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Mohammed El Amrani
Suites et séries
numériques
Suites et séries
de fonctions
^
\1
OP'"
I
Suites et series
numériques
Suites et séries
de fonctions
Mohammed Ei Amrani
Collection Références sciences
dirigée p a r Paul de La b o u la y e
[email protected]
De l'Intégration aux probabilités, Olivier Goret, Aline Kurtzmonn, 504 pages, 2011.
Épistémologie mathématique. Henri Lombordi,216 pages, 2011.
Intégration -Intégrale de Lebesgue e t Introduction à l'analyse fonctionnelle.
Thierry Goudon, 192 pages, 2011.
Suites e t séries numériques. Suites e t séries de fonctions. Mohammed El Amrani,
456 pages, 2011.
ISBN 978-2-7298-70393
©
Ellipses Édition Marketing S.A., 2011
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15
Le Code de la propriété intellectuelle n’autorisant, aux termes de l’article L. 122-5.2* et 3"a), d’une
part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans
un but d’exemple et d ’illustration, « toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite
sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (art. L. 122-4).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit constituerait une contrefaçon
sanctionnée parles articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété intellectuelle.
www.editions-ellipses.fr
Avant-propos
Le but de cet ouvrage est de présenter un cours complet sur les notions
fondamentales de suites et de séries, aussi bien dans le cadre numérique
que dans celui des fonctions. Le programme traité couvre les trois années
de la Licence, et le cours est rédigé de manière à ce que chaque lecteur
y trouve le niveau adapté à son parcours et à ses attentes. Ainsi, pour le
programme relevant du niveau Ll, l’étudiant débutant trouvera des défi­
nitions motivées et détaillées ainsi que des énoncés illustés de nombreux
exemples et contre-exemples. Pour le programme spécifique au L2 et au
L3, nous avons veillé à ce que la rédaction soit là aussi très détaillée tant
au niveau des énoncés que celui des démonstrations, mais nous avons
fait appel à un niveau de langage mathématique, notamment celui des
quantificateurs, qui permette au lecteur d’acquérir les bases nécessaires
à une progression harmonieuse et exigeante.
L’apprentissage des mathématiques requiert la recherche active et régu­
lière de nombreux exercices, c’est pourquoi chaque chapitre du cours en
propose un grand choix. Ces exercices, tous entièrement corrigés, vont
du test de compréhension et d’application directe du cours à l’exercice
plus élaboré destiné au travail d’approfondissement. Pour les révisions,
le lecteur trouvera un chapitre entièrement consacré à des problèmes de
synthèse, tous entièrement corrigés, et pour lesquels nous avons systé­
matiquement privilégié la solution méthodique et raisonnable que peut
découvrir l’étudiant lui-même, à une éventuelle solution “rusée”, voire
“miraculeuse”.
Cet ouvrage est le fruit d’une expérience de plusieurs années de cours
et de travaux dirigés à l’Université d’Angers, sa rédaction a été guidée
par un souci pédagogique constant, et nous avons recherché l’équilibre
nécessaire entre les points de vue théorique et pratique.
Si ce livre s’adresse principalement aux étudiants des trois années de la
Licence, il est conçu de manière à être utilisé avec profit par les candidats
au CAPES de Mathématiques ou à l’Agrégation interne ainsi que par les
élèves des classes préparatoires scientifiques.
Table des matières
Avant-propos
vii
1 Suites réelles ou complexes
1
Exemples de suites définies par ré c u rre n c e .....................
2
Limites de s u i t e s ................................................................
3
Suites monotones, suites ad jacen tes..................................
4
Suites de C a u c h y ................................................................
5
Suites récurrentes de type Un+\ = /(w„)
6
Convergence : vitesse et accélération ...............................
7
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1 ............
1
1
11
32
34
38
39
47
2 Séries réelles ou complexes
1
Généralités .........................................................................
2
Séries à termes p o sitifs.......................................................
3
Règles de Cauchy et de D’A lem bert..................................
4
Séries semi-convergentes....................................................
5
Produit de Cauchy de deux s é rie s .....................................
6
Groupement et permutation des te rm e s...........................
7
Calcul approché de la somme d’une s é r i e ........................
8
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2 ............
79
79
85
93
97
101
103
107
110
3 Suites de fonctions
1
Convergence simple et convergence u niform e..................
2
Convergence uniforme et c o n tin u ité ..................................
3
Convergence uniforme et d ériv atio n ..................................
4
Convergence uniforme et intégrale de R iem ann...............
5
Convergence uniforme et intégrales im p ro p re s ...............
6
Théorème d’approximation de W eierstra ss.....................
7
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3 ............
139
139
145
148
151
153
156
159
IX
Table des matières
4 Séries de fonctions
1
Différents modes de convergence........................................
2
Convergence uniforme et l i m i t e ........................................
3
Convergence uniforme et c o n tin u ité..................................
4
Dérivation terme à te rm e ....................................................
5
Intégration terme à terme sur un segment .....................
6
Intégration terme à terme sur un intervalle.....................
7
Énoncés et solutions des exercices du chapitre4 ..............
189
189
195
196
197
199
200
201
5 Séries entières réelles ou complexes
229
1
Rayon de convergence
................................................... 229
2
Opérations sur les séries entières........................................ 235
3
Convergence uniforme et séries e n tière s........................... 238
4
Propriétés de la fonction som m e........................................ 239
5
Fonctions développables en série entière........................... 241
6
Séries entières classiques.................................................... 248
7
Fonctions usuelles de variable complexe........................... 251
8
Énoncés et solutions des exercices du chapitre5 .............. 256
6 Séries de Fourier
1
L’espace préhilbertien C2,r(lR)C).......................................
2
Séries trigonométriques.......................................................
3
Séries de Fourier ................................................................
4
Formule de Parseval ..........................................................
5
Noyau et théorème de D iric h le t.......................................
6
Énoncés et solutions des exercices du chapitre6 ..............
287
287
295
298
307
311
316
7 Problèmes de révision corrigés
343
1
Problèmes sur les suites et les séries num ériques............ 343
2
Problèmes sur les suites et les séries de fonctions............ 374
3
Problèmes sur les séries e n tiè re s........................................ 390
4
Problèmes sur les séries de Fourier..................................... 399
Bibliographie
431
Index
433
Chapitre 1
Suites réelles ou complexes
La notion de suite et de limite naquit avec la méthode d’exhaustion, tech­
nique utilisée par les mathématiciens grecs de l’Antiquité pour le calcul
de longueur, d’aire et de volume. C’est ainsi qu’Archimède^ approximait
l’aire d’un cercle en y inscrivant une suite de polyèdres réguliers. La no­
tion de limite est centrale en Analyse, elle est au cœur de la définition
fondamentale de dérivée, d’intégrale et de série.
Ce chapitre traite une partie cruciale du programme de Ll, c’est pourquoi
nous l’avons rédigé de manière à être parfaitement accessible au lecteur
débutant. Nous y avons détaillé un grand nombre d’exemples et évité
tout formalisme inutile et tout emploi de quantificateurs.
1
Exemples de suites définies par récurrence
1.1. In tro d u ctio n
1.2. D éfinition Soit E un ensemble non vide. On appelle suite à va­
leurs dans E, toute application u : D
E où D est une partie de N.
Lorsque E est une partie de R (resp. de C), on dit que la suite est réelle
(resp. complexe). Dans ces deux cas on parle de suite num érique.
^ARCHIMÈDE. Né à Syracuse en Sicile vers 287 av. J.-C., et mort à Syracuse en 212
av.J.-C.. Généralement considéré comme le plus grand mathématicien de l’Antiquité
classique, il a notamment utilisé la méthode d’exhaustion pour calculer l’aire sous
un arc de parabole à l’aide d’une somme de série, et a donné un encadrement de n
d’une remarquable précision. Il fut également un physicien et un ingénieur de grande
envergure.
1
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
1.3. R em arque Si и est u._e suite numérique, on devrait normalement
noter u(h) l’image de n par a. L’usage veut que l’on écrive
à la place
de u(n). On remarquera que
est simplement l’une des valeurs de la
suite (on dit aussi un des termes de la suite, ou encore le terme général de
la suite). La suite elle-même est la fonction u, mais on peut aussi écrire la
suite complète sous la forme (un)neDexemple, lorsque D = N, on
notera la suite sous la forme (un)neN> ou encore (u„)„>o. Lorsqu’aucun
risque de confusion n’est à craindre sur D, on notera simplement (u„)
au lieu de (un)neDPar commodité, nous supposerons souvent que les suites considérées sont
définies à partir du rang n = 0. Si une suite n’est définie qu’à partir d’un
certain rang p (p > 0), on se ramène au cas précédent en étudiant la suite
(un)neN définie par
= Un+p.
Une suite peut être définie par la donnée d’une formule explicite :
Un = f(n ),
est une combinaison de symboles connus. Par exemple, si pour
n > 0 on pose :
OÙ /
= Vn^ + 1 ; Vn =
5n ^ Ч- n - t - 1
+1
Wn — I 1 +
n+1
on obtient trois exemples de suites définies explicitement en fonction
de l’entier n. Mais souvent une suite (lin)neN est définie de façon plus
détournée, par la donnée de uo et d’une relation de récurrence
Un — ip{un-i) pour tout n > l ,
où (f est une fonction explicitement connue, ce qui permet de calculer
de proche en proche le terme tt„ quand on connaît u„_i. Par exemple,
la suite (un)neN donnée par
Щ = - , et Un = 3 u n -i{ l — Un-i) pour tout n > 1
a pour premiers termes :
Uq
1
2> Ui -
U2
9
jg
189
Nous allons maintenant étudier des exemples classiques importants de ce
type de suites numériques.
§ 1.
Exemples de suites définies par récurrence
3
1.4. D éfinition Soient a et r deux nombres réels ou complexes. On
appelle suite arith m é tiq u e de premier terme a et de raison r, la suite
numérique (un)„gN définie par Uq = a et Un = Un-i + r pour tout
entier n > 1.
1.5. P ro p o sitio n Soit (un)neN
suite arithmétique de premier terme
a et de raison r. Alors,
Un = a
nr
(1.1)
pour tout n G N.
D ém onstration : Nous allons établir la formule (1.1) par récurrence
sur n.
Cette formule est vraie pour n = 0 puisque uo = a = a + O x r .
Supposons-la vraie à l’ordre n.
Montrons qu’elle est vraie à l’ordre n + 1. En effet, on a Un+i =Un + r,
et par hypothèse de récurrence on a Un = a+ nr, donc Un+i = a + n r+ r,
c’est-à-dire Un+i = a + {n + l)r, ce qui prouve que la formule (1.1) est
vraie à l’ordre n -I-1.
On conclut que (1.1) est vraie pour tout n G N.
□
1.6. D éfinition Soient a et r deux nombres réels ou complexes. On
appelle suite géom étrique de premier terme a et de raison r, la suite
numérique (un)n€N définie par uq = a et Un = fU n-i pour tout n > 1.
1.7. E xem ple La suite géométrique (un)neN de premier terme o = 0
et de raison r n’est autre que la suite constante égale à 0. Autrement
dit, Un = 0 pour tout n > 0. Montrons-le par récurrence. D’abord, c’est
vrai pour n = 0 puisque uq = a = 0. Supposons que «„ = 0 pour un
certain n, et montrons que u„+i = 0. On a Un+i = run, et l’hypothèse
de récurrence donne Un = 0, donc Un+i — r x 0 — 0.
On conclut que «„ = 0 pour tout entier n G N.
De la même manière, on montre qu’une suite géométrique ('U„)„eN de
premier terme a et de raison r = 0 vérifie : uq — a et Un = 0 pour tout
entier n G N*.
1.8. P ro p o sitio n Soit (un)neN une suite géométrique de premier terme
a et de raison non nulle r. Alors, pour tout n G N, on a
Un = ar
(1.2)
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
D ém onstration : Nous allons procéder par récurrence sur n.
La formule est vraie pour n = 0 puisque uq = a = ar^ (car = 1).
Supposons-la vraie à l’ordre n, et montrons qu’elle est vraie à l’ordre
n + 1. On a tin+i =
et par hypothèse de récurrence : Un = a r^,
donc Un+i — r (a r") , c’est-à-dire Un+i = a
ce qui prouve que la
formule (1.2) est vraie à l’ordre n + 1 .
On conclut que la formule
= a r ” est vraie pour tout n 6 N.
□
Au paragraphe 1.15 nous étudierons également des suites définies par
la donnée de leurs deux premiers termes uq et ui et d’une relation
de récurrence dite d’ordre deux : Un+i = ip{un,Un-i) où 'ip est une
combinaison de symboles connus.
1.9. E xem ple Les nombres de Fibonacci^ sont les termes de la suite
(F’n)neN, définis par
Fo = 0, Fl = 1; Fn = Fn-i + Fn-2
pour tout n > 2.
Nous allons à présent décrire quelques exemples-type de suites réelles ou
complexes définies par récurrence, et pour lesquelles on peut trouver une
formule explicite
= /(n ) ; c’est néanmoins une circonstance qui reste
exceptionnelle.
1.10. La form ule de la progression a rith m étiq u e
Soit («n)neN une suite arithmétique de premier terme a et de raison r.
On se propose d’établir la formule suivante donnant la somme des n -I- 1
premiers termes de (u„)„gN :
= ' ^ {a + kr) = (n-I-1)a -f r
fc=0
n (n -f 1)
(1.3)
A:=0
D’après la proposition 1.5, on a Uk = a + k r pour tout k > 0 . La somme
que nous recherchons va contenir n -1- 1 fois le terme a, ce qui donne
n
(n +1) a, et aussi r fois la somme
= O+ 1 + ... + n. Cette dernière
fc= 0
^FIBONACCI Leonardo (1175-1250). Mathématicien italien. Connu de nos jours
pour un problème conduisant aux nombres et à la suite qui portent son nom. À son
époque, il fut célèbre surtout pour les applications qu’il donna de l’arithmétique au
calcul commercial (calcul de profit, conversion entre monnaies ...). Ses travaux sont
utilisés en Finance.
§ 1.
Exemples de suites définies par récurrence
somme vaut n (n + l)/2, comme on peut le voir soit par une récurrence
simple, soit en écrivant
к — l + 2 + ’ ’ ’ + (n —
n
fc=0
n
k — 7l + (7 l--l) + *** + 2 + l.
k=0
En additionnant par colonne, chaque terme de la première ligne avec le
terme correspondant de la seconde, on obtient en effet
2
k = (1 + n) + ^2 + (ti —1)^ + • • • +
—1) + 2^ + n + 1
k=0
= (n + 1) + (n + 1) + • • • + (n + 1) + (n + 1)
n term es
— n (n + l).
D’où la formule désirée.
1.11. La formule de la progression géométrique
Nous allons démontrer la formule suivante :
1
^
k
J
O, = {
-
------1- a
In+1
si “ ^ 1
(1.4)
si a = 1.
Pour cela, posons
Sri —
(1.5)
= l + U + (X^ + *** +
k=0
OÙ l’on a convenu que
a° = 1. En multipliant Sn par a, on obtient
= a+
+ . • • + a”- 4 a" + аГ+\
d’où, par différence de (1.5) et (1-6), (1 —a) S'n = 1 —
donne la formule désirée, lorsque a ^ 1 .
Si O = 1, on a évidemment Sn = s1 + lH-----f-l✓ = n + l .
_ ^
_
n + 1 term es
(1.6)
ce qui
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
1.12. Exemple Soit a un nombre réel ou complexe différent de 1, et
soient n et P deux nombres entiers vérifiant 0 < p < n. On a
+ ••• +
+ a” =
(1 + a + • • • +
et comme a ^ 1, on a d’après (1.4),
1
1 + (I + • ■• + ûn —p _
-
1 —a
D’où
aP +
+
+
+ a" = aP
1 _a»^-P+i'
1
—
0
ou encore
aP +
+ ••• +
+ a" =
aP 1 —0
1.13. E xem ple Soit n € N*. À l’aide de (1.4), évaluons la somme
4
- AA
~ 10
1Q2
9
“ îô 0
1
ïô
A
10" ■
On a
.
+
(1.7)
10in—1
Puisque ^ ^ 1, la formule (1.4) donne
1
^ ----10" _
—
‘ + 10 +
+
1
10'in—
^t _ 10
^1 ----10>
= ;?
A
1 -è
1 -
10
En remplaçant dans (1.7), on obtient
^
10
A _ 1 __ L
102
‘
10" “
10"'
1.14. R écurrences linéaires d ’ord re un
Soient O 7^ 0 et & deux constantes complexes, et considérons la suite,
dite arith m ético -g éom étrique, définie par la donnée de uq et par la
relation
Un = 0 , U n - l + b pour tout n > 1.
§ 1.
Exemples de suites définies par récurrence
'
Pour une telle suite (un)neN) nous alloub expliciter le terme général
en fonction de uq et de n. En effet, on a
<
'^ n
—
C L Z L fi— 1 “1“
b
'^ n —1
—
Qj U f i —2
^
'^ n —2
=
CL U n - S
“1" b
Us
=
CL
U2
=
CL U i
H“ b
U i
=
a uo
+
\
.
”1” b
b
Multiplions la deuxième relation par a, la troisième par a^, . . la kième par
l’avant-dernière par
et la dernière par
Puis additionnons. Après simplifications, on obtient
Un — Uqà'’'
b (^1
a
• -\r 0,^
,
et compte tenu de (1.4), on déduit que
Un = {
1 - a”
si O 7^ 1
1 —a
si a — 1.
Uq + nb
UqoT' -|- b
Un =
1.15. R écurrences linéaires d ’ord re deux
Soient O et 6 deux constantes réelles ou complexes non nulles, et soit
(wn)n6N une suite telle que, pour tout n > 2, on ait
Un — UUn—1 “1“ b Un—2*
18
( . )
Chaque fois qu’on précise les conditions initiales, c’est-à-dire qu’on donne,
de manière quelconque, les valeurs des deux premiers termes uq et ui, la
relation (1.8) fournit une suite (wn)neN et une seule. Tant qu’on ne précise
pas les conditions initiales, (1.8) admet une infinité de solutions. Cher­
chons s’il en existe du type particulier Un = r ”, où r est une constante
complexe non nulle. Pour que l’on ait pour tout n > 2,
r" = a r ”-^ -h
il faut et il suffit que le nombre complexe r soit solution de l’équation
c£iractéristique associée à (1.8) :
— ar — b = 0.
