congruence

Exercices - Congruence - divisibilit´ e - division
euclidienne : ´enonc´e
Exercice 1 - Pour bien commencer -L1/Math Sup -?
Soit n∈Z.
1. Montrer que n2≡0 [8] ou n2≡4 [8] si nest pair, n2≡1 [8] si nest impair.
2. Montrer que si nest impair, n4≡1 [8].
Exercice 2 - Calcul de reste -L1/Math Sup -?
Soit n≥1un entier. D´eterminer le reste dans la division euclidienne par nde la somme des
npremiers entiers.
Exercice 3 - Grands nombres divisibles -L1/Math Sup -?
Montrer que pour tout entier n≥1,40nn!|(5n)!.
Exercice 4 - Somme de trois cubes cons´ecutifs origine -L1/Math Sup -?
D´emontrer que la somme de trois cubes cons´ecutifs est toujours divisible par 9.
Exercice 5 - La preuve par neuf -L1/Math Sup -?
Montrer que tout entier naturel est congru modulo 9 `a la somme des chiffres de son ´ecriture
d´ecimale. En d´eduire que, quels que soient les entiers naturels x=an. . . a0,y=bm. . . b0et
z=cp. . . c0, si xy =z, alors (Pn
i=0 ai) (Pm i=0 bi)≡(Pp
i=0 ci) [9].
Exercice 6 - Th´eor`eme de Pascal -L1/Math Sup -?
Soit mun entier naturel non-nul, et soit (ri)la suite d’entiers d´efinie par r0= 1 et ri+1 est
le reste de la division euclidienne de 10ripar m.
1. D´emontrer que, pour tout entier naturel a=an. . . a0en ´ecriture d´ecimale, on a a≡
Pn
i=0 airi[m].
2. En d´eduire des crit`eres simples permettant de reconnaitre sur l’´ecriture d´ecimale d’un r´eel
s’il est ou non divisible par 3, par 9, par 10, par 11.
Exercice 7 - It´eration de puissance -L1/Math Sup -???
Soit n≥2et aun entier premier avec n. Pour tout k∈N, on note rkle reste de la division
euclidienne de akpar n.
1. Montrer que la suite rkest p´eriodique.
2. Montrer que 13 divise 3126 + 5126.
Exercice 8 - Coefficients binomiaux -L1/Math Sup -??
1. Soit n≥1. Montrer que (n+ 1)| 2n
n!.
2. Soit p≥2premier. Montrer que p| p
k!pour k∈ {1, . . . , p −1}.
3. En d´eduire le petit th´eor`eme de Fermat : si n≥1et pest premier, np≡n[p].
4. (Plus difficile). D´eduire de 2. que, pour tout N∈N∗, pour tout j∈N∗, pour tous
(x1, . . . , xN)∈ZN, on a
N
X
i=1
xi!pj ≡
N
X
i=1
xpj
i[p].
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Exercices - Congruence - divisibilit´ e - division
euclidienne : ´enonc´e
Exercice 9 - Nombres palindromes -L1/Math Sup -??
Un nombre palindrome est un nombre qui se lit indiff´eremment de gauche `a droite ou de
droite `a gauche. Par exemple, 2002, 12321 sont des nombres palindromes. Prouver qu’un nombre
palindrome ayant un nombre pair de chiffres est divisible par 11.
Exercice 10 - Une suite -L1/Math Sup -??
On consid`ere la suite (un)d’entiers naturels d´efinie par u0= 14 et un+1 = 5un−6.
1. Quelle conjecture peut-on ´emettre sur les deux derniers chiffres de (un)?
2. Montrer que pour tout entier naturel n,un+2 =un[4]. En d´eduire que pour tout entier
naturel k, on a u2k= 2 [4] et u2k+1 = 0 [4].
3. (a) Montrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel n, on a 2un= 5n+2 + 3.
(b) En d´eduire que pour tout entier naturel n, on a 2un= 28 [100].
