Continuité et Dérivabilité - Terminale S | Cours de Mathématiques

Terminale S
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SAES Guillaume
Chapitre 2 : Continuité et dérivabilité
Nous allons faire un rappel de l’essentiel sur la dérivation lors de la première S puis faire un
complément des formules de dérivation. Enfin, nous allons étudier la notion de continuité sachant
que du XVIIIe siècle au XXe siècle cette notion connue beaucoup de définitions différentes.
I. Fonction dérivable (rappels)
Définition : Dérivable
Soit  une fonction définie sur un intervalle  contenant   .
Dire que  est dérivable en , c’est dire que lorsque  tend vers , le taux de variation 
tend vers un réel , ce que l’on note
Cette limite  est appelé le nombre dérivé de  en . On le note .
Remarque : Dire que  tend vers , c’est aussi dire qu’il existe  tel
que      et  tend vers .
 est le coefficient directeur de la droite  où   et
 .
Quand  tend vers , cette droite « tend vers une position limite » : la
tangente à la courbe représentant  en .
Propriété : Equation de la tangente
Soit  une fonction dérivable en  et  sa courbe représentative.
Soit  le point de  d’abscisse , c’est-à-dire de coordonnée  .
La tangente à  en  est par définition une droite passant par  et de coefficient directeur .
L’équation de cette tangente est donnée par :
II. Notion intuitive de continuité
Une fonction définie sur un intervalle  est continue sur  si sa courbe représentative ne présente
aucune rupture (on peut la tracer sans lever le crayon de la feuille).

Chapitre 2 : Compléments sur la dérivation Terminale S
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Propriété 1 (admis) : Continuité des fonctions usuelles
Les fonctions usuelles (affines, carré, inverse, racine carrée, valeur absolue) sont continues sur tout
intervalle inclus dans leur ensemble de définition.
Propriété 2 (admis) : Dérivable implique continue
Une fonction dérivable sur un intervalle  est continue sur .
Remarques : Les fonctions polynômes sont continues sur  et les fonctions rationnelles sont
continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition par la propriété .
Danger : La réciproque de la propriété 2 est fausse !
Par exemple, la fonction valeur absolue est continue sur  mais n’est
pas dérivable en .
La fonction racine carré est continue sur   mais n’est pas
dérivable en .
Exemple : La partie entière d’un nombre  est le plus grand nombre
entier inférieur ou égal à . On le note  ou encore .
Par exemple,  ,  ,   et
 .
III. Théorème des valeurs intermédiaires
Convention
Une flèche dans le tableau de variations d’une fonction  indique :
- la stricte croissance ou stricte décroissance de  sur l’intervalle correspondant.
- la continuité de la fonction  sur cet intervalle.
Théorème des valeurs intermédiaires (admis) :
Soit  une fonction continue sur un intervalle  avec  et  deux réels de  tel que   .
Pour tout    compris entre  et , il existe au moins un réel  compris entre  et  tel que
 .
L’équation   admet des solutions dans l’intervalle  
C’est-à-dire qu’il existe au moins un antécédent à tout
réel  compris entre  et .
Autrement dit,  prend, entre  et , toute valeur
intermédiaire entre  et .

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Corolaire du théorème des valeurs intermédiaires (admis) :
Soit  une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle  .
Pour tout    compris entre  et , il existe un unique réel  compris entre  et  tel que
 .
L’équation   admet une unique solution dans l’intervalle  .
Remarques : Monotone signifie croissante ou décroissante.
On pourra généraliser à tout intervalle après avoir vu la notion de limite plus tard dans l’année.
Démonstration : Par le théorème des valeurs intermédiaires, on sait que l’équation   a au
moins une solution  dans l’intervalle  . Il reste à prouver qu’elle est unique.
Deux nombres distincts appartenant à l’intervalle   n’ont pas la même image par  puisque si
    , on a   dans le cas où  est strictement croissante et  
dans le cas où  est strictement décroissante.
Un réel     différent de  de ne peut donc pas avoir pour image . Donc  est l’unique
solution de l’équation  .
Exemple : Soit  une fonction définie sur l’intervalle   par    .
1. Etudions les variations de la fonction  sur  .
La fonction  est définie et dérivable sur   comme polynôme réel avec    pour
tout   .
Pour tout   ,    . On en déduit que   lorsque    ou   .
On en déduit le tableau suivant :

Chapitre 2 : Compléments sur la dérivation Terminale S
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La fonction  est strictement croissante sur     et  .
La fonction  est strictement décroissante sur  .
2. Montrons que l’équation   admet une unique solution .
Sur l’intervalle  , la fonction  admet  comme
maximum.
Par conséquent,   pour tout    
L’équation   n’admet pas de solution dans  .
Sur l’intervalle  , la fonction  est continue et strictement
croissante.
De plus  est compris entre   et  .
D’après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire),
l’équation   admet une unique solution  dans  .
Conclusion : L’équation   admet une unique solution
 dans  , de plus     .
3. Donnons une valeur approchée à  près de 
On peut utiliser une méthode par balayage à la calculatrice en utilisant la stricte croissance de  sur
 .
Etape 1 : Sur   avec un pas de 
    donc     
Etape 2 : Sur   avec un pas de 
    donc     
Conclusion :
Un encadrement de  à  près est    .
Une valeur approchée de  à  près est .
Remarque : Il existe d’autres méthodes pour trouver des valeurs approchées des solutions : méthode
de dichotomie, méthode de Newton-Raphson.

Chapitre 2 : Compléments sur la dérivation Terminale S
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IV. Calculs de dérivées
Rappels des dérivées usuelles
Fonction 
Ensemble de dérivabilité de 
Dérivée 
  (constante réelle) sur 
 est dérivable sur 
  ( entier,   ) sur 
 sur 
 est dérivable sur 
 sur   
 est dérivable sur 
Rappels des opérations sur les dérivées avec  et  deux fonctions définies et dérivables sur 
Fonction 
Ensemble de
dérivabilité de 
Dérivée 
 est dérivable sur .
 est dérivable en  
 tel que  
Propriété : Fonction 
Soit  une fonction définie et dérivable sur une partie  de .
Si   alors la fonction    définie par  est bien définie et dérivable sur  avec
Remarque : On peut retenir 
Exemple : Soit la fonction  définie sur   par    . Etudions les variations de .
On a  avec     pour tout    .  est dérivable sur   et
Donc la fonction  est définie sur [-1 ;1] mais dérivable sur     comme composée bien définie
de fonction dérivable. Pour tout     ,