ce qui nous donne 5x= 10 et donc x= 2.
On obtient la valeur de yen remplaçant xpar sa valeur dans l’une des deux équations, par exemple
y= 3 ×2−2 = 4.
(2; 4) est la solution du système et le point Aa donc pour coordonnées (2; 4).
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