Théorie des groupes : Définitions, morphismes et sous-groupes

GROUPES
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GROUPES
Groupe
On appelle groupe un ensemble Gmuni d’une loi de
composition interne ?vérifiant :
•la loi ?est associative:
8x, y, z 2G:(x?y)?z=x?(y?z)
•Gpossède un élément neutre: 9e2Gtel que
8x2G, x ?e=e?x=e
•Tout élément xde Gadmet un symétrique, c’est-
à-dire 8x2G,9x02Gtel que x?x
0=x0?x=e
Si de plus 8x, y 2G:x?y=y?x, on dit que la loi ?est
commutative, et que le groupe est abélien.
Groupe produit
Soit (G1,?
1)et (G2,? 2)deux groupes.
En définissant dans G1⇥G2la loi ?par:
8(a, b),(c, d)2G1⇥G2,(a, b)?(c, d)=(a?
1c, b ?2d)
Alors (G1⇥G2,?)est un groupe d’élément neutre
(eG1,e
G2). Un tel groupe est appelé le groupe produit
SOUS-GROUPE
Sous-groupe
Soit (G, .)un groupe. Une partie H⇢Gest un sous-
groupe de G
() 8
<
:
H6=;;
8x, y 2H:x.y 2H;(x+y2H)
8x2H:x12H(x2H)
() (H6=;;
8x, y 2H:x.y12H. (xy2H)
Théorème
Un sous-groupe d’un groupe est un groupe.
Les sous-groupes de (Z,+)
Soit Hun sous groupe de Z, alors il existe un unique
entier n2Ntel que H=nZ
SOUS-GROUPES ENGENDRÉ
Sous-groupe engendré
•L’intersection d’une famille non vide de sous-
groupes est un sous-groupe
•<S>l’intersection de tous les sous-groupes de
Gcontenant S⇢Gest le plus petit sous-groupe
de (G, .), au sens de l’inclusion, contenant S, dit le
sous-groupe engendré par S
Exemple
Pour a2G,<a>={ak,k2Z}.
En notation additive <a>={ka , k 2Z}
MORPHISMES DE GROUPES
Morphismes de groupes
Soit deux groupes (G, .)et (G0,?)d’éléments neutres re-
spectifs eGet eG0. Soit f:G! G0une application. On
dit que fest un morphisme de groupes si pour tous x
et yéléments de G:
f(x.y)=f(x)?f(y)
Si de plus fest bijectif, on dit que fest un isomor-
phisme de groupes
Opérations de morphismes
•La composée de deux morphismes de groupes est
un morphisme de groupes;
•L’application réciproque d’un isomorphisme de
groupe est un isomorphisme de groupes
Propriétés de morphismes
Soit f:(G, .)!(G0,?)un morphisme de groupes.
Alors pour tout x, y 2Get n2Z:
1. f(eG)=eG0
2. f(x1)=f(x)1
3. fxy1=f(x)?f(y)1
4. f(xn)=f(x)n
IMAGE ET NOYAU
Images de sous-groupes
Soit f:(G, .)!(G0,.)un morphisme de groupes. Alors
•Si Hest un sous-groupe de G, alors f(H)est un
sous-groupe de G0.
•Si H0est un sous-groupe de G0, alors f1(H0)est
un sous-groupe de G.
En particulier
•f1({e0}), le noyau de f, est un sous-groupe de
G. On le note Ker(f).
•f(G), l’image de f, est un sous-groupe de G0. On
le note Im (f)
Injectivité et surjectivté
Un morphisme de groupe f:(G, .)!(G0,?)est
1. injectif si, et seulement, si Kerf={eG}
2. surjective si, et seulement, si Imf=G0
ORDRES
(G, .)un groupe d’élément neutre eGet a2G.
L’application 'a:Z! <a>,k7! akest un morphisme de
groupes, il existe donc un unique n2Ntel que Ker'a=nZ
Définition
•Si n=0, alors on dit que aest d’ordre infini
•Si n2N⇤, alors on dit que aest d’ordre fini et n
est appelé l’ordre de a.
On note alors (a)=n
Exemple
eGle seul élément de Gd’ordre 1
Ordre d’un groupe
Si Gest fini, son cardinal est appelé son ordre
Caractérisation de l’ordre
Les affirmations suivantes sont équivalentes :
1. aest d’ordre fini;
2. il existe k2N⇤tel que ak=e.
