Équation du télégraphe

Universit´ e Rennes I – ´ Epreuve de mod´ elisation - Agr´ egation Externe de Math´ ematiques – 2008. Page n˚1.
–Texte–
´
Equation du t´el´egraphe
On s’int´eresse `a l’´evolution de la tension dans un cˆable coaxial. Le courant passant
dans un ´el´ement de cˆable de longueur dx subit l’influence d’une r´esistance Rdx, d’une
inductance Ldx et d’une capacit´e Cdx (on n´egligera la conductance qui mod´elise les
fuites). On notera V(t, x) (resp. I(t, x)) la valeur de la tension (resp. de l’intensit´e) au
point x`a l’instant t. Les fonctions intensit´e et tension Iet Vsont li´ees par les ´equations
∂xV(t, x) = −L∂tI(t, x)−RI(t, x) et ∂xI(t, x) = −C∂tV(t, x).(1)
En d´erivant ces deux ´equations par rapport `a xet trespectivement, il est possible d’´eli-
miner la variable Iet de montrer que Vest solution de
∂2
xxV(t, x) = LC∂2 ttV(t, x) + RC∂tV(t, x).
Dans la suite nous rempla¸cons les constantes physiques R,Let Cpar des constantes
qui all´egeront les calculs et expressions. Soient αet wdes constantes positives. On dira
que uest solution de l’´equation du t´el´egraphe de condition initiale φsi
∂2
ttu(t, x)−w2∂2 xxu(t, x)+2α∂tu(t, x) = 0 pour tous t>0, x ∈R,
u(0, x) = φ(x) pour tout x∈R,
∂tu(0, x) = 0 pour tout x∈R.
(2)
L’objet de ce texte est de proposer une ´etude probabiliste de l’´equation du t´el´egraphe
bas´ee sur le processus de Poisson (dont les principales propri´et´es sont pr´esent´ees dans la
section 1).
On note El’ensemble {−w, w} × R. Soit (Nt)t>0un processus de Poisson d’intensit´e
αet (V0, X0) une variable al´eatoire `a valeurs dans Eind´ependante de (Nt)t>0. On d´efinit
le processus ((Vt, Xt))t>0`a valeurs dans Een posant, pour tout t>0
Vt= (−1)NtV0et Xt=X0+Zt
0
Vsds.
Le but de ce texte est de d´emontrer le r´esultat suivant.
Th´eor`eme 0.1 (Kac).La solution de l’´equation (2)se repr´esente ainsi : pour tout t>0
et tout x∈R,
u(t, x) = E(φ(Xt)),
o`u X0=xpresque sˆurement et V0suit la loi 1
2δ−w+1 2δw.
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La section 1propose un survol rapide des propri´et´es du processus de Poisson et du
processus des vitesses (Vt)t>0. Dans la section 2, on ´etudie les propri´et´es markoviennes du
processus complet avant de faire le lien avec l’´equation du t´el´egraphe (2) dans la section
suivante. Enfin, la section 4aborde la question de la simulation et de l’estimation d’une
densit´e de probabilit´e.
1 Processus de Poisson et processus des vitesses
D´efinition 1.1. Un processus de Poisson (Nt)t>0de param`etre α > 0 est une famille de
variable al´eatoires `a valeurs dans Ntelle que
1. pour presque tout ω∈Ω, t7→ Nt(ω) est une fonction `a valeurs dans N, nulle en 0,
croissante et continue `a droite ;
2. pour tous t1< t2<··· < tn, les variables al´eatoires (Nt1, Nt2−Nt1, . . . , Ntn−Ntn−1)
sont ind´ependantes ;
3. pour tous s<t, la loi de Nt−Nsest la loi de Poisson P(α(t−s)).
Remarque 1.2.Un processus v´erifiant la propri´et´e 2. (resp. 3.) est dit `a accroissements
ind´ependants (resp stationnaires).