(1.9)
8
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
Premier cas : supposons que le discriminant a^+46 de (1.9) soit non nul.
Alors (1.9) admet deux racines distinctes ri et r 2, ce qui donne pour
(1.8) deux solutions non proportionnelles :
Un = r ■ et
Un = rS
La relation (1.8) étant linéaire, il est clair que, pour tout couple de
constantes complexes A et 5 , la suite
Un
(1.10)
= A r” + Br2
est encore solution de (1.8).
Supposons maintenant qu’on précise les conditions initiales Uq et ui ;
nous allons voir que ceci détermine complètement les constantes A et B,
ce qui prouvera a posteriori que (1.10) est la solution “générale” de (1.8).
En effet, si on fait n = 0, puis n = 1, dans (1.10), on obtient le système
linéaire
( A B
= uq
y ri A + r2 B = Ui
d’où l’on déduit que
A =
U q T2 - U i
r2 -ri
et
B =
U\ - U p r i
r2 -n
On obtient ainsi une formule explicite pour Un quand on connaît uq et
Ui, à savoir
^ { u o r 2 -u i)r ^ + (ui - u o r i ) r ^
r2 -ri
Noter que la suite (u„) et celle de terme général donné par le second
membre de (1.11) sont identiques car elles ont les mêmes deux premiers
termes et vérifient toutes deux la même relation de récurrence d’ordre 2.
Second cas : supposons
+ 46 = 0. L’équation (1.9) admet une racine
double r = a f2 qui fournit alors une seule solution de (1.8), à savoir
r ” = (a/2)”. Pour obtenir une autre solution, posons
Un = r'^Vn
-
Un calcul facile montre que Un vérifie (1.8) si et seulement si
Vn -- 2Vn-l - Vn-2-
(1.12)
§ 1.
Exemples de suites définies par récurrence___________________ 9
Oi Vn = n est une solution évidente de (1.12). Ainsi,
= n (a /2 )”
est une deuxième solution de (1.8), non proportionnelle à la première,
c’est-à-dire à (a/2)'^. Par linéarité, on déduit que
“ (i)
'''
(1.13)
est solution de (1.8) quelles que soient les constantes A et B. En faisant
n = 0, puis n = 1, dans (1.13), on obtient le système linéaire
i B
= uo
1 a (A -I- 5 ) = 2ui
d’où
A = - «1 — Uo
a
et
B = uq.
On en conclut que
— I
i
Uq + n \ - Ui - Uo
\a
(1.14)
Ici aussi, il est à noter que la suite («„) et et celle de terme général
donné par le second membre de (1.14) sont identiques car elles ont les
mêmes deux premiers termes et vérifient toutes deux la même relation
de récurrence d’ordre 2.
1.16. Récurrences homographîques
Soient a, b, c, d quatre constantes complexes telles que ad — bc ^ 0 et
c ^ O . Soit (u„)neN une suite telle que, pour tout entier n > 1, on ait
CLUfi —1 “1“ b
U n.
—
cUji-i + d
(1.15)
Cherchons une formule explicite donnant Un en fonction de uq et de n.
Pour cela, on commence par une étude préliminaire de la transformation
dans le plan complexe donnée par
Z I—> Z —
az + b
cz + d
(1.16)
Les points fixes de cette transformation sont les nombres complexes 2
vérifiant
az + b
--------- ; — -2^cz + d
10
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
Ce sont donc les racines de l’équation du second degré
cz^ + {d —a) Z — b = 0
(1.17)
Premier cas : supposons le discriminant (d — a)^ + 46c non nul. Alors
l’équation (1.17) admet deux racines, c’est-à-dire que la transformation
(1.16) admet deux points fixes, a et /?. On déduit de (1.16) que
Z — ex
Z — (5
{a — ac) z + b — ad
(a —Pc) z + b —Pd
a —ac
a —Pc
z —
P c—a
Mais, puisque a et P sont racines de (1.17), on a
b — ad
a c —a
b -p d
Pc — a =
et
= a
P-
Donc, si (1.16) a deux points fixes a et P, et si l’on pose k = - —
la
a —Pc
formule Z =
. est équivalente à —— ^ = k ^ e x p r e s s i o n qui
cz + d
Z —P
z - p '
présente l’avantage de se prêter à l’itération.
En effet, de proche en proche, on a
Un û!
U n -P
^ Ufi—\ a
Un-i - P
j^2 Un—2 O!
Un-2 - P
=
Г
Uq —a
Uq - P '
Donc (1.15) équivaut à
Un
a
Un
P
Щ —a
=
Uq
P
(1.18)
d’où l’on déduit la formule explicite désirée :
_ а { щ - P) - P
{ uq - a)
Щ - P - k + {uq - a)
(1.19)
Second cas : supposons (d—о)^-ь46с = 0. Alors (1.17) a une seule racine,
c’est-à-dire que (1.16) admet un seul point fixe : a = (a —d)/2c.
Traitons d’abord le cas particulier où a = 0, c’est-à-dire a = d et donc
6 = 0. Dans ce cas, (1.16) prend la forme c Z z + a{Z — z) = 0, c’està-dire que l’on a
-
-
-
+
-
§ 2.
Limites de suites
11
Supposons maintenant a 0. En prenant a comme nouvelle origine dans
le plan complexe, on est ramené au cas particulier qui vient d’être traité.
Il existe donc une constante h telle que (1.16) soit équivalente à
1
Z —a
c’est-à-dire à
Z =
1
Z —a
+ hf
{ a h + l ) z — a^h
h z + 1 —a h
Cette formule coïncide avec (1.16), donc
^
Ainsi (1.16) est équivalente à
1
Z —a
h
^ = - , d’où h =
,.
c'
a+d
1
2c
a —d
-b —:—; avec a =
Z —a
a-\- d
2c
( 1. 20)
On a donc de proche en proche :
1
a,
^71—1
2c
1
n Id
^71—2
1
/
2c
-b (гг - 1)
CL
d
ui — a
+
soit finalement
1
1
Un — OL
Щ —a
d’où l’on tire la formule explicite :
U n
2
=
+ n
2c
(L d
(a + d) г¿o + 2 a n c {щ — a)
a + d + 2nc{uç^ — a)
„
+ 2
2c
O, d
( 1. 21)
( 1. 22)
Limites de suites
En plus des définitions et résultats fondamentaux, nous insisterons dans
ce paragraphe sur l’axiome de la borne supérieure, qui distingue de façon
décisive l’ensemble R des nombres réels de l’ensemble Q des nombres
rationnels, et sur les conséquences de cet axiome dans la théorie des
limites : limites de suites monotones, critère de Cauchy, théorème de
Bolzano-Weierstrass.
12
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
2.1. D éfinition de la lim ite. P ro p rié té s élém entaires
2.2. D éfinition On dit qu’une suite («„) de nombres réels est m ajorée
s’il existe un nombre A tel que, quel que soit n, on ait
< A.
2.3. D éfinition On dit qu’une suite (u„) de nombres réels est m inorée
s’il existe un nombre B tel que, quel que soit n, on ait B <Un.
2.4. D éfinition On dit qu’une suite (un) de nombres réels est bornée
si elle est majorée et minorée ; cela revient au même de dire qu’il existe
un nombre réel M tel que, pour tout n, on ait |u„| < M.
La notion de suite bornée s’étend naturellement au cas des suites à valeurs
complexes.
2.5. D éfinition On dit qu’une suite (un) de nombres complexes est
bornée s’il existe un nombre réel M tel que, pour tout n, on ait |u„| < M.
2.6. D éfinition Soient (un) une suite numérique et i un nombre réel ou
complexe. On dit que (un) ad m et i p o u r lim ite si, pour tout nombre
réel s > 0, il existe un entier N (dépendant de e) tel que : n > N
implique |w„ —i \ < e .
(—1)"
2.7. E xem ple La suite {un)n>i donnée par
= 1 + — — a pour
Tl/
limite 1. En effet, soit e > 0. Prenons N égal au plus grand entier
supérieur ou égal à 1/e. Alors
n > N implique |u„ —1| =
i-iy
n
n - N -
2.8. T héorèm e (U nicité de la lim ite) Si une suite numérique («„)
admet une limite, alors elle n’en admet pas d’autre. Autrement dit, si
(un) admet i\ et ¿2 comme limites, alors i\ = ¿2 D ém onstration :
Supposons que («„) admette
et £2 comme
limites, et supposons que ¿1 ^ £2 - Posons e = \ i \ — 4 |/3 . On a d’une
part £ > 0, et d’autre part, il existe des entiers N 1 et N 2 (dépendant
de e) tels que, pour tout n G N, on ait
n > iVi implique \un~ £ i\< e , et n > N 2 implique |u„ —£2 ! < £•
§ 2.
Limites de suites
13
Mais alors, pour tout n > m.ax.{Ni,N 2), on aura par l’inégalité triangu­
laire,
1^1 —^2 ! ^ \^1 ~ Un\
1^71—^21 ^ 2s,
ce qui contredit le fait que \i\ —¿2 I = 3e. Donc i\ — ^2 -
□
2.9. Définition On dit qu’une suite numérique (u„) est convergente
si elle admet une limite. Dans le cas contraire, on dit que la suite est
divergente.
2.10. Remarque La nature d’une suite (c’est-à-dire le fait d’être conver­
gente ou divergente) est inchangée lorsqu’on modifie un ensemble fini de
ses termes. De plus, en cas de convergence, la limite est la même.
N otations Lorsqu’une suite (u„) admet ¿ pour limite (on dit aussi que
la suite converge vers £ ou qu’elle tend vers £) ; on écrit lim Un = £
n^+oo
ou lim Un = ^ ou encore u„ —> £.
2.11. Proposition Toute suite numérique convergente est bornée.
D ém onstration : Soit (un)neN une suite numérique convergente et
notons £ sa limite. Soit e > 0. On peut alors trouver A/' G N tel que
\un — £\ < £ pour tout n > AT. En particulier, pour e = 1, il existe un
entier N tel que pour tout n > N,on. ait |u„ —^| < 1. Donc, pour tout
n > A/', on a par l’inégalité triangulaire,
|Un| = l'Un —£ -\- £\ < |Un —f I -j- 1^1 < 1 -|- 1^1.
Soit M le plus grand des nombres |uo|, |ui|, . . . , |ujv_i|, 1 -f- \£\. Il est
clair que, pour tout entier n > 0, on a |un| < M, ce qui montre que la
suite (un)n€N est bornée.
□
2.12. P ro p o sitio n Soient (un) et (u„) deux suites numériques telles
que lim Un = 0 et (vn) est bornée. Alors lim (unVn) = 0.
n —^+oo
n —>+00
D ém onstration : Soit M > 0 fixé tel que, pour tout entier n, on
ait luni < M. Soit e > 0. Puisque (un) tend vers 0, appliquons-lui la
définition de la limite en y remplaçant e par e /M : il existe un entier
14
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
N tel que n > N implique |un| < e/M . Il en résulte que, pour tout
n > iV, on a
\unVn\ = |«n| X \vn\ < — M = e,
ce qui exprime bien que la suite («„ Vn) tend vers 0.
□
2.13. Exemple La suite (sinn)„>o est bornée et la suite (l/n)n>i tend
vers 0. Donc la suite
converge vers 0.
2.14. Définition Une suite numérique (u„) est dite stationnaire si elle
est constante à partir d’un certain rang, c’est-à-dire qu’il existe a € C
et no € N tels que l’on ait Un = a pour tout n > no.
2.15. Exemple La suite de terme général Un = min(2, ^/n — 5) est
stationnaire car constante égale à 2 à partir du rang
= 49.
2.16. Définition Une suite numérique (n„) est dite périodique s’il
existe un entier A: > 1 tel que, pour tout entier n, on ait
= Un2.17. Définition Soit {un) une suite numérique. On appelle sous-suite
ou suite extraite de la suite (n„), toute suite (u^(n)) où ip est une
application strictement croissante de N dans N (une telle application (p
est appelée une extractrice).
2.18. Exemple {u2n) et (u2n+i) sont des sous-suites de la suite («„)
puisque
2n et n
2n -I-1 sont des applications strictement crois­
santes de N dans N.
2.19. Lemme Pour toute application (p strictement croissante de N
dans N, on a (p(n) > n pour tout n € N.
D ém onstration : Nous allons procéder par récurrence.
Puisque p est à valeurs dans N, on a bien sûr ^(0) > 0, ce qui montre
que l’inégalité désirée est vraie pour n = 0. Supposons maintenant qu’on
ait tp{n) > n pour un n, et montrons que (p{n -I-1) > n -h L Puisque (p
est strictement croissante, on a (p{n -I- 1) > ip{n), donc (p{n -f 1) > n
d’après l’hypothèse de récurrence, et comme (p est à valeurs dans N, on
en déduit que (p(n -H 1) > n -I-1. On a donc démontré, par récurrence,
que p(n) > n pour tout n 6 N.
□
§ 2.
15
Limites de suites
2.20. P ro p o sitio n Si une suite numérique (u„) converge vers i, alors
toute suite extraite de {un) est convergente et admet pour limite £.
D ém onstration : Un nombre réel e > 0 étant donné, si N est un
entier naturel tel que \un - ^\ < e pour tout n > N , alors, d’après le
lemme précédent, on a |u<^(n) — ^ ^ pour tout n > N.
□
2.21. Exem ple Si lim
n—>+oo
a
alors, pour tout entier p > 1 fixé, on
lim Un+v = ^ et lim Upn — t-
N o tatio n s Si
est une application strictement croissante de N dans
N, alors, en notant Uk = (fik), on écrit aussi {unJkeN une suite extraite
de (u.,i)nçN‘
2.22. D éfinition On appelle valeur d ’adhérence d’une suite numé­
rique (un), tout élément de K (K = R ou C) limite d’une suite extraite
convergente de (un).
2.23. P ro p o sitio n Toute suite numérique convergente ne possède que
sa limite comme valeur d’adhérence.
D ém onstration : La limite t de {un) est évidemment une valeur
d’adhérence de (wn). Réciproquement, si i' est une valeur d’adhérence
de (un), alors il existe une suite extraite {u^{n)) convergeant vers
et
comme la suite
est extraite de la suite {un) et que cette dernière
converge vers i dans K, alors la suite (u^(n)) converge elle aussi vers i.
Le théorème 2.8 assure que i = H1.
□
2.24. R em arque On utilise fréquemment la proposition précédente sous
la forme contraposée suivante : une suite qui possède au moins deux
valeurs d ’adhérence est divergente.
2.25. Exem ple La suite de terme général (—1)’^ contient les sous-suites
(u2n) et (u2n+i) qui convergent respectivement vers 1 et -1 (car elles sont
constantes, égales respectivement à 1 et -1). La suite considérée est donc
divergente puisqu’elle possède 1 et -1 comme valeurs d’adhérence.
2.26. R em arque Une suite possédant une valeur d’adhérence n’est pas
nécessairement convergente. Par exemple, la suite de terme général
=
(1 — (—l)”) n ne possède que 0 comme valeur d’adhérence, cependant
elle ne converge pas puisque la suite extraite (u2n+i) tend vers -foo.
16
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
La proposition suivante, bien qu’élémentaire, se révèle souvent utile.
2.27. P ro p o sitio n Soient (un) une suite numérique, et i E K. Pour
que (un) converge vers i, il faut et il suffit que les sous-suites (u2n) et
(«2n+i) convergent toutes les deux vers i.
D ém onstration : Supposons que (u2n) et (u2n+i) convergent vers
L Soit e > 0. Il existe Ni, N 2 dans N tels que, pour tout p € N, on ait
à la fois \u2p — i \ < e pour p > N 1 , et \u2p+\ — ( \ < e pour p > N 2 .
Notons alors N = max(2iVi,2iV2 + 1), et soit n € N tel que n > N .l \
existe un entier p tel que n = 2p ou n = 2p + 1.
Dans le premier cas, on a 2p > 2Ni, donc p > N 1 d’où |u„ — i\ =
\u2p —^1 < Dans le deuxième cas, on a 2p + 1 > 2 N 2 +1, donc p > N 2,
d ’où \un — i\ — \u2p+x —^1 < £• Donc (u„) converge vers i.
La réciproque découle de la proposition 2.20.
□
2.28. Lemme Soient i un nombre complexe et {un) une suite numé­
rique. Alors la suite (un) converge vers i si et seulement si la suite
{un — i) converge vers 0.
D ém onstration : Pour tout n G N, posons Vn — Un — i.
- Montrons que si (u„) tend vers i, alors (u„) tend vers 0.
Soit e > 0. Il existe A/’ G N tel que, pour tout entier n > N, on ait
\un —^1 < c’est-à-dire |un| < e. Donc (u„) tend vers 0.
- Réciproquement, supposons que (u„) tende vers 0, et donnons-nous
e > 0. Il existe alors AT G N tel que, pour tout entier n > AT, on ait
|u„| < e, c’est-à-dire \un — C\ < e. Donc (tt„ —i) tend vers 0.
□
La proposition qui suit regroupe quelques propriétés élémentaires qui
facilitent le calcul des limites.
2.29. Proposition Soient i et i' deux nombres complexes et soient
(un) et (vn) deux suites numériques convergeant vers i et H! respecti­
vement. Soit A un nombre complexe. Alors
lim iun + Vn) = ^ +
n—>+00
lim (unVn) = i i ',
n-^+oo
lim iXun) = Xi,
n—>+00
lim |u„| - \i\.
n—>+00
§ 2.
Limites de suites
17
Si de plus i' ^ 0, alors à partir d ’un certain rang, on a Vnj^O et
lim — = i , donc aussi
n-^H-oo y
lu n
n-»+oo
Wn
-
=
t
D ém onstration : - Montrons que (un + u„) converge vers £ + £'.
Soit e > 0. Puisque (un) converge vers £ et (un) converge vers £', il
existe Ni e N tel que, pour tout n > Ni, on ait \un — £\ < s/2, et
il existe iV2 € N tel que, pour tout n > N 2, on ait \vn — £'\ < e/2.
En prenant N = max(iVi, ^N^2) et en utilisant l’inégalité triangulaire, on
obtient, pour tout n > N,
\{Un + Vn) -
(£ + £')\
=
\{Un - £) + {Vn - £')\
< \un -£ \-\-\v n -£ !\ < I + I = ^>
ce qui prouve que (tt„ + Vn) tend vers £ + £'.