Dans ce cas
(a)=min{k2N⇤|ak=e}
et aussi l’unique entier nde N⇤tel que l’on ait :
8k2Z,a
k=e() n|k
Ordre des itérés
Si a2Gest d’ordre fini net r2Z, alors
(ar)= n
n^r
Exemple
Pour tout k2Z.
nZ, l’ordre de kdans ⇣Z. nZ,+⌘est
k=n
n^k
Ordre et cardinal
Si aest d’ordre n, alors
•Le groupe <a>est de cardinal net
<a>:= e, a, ··· ,a
n1
•<a>est isomorphe à ⇣Z.
nZ,+⌘
Corollaire
Si aest d’ordre fini, alors (a)=Card (<a>)
GROUPES MONOGÈNE,CYCLIQUE
Groupe monogène, groupe cyclique
1. S’il existe x2Gtel que <x>=G, le groupe est
dit monogène.
2. Un groupe cyclique est un groupe monogène fini.
Propriété
Tout groupe monogène est abélien
Classification
Soit G=<a>un groupe monogène, alors
•Si Gest infini, il est isomorphe à Z
•Si Gest d’ordre n, il est isomorphe à ⇣Z.
nZ,+⌘
Générateurs d’un gr monogène
Soit G=<a>un groupe monogène
1. Si Gest infini, alors aet a1sont les seuls généra-
teurs de <a>
2. Si Gest cyclique, alors les générateurs de Gsont
exactement aravec r2[[ 0 ,n1]] et r^n=1
Générateurs de Z/nZet de Un
Soit k2[[ 0 ,n1]] et !=ei2⇡
n
•kengendre ⇣Z.
nZ,+⌘() n^k=1
•!kengendre (Un,⇥)() n^k=1
THÉORÈME DE LAGRANGE
de Lagrange
Soit Gun groupe fini. Alors:
1. Tout élément de Gest d’ordre fini;
2. l’ordre de tout élément ade Gdivise l’ordre du
groupe. C’est-à-dire aCardG=eG
Groupe d’ordre premier
Soit Gun groupe fini d’ordre premier p. Alors Gest
cyclique.

ANNEAUX
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ANNEAUX ET CORPS
Anneau
Soit Aun ensemble et +et ⇥deux lois de composi-
tion interne sur A. On dit que (A, +,⇥)a une structure
d’anneau lorsque :
•(A, +) est un groupe abélien d’élément neutre 0A;
dit le neutre de A
•⇥est associative, distributive par rapport à +et
elle admet un élément neutre 1A; dit l’unité de A
Si de plus ⇥est commutative, on dit que (A, +,⇥)est
un anneau commutatif.
Anneau intègre
Un anneau (A, +,⇥)est dit intègre s’il est commutatif
et 8a, b 2A, a ⇥b=0)a=0ou b=0
Groupes des unités
Soit (A, +,⇥)un anneau.
U(A)l’ensemble des éléments inversibles muni de ⇥est
un groupe appelé groupe des inversibles.
Corps
(K, +,⇥)est corps ssi :
•(K, +,⇥)est un anneau commutatif
•0K6=1
K
•U(K)=K⇤=K\{0}
Tout corps est un anneau intègre
L’ensemble Z.
nZ
•(Z/nZ,+,⇥)est un anneau commutatif.
•U⇣Z.
nZ⌘={x, x 2[[ 0 ,n1]] et x^n=1}
•Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. nest premier;
2. Z/nZest un corps;
3. Z/nZest intègre
Sous-anneau
Soit (A, +,⇥)un anneau. Un sous-ensemble Bde Aest
dit sous-anneau de Asi, et seulement, si
•1A2B
•Pour x, y 2B,xy2Bet x⇥y2B
Auquel cas Bmuni des lois restreintes est un anneau
Sous-corps
Soient (K,+,⇥)un corps. On dit qu’une partie Lde K
est un sous-corps de Ksi et seulement si :
•Lest un sous-anneau de K
•8x2L\{0},x
12L
Auquel cas Lmuni des lois restreintes est un corps
MORPHISME D’ANNEAUX
Morphisme d’anneaux
Soient A,A0deux anneaux. Une application f:A!A0
est dite morphisme d’anneaux si:
f(1A)=1
A0et 8(x, y)2A2:
f(x+y)=f(x)+f(y)et f(xy)=f(x)f(y).
Même définition que morphisme de corps.
Kerf=f1({0A0})et Im(f)=f(A).
fest injective ssi Kerf={0A}
Propriété
Les images, directe et réciproque, d’un sous-anneau par
un morphisme d’anneaux est un sous-anneau
IDÉAUX D’UN ANNEAU COMMUTATIF
Idéal
On appelle idéal d’un anneau commutatif Atout
sous-groupe additif Ide Avérifiant:
8(a, b)2A⇥I, ab 2I
Propriété
Soit Iun idéal de A. Alors
I=A() 1A2I() U(A)\I6=;
Les seuls idéaux d’un corps Ksont Ket {0}.
