Polynômes et Racines - Mathématiques en MPSI

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
POLYNÔMES ET RACINES
Dans ce chapitre, Kest l’un des corps Rou C, sauf dans la dernière partie où une généralisation au cas des corps finis Fp
est abordée.
1 CONSTRUCTION DES ANNEAUX DE POLYNÔMES
Jusqu’ici, vous n’avez jamais distingué les polynômes des fonctions polynomiales, et pourtant nous allons faire en sorte
que les polynômes ne soient plus des fonctions.
La fonction polynomiale xP 7−→ 3x2+4x+1 est définie de Rdans R, mais de nouvelles formes d’objets P(x)apparaîtront
dans les prochains mois dans lesquels xest autre chose qu’un nombre. Par exemple, pour tout M∈ Mn(R), on aura envie et
besoin de noter P(M)la matrice 3M2+4M+In. Plus généralement, dans tout anneau Adans lequel on sait multiplier par
un réel, l’objet 3a2+4a+1Amérite d’être noté P(a)pour tout a∈A. Le polynôme Pgagnerait ainsi à être défini comme une
recette de calcul dont les ingrédients sont les coefficients 1, 4 et 3 plutôt que comme une fonction.
Quand on est habitué aux fonctions polynomiales, on a l’impression qu’en connaissant la fonction x7−→ 3x2+4x+1,
on connaît ses coefficients, mais c’est l’inverse qui est vrai. Si vous connaissez 1, 4 et 3, vous pouvez calculer 3x2+4x+1
pour tout x∈R, mais si on vous donne la fonction à proprement parler et non pas son expression, vous savez juste quel
réel elle associe à tout x. Cela ne vous donne en aucun cas l’expression de la fonction et ses coefficients. Bref, renonçons aux
fonctions et tâchons de créer un objet polynôme ouvert sur l’extérieur dont les coefficients seront l’essentiel.
Bien sûr, nos polynômes ne seront intéressants que si nous pouvons les additionner et les multiplier. Nous donnerons
bientôt un sens rigoureux aux calculs suivants, qui relèvent seulement du désir pour l’instant. Étant donnés deux polynômes
P=anXn+...+a1X+a0et Q=bnXn+...+b1X+b0de degré au plus n, voilà ce que nous voulons pouvoir écrire :
P+Q=
n
X
k=0
(ak+bk)Xket P×Q=
2n
X
k=0
(
a0bk+...+akb0
)
Xk=
2n
X
k=0k
X
i=0
aibk−iXk,
où les termes ont été regroupés par degré. Y a plus qu’à forcer le destin.
1.1 DÉFINITION DE L’ANNEAU K[X]
Définition (Polynôme à une indéterminée à coefficients dans K)On appelle polynôme (à une indéterminée)à
coefficients dans Ktoute suite presque nulle d’éléments de K, i.e. toute suite (ak)k∈Nd’éléments de Kdont les éléments
sont nuls à partir d’un certain rang. Pour tout k∈N, le coefficient akest appelé le coefficient de degré k du polynôme.
On note généralement Xl’indéterminée X = (0, 1, 0,0, .. .)et K[X]l’ensemble des polynômes à coefficients dans K, mais
parfois on préférera les noter Tet K[T], etc.
Identification des coefficients : Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux.
Avec cette définition, un polynôme est une suite (a0,a1,...,an,0, 0, .. .)à coefficients dans Kque nous noterons bientôt
anXn+...+a1X+a0. Gardez cet objectif en tête, il vous aidera à comprendre les prochaines définitions. Pour tout λ∈K,
notons au moins dès à présent λle polynôme constant (λ,0, 0,. ..). En particulier, le polynôme 0 est appelé le polynôme nul.
Le principe d’identification des coefficients est une trivialité maintenant que les polynômes sont des suites. Au lycée, on
vous a énoncé un principe plus délicat d’identification des coefficients propre aux fonctions polynomiales, plus délicat car la
connaissance d’une fonction polynomiale n’équivaut pas à la connaissance de son expression, i.e. de ses coefficients. Nous
prouverons ce résultat plus loin.
Définition (Degré d’un polynôme, coefficient dominant, polynôme unitaire)
•Degré du polynôme nul : On convient que deg(0) = −∞.
•Degré d’un polynôme non nul : Soit P= (ak)k∈N∈K[X]un polynôme non nul. Le plus grand indice kpour
lequel ak6=0 est appelé le degré de P et noté deg(P).