- Montrons que (A u„) converge vers \£.
Observons d’abord que si A = 0, alors (Au„) est la suite nulle, donc
sa limite vaut 0, et on a bien 0 = 0 x
Supposons donc A ^ 0, et
donnons-nous e > 0. Il existe TV 6 N tel que, pour tout n > TV, on ait
\un ~ ^1 <
ce qui entraîne
|Au„ - A^l = |A| X \un - ^1 < |A|
d’où le résultat désiré.
- Montrons que {unVn) converge vers ££'.
D’après le lemme 2.27, il suffit de montrer que
On a
U nV n-££ ' =
= e,
—££') tend vers 0.
{Un - £ ) V n + £ {Vn - £')•
Puisque Un ^ £ on a
^ 0, et comme la suite (vn) est bornée (car
convergente), on conclut par la proposition 2.12 que (u„ — £)vn —>
■ 0.
Par ailleurs, Vn—£ '—>^0 entraîne que £ (u„ —£')
0. D’où la propriété
désirée.
- Montrons que si (u„) tend vers £, alors (|un|) tend vers \£\.
Donnons-nous e > 0. Il existe TV e N tel que, pour tout n > TV, on ait
\un —^\ < Or, pour tout n, on a ||u„| —|^|| < \un~£\, donc, pour tout
n > TV, on a ||u„| —1^11 < e. D’où le résultat annoncé.
- Montrons que si £' ^ 0, alors {un/vn) tend vers £/£'.
18
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
Puisque ^ 7^ 0, on a \i'\ > 0, et on peut trouver un entier N q tel que
\vn — ^'\ < K1 / 2 pour tout n > No, donc a fortiori, \i!\ - |u„| < \i'\/2,
ce qui entraîne |un| > \i'\/2 > 0. On a ainsi
7^ 0 pour tout n > N q ,
et la suite (l/u„)„ est définie à partir du rang N q .
Montrons maintenant que pour tout e > 0, il existe AT g N tel que pour
tout n > N , oïi ait :
< e.
Vn
i'
D’abord, pour tout n > N q, on a
1
1
Vn “
1'
Vn -
£'
_
\Vn -
£'\
<
-
\£'Vn\
£'V n
2
|^/|2
K -fl.
Puis, comme la suite {vn)n>No fei^d vers f , on peut trouver iVi G N tel
que, pour tout n > N 1 , on ait : |u„ —f | < \i'^ e/2.
En prenant N = max(A/o, N\), on obtient, pour tout n > N,
û>\2
Vn
-
\P>\2
e = e,
□
ce qui achève la démonstration du résultat annoncé.
2.30. Remarque On vient de démontrer que si une suite (u„) converge
vers £, alors la suite (|u„|) converge vers \i\. Mais attention : la réci­
proque n’est pas vérifiée, à moins que ^ = 0.
2.31. Lemme Soit (un) une suite réelle convergente et soit a un nombre
réel.
1) Si Un > a à partir d’un certain rang, alors lim
> a.
n —>+00
2) Si Un < a à partir d’un certain rang, alors
lim
n —>4-00
< a.
D ém onstration :
1) Quitte à considérer la suite (u„ — a), on peut
supposer que o = 0.
Soit e > 0, et notons l la limite de (un). Par définition de £, on a, à
partir d ’un certain rang : |u„ —^| < e, c’est-à-dire £ — e < U n < £ + e.
Si £ < 0, en prenant e = —£/2, on pourrait trouver un entier naturel N
tel que, pour tout entier n > iV, on ait
< £/2 < 0, ce qui contredit
l’hypothèse. Donc ^ > 0.
2) Il sufiit d ’appliquer 1) à la suite {—Un).
□
En utilisant le lemme ci-dessus, 011 déduit immédiatement les résultats
suivants.
§ 2.
19
Limites de suites
2.32. C orollaire Soit (un) une suite réelle convergente. S ’il existe des
nombres réels a et b tels qu’à partir d’un certain rang on ait a < «„ < 6,
alors : a < lim
< b.
n—>+oo
D ém onstration : C’est le lemme appliquée à la suite («„ —a) pour
la première inégalité, et à la suite (w„ —b) pour la seconde.
□
2.33. C orollaire Soient (un) et («„) deux suites réelles convergentes.
Si à partir d ’un certain rang, on a Un<
alors
lim Un <
n —>+oo
lim Vn.
n —>+oo
D ém onstration : 11 suffit d’appliquer le lemme précédent, avec a = 0,
à la suite de terme général Un — Vn.
□
2.34. R em arque Les résultats ci-dessus imposent des inégalités larges.
Une inégalité stricte ne se conserve pas par passage à la limite. Par
exemple, tous les termes de la suite (1/п)„ек» sont strictement positifs,
pourtant sa limite est égale à zéro.
Le théorème d ’encadrement suivant est un outil extrêmement puissant
pour établir la convergence de suites.
2.35. T héorèm e (des gendarm es) Soient
(un) et (bn) trois
suites réelles telles qu’à partir d’un certain rang, on ait an < Un < bnSi {ün) et (bn) sont convergentes et de même limite i, alors (un) est
convergente et sa limite est égale à i.
D ém onstration : Soit e > 0. Par définition de la limite, on peut
trouver 7Vi G N tel que
^ -f e si n > Ni. On peut également
trouver N 2 Ç. N tel que ê —e < an si n > N 2 . Notons p un rang à partir
duquel Un <Un <bn- Si l’on pose N — max(iVi,iV2,p), on aura, pour
n > N : i — e < ün < Un < bn < £ + £ , en particulier —e < U n — i < £ .
Donc (u„) converge et admet i pour limite.
□
Le résultat qui suit permet de ramener l’étude d’une suite complexe à
celle de deux suites réelles.
20
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
2.36. P ro p o sitio n Soit (xn) et (yn) deux suites réelles et soient
deux nombres réels. Posons z„ = Xn + iyn pour tout n. Alors
lim
n—
>+oo Zn = t-\- W
équivaut à
i'
lim Xn = i
n—
>+oo
lim yn = a.
n^+oo
D ém onstration : Posons L = £ + ii'.
Si {zn) converge vers L, alors puisque
X n - i = Ue {zn - L) et
y n ~ ^ ' = ^rn (zn - L),
on en déduit que
0 < \ x n - i \ < \zn - L \
et 0 < \yn - i'\ < \zn - L\-
Or {zn —L) converge vers 0, donc le théorème des gendarmes assure que
{xn — t} et {xn — t) convergent vers 0. On déduit du lemme 2.28 que
[xn] converge vers ê. et (y„) converge vers i'.
Réciproquement, si {xn) tend vers i et (y^) tend vers P, alors pour
tout nombre e > 0, il existe
G N tel que pour tout n > AT, on ait
\X n -^ \ ^ I
\V n-^'\ < |-
On en déduit que, pour tout n > N :
\Zn - L \ < \Xn - ^1 + |yn - ^'1 < I + I = ^>
ce qui prouve que la suite complexe (zn) converge vers L.
□
2.37. Suites réelles de lim ite infinie
2.38. D éfinition Soit (un) une suite de nombres réels. On dit que (un)
te n d vers +oo si, pour tout nombre réel A, il existe un entier N (dé­
pendant de A) tel que
n > N implique Un > A.
On note alors n—
lim
>+oo Un = -foo ou lim
= +oo, ou encore
^ -|-oo.
§ 2.
Limites de suites
21
2.39. D éfinition Soit («„) une suite de nombres réels. On dit que (un)
te n d vers —oo si, pour tout nombre réel B, il existe un entier N (dé­
pendant de B) tel que
n > N implique Un< B.
On note alors
lim Un = —oo ou limu„ = —oo, ou encore Ut,
n—>+oo
—oo.
2.40. Proposition Soient (un) et (u^) deua; suites réelles telles que
Un <Vn à partir d ’un certain rang.
1) Si U n ^ + 00, alors Vn —>
■+ 00 .
2) Si Vn
—oo, alors Un —oo.
D ém onstration : Il suffit de revenir à la définition de la limite infinie
et d’utiliser les implications évidentes suivantes ;
Un > A implique Vn> A , et Vn< A implique Un < A.
D’où la proposition.
□
2.41. Proposition Soit (un) une suite de nombres réels.
1) Si U n ^ + 00 , alors (un) est minorée.
2) Si Un
—oo, alors (un) est majorée.
3) Si Un ^ + oo (ou Un
—oo), alors il en est de même de toute suite
extraite de (un).
D ém onstration : 1) Soit A un nombre réel quelconque. Puisque (u„)
tend vers +oo, on peut trouver iV € N tel que Un > A pour tout
n > N. Notons m = min {uo, • • •, un - i ,A }. Il est alors clair que m est
un minorant de la suite (un).
2) Soit A un nombre réel quelconque. Puisque (u„) tend vers —oo, on
peut trouver AT 6 N tel que Un < A pour tout n > N , et alors le nombre
réel M — max {uq, . . . , un - i ^A] est un majorant de la suite (un).
3) Il suffit de remarquer que si (u^^n)) est une suite extraite de (u„),
alors (fi{n) > n d’après le lemme 2.19.
□
2.42. Lem m e Soient (u„) et (u„) deux suites réelles.
1) Si Un ^ + 0 0 et (vn) est minorée, alors (u„ + u„) —> +oo.
2) Si Un
—oo et (vn) est majorée, alors {un + u„)
—oo.
22
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
D ém onstration : 1) Soit A un nombre réel quelconque, et notons m
un minorant de la suite (u„). Alors
Un + m > A implique Un +
> A.
Or («n) tend vers +oo, donc il existe N e N tel que Un> A —m pour
tout n > N. Ainsi
n> N
implique Un + Vn> A,
ce qui prouve bien que {un + u„) tend vers +oo.
2) Soit A un nombre réel quelconque, et notons M un majorant de la
suite (vn). Alors
Un + M < A implique Un + v„ < A.
Or (un) tend vers —oo, donc il existe N e N tel que U n < A — M pour
tout n > N. Ainsi
n> N
implique
< A,
ce qui prouve que (n„ + Vn) tend vers —oo.
□
Les résultats regroupés dans la proposition suivante découlent immédia­
tement de la proposition 2.41 et du lemme 2.42.
2.43. P ro p o sitio n Soient (u„) et (u„) deux suites réelles.
1) Si Un —>■+ 0 0 et (vn) est convergente, alors {un +
—»■+oo.
2) Si Un —^ —00 et ivn) est convergente, alors (u„ + Vn) —oo.
3) Si Un
+ 0 0 et Vn —>
■+ 00 , alors {un + Un) ^ +oo.
4) Si Un~^ —00 et Vn
— CG, alors {un + Vn) —> —oo.
D ém onstration :
1) Puisque (u„) est convergente, elle est bornée
d’après la proposition 2.11. On peut donc trouver m G K tel que V n > m
pour tout n. Soit A G R. La suite (it„) tendant vers +oo, on peut
trouver Ao G N tel que Un> A —m pour tour n > Aq. On en déduit
de façon évidente que Un + Vn> A pour tout n > N q. Cela prouve bien
que {un + Vn) tend vers +oo.
2) Il suffit de remplacer dans 1) la suite (u„) par (—ti„) .
3) Soit A G R. Puisque (u„) et (u„) tendent vers +oo, il existe Ai G N
§ 2.
Limites de suites
23
et N 2 E N tels que Un > A /2 et Vn > A /2 pour tout n > max (A^i, N 2)En posant N = max (A/’i, A^2), on a alors Un + u„ > A pour tout n > N.
Donc la suite (u„ + u„) tend vers + 00 .
4) Il suffit de remplacer dans 3) la suite («„) par (—Un).
□
2.44. R em arque II est bien connu que si
^ + 0 0 et
> —00 , alors
on ne peut rien dire a priori de la limite éventuelle de la suite (un + u„).
On dit alors qu’il s’agit d’un “cas d’indétermination” ou d’une “forme
indéterminée”.
2.45. Lem m e Soient («„) et (vn) deux suites réelles.
1) Si Un
+0 0 (ou Un
—00) et si (vn) est minorée à partir d ’un
certain rang par un réel strictement positif, alors UnVn
+ 0 0 (ou
UnVn —^ - c o ) .
2) Si Un
+ 0 0 (ou Un ^ —00) et si (u„) est majorée à partir d ’un
certain rang par un réel strictement négatif, alors UnVn
—00 (ou
UnVn
+ 00 .j
D ém onstration :
1) Supposons que
^ + 0 0 et qu’il existe m
dans
et N q dans N tels que V n > m pour tout n > N q. Montrons
alors que Un
+ 00 .
Soit A un nombre réel quelconque. On a
Un > —
m
implique
Vn > A.
Comme
+ 00 , on peut trouver un entier N 1 tel que Un > A /m
pour tout n > N 1 . Pour N = max {Nq, iVi), on a alors
n> N
implique
UnVn > A,
ce qui prouve bien le résultat annoncé.
La démonstration est analogue lorsque Un
—00 .
2) Supposons que u„
+ 0 0 et qu’il existe M G R i et N q E N tels
que Vn< M pour tout n > N q. Montrons que
Un —^ —00 .
Soit A un nombre réel quelconque. On a
U n
>
M
implique
< A.
Chapitre 1.
24
Suites réelles ou complexes
Comme Un
+oo, on peut trouver un entier Ni tel que
pour tout n > iVi. Si N = max(iVo,iVi), alors
n> N
implique
> A /M
< A,
ce qui prouve le résultat désiré.
La démonstration est analogue dans le cas où u„
—oo.
□
Du lemme précédent on déduit facilement l’important résultat suivant.
2.46. T héorèm e Soient (un) et (vn) deux suites réelles.
1) Si Un~^ + 0 0 et Vn
+ 00 , alors UnVn —>+oo.
2) Si Un —00 et Vn —> —00 , alors UnVn
+oo.
S) Si Un —>+ 0 0 et Vn
—00 , alors UnVn
—oo.
4) Si Un
+ 0 0 et si (vn) converge vers £ > 0 (resp. £ < 0), alors
UnVn
+ 0 0 (resp. UnVn
-oo).
2.47. R em arque Là encore, il est bien connu que si Un —»■ +oo (ou
Un —» —oo) et si (vn) converge vers 0, on se trouve dans un cas dit
d’indétermination pour la suite (unVn).
Rappelons que, pour une suite numérique (u„) donnée, la suite (l/u„)
est définie si
est non nul à partir d’un certain rang.
2.48. T héorèm e Soit (un) une suite réelle.
1) Si Un —> + 00 , alors à partir d’un certain rang tous les
sont
strictement positifs et la suite (!/«„) converge vers 0.
2) Si Un
0, et si à partir d’un certain rang tous les termes de (un)
sont strictement positifs, alors (l/u„) —> +oo.
5) Si Un
0, et si à partir d’un certain rang tous les termes de (u„)
sont strictement négatifs, alors (1/un)
—oo.
D ém onstration : 1) Puisque
—> + o o , on peut trouver un entier
N q tel que, pour tout n > N q,
> 1.
Soit alors e > 0. On peut trouver un rang Ni tel que, pour tout n > Ni,
on ait Un > l/e .
Pour n > max (N q, 7Vi ), on a alors
0 < — < e.
Un
§ 2.
25
Limites de suites
La suite (1/un) converge donc vers 0.
2 ) Soit N q le rang à partir duquel on a «„ > 0, et soit A 6 M. Si A < 0 ,
l’inégalité ^ > >1 est évidemment vérifiée pour tout n > N q- Si A >
on a
1
^
— > A si et seulement si 0 < «n <
XLr
Puisque
^ 0 , on peut trouver
6 N tel que |u„| < l/A pour tout
n > Ni. Pour N = max {Nq, N i ), on a
n> N
implique
— > A,
ce qui prouve que (l/un) tend vers +oo.
3) Se démontre de la même manière que le point précédent.
□
2.49. R em arque Dans les points 2) et 3) du théorème ci-dessus, l’hypo­
thèse sur le signe des termes de la suite est indispensable. Par exemple,
la suite de terme général (—l)" /n converge vers 0 , mais son inverse
((—l)"n ) ne tend ni vers —oo ni vers -l-oo.
En regroupant les deux théorèmes précédents, on retrouve facilement les
propriétés de la limite d’un quotient. Remarquons qu’il y a indétermina­
tion si le numérateur et le dénominateur tendent tous les deux vers zéro
ou tous les deux vers l’infini.
2.50. C om paraison de suites
2.51. D éfinition On dit qu’une suite numérique (u„) est dom inée par
une suite réelle positive («n)» et on note
= O (an), s’il existe une
constante ^ € R+ et un entier no tels que, pour tout n > no, on ait
|^n| — AcHfi.
2.52. E xem ple Si (n„) est bornée, on a clairement Un = 0 ( 1 ).
2.53. D éfinition On dit qu’une suite numérique (n„) est négligeable
devant une suite réelle positive (on), et on note n„ = o(a„), si pour
tout réel e > 0, il existe no G N tel que, pour tout n > no, on ait
\Un ^ £ 0 ^71*
26
Chapitre 1. Suites réelles ou complexes
2.54. E xem ple Si (un) converge vers 0, on a bien sûr Un = o(l).
2.55. P ro p o sitio n 1 ) Une suite numérique {un) est dominée par une
suite réelle positive (o!„) si et seulement si, il existe un entier uq et une
suite numérique (u„) bornée tels que
= o;„u„ pour tout n > n o .
2) Une suite numérique (u„) est négligeable devant une suite réelle posi­
tive (cxn) si et seulement si, il existe un entier no et une suite numérique
(vn) convergeant vers 0 tels que Un = cx^Vn pour tout n > n o .
D ém onstration :
Dans les deux cas, il existe un rang no et une
constante A 6 K+ tels que \un\ < A an pour tout n > no- La suite
définie par
Unh-n si n > no et an 7^ 0 ,
0
si n > no et
= 0,
vérifie alors n„ = o:„
pour tout n > noLes deux points de la proposition sont alors évidents.
□
2.56. C orollaire On suppose qu’il existe un entier tiq tel que pour tout
n > no, on ait Vn 7^ 0 . Alors la suite (un) est négligeable devant la suite
(vn) si et seulement si : lim Un/vn = 0 .
n—
>+CX)
D ém onstration : Si (n„) est négligeable devant (|un|), alors il existe
une suite réelle positive (o;„) qui converge vers 0 et vérifie n„ = 0!„u„
pour tout n. On en déduit que la suite {iin/vn)n>no
vers 0.