Soit (Nt)t>0un processus de Poisson de param`etre αet Z0une variable al´eatoire
ind´ependante de N`a valeurs dans {−1,1}. On note (Zt)t>0le processus d´efini par Zt=
(−1)NtZ0pour tout t>0. Notons
p+(t) = P(Zt= 1) et p−(t) = P(Zt=−1).
Ces fonctions sont solution des ´equations diff´erentielles suivantes :
p0
+(t) = α(p−(t)−p+(t)) et p0 −(t) = α(p+(t)−p−(t)).
Proposition 1.3. Ce processus admet une unique mesure invariante : 1
2δ−1+1 2δ−1. De
plus, pour tout t>0, on connaˆıt la loi de Xten fonction de celle de X0:
p+(t) = 1
2+p+(0) −p−(0) 2e−2αt et p−(t) = 1 2−p+(0) −p−(0) 2e−2αt.
2 Le processus complet
Pour tout t>0 et toute fonction fmesurable born´ee de Edans R, on note
Ptf(v, x) = E(f(Vt, Xt)|V0=v, X0=x) = Ef(−1)Ntv, x +vZt
0
(−1)Nsds.
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D´efinition 2.1. Pour k∈N, on note Ck
El’ensemble des fonctions f:E→Rmesurables
born´ees qui sont de classe Cken la deuxi`eme variable `a d´eriv´ees successives born´ees. On
d´efinit l’op´erateur Asur C1
Epar : pour toute fonction f∈ C1 E,
Af(v, x) = α(f(−v, x)−f(v, x)) + v∂xf(v, x).
On pourra sans dommage retenir de cette section le seul r´esultat suivant : pour tout
t>0 et pour toute fonction f∈ C2
E,
∂tPtf(v, x) = APtf(v, x).(3)
Lemme 2.2. Pour tous t, s >0,
Vt+s= (−1)Nt+s−NtVtet Xt+s=Xt+VtZs
0
(−1)Nt+u−Ntdu.
Proposition 2.3. La famille (Pt)t>0v´erifie la propri´et´e suivante : Pour tous t, s >0et
toute fonction fmesurable born´ee de Edans R,
Pt+sf(v, x) = Pt◦Psf(v, x).
On dit que (Pt)t>0est un semi-groupe.
D´emonstration. On utilise le fait que le processus de Poisson est `a accroissements ind´epen-
dants et stationnaires, et, en particulier, que (Nt+s−Nt)s>0est un processus de Poisson
de param`etre αind´ependant de (Nu)06u6t. D’apr`es le lemme 2.2, on a
Pt+sf(v, x) = EEf(−1)Nt+s−NtVt, Xt+VtZt+s
t
(−1)Nu−Ntdu|X0, V0, Xt, Vt|X0=x, V0=v
=E[Psf(Vt, Xt)|X0=x, V0=v] = Pt◦Psf(v, x).
Proposition 2.4. Pour tout t>0et toute fonction f∈ C2
E,
Pt+hf−Ptf
h−APtf
∞−−→
h→00.
En particulier, pour tout t>0et pour toute fonction f∈ C2
E,
∂tPtf(v, x) = APtf(v, x).
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D´emonstration. D´emontrons dans un premier temps le r´esultat pour t= 0. Soit f∈ C2
E.
Alors
Phf(v, x) =Ef(Vh, Xh)1{Nh=0}|X0=x, V0=v+Ef(Vh, Xh)1{Nh=1}|X0=x, V0=v
+Ef(Vh, Xh)1{Nh>2}|X0=x, V0=v
On ´etudie ces trois esp´erances s´epar´ement. La derni`ere est born´ee par kfk∞e−2αh(αh)2/2.
La premi`ere vaut
Ef(v, x +vh)1{Nh=0}=f(v, x) + h(v∂xf(v, x)−αf(v, x)) + o(h).
Enfin, la seconde esp´erance s’´ecrit
Ef−v, x +vZh
0
(−1)Nudu1{Nh=1}=αhe−αh(f(−v, x) + o(h))
puisque le terme int´egral est born´e (en valeur absolue) par h. On a ainsi obtenu Phf(v, x) =
f(v, x) + hAf(v, x) + o(h), ce qui ach`eve le cas t= 0.