Images d’un idéal
•L’image réciproque (directe ) d’un idéal par un mor-
phisme d’anneaux (surjectif) est un idéal
•Le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal
Idéal engendré par une partie
Soit Sune partie d’un anneau A. On appelle idéal
engendré par Sl’intersection de tous les idéaux de A
contenant S: c’est donc le plus petit idéal (au sens de
l’inclusion) de Acontenant S.
Idéal principal
L’idéal qui engendré par un singleton {a}est dit princi-
pal
aA ={ab |b2A}
Les idéaux de Z
Soit Iun idéal de Z, alors il existe un unique n2Ntel
que I=nZ.
En conséquence pour tous a, b 2Z, alors
1. aZ+bZ=pgcd(a, b)Z.
2. aZ\bZ=ppcm(a, b)Z.
Les idéaux de K[X]
Tout idéal Ide K[X]peut s’écrire de façon unique sous
la forme : PK[X]avec P2K[X]normalisé.
En conséquence pour tous P, Q 2K[X]
1. PK[X]+QK[X]=pgcd (P, Q)K[X];
2. PK[X]\QK[X]=ppcm (P, Q)K[X].
INDICATEUR D’EULER
Indicateur d’Euler
Soit n2N⇤, on note '(n)=Card ⇣U⇣Z.
nZ⌘⌘.
L’application 'est appelée l’indicateur d’Euler
Calcul de '
1. Si m^n=1, alors '(mn)='(m)'(n)
2. Soit pun nombre premier et k2N⇤, alors
'(pk)=pkpk1
3. Si n=
r
Y
i=1
pki
iest la décomposition en facteurs pre-
miers de l’entier n. Alors
'(n)=
r
Y
i=1 ⇣pki
ipki1 i⌘=n
r
Y
i=1 ✓11
pi◆
Théorème d’Euler
Soit nun entier strictement positif et aun entier premier
avec n, alors a'(n)⌘1(modn).
Si nest premier on retrouve le thm de Fermat
POLYNÔMES IRRÉDUCTIBLES
Définition
P2K[X]un polynôme, non constant, est dit irré-
ductible dans K[X]ssi ses seuls diviseurs sont les con-
stantes et les polynômes qui lui sont associés.
Polynômes complexes irréductibles
Les polynômes irréductibles dans C[X]sont les
polynômes de degré 1.
Tout polynôme Pnon constant de C[X]possède une
unique décomposition, à l’ordre près, de la forme:
P=A
r
Y
i=1
(Xi)↵i
dans laquelle :
•Aest le coefficient dominant de P;
•1,··· ,
rsont les racines distinctes de Pet
↵1,··· ,↵
rla suite des multiplicités associées
Polynômes réels irréductibles
Les polynômes irréductibles dans R[X]sont:
1. les polynômes de degré 1 ,
2. les polynômes de degré 2 de discriminant <0
Tout polynôme Pnon constant de R[X]possède une
unique décomposition, à l’ordre près, de la forme:
P=A
r
Y
i=1
(Xi)↵i⇥
s
Y
j=1
(X2+bjX+cj)j
dans laquelle :
•Aest le coefficient dominant de P;
•1,··· ,
rsont les racines réelles distinctes de P
et ↵1,··· ,↵
rla suite des multiplicités associées
•les polynômes X2+bjX+cjsont deux à deux
distincts et irréductibles dans R[X]
ALGÈBRES
Algèbre
Soit un corps commutatif Ket un ensemble Amuni de
deux lois de composition interne +,⇥et d’une loi de
composition externe ".". On dit que (A, +,⇥,.)est une
algèbre sur Ksi et seulement si :
1. (A, +,.)est un K-espace vectoriel;
2. (A, +,⇥)est un anneau ;
3. 8x, y 2A, 8↵2K,
↵.(x⇥y)=(↵.x)⇥y=x⇥(↵.y)
Sous-algèbre
Soit (A, +,⇥,.)une K-algèbre et B⇢A. On dit Best
une sous-algèbre de Asi, et seulement, si
1. 1A2B
2. 8x, y 2B,8↵,2K↵x+y2B
3. 8x, y 2B, x ⇥y2B
Alors munie des lois restreintes, Best une K-algèbre.
