Support de cours: Mathématiques Bachelor 1 - Matrices, Polynômes

SUPPORT DE COURS
MATHEMATIQUES
1ère Année de Bachelor 1
Année Académique 2021-2022
Semestre 2
Dr. OWO Kouassi Jean-Marc iMaître de Conférences, U.F.H.B.

Table des matières
1 Matrices - Déterminants 1
1.1 Matrices............................................... 1
1.1.1 Généralités ......................................... 1
1.1.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Matricesinversibles..................................... 5
1.2 Déterminants ............................................ 6
1.2.1 Déterminant d’une matrice carrée d’ordre 1,2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Déterminant d’une matrice carrée d’ordre quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Propriétés.......................................... 8
1.3 Inversiondematrice ........................................ 8
1.3.1 Methodedescofacteurs................................... 8
1.3.2 MethodedeJordan..................................... 9
1.4 Rangd’unematrice......................................... 9
1.4.1 Définition .......................................... 9
1.4.2 Methodes de recherche du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Applications aux systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1 Ecriture matricielle d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2 Rangd’unsystèmelinéaire................................. 11
1.5.3 Résolution d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Polynômes et Fractions rationnelles 17
2.1 Polynômesàunevariable...................................... 17
2.1.1 Généralités ......................................... 17
2.1.2 Divisibilité.......................................... 18
2.1.3 Fonction polynomiale, racine d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.4 Dérivation.......................................... 20
2.1.5 Décomposition d’un polynôme en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Fractions rationnelles à une variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Définitions.......................................... 21
2.2.2 Addition et multiplication dans K[X]........................... 22
2.2.3 Pôle ............................................. 22
2.2.4 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.5 Pratique de la décomposition dans R(X)......................... 23
2.2.6 Pratique de la décomposition dans C(X)......................... 24
3 Espaces vectoriels 25
3.1 Généralités ............................................. 25
3.1.1 Définition .......................................... 25
3.1.2 Propriétés dans les espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Sousespacesvectoriels ....................................... 26
3.2.1 Définition .......................................... 26
3.2.2 Intersection de sous espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.3 Sous espace vectoriel engendré par une partie d’un ev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Familles ou systèmes de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
ii

TABLE DES MATIÈRES
3.3.1 Familleslibres........................................ 27
3.3.2 Famillesgénératrices .................................... 28
3.3.3 Base,Coordonnées ..................................... 28
3.4 Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4.1 Définition .......................................... 29
4 Espace vectoriels de dimension finie et Applications linéaires 34
4.1 Espace vectoriels de dimension finie ................................ 34
4.1.1 Définition .......................................... 34
4.1.2 Existence de bases ..................................... 34
4.1.3 Dimension d’un espace vectoriel .............................. 34
4.1.4 Sous espace et existence d’un supplémentaire ....................... 36
4.2 Applications linéaires ........................................ 36
4.2.1 Généralités ......................................... 36
4.2.2 Matrice et Application linéaire ............................... 39
4.2.3 Changement de bases .................................... 41
Dr. OWO Kouassi Jean-Marc iii Maître de Conférences, U.F.H.B.

