Ensemble de problèmes : Fonction irrationnelle et suite récurrente
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PROBLÈME 01
Soit la fonction définie par ² ; sa courbe représentative dans un
repère orthonormal et la droite d’équation.
PARTIE A
1. Préciser l’ensemble de définition de .
2.
a. Calculer
b. Montrer que pour tout nombre réel,
²
En déduire
et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
3.
a. Montrer que pour
= 0.
b. Montrer que pour tout réel. En déduire le signe de
c. Interpréter graphiquement tous ces résultats.
4.
a. Montrer que pour tout réel , !
²
b. Etudier le sens de variations de puis dresser son tableau de variations
c. Déduire de ce qui précède que définie une bijection de " sur un intervalle I que
l’on précisera. Expliciter pour tout de I.
5. Déterminer l’équation de la tangente (T) à au point d’abscisse 0.
6. Tracer (T) et (on prendra 1cm pour unité).
7. Tracer la courbe # de dans le même repère que.
PARTIE B
1. Démontrer que $
$est l’unique solution de l’équation
2. Démontrer que pour tout %&
'$
()
'**$
( et pour tout %&
'$
() + +*'
,-
3. On considère la suite ./ définie par .0
' et ./ ./ pour tout entier1.
a. Démontrer que pour tout entier 1./%&
'$
()
b. Démontrer que pour tout entier 12./$
$2*'
,2./$
$2
c. En déduire que 2./$
$2*3'
,4/
d. Démontrer que la suite ./ converge et calculer sa limite.
Fonction irrationnelle
Etude d’une suite récurrente
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PROBLEME 02
PARTIE A
On considère la fonction définie sur 565 par :
789:
On désigne par ; la courbe représentative de dans un repère orthonormal
d’unité graphique 2cm
1. Etudier la continuité et la dérivabilité de en 0 puis interpréter graphiquement les
résultats obtenus
2. Etudier les variations de puis dresser son tableau de variation sur 565
3. Déterminer une équation de la tangente < à ; au point d’abscisse =
4. Tracer < et;. On admet que ; est au dessus de <
PARTIE B
On désigne par # la courbe de la fonction > définie sur 565 par :
>.
1. Etudier les positions relatives de ; et #
2. Sans étudier > tracer # dans le même repère que ;? Justifier
3. Soit @ un réel tel queA@A. Calculer l’aire B@en cm² du domaine plan
délimité par; # et les droites d’équations@ et =
4. Calculer B
C0B@et interpréter graphiquement ce résultat
PARTIE C
1. Dresser le tableau de variation de > sur565.
En déduire que l’équation > admet une unique solution D
2.
a. Vérifier que D est dans l’intervalle E5FGH
b. Montrer pour tout réel > si et seulement si=
I
J
.
Qu’en déduit-on ?
3. Soit Φ la fonction définie sur E par Φ=
I
J
a. Etudier les variations de Φ
b. Montrer que pour tout deE,Φ%K
c. Montrer que pour tout deE, LΦ L*(
M
4. Soit ./ la suite définie pour tout entier naturel 1 par : 7.0F
./Φ./
a. Montrer par récurrence que pour tout entier1, ./ appartient à l’intervalle E
b. Montrer que pour tout entier naturel 1 on a : +./D+*(
M+./D+?
En déduire que pour toute entier naturel 1 on a : +./D+*3(
M4/
c. Démontrer que la suite ./ est converge et préciser sa limite
d. Déterminer le plus petit entier 1tel que ./ soit une valeur approchée de D à '
près
Fonction logarithme népérien
Courbe associée
–
Calcul Intégral
-
Etude d’une suite récurrente
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PROBLEME 03
PARTIE A
On considère la fonction numérique de la variable réelle définie sur [0 ; 6[ par:
-=
On note ; sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal
d’unité graphique 4 cm
1. Étudier la dérivabilité de en 0 ; que peut-on en conclure pour la courbe ;?
2. Montrer que pour 3'
' 4N- En déduire le sens de variations de.
3. Étudier la limite de en 6 . Que peut-on en conclure pour la courbe ; de ?
4. Tracer soigneusement la courbe ;?
5. On considère le domaine O délimité par la courbe;, l’axe des abscisses et les droites
d’équations et @ où @ est un réel positif.
a. Calculer le volume P@ en cm
3
du solide de révolution engendré par rotation de O
autour de l’axe des abscisses.
b. Déterminer
CP@
PARTIE B
Le but de cette partie est la résolution de l’équation sur H65
1. On pose >8
a. Montrer que sur H65 , les équations et > sont équivalentes.
b. Étudier les variations de g et en déduire que l’équation > admet une seule
solution sur H65 que l’on noteraD.
c. Montrer que D appartient à l’intervalle [0,4 ; 0,5].
2. En utilisant la courbe ; donner une interprétation de D
3. a. Montrer que si %[0,4 ; 0,5] on a % [0,4 ; 0,5].
b. Montrer que pour % [0,4 ; 0,5], on a + +*
Q
4. On définit la suite ./ par .0G et pour tout 1 de R, ././
a. Montrer que pour tout 1 deR ,./% [0,4 ; 0,5].
b. Montrer que pour tout 1 de R, +./D+*
Q+./D+
c. En déduire que pour tout 1 de R, +./D+*N3
Q4/
d. En déduire que la suite ./ est convergente et préciser sa limite.
