Cours d'Algèbre 1 MPCI L1S1 - Dr Hamdiatou YARA (2025-2026)

Cours d Algèbre 1
MPCI L1S1
2025-2026
Dr Hamdiatou YARA
4 novembre 2025

TABLE DES MATIÈRES
TABLE DES MATIÈRES 2
Chapitre 1 : NOTIONS DE LOGIQUE ET MÉTHODES DE DÉMONSTRATION 3
1.1 Notionsdelogique ....................................... 3
1.2 Négation, Disjonction, Conjonction, Implication et Équivalence . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Quantificateurs ......................................... 5
1.3.1 Quantificateur universel ∀............................... 5
1.3.2 Quantificateur existentiel ∃.............................. 5
1.3.3 Quantificateur de négation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Méthodesdedémonstration.................................. 5
1.4.1 Démonstrationdirecte................................. 5
1.4.2 Raisonnement par la contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.4 Démonstration par contre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.5 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chapitre 2 : ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 7
2.1 Vocabulaire et notations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Ensemblesusuels........................................ 7
2.2.1 Détermination d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Opérations dans P(E)..................................... 8
2.3.1 Intersection, réunion, complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.2 Différence et différence symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.3 Partitiond’unensemble ................................ 9
2.4 Produit cartésien de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Relation binaire sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.1 Vocabulaire et notations usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.2 Relationd’ordre .................................... 10
2.5.3 Relationd’équivalence................................. 11
2.6 Application ........................................... 12
Chapitre 3 : STRUCTURES ALGÉBRIQUES 14
3.1 Loisdecompositioninterne .................................. 14
3.1.1 Généralités ....................................... 14
3.1.2 Propriétés d’une Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.3 Éléments particuliers dans (E, ∗)........................... 15
3.2 Structure algébrique associée à une ou deux lois de composition interne . . . . . . . . . 16
2

TABLE DES MATIÈRES
3.2.1 Structuredegroupe .................................. 16
3.2.2 Structured’anneau................................... 17
3.2.3 Structuredecorps ................................... 18
Chapitre 4 : ARITHMÉTIQUE DANS Z19
4.1 Divisibilité dans Z....................................... 19
4.1.1 Divisioneuclidienne .................................. 19
4.1.2 Divisibilité ....................................... 19
4.1.3 Nombrespremiers ................................... 19
4.2 PGCDetPPCM ........................................ 19
4.2.1 PGCD.......................................... 19
4.2.2 PPCM.......................................... 20
4.3 Anneau Z|nZ.......................................... 21
4.3.1 Congruences dans Z.................................. 21
4.3.2 Propriétés algébriques de Z|nZ............................ 21
Chapitre 5 : ENSEMBLE DES NOMBRES COMPLEXES C22
5.1 Présentation de C........................................ 22
5.2 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3.2 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.4 Forme exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.4.1 FormuledeMoivre................................... 24
5.4.2 Formuled’Euler .................................... 25
5.4.3 Racines n-ième d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.5 Interprétations géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chapitre 6 : POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES 27
6.1 Polynômes............................................ 27
6.1.1 Définitions ....................................... 27
6.1.2 Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.1.3 Division euclidienne de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.4 Division suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.5 Racined’unpolynôme................................. 30
6.1.6 Factorisation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.1.7 PGCD et PPCM de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.2 Fractionsrationnelles...................................... 32
6.2.1 Généralités ....................................... 32
6.2.2 Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . 32
BIBLIOGRAPHIE 34
3

Chapitre 1
NOTIONS DE LOGIQUE ET MÉTHODES DE
DÉMONSTRATION
1.1 Notions de logique
La logique mathématique s’intéresse aux règles de construction de phrases mathématiques correctes
et aux règles permettant la vérité de ces phrases.
Définition 1.1.1. On appelle proposition (ou assertion) mathématique, toute affirmation concernant
un ou plusieurs objets mathématiques qui peut sans ambiguïté être vraie ou fausse.
Exemple
1. " −3≤5."
2. " 2>7."
3. "Tout quadrilatère qui a ses cotés égaux est un carré."
Remarque 1.1.2.
1. Une proposition est toujours vraie ou fausse ( il n’y a pas de troisième possibilité et elle ne peut
être à la fois vraie et fausse.)
2. Soit Pune proposition.
— Si P est vraie, on convient de poser P=Vou P= 1.
— Si P est fausse, on convient de poser P=Fou P= 0. Ce qui peut se résumer par les tables
suivantes dites ≪table de vérité ≫ou ≪table de valeurs ≫.
P
V
F
ou
P
1
0
Définition 1.1.3. Un axiome est une proposition que l’on suppose comme vraie.
Un théorème est une proposition dont on démontre qu’elle à la valeur vraie.
1.2 Négation, Disjonction, Conjonction, Implication et Équivalence
Définition 1.2.1. Soient P et Q deux propositions. On définit alors les propositions suivantes :
4

1.2. Négation, Disjonction, Conjonction, Implication et Équivalence
—La négation de P noté ¯ Pou ⌉Pou non Pqui est fausse si P est vraie et qui vraie si P est
fausse.
—Disjonction : La proposition ≪Pou Q≫notée P∨Qqui est vraie lorsque l’une au moins des
deux propositions P ou Q est vraie, fausse dans le cas contraire.
—Conjonction : La proposition ≪Pet Q≫notée P∧Qqui est vraie lorsque les deux propositions
P et Q sont vraies et fausse dans le cas contraire.
—Implication : La proposition ≪Pimplique Q≫notée P=⇒Qqui est fausse dans le seul cas
ou P est vraie et Q est fausse.
—Equivalence : La proposition ≪Pest équivalente à Q≫notée P⇐⇒ Qou P←→ Qqui est
vraie lorsque les deux propositions ont la même valeur de vérité.
P¯ P
V
F
P Q P ∨Q P ∧Q P =⇒Q P ⇐⇒ Q
V V
V F
F V
F F
Proposition 1.2.2. Soient P et Q deux propositions, alors
a) (P∨Q)⇐⇒ (¯ P∧¯ Q);
b) (P∧Q)⇐⇒ (¯ P∨¯ Q);
c) (P=⇒Q)⇐⇒ (P∧¯ Q);
d) (P=⇒Q)⇐⇒ (¯ Q=⇒¯ P);
e) (P⇐⇒ Q)⇐⇒ (P=⇒Q)∧(Q=⇒P).
Preuve : Exercice
Pour a) on a la table de vérité suivante :
P Q ¯ P¯ Q P ∨Q(P∨Q)¯ P∧¯ Q
V
V
F
F
Remarque 1.2.3.
1. L’usage en mathématique est de n’écrire que des propositions vraies. Si l’on écrit dans une théorie
P=⇒Q, cela veut dire que P=⇒Qest vraie que l’on traduit par : ≪Pest une condition
suffisante pour que l’on ait Q≫ou que ≪Qest une condition nécessaire pour que l’on ait P≫.
2. La proposition ¯ Q=⇒¯ Pest appelée la contraposée de P=⇒Q.
La relation (P=⇒Q)⇐⇒ (¯ Q=⇒¯ P)nous dit que toute proposition implicative est équivalente
à sa contraposée. Ce résultat est utilisé dans de nombreuses démonstration.
3. En mathématique, les résultats portent les noms suivants :
Théorèmes : ce sont les résultats fondamentaux ;
Propositions : ce sont les résultats moins fondamentaux que les théorèmes ;
Lemmes : ce sont les résultats préliminaires ;
Corollaires : ce sont les déductions des résultats précédents.
5