Morphisme d’algèbres
Soient (A, +,⇥,.)et (A0,+,⇥,.)deux K-algèbres. On
dit f:A!A0est un morphisme d’algèbres si et seule-
ment si:
1. f(1A)=1
A0
2. 8x, y 2A, 8↵,2K,
f(↵x+y)=↵f(x)+f(y)
3. 8x, y 2A, f(x⇥y)=f(x)⇥f(y)
THÉORÈMES D’ARITHMÉTIQUES
Adésigne Zou K[X]
ppcm et pgcd
Soit a, b 2A
•pgcd(a, b)A=aA +bA.
•ppcm(a, b)A=aA \bA
de Bezout
a^b=1() 9 u, v 2A;au +bv =1
Lemme de Gauss
Soient a, b, c 2A. Alors ⇢a|bc
a^b=1 )a|c.

RÉDUCTION
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ÉLÉMENTS PROPRES
Éléments propres
•Soit 2K. On dit que est valeur propre de us’il
existe x2E\{0}tel que u(x)=x.
•Soit x2E. On dit que xest vecteur propre de usi
x6=0et s’il existe 2Ktel que u(x)=x.
•L’ensemble des valeurs propres d’un endomor-
phisme est appelé le spectre de uet noté SpK(u).
•Soit 2Sp(u).E(u)=Ker (u·IdE)est un
sev de Edistinct de {0E}appelé le sous-espace
propre de uassocié à 
Caractérisation en dim finie
Si Eest de dimension finie n>1, alors
2Sp (u),(u·IdE)n’est pas injectif
,(u·IdE)n’est pas surjectif
,(u·IdE)n’est pas bijectif
,rg (u·IdE)<n
,det (u·IdE)=0
Éléments propres d’une matrice
Les éléments propres d’une matrice Asont ceux de
l’endomorphisme canoniquement associé
uA:⇢Mn,1(K)! Mn,1(K)
X7! AX
On écrit Aà la place de uA
POLYNÔME D’ENDOMORPHISME
Définition
Soit P=
n
X
i=0
aiXi2K[X].
P(u):=
n
X
i=0
aiuiet P(A):=
n
X
i=0
aiAi
Propriété
Si A= Mat
B(u)alors P(A) = Mat B(P(u)).
Propriété
Soit u2L(E),A2Mn(K). Soit
:⇢K[X]!L(E)
P7! P(u)et :⇢K[X]!Mn(K) P7! P(A)
et sont des morphismes d’algèbres.
•Kerest l’idéal annulateur de u
•Ker est l’idéal annulateur de A
POLYNÔME CARACTÉRISTIQUE
Eest de dimension finie
Définition
•On appelle polynôme caractéristique de Ale
polynôme A=det(XInA).
•On appelle polynôme caractéristique de ule
polynôme u=det(XIdEu).
Endomorphisme induit
Si Fest stable par u, alors uF|u.
Plus généralement si E=
k
M
i=1
Fitel que 8i2[[ 1 ,k]] ,Fi
est stable par u, alors u=
k
Y
i=1
uFi
Spectre et polynôme caractéristique
Sp (u)={2K,
u()=0}
Ordre de multiplicité
La multiplicité d’une racine de uest appelée l’ordre
de multiplicité de ; elle est noté m().
Dimensions de sep
Si est valeur propre de ud’ordre m(), alors
16dim E6m()
Polynôme annulateur
•Le noyau {P2K[X]|P(u)=0}du morphisme
d’évaluation P7! P(u)est un idéal de K[X]. On
l’appelle l’idéal annulateur de u.
•On appelle polynôme annulateur de utout élé-
ment de l’idéal annulateur.
Même définition pour les matrices
Polynôme minimal
On appelle polynôme minimal de u2L(E)(resp de
A2Mn(K)) l’unique polynôme unitaire qui engendre
l’idéal des polynômes annulateurs.
Théorème de décomposition des noyaux
Si P1,...,P
ksont kpolynômes deux à deux premiers
entre eux, alors :
Ker " k
Y
i=1
Pi!(u)#=
k
M
i=1
Ker (Pi(u))
Si P=
k
Y
i=1
Piun polynôme annulateur de u, alors
E=
k
M
i=1
Ker (Pi(u))
Théorème de Cayley-Hamilton
Soit ule polynôme caractéristique de u, alors u(u)=
0L(E). En conséquence ⇡u|u.
DIAGONALISATION
Définition
Soit u2L(E), soit A2Mn(K).
•On dit que u2L(E)est diagonalisable s’il existe
une base Bde Etelle que MB(u)est diagonale.
•On dit que A2Mn(K)est diagonalisable si elle
est semblable à une matrice diagonale.
Propriété
Si Aest diagonalisable en =P1AP , alors les valeurs
propres sont les éléments de la diagonale de et la mul-
tiplicité de chacune est son nombre d’occurence dans
cette diagonale.
