nombres-complexes-1-corrige-serie-d-exercices-1-2

Prof/ATMANI NAJIB 1
Exercices d’applications et de réflexions sur les nombres complexes (Partie 1)
Exercices avec solutions
2ème BAC Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre (2BAC PC et SVT)
PROF: ATMANI NAJIB
Exercice 1 : Trouver la forme algébrique et
déterminer la parties réelles et imaginaires des
nombres complexes suivants :
²2112
1iiiz 
3
213zi
313
3i
zi
41
32
i
zi
10
51zi
Solution :1)
165z i a bi    
donc
1
Re 6z
et
1
Im 5z
2)
3 2 3
32
21 3 1 3 1 3 3 1 3 3z i i i i         
21 3 3 3 3 3 3 8 0z i i i        
car
2
Im 0z
3)
32
1 3 3
1 3 3 9 3 6 8
3 3 3 10
9
ii
i i i i
zi i i i
36 8 3 4
10 10 5 5
ii
z   
donc
13
Re 5 z
et
14
Im 5 z
4)
42
1 3 2
1 3 2 3 2 1 5 1 5
3 2 3 2 3 2 13 13 13
94
ii
i i i i
zi
i i i i
5)
55
10 2 5
22
51 1 1 2 1 2z i i i i i        
2
55 5 2
52 2 32 32z i i i i i      
est un imaginaire pur car
5
Re 0z
Exercice 2 :soient dans le plan complexe les
points :
1Ai
et
12
2
Bi
et
1Ci
Montrer que les les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés.
Solutions :
1 1 1
21
2 2 21
1 1 2 2
22
BA
CA
i i i i
zz
z z i i i i
Donc : les les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 sont alignés
Exercice 3 :soient dans le plan complexe les
points :
2; 3A
et
1;1B
et
1;2C
1)Determiner les affixes des points
A
et
B
et
C
?
2)Determiner l’affixe du vecteur
AB
3) Déterminer l’affixe de 𝐼, milieu de [𝐴𝐵].
4)Montrer que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ne sont pas
alignés.
5) Déterminer le barycentre de {(𝐴, 2); (𝐵,−1), (𝐶, 3)}
6) Déterminer l’affixe du point 𝐷 pour que le
quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 soit un parallélogramme.
Solutions :1) l’affixe du point
A
est
23
A
zi
l’affixe du point
B
est
1
B
zi
l’affixe du point
C
est
12
c
zi
2) 𝑎𝑓𝑓(
AB
)= 𝑎𝑓𝑓(𝐵) − 𝑎𝑓𝑓(𝐴) = 𝑧B – 𝑧A
1 2 3 1 4
AB
z i i i      
3)
2 3 1 3 2 3
2 2 2 2
AB
Izz i i i
zi
4)
1 2 2 3 15
1 2 3 1 4
CA
BA
ii
zz i
z z i i i
22
1 5 1 4 1 4 5 20
1 4 1 4 14
iiii
ii i
21 21 1
17 17 17
CA
BA
zz ii
zz
Donc : les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ne sont pas alignés.
5) le barycentre de {(𝐴, 2); (𝐵,−1), (𝐶, 3)} ?
NOMBRES COMPLEXES(Partie 1)

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2 1 3
2 1 3
A B C A B C
Gz z z z z z
z
2 2 3 1 1 3 1 2 6 3 1
2 1 3 4 2 4
Gi i i i
zi
6) ABCD est un parallélogramme si et seulement
Si
AB DC
c’est-à-dire :
B A C D
z z z z  
D C A B
z z z z  
On en déduit en remplaçant par les données :
1 2 2 3 1 2 2
D
z i i i i       
Exercice 4 : soient dans le plan complexe les
points :A ; B ; C ; D ; E d’affixes respectivement :
izA1
et
izB23
et
izC 2
et
izD2
et
2
E
z
1)Représenter ces points dans le plan complexe
2) Déterminer l’affixe de 𝐼 milieu de [𝐴𝐵].
3)Determiner l’affixe du vecteur
AB
4)montrer que le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un
parallélogramme
Solution : 1)
𝐼 milieu de [𝐴𝐵]. Donc :
AI IB
donc
I A B I
z z z z
Donc :
2
BA
Izz
z
donc :
3 2 1 3
2
22
Iii
zi
Donc :
3
2; 2 I
3)
3 2 1 3 2 1 2
BA
AB
z z z i i i i i           
4)il suffit de monter que :
AB DC
On a :
2
AB
zi
2 2 2
CD
DC
z z z i i i       
Donc :
AB DC
zz
par suite :
AB DC
Donc : le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme
Exercice 5 :Démontrer que
55
11S i i   
est
un nombre réel.
Solution :On a :
55
5 5 5 5
1 1 1 1 1 1S i i i i i i           
55
11S i i S    
S est donc bien un nombre réel.
Exercice 6 :on pose :
13
22
ji  
et
2nn
S j j
n
1)montrer que :
2
jj
2)Démontrer que :
Si
n
Solution :1)
22
2
21 3 1 1 3 3 1 3 3
2
2 2 2 2 2 2 4 4 2
j i i i i
213
22
j i j   
2)il suffit de montrer que :
0SS
2 2 2 2
nn
n n n n n n
S S j j j j j j j j        
2n
nn
nn
n n n
S S j j j j j j j j        
0
nn
nn
S S j j j j     
S est donc bien un imaginaire pur
Exercice 7 :soit
u
tel que
u
Montrer que :
z
11uz u z    
z
Solution :1) soit
z
tel que :
11uz u z   
Donc :
2
2
11uz u z   
Donc :
1 1 1 1uz uz u z u z      