Le coefficient de degré deg(P)de Pest appelé son coefficient dominant. S’il est égal à 1, on dit que Pest unitaire.
Pour tout n∈N, l’ensemble des polynômes de degré AU PLUS nde K[X]est noté Kn[X].
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Attention, le polynôme nul n’a pas de coefficient dominant. Quand on veut utiliser le coefficient dominant d’un polynôme
Pdans un raisonnement, il faut supposer Pnon nul.
Exemple 7X3+2X2−X+5 a pour degré 3 et coefficient dominant 7, tandis que X2+3X−1 est unitaire.
Il est facile à présent de définir une loi d’addition sur K[X]. L’ensemble KNdes suites à valeurs dans Kest un groupe pour
la loi héritée de Kdéfinie par la relation (uk)k∈N+(vk)k∈N= (uk+vk)k∈Npour tous (uk)k∈N,(vk)k∈N∈KN. Montrons que K[X]
en est un sous-groupe. Or déjà, 0 = (0)n∈N∈K[X]. Pour la stabilité par différence, soient P= (ak)k∈N,Q= (bk)k∈N∈K[X].
Ainsi, ak=bk=0 à partir d’un certain rang N, donc ak−bk=0 pour tout k¾N, donc P−Q∈K[X].
Pour tous P= (ak)k∈N,Q= (bk)k∈N∈K[X], posons maintenant P×Q=k
X
i=0
aibk−ik∈N
=
(
a0bk+...+akb0
)
k∈N. S’agit-il
bien d’un polynôme? Autrement dit, la famille P×Qest-elle bien presque nulle? Eh bien oui, car si on note Nun rang à
partir duquel ak=bk=0, alors pour tout k¾2N:
k
X
i=0
aibk−i=
N−1
X
i=0
aibk−i
|{z}
=0 car
k−i>k−N¾N
+
k
X
i=N
ai
|{z}
=0
bk−i=0.
Théorème (Anneau K[X]et notation polynomiale) Le triplet
(
K[X],+,×
)
est un anneau commutatif d’éléments
neutres additif le polynôme nul 0 et multiplicatif le polynôme constant 1.
Pour tout P= (ak)k∈N∈K[X]:P=
+∞
X
k=0
akXk, écriture unique dans laquelle la somme est faussement infinie car P
est une suite presque nulle. En outre, pour tout λ∈K:λP=
+∞
X
k=0
λakXk.
Attention ! XN’EST PAS UN NOMBRE !Ôtez-vous une fois pour toutes cette idée de la tête.
Démonstration Fixons une fois pour toutes P= (ak)k∈N,Q= (bk)k∈N,R= (ck)k∈N∈K[X].
•Commutativité de ×:Pour tout k∈N:
k
X
i=0
aibk−i
j=k−i
=
k
X
j=0
bjak−j, donc PQ =QP.
•Multiplication par un scalaire et élément neutre pour ×:Soit λ∈K. Pour tout k∈N, le coefficient de
degré kde λ×P= (λ,0,0, .. .)×(ak)k∈Nvaut λak+0.ak−1+...+0.a0=λak, donc λP= (λak)k∈N. En
particulier, 1 ×P=P×1=P.
•Associativité de ×:Pour tout k∈N, le coefficient de degré kde (PQ)Rvaut :
k
X
i=0i
X
j=0
ajbi−jck−i=X
0¶j¶i¶k
ajbi−jck−i=
k
X
j=0
ajk
X
i=j
bi−jck−il=i−j
=
k
X
j=0
ajk−j
X
l=0
blc(k−j)−l,
donc est égal au coefficient de degré kde P(QR). Par conséquent, (PQ)R=P(QR).
•Distributivité de ×sur +:Pour tout k∈N, le coefficient de degré kde P(Q+R)vaut :
k
X
i=0
ai(bk−i+ck−i) =
k
X
i=0
aibk−i+
k
X
i=0
aick−i,
donc est égal au coefficient de degré kde (PQ) + (PR). Par conséquent, P(Q+R) = (PQ) + (PR).
•Notation polynomiale : Sachant que X= (0, 1, 0,0, .. .), il n’est pas dur de montrer par récurrence que
Xk= (0,. .. ,0, 1,0,0,. ..)pour tout k∈N, où le 1 apparaît au degré k. Ainsi, pour tout P= (ak)k∈N∈K[X]:
P=
+∞
X
k=0
(0,. .. ,0, ak,0, 0,. ..) =
+∞
X
k=0
(ak,0, 0, .. .)×(0,. .. ,0, 1,0, 0,.. .) =
+∞
X
k=0
akXk.
