Autour les séries entières

Problème de mathématiques: MP Enoncé
Autour des séries entières
Dans tout le problème :
•(an)n>0est une suite de nombres réels telle que la série entière X
n>0
anxnde la variable réelle xait pour rayon
de convergence 1.
•On désigne alors par X
n>0
anla série numérique de terme général anet par fla fonction définie sur l’intervalle
]−1,1[ par : f(x) =
+∞
X
n=0
anxn.
•On désigne par (P1)et (P2)les deux propriétés suivantes possibles de la suite :
(P1): La série X
n>0
anconverge.
(P2): La fonction fadmet une limite finie, notée lim
x→1−
f(x), lorsque xtend vers 1par valeurs inférieures.
Partie I: Généralités
1. En utilisant des développements en série entière " usuels ", donner dans chaque cas, un exemple de suite (an)
telle que :
(a) (an)n>0vérifie (P1)et (P2);
(b) (an)n>0ne vérifie pas (P1)et vérifie (P2);
(c) (an)n>0ne vérifie ni (P1)ni (P2);
(d) La série Xanxnne converge pas uniformément sur l’intervalle ]−1,1[ (justifier).
2. On suppose que la série X
n>0
anest absolument convergente ; montrer alors que la fonction fadmet une limite
finie lorsque xtend vers 1par valeurs inférieures et que lim
x→1−
f(x) =
+∞
X
n=0
an.
3. Déduire de la question précédente la somme de la série X
n>2
(−1)n
n(n−1)
Indication :On pourra utiliser une décomposition en éléments simples
Partie II: Théorème d’Abel
4. On suppose dans cette question que la série X
n>0
anconverge.
On va montrer qu’alors la fonction fadmet une limite finie lorsque xtend vers 1par valeurs inférieures (théorème
d’Abel).
On pose rn=
+∞
X
k=n+1
aket pour tout x∈[0,1],Rn(x) =
+∞
X
k=n+1
akxk.
(a) Simplifier, pour tout x∈[0,1],
+∞
X
p=1
(rn+p−1−rn+p)xn+p.
(b) En déduire que, pour tout x∈[0,1[,Rn(x) = rnxn+1 +xn+1 (x−1)
+∞
X
p=1
rn+pxp−1
(c) Soit un réel ε > 0, justifier qu’il existe un entier n0tel que pour tout entier n>n0et tout entier naturel p
on ait |rn+p|6ε
2, puis que :
pour tout entier n>n0et pour tout réel x∈[0,1[,|Rn(x)|6ε.
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Problème de mathématiques: MP Enoncé
Autour des séries entières
(d) Conclure que la fonction fadmet une limite lorsque xtend vers 1par valeurs inférieures et que lim
x→1−
f(x) =
+∞
X
n=0
an
5. Que peut-on dire de la série X
n>0
ansi lim
x→1−
f(x) = +∞?
6. Application : Retrouver le développement en série entière en 0de la fonction arctan puis utiliser le théorème
d’Abel pour écrire π
4comme somme d’une série numérique.
7. Produit de Cauchy : On rappelle que le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est une
série absolument convergente.
(a) Le produit de Cauchy de deux séries convergentes est-elle une série convergente ?
Indication :On pourra examiner le cas un=vn=(−1)n
4
√npour n>1
(b) Soit X
n>0
un,X
n>0
vndeux séries de nombres réels, on pose pour nentier naturel, wn=
n
X
k=0
ukvn−ket on
suppose que les trois séries X
n>0
un,X
n>0
vnet X
n>0
wnconvergent.
Montrer, à l’aide du théorème d’Abel, qu’alors
+∞
X
n=0
wn= +∞
X
n=0
un! +∞
X
n=0
vn!.
Partie III: Réciproque du théorème d’Abel
8. Justifier que la réciproque du théorème d’Abel est fausse.
9. Dans cette question on suppose que pour tout entier n,an>0.
Montrer que si (an)n>0vérifie (P2), alors elle vérifie la propriété (P1)
Indication :On pourra montrer que
n
X
k=0
ak6lim
x→1−
f(x)
Partie IV: Théorème tauberien faible
On suppose dans cette partie que lim
n→+∞nan= 0 et lim
x→1−
f(x) = L∈R.
10. Montrer qu’il existe un réel Ktel que :
∀n∈N∗,|an|6K
n.
11. Pour tout n∈N, on note un=L−
n
X
k=0
ak.
Prouver que l’on peut écrire :
∀n∈N,∀x∈[0,1[ , un=L−f(x) +
n
X
k=0
akxk−1+
+∞
X
k=n+1
akxk.
12. (a) Justifier l’existence, pour tout entier naturel n, de Mn= sup
k>n
(|kak|).
(b) Prouver que la suite (Mn)converge. Quelle est sa limite ?
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13. Déduire de ce qui précède que :
∀n∈N,∀x∈[0,1[ ,|un|6|L−f(x)|+
n
X
k=0 |ak|1−xk+1
n(1 −x)Mn
puis que
∀n∈N,∀x∈[0,1[ ,|un|6|L−f(x)|+ (1 −x)
n
X
k=0
k|ak|+1
n(1 −x)Mn.