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Donc :
1 1 1 1uz uz u z u z      
Car :
uu
Donc :
11uz uz uuzz uz uz uuzz      
Donc :
uz uz uz uz  
Donc :
0u u z u u z   
Donc :
0u u z z  
Et puisque :
0uu
car
u
Donc :
0zz
Donc :
zz
Donc :
z
Exercice8:
z
Ecrire en fonction de
z
le conjugué des nombres
complexes suivants :
1)
125Z i i  
2)
225Z z i
3)
31
3
z
Zzi
Solution :
1)
12 5 2 5 2 5Z i i i i i i         
2)
22 5 2 5 2 5Z z i z i z i     
3)
31 1 1
333
z z z
Zzi z i z i
Exercice 9: Résoudre dans ℂ les équations
suivantes :
1)
2 5 4z iz i  
2)
2 2 6z z i  
Solution :1)
z
donc :
x
et
y
/
z x yi
2 5 4 2 5 4z iz i x yi i x yi i        
25
2 2 5 4 24
xy
x y i y x i yx
25
2 5 2 5 13
4 2 8 4 2 2 8 5 3 13 3
xy
x y x y
y x y x x y yy
Donc :
14
3
x
par suite:
14 13
33
zi
Donc :
14 13
33
Si
2)
z
donc :
x
et
y
/
z x yi
2 2 6 2 2 6z z i x yi x yi i        
Donc :
22Si
Exercice10 : dans le plan complexe on considére le
nombre complexe
U
et soit
M
l’image du nombre
complexe
z
et on pose :
21U z i z  
Et
z x yi
avec
x
et
y
1)écrire en fonction de
x
et
y
la partie réel et la
partie imaginaire de
U
2) Déterminer l’ensemble
des points 𝑀(𝑧) du
plan tels que :
U
est réel
3) Déterminer l’ensemble
C
des points 𝑀(𝑧)
tels que :
U
est imaginaire pur
Solution :1)
z x yi
avec
x
et
y
Donc :
21U x yi i x yi    
Donc :
21U x i y x yi    
Donc :
22 2 2 2U x y x y i y x       
Donc :
22
Re 2U x y x y   
et
Im 2 2U y x   
2)
U
est réel ssi
Im 0U
: 2 2 0yx    
Donc : l’ensemble
des points 𝑀(𝑧) du plan tels
que :
U
est réel est la droite d’équation :
: 2 2 0yx    
3)
U
est imaginaire pur ssi
Re 0U
22 20x y x y    
22
2 2 2 2
1 1 1
2 2 1 1 1 0
2 2 2
x x y y

