Université Abdelmalek Essaadi Faculté Polydisciplinaire de Larache
Série 1
Élément: Algèbre I
Exercice 1
Pour z= 1 −2i,z0= 3 + 2i. Calculer
z+z0,zz0,z,z0
z,2z+iz0,z−zet z2+z02.
Exercice 2
Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
(2 −3i)2,(2 −3i)3,1
1−2i,1
(3 −2i)(1 −i),et 2−i
(3 −i)(1 −2i)
Exercice 3
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
z1= 2e2iπ
3,z2=√2eiπ
8,z3= (2eiπ
4)(e3iπ
4),z4=2e
iπ
4
e
3iπ
4
,z5=2e
iπ
3
3e
−5iπ
6
.
Exercice 4
Calculer le module et l’argument de chacun des nombres complexes suivants :
z1= 1 + i, z2= 3 + 3i, z3=−4
3i, z4=−2, z5= (1 + i√3
2)2016.
Exercice 5
1. Montrer que (z+1
z∈IR et z6= 0) ⇐⇒ (z ∈IR \ {0}ou |z|= 1).
2. Soit zun complexe de module 1, calculer |1 + z|2+|1−z|2.
3. Montrer que (|z|= 1 et z6= 1) =⇒i(z+1
z−1)∈IR.
4. Soient z=ρeiθ et z0=ρ0eiθ0. deux nombres complexes non nuls. Montrer que
|z+z0|=|z−z0|⇐⇒ θ=θ0+π
2.
Exercice 6
Soit a un complexe de module |a|<1.
1. Démontrer que, pour tout nombre complexe z
1− | z−a
1−az |2=(1− | a|2)(1− | z|2)
|1−az |2.
2. Déterminer les nombres complexes zvérifiant
|z−a
1−az |≤ 1.
Exercice 7
Soient
z1= 1 + iet z2=−1 + i√3
1. Déterminer les modules de z1et z2.
2. Déterminer un argument de z1et un argument de z2.
3. Déterminer le module et un argument de z1
z2.
4. En déduire les valeurs de cos(−5π
12 )et sin(−5π
12 ).1
Exercice 8
Soit zun nombre complexe, on considère l’expression :
g(z) = 1 + z+z2+z3+z4.
1. Montrer que, pour tout z6= 1 , on a :
g(z) = 1−z5
1−z.
2. Déterminer g(ei2π
5). En déduire la valeur du réel Sdéfini par :
S= 1 + cos(2π
5) + cos(4π
5) + cos(6π
5) + cos(8π
5).
3. Montrer que cos(2π
5) + cos(8π
5)=4cos2(π
5)−2et que cos(4π
5) + cos(6π
5) = −2cos π
5.
4. En déduire que cos π
5. est solution d’une équation du second degré.
5. Résoudre cette équation et donner la valeur exacte de cos π
5.
Exercice 9
Calculer les racines carrées des nombres suivants :
z1=i, z2= 1 −i, z3=−7 + 24i, z4=−5−12i.
Exercice 10
Résoudre dans Cles équations :
1. z2=i.
2. z4+ 1 = 0
3. z2−(1 −2i)z+ 1 −7i= 0
4. z6−iz3−1−i= 0
5. z5= 1
6. z5= 1 −i
7. z3= 2 −2i
Exercice 11
Soit l’équation ( E) : z3−iz + 1 −i= 0
1. Montrer que (E)admet une racine réelle.
2. Déterminer les solutions de (E).
Exercice 12
Linéariser
cos3(x), sin3(x), cos5(x), sin5, sin3(x)cos2(x), sin(x)cos3(x).
Exercice 13
1. Déterminer l’ensemble des complexes ztels que 1−z
1−iz soit réel.
2. Déterminer l’ensemble des complexes ztels que 1−z
1−iz soit imaginaire pur.
2
1
/
2
100%