Réciproquement, si la suite {un/vn) est définie à partir d’un rang no
et converge vers 0, alors pour tout e > 0 donné, il existe N e N tel
que, pour tout entier n > max(no,iV), on ait \un/vn\ < e, c’est-à-dire
|î^n| < s |un|. Donc (n„) est négligeable devant (|un|)D
2.57. D éfinition On dit qu’une suite numérique (u„) est équivalente
à une suite numérique (u„), et on note n„ ~ u„, si la suite (n„ —u„)
est négligeable devant (|nn|).
2.58. P ro p o sitio n La relation ~ entre suites de (K, | • |) est une re­
lation d ’équivalence (c’est-à-dire une relation binaire qui est réflexive,
symétrique et transitive).
§ 2.
Limites de suites
27
D ém onstration : - Cette relation est évidemment réflexive puisque
Un~Un = ^ entraîne 0 = o(|un|)-S i (w„) est équivalente à (un), la suite (|un|) est dominée par (|t>n|). On
en déduit que (|uji| —|un|) est négligeable devant (|u„|), et par conséquent
(vn) est équivalente à («„). La relation ~ est donc symétrique.
- Si (un) est équivalente à (vn) et si (u„) est équivalente à (wn), alors la
suite (|u„|) est dominée par (|u„|), donc les suites (vn—Un) et (tü„—u„)
sont négligeables devant (|un|). Par addition, on voit que (wn — u„) est
négligeable devant (|un|), donc (un) est équivalente à (tü„). D’où la
transitivité de la relation
□
2.59. R em arq u e La symétrie de ~ exprime que Un ~
si et seule­
ment si Vn ~ Un. C’est pourquoi on dira simplement que les suites (u„)
et (vn) sont équivalentes, et on écrira au choix
~ Vn ou
~ Un2.60. P ro p o sitio n Deux suites (un) et (u„) sont équivalentes si et
seulement s ’il existe un entier naturel uq et une suite numérique (a„)
convergeant vers 1 et vérifiant Un = oinVn pour tout n > n o .
D ém o n stra tio n : Si (u„) est équivalente à (vn), alors (u„ —Vn) =
o(vn). Il existe donc un rang no et une suite (/?„) convergeant vers 0 et
vérifiant (un — Vn) — fin Un pour tout n > %. Il suffit alors de prendre
an = l + fin pour tout n > noRéciproquement, s’il existe une suite (o!„) convergeant vers 1 et vérifiant
Un = exnUn pour tout n > no, alors en posant fin = Oin — 1 on a
{un —Vn) = fin Un pour tout n > no, et (fin) converge vers 0. En d’autres
termes, («„ — Vn) = o (vn), ou encore Un'^ Un□
2.61. P ro p o sitio n Soient (un) et (vn) deux suites numériques. On
suppose qu’il existe no € N tel que pour tout n > no, on ait
^ 0 . Alors
(un) et (vn) sont équivalentes si et seulement si : lim Un/un = 1 n—^+oo
D ém o n stra tio n : Si (n„) est équivalente à (u„), alors il existe un
rang ni et une suite (a„) convergeant vers 1 et vérifiant Un = ocnUn
pour tout n > ni. Pour tout entier n > max (no, ni), on a alors
lim — =
n->+oo y
lim a„ = 1 .
n—>+oo
28
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
Réciproquement, si
—> 1, alors, pour tout nombre e > 0 donné,
il existe ni € N tel que |n„/u„| < e pour tout n > max (no, ni). On en
déduit que, pour tout n > max (no, ni), on a |tt„ — Vn\ < e |un|, ce qui
prouve que (n„ — Vn) = o (vn), c’est-à-dire Un ~ u„.
□
Le résultat important suivant découle directement des définitions.
2.62. P ro p o sitio n Si (un) et (u„) sont deux suites numériques équi­
valentes et si (un) converge vers i, alors {vn) est convergente et admet
la même limite i.
D ém onstration : Il existe un rang no et une suite (on) convergeant
vers 1 et vérifiant Un =
pour tout n > tîq. Comme la limite de
(o;„) est non nulle, on peut trouver un rang ni tel que «n ^ 0 pour tout
n > ni. On a alors pour tout n > max (no, ni) :
lim Vn =
n—>+oo
Un
= l
lim
n-^+oo an
d’après la proposition 2.29.
2.63. R em arques 1) La réciproque est manifestement vraie si ^ 0.
En revanche, si £ = 0, les suites («„) et (u^) ne sont pas nécessairement
équivalentes comme on le voit aussitôt avec les suites de termes généraux
Un — 1 /n et Vn = 1 /n^, où n > 1 .
2 ) Si (lin) et (vn) sont deux suites réelles de même limite égale à ± 00 ,
elles ne sont pas nécessairement équivalentes : par exemple, les suites (n)
et (n^) tendent vers -l-oo, mais elles ne sont pas équivalentes !
Le résultat suivant permet d’utiliser la proposition précédente lorsque
plusieurs suites sont en jeu.
2.64. P ro p o sitio n Soient (un),(vn),(Un),(Vn) des suites numériques.
1 ) Si Un'^Vn et
~ v'j^, alors Unu'^ ~ UnV^^.
2 ) Si Un ~ Vn et
~ v'^, alors ^
U'
Vn
~ ^
soient définis.
3) Si Un ~ Vn, alors pour tout k e N , on a
pourvu que ces quotients
~ v^.
§ 2.
Limites de suites
29
D ém onstration : 1) Il existe un rang no et deux suites (o!„) et (a^)
convergeant vers 1 et vérifiant Un = ocn et u!^ = a!^ pour tout entier
n > no- On en déduit que n„
Vn v^, et comme («n c/^) tend
vers 1 , on a l’équivalence annoncée, d’après la proposition 2.60.
2 ) Pour tout n G N, il existe no G N tel que
n > no implique n„ =
et
Mais puisque («„) et (a^) tendent vers 1, il existe un entier ni G N tel
que an 7^ 0 et
^ 0 pour tout n > ni. On en déduit que pour tout
n GN :
n > max (no, ni) implique ~y — ~
ΠV
U'
Comme la suite {an/a'^ tend vers 1, on a bien le résultat désiré.
3) Puisque Un Vn, il existe no € N et une suite numérique (o!n) qui
converge vers 1 tels que
n > no implique
Un = cxnVn-
Pour tout n > no, et pour fe G N donné, on a alors
comme la suite (a^)n converge vers 1 , on a bien n vz,
n
=
et
2.65. C onvergence de suites classiques
La proposition suivante regroupe quelques résultats basiques sur le calcul
des limites.
2 . 6 6 . P ro p o sitio n 1 ) Soit A un nombre réel donné. On a
si A > 0
lim (An) = < 0 si A = 0
n—>+oo ^
'
—oo si A < 0.
+00
2) Soit k un entier relatif donné. On a
+00
lim n'‘ = i 1
71—> + 0 0
0
si A: > 0
si A: = 0
si A: < 0.
3) Soient
P(X) = akX^ + ak-iX'^~^ + --- + a i X + ao (a^ 7^ 0),
Q(X) = bhX^ + bh-iX^-^ + --- + b i X + bo (bhf^O)
30
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
deux polynômes non nuis à coefficients réels de degré k et h respective­
ment. Alors la suite de terme général Un = P{n)/Q{n) a même limite
que la suite de terme général
= {ak/hh)n^~’^ qui est le rapport des
termes de plus haut degré de P et de Q. On a donc
ük/bk
0
P(n)
lim
n“ +‘oo Q(n)
+ (X »
—00
si
si
si
si
k —h
k<h
k > h et ükbh> 0
k > h et Ok bh < 0 .
4) Soit a un nombre réel strictement positif donné. Alors
1
lim àr
n—
>+oo
+00
0
a= 1
si O > 1
si a < 1 .
SI
D ém onstration : Les points 1 ) et 2 ) découlent facilement des résul­
tats établis précédemment.
3) On a
et la suite de terme général
1 +
°fc-i -I-
tend vers 1 d’après le point 2) ci-dessus et la proposition 2.29.
4) Si a > 1, posons a = 1 + u, avec u > 0, D’après la formule du binôme
de Newton^, pour tout entier n > 0, on a
a = {1 +u)^ = 1 +
^NEWTON Isaac (1642-1727). Physicien et mathématicien anglais. Un des plus
grands scientifiques des temps modernes. Il entama l’étude des fonctions dérivables et
de leurs dérivées et rédigea un compte rendu sur les fondements du calcul infinitési­
mal. Newton a fondé l’analyse moderne. En géométrie, il classifia les cubiques et en
donna des tracés corrects avec asymptotes, infiexions et points de rebroussement. En
physique, ses contributions sont immenses, notamment en optique et en mécanique,
avec notamment la mise en place de sa théorie de l’attraction universelle.
§ 2.
Limites de suites
31
Or (1 + nu) tend vers +oo d’après 1 ), donc a fortiori (o”) tend vers
+ 0 0 d’après la proposition 2.40.
Si a < 1 , posons b = I/o. Alors 6 > 1 , donc (&„) tend vers +oo. Par
suite, (1/b^), c’est-à-dire (o„), tend vers 0 d’après le théorème 2.48. □
Il sera parfois avantageux d’utiliser le résultat suivant.
2.67. Lemme Soit (un) une suite numérique telle que Un 7^ 0 à 'partir
d ’un certain rang. Supposons que lim Un+i/un = (■ et que \Î \< 1 . Alors
n^+oo
on a n—
lim
lin
=
0.
>+00
D ém onstration : D’après la proposition 2.29, la suite ^|w„+i|/|un|j
converge vers \i\. Dans la définition de la limite, prenons e = (1 —\t\)/2.
On a e > 0 , et il existe un entier N tel que
n> N
implique
l'^ n + l I
llLf]
i-l^ l
<
1^1
Par l’inégalité triangulaire, il en résulte, pour tout n > N
l^n+l| ^ 1^1
1 - 1^1 _
1 + \i\
2
2
(1.23)
Posons O = (1 -I-1^|)/2. D’après (1.23), on a
I 1
mn =
l'î^nl
r^n—1
1|
r^n—2 I
|^JV+l|
|Wiv|
^
^ — ^oP'
où A = |ujv|o“^. Puisque 0 < o < 1 , l’inégalité |u„| < Ao", valable
pour tout n > N, prouve que (u„) converge vers 0 d’après le théorème
des gendarmes.
□
2.68. Exem ple Si o est un nombre réel donné, alors lim (o”/n!) = 0.
n—>+00
En effet, si on note Un le terme général de la suite considérée, on a
immédiatemet lim (un+i/un) = lim a /( n - |- 1 ) = 0 , et on conclut
n—>+CX)
n—>+00
par le lemme précédent.
32
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
3 Suites monotones, suites adjacentes
3.1. D éfinition Soit (m„) une suite de nombres réels.
1 ) Si (un) est majorée, on note supun la borne supérieure de l’en­
semble des valeurs
de cette suite.
2) Si (un) est minorée, on note inf Un la borne inférieure de l’ensemble
des valeurs ttn de cette suite.
3.2. Exemple Pour la suite de terme général
supun = 1 et inf Un = —1 -
= (—l)”/ n , on a
3.3. Définition Une suite (un)n>o de nombres réels est dite croisseuite
(resp. décroissante) si, pour tout entier n > 0 , on a u„ < u„+i (resp.
Un > Wn+i). On dit que (u„) est monotone si elle est croissante ou si
elle est décroissante.
Le résultat suivant est fondamental.
3.4. Théorème Soit (un) une suite de nombres réels.
1 ) Si (un) est croissante et majorée, alors elle a une limite (finie) et de
plus on a : n—
lim
>+oo Un = sup Un.
2 ) Si (un) est décroissante et minorée, alors elle a une limite (finie) et
de plus on a : lim u„ = inf u„.
n—
+H-00
D ém onstration :
1 ) L’ensemble E = {un ; n 6 N} étant une
partie non vide et majorée de R, l’axiome de la borne supérieure permet
de conclure que E admet une borne supérieure £ . Par définition de la
borne supérieure, si e > 0 est donné, on peut trouver un élément un de
E tel que £ — e < un < £. La. suite (u„) étant croissante et £ étant un
majorant de E, on a
n> N
implique £ — e <Uff < Un < £ < £ + s,
ce qui prouve que la suite (un) converge vers £.
2 ) On se ramène au cas précédent en considérant Vn = ~Un-
O
3 . 5 . R em arq u e Soit (u„) une suite croissante et non majorée. Pour
tout nombre réel A, il existe un entier N tel que un ^
donc tel que
n > N implique Un > un > A. Par conséquent u„ —^ +c»-
3.
Suites monotones, suites adjacentes
33
E n d ’autres term es, pour une suite croissante, on a l’alternative :
- ou bien elle est m ajorée, et alors elle a une lim ite finie,
- ou bien elle n ’est pas m ajorée, et alors elle tend vers + o o .
Pour une suite décroissante on aura évidem m ent l ’alternative :
- ou bien elle est m inorée, et alors elle a une lim ite finie,
- ou bien elle n ’est pas m inorée, et alors elle tend vers —oo.
3.6. Définition D eux suites réelles (u„) et (vn) sont dites adjacentes
si elles vérifient les propriétés suivantes :
i) (un) est croissante et (u„) est décroissante,
ii)
lim (un - Vn) = 0.
n—>+CX)
3.7. Théorème Si deux suites réelles (un) et (u„) sont adjacentes,
alors elles sont convergentes et ont même limite. De plus, en notant i
cette limite commune, on a : Un < i < Vn pour tout n.
D ém onstration :
Pour tou t n, posons
— u„. La suite (w„)
est décroissante car w„+i —Wn = (u„+i — u„) —
— Un) < 0, et elle
est de lim ite nulle car {vn — Un) tend vers 0. On en déduit que, pour
tou t n, Wn > 0, c ’est-à-dire
Or (u„) est croissante et (u„) est
décroissante, donc uq < Un < Vn < Vq pour to u t n. La suite croissante
(un) est m ajorée par vq donc converge vers ^ € R et on a Un
pour
tou t n > 0. D e m êm e, la suite (un) est décroissante et m inorée par Uq
donc converge vers
G M vérifiant £' < Vn pour to u t n. D e plus, £ = f
car lim (u„ —Vn) = £ — = 0.
□
3.8. E xem ple Les suites de terme général
Un — 1.
1
n
et.
Vn — 1. “I"1 r,
sont adjacentes. En effet, («„) est croissante et (vn) est décroissante
puisque pour n > 1 ,
Un+i
et de plus.
Un —
1
7 ' rr
n (n -I-1)
-
^
0 et Vn.\-i
Vn —
1
n
n-^+oo
1
2 n -t-1
(n -I-1)2
0.
^
0,
34
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
4 Suites de Cauchy
La notion de suite de Cauchy^ est fondamentale en Analyse.
4.1. Définition On dit qu’une suite numérique (u„) est une suite de
Cauchy si, pour tout e > 0, il existe un entier N (dépendant de e) tel
que, pour tout m > N et tout n > N , on ait \un — Um\ < £•
4.2. Remarque La condition ci-dessus s’écrit aussi : pour tout p € N
et tout n G N : n > N implique \un+p — Un\ < e.
4.3. Proposition 1 ) Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
2 ) Toute sous-suite d’une suite de Cauchy est elle-même une suite de
Cauchy.
3) Toute suite de Cauchy est bornée.
D ém onstration : 1 ) Soit (un) une suite convergente de limite £. Soit
£ > 0. Il existe un entier N tel que n > N implique \un —^| < e/2.
Donc, pour tous entiers p et ç vérifiant p > N et g > N , on a. par
l’inégalité triangulaire :
\lL>n
< \up - ê\ -i- \ug - £\ < -^ + 7; -
ce qui montre que la suite (u„) est de Cauchy.
2 ) Si (u„) est une suite de Cauchy, alors, pour tout nombre £ > 0 , on
peut trouver iV € N tel que, pour tous p, g G N, on ait
(^p> N et q >
implique \up —Uq\ < e.
Si {ug,(n)) est une suite extraite de (u„), alors (p{n) > n pour tout n
d ’après le lemme 2.19. On en déduit que pour tous p, g G N, on a
(p > N et g >
implique |uv>(p) ~
ce qui prouve que (u,^(n)) est de Cauchy.
3) Soit (un) une suite de Cauchy. En prenant dans la définition le rang N
qui correspond à £ = 1, alors |u„| < 1 pour tout n > N. En notant M
^CAUCHY Augustin (1789-1857). Mathématicien français. Il est à l’ori^ne de
l’analyse moderne : on lui doit notamment la théorie des équations différentielles et
la théorie mécanique de l’élasticité.
§ 4.
Suites de Cauchy
35
le plus grand des nombres réels positifs |uo|, |ui|, . . . , |ujv-i|) et \u n \ + 1 ,
on obtient que |wn| < M pour tout n G N. Donc la suite (u„) est
bornée.
□
4.4. Lem m e Soit (tt„) une suite de Cauchy. Supposons que (un) ad­
mette une suite extraite convergente, de limite i. Alors la suite (un) est
elle-même convergente et a pour limite i.
D ém onstration : Soit (u<^(n)) une sous-suite de (un) convergeant
vers £. Soit e > 0. Par hypothèse, il existe un entier iVo tel que n > N q
implique \u^{n) “ ^1 ^ ^ /2 , et il existe un entier Ni tel que p > Ni
et q > Ni impliquent \up —«,1 < e/2. Choisissons un n > N q tel que
(p(n) > Ni. Alors, pour tout P >
on a par l’inégalité triangulaire :
m,
I
i\ < |u^(p)
^1 + |Up
Uy,(p)|
□
ce qui achève la démonstration du lemme.
Le théorème qui suit est un moyen puissant de prouver l’existence de la
limite d’une suite sans connaître d’avance la valeur de cette limite.
4.5. T héorèm e Dans R, toute suite de Cauchy est convergente.
D ém onstration :
Soit (un) une suite de Cauchy dans R. Posons
yj(0 ) = 0 et pour tout entier n > 0 , et notons <p{n 1 ) le plus petit
entier strictement supérieur à (p{n) tel que
(p >
+ 1) et q> (f{n -I- 1)) implique \up - Uq| < 2 n+2 -
Posons Vn = u^(n) - 2
La suite (vn) est croissante car
~ 'î^n+1 = 'î^v’(n) ~ '^ip(n+i)
1
2n
1 / 1
2”+^ ~
1
2"'
2n+i = 0.