Propriétés caractéristiques
Soit Sp (u)={1,··· ,
k}. Les affirmations suivantes
sont équivalentes.
1. uest diagonalisable.
2. Epossède une base de vecteurs propres;
3. E=
k
M
i=1
Ei;
4.
k
X
i=1
dim(Ei)=n;
5. uest scindé et 8i2[[ 1 ,k]] ,dim Ei=mi.
6. ⇡uest scindé à racines simples.
7. uannule un poly scindé à racines simples.
En particulier si uest scindé à racines simples, alors
uest diagonalisable.
TRIGONALISATION
Définition
Soit u2L(E), soit M2Mn(K).
•uest dite trigonalisable s’il existe une base Bde E
pour laquelle MB(u)est triangulaire supérieure.
•Mest dite trigonalisable si elle est semblable à une
matrice Ttriangulaire supérieure.
Propriétés caractéristiques
Les quatres affirmations sont équivalentes :
1. uest trigonalisable.
2. uest scindé.
3. uannule un polynôme scindé
4. ⇡uest scindé.
Corollaire
Si K=C, alors
1. Tout u2L(E)est trigonalisable.
2. Toute A2M
n(C)est trigonalisable.
ENDOMORPHISMES NILPOTENTS
Définition
Un endomorphisme u2L(E)est dit nilpotent s’il ex-
iste p2Ntel que up=0.
Auquel cas le plus petit pvérifiant cette identité est ap-
pelé indice de nilpotence de u.
Ce vocabulaire se transpose aux matrices
Propriété caractéristique
Soit u2L(E)où Eest de dim finie n.
On a équivalence entre :
1. uest nilpotent;
2. uest trigonalisable avec 0pour seule valeur pro-
pre.
L’indice de nilpotence de uest inférieur ou égal n
Théorème
Une matrice Aest nilpotente si, et seulement si, elle est
semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte
Matrice de Jordan
Tout matrice A2Mn(K)nilpotente d’indice nest sem-
blable à la matrice de Jordan
0
B
B
B
B
@
0 1 (0)
......
...1
(0) 0
1
C
C
C
C
A
2Mn(K)
DÉCOMPOSITION SPÉCTRALE
Décomposition spéctrale
Si uest diagonalisable où Eest de dim finie, avec
Sp(u)={i,i2[[ 1 ,k]] }.
Pour i2[[ 1 ,k]] ,Ei=Ker (uiIdE)et soit pila projec-
tion de Esur Eide direction
k
M
j=1
j6=i
Ej.
Alors
u=
k
X
i=1
ipi
et
8P2K[X],P(u)=
k
X
i=1
P(i)pi

ESPACE VECTORIEL NORMÉ
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NORMES
Norme
On appelle norme toute application k.k:E! R+telle
que : 8x, y 2Eet ↵2K
•Séparation: kxk=0=)x=0
E
•Homogénéité: k↵·xk=|↵|·kxk
•Inégalité triangulaire : kx+yk6kxk+kyk
Auquel cas Eest dit un espace vectoriel normé.
Si de plus Eest une K-algèbre, la norme est dite
d’algèbre si: 8x, y 2E, kxyk6kxkkyk.
Seconde inégalité triangulaire
8x, y 2E, |kxkkyk|6kxyk
Distance
Soit k.kune norme sur E
•On appelle distance associée à la norme k.ksur E
l’application d:E⇥E! R+,(x, y)7! kxyk
•Soit x2Eet Aune partie non vide de E. On
appelle distance de xàAle nombre
d(x, A)=inf{d(x, y),y2A}
Et on a 8x, y 2E, |d(x, A)d(y, A)|6d(x, y)
Normes équivalentes
Soit N1et N2deux normes sur E. On dit que N1est
équivalente à N2si 9↵,2R?
+tels que:
8x2E, ↵N2(x)6N1(x)6N2(x)
On note N1⇠N2. Une telle relation ⇠est d’équivalence
Propriété fondamentale
Soit N1et N2deux normes sur E. Alors les assertions
suivantes sont équivalentes
1. N1⇠N2
2. nN1(x)
N2(x)/x 2E\{0}oet nN2(x) N1(x)/x 2E\{0}osont
majorés.
3. Toute suite d’éléments de Econvergente pour une
norme converge pour l’autre.
Méthode pratique
Pour montrer que les deux normes N1et N2ne sont pas
équivalentes, on cherche une suite (xn)2ENtelle que
lim
n!+1
N2(xn)
N1(xn)=+1ou lim
n!+1
N2(xn)
N1(xn)=0
Théorème de Riesz
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie,
toutes les normes sont équivalentes.
