Semaine 3

M.P.S.I., Colles, Semaine 3, Sujet
EX
1.
1.
(Question de cours) Montrer que l'application :
C∗
exp(z)
→
7
→
C
z
est surjective. Est-elle bijective ?
EX
2.
EX
3.
Intégrer l'équation diérentielle : x3 y0 − x2 y = 1.
Calculer, pour z ∈ C, Sn (z)
(1 − z)Sn (z).)
En déduire la valeur de
= nz
n−1
+ (n − 1)z
n−2
2
+ · · · + 3z + 2z + 1
X
(Indication
n−1
k sin
1.
EX
2.
EX
3.
on séparera les cas
z = 1, z 6= 1
et, pour
z 6= 1,
on calculera
2kπ n
k=1
EX
:
.
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2.
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3.
M.P.S.I., Colles, Semaine 3, Sujet
1.
(Question de cours) Enoncer et démontrer l'inégalité triangulaire pour deux nombres complexes.
Intégrer l'équation diérentielle : xy0 + (x − 1)y = x2 .
Simplier, pour x 6=
π
2
+ kπ , k ∈ Z,
X
n−1
Sn (x) =
k=0
EX
1.
EX
2.
EX
3.
cos(kx)
.
(cos(x))k
(Question de cours) Enoncer et démontrer la formule du binôme.
Intégrer l'équation diérentielle : (2 + x)y0 = 2 − y.
Soient z, z 0 ∈ C de module 1. On suppose que zz 0 6= −1. Montrer qu'alors,
z + z0
∈ R.
1 + zz 0
EX
1.
(Question de cours) Montrer que l'application :
C∗
exp(z)
→
7
→
C
z
est surjective. Est-elle bijective ?
EX
2.
EX
3.
Intégrer l'équation diérentielle : x3 y0 − x2 y = 1.
Calculer, pour z ∈ C, Sn (z)
(1 − z)Sn (z).)
En déduire la valeur de
= nz
n−1
+ (n − 1)z
n−2
2
+ · · · + 3z + 2z + 1
X
(Indication
n−1
k sin
1.
EX
2.
EX
3.
on séparera les cas
z = 1, z 6= 1
et, pour
z 6= 1,
on calculera
2kπ k=1
EX
:
n
.
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2.
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3.
(Question de cours) Enoncer et démontrer l'inégalité triangulaire pour deux nombres complexes.
Intégrer l'équation diérentielle : xy0 + (x − 1)y = x2 .
Simplier, pour x 6=
π
2
+ kπ , k ∈ Z,
X
n−1
Sn (x) =
k=0
EX
1.
EX
2.
EX
3.
cos(kx)
.
(cos(x))k
(Question de cours) Enoncer et démontrer la formule du binôme.
Intégrer l'équation diérentielle : (2 + x)y0 = 2 − y.
Soient z, z 0 ∈ C de module 1. On suppose que zz 0 6= −1. Montrer qu'alors,
z + z0
∈ R.
1 + zz 0