LinearAlgebra

Notes de cours - Algèbre Linéaire

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Table des matières
1 Introduction 7
1.1 ..................................... 7
2 Les Bases de l’algèbre linéaire 9
2.1 Espacesvectoriels........................... 9
2.1.1 Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Espaces vectoriels sur des corps plus généraux . . . . . . . 10
2.1.3 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Exemples de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . 11
2.1.5 Espace engendré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.6 Sommes de sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Basesetdimension.......................... 12
2.2.1 Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Famillelibre ......................... 12
2.2.3 Base.............................. 13
2.2.4 Dimension........................... 13
2.3 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Exemples ........................... 15
2.3.2 Propriété universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.3 Noyau............................. 15
2.3.4 Image d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.5 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.6 Résolution d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.7 Isomorphismes ........................ 18
2.4 Matrice ................................ 18
2.4.1 Matrices............................ 19
2.4.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.3 Matrices particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.4 Matrice de la composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.5 Propriétés du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.6 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Sommesdirectes ........................... 23
2.5.1 Décomposition en somme directe . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.2 Sommes directes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.3 Produit de deux espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.4 Projecteurs .......................... 25
2.6 Permutations ............................. 25
2.6.1 Groupes............................ 25
3

4TABLE DES MATIÈRES
2.6.2 Groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.3 Signature d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Exercices ............................... 26
3 Déterminants 33
3.1 Unpeud’histoire........................... 33
3.2 Calcul des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Le caractère alterné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Multilinéarité............................. 37
3.5 Règles de calcul de déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 Déterminant d’une matrice carrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.8 Déterminantetrang ......................... 45
3.9 Exercices ............................... 45
4 Réduction des endomorphismes 51
4.1 Formalisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Vocabulaire .............................. 52
4.3 Exemple................................ 53
4.4 Conditions suffisantes de diagonalisabilité . . . . . . . . . . . . . 54
4.5 Condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité . . . . . . . 54
4.6 Changement de corps de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.7 Polynômes d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.8 Triangularisation ........................... 58
4.9 Le théorème de Hamilton-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.10 Applications de la réduction des endomorphismes . . . . . . . . . 60
4.10.1 Calculs de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.10.2 Systèmes différenciels linéaires du premier ordre . . . . . 60
4.10.3 Systèmes linéaires d’ordre quelconque . . . . . . . . . . . 61
4.11Exercices ............................... 61
5 Orthogonalité 65
5.1 Orthogonalité dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Produitsscalaires........................... 66
5.3 Expressions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3.1 Représentation matricielle dans un espace Euclidien . . . 67
5.3.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.3 Reconnaître un produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3.4 Normeetangle........................ 69
5.4 Bases orthogonales, orthonormées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5 Orthogonalité de sous-espaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5.1 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5.2 Hyperplan orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5.3 Isomorphisme Eet E∗.................... 73
5.6 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.7 Transformations orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.8 Endomorphisme adjoint et autoadjoint . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.8.1 Adjoint d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.8.2 Endomorphisme autoadjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.9 Exercices ............................... 79

TABLE DES MATIÈRES 5
6 Le problème des moindres carrés 83
6.1 Les équations normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 La géométrie des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.3 Décomposition QR .......................... 88
6.3.1 La méthode de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3.2 Matrices de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.3.3 Application à la résolution de systèmes linéaires . . . . . 89
6.4 Décomposition en valeurs singulières et pseudo-inverse de Moore-
Penrose ................................ 89
6.4.1 Décomposition en valeurs singulières . . . . . . . . . . . . 89
6.4.2 Pseudo-inverse de Moore-Penrose. . . . . . . . . . . . . . 90