Exercices de Rhéologie : Modèles de Maxwell et Kelvin-Voigt

TD rhéologie JAZIRI.M
1
EXERCICE n°1
On sait que lorsque la contrainte σ appliquée à un matériau est une fonction sinusoïdale
du temps, la déformation résultante ε est également sinusoïdale et déphasée d'un angle δ par
rapport à la contrainte. Dans ce cas, on peut définir un module mécanique complexe :
M* = M' + jM'' avec M* = σ*/ε*
De la même façon, on peut également définir une viscosité dynamique complexe η* au
moyen de l'expression : σ* = η* (d ε*/dt) qui est de la forme : η* = η '- j η''
Exprimer les valeurs de η' et de η'' en fonction des amplitudes maximales σm et εm de
la contrainte appliquée et de la déformation résultante, ainsi que de la pulsation de la
fréquence ω et de l'angle de la perte mécanique δ. Comment s'expriment η 'et de η'' en
fonction M'' et M'.
Correction
2°) σ* = σm ejωt et ε* = ε m ej(ωt-δ)
δ)tj(ω
meωjε
dt*dε−
=
et
dt*dε
*η*σ=
( ) δtωj
m
tj
meωjε*ηeσ− =
δj
m
me
ωjε
σ
*η=
sinδcosδj
ω
1
ε
σ
sinδjcosδ
ω
j
ε
σ
e
ω
j
ε
σ
*η
m
m
m
m
δj
m
m−−=+−=−=
cosδj
ω
1
ε
σ
sinδ
ω
1
ε
σ
*η
m
m
m
m−=
=
=
cosδ
ω
1
ε
σ
'η'
sinδ
ω
1
ε
σ
η'
m
m
m
m
or
=
=
cosδ
ε
σ
'M'
sinδ
ε
σ
M'
m
m
m
m
donc
=
=
ω
M'
'η'
ω
'M'
η'
De plus, on a :
*εωj
dt*dε=
*ε*M*σ=
→
*ε*Mε*ωj*η=
donc
*ηωj*M =
Enfin,
M'
'M'
'η'
η'
tgδ==
EXERCICE n°2
1°) En établissant l’équation rhéologique des temps, donner les fonctions de relaxation et de
fluage pour :
a) un liquide de Maxwell.

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2
b) solide de KELVIN-VOIGT.
Correction
a) Pour un liquide de Maxwell :
21 εεε +=
21 σσσ ==
11 εEσ=
dt
dε
ησ 2
2=
η
σ
dt
dσ
E
1
dt
dε
dt
dε
dt
dε21 +=+=
dt
dε
E
dt
dσ11 =
dt
dσ
E
1
dt
dε
η
σ−=
dt
dσ
E
η
dt
dε
ησ −=
: (équation rhéologique des temps)
Relaxation : ε = ε0
t)
η
E
exp(K σ(t)dt
η
E
σ(t)
σ(t)d
dt
σ(t)d
E
η
σ−=−=−=
à t = 0
t)
η
E
exp(εE σ(t)kεEσ000 −===
( )
)
τ
t
exp(Et)
η
E
exp(E
ε
tσ
t),r(ε
0
0−=−==
Fluage :
cteσσ 0==
dt
dε
ησ =
( )
Ct
η
σ
tε0+=
à t = 0
E
σ
t
η
σ
ε(t)εt
η
σ
ε(t)Cε00
0
0
0+=+==
E
1
t
η
1
σ
ε(t)
t),(σf
0
0+==
b) Pour un solide de KELVIN-VOIGT :
21 εεε ==