4. Valider la conjecture ´emise `a la premi`ere question.
Exercice 11 - Irrationalit´e de √2-Math Sup/L1 -??
Le but de cvet exercice est de d´emontrer que √2est irrationnel en utilisant l’algorithme
d’Euclide. On raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe deux entiers strictement positifs
aet btels que √2 = a/b. On pose c=√2+1.
1. V´erifier que a=b+b
c, puis que c= 2 + 1 c.
2. D´emontrer que b
cest un entier, et qu’il est ´egal au reste r1de la division euclidienne de a
par b. Quel est le quotient q1de cette division ?
3. Montrer que dans la division euclidienne de bpar r1, le quotient est q2= 2 et le reste est
r2=r1
c.
4. Soit nun entier sup´erieur ou ´egal `a 2. D´emontrer que l’algorithme d’Euclide appliqu´e au
couple (a, b)comporte au moins n´etapes, que le n-i`eme quotient est qn= 2, et que le
n-i`eme reste est rn=rn−1
c.
5. Conclure.
Exercice 12 - Suite r´ecurrente lin´eaire -L1/Math Sup -???
D´emontrer que, pour tout entier n≥0,(3 −√5)n+ (3 + √5)nest divisible par 2n.
Exercice 13 - M´ethodes de codage bas´ees sur les congruences -L1/Math Sup -??
On note A={A, B, C, . . . , Z}l’alphabet, E={0,1,2,...,25}l’ensemble des 26 premiers
entiers naturels, et gla bijection naturelle de Asur Econsistant `a num´eroter les lettres :
g(A)=0, g(B)=1, g(C)=2, . . . , g(Z) = 25.
1. Pour tout entier xde E, on note f(x)le reste de la division euclidienne de 35xpar 26.
(a) Montrer que l’on d´efinit ainsi une bijection de Esur E.
(b) On convient de coder un mot quelconque de la fa¸con suivante : on remplace chaque
lettre αdu mot par la lettre βdont le num´ero g(β)est tel que g(β) = f(x), o`u
x=g(α). Comment se code le mot OUI ? Montrer que cette m´ethode de codage est
sans ambig¨ uit´e (deux mots sont distincts ont des codages diff´erents). Quel est le mot
dont la codage est NW N ?
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Exercices - Congruence - divisibilit´ e - division
euclidienne : ´enonc´e
(c) On veut g´en´eraliser en rempla¸cant 35xpar ax +b, avec aet bentiers naturels et
a6= 0. Quelle(s) hypoth`ese(s) doit-on faire sur aet bpour que la mˆeme m´ethode
s’applique ?
2. Pour tout couple d’entiers (x, y)de E ×E, on note f(x, y)et h(x, y)les uniques entiers de
Etels que
f(x, y)≡5x+ 17y[26] et h(x, y)≡4x+ 15y[26].
(a) Justifier que l’application f×hest une bijection de E × E sur E × E.
(b) On convient de coder tout mot contenant un nombre pair de lettres de la fa¸con
suivante : en partant de la gauche vers la droite, on remplace chaque couple de
lettres successives (α, β)par le couple (γ, δ)dont les num´eros s=g(γ),t=g(δ)sont
donn´es par
s=f(x, y)et t=h(x, y),o`u x=g(α)et y=g(β)sont les num´eros de αet β.
Comment se code le mot ENFANT ? Le codage d’une lettre d´epend-il de la place de
cette lettre dans le mot ? D´emontrer que le principe de codage est sans ambig¨ uit´e, et
que tout mot d’un nombre pair de lettres est le codage d’un et d’un seul mot. Quel
est le mot dont le codage est XMEO ?
(c) On voudrait g´en´eraliser cette m´ethode de codage `a un alphabet comprenant mlettres,
en consid´erant les fonctions
f(x, y)≡ax +by [m]et h(x, y)≡cx +dy [m],
avec a, b, c, d des entiers naturels. Donner une condition sur a, b, c, d et massurant
que la m´ethode de codage fonctionne encore.
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