Exercice de Rhéologie : Débit en Tube Capillaire

TD rhéologie JAZIRI.M
1
EXERCICE n°1
I) Déterminer l'expression du débit dans un tube capillaire de longueur L et de rayon R en
fonction de la chute de pression ΔP :
1°) Dans le cas d'un fluide Newtonien de viscosité absolue η.
2°) Dans le cas d'un fluide pseudoplastique qui obéit à une loi de puissance (η = k γn-1).
II) Calculer les débits obtenus dans un capillaire de rayon R = 1 mm et de longueur L = 10
mm , pour les pertes de charge ΔP (dynes/cm²) suivantes : 104; 2 104 ; 4 104; 6 104; 8 104;
105.
1°) Dans le cas d'un fluide Newtonien de viscosité η = 103 poises.
2°) Dans le cas d'un fluide pseudoplastique pour lequel:
k (indice de consistance) = 103 CGS
n (indice d'écoulement) = 1/3 CGS.
III) Tracer le profil des vitesses dans les deux cas.
Correction
I)
PrπF2
1
 dz
z
P
PrπF2
2
dzr2πzrτF3
0F 
donc F1 - F2 - F3 = 0
0dzrπ2
zr
τrπdz
z
P2
2
r
z
P
τzr 

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2
1°) cas d'un fluide newtonien
On sait:
r
v
γz
r
v
ηγητ z
zr
2
r
z
P
η
1
τ
η
1
r
vrz  z
C
4
r
z
P
η
1
v2
z
C.L: r = R vz = 0
22
z
2rR
z
P
η4
1
v
4
R
z
P
η
1
C
4
R
z
P
η2
π
4
r
2
rR
z
P
η2
π
drrrR
z
P
η4
π2
drrvπ2Q 4
R
0
4
22
R
0
R
0
22
z
4
R
z
P
η8
π
Q
2°) cas d'un fluide pseudoplastique
n
1
n
1
n
1
zr
z
n
z
zr rA
k2
r
z
P
k
τ
r
v
r
v
kτ
Cr
1n
n
Av n
n1
z
C.L: r = R vz = 0
n
1n
R
1n
n
AC 
n
1n
n
1n
zRr
1n
n
Av
  1n
1
1n
1
n
1
zRr
k2
1
z
P
1n
n
v

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3
2
R
R
1n3
n
1n
Anπ2
R
2
r
r
1n3
n
1n
Anπ2
drRrr
1n
Anπ2
drrRr
1n
Anπ2
drrvπ2Q
n
1n3
n
1n3
R
0
1n
n
2
n
1n3
R
0
1n
n
n
1n2
R
0
n
1n
n
1n
R
0
z
n
1n3
n
1
R
k2
1
z
P
1n3
nπ
Q
II) Application numérique
4
4R
z
P
η8
π
4
R
z
P
η2
π
newtonienQ 
n
1n3
n
1
R
k2
1
z
P
1n3
nπ
tiquepseudoplasQ 
ΔP
(104 dynes/cm²)
Q newtonien
(10-4 cm3/s)
Q pseudoplastique
(10-3 cm3/s)
1
3,93
0,0654
2
7,85
0,524
4
15,7
4,19
6
23,6
14,1
8
31,4
33,5
10
39,3
65,4

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4
III) Profil des vitesses
1°) Dans le cas d'un fluide Newtonien :
22
zrR
L
ΔP
η4
1
v
2°) Dans le cas d'un fluide pseudoplastique :
n
1n
n
1n
n
1
zRr
k2
1
L
ΔP
1n
n
v
Pour ΔP = 104 dynes/cm²
r
vz newtonien (10-1 cm/s)
vz pseudoplastique (cm/s)
0
0,25
3,125
4
R
0,23
3,112
2
R
0,18
2,929
4
R3
0,1
2,136
R
0
0

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5
EXERCICE n°4
On veut déterminer la courbe d'écoulement d'un polymère à l'état fondu, à la
température de 200°C, par rhéomètrie capillaire, sur un domaine restreint de cisaillement, en
utilisant un gradeur (appareil qui sert à la détermination du MFI).
Les résultats de l'essai sont représentés sur le tableau suivant :
M (kg)
4,9
6,2
8,1
10,2
t (s)
50
53
52
48
m (g)
1,04
1,52
2,01
9,58
M : masse surmontant le piston,
m : poids du jonc de polymère récupéré au bout de temps t,
t : temps d'écoulement du jonc de polymère récupéré en sortie de filière.
1°) En considérant dans une première approximation que le comportement du polymère est
newtonien, calculer les tensions et les vitesses de cisaillement correspondantes apparentes à la
paroi (τpa et
pa
γ
).
2°) Déterminer les paramètres de l'équation qui régie l'écoulement du polymère τpa = f (
pa
γ
)
3°) Effectuer les corrections nécessaires (de Rabinovitch et de Bragley) qui tiennent compte
du caractère non Newtonien du polymère.
4°) Calculer les nouveaux paramètres de la loi d'écoulement τp = f (
pa
γ
) obtenus après
correction.
On donne :
- Diamètre du piston = 0,95 cm,
- Diamètre du capillaire = 0,21 cm,
- Longueur du capillaire = 0,8 cm,
- Masse volumique du polymère à 200°C = 0,7 g/cm3,
- Facteur multiplicatif e =1.
Correction
1°)
dynes/cm²M0,735M
2
0,95
π
109,81
Rπ
gM
S
F
ΔP 2
5
2
et
/scm
t.ρ
m
Q3
C002 
Q (cm3/s)
0,0296
0,041
0,0547
0,2582
ΔP (dynes/cm2) 105
67,82
85,81
112,1
140,06