TD N°3

TD N 3:NOMBRES COMPLEXES
Exercice n°1.
On donne 33zi= + et 1 2zi
′= − +
Ecrire sous forme algébrique les complexes suivants : 1 z z z
′
=
− ; 2 z z z
=
⋅ ; 2
3
zz
=
; ;
3
4
zz′ =5
z
zz =
′
Exercice n°2.
1) Calculer i et
2 3
,i4 i
2) En déduire la valeur de i et de , puis les entiers naturels n tels que est imaginaire pur
2006 2009
in i
3) Déterminer les entiers naturels n tels que soit un réel négatif.
()
1n i+
Exercice n°3.
Résoudre dans : ^
1) Les équations et
()
5 2 1z i i z+ = + − 34
1
z i i
z
−=
+
2) Le système d’inconnues complexes et :
1
z2 z12
12
31
2 11
zz
iz zi
7i
+
= −
+ =
3) Les équations 23
ziz+ = et 20z z z+ ⋅ =
4) Les équations et
()
2
2 6 5−z z+ − = 00=
()
22
2 4 4z z z+ − +
Exercice n°4.
Dans le plan complexe muni du repère orthonormal
(
)
; ;O u v
G
G, on considère les points A,B,C et D d’affixes respectives :
1 5
A
zi=− − , , 4 3
B
zi= − 3 3
C
zi
=
+ et 2
D
zi=− +
1) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
2) Déterminer l’affixe du point C’, symétrique du po t C rapport à D
JJJ JJJ JJJ
in par
3) Déterminer l’affixe du point A’ vérifiant DA DB DC
′= +
JG GG
4) Quelle est la nature du quadrilatère A’BC’D ?
Exercice n°5.
On considère le plynôme suivant :
( )
P z
( )
(
)
(
)
32
9 2 6 11 3 4 1P z z iz i z i= + + − − + 2
1) Démontrer que l’équation admet une solution réelle
( )
0P z =1 z
2) Déterminer un polynôme tel que
( )
Q z
( )
(
)
(
)
1
P z z z Q z=−
3) Démontrer que l’équation admet une solution imaginaire pure
( )
0Q z =2 z
4) Résoudre dans l’équation ^
(
)
0P z =
5) On note la 3
3
zième solution de l’équation
( )
0P z
=
. Démontrer que les points du plan complexe A,B et C d’affixes
respectives , et , sont alignés
1
z2 z3 z
Exercice n°6.
Déterminer le module, un argument et une forme exponentielle de chacun des nombres donnés :
z16 2i=− , 2
1 1
2 2
zi=− − et 3
13
2 2
z= − + i. En déduire module et argument de , et
1 2
z z⋅1 3 z z⋅
()
2
2
z
Exercice n°7.
Ecrire 13 et 1 sous la forme trigonométrique et simplifier : i+i−
20
13
1
i
zi
+
=
−
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Exercice n°
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8.
Déterminer et représenter dans chaque cas, l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie la relation donnée :
1) 33z z− = − i
2) 2 3 2 3−i z i+ = +
3) 41zi− + =
4)
( )
( ) (
arg 2z z
)
arg
π
=−
Exercice n°9.
Pour tout nombre complexe z, on définit :
( )
(
)
(
)
3 2
2 2 1 4 1 2P z z z z= + − + − −8
1) Calculer P(2). Déterminer une factorisation de P(z) par (z-2)
2) Résoudre dans l’équation ^
(
)
0P z =
On appelle et les solutions de l’équation autres que 2, ayant une partie imaginaire positive.
1
z2 z1 z
Vérifier que 1 2 2 2zz+ = − . Déterminer le module et un argument de et de .
1
z2 z
3) a) Placer dans le plan, muni d’un repère orthonormal direct
(
)
; ;O u v
G
G (unité graphique : 2 cm), les points :
A d’affixe 2, B et C d’affixes respectives et , et I milieu de [AB]
1
z z2
b) Démontrer que le triangle OAB est isocèle.
