TD n˚2 : Fonctions à plusieurs variables

TD n˚2 : Fonctions à plusieurs variables
Exercice 1
Préciser si les domaines D ⊂ R2 suivants sont fermés ou non, ouverts ou non, bornés ou non.
1. D = R2 .
2. D = R+ × R+ .
3. D = R+ × R+
∗.
4. D = {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}.
5. D = {(x, y) | x2 + y 2 < 5}.
6. D = {(x, y) | 2x + 3y ≤ 1}.
Exercice 2
Déterminer la régularité des fonctions suivantes sur leur domaine et calculer leur gradient là où c’est
possible.
1. f (x, y) = xy sur D = R2 .
2. f (x, y) = cos(x) sin(y) sur D = R2 .
3. f (x, y) = x3 + 2y 2 sur D = R2 .
xy
si (x, y) 6= (0, 0),
x2 +y 2
4. f (x, y) =
sur D = R2 .
0
si (x, y) = (0, 0),
p
5. f (x, y) = x2 + y 2 sur D = R2 .
Exercice 3 : Un peu d’économie !
Definition. Si f : D ⊂ R2 → R est une fonction de deux variables ne s’annulant pas et admettant des
dérivées partielles en un point (x0 , y0 ) de D, on définit son élasticité partielle par rapport à la première
variable en (x0 , y0 ) comme suit :
εx f (x0 , y0 ) =
f (x0 +h)−f (x0 )
f (x0 )
lim
h
h→0
x0
=
x0 ∂f
(x0 , y0 )
f (x0 ) ∂x
1. Déterminer les élasticités partielles par rapport aux variables x et y de la fonction de Cobb-Douglas
suivante : f (x, y) = kxα y β , où k, α et β sont des constantes réelles positives, et observer qu’elles
ne dépendent pas du point (x0 , y0 ) choisi dans ]0, +∞[×]0, +∞[.
αn
1
2. Etendre le résultat à une fonction de Cobb-Douglas à n variables : f (x1 , . . . , xn ) = kxα
1 · · · xn .
3. Tracer dans (R+? )2 l’allure des lignes de niveau de la fonction u(x, y) = xy 2 . Ce sont les courbes
d’indifférence pour la fonction utilité u.
1
Exercice 4 : Courbes de niveau
Tracer dans R2 l’allure des courbes de niveau des fonctions suivantes, par exemple pour les valeurs
entières :
1. f (x, y) = xy.
2. f (x, y) =
1
x2 +y 2 .
3. f (x, y) = x2 − y 2 .
4. f (x, y) = x2 − y.
5. f (x, y) = y 2 − x2 + x3 . Dans ce dernier cas, on pourra s’aider de la calculatrice et constater la
cohérence du résultat avec la direction et norme du gradient en quelques points.
Exercice 5 : Pont aux ânes
Soit f : R2 → R une fonction de deux variables admettant des dérivées partielles en tout point. Dériver
les fonctions u(x) = f (x, −x) et g(x, y) = f (y, x).
Exercice 6 : Théorème de Schwarz
1. Vérifier l’énoncé du théorème de Schwarz pour les fonctions C 2 suivantes :
f (x, y) = x exp(xy), f (x, y) = ln(x2 + y 2 + 1), f (x, y) = (y + 2) tan(x).
2. Prouver que f définie de la manière suivante n’est pas de classe C 2 en 0 :
(
xy 3
si (x, y) 6= (0, 0),
x2 +y 2
f (x, y) =
0
si (x, y) = (0, 0).
Exercice 7
Soit F : R → R une fonction de classe C 1 . Montrer que la fonction f définie de la manière suivante est
continue sur R2 :
(
F (x)−F (y)
si x 6= y,
x−y
f (x, y) =
0
F (x)
si x = y.
Exercice 8 : Retour sur la convexité
Soit f : I → R une fonction, où I est un intervalle de R. Montrer que f est convexe si et seulement si
l’ensemble {(x, y) ∈ I × R | y ≥ f (x)}, appelé épigraphe de f , est convexe.
Exercice 9 : Fonction coercive
1. Soit f : Rd → R une fonction continue et coercive : pour toute suite (un )n∈N à valeurs dans Rd
telle que kun k → +∞ lorsque n → +∞, f (un ) → +∞ (on note aussi limkxk→+∞ f (x) = +∞).
Montrer que f admet un minimum global.
f (x)
2. Si f est une fonction de classe C 1 de Rd dans R telle que limkxk2 →+∞ kxk
= +∞, montrer que
2
d
d
l’application gradient ∇f : R → R est surjective, c’est-à-dire que pour tout ` dans Rd , il existe
un point x de Rd tel que ∇f (x) = `.
Indice : on utilisera le fait que pour tout ` dans Rd , le gradient de la fonction linéaire x 7→ ` · x
définie de Rd dans R est constant, égal à `.
2