En dépit de la construction qui précède, abstenez-vous impérativement de penser que les polynômes sont des suites
presque nulles. Nous les avons construits ainsi, mais d’autres constructions sont possibles. Soyez juste convaincus que les
fonctions polynomiales sont une chose et les polynômes une autre.
Exemple Pour tous a,b,n∈N:
n
X
k=0a
k b
n−k=a+b
n(formule de Vandermonde).
En particulier,
n
X
k=0n
k2
=2n
npour a=b=n.
Nous avons déjà prouvé ces formules par double comptage au chapitre « Dénombrement ».
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Démonstration
a+b
X
k=0a+b
kXk= (X+1)a+b= (X+1)a(X+1)b=
a
X
i=0a
iXi×
b
X
j=0b
jXj.
Or que vaut le coefficient de degré ndes deux côtés de cette identité ?
Il vaut a+b
nà gauche et
n
X
i=0a
i b
n−ià droite par définition du produit de deux polynômes.
Théorème (Degré d’une somme et d’un produit) Soient P,Q∈K[X].
(i) Degré d’une somme : deg(P+Q)¶max
{
deg(P),deg(Q)
}
.
Cette inégalité est une égalité notamment quand deg(P)>deg(Q)ou deg(Q)>deg(P).
(ii) Degré d’un produit : deg(PQ) = deg(P)+deg(Q). En particulier, deg(λP) = deg(P)pour tout λ∈K∗.
Démonstration Le résultat est évident si Pou Qest nul. Supposons-les non nuls et notons mle degré de Pet
ncelui de Q. Introduisons aussi leurs coefficients : P=
+∞
X
k=0
akXk,Q=
+∞
X
k=0
bkXket PQ =
+∞
X
k=0
ckXk.
(i) ak+bk=0 pour tout k>max
{
m,n
}
, donc deg(P+Q)¶max
{
m,n
}
=max
{
deg(P),deg(Q)
}
.
(ii) Pour tout k>m+n:ck=
k
X
i=0
aibk−i=
m
X
i=0
aibk−i
|{z}
=0
+
k
X
i=m+1
ai
|{z}
=0
bk−i=0, donc deg(PQ)¶m+n.
Inversement : cm+n=
m−1
X
i=0
ai
=0
z}|{
bm+n−i+ambn+
m+n
X
i=m+1
=0
z}|{
aibm+n−i=ambnavec am6=0 et bn6=0, donc
cm+n6=0, donc deg(PQ)¾m+n.
Théorème (Intégrité de K[X])L’anneau K[X]est intègre : ∀P,Q∈K[X],PQ =0=⇒P=0 ou Q=0.
Démonstration Pour commencer, K[X]est un anneau non nul. Ensuite, pour tous P,Q∈K[X], si PQ =0, alors
deg(P) + deg(Q) = deg(PQ) = −∞, donc deg(P)ou deg(Q)vaut −∞, donc Pou Qest nul.
Ce résultat serait nettement plus difficile à prouver si on travaillait avec des fonctions polynomiales et non avec des
polynômes. En effet, si P(x)Q(x) = 0 pour tout x∈R, alors en tout point l’une des fonctions Pet Qs’annule, mais qui nous
dit que l’une des deux s’annule tout le temps ? Rien a priori.
1.2 ÉVALUATION POLYNOMIALE
Définition-théorème (Évaluation polynomiale, fonction polynomiale)
•Évaluation : On pose P(λ) =
+∞
X
k=0
akλkpour tous P=
+∞
X
k=0
akXk∈K[X]et λ∈K.
Le résultat P(λ)obtenu est un élément de K, et comme toujours, la somme est faussement infinie.
•Fonction polynomiale : Pour tout P∈K[X], la fonction x7−→ P(x)de Kdans Kest appelée la fonction
polynomiale associée à P. On la note souvent Ppar abus et parfois e Pquand on veut la distinguer du polynôme P.
•Deux morphismes d’anneaux importants : Pour tout x∈K, l’application d’évaluation P7−→ P(x)est un
morphisme d’anneaux de K[X]dans K.
Également, l’application P7−→ e Pest un morphisme d’anneaux de K[X]dans l’anneau KK.
Concrètement, dire que l’application P7−→ P(x)est un morphisme d’anneaux, c’est dire qu’elle envoie le polynôme 1 sur
le nombre 1, et surtout que pour tous P,Q∈K[X]:(P+Q)(x) = P(x) + Q(x)et (PQ)(x) = P(x)Q(x).