5. A partir de quelle valeur 10 de 1 est-on sûr que ./ représente une valeur approchée de
D à , près?
PARTIE C
Soit S la fonction définie sur [0 ; 6[ par : STU-=VWU
0
On ne cherchera pas à calculerS.
1. Calculer S pour tout X. En déduire le sens de variation de F.
2. a. Montrer que pour U X on a : U*U
(
b. En déduire que S*T3U
(4
0-=VWU
c. Calculer T3U
(4
0-=VWU
d. En déduire que S*,
(
Fonctions exponentielles et irrationnelles
Calcul de volume
-
Etude d’une suite
récurrente
-
Etude d’une primitive
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PROBLEME 04
Toutes les représentations graphiques demandées seront effectuées sur la même figure,
dans un plan (P) rapporté à un repère orthonormal (unité : 4 cm).
PARTIE A
On considère la fonction numérique définie sur 5?65 par : Y83'
49:
1. a. Etudier la continuité de en 0
b. est-elle dérivable en 0 ?
c. Trouver la limite de quand tend vers6. On pourra poser Z'
2. a. Pour appartenant à H?65, calculer et vérifier que (
'²
b. Étudier le sens de variation de et trouver la limite de
quand tend vers6. En déduire le signe de .
c. Dresser le tableau des variations de
3. On appelle (C) la représentation graphique de dans le plan (P) rapporté au repère
. Tracer (C) en indiquant la tangente au point O et le point A d’abscisse 2.
4 .a. Pour appartenant à H?65, résouds l’équation
b. Tracer soigneusement la courbe (C’) de la réciproque de sur 5?65
PARTIE B
Soit D un réel tel que AD*. On désigne par O le domaine plan délimité par la courbe
(C), l’axe des abscisses et les droites d’équations D et ?
1. A l’aide d’une intégration par parties Calculer l’aire BD de O en unité d’aire. On
pourra remarquer que
' '
'
2. Calculer
[0BD. Interpréter graphiquement ce dernier résultat
PARTIE C
Soit \ la fonction définie sur H?65 par : \'
'
On se propose de déterminer l’ensemble (E) des fonctions g, définies et dérivables
surH?65, et possédant la propriété ] suivante :
>> \
1. Vérifier que la fonction possède la propriété ]
2. g étant une fonction définie et dérivable surH?65, on pose pour tout appartenant
àH?65, ^_
-
Montrer que g possède la propriété ] si et seulement si : pour tout appartenant
àH?65, ^
'
3. En déduire l’ensemble (E).
Fonction logarithme népérien
Calcul d’aire
–
Equations différentielles
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PROBLEME 05
Pour tout entier naturel1, on considère la fonction / définie sur " par : /`
abJ
`
J
On désigne par c/ la courbe représentative de / dans un repère orthonormal
(unité graphique 2cm). On considère en outre la suite ./définie par : ./T/W
0
PARTIE A
Étude de la fonction /
1. On suppose 1
a. Étudier les limites de 0 en 6 et en6.
b. Étudier le sens de variation de 0 puis dresser son tableau de variations.
c. Montrer que le point K3
'4 est centre de symétrie de c0
d. Tracer la courbe c0 en précisant sa tangente en K .
2. On suppose que 1X
a. Étudier les limites de / en 6 et en 6.
b. Montrer que / est dérivable sur " et vérifier que, pour tout , on a :
/ `
abJ
//`
J
`
J
d
-
c. Étudier le sens de variation de / puis dresser son tableau de variations.
d. Vérifier que le point K appartient à toutes les courbesc/ .
e. Tracer c dans le même repère quec0, en précisant sa tangente enK.
3. Interpréter géométrique ./ puis démontrer que.083'`
`4.
On remarquera que
`
J
`
aJ
`
aJ
PARTIE B
Étude de la suite ./
Dans cette partie, 1 et e désignent des entiers naturels non nuls.
1. Étude d’une suite auxiliaire f/
Pour tout 1,on pose f/T=/
0W
a. Calculerf/.
b. Déterminer
/f/ puis
/1f/
2. Comparaison de ./ à f/
a. Établir que, pour tout appartenant à [0 ; 1], on a : *=*= .
b. En déduire que, pour tout n, on a :
'f/ *./*
'f/
c. Déterminer
/./ puis
/1./.
3. Étude d’une suite associée à ./
On pose : g/h.i
/
ij et U/hfi
/
ij
a. Montrer que : *h`
ak
i
/
ij *
`- (On observera que, pour tout p, on a :`
ak
i*=i)
b. En utilisant l’inégalité de la moyenne sur l’intervalle5eeH, montrer qu’on a :
i*TlV
V
i
i*
i et par suite
i*8e8e*
i
c. En déduire que, pour tout1, on a : 81*h
i
/
ij *81
d. Montrer, en utilisant a. et c. que
/U/6 , puis déterminer
/ V
b
mn/-
e. Que peut-on en déduire pour g/o
Suites de fonctions exponentielles
Calcul d’aire
-
Etude de suites
numériques
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
1
/
50
100%