BOULES
Boules et sphères
(E,k.k)un espace normé, a2Eet r2R⇤
+. On appelle
•boule ouverte de centre aet de rayon rl’ensemble
:B(a, r)={x2E|kxak<r}
•boule fermée de centre aet de rayon rl’ensemble
:Bf(a, r)={x2E|kxak6r}
•sphère de centre a et de rayon r l’ensemble :
S(a, r)={x2E|kxak=r}
Si a=Oet r=1, on parle des boules et sphère unités.
Boules et convexité
Les boules de Esont convexes de E.
Partie bornée
Une partie Anon vide de Eest dite bornée si 9k2R+
tel que 8x2A, kxk6k. Autrement-dit A⇢B
f(O, k)
Fonction bornée
Une fonction f:X! Eoù Xest un ensemble quel-
conque non vide est dite bornée si la partie f(X)=
{f(x)|x2X}est bornée. Ou encore 9k2R+tel que
8x2X, kf(x)kE6k.
Suite bornée
Une suite (un)n2Nd’éléments de Eest bornée si
9M>0,8n2N,kunk6M
SUITES CONVERGENTES
(E,k.k)désigne un espace normé.
Suite convergente
On dit qu’une suite (un)n2Nd’éléments de Etend vers
`2Esi kun`k!
n!+10, c’est-à-dire
8">0,9n02N,n>n0=)kun`k6"
`est unique, appelé la limite de la suite (un)n2N, et on
note `=limunou un   !
n!+1`.
Une suite non convergente est dite divergente.
Domination
Soit (un)une suite de Eet `2E. Alors la suite (un)con-
verge vers `si, et seulement, s’il existe une suite réelle
et positive (↵n)nconvergeant vers 0et telle que
8n2N;kun`k6↵n
Convergence et bornitude
Toute suite convergente est bornée
Opérations algébriques
•Si un   !
n!+1`2E, alors kunk! n!+1k`k;
•Si ↵n2K!↵et un!`2Ealors ↵n.un!↵.`;
•Si un!`et vn!`0alors un+µvn!` +µ`0;
•Si de plus, Eest une algèbre normée, unvn!``0.
SUITES EXTRAITES
Suites extraites
On dit que (vn)est une suite extraite de (un)s’il existe
une application strictement croissante ':N!Ntelle
que 8n2N,v
n=u'(n).
Propriété
Les suites extraites d’une suite convergente sont conver-
gentes vers la même limite
Valeur d’adhérence
Soit (un)n2ENet ↵2E. On dit que ↵est valeur
d’adhérence de la suite (un)nsi elle est limite d’une
suite extraite de (un)n.
Propriété
•Toute suite convergente admet une et une seule
valeur d’adhérence.
•Toute suite ayant au moins deux valeurs
d’adhérence est divergente.
•Toute suite n’ayant pas de valeur d’adhérence est
divergente.
Théorème de Bolzano-Weierstrass
Si Eest un K-espace vectoriel de dimension finie, toute
suite bornée d’éléments de Eadmet au moins une
valeur d’adhérence.
ESPACES DE BANACH
Suites de Cauchy
Une suite (un)n2N2ENest dite de Cauchy si :
8">0,9n02N,8n>m>n0)kunumk6"
Propriété caractéristique
Une suite (un)n2N2ENest de Cauchy si et seulement
s’il existe une suite ("n)n2Nde réels positifs telle que
(8n, p 2N,kun+punk6"n
"n   !
n!+10
Propriété
•Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
•Toute suite de Cauchy est bornée.
•Toute suite de Cauchy qui admet une valeur
d’adhérence est convergente.
•Une suite de Cauchy possède au plus une valeur
d’adhérence.
Espace de Banach
On appelle espace de Banach tout espace vectoriel
normé dont lequel toute suite de Cauchy est conver-
gente.
Propriété
Tout espace vectoriel normé de dimension finie est un
espace de Banach
OUVERTS ET INTÉRIEURS
Définition
Soit O⇢E. On dit que Oest un ouvert de Esi
8x2O,9">0,B(a, ")⇢O
Propriété
1. ;et Esont des ouverts de E.
2. Union quelconque d’ouverts est un ouvert.
3. Intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Propriété
Une boule ouverte est un ouvert.
Ouverts relatifs à une partie
On appelle ouvert dans Aou relativement à Atout en-
semble de la forme A\Ooù Oest un ouvert de E.
Définition
Soit A2P(E)et a2E.
aest intérieur à Asi: 9r>0,Tq B(a, r)⇢A
On note ˚ Al’ensemble des points intérieurs à A.
Propriété
Soit A, B 2P(E).
