AO 102 Syst`emes Dynamiques

AO 102
Syst`emes Dynamiques
Stabilit´e et Commande
Cours et exercices corrig´es
´
Edition 2011/2012
Fr´ed´eric JEAN

Table des mati`eres
Avant-propos ......................................................VII
1 Calcul diff´erentiel .............................................. 1
1.1 Applications diff´erentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Accroissementsfinis .......................................... 5
1.3 D´eriv´ees d’ordres sup´erieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Eten dimensioninfinie?....................................... 14
1.6 Exercicescorrig´es ............................................ 15
2´ Equations diff´erentielles lin´eaires autonomes ................... 25
2.1 Approche´el´ementaire......................................... 25
2.2 Exponentielle dematrices ..................................... 27
2.3 Calcul de l’exponentielle de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Formedessolutions .......................................... 36
2.5 Exercicescorrig´es ............................................ 42
3´ Equations diff´erentielles lin´eaires ............................... 59
3.1 Existence et unicit´e globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Lar´esolvante ................................................ 61
3.3 Quelques propri´et´es de la r´esolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 ´ Equationsaffines............................................. 68
3.5 ´ Equations lin´eaires p´eriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6 Exercicescorrig´es ............................................ 72
4 Th´eorie g´en´erale des ´equations diff´erentielles ................... 81
4.1 Existenceetunicit´e........................................... 82
4.2 Solutions maximales et dur´ee de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Flots,portraitsdephase ...................................... 88

Table des mati`eres
4.4 Lin´earisation et perturbation du flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5 Exercicescorrig´es ............................................ 99
5 Stabilit´e des ´equilibres .........................................117
5.1 ´ Equilibres et stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 La stabilit´e par la lin´earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3 FonctionsdeLyapunov .......................................123
5.4 Exercices corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6 Commande des syst`emes .......................................143
6.1 Syst`emes command´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2 Lin´earisation des syst`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3 Commandabilit´e (relation entr´ee/´etat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.4 Observabilit´e (relation ´etat/sortie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.5 Stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.6 Exercices corrig´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A Espaces vectoriels norm´es et th´eor`emes du point fixe ..........173
A.1 Topologie des espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.2 Espaces vectoriels norm´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.3 Th´eor`emes du Point Fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.4 Cons´equence pour l’inversion locale et les fonctions implicites . . . . . . 177
B Forme normale des syst`emes commandables ....................181
B.1 ´ Equations diff´erentielles scalaires d’ordre n......................181
B.2 Forme normale : cas m=1....................................184
B.3 Forme normale : cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
B.4 D´emonstration du th´eor`eme 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Bibliographie ......................................................191
Index ..............................................................193
VI

Avant-propos
Les syst`emes dynamiques sont les notions math´ematiques qui permettent de
mod´eliser des ph´enom`enes ´evoluant dans le temps, ces ph´enom`enes pouvant
provenir de la physique, la m´ecanique, l’´economie, la biologie, l’´ecologie, la chimie...
Un syst`eme dynamique est constitu´e d’un espace de phases, l’espace des ´etats pos-
sibles du ph´enom`ene convenablement param´etr´e, muni d’une loi d’´evolution qui
d´ecrit la variation temporelle de l’´etat du syst`eme. Dans le cadre choisi ici, celui
de lois d´eterministes en temps continu, cette loi d’´evolution prend la forme d’une
´equation diff´erentielle.
La r´esolution explicite, ou mˆeme approch´ee, d’une ´equation diff´erentielle est en
g´en´eral impossible, les m´ethodes num´eriques permettant seulement de calculer sur
un intervalle de temps fini une solution correspondant `a des conditions initiales
donn´ees. La th´eorie vise donc plutˆot une ´etude qualitative des ph´enom`enes et
cherche en particulier `a en comprendre l’´evolution `a long terme.
Le cours «Syst`emes Dynamiques: Stabilit´e et Commande »a deux objectifs.
Le premier est d’aborder l’´etude g´en´erale des syst`emes dynamiques r´egis par des
´equations diff´erentielles ordinaires. L’accent est mis principalement sur la notion de
stabilit´e dont l’importance, pour de nombreux probl`emes pratiques, est comparable
`a celle de la connaissance effective des solutions.
Le deuxi`eme objectif est de pr´esenter une introduction `a la commande des syst`emes
dynamiques, c’est-`a-dire `a l’automatique. Il s’agit en particulier d’´etudier, dans le
cadre de l’automatique lin´eaire, les notions essentielles que sont la commandabilit´e,
l’observabilit´e et la stabilisation.
Chaque chapitre est constitu´e d’une part de notes de cours et d’autre part
d’exercices suivis de leurs corrig´es. Les deux parties sont d’´egale importance. En
effet, les notes de cours sont volontairement r´edig´ees dans un style assez th´eorique,
les exemples et les applications ´etant pr´esent´es dans les exercices. Ceux-ci contien-
nent aussi beaucoup de m´ethodes classiques d’analyse des syst`emes dynamiques
ainsi qu’un certain nombre de r´esultats annexes.