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Tale SFonctions trigonométriques Cours
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
Analyse - Chapitre 7
Table des matières
I Fonction sinus et fonction cosinus 2
I1 Définition .............................................. 2
I 2 Propriétés des fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Étude des fonctions sinus et cosinus en 0 3
II 1 Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II 2 Deux limites particulières à connaitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III Étude de la fonction sinus 4
III1Dérivée ............................................... 4
III2Sensdevariation .......................................... 4
III3Courbereprésentative ....................................... 5
IV Étude de la fonction cosinus 5
IV1Dérivée ............................................... 5
IV2Sensdevariation .......................................... 6
IV3Courbereprésentative ....................................... 6
V Limites 7
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I Fonction sinus et fonction cosinus
I 1 Définition
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O;~ı, ~).
A tout réel t, on associe un unique point Mdu cercle trigonométrique
de centre Otel que t= (~ı, −−→ OM)(mesure de l’angle orienté en radians).
Le point Ma pour coordonnées (cos t; sin t).
Remarque : ∀t∈R,16cos t61et −16sin t61.
Définition
•La fonction qui a tout réel xfait correspondre l’abscisse cos xdu point M est appelée la fonction
cosinus et est notée cos.
•La fonction qui a tout réel xfait correspondre l’ordonnée sin xdu point M est appelée la fonction
sinus et est notée sin.
I 2 Propriétés des fonctions sinus et cosinus
Propriété (admise)
•Pour tout réel x,cos(−x) = cos x: on dit que la fonction cosinus est paire sur R.
•Pour tout réel x,sin(−x) = −sin x: on dit que la fonction sinus est impaire sur R.
Interprétation graphique :
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O;~ı, ~).
•Les points M(x; cos x)et M0(−x; cos(−x)) sont symétriques par rap-
port à l’axe (O;~). La courbe représentative de la fonction cosinus est
donc symétrique par rapport à l’axe (O;~).
•Les points M(x; sin x)et M0(−x; sin(−x)) sont symétriques par rap-
port à l’origine Odu repère. La courbe représentative de la fonction sinus
est donc symétrique par rapport à l’origine Odu repère.
Propriété (admise)
Pour tout réel x,cos(x+ 2π) = cos xet sin(x+ 2π) = sin x.
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π(ou « 2π-périodiques »).
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Conséquences graphiques :
Les points M(x; cos x)et M0(x+ 2π; cos(x+ 2π)) sont tels que −−−→ MM0= 2π~ı. De même, les points N(x; sin x)
et N0(x+ 2π; sin(x+ 2π)sont tels que −−→ NN0= 2π~ı. Il suffit donc d’étudier les fonctions sinus et cosinus sur
un intervalle de longueur 2π. Mais de plus, les fonctions sin et cos étant respectivement impaires et paires
sur R, par symétrie, on peut restreindre leur étude sur l’intervalle ]0 ; π]. Finalement, on pourra procéder
ainsi :
1. On étudie le sens de variations des fonctions sin et cos sur ]0 ; π].
2. On en déduit le sens de variations sur ]−π;pi]par symétrie (axiale pour cos et centrale pour sin).
3. On obtient ensuite chaque courbe sur Rpar des translations de vecteurs 2kπ~ı, pour k∈Z.
II Étude des fonctions sinus et cosinus en 0
II 1 Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0
Théorème
Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en 0, et on a : sin00 = 1 et cos00=0.
Démonstration à l’aide d’une activité géométrique :
Dans un repère (O;I;J), on considère un réel xappartenant à l’intervalle h0 ; π
2i, le point Mdu cercle
trigonométrique associé à x, et le point T, intersection de la droite (OM )et de la tangente au cercle en I.
1. (a) Montrer que IT =sin x
cos x
(b) En rangeant dans l’ordre croissant les aires des triangles OIM,OIT et celle du secteur de disque
OIM, montrer que, pour tout réel xde ]0 ; π
2[,
sin x6x6sin x
cos x
(c) En déduire que, pour tout xde i0 ; π
2h,
cos x < sin x
x<1
On admet de même que cet encadrement est également vrai lorsque x∈i−π
2; 0h.
(d) En déduire, en utilisant la définition, que la fonction sinus est dérivable en zéro et que sin00=1.
2. (a) Montrer que pour tout réel hnon nul de l’intervalle h−π
2;π 2i, on a :
cos h−1
h=sin h h×−sin h cos h+ 1
(b) En déduire le nombre dérivé en zéro de la fonction cosinus.
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II 2 Deux limites particulières à connaitre
Propriété
•lim
x→0
sin x
x= 1 •lim
x→0
cos x−1
x= 0
Démonstration :
Les démonstrations ont été faites dans l’activité précédente.
III Étude de la fonction sinus
III 1 Dérivée
Propriété
La fonction sinus est définie et dérivable sur Ret ∀x∈R,sin0x= cos x.
Démonstration :
Soit xun nombre réel quelconque et hun réel non nul.
sin(x+h)−sin x
h=sin xcos h+ cos xsin h−sin x h= sin xcos h−1 h+ cos xsin h h.
Or lim
h→0
sin h
h= 1 et lim
h→0
cos h−1
h= 0 (d’après le cours).
Donc lim
h→0
sin(x+h)−sin x
h= cos x∈R.
Ce qui prouve que la fonction sinus est dérivable en tout réel xet que sa dérivée est la fonction
x7→ cos x.
III 2 Sens de variation
D’après ce qui précède, il suffit d’étudier la fonction sinus sur l’intervalle ]0 ; π[:
x
sin0x=
cos x
sin
0π
2π
+0−
00
11
00
On en déduit alors le sens de variations de la fonction sinus sur ]−π;π]par symétrie centrale par rapport
à O :
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x
sin
−π−π
2
π
2π
00
−1−1
11
00
III 3 Courbe représentative
On rappelle quelques valeurs connues de la fonction sinus :
x0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
sin x01
2
√2
2
√3
21√3 2
√2
2
1
2
IV Étude de la fonction cosinus
IV 1 Dérivée
Propriété
La fonction cosinus est définie et dérivable sur Ret ∀x∈R,cos0x=−sin x.
Démonstration :
Soit xun nombre réel quelconque et hun réel non nul.
cos(x+h)−cos x
h=cos xcos h−sin xsin h−cos x h= cos xcos h−1 h−sin xsin h h.
Or lim
h→0
sin h
h= 1 et lim
h→0
cos h−1
h= 0 (d’après le cours).
Donc lim
h→0
cos(x+h)−cos x
h=−sin x∈R.
Ce qui prouve que la fonction cosinus est dérivable en tout réel xet que sa dérivée est la fonction
x7→ −sin x.
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