1. ˚ A⇢Aet A⇢B=)˚ A⇢˚ B;
2. ˚ Aest ouvert et ˚
˚
A=˚ A;
3. Aouvert ,A=˚ A.
4. ˚ Aest le plus grand ouvert contenu dans A.
Propriété
Soit a2Eet r>0, alors ˚
z }| {
Bf(a, r)=B(a, r)
FERMÉS
Définition
On appelle fermé tout ensemble Fdont le complémen-
taire {EFest ouvert.
Propriété
1. ;et Esont des fermés.
2. Intersection quelconque de fermés est fermé
3. Union finie de fermés est un fermé.
Propriété
Une boule fermée est un fermé.
Caractérisation sequentielle
Une partie Fd’un espace vectoriel normé Eest fermée
, si et seulement, si toute suite (un)n2Nd’éléments de F
qui converge admet une limite qui appartient à F.

ESPACE VECTORIEL NORMÉ
: Définition. : Résultat de cours. : Résultat pratique. : Astuce. : Démarche. : Exemple classique. : Attention. : Information
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ADHÉRENCE D’UN PARTIE
(E,k.k)un K-espace vectoriel normé.
Définition
Soit A2P(E)et a2E.
•aest dit adhérent à Asi :8r>0,B(a, r)\A6=?.
•On note Al’ensemble des points adhérents à A.
•On dit que Aest dense dans Esi A=E.
Caractérisation séquentielle
•a2A() 9 (an)n2AN,tq an   !
n!+1a.
•A=E() 9 (an)n2AN,tq an   !
n!+1a
Propriété
Soit A, B 2P(E).
1. {A=˚
_
{A{˚ A={A, donc Aest un fermé ;
2. A⇢Aet A⇢B)A⇢B;
3. Aest un fermé et A=A
4. Afermé ,A=A;
5. Aest le plus petit fermé contenant A.
Frontière
Soit A2P(E)avec Eun espace vectoriel normé. La
frontière de Aest l’ensemble: Fr (A)=A\˚ A=A\{˚ A
LIMITE D’UNE FONCTION EN UN POINT
(E,k.kE),(F, k.kF)et (G, k.kG)sont des K-evns
limite d’une fonction en un point
Soit f:A⇢E! Fune application, a2Aet `2F.
On dit que fadmet pour limite `en aselon A, lorsque
8">0,9↵>0tel que kxakE<↵et x2A, alors
kf(x)`kF<". On note lim
x!a
x2A
f(x)=`
Caractérisation séquentielle
lim
x!a
x2A
f(x)=`ssi toute suite (xn)n2N2ANqui converge
vers a, la suite (f(xn))nconverge vers `
Opération sur les limites
Soient f,g 2FA,↵2KEet aadhérent à Atelles que:
f !
x!a
x2A
`,g !
x!a
x2A
`0et ↵ !
x!a
x2A
. Alors
1. f+g !
x!a`+`0
2. Si Fest une algèbre normée f.g  !
x!a`.`0
3. ↵f !
x!a.`
4. Si 6=0, alors il existe W2V
A(a)sur lequel ↵ne
s’annule pas et 1
↵ !
x!a
x2A
1
2K⇤
Composition
Soient f:A⇢E! Fet g:B⇢F! Gtelles que
f(A)⇢Bet aadhérent à A.
Si f !
x!abet g !
x!b`, alors gf !
x!a`
CONTINUITÉ
Continuité
Soit f:A⇢E! Fet a2A.
•On dit que fest continue en asi lim
x!a
x2A
f(x)=f(a)
•On dit que fest continue sur Asi elle est continue
en chaque point de A.
C(A, F )désigne l’ensemble des fonctions continues de
Aà valeurs dans F
Caractérisation séquentielle
Soit f:A⇢E! Fet a2A.
fest continue en asi, et seulement si, 8(xn)2AN,
(xn   !
n!+1a)f(xn)   ! n!+1f(a)).
Opérations algébriques
• C (A, F )est un K-espace vectoriel
•Si Fest une algèbre normée, alors C(A, F )est une
K-algèbre
•Si ↵:A⇢E! Ket f:A⇢E! Fsont
continues alors ↵.f est continue.
•Si ↵:A⇢E! Kest continue et elle ne s’annule
pas, alors 1
↵:A⇢E! Kest continue
Composition
La composée de deux fonctions continues est continue
Propriété
Soit f:A⇢E! F
•Si Fest un espace produit alors fest continue si,
et seulement si, ses fonctions composantes le sont.
•Si Fest de dimension finie alors fest continue
si, et seulement si, ses fonctions coordonnées dans
une base de Fle sont.