Chapitre 1
Matrices - Déterminants
1.1 Matrices
1.1.1 Généralités
Définition 1.1. Soit Kun corps commutatif, et net pdes élements de N∗. On appelle matrice n×pà
coefficients dans K, une application A:|[1, n]|×|[1, p]| −→ K,(i, j)7−→ aij que l’on note
A= (aij ) = 
a11 a12 · · · a1p
a21 a22 · · · a2p
.
.
..
.
..
.
.
an1an2· · · anp
Les élements aij sont les coefficients de la matrice A. Le coefficient aij se trouve à l’intersection de la i-ème
ligne et de la j-ème colonne.
Notation
On note Mn,p(K)l’ensemble des matrices n×pà coefficients dans K.
Soit A= (aij )∈ Mn,p(K). On dit que Aest réelle si K=Ret complexe si K=C.
Si n=p, on dit que Aest une matrice carrée d’ordre n. On désigne par Mn(K)l’ensemble des matrices
carrées d’ordre nà coefficients dans K.
Si A= (aij )∈ Mn(K), les élements aii c-à-d a11, a22,· · · , ann s’appelle les élements diagonaux de A.
On appelle trace de A= (aij )∈ Mn(K), lélements de Knoté T r(A)défini par
T r(A) =
n
X
i=1
aii =a11 +a22 +· · · +ann
Soit A= (aij )∈ Mn,p(K).
Si n= 1,Aest de la forme A= (a11, a12,· · · , a1n), c’est une matrice uniligne appelée matrice ligne.
Sp= 1,Aest de la forme A=
a11
a21
.
.
.
an1
, c’est une matrice unicolonne appelée matrice colonne.
Exemples :
(1) Si a∈K,A= (a)∈ M1,1(K),T r(A) = a.
(2) A=
1 0
3−2
1 1
∈ M3,2(R); (3) A=
1−2i
3i0 2
1 4 3
∈ M3(C),T r(A)=4.
Si tous les coefficients d’une matrice de Mn,p(K)sont nuls, la matrcie est dite matrice nulle. On la note
0Mn,p(K)ou 0lorsqu’aucune confusion n’est à craindre.
Tansposée d’une matrice
Soit A= (aij )∈ Mn,p(K). On appelle transposée de la matrice Ala matrice notée At∈ Mp,n(K)définie
par At= (cij )où ∀(i, j)∈ |[1, n]|×|[1, p]|, ci,j =aj,i
Exemple :
(1) A=
1 0
3−2
1 1
=⇒At= 131
0−2 1 !
1

CHAPITRE 1. MATRICES - DÉTERMINANTS
(2) A=4−3 2 =⇒At=
4
−3
2
(3) A=
1−2i
3i0 2
1 4 3
=⇒At=
1 3i1
−2 0 4
i2 3
Matrices symétriques
Soit A= (aij )∈ Mn(K)une matrice carrée d’ordre n. On dit que Aest symétrique si At=A, c’-à-d.,
aji =aij ,∀1≤i, j ≤n.
On dit que Aest anti-symétrique si At=−A, c’-à-d., aji =−aij ,∀1≤i, j ≤n.
En particulier ∀1≤i≤n, 2aii = 0.Si K=R(ou C), 2aii =0=⇒aii = 0.
Exemples :
(1) A=
1 1 2
1 2 0
2 0 3
est symétrique ; (2) A=
0−1 2
1 0 1
−2−1 0
est anti-symétrique.
Matrice triangulaire
Soit A= (aij )∈ Mn(K)une matrice carrée d’ordre n.
•On dit Aest triangulaire inférieure si aij = 0,∀i<j
•On dit Aest triangulaire supérieure si aij = 0,∀i>j. Exemples :
(1) L=
−2 0 0
1 1 0
2 1 0
est triangulaire inférieure ; (2) U=
1 2 3 2
0 5 6 0
0 0 1 1
0 0 0 4
est triangulaire supérieure.
Matrice diagonale
Une matrice carrée A= (aij )∈ Mn(K)est dite diagonale si aij = 0,∀i6=j. On notera A=
Diag(a11,· · · , ann). Si en plus aii = 1,∀i= 1,· · · , n, la matrice est appelée matrice unité (identité) d’ordre
net notée In=Diag(1,· · · ,1) (ou simplement Is’il n’y a pas d’ambiguité).
Les matrices diagonales de la forme Diag(λ, · · · , λ)où λ∈Ksont appelées matrices scalaires.
Rq : Une matrice A∈ Mn(K)est scalaire si et seulement si il existe λ∈Ktel que A=λIn.
Exemples :
A1=
2 0 0
0 0 0
0 0 4
=Diag(2,0,4) et A2=
1 0 0 0
0 5 0 0
0 0 1 0
0 0 0 4
=Diag(1,5,1,4) sont des matrices diagonales.
Pour n= 2,I2= 1 0
0 1 !; Pour n= 3,I3=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
Dr. OWO Kouassi Jean-Marc 2Maître de Conférences, U.F.H.B.