Système d'Ordre 2 : Définition et Fonction de Transfert

SYSTEME D’ORDRE 2
Définition
Système dont le comportement(i.e la relation dynamique liant le signal d’entrée au
signal de sortie) est décrit par une équation différentielle linéaire a coef cts d’ordre
2 de la forme
a2d2y(t) + a1dy(t) + a0 y(t) = b0 r(t) r(t) signal d’entrée et y(t) la sortie
d2(t) d(t)
En supposant les conditions initiales nulles( dx(t) = dy(t ) = 0 pr t=o et y(t)=0 pr t=o
)la fonction de transfert devient dt dt
G(s) = __________________ = Y(s)
a2 s2 + a1s+a0 R(s)
On introduit les paramètres suivants :
K =
Gain statique de G(s)
 = (rd/sec) pulsation naturelle non amortie
Ɛ = 
 coefficient d’amortissement (sans dimension)
En remplaçant les paramètres par leur valeur on obtient la forme canonique de G(s)
G(s) = K 2n
 Ɛ s +2n
 Réponse a une entrée échelon r(t) = A.u(t)
Y(s) = R(s)x G(s) = A x K 2n
s Ɛ s +2n
les racines du dénominateur de G(s) caractériseront la réponse transitoire
on appelle équation caractéristique E.C(s) :  Ɛ s +2n = 0
3 cas sont à distinguer en fonction du signe du discriminant
Δ =
 ( – 1)

a) Δ  I Ɛ l  2 racines reelles disticntes s1 et s2
Y(s) =
x   =   +  + 
D’où y(t) = KA + + 
Voir graphe ci dessous
La réponse est apériodique et le régime est dit superamorti. Ce cas présente
peu d’intérêt pratique car la réponse est trop lente
b) Δ= 0 lƐl=1 2 racines réelles confondues s1=s2= -Ɛ = -
Y(s) =A x K 2n = KA - KA+ X
S (S+)2 S (S+)2 (S+)
Multiplions les 2 membres par S puis lim
s→∞
`
lim S x [A x K 2n ] = lim Sx [KA - KA+ X ]
s→∞ S (S+)2 s→∞ S (S+)2 (S+)
0 = KA + X  X = - KA
D’où Y(s) =KA - KA - KA
S (S+)2 (S+)
Et y(t) = KA - KA t- KA = KA – KA (1+ 
Voir Graphe ci dessous
La réponse est apériodique, C’est le régime critique car c’est la réponse apériodique
la plus rapide. Ce cas présente toujours peu d’intérêt pratique
c) Δ0 lƐl1 2 racines complexes conjuguées S1 et 
Δ =2n ()= j22n ()
S1 ,   =σp j wp
σp =Re[poles]= =-Ɛet wp = j = Img[ poles]
s1 ,  = (-Ɛj ) =(- j ) = 

Y(s) = A x K 2n
S (S +Ɛj)(S +Ɛ)
Y(s) =KA + α1 + α2
S (S+Ɛ- j) (S+Ɛ
α1= KA2n = KA (-Ɛ -j
(-Ɛj ) ( 2 j ) 2 j
α1 = KA
2 j
En procédant de la même façon on trouve α2 = - KA
2 j
Y(t)=L-1(Y(s))=KA+KA t- KA
2 j2 j
Y(t)=KA+ KA ( - ]
 2 j
Y(t) = KA +
 = KA + 
ω
n
2
1
−ξ
Imag
Réel
ξω
n
0
j
ω
n
2
1
−ξ
ω
n
β
o
–
ξ
ω
n
Pôles
–
−
0
p
−

 Pour Ɛ= 0 pas d’amortissement y(t) = KA +KA  la réponse
est une sinusoïde pure qui oscille a la pulsation  d’où son appellation
de pulsation naturelle non amortie
 Pour 0 ≤Ɛ≤ 1 La réponse est pseudopériodique et le régime est sous
amorti , la courbe est une sinusoïde qui s’amortit exponentiellement
Valeurs remarquables
SYSTEME D’ORDRE 2
 VALEURS REMARQUABLES
Y(t) = KA +
 = KA + 
La réponse est dite pseudopériodique de pseudo Période
T = 
 Determiner t / y(t) extremum

d y(t) = 0 on trouve
dt
dy(t) = -Ɛwn .Cos0
dt
= -Ɛ. Cos ]
= 0
Les solutions correspondantes aux valeurs de t finies sont
 = 
=
 =   =   = tang- 
Donc on a  tang- 
D’où = λπ- θ On désignera t , instant de pic de rang λ
par 
=
 Amplitude de la réponse aux instants de pic
Y() = KA + KA  = KA + KASin(λπ- θ)
Si λ impair Sin(λπ- θ)= et Si Si λ pair Sin(λπ- θ)=
D’où Y() = KA +/- KA
L’amplitude de pic se caractérisera donc par son dépassement
= Y() – KA = KA
Réponse à une entrée échelon