Pour ´etendre le r´esultat `a tout temps t>0, on utilise la propri´et´e de semi-groupe et
la premi`ere partie de la preuve :
Pt+hf−Ptf
h−APtf=Ph−P0 h−APtfk·k∞
−−→
h→00,
puisque que Ptf∈ C2
E.
3 Lien entre l’´equation et le processus
D´efinissons u+et u−sur R+×Rpar
(u+(t, x) := Ptφ(w, x) = E(φ(Xt)|V0=w, X0=x),
u−(t, x) := Ptφ(−w, x) = E(φ(Xt)|V0=−w, X0=x),
o`u l’on a commis l’abus de notation suivant : on note encore φl’application (w, x)7→ φ(x).
Par d´efinition de u+et u−, la propri´et´e (3) assure que
∂tu+(t, x) = ∂tPtφ(w, x) = APtφ(w, x)
=α(Ptφ(−w, x)−Ptφ(w, x)) + w∂xPtφ(w, x)
=α(u−(t, x)−u+(t, x)) + w∂xu+(t, x).
On peut faire de mˆeme pour u−et en d´eduire que le couple (u+, u−) est solution du
syst`eme d’´equations :
(∂tu+(t, x) = α(u−(t, x)−u+(t, x)) + w∂xu+(t, x)
∂tu−(t, x) = α(u+(t, x)−u−(t, x)) −w∂xu−(t, x).(4)
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Enfin, si l’on pose u= (u++u−)/2 et ˜u= (u+−u−)/2, le couple (u, ˜u) est solution du
syst`eme :
(∂tu(t, x) = w∂x˜u(t, x),
∂t˜u(t, x) = −2α˜u(t, x) + w∂xu(t, x).
D´eriver la premi`ere ´equation par rapport `a tet la seconde par rapport `a xpermet de
supprimer le terme ∂t∂x˜u(t, x) pour obtenir
∂2
ttu(t, x) = −2αw∂x˜u(t, x) + w2∂2 xxu(t, x).
Il reste alors `a remplacer w∂x˜u(t, x) par ∂tu(t, x) pour obtenir que
∂2
ttu(t, x)−w2∂2 xxu(t, x)+2α∂tu(t, x) = 0.
On v´erifie ´egalement que les conditions initiales sont satisfaites, ce qui prouve le th´eor`eme
0.1.
4 Mise en place de la r´esolution num´erique
4.1 M´ethode de Monte-Carlo
La m´ethode probabiliste est assez simple `a mettre en place. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, la
solution de l’´equation du t´el´egraphe au point xet au temps tde solution initiale φs’´ecrit
u(t, x) = E[φ(x+It)] o`u It=V0Zt
0
(−1)Nsds,
et V0et (Nt)t>0sont ind´ependants, V0suit la loi uniforme sur {−w, w}et (Nt)t>0est un
processus de Poisson d’intensit´e α. Si l’on note µtla loi de It, on a alors
u(t, x) = ZR φ(x+y)µt(dy).
Ainsi, si l’on dispose d’une bonne approximation de µt, on peut calculer la valeur de u(t, x)
en tous les points x∈Rsouhait´es.
4.2 Estimation par noyau d’une densit´e
Que peut-on dire de cette mesure µt? Il est clair que µtest `a support dans [−wt, wt].
De plus, Ita une probabilit´e strictement positive de se trouver dans tout intervalle ouvert
Jde [−wt, wt]. On peut mˆeme montrer que µtadmet une densit´e strictement positive sur
]−wt, wt[ par rapport `a la mesure de Lebesgue. On ne cherchera pas `a ´etablir ces faits
mais l’objet de cette section est plutˆot de l’illustrer.
On dispose d’un ´echantillon X1, . . . , Xnde variables al´eatoires ind´ependantes et identi-
quement distribu´ees selon une loi de densit´e f. Le probl`eme est de proposer un estimateur
de f.
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