JJ
En déduire une mesure de l’angle
(
)
;uOI
G
G
c) Calculer l’affixe de I, puis le module de
I
zI z
d) Déduire des résultats précédents les valeurs exactes de 3
cos 8
π
et 3
8
sin
π
Exercice n°10.
On considère le polynôme P défini par
(
)
4 3 2
624 18 6P z z z z z= − + − + 3
1) Calculer
(
3P i
)
et
(
3P i−
)
. Déterminer le polynôme Q du second degré à coefficients réels tel que pour tout z
∈
^,
on a
(
)
( )
(
)
23P z z Q= + z
2) Résoudre dans l’équation ^
(
)
0P z =
3) Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal
(
)
; ;O u v
G
G (unité graphique : 2 cm) les points A,B,C et D
d’affixes respectives : 3
A
zi= ; 3
B
zi=− ; 3 2 3
C
zi= + et DC zz
=
4) On note E le symétrique de D par rapport à O. Placer le point E sur le dessin. Montrer que 3
i
B
C
EB
z z e
zz
π
−
−
=
− et
déterminer la nature du triangle BEC
Exercice n°11.
z étant un complexe, on note (le système
)S2
6
arg( ) 2 ,
2
zz
z k k
ππ
= −
=
+∈
Z.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
(
)
vuO ,, .
1) Donner le module et un argument des trois complexes suivants : 3ai
=
+ 2 2bi
=
−+ 3 3ci= +
2) Parmi les complexes a, b et c, lesquels sont solutions du système (? ( justifier la réponse). )S
3) M étant le point d’affixe z, et A étant le point d’affixe 6, traduire géométriquement les deux contraintes de .
( )S
4) Résoudre le système par la méthode de votre choix.
( )S

Exercice n°
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12.
Soit le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct
(
)
1 2
; ;O e e
J
GJJG
On définit dans P une suite de points d'affixes définies par :
()
nn
M∈`n z
z08= et pour tout entier naturel n, 1
13
4
n n
i
zz
+
+
=
1) Calculer en fonction de n.
n
z
2) Pour tout entier naturel n , calculer le rapport 1
1
n n
n
z z
z
+
+
−
En déduire la nature du triangle OM et montrer que :
1nn
M+1nnn1
M
MkOM
+
+
=
, où k est un réel strictement positif à
déterminer .
3) Si est le module de , donner la limite de r si n tend vers plus l'infini. Quelle interprétation géométrique peut-on
donner ?
n
rn zn
Exercice n°13.
On considère l’application f du plan qui à tout point M, d’affixe z distincte de 2i, associe le point d’affixe :
2
z i
zzi
+
′=−
1) Pour , on pose 2z≠i2i z i re
θ
= + , avec r>0 et
θ
∈
\. Ecrire 1z
′
−
à l’aide de r et
θ
2) A est le point d’affixe 2i
a) Déterminer l’ensemble E1 des points M pour lesquels 1 3z′
−
=
b) Déterminer l’ensemble E2 des points M pour lesquels
( ) ( )
arg 1 2
4
z
π
π
′−=
c) Représenter les ensembles E1 et E2
Exercice n°14.
1) Déterminer la forme complexe de la rotation r de centre
(
)
1
Ω
− et d’angle 3
π
i
Préciser l’image par r du point A d’affixe 3 e
π
−
2) Soit t la transformation qui à tout point M d’affixe z associe le point M1 d’affixe 13zz= − i
a) Caractériser la transformation t
b) Donner la forme complexe de tr
D
Reconnaître cette nouvelle transformation en déterminant ses éléments caractéristiques
Exercice n°15.
On définit la transformation f du plan par sa forme complexe :
()
3 4 2 3 4z i z
′+ − = + − i
1) Quelle est la nature de l’application f ?
2) Déterminer l’image C’ par f du cercle C de centre A(-2+i) et de rayon 1