TD 3

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques
Licence Sciences et Technologies - MIMP
M 36 : Arithmétique et introduction à la théorie des nombres.
Fiche 3
1. – Soit [ 123 ] = [1, 2, 3, 1, 2, 3, · · · ] le développement en fraction continue d’un nombre irrationel β. Déterminer β. √
– Soit m un entier positif et soit α = 21 (m + m2 + 4). Trouver le
développement en fraction
continue de α.
√
Montrer, alors, que 2 = [1, 2̇].
– Soit n ≥ 2 un√entier positif. Déterminer le développement en fraction
continue de n2 − 1.
2. Les nombres de Fibonacci Fn , n ≥ 0, sont définies par
F0 = 1, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2
si n ≥ 1.
= [1, 1, 1 · · · ].
– Montrer que limn→∞ FFn+1
n
√
√
1
– Soient φ = 2 (1 + 5), φ̄ = 12 (1 − 5). Montrer que, pour n ≥ 1,
Fn =
φn − φ̄n
√
.
5
– Retrouver le développement en fraction continue de φ.
– Montrer que Fn ≥ φn−2 .
√
3. – Trouver un nombre rationnel pq tel que 26 − pq < 10−6 .
√
1
– Trouver trois nombres rationnels ab tels que | 2 − ab | < √5b
.
2
4. Vrai ou faux ?
– Soit c un nombre réel, c > 2 et soit α un nombre
Il existe
irrationnel.
1
a
a
une infinité de nombres rationnels b tels que α − b < bc .
√
– Soit β un nombre réel, β > 5 et soit α un nombre irrationnel.
Il
1
a
a
existe une infinité de nombres rationnels b tels que α − b < βb2 .
1