Étude des fonctions numériques - Cours Maths Terminale A (BF)

MATHÉMATIQUES
Classe de Terminale A
CHAPITRE I
ÉTUDE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES
Fiche de cours : situation d'apprentissage, définitions, exemples et exercices
Rubrique
Précisions
Durée indicative
5 à 6 séances de 2 heures
Prérequis
Ensemble de définition, signe d'un binôme et d'un
trinôme, équations et inéquations, repérage dans le plan,
notion intuitive de limite
Plan du chapitre
I. Généralités II. Limites et asymptotes III. Continuité
IV. Dérivation V. Sens de variation et extremums VI.
Plan d'étude et représentation graphique
COURS PRIVE LE PARTENAIRE
BURKINA FASO
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La Patrie ou la Mort, nous Vaincrons

Mathématiques – Terminale A – Étude des fonctions numériques
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SITUATION D'APPRENTISSAGE
Contexte
À SOUBAKANIEDOUGOU, une coopérative de femmes transforme les noix de karité en
beurre. Elle vend ses pains de beurre sur les marchés de la région et souhaite présenter son
activité à une institution de microfinance afin d'obtenir un crédit d'équipement.
La présidente de la coopérative, Mme SOULAMA, remet à Awa, élève de Terminale A, les
informations suivantes :
• Les charges fixes mensuelles (location du local, salaires, entretien) s'élèvent à 150 000 F
CFA.
• Produire un kilogramme de beurre coûte 1 000 F CFA en matières premières et en énergie.
• Si la coopérative produit x kg de beurre par mois (avec 0 ≤ x ≤ 400), le prix de vente
moyen baisse quand la quantité mise sur le marché augmente, car le marché se sature. Le
prix de vente unitaire, en F CFA, est modélisé par p(x) = 2 500 − 2x.
La responsable de la microfinance pose trois questions à Awa :
• Question 1 : quelle production rapporte le plus de bénéfice à la coopérative, et quel est ce
bénéfice maximal ?
• Question 2 : à partir de quelle quantité la coopérative ne perd-elle plus d'argent ?
• Question 3 : le coût moyen d'un kilogramme produit peut-il devenir très faible si la
production augmente énormément ?
Consigne
En t'appuyant sur tes connaissances des fonctions numériques :
1. Exprime le coût total C(x), la recette R(x) et le bénéfice B(x) en fonction de x.
2. Étudie les variations de B sur [0 ; 400] et réponds à la question 1.
3. Résous B(x) ≥ 0 et réponds à la question 2.
4. Étudie la fonction coût moyen M(x) = C(x)/x sur ]0 ; 400], détermine sa limite en 0 et son
comportement, puis réponds à la question 3.
5. Rédige une courte note de synthèse à l'attention de la microfinance.
COMPÉTENCES VISÉES
• Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction.
• Calculer des limites et interpréter graphiquement les résultats (asymptotes).
• Calculer des dérivées et dresser un tableau de variation.
• Déterminer l'équation d'une tangente.
• Étudier et représenter une fonction polynôme et une fonction rationnelle simple.
• Exploiter une étude de fonction pour résoudre un problème concret.

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I. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
1. Définitions
Définition 1 (fonction numérique)
Une fonction numérique f d'une variable réelle est un procédé qui, à chaque réel x d'une partie D
de ℝ, associe au plus un réel noté f(x). L'ensemble D s'appelle l'ensemble de définition de f,
noté Df.
Définition 2 (courbe représentative)
Dans un repère (O, I, J), la courbe représentative (Cf) de f est l'ensemble des points M (x ; y)
tels que x ∈ Df et y = f(x).
2. Ensemble de définition : méthode
Forme de f(x)
Condition sur x
Polynôme
Aucune condition : D = ℝ
Quotient u(x)/v(x)
V(x) ≠ 0
Racine carrée √u(x)
U(x) ≥ 0
Exemples
• f(x) = 3x² − 5x + 1 : Df = ℝ.
• g(x) = (2x + 1)/(x − 3) : il faut x − 3 ≠ 0, donc Dg = ℝ \ {3} = ]−∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[.
• h(x) = √ (4 − 2x) : il faut 4 − 2x ≥ 0, donc x ≤ 2 et Dh =] −∞ ; 2].
3. Parité
Définition 3
Soit f une fonction définie sur D.
• f est paire si, pour tout x ∈ D, (−x) ∈ D et f(−x) = f(x). Sa courbe est symétrique par
rapport à l'axe des ordonnées.
• f est impaire si, pour tout x ∈ D, (−x) ∈ D et f(−x) = −f(x). Sa courbe est symétrique par
rapport à l'origine du repère.
Exemples
• f(x) = x² − 4 : D = ℝ et f(−x) = (−x)² − 4 = x² − 4 = f(x). La fonction f est paire.
• k(x) = x³ + x : k(−x) = −x³ − x = −k(x). La fonction k est impaire.