Même chose avec l’autre morphisme : á P+Q=e P+e Qet Ý PQ =e Pe Q.
Attention ! XN’EST PAS UN NOMBRE !On ne dit pas « Posons X=1 », mais « Évaluons en 1 ».
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1.3 COMPOSITION,DÉRIVATION,CONJUGAISON
Dans ce paragraphe, on apprend à composer les polynômes et à les dériver, mais les polynômes ne sont pas des fonctions!
Définition-théorème (Composition) On pose P◦Q=
+∞
X
k=0
akQkpour tous P=
+∞
X
k=0
akXk∈K[X]et Q∈K[X].
(i) Degré : Si Qn’est pas constant, alors deg(P◦Q) = deg(P)×deg(Q).
(ii) Lien avec la composition des fonctions : à P◦Q=e P◦e Q. Le symbole ◦a deux sens très différents ici !
Démonstration Pour (i), supposons Qnon constant et posons m=deg(P). Par produit, deg
(
Qk
)
=kdeg(Q)
pour tout k∈N, donc comme deg(Q)¾1 et am6=0 :
deg
(
am−1Qm−1+...+a1Q+a0
)
¶(m−1)deg(Q)<
Inégalité STRICTE !
mdeg(Q) = deg
(
amQm
)
.
donc : deg(P◦Q) = deg
(
amQm+...+a1Q+a0
)
=maxdeg
(
amQm
)
,deg
(
am−1Qm−1+...+a1Q+a0
)
, et
enfin deg(P◦Q) = deg(P)×deg(Q).
Définition-théorème (Dérivation) On pose P′=
+∞
X
k=0
kakXk−1pour tout P=
+∞
X
k=0
akXk∈K[X].
Attention, on convient ici que 0 . X−1=0 pour k=0 — fausse apparition de X−1, donc.
À partir de là, on définit les polynômes dérivés successifs de Pen posant P(0)=Pet P(n+1)=P(n)′pour tout n∈N.
Soient P,Q∈K[X],λ∈Ket n∈N.
(i) Degré : Si n¶deg(P), alors degP(n)=deg(P)−n, et si au contraire n>deg(P), alors P(n)=0.
(ii) Opérations usuelles : (λP+Q)′=λP′+Q′,(PQ)′=P′Q+PQ′et (P◦Q)′=Q′×P′◦Q.
(iii) Lien avec la dérivation des fonctions : f P′=e P′. Le symbole ′a deux sens très différents ici!
(iv) Formule de Taylor polynomiale : Pour tous P∈K[X]et λ∈K:P=
+∞
X
k=0
P(k)(λ)
k!(X−λ)k.
En particulier, le coefficient de degré kde Pvaut P(k)(0)
k!pour tout k∈N.
Le seuil n=deg(P)de l’assertion (i) doit être bien compris. Sur l’exemple du polynôme P=Xn, voilà ce que ça donne :
P′=nX n−1,P′′ =n(n−1)Xn−2, ..., P(n)=n!, puis P(n+1)=0.
La formule de Taylor montre qu’on connaît tout d’un polynôme quand on le connaît « profondément » en un point, i.e. si
on connaît la valeur de toutes ses dérivées en ce seul point.
Démonstration Introduisons les coefficients de Pet Q:P=
+∞
X
k=0
akXket Q=
+∞
X
k=0
bkXk.
(i) Posons d=deg(P). Si d¶0, alors P′=0. Si au contraire d¾1, alors P′=
d
X
k=0
kakXk−1avec dad6=0, donc
deg(P′) = d−1. Pour les dérivées suivantes, récurrence!
(iii) Montrons que (PQ)′=P′Q+PQ′. Soit k∈N. Le coefficient de degré kde (PQ)′vaut (k+1)
k+1
X
i=0
aibk+1−i
et celui de P′Q+PQ′vaut
k
X
j=0
(j+1)aj+1bk−j+
k
X
i=0
ai(k−i+1)bk−i+1. Ces coefficients sont égaux car :
k
X
j=0
(j+1)aj+1bk−j+
k
X
i=0
ai(k−i+1)bk−i+1
i=j+1
=
k+1
X
i=1
iaibk+1−i+
k
X
i=0
ai(k−i+1)bk−i+1
=
k+1
X
i=0
iaibk+1−i+
k+1
X
i=0
ai(k−i+1)bk−i+1=
k+1
X
i=0iaibk+1−i+ai(k−i+1)bk+1−i= (k+1)
k+1
X
i=0
aibk+1−i.