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3
21 σσσ +=
11 εEσ=
dt
dε
ησ 2
2=
dt
dε
ηεEσ2
1+=
Relaxation : ε = ε0
= 0
εEσ
E
ε
σ
t),r(ε
0
0==
Fluage :
cteσσ 0==
dt
dε
ηεEσ0+=
dt
η
E
-
ε
dε=
−=+−= t
η
E
expKεCt
η
E
lnε
−+
−−
−= t
η
E
expη(t)K't
η
E
exp
η
K(t)E
ηt
η
E
expK(t)Eσ0
−= t
η
E
expη(t)K'σ0
=t
η
E
exp
η
σ
K' 0
Ct
η
E
exp
E
σ
K0+
=
−+= t
η
E
expC
E
σ
ε0
A t = 0
−−=== t
η
E
exp
E
σ
E
σ
ε(t)
E
σ
-C0ε000
−−= t
η
E
exp1
E
1
t),( f 0
EXERCICE n°3
Le comportement mécanique d'une éprouvette en PE (l = 100 mm, S = 40 mm2) peut
être représenté par un modèle rhéologique constitué par deux éléments en série:
- un élément visqueux : η = 7,2 1011 poises
- un élément élastique : E = 1010 dynes/cm2
Cette éprouvette est soumise à une expérience de fluage effectuée sous une charge de
160 kg. Sachant que le matériau ne peut pas supporter dans ces conditions un allongement
supérieur à 6% de sa valeur initiale, au bout de combien de temps interviendra la rupture.
Correction
Série : liquide de Maxwell
Fluage
E
σ
t
η
σ
ε(t) 00 +=

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4
ΔL = 6 %. 100 = 6
0,06
L
ΔL
ε
0
==
2
dynes/cm
6
10.392,4
2
N/m
6
1039,24
6
1040
9,81160
S
F
σ==
−
==
1 Pascal = 1 N/m2 = 10 dynes/cm2
s
5
10 . 738,1 = t
t
9-
= 5,45.10
2-
2,076.10
6
. 10
)
10
392,4
t
107,2 392,4
( 0,06 1011 +=
On a:
heures 1060.28 = t
t égal à peu près : 1 mois et 1/2
EXERCICE n°4
On veut assurer l'étanchéité de fermeture d'un récipient en intercalant entre ses surfaces
d'appuis et le couvercle un joint constitué par un élastomère. Sachant que son comportement à
la compression peut être représenté par un modèle de Maxwell.
1°) Décrire le comportement de ce joint en fonction du temps, en particulier donner en la
démontrant la loi des variations de sa réaction de pression sur les appuis.
2°) Calculer son module d'élasticité E et sa viscosité η sachant que:
a) le blocage du système de fermeture du couvercle provoque un écrasement du joint
de 10 % et que sa réaction de pression initiale est de 106 dynes/cm².
b) Dans 30 jours, cette réaction de pression baisse de 10 %.
3°) Si l'on admet que l'étanchéité ne sera plus assurée lorsque la réaction de pression aura
perdue 90% de sa valeur initiale, calculer le temps au bout de duquel ce manque d'étanchéité
apparaît.
Correction
1°)
Pour un liquide de Maxwell
21 εεε +=
21 σσσ ==
11 εEσ=

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dt
dε
ησ 2
2=
η
σ
dt
dσ
E
1
dt
dε
dt
dε
dt
dε21 +=+=
dt
dε
E
dt
dσ11 =
dt
dσ
E
1
dt
dε
η
σ−=
dt
dσ
E
η
dt
dε
ησ −=
Relaxation : ε = ε0
t)
η
E
exp(K σ(t)dt
η
E
σ(t)
σ(t)d
dt
σ(t)d
E
η
σ−=−=−=
à t = 0
t)
η
E
exp(εE σ(t)kεEσ000 −===
2°)
a) t = 0 (
0
ε
= 0,1)
( )
dynes/cm²10
ε
tσ
E7
0
==
b) t = 30 jours = 30 . 24 . 3600 = 2592000 s
E = 107 dynes/cm² σ = 9 105 dynes/cm² et ε = 0,1
9.105 = 107 . 0,1 . exp[- 107 . 2592000 / ]
-0,9 = exp[107 . 2592000 / ]
poises102,46
εE
σ
Log
tE
η14
0
=−=
3°) E = 107 dynes/cm² σ = 105 dynes/cm² ε = 0,1 et η = 2,46 poises
105 = 107 . 0,1 . exp[-107 . t / 2,46 . 1014]
- 2,3 = [- 107 / 2,46 . 1014] . t
jours655s105,66
εE
σ
ln
E
η
t7
0
=−=
1 an + 290 jours (1 an + 9,5 mois)
EXERCICE n°5
L’étude de la viscosité newtonienne limite 0 de fractions étroites de polystyrène en fonction
de leurs masses moléculaires à la température de 192°C a conduit aux résultats expérimentaux
reportés dans le tableau ci-après :
Fraction
Masse moléculaire
moyenne en poids
0 (poises)
1
5.103
75