De plus, la suite (vn) est majorée car {un) est bornée d’après la pro­
position 4.3. Donc la suite (vn) a une limite £ d’après le théorème 3.4.
Mais alors la suite (u^{n)) tend vers £ car (1/2") tend vers 0. Le lemme
précédent permet de conclure que (u„) converge vers £.
□
36
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
n
4.6. E xem ple La suite de terme général «„ =
J
- n’est pas conver-
A;=l
gente car elle n ’est pas de Cauchy. En effet, pour tout n > 1, on a
2n
1
\u2n~Un\ =
k=n+l
2
2n
4.7. R em arque On peut démontrer que dans C également toute suite
de Cauchy est convergente.
4.8. D éfinition On traduit le résultat du théorème et de la remarque cidessus en disant que R et C sont des espaces vectoriels normés com plets.
4.9. T héorèm e (des segm ents em boîtés) Soient (a„)n>o et (6n)n>o
deux suites réelles telles que
Vn G N ,
o„ < bn
Vu. G N ,
[On+l)^n+i] C [Unj ^n]
{p n
f lji)
^ 0-
Alors il existe un nombre réel i unique tel que
n>0
D ém onstration : Par construction, les suites (un) et (bn) sont ad­
jacentes, donc convergentes et de même limite.
□
4.10. T héorèm e (Bolzano^-W eierstrass^) Dans R, toute suite bor­
née possède au moins une sous-suite convergente.
D ém onstration : Nous allons procéder par dichotomie.
Soit {un) une suite réelle bornée.
^BOLZANO Bernard (1781- 1848). Mathématicien bohémien de langue et de
culture allemandes. Il est le premier en 1817 à donner une preuve du théorème des
valeurs intermédiaires débarassée de préjugés géométriques. En 1834, il est aussi le
premier à construire une fonction continue nulle part dérivable. Il reste surtout connu
pour le théorème dit de Bolzano-Weierstrass, et il est souvent considéré comme un
des fondateurs de la logique moderne.
^WEIERSTRASS Karl Theodor (1815- 1897). Mathématicien allemand. Après de
remarquables travaux sur les fonctions abéliennes et elliptiques, il donna les premières
définitions claires et rigoureuses des nombres réels et de la continuité. Weierstrass
contribua aussi, et de manière décisive, à la théorie des fonctions analytiques.
§ 4.
Suites de Cauchy
37
On va construire, par récurrence, deux suites réelles adjacentes
et (bn)n>o et une extractrice tp telles que
(a „ )„ > o
Vn G N, Utf>[n) ^
(u„) étant bornée, il existe (ao,6o) ^
tel que pour tout n on ait
a-Q <Un < bo, et il est clair que l’ensemble {k G N, Uk E [o„, bn] } est
égal à N, il est donc infini.
Soit n G N et supposons définis an,bn G R tels que
ûn — bji
<
G N, Ufe G [ûoj^o]} est infini
. {bn - cin) = {bo - ao)/ 2 ”.
En considérant le milieu (a„ + 6„)/2 de [a„,6„], il est clair que l’un au
moins des deux intervalles [a„, {ün + bn)/2 ] et [{an + bn)/2 ,bn] est tel que
l’ensemble des k de N tel que Uk soit dans cet intervalle est infini. Il
existe donc ün+i et bn+i dans M tels que
ûn+l — bn+1
< {A: G N, Uk e [a„+i,6„+i]} est infini
^ {bn+i - a„+i) = {bn - a „) / 2 = {bo - ao)/ 2 ’‘+^
On définit ensuite une extractrice p de la façon suivante : ^ ( 0 ) = 0 et,
pour tout n G N, il existe A: G N tel que k > p{n) et Uk G [a„, 6„], et on
pose (p{n + 1) = A:.
On a ainsi construit deux suites réelles (un) et (6„) et une extractrice
(p telles que
Vn G N, a„ < bn
\/n G N, [flji+lj ^n+l] C [Un» ^n]
{bn ^n) ^ 0
Vn G N, Uip^n) ^ [®ni bn\D’après le théorème des segments emboîtés, il existe (un unique) ^ G R
tel que, pour tout n G N, on ait £ G [on, bn]. On a alors, pour tout n G N,
0 ^
■^l — bn
et puisque (6„ —a„) tend vers 0 , on conclut par le théorème des gen­
darmes que la suite {u^(n)) est convergente et qu’elle admet i pour
limite. On a donc pu extraire de {un) une sous-suite convergente.
□
38
5
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
Suites récurrentes de type U n+ \ = f { u n )
Soient I un intervalle de R et soit (u„)„>o une suite réelle définie par la
donnée de Uq et la relation de récurrence Un+i = f{un), où / : / —^ E
est une application continue.
Pour l’étude d ’une telle suite, on procède souvent de la manière suivante :
• Définition de la suite :
Cette suite est dite définie à partir du rang N si, pour tout entier n > N ,
on a
€ I.
• Recherche des limites possibles :
Nous utilisons le théorème suivant donnant ce qu’on appelle le critère
séquentiel pour la continuité des fonctions réelles d’une variable réelle.
5.1. Théorème Soient I =]a, 6[ un intervalle de R et £ e R. Une
fonction / : / —> E est continue au point l si et seulement si, quelle que
soit la suite (un) d ’éléments de I convergeant vers i, la suite {f(un))
converge vers f{£).
On en déduit aussitôt le résultat important suivant.
5.2. Corollaire Si la suite (u„) d ’éléments de I converge vers £,£ e I,
alors nécessairement l = f{i), c’est-à-dire que i est un point fixe de f .
5.3. Exemple Pour la suite (г¿n)n>o définie par «o = 1 et Un+\ —
u^ —Un —3, on a f{x) = —X —3. La fonction / étant continue sur E,
la limite éventuelle £ de la suite considérée vérifie £ = £^ —£ — 3. Donc,
si (un)n>o converge, sa limite est nécessairement égale à —1 ou à 3.
5.4. Étude des variations de la suite définies par
= /(un)
Cette étude est basée sur la proposition suivante.
5.5. Proposition Soit (u„)neN une suite réelle définie par la donnée de
Uq et la relation de récurrence
= f{un)- On suppose qu’il existe un
entier naturel N tel que pour tout n > N , on ait
G I.
1 ) Si f est croissante sur I, alors la suite {un)n>N &st monotone.
2) Si f est décroissante sur I, alors les suites extraites (u2n)n>E(,N/2)+i
et {u2n+i)n>E((N-i)/2)+i sont monotones de sens de variation opposés.
D ém onstration :
1) Puisque la fonction / est croissante sur /, la
différence Un+2 -Un+i = f{un+i)—f{un) est de même signe que
ti„.
§ 6.
Convergence : vitesse et accélération
39
Par récurrence immédiate, on déduit que Un+i — Un est de même signe
que ujv+i —Un - La suite (un) est donc monotone.
2) Pour tout n G N, on a
U2n+2 = ( / o / ) ( W 2n) et «2n+3 = ( / ° / ) (W2n+l)Or / O / composée de deux fonctions décroissantes est une fonction
croissante, et le résultat précédent assure que les deux suites extraites
sont monotones. Comparons leur sens de variation.
On a U 2n+3 - « 2 n + i = f { u 2 n + 2 ) ~ / ( w 2 n ) , donc ii2 n + 3 “ U 2 n + i a le signe
contraire de U2n+2 —U2n, donc les suites extraites {u2n) et (u2n+i) ont
des sens de variation opposés.
□
5.6. E xem ple Étudions la suite définie par
Un+l = sin Un,
Uo
e [-•7r/2,7r/2].
Pour déterminer les points fixes de la fonction / , étudions ip donnée sur
M par ip{x) = sin(a:) —x. Cette fonction est manifestement dérivable sur
R et on a <p'{x) = cos(x) — 1 < 0 , donc (f est décroissante. Comme
V?(0 ) = 0 , on conclut que si la suite (u„) converge, alors nécessairement
sa limite est égale à 0 .
La fonction sinus est croissante sur [—7t/ 2 , 7t/ 2 ], et pour tout n G N, on
& : Un = sin(u„_i) G [—■
7r / 2 , 7r / 2 ] (car sin(u„_i) G [—1,1]), on peut
donc appliquer la proposition précédente. On en déduit que (u n ) définit
une suite décroissante si ip(uo) = ui — uq < 0 , soit uq g [0 , 7r / 2 ], et une
suite croissante si (p(uo) — u\ — zlq > 0 , soit uq g [—7r / 2 , 0j.
Dans les deux cas, comme la suite (un) est bornée, elle converge d’après
le théorème 3.4, et sa limite est égale à 0.
6
Convergence : vitesse et accélération
Cette section s’adresse essentiellement aux étudiants de deuxième année
de Licence et aux candidats aux concours d’enseignement.
6.1. R ap id ité de convergence
a) In tro d u ctio n :
Soit £ un nombre réel, et soit (u„) une suite de nombres réels qui
40
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
converge vers i. Notre objectif est de préciser la rapidité de convergence
de (wn). Pour cela, on compare la suite |v„| = |u„ —i\, qui est à termes
positifs et tend vers 0 , à une suite de référence (r„).
Quitte à remplacer
par |u„ —i\ on se ramène au cas d’une suite po­
sitive qui tend vers 0 , ce que nous supposerons dans cette section.
Comparer peut avoir deux sens. On peut chercher à montrer que Un ef
r„ sont proches, par exemple que (un) est équivalent à (r„) ou à (A r„)
avec A 7^ 0 ou, à défaut, que (un) est dominée par (r„) (c’est-à-dire
que Un = O(rn))- Une notion plus précise consiste à demander qu’il
existe deux nombres réels strictement positifs m et M tels que l’on ait
TnVn < Un < M vn pour tout n assez grand.
Mais on peut aussi chercher à montrer que (u„) tend vers 0 plus vite
que (rn). C’est le cas où (un) est négligeable devant (r^), c’est-à-dire
Un — O (Vn')-
Lorsqu’on a une suite convergente (un), on cherchera des procédés pour
accélérer sa convergence, c’est-à-dire pour remplacer (г¿n) par une suite
(u(j) qui converge vers la même limite, mais plus rapidement. C’est l’ob­
jet des paragraphes qui vont suivre.
b) Les étalons :
Les suites de référence auxquelles on peut comparer (tt„) sont :
^
(Inn)^ ’ n" ’
où
J_ ^ 2"
’ n! ’ n™ ’
’
et A:€] 0 , 1 [.
c) La convergence géométrique :
6.2. Définition On dit qu’une suite (un) converge géométrique­
ment vers 0 si elle est dominée par une suite géométrique (k^) avec
0 < fc < 1.
Le théorème suivant est essentiel pour assurer qu’une convergence est
géométrique.
6.3. Théorème (D ’Alembert) Soit (un) une suite de nombres réels
strictement positifs. On suppose que le rapport Un+i/un tend vers un
nombre k tel que 0 < k < 1 . Alors, la suite (un) converge vers 0 géo­
métriquement. Plus précisément, si e est un nombre strictement positif
tel que k-\-e < 1 , la suite (u„) est dominée par (k-\-e)^ (on parle dans
ce cas de convergence géométrique de rapport k).
§ б.
Convergence : vitesse et accélération
41
D ém onstration : Soit e > 0 comme dans l’énoncé. Puisque Un+i/iin
tend vers k, il existe p G N tel que l’on ait, pour tout n > p ,
k -£ < '! ^
< k + e.
(1.24)
On a donc, pour n > p ,U n < Wn-i (A: + e). On en déduit par itération
U<n
Un < Up(k + e)^-P < ^ {k + e f .
Donc (un) est dominée par la suite de terme général (k + e)”.
□
6.4. R em arques 1 ) Comme A: > 0 , on a aussi, grâce à la première
inégalité dans (1.24), une minoration de Un par une suite de la forme
m {k — e)” pour tout e vérifiant 0 < e < A:. Cela montre que la conver­
gence annoncée par le théorème précédent n’est pas meilleure que la
convergence géométrique.
2) En considérant par exemple Un = nk'^, on voit qu’on ne peut pas
améliorer le résultat du théorème ci-dessus en affirmant que («„) est
équivalente à AA:”, ni même dominée par (A;”).
3) Une suite (u„) peut converger géométriquement sans nécessairement
vérifier les hypothèses du théorème ci-dessus. Par exemple, la suite (u„),
définie par U2„ = 1 / 2 ^” et U2n+i = l/4^”‘''^, converge géométriquement
puisque Un < 1 / 2 ”, mais (un+i/un) n’a pas de limite (plus précisément
(u2n+i/u 2n) tend vers 0 et (u2„ /u 2n-i) tend vers -l-oo).
6.5. E xem ple Un cas important d’application du théorème 6.3 est celui
des suites récurrentes Un+i = f(un) où la fonction / est de classe C^. Si
/ admet un point fixe attractif a , c’est-à-dire vérifiant 0 < \ m \ < 1 ,
la suite converge vers a (pourvu que Mq soit assez proche du point fixe).
De plus, la définition de la dérivée montre que le quotient
tend
vers f'{oc) quand n tend vers l’infini, ce qui prouve que la convergence
de la suite vers a est géométrique. En fait, dans ce cas, on peut montrer
qu’on a un équivalent : |un - a | ~ A |/'(o:)|” où A > 0.
Avec le critère de Cauchy ci-dessous au lieu de celui de D’Alembert, on
a une caractérisation qui marche dans tous les cas. Pour la définition de
la limite supérieure, le lecteur pourra consulter le problème 7 .5 .
42
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
6 . 6 . P ro p o sitio n (C auchy) Une suite (un) de nombres réels positifs
converge géométriquement si et seulement si limsup
< 1.
n —>+oo
D ém onstration :
Posons Sn = sup
La suite (sn) est positive
p>n
et décroissante, elle est donc convergente d’après le théorème 3.4, et on
a limsup
= lims,i par définition de la limite supérieure.
n —>+oo
Supposons que lims„ = A: < 1 , et soit e > 0 vérifiant 0 < e < 1—k. Pour
tout n assez grand, on a Sn < k e < 1 , d’où, a fortiori, n/üfi < k-\-e ,
soit Un< {k + e)". Donc la suite («„) converge géométriquement.
Réciproquement, si Un < M k'^ {0 < k < 1) pour n assez grand, on
vérifie facilement qu’on a ; limsup
< k.
n —>+oo
Ceci achève la démonstration de la proposition.
□
d) La convergence lente :
6.7. D éfinition On dit qu’une suite de nombres réels positifs converge
lentem ent vers 0 si elle est minorée par une suite du type A /n“, avec
A et a des nombres réels strictement positifs.
6 . 8 . R em arques 1 ) Si («„) converge géométriquement, elle ne converge
pas lentement. En effet, on a k^ = o (A /n “^) pour 0 < f c < l et a > 0 .
2 ) Si la suite (u„) converge lentement et si Un+i/un tend vers une limite
i, cette limite ne peut être que 1 En effet, si on a ^ < 1 il y a convergence
géométrique, tandis que si on a ^ > 1 , il y a divergence vers +oo.
3) Dans le cas des suites récurrentes, la convergence lente correspond au
cas l/'(a )| = 1 (si toutefois il y a convergence, ce qui n’est pas certain
dans ce cas).
e) La convergence rap id e :
6.9. D éfinition On dit qu’une suite (u„) tend vers 0 avec une conver­
gence (au m oins) q u ad ra tiq u e si elle est dominée par une suite (A:^")
où 0 < fc < 1 .
6.10. R em arq u e On parle de convergence d’ordre r > 1 lorsque («n)
est dominée par une suite de la forme (A:’’") avec 0 < A: < 1.
Comme pour la convergence géométrique, on a une sorte de critère de
D’Alembert mais, attention, ici il faut postuler la convergence de la suite.
§ 6.
Convergence : vitesse et accélération
43
6 . 1 1 . T héorèm e Soit (un) une suite de réels strictement positifs conver­
gente et de limite égale à 0. On suppose que la suite (un+i/uff) o, une
limite finie (ou simplement qu’elle est bornée). Alors la convergence de
(un) est quadratique.
D ém onstration : Supposons que l’on ait Un+i <
avec M > 0. Par récurrence immédiate sur n, on obtient
\ / n ,p e N ,
pour tout n,
Un+p < ^ { M u p f " ,
Comme la suite («„) tend vers 0 , on a M up < \ pour p assez grand, et
on obtient la condition requise en posant k = Mup.
□
6 . 1 2 . Exem ple Si on a uñe suite récurrente n„+i = f{un) avec / de
classe C“
^, et si a est un point fixe de / vérifiant f{ct) = 0 , la suite
converge vers a (si uq est assez proche de a), et cette convergence est
quadratique. Pour le voir, on applique la formule de Taylor à / :
Un+i - a = f{un) - a = ( u n - a ) f{oc) +
^
/"(^n)
avec $n €]a, u„[. On en déduit que
^n+i ex _ ^
■\
(U n -a y ~ 2 ^ ^
et, quand n tend vers l’infini, cette quantité tend vers f" { a )/ 2 , d’où le
résultat désiré.
6.13. A ccélération de convergence : R om berg-R ichardson
Cette méthode s’applique lorsqu’on a une suite («„) qui tend vers ê
avec une convergence géométrique de rapport
< 1 et qu’on connaît le
rapport k. Plus précisément, on a le résultat suivant.
6.14. T héorèm e Soit (un) une suite de nombres réels qui converge vers
Í. On suppose qu ’on a un développement asymptotique de la forme
u^ = e + Xk^
0{k'^)
(1.25)
44
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
avec A G R* et |A:'| < |A:| < 1 , de sorte que la convergence de (u„) vers
i est géométrique de rapport k. On pose
Un =
1 -k
Alors, u'^ —£ est un 0(A:'”) et donc (u^) tend vers ê avec une conver­
gence qui est (au moins) géométrique de rapport k'.
D ém onstration :
Expliquons d’abord d ’où vient la suite
Il
s’agit d ’éliminer le terme en k'^ dans l’expression de
L’idée, faute
de connaître A, est de regarder
puis, en calculant Un+i — kun,
d ’éliminer les A:” entre les deux termes. Cela étant, on voit aussitôt que
Un+i — k Un tend vers (1 —A:) ^ et, en divisant par 1 —fc, on trouve une
suite (u'n) qui converge vers £.
