TD 3

Universit´e des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Math´ematiques
Licence Sciences et Technologies - MIMP
M 36 : Arithm´etique et introduction `a la th´eorie des nombres.
Fiche 3
1. – Soit [ 123 ] = [1,2,3,1,2,3,···] le d´eveloppement en fraction conti-
nue d’un nombre irrationel β. D´eterminer β.
– Soit mun entier positif et soit α=1
2(m+√m2+ 4). Trouver le
d´eveloppement en fraction continue de α.
Montrer, alors, que √2 = [1,˙ 2].
– Soit n≥2 un entier positif. D´eterminer le d´eveloppement en fraction
continue de √n2−1.
2. Les nombres de Fibonacci Fn, n ≥0, sont d´efinies par
F0= 1, F1= 1, Fn=Fn−1+Fn−2si n≥1.
– Montrer que limn→∞
Fn+1
Fn= [1,1,1···].
– Soient φ=1
2(1 + √5),¯
φ=1
2(1 −√5). Montrer que, pour n≥1,
Fn=φn−¯
φn
√5.
– Retrouver le d´eveloppement en fraction continue de φ.
– Montrer que Fn≥φn−2.
3. – Trouver un nombre rationnel p
qtel que 
√26 −p
q
<10−6.
– Trouver trois nombres rationnels a
btels que |√2−a b|<1
√5b2.
4. Vrai ou faux ?
– Soit cun nombre r´eel, c > 2 et soit αun nombre irrationnel. Il existe
une infinit´e de nombres rationnels a
btels que 
α−a
b
<1
bc.
– Soit βun nombre r´eel, β > √5 et soit αun nombre irrationnel. Il
existe une infinit´e de nombres rationnels a
btels que 
α−a
b
<1
βb2.
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