TD2 n1 MECANIQUE ESTI 2024

Ecole supérieure Polytech Diamniadio
Année universitaire 2023-2024/ L1 – S1
TD 2 de Mécanique du Point
Série N° 0.1 : Dynamique – Energétique du Point Matériel
Exercice 1
Un point P, de masse m, repéré par ses coordonnées polaires r = OP et  
 se déplace sans
frottement sur un plan horizontal. Ce point est lancé dans le plan xOy à partir de P0, de coordonnées
cartésiennes (0, α) dans un champ de force 
, et subit en outre une force résistante
proportionnelle à sa vitesse : 
(b et k sont des constantes positives).
1) Etablir en coordonnées polaires (r, ) les équations différentielles du mouvement de P.
2) En déduire dans le cas où la vitesse angulaire est constante :
a) l’équation horaire r(t) en fonction de α, b, m et t ;
b) la vitesse angulaire  en fonction de k, m et b.
Exercice 2 (TPE)
Un point matériel M, de masse m, relié à l’origine O d’un repère (R) par un fil inextensible et sans
masse, décrit dans le sens positif un cercle vertical, de centre O, de rayon r.
1) Quelles sont les tensions TA et TA’ lorsque M passe en A avec la vitesse vA
et en A’ avec la vitesse vA’ ? (on exprimera TA et TA’ en fonction de vA, vA’, m, r,
et g (intensité du champ de pesanteur). Les valeurs trouvées sont-elles toujours
positives ?
2) Ecrire l’équation différentielle vérifiée par l’angle  que fait OM
avec la verticale. Pour intégrer cette équation, multiplier chaque terme par
 pour faire apparaître des dérivées connues, en déduire l’expression de la
vitesse à l’instant t sachant qu’à l’instant initial  = 0 et v = v0 (on exprimera
v2 en fonction de v0 , g , r et  ). Calculer alors la tension du fil T en fonction de v0, g, r et .
3) La vitesse initiale v0 étant donnée, on désigne par v la valeur de  qui annule l’expression de v et
par T celle qui annule l’expression de T. Exprimer cosv puis cosT en fonction de v0, g et r, et tracer
les courbes cosv = f (v02) et cosT = f (v02). En déduire la nature du mouvement de M suivant la
valeur de v0.
Exercice 3
Un point matériel se déplace dans le plan xOy. Il est soumis à une force d'expression :
où x et y sont les coordonnées du point matériel.
Ce point se déplace du point M(0,m) au point N(n,0).
Calculer le travail de la force lors du déplacement :
 en suivant la droite MN.
 en suivant les segments de droite MO puis ON.
Conclure.
M(m)
A’
x
y
A
O

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Exercice 4
Une masse m est suspendue à un ressort de constante de raideur k qui est lui-même attaché à un
plafond. Le ressort étant au repos, on lâche la masse sans vitesse initiale et on note
x(t) son abscisse à l’instant t.
1- En étudiant le mouvement de la masse m, trouver x(t) et en déduire la valeur
des allongements maximal xmax et minimal xmin du ressort.
2- Retrouver xmax et xmin par un raisonnement énergétique.
Exercice 5 (TPE)
Un solide ponctuel de masse m est lancé en A sur une piste horizontale prolongée par un demi-cercle
de rayon α. On donne AB = 1m ; α = 1 m ; m = 0,5 kg et g = 10 m.s-1.
1) Les frottements étant négligeables, calculer en A la vitesse minimale VA que
doit avoir la masse pour atteindre le point C.
2) Même question si les frottements entre l’objet la piste
sont assimilables à une force 
 de module constante f = 1N.
Exercice 6
Soit un pendule simple de masse m de longueur l inextensible. On écarte le pendule d’un angle 
par rapport à la verticale et à l’instant initial, on l’abandonne sans vitesse initiale.
On néglige tout frottement.
Etablir l’équation différentielle du mouvement reliant  à
ses dérivées temporelles en utilisant
a) Le principe fondamental de la dynamique
b) Le théorème de l’énergie mécanique
c) Le théorème du moment cinétique
m
x
O
l0
B
C
A
m