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2
22
22
1 5 1 5
11
2 4 2 2
x y x y 
l’ensemble
C
des points 𝑀(𝑧) tels que :
U
est
imaginaire pur est le cercle de centre :
1;1
2
et de rayon :
5
2
R
Exercice11 :
A) Résoudre dans ℂ les équations suivantes :
1)
2 3 1 2 0z z i   
2)
1 3 2 0z i z i    
3)
3i z z i   
B) Déterminer les ensembles suivants :
1) (E1) = {𝑀(𝑧) /
2zi
zi
∈ ℝ}
2) (E2) = {𝑀(𝑧) /
2zi
zi
∈ 𝑖ℝ}
Exercice12 :Démontrer que :
2 1 2 1
33
nn
S i i
est un nombre
réel
n
Solution :On a :
21
2 1 2 1
21
3 3 1 3
n
nn
n
i i i
Donc:
2 1 2 1
33
nn
ii
car
21
11
n
Donc :
2 1 2 1
33
nn
S i i
2 1 2 1 2 1 2 1
3 3 3 3
n n n n
S i i i i
2 1 2 1 2 1 2 1
3 3 3 3
nn nn
S i i i i
Donc :
SS
donc S est bien un nombre réel.
Exercice13 : dans le plan complexe on considére le
nombre complexe
U
et soit
M
l’image du nombre
complexe
z
et on pose :
2U iz z
Et
z x yi
avec
x
et
y
1)écrire en fonction de
x
et
y
la partie réel et la
partie imaginaire de
U
2) Déterminer l’ensemble
des points 𝑀(𝑧) du
plan tels que :
U
est réel
Solution :1)
z x yi
avec
x
et
y
Donc :
2 2 2U i x yi x yi ix y x yi       
Donc :
22U y x i y x    
Donc :
Re 2U y x  
et
Im 2U y x
2)
U
est réel ssi
Im 0U
: 2 0yx  
Donc : l’ensemble
des points 𝑀(𝑧) du plan tels
que :
U
est réel est la droite d’équation :
:2yx  
Exercice 14 :calculer le module des nombres
complexes suivants : 1)
13
22
zi
2)
34zi
Solution :
2
2
1 3 1 3 1 3 11
2 2 2 2 4 4
zi 
22
2
3 4 3 4 25 5; 2 2 2z i i
Exercice15 :
A) Déterminer les modules des complexes
suivants :
1)
133zi
2)
213
2
zi
3)
21
1
zi
4)
4
zx
où 𝑥 ∈ ℝ
B) Ecrire sous la forme algébrique les complexes
suivants puis déterminer leurs modules :
1)
125
13
i
ui
2)
21
32
i
ui
3)
32 3 2u i i  
C) Déterminer l’ensemble des points 𝑀(𝑧)

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tels que : A(𝑧) ;B(
z
) et C(
1
z
) soit alignés.
Exercice16 :calculer le module des nombres
complexes suivants : 1)
15 1 3zi
2)
iiz  31
2
3)
3
3131 
i
i
z
Solution :
1)
15 1 3 5 1 3 5 1 3 10z i i        
2)
21 3 1 3 2 4 2 2z i i i i         
3)
3
3
33
3
13
1 3 1 3 1 3
1 1 1 1
i
iii
zi i i i
33
342 2 2
2
z
Exercice17 :Le plan complexe est rapporté à un
repère orthonormé
;;O u v
; les points A, B et C
ont pour affixes:
2
A
z
et
izB31
et
33 izC
Montrer que le triangle ABC est équilatéral
Solution :il suffit de montrer que :
AC BC  
2
2
1 3 2 1 3 1 3 4 2z z i i
2
2
3 3 2 1 3 1 3 4 2
C
C z z i i
3 3 1 3 2 2
CB
BC z z i i       
Donc :
AC BC  
Exercice18 : Déterminer l'ensemble
des
points d'affixe tels que :
1 2 7 2z i z i    
Solution :
Methode1 : Méthode géométrique :
1 2 7 2 1 2 7 2z i z i z i z i          
On pose :
12
A
A z i
et
72
B
B z i
M A M B
z z z z AM BM     
L'ensemble
cherché est la médiatrice du
segment
AB
Methode1 : Méthode algébrique :
z
donc
x
et
y
tel que :
z x yi
1 2 7 2 1 2 7 2z i z i x yi i x yi i            
1 2 7 2x i y x i y       
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 7 2 1 2 7 2x y x y x y x y               
2 2 2 2
2 1 4 4 14 49 4 4x x y y x x y y           
12 8 48 0 :3 2 12 0x y x y        
Exercice19:Déterminer l'ensemble des points
d'affixe tels que :a)
35zi  
b)
4 5 2z i z   
Solution :
a) Soit le point d'affixe
3i
L'ensemble cherché est le cercle de centre A et
de rayon .
b) Soient B et C les points d'affixes
45i
et
L'ensemble cherché est la médiatrice du
segment
BC
Exercice20 :Déterminer l'ensemble
C
des points
d'affixe tels que :
23zi
Solution :
Methode1 : Méthode géométrique :
23zi
On pose :
2
A
A z i
33
MA
z z AM    
L'ensemble
C
cherché est le cercle de centre :
0;2A
et de rayon :
3R
Methode1 : Méthode algébrique :
z
donc
x
et
y
tel que :
z x yi
2 3 2 3 2 3z i x yi i x i y         