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Exercices (série 1)
Exercice 1. Déterminer l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
a) f(x) = 5x − 7
b) g(x) = 4/(x + 2)
c) h(x) = (x + 1)/(x² − 9)
d) k(x) = √(3x − 6)
e) m(x) = √(x − 1)/(x − 4)
Exercice 2. Étudier la parité de : a) f(x) = 2x⁴ − x² b) g(x) = x³ − 3x c) h(x) = x² + x
II. LIMITES ET ASYMPTOTES
1. Limites usuelles en l'infini
• lim (x → +∞) xⁿ = +∞ pour tout entier n non nul.
• lim (x → −∞) xⁿ = +∞ si n est pair, et −∞ si n est impair.
• lim (x → ±∞) 1/xⁿ = 0 (n entier non nul).
2. Règle pratique
Méthode
• En ±∞, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
• En ±∞, une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus
haut degré.
Exemples
• lim (x → +∞) (3x² − 5x + 1) = lim (x → +∞) 3x² = +∞.
• lim (x → +∞) (2x + 1)/(x − 1) = lim (x → +∞) 2x/x = 2.
• lim (x → −∞) (x² + 1)/(x³ − 2) = lim (x → −∞) x²/x³ = lim (x → −∞) 1/x = 0.
3. Limite en un réel a
Si le dénominateur tend vers 0 alors que le numérateur tend vers un réel non nul, la limite est infinie.
On détermine le signe de l'infini à l'aide d'un tableau de signes (limite à gauche et limite à droite).
Exemple. Pour f(x) = (2x + 1)/(x − 1) en 1, le numérateur tend vers 3 > 0.
• Si x → 1⁺, alors x − 1 → 0⁺ et f(x) → +∞.
• Si x → 1⁻, alors x − 1 → 0⁻ et f(x) → −∞.
4. Formes indéterminées « 0/0 » et « ∞ − ∞ »
On transforme l'écriture : factorisation, simplification, ou multiplication par l'expression conjuguée.
• Forme 0/0 : lim (x → 2) (x² − 4)/(x − 2) = lim (x → 2) (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = lim (x → 2) (x
+ 2) = 4.
• Forme ∞ − ∞ : lim (x → +∞) (x² − 3x) = lim (x → +∞) x²(1 − 3/x) = +∞ × 1 = +∞.

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5. Asymptotes
Définition 4
• Si lim (x → a) f(x) = ±∞, la droite d'équation x = a est asymptote verticale à (C_f).
• Si lim (x → ±∞) f(x) = b, la droite d'équation y = b est asymptote horizontale à (C_f).
• Si lim (x → ±∞) [f(x) − (ax + b)] = 0 avec a ≠ 0, la droite d'équation y = ax + b est
asymptote oblique à (C_f).
Exemple (asymptote oblique). Soit f(x) = (x² + 1)/(x − 1). Par division euclidienne, f(x) = x + 1 +
2/(x − 1). Comme f(x) − (x + 1) = 2/(x − 1) tend vers 0 quand x tend vers ±∞, la droite y = x + 1 est
asymptote oblique à (C_f).
Méthode : pour trouver une asymptote oblique d'une fraction rationnelle, on effectue la division
euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Exercices (série 2)
Exercice 3. Calculer les limites suivantes :
a) lim (x → +∞) (−2x³ + x)
b) lim (x → −∞) (5x² − 3x + 2)
c) lim (x → +∞) (3x + 2)/(x + 5)
d) lim (x → +∞) (x² + 1)/(2x² − x)
Exercice 4. Soit f(x) = (3x − 2)/(x + 1). Déterminer Df, les limites aux bornes de Df, puis les
asymptotes de (Cf).
Exercice 5. Soit g(x) = (x² − 3x + 1)/(x − 2). Montrer que g(x) = x − 1 − 1/(x − 2). En déduire une
asymptote oblique à la courbe de g.
III. CONTINUITÉ
Définition 5
Une fonction f est continue en a si f est définie en a et si lim (x → a) f(x) = f(a). Elle est
continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle.
Propriétés admises
• Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ.
• Les fonctions rationnelles sont continues sur leur ensemble de définition.
• La fonction x ↦ √x est continue sur [0 ; +∞[.
• La somme, le produit et le quotient (dénominateur non nul) de fonctions continues sont
continus.
Interprétation graphique. Sur un intervalle où f est continue, la courbe se trace « sans lever le crayon
».