Applications linéaires

21-10- 2007 J.F.C. A.L. p. 1
APPLICATIONS LIN´ EAIRES
I G´ EN´ ERALIT´ ES
1. D´efinition et vocabulaire
2. Cons´equences de la d´efinition
3. Caract´erisation
II OP´ ERATIONS SUR LES APPLICATION LIN´ EAIRES
1. Somme, multiplication externe et composition
2. Notation usuelle
3. Propri´et´es et formules usuelles
4. Polynˆomes d’endomorphismes Deuxi`eme ann´ee
5. Polynˆomes annulateurs d’un endomorphisme Deuxi`eme ann´ee
III NOYAU ET IMAGE D’UNE APPLICATION LIN´ EAIRE
1. Image d’un sous-espace vectoriel. Image d’une application lin´eaire
2. Rang d’une application lin´eaire
3. Sous-espace stable par un endomorphisme
4. Image r´eciproque d’un sous-espace vectoriel. Noyau d’une application lin´eaire
5. Caract´erisation des applications lin´eaires injectives (resp. surjectives)
IV APPLICATIONS LINEAIRES BIJECTIVES. ISOMORPHISMES
1. R´eciproque d’ une application lin´eaire bijective
2. Ensemble des automorphismes de E
3. Caract´erisation des applications lin´eaires bijectives
4. Caract´erisation des applications lin´eaires bijectives en dimension finie
5. Espaces vectoriels isomorphes
V TH´ EOR` EME DU RANG
VI DETERMINATION D’UNE APPLICATION LIN´ EAIRE

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VII PROJECTIONS
1. D´efinition
2. Propri´et´es
3. Caract´erisation Deuxi`eme ann´ee
VIII SYM´ ETRIES
1. D´efinition
2. Propri´et´es
3. Caract´erisation
IX SAVOIR FAIRE
X COMPL´ EMENTS
1. L’application lin´eaire nulle.
2. Compos´ee.
3. Application lin´eaire injective.
4. Homoth´etie vectorielle.
5. Rang d’une forme lin´eaire.
6. Endomorphisme sym´etrisable `a droite (resp. `a gauche) en dimension finie.
7. D´etermination d’une application lin´eaire.
8. Endomorphisme nilpotent.
9. Polynˆome d’endomorphisme et stabilit´e.
10. Polynˆome annulateur et inversibilit´e.
XI DES ERREURS ` A NE PAS FAIRE.

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APPLICATIONS LINEAIRES
Pmentionne des r´esultats particuli`erement utiles dans la pratique des applications lin´eaires, souvent oubli´es...
Fmentionne des erreurs `a ne pas faire o`u des hypoth`eses importantes ou des mises en garde.
SD mentionne des r´esultats qu’il serait bon de savoir d´emontrer.
Dans ce qui suit Kest le corps des r´eels ou des complexes, Eet E0(et mˆeme E00) sont des K-espaces vectoriels.
I G´ EN´ ERALIT´ ES
I1. D´efinition et vocabulaire
D´ef. 1 Une application fde Edans E0est lin´eaire si
∀(u, v)∈E2, f(u+v) = f(u) + f(v) et ∀λ∈K,∀u∈E, f (λu) = λf (u).
On note L(E, E0) l’ensemble des applications lin´eaires de Edans E0et L(E) l’ensemble des applications
lin´eaires de Edans E.
D´ef. 2 Une application lin´eaire de Edans Es’appelle un endomorphisme de E.
Une application lin´eaire de Edans Ks’appelle une forme lin´eaire sur E.
Une application lin´eaire bijective de Esur E0s’appelle un isomorphisme de E sur E0.
Une application lin´eaire bijective de Esur Es’appelle un automorphisme de E.
I2. Cons´equences de la d´efinition
Prop. 1 Soit fune application lin´eaire de Edans E0.
1. f(0E) = 0E0.
2. Pour tout udans E,f(−u) = −f(u).
3. ∀n∈N∗,∀(λ1, λ2, . . . , λn)∈Kn,∀(u1, u2, . . . , un)∈En, fn
P
k=1
λkuk=
n
P
k=1
λkf(uk).
I3. Caract´erisation
Th. 1 PP Une application fde Edans E0est lin´eaire si et seulement si :
∀(u, v)∈E2,∀λ∈K, f(λu +v) = λf (u) + f(v).
II OP´ ERATIONS SUR LES APPLICATION LIN´ EAIRES
I1. Somme, multiplication externe et composition
Th. 2 Soit αun ´el´ement de K,fet gdeux ´el´ements applications lin´eaires de Edans E0.
On pose ∀u∈E, (f+g)(u) = f(u) + g(u) et (α·f)(u) = α f(u).
f+get α·fsont des applications lin´eaires de Edans E0.