Montrons que (P◦Q)′=Q′×P′◦Q. Par récurrence à partir de la relation précédente,
(
Qk
)
′=kQ′Qk−1pour
tout k∈N, donc (P◦Q)′=
+∞
X
k=0
ak
(
Qk
)
′=Q′
+∞
X
k=0
kakQk−1=Q′×P′◦Q.
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(iv) Cas où λ=0:En notant P=
+∞
X
i=0
aiXi, dérivons kfois pour tout k∈N:P(k)=
+∞
X
i=k
ai
i!
(i−k)!Xi−k,
puis évaluons en 0 : P(k)(0) = akk!
|{z}
i=k
. Aussitôt, ak=P(k)(0)
k!donc P=
+∞
X
k=0
P(k)(0)
k!Xk.
Cas général : Posons Q=P(X+λ). Pour tout k∈N:Q(k)=P(k)(X+λ), donc :
Q=
+∞
X
k=0
Q(k)(0)
k!Xk=
+∞
X
k=0
P(k)(λ)
k!Xk, et on compose à droite par X−λpour terminer.
Pour la conjugaison des polynômes, on suppose que K=C.
Définition-théorème (Conjugaison) On pose P=
+∞
X
k=0
akXkpour tout P=
+∞
X
k=0
akXk∈C[X].
Pour tous P,Q∈C[X]:λP+Q=λP+Q,PQ =P Q et P◦Q=P◦Q.
Seuls les coefficients sont vraiment conjugués. En particulier, X=X.
2 DIVISIBILITÉ ET DIVISION EUCLIDIENNE DANS K[X]
Si on veut une définition simple et générale, l’arithmétique est la théorie de la divisibilité dans les anneaux. La notion
de divisibilité peut être définie dans n’importe quel anneau, et pas seulement dans Z, et les anneaux sont plus ou moins
semblables ou dissemblables selon les propriétés de leur relation de divisibilité. Nous nous contenterons quant à nous des
anneaux Zet K[X]et verrons peu à peu qu’ils sont quasiment identiques d’un point de vue arithmétique. À quoi cela tient-il?
Ces deux anneaux partagent un même théorème de la division euclidienne.
Définition-théorème (Relation de divisibilité) Soient A,B∈K[X]. On dit que A divise B, ce qu’on note A|B, si
B=AP pour un certain P∈K[X]. On dit aussi que Aest un diviseur de B, que Best divisible par A ou que Best un
multiple de A.
•Relation d’ordre : La relation de divisibilité | est réflexive et transitive sur K[X], mais pas antisymétrique car
pour tous A,B∈K[X]:
A|Bet B|A⇐⇒ ∃λ∈K∗,A=λB. Le cas échéant, on dit que Aet Bsont associés.
Cela dit, la relation | est une relation d’ordre sur l’ensemble des polynômes unitaires ou nuls de K[X].
•Combinaisons linéaires et produits : Soient A,B,C,D∈K[X].
— Si D|Aet D|B, alors D
|
(AU +BV )pour tous U,V∈K[X].
— Si A|Bet C|D, alors AC |BD, et en particulier, Ak
|
Bkpour tout k∈N.
Démonstration Pour le défaut d’antisymétrie, si A=λBpour un certain λ∈K∗, alors B=1
λA, donc A|Bet
B|A. Réciproquement, faisons l’hypothèse que A|Bet B|A. Ainsi, A=BP et B=AQ pour certains P,Q∈K[X],
donc B=B(PQ).
— Si B=0, alors A=BP =0, donc A=λBpour λ=1.
— Si B6=0, alors PQ =1 par intégrité de K[X], donc deg(P) + deg(Q) = 0, donc deg(P) = deg(Q) = 0 car
deg(P)et deg(Q)appartiennent à N⊔
{
−∞
}
. Ainsi, Pest une constante non nulle λet A=λB.
Nous pratiquons la division euclidienne des polynômes depuis la fin du chapitre « Techniques élémentaires de calcul
intégral », mais nous n’avions rien démontré à ce moment-là.
Théorème (Théorème de la division euclidienne) Soient A,B∈K[X]avec B6=0. Il existe un et un seul couple
(Q,R)∈K[X]×K[X]pour lequel A=BQ +Ret deg(R)<deg(B). On appelle Ale dividende de la division euclidienne
de Apar B,Bson diviseur,Qson quotient et Rson reste.
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