COURS ALGEBRE

PI - PREPAS-INTERNATIONALES
FILIÈRE INGÉNIEURIE GÉNÉRALE
COURS D’ALGÈBRE
MATH SUP
Fidèle L. Ciake Ciake,Ph.D
Année académique 2024-2025

Table des matières
1 Nombres complexes 6
1.1 Forme algébrique .................................................. 6
1.1.1 Définition d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Partie réelle, partie imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Propriétés de l’addition et de la multiplication dans C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Forme trigonométrique .............................................. 8
1.2.1 Argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Exponentielle complexe .......................................... 8
1.2.4 Forme exponentielle ............................................ 9
1.3 Racine ni`
eme d’un nombre complexe ...................................... 9
1.3.1 Racine carrée ................................................ 9
1.3.2 Racine ni`
eme d’un nombre complexe (n∈N∗). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Quelques applications des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1 Transformation de (cosx)nou de (sinx)n(n∈N\{0,1}). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2 Transformation de cosnx ou de sinnx en sommes de monômes en cosxet sin x. . . . . . . . 10
1.4.3 Nombres complexes et géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Polynômes 12
2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Polynôme à une indéterminée sur K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Degré, valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.4 Fonction polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.1 Division dans K[X]............................................. 14
2.2.2 Plus grand commun diviseur de deux polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.4 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.5 Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.6 Division suivant les puissances croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Dérivation. Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 Polynôme scindé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4 Décompositions de D’Alembert et de Gauss d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Fractions rationnelles 19
3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Définition d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 Degré d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2

3.1.3 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.4 Pôles et racines d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.5 Fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.6 Dérivation d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1 Partie entière d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2 Etude théorique de la décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.3 Théorème de décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples . . . . . . . . . . 22
3.3 Décomposition dans C(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Résultat général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 Quelques méthodes de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Décomposition dans R(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.1 Résultat général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4.2 Quelques méthodes de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Applications de la décompostion des fractions rationnelles en éléments simples . . . . . . . . . . . . 25
3.5.1 Calcul de la dérivée n-ième d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5.2 Autres applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Relations. Nombres entiers naturels 27
4.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1 Graphes, correspondances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.3 Composition des applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.4 Injection - Surjection - Bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.5 Application réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.6 Image directe - Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.7 Partie stable - Partie invariante - Applications induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1.8 Familles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2 Relations binaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.1 Relation binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.2 Relations d’équivalence et partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.3 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Nombres entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.1 Ensemble N................................................. 33
4.3.2 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.3 Ensembles finis; cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3.4 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Eléments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4.1 Assertions - Connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.4.2 Propriétés des connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4.3 Tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.4 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5 Structures algébriques 39
5.1 Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.2 Lois de composition externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.3 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.1 Structure de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.3 Exemple de groupe : Le groupe symétrique Sr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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5.3 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.1 Structure d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.2 Morphisme d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.3.3 Règles de calcul dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.4 Diviseur de zéro. Elément nilpotent. Elément inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3.5 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 Espaces vectoriels 49
6.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1.1 Notion d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1.2 Exemples d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1.3 Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.1.4 Sous-espaces supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.1 Définition d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.2 Noyau et image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.3 Espace vectoriel LK(E,F). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.4 Anneau LK(E). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2.5 Exemples d’endomorphismes : Projections et symétries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7 Dimension des espaces vectoriels. Dualité 54
7.1 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.1.1 Combinaison linéaire, famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.1.2 Famille libre; famille liée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.1.3 Base et dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.1.4 Codimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1.5 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2 Dualité dans les espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2.1 Dual d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2.2 Isomorphisme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2.3 Base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2.4 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2.5 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8 Calcul matriciel 60
8.1 Généralités sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.1.1 Définition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.1.2 Matrice symétrique, triangulaire, diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.1.3 Espace vectoriel Mm,n(E). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.1.4 Matrice d’un système de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.2 Matrices et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2.1 Matrices d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2.2 Matrice de la transposée d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2.3 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2.4 Utilisation des matrices dans le calcul de l’image d’un vecteur par application linéaire . . . . . 63
8.2.5 Matrice inversible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.2.6 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3 Changement de bases et matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.3.1 Matrice de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.3.2 Effet d’un changement de base sur les matrices scalaires d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.3.3 Effet d’un changement de base sur les matrices d’une application linéaire, matrices équiva-
lentes, matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
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9 Déterminants - Systèmes d’équations linéaires - Diagonalisation 67
9.1 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.1.1 Formes n-linéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.1.2 Droite vectorielle An(E;K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.1.3 Formes déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.1.4 Déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.1.5 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.1.6 Calcul d’un déterminant : Développement d’un déterminant suivant les éléments d’une ligne
ou d’une colonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.1.7 Déterminant d’une matrice triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.1.8 Application des déterminants : calcul de l’inverse d’une matrice carrée inversible . . . . . . . . 71
9.1.9 Mineurs d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.2 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.2.1 Variété linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.2.2 Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.2.3 Système d’équations linéaires scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.2.4 Résolution d’un système de méquations linéaires scalaires à ninconnues . . . . . . . . . . . . 75
9.3 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice carrée d’ordre n. . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.3.3 Réduction d’une matrice à la forme diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
πCours d’Algèbre Math Sup 5 ©Ciake Ciake 2024-2025