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Th. 3 (L(E, E0),+,·) est un espace vectoriel sur Kde dimension dim E×dim E0.
(L(E),+,·) est un espace vectoriel sur Kde dimension (dim E)2.
Th. 4 La compos´ee de deux applications lin´eaires est une application lin´eaire.
Plus pr´ecis´ement si fest une application lin´eaire de Edans E0et gest une application lin´eaire de E0dans
E00 alors g◦fest une application lin´eaire de Edans E00.
I2. Notation usuelle
Soit fun endomorphisme de E. La suite (fn)n∈Nest d´efinie par la r´ecurrence suivante.
f0= IdEet ∀n∈N, fn+1 =fn◦f.
I3. Propri´et´es et formules usuelles
Prop. 2 1. αest un ´el´ement de K,fest dans L(E0, E00) et gdans L(E, E0).
α(f◦g) = (αf)◦g=f◦(αg).
2. fest un ´el´ement de L(E, E0), get hdeux ´el´ements de L(E0, E00). αet βsont deux ´el´ements de K.
(g+h)◦f=g◦f+h◦fet (α g +β h)◦f=α g ◦f+β h ◦f .
3. fest un ´el´ement de L(E0, E00), get hdeux ´el´ements de L(E, E0).
f◦(g+h) = f◦g+f◦het f◦(α g +β h) = α f ◦g+β f ◦h .
4. (f1, f2, . . . , fp) est une famille d’applications lin´eaires de Edans E0et (g1, g2, . . . , gn) une famille
d’applications lin´eaires de E0dans E00. (α1, α2, . . . , αn) et (β1, β2, . . . , βp) sont des familles d’´el´ements de
K.
n
X
i=1
αigi◦
p
X
j=1
βjfj=
n
X
i=1
p
X
j=1
αiβjgi◦fj.
Prop. 3 fet gsont deux endomorphismes de Equi commutent .nest dans N.
(f+g)n=
n
X
k=0 n
kfk◦gn−k=
n
X
k=0
Ck
nfk◦gn−k=
n
X
k=0 n
kfn−k◦gk=
n
X
k=0
Ck
nfn−k◦gk
Prop. 4 fet gsont deux endomorphismes de Equi commutent .nest dans N∗.
fn−gn= (f−g)◦n−1
X
k=0
fk◦gn−1−k= (f−g)◦n−1
X
k=0
fn−k−1◦gk
fn−gn=n−1
X
k=0
fk◦gn−1−k◦(f−g) = n−1
X
k=0
fn−k−1◦gk◦(f−g)

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I4. Polynˆomes d’endomorphismes Deuxi`eme ann´ee
Prop. 5 fest un endomorphisme de Eet P=
r
X
k=0
akXkest un polynˆome de K[X].
r
X
k=0
akfkest un endomorphisme de Eque l’on note P(f).
Th. 5 SD fest un endomorphisme de E,Pet Qsont deux ´el´ements de K[X] et αest un ´el´ement de K.
(P+Q)(f) = P(f) + Q(f) (α P )(f) = α P (f) (P Q)(f) = P(f)◦Q(f) = Q(f)◦P(f)
I5. Polynˆomes annulateurs d’un endomorphisme Deuxi`eme ann´ee
D´ef. 3 Soit fun endomorphisme de E.
On appelle polynˆome annulateur de ftout ´el´ement Pde K[X] tel que P(f) = 0L(E).
Th. 6 Tout endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie poss`ede un polynˆome annulateur
non nul .
Th. 7 •Pour tout ´el´ement λde K,X−λest un polynˆome annulateur de l’homoth´etie vectorielle λIdE.
•X2−Xest un polynˆome annulateur de toute projection de E.
•X2−1 est un polynˆome annulateur de toute sym´etrie de E.
III NOYAU ET IMAGE D’UNE APPLICATION LIN´ EAIRE
I1. Image d’un sous-espace vectoriel. Image d’une application lin´eaire
Th. 8 fest une application lin´eaire de Edans E0.
1. L’image par fd’un sous-espace espace vectoriel de Eest un sous espace vectoriel de E0.
2. PSi (u1, u2, . . . , up) est une famillle d’´el´ements de E:
fVect(u1, u2, . . . , up)= Vect f(u1), f (u2),· · · , f (up)
D´ef. 4 L’image d’une application lin´eaire fde Edans E0est f(E). Nous la noterons Im f.
Im f={f(x); x∈E}ou Im f={y∈E0| ∃x∈E, f (x) = y}
Th. 9 fest une application lin´eaire de Edans E0.
1. Im fest un sous espace vectoriel de E0.
2. PSi (e1, e2, . . . , en) est une base de E: Im f= Vect f(e1), f(e2), . . . , f (en)
I2. Rang d’une application lin´eaire
D´ef. 5 Le rang d’une application lin´eaire de Edans E0est la dimension de l’image de f. On le note rg(f).
Prop. 6 Soit fune application lin´eaire de Edans E0.
rg f6Min(dim E, dim E0)