Mathématiques MPSI : Cours complet pour classes préparatoires

Ce document reprend la seconde édition de l’ouvrage Mathématiques MPSI (ISBN 978-2-311-40675-7), publiée par les éditions
Vuibert en 2019.
Le livre est désormais épuisé et j’ai récupéré mes droits sur cet ouvrage; je le laisse à disposition des étudiant·e·s mais je tiens à
signaler deux réserves.
— Cet ouvrage répond à différents critères (souvent commerciaux) d’une collection et d’une maison d’édition; il ne faut pas
le considérer comme un cours « idéal ».
— Il est basé sur le programme avant la réforme entrée en vigueur à la rentrée 2021.
J’espère qu’il pourra être utile à quelques étudiant·e·s ou collègues.
Roger Mansuy
le 20/11/2021
[email protected]
1

SCIENTIFIQUES
Maths
MPSI
Roger Mansuy est professeur en classe préparatoire scientifique
au lycée Saint-Louis à Paris.

SOMMAIRE
Chapitre 1 Bases mathématiques 13
Cours .................................................................. 14
1. Écrituresmathématiques ................................................ 14
2. Ensemblesetapplications................................................ 19
3. Opérationsentreparties ................................................. 25
4. Ensemblesordonnés.................................................... 30
5. L’ensembledesentiersnaturels............................................ 34
Fiche de synthèse ....................................................... 37
Exercices ............................................................... 39
Corrigés ................................................................ 48
Chapitre 2 Nombres complexes 65
Cours .................................................................. 66
1. Corpsdesnombrescomplexes ............................................ 66
2. Exponentiellecomplexe ................................................. 71
3. Équationsalgébriques................................................... 83
Fiche de synthèse ....................................................... 89
Exercices ............................................................... 91
Corrigés ................................................................ 96
Chapitre 3 Sommes et produits (finis) 109
Cours ..................................................................110
1. Règlesdemanipulation..................................................110
2. Quelquessommesclassiques .............................................119
3. Formuledubinôme ....................................................123
Fiche de synthèse .......................................................129
Exercices ...............................................................131
Corrigés ................................................................135
Chapitre 4 Fonctions usuelles 149
Cours ..................................................................150
1. Propriétésdesfonctionsréelles............................................150
2. Valeurabsolue ........................................................157
3

SOMMAIRE
3. Exponentielles, logarithmes, puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4. Exponentielle complexe, fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Fiche de synthèse .......................................................174
Exercices ...............................................................176
Corrigés ................................................................180
Chapitre 5 Équations différentielles 195
Cours ..................................................................196
1. Généralités...........................................................196
2. Primitives............................................................198
3. Équationslinéairesd’ordre1..............................................203
4. Équationslinéairesd’ordre2..............................................206
Fiche de synthèse .......................................................212
Exercices ...............................................................214
Corrigés ................................................................218
Chapitre 6 Suites numériques 229
Cours ..................................................................230
1. Calculsexplicitesdesuites ...............................................230
2. Manipulationsdesuites .................................................234
3. Suitesconvergentes ....................................................235
4. Relations de comparaison pour les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5. Suitesréelles..........................................................250
6. Suitesextraites........................................................257
Fiche de synthèse .......................................................264
Exercices ...............................................................266
Corrigés ................................................................271
Chapitre 7 Fonctions continues 283
Cours ..................................................................284
1. Étudeslocales.........................................................284
2. Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
3. Fonctionscontinuessurunsegment ........................................303
Fiche de synthèse .......................................................309
Exercices ...............................................................311
Corrigés ................................................................319
4

SOMMAIRE
Chapitre 8 Fonctions dérivables 337
Cours ..................................................................338
1. Fonctionsunefoisdérivables .............................................338
2. Fonctionsderégularitésupérieure..........................................344
3. Propriétédesaccroissementsfinis..........................................346
Fiche de synthèse .......................................................357
Exercices ...............................................................359
Corrigés ................................................................366
Chapitre 9 Études locales et asymptotiques 381
Cours ..................................................................382
1. Relationsdecomparaison................................................382
2. Développementslimités.................................................385
3. Applications..........................................................393
Fiche de synthèse .......................................................396
Exercices ...............................................................398
Corrigés ................................................................401
Chapitre 10 Structures algébriques 411
Cours ..................................................................412
1. Groupes.............................................................412
2. Anneauxetcorps ......................................................425
Fiche de synthèse .......................................................430
Exercices ...............................................................431
Corrigés ................................................................436
Chapitre 11 Arithmétiques des entiers 447
Cours ..................................................................448
1. Divisibilité ...........................................................448
2. PGCD,PPCM .........................................................452
3. Nombrespremiers .....................................................456
4. Systèmescongruentiels..................................................460
Fiche de synthèse .......................................................463
Exercices ...............................................................465
Corrigés ................................................................470
5