Précisément, posons
^ +AA:” + îün, de sorte que
est un 0{k'^).
Un calcul immédiat donne
Wn+i - k w r ,
< -^ =
1 —k
Si on a \wn\ < A |A:'|”, alors
K -^ l =
|wn+i| + |A;| |tt;„
1 —A:
<
yl(|fc'| + |A;|)
|A:'"| = M \k
1 —A;
,/ n i
et c’est précisément ce qu’il fallait démontrer.
6.15. R em arques 1 ) Pour que la méthode ci-dessus ait un sens et un
intérêt, il faut :
- connaître le rapport k, indispensable pour calculer u'n,
- ne pas connaître le coeflBcient A (sinon il suffit de retrancher AA:” pour
avoir aussitôt une suite qui converge comme un 0 (A:'”)).
2) Lorsque la rapidité de convergence obtenue n’est pas jugée satisfai­
sante, on peut en général itérer la méthode.
6.16. A ccélération de convergence : m éthode d ’A itken
C’est une variante de la méthode précédente qui permet de faire le calcul
lorsqu’on sait qu’on a un développement asymptotique de la forme (1.25)
dans lequel on ne connaît pas explicitement la quantité k. L’astuce est de
§ 6.
Convergence : vitesse et accélération
45
trouver k quand même (ou presque) en remarquant que
sont presque de l’ordre de
k‘^~^ respectivement, et donc k n’est
pas très différent de
'^n+l Un
—
Un Un—l
(l’intérêt de considérer les différences Un+i —Un et Un —Un-i est de faire
disparaître la limite £ qui est évidemment inconnue). On est alors ramené
à regarder la suite
=
Un-\-l
l-C n
Un
’
et on a le théorème suivant.
6.17. T héorèm e Avec les notations précédentes, si Un admet un dé­
veloppement asymptotique du type (1.25), la suite (u'^) converge vers
l, et
— £ est un 0 {k'‘^), de sorte qu’on gagne la même rapidité de
convergence que dans la méthode de Romberg-Richardson.
D ém onstration :
En remplaçant c„ par sa valeur, on obtient
N
^
„
N -£ D
^n+1 Uji—i
d ou u„ — £ = ---------- .
«n = 2 u „ - u n + i - u „ _ i = —,
D’
"
D
On pose Un = ^+A k’’*-[-Wn, et on suppose qu’on a |w„| < A
On voit
alors que le dénominateur D de u'^—£ est équivalent à —A (fc —1)^
tandis que le numérateur N — £D qui vaut
N -£ D = A
{2k
- k"^ Wn-i - Wn+i) + w l .- Wn+i Wn-i
est majoré en valeur absolue par M q |A:|”’” ^ |A:'|'* où M q est une constante
strictement positive. On en déduit que \u'^ — £\ est bien majorée par
M |A:'|”, avec M > 0.
□
6.18. R em arque La méthode d’Aitken s’applique notamment aux suites
récurrentes de type Un+i = f{un). En effet, si on suppose que / est une
fonction de classe
contractante de [a, b] dans [a, b], alors elle admet
un unique point fixe a et, si on suppose f{oc) et f"{oc) non nuis, on
peut montrer que la suite récurrente associée converge vers a avec un
développement asymptotique
= o + A (/'(Q )r + / i ( / '( a ) f ” + o ((/(o ))^ "),
avec A et // non nuis, dans lequel /'{ex), comme a, est inconnu en
général.
Chapitre 1.
46
Suites réelles ou complexes
6.19. E xem ple : l’ap proxim ation de vr
On calcule le demi-périmètre Un du polygone régulier à 2” côtés inscrit
dans le cercle unité. On a la formule Un = 2” sin(7r / 2 ”), mais on peut
aussi calculer
par récurrence, sans utiliser tt (qu’on cherche à cal­
culer). Pour appliquer la méthode de Romberg-Richardson, il suffit de
développer sin x au voisinage de 0 :
/^3
^ 2n+l
-I- o(x 2”+^).
On en déduit que
.
7T
7T^ 1
/
2n
6 4n
V l 6” /
= 2 sm — = 7T — — — + o{
1 \
)
et on peut appliquer la théorème 6.17 avec A: = 1/4, A = —7t^/ 6 , k' =
1/16 (on notera que le coefficient A n’est pas “connu” puisqu’il fait
intervenir tt que l’on cherche justement à calculer). Bien entendu, comme
on connaît le développement du sinus à un ordre quelconque, on peut
itérer la méthode (les valeurs suivantes des ki sont 1/16 et 1/64).
Voici un exemple des résultats numériques ainsi obtenues (rappelons que
l’on a, en réalité, tt ~ 3,141592654) :
Avec Un elle-même, on obtient
U2 = 2,828427125, «a = 3,061467459,
= 3,121445152,
U5 = 3,136548523, ue = 3,14033105,
avec u'^ = (4u„+i —Un)/S (première suite de Romberg-Richardson), on
obtient
«^ = 3 , 13914757, «^ = 3 , 141437716, «^ = 3 , 14158298, «^ = 3 , 141591892,
avec w" = (16«(j^_i —■u(i)/63 (Romberg bis), on obtient
«2 = 3,141590392, «^' = 3,141437716, «3 = 3,14592486,
enfin, avec u'" = (16«"^_i —u")/3 (Romberg ter), on obtient
« 2" = 3,1415927,
« 3" = 3,141592483.
On notera que la meilleure valeur est donnée par «3 (les erreurs dans les
suivantes proviennent sans doute des erreurs d’arrondis des calculatrices
qui sont amplifiées par les multiplications, notamment par 64).
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
7
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
47
Exercice 1.1 Montrer que le terme général de la suite de Fibonacci
(exemple 1.9 du Cours) est donné par la formule
Solution
Les nombres de Fibonacci
sont définis par la donnée de Fq = 0 ,Fi =
1 , et la récurrence linéaire d’ordre deux :
Fn = Fn-i + Fn- 2
pour tout n > 2 .
L’équation caractéristique (1.9) du Cours s’écrit ici
admet deux racines distinctes :
l + \/5
n = - y -
—r — 1 = 0 et
^
1 -V 5
et r , =
.
Il existe donc des nombres réels A et B tels que
pour tout n > 0 . Or,
= A r^ + B r ^
Fq = A + B = 0 et ui = A r i + B r 2 = 1,
1
1
1
donc
: A. = -------= —11= et B = —A. = ----y=
.
n - r2
V5
V5
D’où la formule annoncée, due au mathématicien De Moivre.^
Exercice 1.2 Déterminer U\ pour que la suite (wn)n>o définie par
{ Uq
1 Wn+2
= 1
’^n+1 “h
soit à termes positifs.
^DE MOIVRE Abraham (1667-1754). Mathématicien français. Précurseur de la
géométrie analytique et de la théorie des probabilités. C’est dans un mémoire de
1707 qu’apparaît la formule reliant le sinus en terme de nombres complexes, ce qui
contient ce qu’on appelle désormais la formule de De Moivre : (cosx + i sinx)" =
cos(nx) -|- i sin(nx).
Chapitre 1.
48
Suites réelles ou complexes
Solution
Il s’agit d’une suite récurrente linéaire d’ordre deux à coefficients constants.
L’équation caractéristique associée s’écrit
+ r —1 = 0 et admet pour
racines distinctes :
-l-y /5
r. = — ^
,
- 1 + a/5
et r, = —
Il existe donc des nombres réels A et B tels que
pour tout n > 0. Or,
uq = a
et comme ri —r 2
= A r” + S rg
+ b et «1 = A ri + B r 2
0 , il vient
^
r 2 - ri
et 5 =
r 2 - ri
On en déduit que, pour tout n G N, on a
^ r 2 - 'r i
('“1
- Si T2 — ui 7^ 0, alors, comme |ri| > 1 > |r 2 | et ri < 0, on a
(—l)” «n —^ + 0 0 et donc (un) n’est pas à termes positifs.
- Si r 2 —«1 = 0, alors :Un — r 2 > 0 pour tout n € N.
Conclusion :
La suite (un) est à termes positifs si et seulement si ui = {y/E — l)/2.
Exercice 1.3 En revenant aux définitions, montrer que
1 ) la suite de terme général
= (—1 )” est divergente,
converge vers 1 ,
2) la suite de terme général Un = 1 + ( ~ i r
n
Tï
s) la suite de terme général Wn = ^3 ^ converge vers 0.
Solution
1 ) Soit ¿ G E arbitraire. On a nécessairement
(*)
| 1 - £ | > ^ ou
^
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
49
car sinon l’inégalité triangulaire donnerait
< |1 _ ^ | + l - 1 - í l < i + i = 1 ,
1(1
ce qui est absurde vu que |(1 — — (—1 —€)\ = 2 .
Compte tenu de (*), il existe un e > 0 , à savoir e — 1 / 2 , tel que pour
tout iV G N on puisse trouver n > N avec |w„ — i\ > e (il suffit de
prendre n = N).
On a donc montré que la suite de terme général (—1)” est divergente.
1
2) Pour tout n > 1 , on a d’abord :
—1 | = ( - 1 )”
n
n’
Donnons-nous £ > 0 . En prenant un entier N égal au plus petit entier
supérieur à 1/e, on a alors pour tout n > N :
^ n -
ÏV -
ce qui exprime bien que (•yn)n>i converge vers 1 .
3) Soit £ > 0 . Pour tout n > 1, on a
w„. =
n
-I-1 ^
n
1
n^'
On en déduit que lw„| < e pour tout n vérifiant 1 /n^ < £.
Posons N = E {\/^/ë) + 1 où E{x) désigne la partie entière de x. Pour
tout n > A/’, on a alors l/m? < £, donc a fortiori |w„| < £, ce qui
prouve que la suite (w„) converge vers 0 .
Exercice 1.4 Montrer que si une suite numérique (un)n>o est telle que
lim («n+i—«n) = 0, alors n—lim
(u„/n) = 0 .
n^+OO
>+00
Solution
Soit £ > 0. Puisque la suite (^„+1 —Un)n>o tend vers 0 , on peut trouver
iV G N tel que \un+\ — Un\ < e pour tout n > N. On en déduit que
|«n| < \u n \ + {n — N) e pour tout n > N , d’où
'^n
n
n
n
+ e.
50
Chapitre 1.
Or, la suite (Ы )
Suites réelles ou complexes
converge vers 0 d’après la proposition 2.65, donc
n>l
|wjv|
< e pour tout n > Ni.
n
Un
Pour tout n > max {N, Ni) on a alors
< 2 e, ce qui prouve bien
n
que la suite {un/n)n>i converge et a pour limite 0 .
il existe
€ N tel que
Exercice 1.5 1 ) Déterminer une suite arithmétique (un)„>i, sachant
que la somme Sn de ses n premiers termes est, quel que soit l ’entier n,
égale à 3n^ + 4n.
2) Certains termes de cette suite sont des carrés parfaits; donner l ’ex­
pression générale de ces termes et calculer les six premiers d’entre eux.
Solution
1) Soit r la raison de la suite («„). D’après la proposition 1.5, on a
Un = U i + { n — 1) r, donc
«5n = ^ («1 + Ui + (n - l)r) =
^ (2 ui - r) n.
On en déduit que Sn = 3n^ + 4n pour tout n G N si et seulement si
r
„
2
—r
- = 3 et — --— = 4.
2
2
D’où r = 6 et ui = 7. Donc Un = 6 n + 1 pour tout n G N.
2) Le terme
= 6 n + 1 est un carré parfait si, et seulement s’il existe
A: G N tel que 6 n + 1 = {2k + 1)^, d’où 3n = 2 k {k-\-1).
Les nombres к et A;+ 1 étant premiers entre eux, cette égalité exige que
l’on ait
- soit к — 3p, d’où n = 2p{3p-\-1), avec p > 1,
- soit A: = 3p —1 , d’où n = 2p {3p — 1), avec p > 1.
Il y a donc dans (un)n>i une infinité de termes qui sont des carrés par­
faits : ce sont tous les termes de la forme Un = 6n-t-l avec n = 2p (3p±l).
Les six premiers d’entre eux, obtenus en prenant p = 1 , 2 et 3, sont, dans
l’ordre où on les rencontre dans la progression arithmétique :
U4 = 25, Us = 49, «20 = 121, «28 = 169, «43 = 289 et «go = 361.
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
51
Exercice 1 . 6 1) Montrer que si trois nombres réels non nuis x ,y ,z , sont
en progression géométrique, on a, quel que soit n dans Z,
{x^ +
(**)
+ z^) {x^ - y" + Z^) = X^^ + y"” + J2n
2) Application : Déterminer trois nombres en progression géométrique
sachant que la somme de leurs inverses est égale à 26 et que le somme
des carrés de leurs inverses est égale à 364-
Solution
1 ) L’identié remarquable (a — b){a + b) = (a^ —6^) donne
{x^+y^+z^) { x^- y^+z^) = {x^+z^Ÿ-y^^ = x'^^+z'^^+2x^z^-y^^,
d’où
(**) (x^ + y'^ + z ^ ) { x ^ - y ^ + z'^)-{x^^ + y^^ + z ‘^^) = 2 (x” ^” - y 2”).
Or, si X , y, Z sont en progression géométrique, alors y^ = xz, donc y^” =
a;”
pour tout n G Z, et l’égalité (**) donne alors
(x” + y” + z^) (x" - y" + z^) - x="” - y"" -
= 0,
c’est-à-dire la relation (*).
Réciproquement, si (*) est vérifiée, on a d’après (**) : y^" = x" z'^, ce
qui conduit à envisager deux cas.
• n est impair : la relation précédente entraîne y^ = xz, les trois
nombres x ,y ,z sont en progression géométrique; dans ce cas, la réci­
proque est vraie.
• n est pair : la relation précédente donne alors
- soit y^ = xz et alors les trois nombres x ,y ,z sont en progression géo­
métrique ; dans ce cas, la réciproque est vraie ;
- soit y^ = —xz, dans ce cas la réciproque n’est pas vraie puisque x et 2
n ’étant pas de même signe, les trois nombres x, y, 2: ne peuvent être en
progression géométrique.
En résumé, la réciproque n’est vraie que si n est impair ou si, n étant
pair, les nombres x et 2 sont de même signe.
Remarque : si n = 0, la relation (*) se réduit à 3 x 1 = 3.
52
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
2 ) Si l’on fait n = —1 dans la relation (*), on obtient
+ z~^)
+ z~'^) = x~'^ + y"^ + z " “
^.
Avec les données de l’énoncé, on a 26 {x~^ —y~^+z~^) = 364, c’est-à-dire
{x~^ —y~^ -f z~^) - 14.
Par conséquent, rc, y, 2: sont solutions du système :
X
+ y“ ^ + z-'^
=
26
(1 )
- y~^ + z~^
xz
=
14
(2 )
=
!/"
(3)
(1 ), on déduit que 2 y~^ = 26, d’où le système
équivalent :
y -l
6
(10
x~^ + z~^ — 20
(20
x~^ z~^
(30
— 36
L’équation (1 ') donne y = 1/6. De l’équation (3') on tire z~^ = Збж,
et en remplaçant dans (2 ') on obtient x~^ -1- Збх = 20 , c’est-à-dire
36æ^ —20а:-Ы = 0. Cette dernière équation admet pour racines a;i = 1/2
et X2 — 1/18, d ’où l’on déduit respectivement 2:1 = 1/18 et z^ = 1 / 2 .
Les nombres x ,y ,z cherchés sont donc 1/2,1/6,1/18. Ils sont en pro­
gression géométrique de raison 1/3 si on les prend dans cet ordre, de
raison 3 si on les prend dans l’ordre inverse.
Exercice 1.7 Montrer qu’une suite à valeurs dans Z est convergente si
et seulement si elle est stationnaire.
Solution
Soit (u„)n>o une suite stationnaire. Il existe donc un entier щ tel que
l’on ait Un = Wno pour tout n > По. Il est alors clair que (u„)n>o est
convergente et de limite «„0 puisque, pour tout e > 0 donné, on a
|un —Unol = 0 <
pour tout n > По.
Réciproquement, soit {un)n>o une suite de nombres entiers convergente,
et montrons qu’elle est stationnaire. En prenant e = 1/3 dans la dé­
finition de la convergence, on peut trouver £ G R et iV G N tels que
§ 7.
53
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
|wn —^1 < I pour tout n > N . Donc, si n > N , on a, grâce à l’inégalité
triangulaire,
\un
^
^1 “I" 1^
Ujv| ^
1
2
"1“
1
2
“^ 1 )
et comme
et un appartiennent à Z, ils sont égaux. Ainsi, Un = «jv
pour tout n > N, et la suite (u„)„>o est donc stationnaire.
Exercice 1.8 (M oyenne de C esàro) Soit (un)n>i une suite numé­
rique, et soit (un)n>i lu suite des moyennes de Cesàro, c’est-à-dire la
suite de terme général
Un =
U\ +
• • • + Un
n
1) Montrer que si {un)n>i converge vers un nombre complexe l, alors
la suite {vn)n>i converge aussi vers L On dit dans ce cas que {vm)n>i
converge en moyenne de Cesàro vers l.
2) Montrer que la réciproque de cet énoncé est fausse.
Solution
1 ) Supposons d’abord ^ = 0 . Un nombre e > 0 étant donné, on peut
trouver un entier p > 1 tel que
< e / 2 pour tout k > p .
Alors, pour tout n > P, on a
Comme lim
n—>+oo
que
I I ^
1^1 “b ■■■“b îipi
^
~
|ui -I-------1- Up\
n
n -p £
n
2
^
|Ul + - - - + U p |
£
n
"^2'
|u i H------- bUpI
n
.
n> q
.
V
. 1
I I
= 0 , on peut trouver un entier ç > 1 tel
implique
| ui + - - - + U p |
. e
----------------— < - .
n
2
En posant N = max(p, ç), on obtient |u„| < e pour tout n > iV. On a
donc démontré que si la suite (un)n>i converge vers 0 alors elle converge
en moyenne de Cesàro vers 0.
Si maintenant £ est quelconque, on se ramène au cas précédent en consi­
dérant la suite { u n — £ ) n > i - En eflEet, la suite de terme général
in
-n E K - O
k=l
”
. n k=l
/1
=
\
converge vers 0 . D’où le résultat désiré.