14. On prend xn= 1 −1
n,n∈N∗.
En utilisant tout ce qui précède, prouver alors que lim
n→+∞un= 0.
15. Conclure que X
n>0
anconverge
Partie V: Une équation différentielle
Soit (E)l’équation différentielle :
4x2y00 (x)+4xy0(x)−y=x
1−x.
16. Développer en série entière autour de l’origine les fonctions x7→ 1
1−xet x7→ 1 1 + x.
Donner les domaines de convergence des séries obtenues.
17. Trouver une solution développable en série entière autour de l’origine de (E).
Donner le rayon de convergence de la série entière obtenue.
18. Soit ϕ:x∈I7→ ϕ(x) =
+∞
X
n=1
xn
4n2−1.
(a) Déterminer les constantes αet βtelles que
∀n>1,1
4n2−1=α 2n−1+β 2n+ 1.
(b) Soient pour x∈Iet u∈I,H(x) =
+∞
X
n=0
xn
2n+ 1 et h(u) =
+∞
X
n=0
u2n+1
2n+ 1.
Montrer que h(u) = ln r1 + u
1−u.
(c) En déduire une expression simple de H(x).
On pourra poser u=√x.
(d) En déduire une expression de ϕ(x)à l’aide de fonctions usuelles.
(e) Calculer la valeur de L= lim
x→1−
ϕ(x).
19. Soit pour n∈N∗,an=1
4n2−1.
Calculer, à l’aide des résultats précédents, la valeur de S=
+∞
X
n=0
1
4n2−1.
20. On se propose dans cette question de retrouver la valeur de Sdirectement.
Soit Sn=
n
X
k=1
1
4k2−1. Prouver que Sn=1 21−1 2n+ 1. Conclure.
Partie VI: Séries harmonique transformées
Désormais, on admet et on pourra utiliser le théorème de Littlewood suivant :
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Problème de mathématiques: MP Enoncé
Autour des séries entières
Théorème : de Littlewood
Si la fonction fadmet une limite finie lorsque xtend vers 1par valeurs inférieures et que an=O1
nalors la
série X
n>0
anconverge.
Pour pentier naturel non nul, on considère une suite (εn)n>1périodique de période pformée d’éléments de l’ensemble
{−1,1}.
21. Donner, en justifiant leur valeur, les rayons de convergence des séries entières X
n>1
εnxn−1et X
n>1
εn
nxn.
On pose, pour x∈]−1,1[ :f(x) =
+∞
X
n=1
εn
nxnet g(x) =
+∞
X
n=1
εnxn−1.
22. Établir que la série X
n>1
εn
nconverge si et seulement si la fonction f:x7−→ Zx
0
g(t) dtadmet une limite finie
lorsque xtend vers 1par valeurs inférieures.
23. Montrer que gest une fraction rationnelle à déterminer.
24. Retrouver, uniquement par les deux questions précédentes, que la série harmonique X
n>1
1
ndiverge et que la série
alternée X
n>1
(−1)n
nconverge en précisant sa somme.
25. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur la somme
p
X
i=1
εipour que la série X
n>1
εn
nconverge.
Que peut-on en conclure dans les cas où la période pest un entier impair ?
26. Dans le cas où la suite (εn)n>1est périodique de période 6avec ε1=ε2=ε3= 1 et ε4=ε5=ε6=−1,
déterminer
+∞
X
n=1
εn
n
(il est demandé de détailler les calculs).
Partie VII: Divergence sur le bord
On suppose dans cette question que ∀n>0 : an>0et la série X
n>0
andiverge.
Soit (bn)n>0une suite réelle telle que λn=bn
an−−−−−→
n→+∞λ∈R.
Pour x∈]−1,1[, on pose g(x) =
+∞
X
n=0
bnxn
27. En utilisant le théorème de la limite monotone, montrer que lim
x→1−
f(x)=+∞
28. Montrer que gest définie sur ]−1,1[
29. Soit ε > 0et x∈]0,1[. Montrer qu’il existe N∈Net M>0tels que
|g(x)−λf(x)|6εf(x) + M
N
X
n=0
anxn
30. Montrer que g(x)
f(x)−−−−→
x→1−
λ
31. Application :
(a) Calculer le rayon de convergence de la série X
n>1
xn
n+ sin n
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Autour des séries entières
(b) Donner un équivalent en 1de la fonction gdéfinie sur ]−1,1[ par g(x) =
+∞
X
n=1
xn
n+ sin n
Partie VIII: Théorème de Liouville
Soit X
n>0
cnznune série entière de rayon de convergence R > 0et de somme het soit r < R.
32. Montrer que, pour tout entier k, la série de fonctions θ7→ X
n>0
cnrnei(n−k)θconverge normalement sur [0,2π].
33. En déduire que pour tout k∈N, on a
2πrkck=Z2π
0
h(reiθ)e−ikθdθ.
34. Application : On suppose que R= +∞et que hest bornée sur C. Montrer que hest constante.
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