Dérivabilité et régularités : TD Maths PTSI

Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI
TD 15
Dérivabilité et régularités d’ordres supérieurs
LES INCONTOURNABLES
- Études de régularités de fonctions -
Exercice 1 : [corrigé] Déterminer les valeurs de a,bet cpour que la fonction fdéfinie sur R+par :
f(x) = √xsi 0≤x≤1
ax2+bx +csinon soit continue sur R+et dérivable sur R∗
+.
Exercice 2 : [corrigé] Montrer que x7→ x2ln(x)se prolonge en une fonction de classe C1sur R+.Le
prolongement obtenu est-il deux fois dérivable en 0?
Exercice 3 : [corrigé] Soit f:[−1; 1] →R
x7→ xArcsin(1 −x2).
(Q 1) Montrer que fest continue sur [−1; 1].
(Q 2) Montrer que fest de classe C∞sur [−1; 1] − {0}.
(Q 3) Montrer que fest de classe C1sur [−1; 1].
- Utilisations des théorèmes classiques sur la dérivabilité -
Exercice 4 : Soit f:R→Rdérivable et dont la dérivée ne s’annule pas. Montrer que fn’est pas pério-
dique. On pourra raisonner par l’absurde et supposer que fest Tpériodique.
Exercice 5 : [corrigé] On pose : un=
n
X
k=0
1
1 + k2.
1. Montrer que pour tout a≥0,1
1 + (1 + a)2≤arctan(a+ 1) −arctan(a)≤1 1 + a2.
2. En déduire que la suite (un)n∈Nest convergente et donner un encadrement de sa limite ℓ.
- Calculs de dérivées n-ièmes-
Exercice 6 : [indications] [corrigé] Déterminer f(n)pour les fonctions fci-dessous :
(a) f(x) = xe−x;(b) f(x) = x2ex; (c) f(x) = exln(x).
Exercice 7 : [indications]
1. Pour a∈R∗, justifier que la fonction définie par : f(x) = 1
x+aest de classe C∞sur un ensemble D
que l’on précisera et calculer f(n)(x)pour x∈Det n∈N.
2. En déduire une expression simple de la dérivée n-ème de la fonction d’expression : 1
x2−1.
3. Retrouver le résultat ci-dessus en appliquant la formule de Leibniz.
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POUR S’ENTRAÎNER
- Études de régularités de fonctions -
Exercice 8 : [corrigé] Étudier la continuité et la dérivabilité sur leur domaine de définition des fonc-
tions suivantes :
(Q 1) f1(x) = Arcsin(1 −x2);
(Q 2) f2(x) = Arcsin 2√x
1+x;
(Q 3) f3(x) = Arcos( 1
ch(x));
(Q 4) f4(x) = cos √x.
Exercice 9 : [corrigé] Étudier l’ensemble de définition, le prolongement par continuité de la fonction,
et la dérivabilité de celui ci pour la fonction x7→ xx.
Exercice 10 : [corrigé] On pose fla fonction définie sur R∗
+par f(x) = 1 + x2+x5/2cos 1
x.
1. Montrer que fest prolongeable par continuité en 0. On note encore fce prolongement.
2. Montrer que fest dérivable en 0mais n’est pas deux fois dérivable en 0.
Exercice 11 : [corrigé] Déterminer les valeurs de a, b et cpour lesquelles la fonction définie sur R
par :
f(x) = exsi x < 0
ax2+bx +csi x≥0
est de classe C2sur R. La fonction fest-elle trois fois dérivable sur R?
Exercice 12 : [solutions] Étudier la classe des fonctions suivantes :
(Q 1) f(x) = x2ln(x)si x > 0et f(x) = 0 si x≤0
(Q 2) n∈Ngn(x) = xnsi x > 0et gn(x) = 0 si x≤0
- Utilisations des théorèmes classiques sur la dérivabilité -
Exercice 13 : Soit n∈N∗,a < b et f: [a, b]→Rune fonction nfois dérivables. Montrer que :
f(a) = f′(a) = f′′(a) = ... =f(n−1)(a) = 0 et f(b) = 0 ⇒ ∃c∈]a, b[, f (n)(c) = 0
Exercice 14 : Soient x∈R∗
+et ϕla fonction définie sur Rpar ϕ(t) = ex−t−1 + (x−t) + (x−t)2
2−A(x−t)3 6,
avec A∈R.