2 ) La suite de terme général (—1)^ est divergente (voir exercice 1.3),
pourtant elle converge en moyenne de Cesàro puisque, pour tout n > 1 ,
on a
si n est pair
1 / .V
= /1 °1 /
'^n
•
4. •
n^ ¿iri1
II —
- 1l / n SI n est impair,
donc |u„| < l/n , ce qui prouve que (un)n>i converge (vers 0 ).
Remarque : En adaptant la démonstration ci-dessus, on montre facile­
ment que si la suite (un)n>i tend vers ±oo, alors la suite (u„) tend elle
aussi vers ±oo.
Exercice 1.9 Soit {un)n>i une suite numérique qui converge vers une
limite i non nulle. On suppose que Un ^ 0 pour tout n > 1 . Montrer
que la suite {vn)n>i définie par la relation
n
i l
— = — -|- —
Vn
Ui
U2
1
+ --Un
est convergente, et calculer sa limite.
Solution
Pour tout n G N*, posons Wn — 1/un. D’après la proposition 2.29, la
suite (wn) est convergente et a pour limite 1/i. Or
n
— = Wi +W 2 -\------ \-Wn
Un
donc
Vn
Wi +W 2 -\------ [-Wn
n
7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
55
Comme (wn)n>i converge vers l/£, sa moyenne de Cesàro converge aussi
et a pour limite 1/^. En d’autres termes,
W\ +W 2 -\------ h Wn
1
n-*+oo
n
^
On en déduit que la suite {vn)n>i converge et sa limite est égale à £.
Exercice 1 . 1 0 Soit (u„)„>o une suite numérique telle que (u„+i —
tende vers une limite £. Montrer que la suite (u„/n)„>i converge vers t.
Solution
Pour tout n € N*, posons Vn = Un — Un-\- Par hypothèse, la suite (vn)
converge vers £. De plus, on a
Vi
V
2
V
Il s’ensuit que
n
=
U\ — U q
U2 — U
= Ui + U2 H------ h
\
U
— W n-l — Un — U q .
n
+ uq, d’où, pour tout n G N* :
^ _ Ui + U2 H------ VVn
n
n
^
n ’
Or, d’une part, {îio/n)n>i converge vers 0, et d’autre part :
V l ^ - V 2 ^ ---------h Un
n—>+oo
n
£
d’après Cesàro (voir exercice 1 .8 ). Donc ; ^lim^Un/n = £.
Exercice 1 . 1 1 Étudier la nature des suites définies ci-dessous par leur
terme général :
A - û 'V
^
— ( 7~, O I , a £ IR,
1 +
Wr,
Vn =
1
1
1
/ „ ■= H— /
_ H------- 1Vn2"+T Vn2"+2
V n^Tn’
=(-a(-s)'(-râ>
—
1 ! + 2 ! h------ hn!
n!
Chapitre 1.
56
Suites réelles ou complexes
Solution
- Étude de la suite (u„).
Pour a
0, on a
\Un\ =
1 —0^
n
l-o 2
< 1,
1 +
avec
1+
donc (un)n>o tend vers 0 d’après la proposition 2 .66 .
Si 0 = 0 , alors Un = 1 pour tout n > 0 . La suite (u„)„>o est donc
constante égale à 1 , donc converge vers 1 .
- Étude de la suite (u„).
Soit n G N*. Pour tout entier k tel que 1 < A: < n, on a
1
y/n? + n
1
<
.
< 1
+k
^/u? + 1 ’
n
^ '^n <
y/Tn? + n
n
+1
Or,
n
Vn^ + n
1
>+oo
^ 1 + _1 n—
1 et
n
n
^/'n? + 1
1
1.
\/l + à
Le théorème des gendarmes permet de conclure que la suite (u„)n>i est
convergente et que sa limite est égale à 1 .
- Étude de la suite (wn)Tous les termes du produit sont strictement positifs, donc Wn> 0 pour
tout n > 0. Par ailleurs,
Wn+i = W n ( l - ,
< Wn car Wn >0 et 1 - ^ ^ . < 1.
\
2n + 3 /
2n + 3
Donc la suite (wn)n>o est décroissante. Comme de plus elle est minorée
(par 0), elle est convergente d’après le théorème 3.4.
- Étude de la suite (rcn).
Pour tout n G N, on a
1 ! + 2 ! + • • • + (n - 1 )!
n!
+ 1 > 1,
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
57
et
1 ! + 2 ! + • • • + n! ^ ^
^n+l
^
2 ! + • • • + n!
(n + 1)!
=
1-
n\
n (l! + 2 ! h------ hn!)
(n + 1)!
n (l! H------ 1- (n - 2 )!)
< 0.
{n+ 1 )!
La suite (a;„)n>o est donc décroissante; comme elle est minorée (par 1 ),
elle est convergente (de limite ^ > 1 ).
Exercice 1.12 Calculer
lim
n—>oo
( 2 — 3 i ) Ti +
( 3 "h 2 z ) \
+n+ 1
j ’
Solution
Pour tout n G N, posons
---
'{2 - d i ) n + (3 + 2 i ) ^
+n+ 1
)
On a évidemment
(2 — Z i) n
Gt
CL<n —
+
^ ^
(3 +
2 i)
J
= a”. De plus, en écrivant pour n > 1 :
1
---
(2
n
- Zi) + S-\-2i
n
i+è+À
’
on voit, grâce à la proposition 2 . 6 6 , que ( a „ ) „ > o converge vers 0 . On en
déduit qu’il existe iV G N tel que, pour tout n > N , on ait |an| < 1 / 2 .
Pour tout n > iV, on a alors
0 ^ l^nl = |<ïn|
^
Comme la suite (1 / 2 ”) tend vers 0, le théorème des gendarmes assure
que la suite ( | u n | ) n > o converge vers 0 , donc ( u „ ) „ > o aussi.
Remarque : le fait que {Z+2i)/n tende vers 0 lorsque n tend vers l’infini
découle du théorème des gendarmes puisque, pour tout n > 1 , on a
0 < |3 + 2 »l < Æ
~
n
~
n '
Chapitre 1.
58
Suites réelles ou complexes
Exercice 1.13 1) Démontrer que pour tout x g ]0, 1[, on a
(*)
ln (l+ ic ) < X < —l n ( l —a;).
2) On se donne p G N*. Déterminer la nature de la suite (un)n>i de
terme général
1
1
1
1
— — I---- H--------- H------------1— •
n n+1
n+2
np
Solution
1) Pour tout i g ]0, 1[, on a 0 < 1 —i < 1 < 1 + i, et par décroissance
1
1
de la fonction inverse, on en déduit ----- < 1 < ----- . En intégrant sur
1 +t
1-i
^
[0 , a;] pour tout x g ]0 , 1 [ fixé, on obtient
,. ^ . r dt
rP dt ^ . r/■* J.
Jo 1 + t - Jo
- l 1-i’
c’est-à-dire : ln(H -a;) < x < - l n ( l - a : ) .
2) Pour tout U e ] l, -t- oo[, on a v~^ g ]0, 1[, donc d’après (*),
qu’on peut aussi écrire sous la forme
ln(u + 1 ) —InU < - < Inu —ln(u —1 ).
En appliquant cette double inégalité pour v = n ,n + 1, ... ,np, et en
additionnant membre à membre, on obtient
In (np -|- 1 ) —Inn < Un < In (np) —In (n —1 ),
ou encore
to(p+i) < « „ < l n ( p + ^ ) .
La continuité de la fonction logarithme donne
lim In fp -t-—'j — Inp et
n-»+oo \
nj
lim InfpH---- = Inp,
n-»+oo V n - 1 /
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
59
et le théorème des gendarmes permet de conclure que la suite {un)n>i
est convergente et que sa limite est égale à Inp.
Exercice 1.14 Pour tout x e M. fixé, étudier la convergence de la suite
de terme général
X
X
X
Unix) = cos - cos ^
cos 2 n ‘
Indication : On pourra introduire la suite Vn{x) = Un{x) sin(a;/2 ”).
Solution
La formule de duplication : 2 cos u s in u — sin 2u donne
CC
CC
fJn = Unix) sin — = cos —cos
CO
2 ” ~22
=
X
X
2
22
CC
• • • COS —
2”
sin
CO
2^
1 . X
cos -—r - sm
2 n-i 2
2 "“ ^
X
cos —cos — • •
1
X
X
X
.
X
cos- —r sm=
- co s- co s^
2 n—1
2 ^“ ^
2
2
22
1
J.
X
1
= ^2 U n - l i x ) sin—
= -2V n - l i x )
2 n-i
=
s in |
=
1
X . X
1 .
- — - c o s - s m - = — smx.
2n-i
2
2
2”
Nous distinguons deux cas :
- Premier cas : a; = 0.
On a alors, pour tout n e N, Un(0) = 1. Donc (w„(0))n>o converge et a
pour limite 1 .
- Deuxième cas : x ^ 0 .
X
/ X \
Alors, pour n assez grand, on a — G ] —tt, 7t[\{ 0 } et sin ( ^ ) 7^ 0Dans ce cas,
Unix)
_
X sino;
2^
æ
_
Or
lim
^
2”
^
2n
X
s in ^
s in ^
s in ^
0
et
lim
t^o
X
sinx
sini
t
=
1,
Chapitre 1.
60
d’où
Suites réelles ou complexes
-,
sina:
lim Unix) = ----- .
n->+oo
X
Exercice 1.15 Pour tout réel x fixé, montrer que la suite (un(x))n>i
définie par
n“
converge et calculer sa limite. (E{x) désigne la partie entière de x).
Solution
Pour tout réel M, on a U —1 < E{u) < u. Donc, pour tout entier p,
p x — 1 < E{px) < px.
En sommant ces inégalités pour p allant de 1 à n, on obtient
Y , i p x - l ) < Y , E(px) < Y p^p=l
p=l
p=l
Mais, d’après la formule (1.3) du Cours :
A
A
Y px = X Y
p=i
p=i
n (n + 1 )
^
p = —
^
et
^
n(n+l)
~ Y P ^ — nx = ------------- X — n x .
P=1
^
Y ip x
P=1
On en déduit que
X
(n + 1
l\ ^
^
I ---------- < U n < X
2n
n,
n+ 1
2n
Comme le membre de gauche et celui de droite convergent vers la même
limite x / 2 , il résulte du théorème des gendarmes que la suite {un{x))n>i
converge et que sa limite est égale x / 2 .
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
61
Exercice 1.16 Pourn G N* on note Pn la fonction polynomiale donnée
pour tout a; G IR par : Pn{x) = —1 + a; +
+ ... + a:".
1 ) Montrer que l ’équation Pn{x) = 0 admet une unique solution positive
Xn et que Xn appartient à l ’intervalle ]0 , 1 ].
2) Calculer Pn+i{xn) et montrer que la suite {xn)n>i converge. On note
i sa limite.
S) Calculer lim a:" et en déduire la valeur de £.
^
n-»+oo ”
4) On pose Xn = ^ + Un, n > 1. Montrer que 0 <Un <
5) Montrer que Un
1
2 n+2 lorsque n tend vers l ’infini.
Solution
1) Pour chaque n G N*, la fonction x i-> Pn(x) est continue sur E,
et on a Pn(0) = —1 et Pn(l) = —1 + n > 0. D’après le théorème des
valeurs intermédiaires, l’équation Pn{x) = 0 admet une solution a;„ dans
l’intervalle ]0,1]. Or, la fonction x
Pn{x) est strictement croissante
puisqu’elle est dérivable et que Pn(x) = 1 + 2 x H------ 1- na;”“^ > 0 pour
tout a; > 0 . On en déduit que la solution
est unique.
2 ) On a P„+i(a;n) = Pn{xn) +
= a;”+ \ donc P„+i(æ„) > 0. Il en
résulte que Xn+i < Xn pour tout n, ce qui montre que la suite (a;„)„>i
est strictement décroissante. Comme de plus elle est bornée, elle est donc
convergente d’après le théorème 3.4.
3) La suite (a;„)„>i étant strictement décroissante, on a a:2 < a;i = 1 , et
aussi 0 < a:„ < a;2 < 1 pour tout n > 2 . On en déduit immédiatement
que (a:”)„>i converge vers 0. Il est facile de voir que P n (l/ 2 ) < 0 pour
tout n > 1 , et que par conséquent a:„ > 1 / 2 . Or
,n+l
0 = Pn{Xn) = - 1 +
Xn - X.
1
Xji
et par passage à la limite quand n tend vers l’infini, on en déduit que
0 = e - l + t D’où ^ = 1 / 2 .
4) On a P „ (l/ 2 ) = —1/2”, donc Pn(^ +
conséquent,
0 < «„ < — .
> 0 pour tout n > 2 . Par
62
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
5) Après simplification, l’équation Pn{^ +
\ ^+1
= 0 s’écrit
1
2 n+2 (1 + 2 u„)
“ 2 (2
Considérons à présent la suite de terme général
n+1
= (1 + 2 u„)”‘''^. On a
Vn = exp ^(n + 1 ) In (1 + 2 u„))
= exp ((n + 1 ) (2 un + O(un))) = exp (o ( 1 )).
Autrement dit, (un)n>i converge vers 1 . D’où w„ ~
~
n—
>+CX) 2^"^^
Exercice 1.17 On se donne des réels uo,vo,p,q vérifiant 0 < vq < uq,
et 0 < q < p. Pour tout n G N, on pose
-
pun + qvn
,
qun+ pvn
Un+i = ------;------ et Vn+i =
;.
p+ q
p+ q
Montrer que les suites (un)n6N ci ('î^n)neN ainsi définies sont adjacentes.
Solution
Pour tout n € N, on a
P
/ p q\n-\-L
p—
- qq
(*) '^n+l ~ Un+1 =
{Vn ~ u„) = • • • = I ■ I
(^Q — iXo),
P+ g
\p + qJ
donc le signe de Un —Vn est celui de uq — vq. Comme xiq > vq, on en
déduit que U n ~ V n > 0 pour tout n G N. On a donc
^n+l
'O'n —
g
P+ g
{Vfi
Ufi) ^ 0 ,
ce qui montre que la suite (u„)n>o est décroissante.
De même, on a pour tout n G N,
^n+l
'^n —
p+g
(un - Vn) > 0,
donc la suite (vn)n>o est croissante. De plus, 0 <
(*), on a
P+ q
/p —q \^
V n-U n = [ - — J (Vo-Uo),
< 1 , et d’après
7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
63
d ’où l’on déduit que la suite (vn — Un)n>o converge vers 0 .
Les suites ( u „ ) „ > o et ( u „ ) „ > o sont donc adjacentes.
Exercice 1.18 Soient
Uji
ei (un)neN ¿es suites définies par
-,1 “b ^1 I "b *' ' “b 1 I et Vji — Ufi “b1 7.
1!
n!
ni
1 ) Montrer que ces suites convergent vers une même limite, notée e.
2) Montrer que e ^ Q.
Solution
Pour tout n G N, on a u„+i —Un = -,—
(n + 1)!
> 0 , ce qui montre que la
suite (u„) est croissante. De même,
V n + l - Vn
1 —n
^
= -,----- 7TT < 0 pour tout n > 1,
(n + 1)!
et donc la suite (u„) est décroissante.
De plus, l’encadrement : 0 <
—Un < ^ montre, grâce au théorème
n!
des gendarmes, que la suite {un — Vn) converge vers 0 .
Les suites (un) et (u„) sont donc adjacentes, elles sont donc convergentes
et ont la même limite.
2 ) Par stricte monotonie et compte tenu du théorème 3.7, on a
(*)
Un < e < Vn pour tout n > 1 .
Supposons par l’absurde que le nombre e soit rationnel c’est-à-dire que
e G Q. Il existe alors p G N et ç G N* tels que e = p/q. En prenant
n = q dans (*), on obtient
.
1
1
P
.
1
1 1
1 + 77 + •••H--- : < ~ < 1 + 77 + •••H— : +
1!
1
!
q\
ql
q
En multipliant cette double inégalité par g!, on obtient
r < (g — l)!p < r + 1
Chapitre 1.
64
Suites réelles ou complexes
où r 6 N. L’entier (ç —l)!p ne pouvant être strictement compris entre
deux entiers consécutifs, il y a contradiction. Donc e est un nombre réel
non rationnel. On dit qu’il s’agit d’un nombre irrationnel.
Exercice 1.19 1 ) Soit (un)n>o une suite à termes dans RÜj.. Montrer
que
Un+l
lim
= i implique lim
= i.
n^+oo U
n—>+oo
2) En considérant la suite (un)n>o définie par
i y
“ “ . a > 0. 6 > 0, a
[ U2n+1 — O
6,
montrer que la réciproque de l ’implication ci-dessus est fausse.
3) Déterminer la limite des suites {un)n>i
(un)n>i données par
et Vn = ^ y n ( n + l)
Un —
(n + n).
Solution
1) - Traitons d ’abord le cas où ^ > 0.
Fixons e g ]0,.^[. Puisque la suite (un+i/«n)neN converge vers £, on peut
trouver N E N tel que
n> N
implique
^n+1
- i
ILqn
< €.
Pour n > A/”, on a alors
(£ — s) < «n+i < Un{£ + e).
En itérant cette double inégalité, on obtient
Un {£ —
^ < Un < Un {£ + e)
n -N
d’où
(un ) "
—e) "
<
< (un ) ”
Or
lim
n—
>+C» (uiv)" (^ —
n -N
+ e) "
— i — e,
§ 7.
65
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
et
lim (un )^
+
71—> + 0 0
= i + e,
il existe donc un rang Ni tel que
n > Ni implique i — 2 e <
On en conclut que
lim
< £ + 2 e.
= £.
n —>+oo
- Examinons maintenant le cas où ^ = 0.
Dans ce cas, il existe un rang N tel que
n > N implique 0 < Un+i < Un e.
En itérant, on obtient 0 <
< Ujv
.
,
0 <
1
Or lim (un )^
71”iV
71—> + 0 0
pour tout n > N , d’où
V
n —N
^ {Un ) ’' £ " •
= 0, il existe donc A^i G N tel que 0 <
pour tout n > Ni, ce qui prouve que lim
= 0.
71—^ + 0 0
Dans tous les cas on a obtenu : lim
< 2e
= £.