Continuité et densité
Soit f,g :E! Fdeux fonctions continues. Si Aest
dense dans Aet fet gcoïncident sur A, alors fet gsont
égales.
Continuité et topologie
Soit f:A⇢E! F. Les trois affirmations suivantes
sont équivalentes :
1. fest continue sur A;
2. l’image réciproque de tout ouvert de Fest ouvert
de A;
3. l’image réciproque de tout fermé de Fest fermé
de A.
Continuité uniforme
On dit que f:A⇢E! Fest uniformément continue
si 8">0,9⌘>0,8x, y 2A,
kxyk<⌘)kf(x)f(y)k<"
caractérisation séquentielle
f:A⇢E! Fest uniformément continue sur Assi
8(xn),(yn)2AN
xnyn   !
n!+10)f(xn)f(yn)   ! n!+10
APPLICATIONS LINÉAIRES,MULTILINÉAIRS
(E,k.kE)et (F, k.kF)des K-evns
Théorème fondamental
Soit u2L(E,F).
uest continue () 9 k2R⇤
+,8x2E, ku(x)k6kkxk
Propriété
Si Eest de dimension finie, alors tout u2L(E,F)est
continue
Propriété
Si u:E⇥F!Gest bilinéaire. uest continue si et
seulement si
9k2R,8x2E,8y2F, kB(x, y)k6kkxkkyk
Lorsque Eet Fsont de dimensions finies, alors
toute application bilinéaire sur E⇥Fest continue
Propriété
Soient E1,...,E
n,F des K-espaces vectoriels normés.
Si E1,...,E
nsont de dimensions finies alors toute ap-
plication multilinéaire M:E1⇥··· ⇥En! Fest
continue. Au quel cas 9k2R⇤
+tel que ,8(x1,...,x
n)2
E1⇥···⇥En:
kM(x1,...,x
n)k6kkx1k···kxnk
COMPACITÉ
(E,k.kE)et (F, k.kF)des K-evns
Partie compacte
Une partie Ade Eest dite compacte dans Esi toute
suite d’éléments de Aadmet une valeur d’adhérence
dans A
Propriété
•Tout compact est nécessairement fermé et borné.
•Tout fermé d’un compact est compact E.
•Le produit cartésien de compacts est compact
Propriété
Les compacts d’un espace vectoriel normé de dimen-
sion finie sont ses fermés bornés.
Propriété
Soit f2C(E,F)et Aun compact de E, alors
•f(A)est un compact de F.
•f(A)est borné et il existe a, b 2Atels que
kf(a)k=inf
x2Akf(x)ket kf(b)k=sup
x2A
kf(x)k.
•F=R, alors fest bornée et elle atteint ses bornes:
il existe a, b 2Atels que:
f(a)= inf
x2Af(x)et f(b)=sup
x2A
f(x)
de Heine
Toute fonction continue sur un compact est uniformé-
ment continue.
CONNEXITÉ PAR ARCS
Connexité par arcs
On appelle chemin de aàbdans Atoute application
continue :[0,1] !Atelle que (0) = aet (1) = b.
On dit que Aest connexe par arcs si pour tous x, y 2A
il existe un chemin de xàydans A.
Convexité et connexité par arcs
Si Aconvexe alors Aest connexe par arcs.
Partie étoilée
Aune partie d’un espace vectoriel normé Eest dite
étoilée si 9a2Atel que 8b2A, [a, b]⇢A.
Propriété
Toute partie étoilée est connexe par arcs
Connexité par arcs et continuité
Soit f:A⇢E!Fcontinue. Si Aest connexe par arcs
alors f(A)est connexe par arcs.
Les connexes par arcs de R
Les connexes par arcs de Rsont les intervalles.
Théorème des valeurs intermédiaires
Soient Aconnexe par arcs, f2C(A, R)et (a, b)2A2.
Alors pour tout mentre f(a)et f(b)il existe c2Atel
que f(c)=m.
Propriété
Soit Aune partie d’espace vectoriel normé E. La rela-
tion Rdéfinie sur Apar: pour tout (x, y)2A2
xRy() 9 2C([0,1],A),((0) = x
(1) = y
est une relation d’équivalence.
La classe de apour cette relation est appelée la com-
posante connexe par arcs de adans Aest connexe par
arcs et notée C(a).
Groupe orthogonal
Pour n2N, avec n>2. On note On(R)le groupe
orthogonal
On(R)=A2Mn(R),tAA =In
• On(R)est compact et non connexe par arcs
•Les composantes connexes par arcs de On(R)sont
O+
n(R)et O n(R). Où
O+
n(R)=On(R)\det1({1})
et
O
n(R)=On(R)\det1({1})