1. Déterminer une condition sur Apour que ϕvérifie les conditions du théorème de Rolle sur [0; x]. On
suppose dans le suite que cette condition est vérifiée.
2. Vérifier que ϕ(x) = ϕ′(x) = ϕ′′(x) = 0. En déduire l’existence de c∈]0; x[tel que ϕ(3)(c) = 0, puis :
A=ex−c.
3. À l’aide des deux questions précédentes, montrer que pour tout x∈R∗
+,
ex−1 + x+x2
2
≤x3ex
6.
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Exercice 15 :
Soit f:R→R, dérivable, telle que lim
x→+∞f(x) =
lim
x→−∞ f(x) = +∞, montrer qu’alors ∃c∈R, f ′(c) = 0
01234−1−2−3−4
0
−2
2
4
6
b
A
b
B
x
M
Exercice 16 : . Soit g:R→Rde classe C2telle que g(0) = g(3) = 0 et g(1)g(2) <0. Montrer que g′′
s’annule.
Exercice 17 :
1. Soit f:R→Rdérivable. Montrer que si f′>0alors fest injective.
2. Soit f:R→Rde classe C1.Montrer que si fest injective alors f′ne s’annule pas et fest strictement
monotone.
Exercice 18 : En appliquant l’inégalité des accroissements finis, montrer que
∀x≥0; x≤ex−1≤xex.
Exercice 19 : [corrigé] En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que
|(27 001)1/3−30| ≤ 1
2700 .
Exercice 20 : [corrigé] Soit f:]1; +∞[→R
x7→ ln(ln(x)) .
(Q 1) Soit k∈N− {0; 1}.Montrer que
1
(k+ 1) ln(k+ 1) ≤ln(ln(k+ 1)) −ln(ln(k)) ≤1 kln(k)
(Q 2) En déduire que la suite de terme général :
n
X
k=2
1
kln(k)diverge.
Exercice 21 : [corrigé] Soit u0∈R. On définit une suite (un)n∈Npar : ∀n∈N, un+1 =eun
eun+ 1.
(Q 1) Montrer que : ∀n∈N∗, un∈[0,1].
(Q 2) Montrer qu’il existe un unique α∈Rtel que eα
eα+ 1 =αet qu’on a α∈]0,1[.
(Q 3) Montrer que : ∀n∈N,|un+1 −α| ≤ 1
4|un−α|
(Q 4) En déduire que : ∀n∈N,|un−α| ≤ 1
4n
|u0−α|
(Q 5) En déduire que (un)n∈Nconverge et déterminer sa limite.
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- Calculs de dérivées n-ièmes-
Exercice 22 : [corrigé] Calculer les dérivées successives des fonctions suivantes :
(Q 1) f(x) = cos2x
(Q 2) g(x) = 1−x
1+x
(Q 3) h(x) = x(x−2)p(p∈N).
Exercice 23 : Démontrer que pour tout entier naturel n∈N∗et x∈R,arctan(n)(x) = Pn(x)
(1 + x2)noù Pnest
une fonction polynômiale. Donner une relation entre Pn+1 et Pn.
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Exercice 24 : [corrigé] On considère la fonction définie sur R∗par : f(x) = e−1/x2.
1. Montrer que fest de classe C∞sur R∗.
2. Montrer que pour tout n∈N∗et x∈R∗,f(n)(x) = Pn1
xe−1/x2, où Pnest une fonction polynô-
miale. En déduire lim
x→0f(n)(x).
3. On pose : P(n)«f(n)admet un prolongement de classe C1sur Ren posant : f(n)(0) = 0 ». Montrer
par récurrence que P(n)est vraie pour tout entier naturel n.
4. Montrer que fadmet un prolongement de classe C∞sur R.
- Divers -
Exercice 25 : [corrigé] On cherche à déterminer toutes les fonctions f:R→Rcontinues sur R,
dérivables en 0et telles que ∀x∈R, f (2x) = 2f(x).
1. Soit fune fonction vérifiant la relation ci-dessus.
(a) Déterminer la valeur de f(0).
(b) Pour x6= 0, on pose : g(x) = f(x)
x. Vérifier que gadmet un prolongement par continuité sur R
que l’on précisera et que l’on notera encore g.
(c) Montrer que pour tout n∈N, g(x) = gx
2n. En déduire l’expression de f.
2. Étudier la réciproque.
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