71—> + 0 0
2 ) On a
1.
U2n+1
b
lim ------ = - et
n-^+oo
U2n
U
lim
a
b'
U2n
n ^ + o o U 2n-1
Comme a > 0 , 5 > 0 et a ^ 6, on a a/b 7^ b/a, on conclut par la
proposition 2.20 que la suite {un+i/un)n>o n’a pas de limite, ni finie ni
infinie.
En revanche, on a
lim
=
lim
= 1 et
lim ^”+1i/Ü2n+Г =
lim b ^ ^ = 1 .
La proposition 2.27 permet d’en déduire que (-Ç^)„>i converge et a
pour limite 1 .
La réciproque de la propriété précédente est donc fausse.
3) Posons Wn =
n > 1 . On a
Wn+i _ (2 n + 2 )! (2 n)! _ (2 n + 2 ) (2 n + 1 )
((n + l )!)2 (n !)2
(n + 1)2
Wn
4n^
r>sj
---------
n —» + 0 0
7^2
= 4.
Donc
lim
Wn+l
n-»+ oo
Wn
Comme Un =
= 4 d’après la proposition 2.62.
la question 1) donne alors
lim Un =
n —>+oo
Pour tout n > 1, posons Zn =
^n+l
lim
71— > + 0 0
\ \n j
= 4.
n (n + 1 ) ... (n + n)
. On a
n"
(n + 1) (n + 2) ... (n + 1 + n + 1) X n”
(n + 1)”+^ X n (n + 1) ... (n + n)
n"
(2 ti "1“ 1 ) (2 ii + 2 )
n (n + 1 )”+^
ou encore
^ +«1
2'n
,
^ / n y
Vn + 1 /
4n
4 +^ 2 ^
n
^ / n y 4n + 2
n
V
Vn + l / y
Or
n
^ nn ++ 11 //
V
......... VV
nn+ +1 1/ / nw
-»+
- oo
n + l
n-^+oo
-
1.
Par continuité de la fonction exponentielle, on déduit que
lim exp fn In f
= -,
n-.+oo ^V
Vn + 1 / /
e’
donc la suite {zn^xjzn) converge vers 4/e. La question 1) permet alors
de conclure que {{/^)n> i converge vers 4/e. Autrement dit,
1 !-------------------------4
lim Vn = lim — \ n in + l) ••• (n + n) = - .
n->+oo
n-»+oo
'
e
Exercice 1 .2 0 Soit («„) une suite numérique telle que les suites (u2n) >
(u2n+i)
(usn) convergent. Montrer que (un) converge.
§ 7.
67
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
Solution
Posons :
Ix = n —lim
M2n, 4 —n —lim
U2n+i et 4 —n —lim
uzn>+oo
» -+ 0 0
>+CX)
La suite {u&n) est extraite à la fois de (u2n) et de (u2n+i), elle converge
donc et a pour limite
— £3 , d’après la proposition 2.20. De même, la
suite (uQn+s) est extraite à la fois de (u2n+i) et de (u3„), d’où I 2 = £%■
D’après la proposition 2.27, la convergence de (u2n) et de («2n+i) vers
la même limite l\ permet de conclure que la suite (u„) converge et a
pour limite £\.
Exercice 1.21 Étudier la suite définie par
Vjr\
+
a + ... + \/ü,
a > 0 , n. > 1 .
n radicaux superposés
Indication : On pourra définir (u„) par une relation de récurrence.
Solution
La suite proposée est définie
= \/â
i «1
\ ^Ti+l — \/^
) n ^ 0.
Elle est définie et à termes positifs.
La fonction qui définit la récurrence est f \ x ^ y/a + x avec x > —a.
Elle est croissante sur [—a, + oo[, donc (un) est monotone d’après la
proposition 5.5. De plus.
!-------a + Ui — Ux
U2~Ux = y a + Ux—Ux = ,
------ =
x/cT-ÇlIx + Ux
x/a
Ux + Ux
> 0,
donc la suite (u„) est croissante.
D’après le corollaire 5 .2 , / étant continue, les limites possibles de (un)
sont solutions de l’équation i — f(£) = y/a + £, c’est-à-dire £^—£—a = 0 ,
avec £ > 0 puisque la suite est à termes positifs. On en déduit que la
limite de («„), si elle est existe, vaut ^ = (1 -I- y/1 -I- 4a)/2.
Chapitre 1.
68
Suites réelles ou complexes
Par ailleurs, on a 0 <
< ( l + \ / l + 4o)/2. En effet, (-y/â)^—\ / â —a < 0,
et on conclut que Ui est situé entre les racines du trinôme
— x — a.
Enfin, l’intervalle |^0, (1 + ^/1 + 4o)/2j est stable par / puisque pour tout
X dans ce segment, on a
/ ( 0 ) < f{x) < / 1
'l + x/TTiâX
1 + VI + 4a
Donc
r>
^ ^ 1 + VI + 4o .
r\ ^
\ ^ 1 + VI + 4a
0 < a: < ----- -------- implique 0 < j{x) < --------------- .
2
2
Par récurrence sur n, on voit que, pour tout n G N, on a
Un G 0 ,
1 + VI + 4a
La suite («„) est croissante et majorée par ^ = (l -|- V l + 4a )/2, elle
est donc convergente d’après le théorème 3.4, et comme la seule limite
possible est on conclut que la suite (u„) converge vers i.
Exercice 1 .2 2 Soient (w„) et (u„) les suites données par
uo>0, vo>0,
<
Un+i =
2
Un+l
’s/Ufi V^,
Montrer qu’elles sont adjacentes.
Solution
Une récurrence immédiate permet de voir que les deux suites sont définies
et à termes strictement positifs.
Pour tout n G N, on a alors
U n + l - Vn+1 =
Un + Un
,------
------ r -------------V U n V n
2
=
(V ^ —\/v~V
> 0.
2
Donc Un > Vn pour tout n > 1. On en déduit que
U n+l
Un —
Un
r
^
Un —
Un —Un
------ --------
2
<;
~
A
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
donc la suite («„) est décroissante.
De même, on a
^n+l _
'^n _
Un
Vfi
Un
69
> 1,
ce qui montre que la suite (vn) est croissante.
De plus, {un)n>i est minorée par vi et (un)n>i est majorée par ui, donc
ces deux suites sont convergentes d’après le théorème 3.4. Notons £ la li­
mite de (un) et £' celle de (vn). En passant à la limite dans la relation de
récurrence Un+i = (г¿n + Un)/2 , on obtient £ — {£ + £') ¡ 2 , d’où : £ = £'.
Les suites (itn) et (un) sont donc adjacentes. Leur limite commune est
appelée la moyenne arithmético-géométrique, ou moyenne de Gauss des
nombres Uq et uq.
Exercice 1.23 Soient (un)n>o
gentes. Pour tout n G N, on pose
(un)n>o deux suites réelles conver­
Mn = max (un. Un) et mn = min (un,Un).
Montrer que les suites (Mn)n>o si (u^n)n>o convergent et préciser la li­
mite de chacune d ’elles en fonction de celle des suites (un)n>o st (un)n>o-
Solution
Montrons d’abord le résultat élémentaire et très utile suivant, valable
pour tous a, b réels :
max {a, b) = ^ ( a b \ a — i)|^
mm
in(o, 6)
=
^
-f 6 —|a —6|j.
Pour ce faire, on distingue deux cas.
- Premier cas : a <b.
Alors max (a, b) = b et |a — 6| = 6 —a, et on a donc bien l’égalité
annoncée puisque b = (a-l- 6 - f 6 —a )/ 2 .
- Deuxième cas : a > b .
Alors max (a, 6) = o et |a —6| = a —6, et là aussi on a bien l’égalité
70
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
désirée puisque a = {a + b + a — b)/ 2 .
On a donc établi la formule donnant max (a, b). On démontre de la même
manière la formule donnant min (o, b).
Cela étant, on peut maintenant écrire
Mn
=
^ { u n + Vn + \ U n - V n i)
et
rrin
=
^ (u n + V n - \ U n - V n \ ) .
En notant ê la limite de (u„) et £' celle de (vn), on déduit aussitôt de
la proposition 2.29 :
^lim^ Mn =
+
+ \^ —
= max {i, i!)
et
^ lim ^ 77Zn =
^
{¿-‘t i' - \ i - i'i) =
Exercice 1.24 Soient (un)n>o
{vn)n>o les suites définies par
Un = sin(no;) et Vn = cos (no:),
a ^ k ir
(fc G Z).
1) Montrer que si l’une des suites {un)n>o ou {vn)n>o converge, l ’autre
aussi, et que dans ce cas, si £ désigne la limite de (n„) et i' celle de
(^n)n>o? alors
^
sm a
et
£ = { c o s a -e ) ^
sino:
2) Calculer Í et Í '.
S) En utilisant une relation trigonométrique convenable, aboutir à une
contradiction. En déduire que les suites (wn)n>o et (un)n>o sont diver­
gentes.
Solution
1) De la relation sin ( n + 1 ) a = sin o cos (no)+cos a sin (na), on déduit
que Un+i = sin a u„ + cosa n„, et comme sin a ^ 0 , il vient
'^n —
COSOLUfi
sin a
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
71
Supposons que («„) converge vers i. On déduit de la relation ci-dessus
que la suite (u„) converge et que sa limite ¿' vérifie
^
(*)
(1 -C O S Q !) ^
sina
De même, cos (n -I-1) o; = cos a cos (na) —sin a sin {na) entraîne
—
COSex Vfi '2^12+1
Sin a
et si la suite (u„) converge vers i', alors (u„) converge vers i et on a
¿
- 1 ) £/
sm a
En d ’autres termes, si l’une des suites (u„)„>o ou (un)„>o converge, alors
l’autre aussi converge.
2 ) Des relations (*) et (**), on déduit que
( l - c o s a )2 ^
^ r\
-C •
sin a
■C —
d ’où i sin^O!-|-(l—cosa)^^ = 0 , c’est-à-dire ( 1 —cosa)^ = 0 , et comme
a ^ kir {k E Z), on déduit que ^ = 0, donc aussi £' = 0 d’après (*).
3) La relation de Pythagore donne u1 + v^ = l pour tout n > 0 . En
passant à la limite lorsque n tend vers l’infini, on obtient
= 1,
ce qui contredit le fait que f = £' = 0 .
Les suites (un)n>o et ('yn)n>o sont donc divergentes.
Exercice 1.25 1 ) Soient a et b deux nombres réels strictement positifs.
On note H, G et A, respectivement la moyenne harmonique, la moyenne
géométrique, et la moyenne arithmétique de a et b, c’est-à-dire
Montrer que H < G < A.
2) En déduire que les suites (an)„>o et (6„)„>o définies par la donnée
de oq et bo réels strictement positifs et les relations de récurrence
_ 1 ,
^n+ l
—
r, \ ^ n "P
¿
. ,
1
7
bn +1
2 l üji
ün
Chapitre 1.
72
Suites réelles ou complexes
sont adjacentes.
8) On note i la limite de {an)n>oa) En calculant le produit ünbn, donner une relation liant i à Oo^ob) Montrer que
1 {ü n -f-Y
^n+i ^
2
Q/r\
et en déduire un résultat analogue pour a„+i +
c) Calculer {an —i) / {an + ¿) en fonction de n. En déduire un équivalent
de a„ —^ lorsque n tend vers l ’infini.
Solution
1) Pour tous a,b e
on a {^/â — Vb)^ > 0, d’où o + 6 —2 Vâb > 0,
donc {a + b) > 2 \/ô 6, et finalement G < A.
En remplaçant dans l’inégalité G < A les nombres a et 6 par 1/a et
1 / 6, on déduit immédiatement que H < G.
2) La relation H < A appliquée au couple (ao,6o) donne b\ < ai. On
en déduit que 6i + 6i < ai + 6i, d’où b\ < (ai + b\ ) / 2 = ü2 .
De ü2 = {ai + bi)/2, on déduit que ü2 < ai implique bi < ü2 < ai, et
1 =
62
(1
Ui
1
61
< — implique bi < 6261
De nouveau, la relation H < A appliquée cette fois au couple (ai, 61)
donne 62 < 02- On obtient donc 61 < 62 < ^2 < ai.
Supposons par récurrence que 6^-1 < bn < an < an-i. En répétant le
raisonnement précédent, on déduit que bn < 6n+i < an+i < a„.
On en conclut que pour tout n Ç.N :
bn ^ bn+i ^ aji.|-i ^ Ojj,
ce qui prouve que (a„)„>o est décroissante et que (6n)n>o est croissante.
Il reste à démontrer que la suite (a„ —6n)n>o tend vers 0 . Or
„
an
L
bn
__
^
_i_ h
\
„ (<^n—1 “I" bn—i )
Z
__
—
^
ey (<^n-l
Z
k
\
b n -l)
^
(On—1 bn—1 ^
2 (un-i + bn-i)
1 bn—1
■ -
a„_i + bn-i
b n -1
—r
a„_i + O n - i
<
.
\
,
U
\
— ( a ^ - l — O n_l),
Z
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
73
où la dernière inégalité resuite du fait que
0 < ^ " -1 ~ ^ " -1
< 1.
ü n - l + b n -1
Par récurrence immédiate, on a alors
0 ^ üfi
bfi ^
(do
^o)
et comme (oq —6o)/ 2 ™tend vers 0 , le théorème des gendarmes permet
de conclure que la suite (on —bn)n>o converge et a pour limite 0 .
Les suites (a„)„>o et (b n ) n > o sont donc adjacentes, elles sont donc
convergentes et ont la même limite, qu’on notera t.
3) a) Pour tout n > 0, on a
1
3n+l
- 1- + - 1 =
2 \ On
0"n }
0/fi ”1" bn
1
(Xn+l
0>nbfi
(Xn bn
donc a„+i bn+i = dnbn- Par récurrence immédiate, on en déduit que
On bn = do bo pour tout n > 0. En passant à la limite lorsque n
+oo,
on obtient ^ = oo bo- Comme les suites (on)n>o et (6n)n>o sont à termes
positifs, on a nécessairement ^ > 0 , et par conséquent £ = vW^ôb) D’après la question précédente, o„ bn =
pour tout n > 0 . D’où
„ _
dn+l — ^
—
d n + bn
„_ 1/
,
^
„
----- n ----- ~ ^ — n \ d n ^ ------ ] ~ ^
2
1
2
2\
+ - 2 on i
dn
an J
1 (dn - i)^
2
(Xn
De la même manière, on a
dn+l + £ =
dn “f" b^n , £
2
1 (^n "b
“ 2
Z
■
c) En utilisant les expressions de d„+i - ^ et d„+i + £ obtenues en b),
on a aussitôt
dn £
dn-i - £
Vn € N*,
d „ _ i + £.
dn “b £
Supposons, par récurrence, que
2"'d o - 1
dn—i £
do + £.
dn—i + £
74
Chapitre 1.
Suites réelles ou complexes
On a alors
dji £
dfi£
' Oq — i
+
—1 £'}
( û n - i£ )'^
2”-i\ 2
^gp - f
op + £
2"
On en tire
g^i
£ — (^n 4” ■^)
2"
dQ - £
do — £
2£
2"
n^+OO
^ d Q -\-£ j
Comme £ = vW^p, on déduit finalement
dn — £
~
n—>+oo
2
'd o - t
dQbo
,do + £.
2"
Exercice 1.26 Soit la suite de nombres complexes (un)n>o définie par
uq = a et la relation de récurrence
"^n+1 —
Un “b \Un\
1) Déterminer la suite {^rnUn)n>o
calculer sa limite.
2) Montrer que les suites (|wn|)n>o ei {^eUn)n>o sont monotones.
S) En déduire que (un)n>o est convergente et que sa limite est un nombre
réel.
4) Que se passe-t-il si le nombre a est réel ?
Solution
Observons d ’abord que si l’on pose Xn =
.
^n+1
et уп = ^m u n , alors
Xji + i y fl + \Ufi\
* Уп+1
—
2
’
donc
_
^n+1
"b |Uji|
2
Уп
Уп+1
—
1) (yn)n>o 6st une suite géométrique de raison 1 / 2 . Une récurrence im­
médiate permet de voir que
= yo/2" pour tout n > 0. Donc la suite
(î/n)n>o converge et a pour limite 0 .
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
75
2) D’après l’inégalité triangulaire, on a
I
I ^
\'^ n \ “I" K^Tl
I
I
ce q u i montre que la suite ( | u n | ) n > o est décroissante. D’autre part,
Xfi + \Uji\
^n+l “
Ur,
Xr
et comme Uez < \z\ pour tout
G C, on en déduit que la quantité
Xn+i — Xn est positive, donc que la suite {xn)n>o est croissante.
3) D’après ce qui précède, on a \xn\ < \un\ < |tto|, donc la suite (a;„)
est bornée. Comme de plus elle est croissante, elle converge vers une li­
mite réelle i. Alors puisque Un = Xn-\- iyn et que (?/„) converge vers 0 ,
on conclut que la suite {un) converge vers i.
4) Si a est réel positif, on démontre par récurrence que la suite (u„) est
constante. En effet, si
= a, alors |u„| = a > 0 et Un+i = ot.
Si a. est réel négatif, alors |uo| = —o:, donc ui = 0 et par récurrence, si
n > 1 , on a Un = 0 , et la suite (un)n>o est stationnaire.
Exercice 1.27 Étudier la suite (u„)n>o définie par la donnée de Uq G
[—4/3, +oo[ et la relation de récurrence Un — V3 u„_i -f 4 où n e N*.
Solution
Une récurrence immédiate permet de voir que Un > 0 pour tout n > 1.
Cela étant, on a pour tout n > 2 :
'^n
^n—1 —
3 (Uji—i Un—2)
Un "l" Un—1
ce qui montre que la quantité Un —Un_i garde un signe constant, celui
de Ui —uq .
- Si uo < 0 , on a : Ui —uq > 0 .
- Si Uo > 0 , on a
Ui —Uo =
(4 - U q) (1 -I- U q)
'^1 +
Chapitre 1.
76
Suites réelles ou complexes
et alors Ml —Mq est du signe de 4 —mq.
- Si —4/3 < Mo < 4, la suite (un) est croissante car mi —mq > 0 , et
elle est majorée car m„ < 4 pour tout n. Elle est donc convergente, et sa
limite vérifie l = -v/3£ + 4 avec Í € [0,4]. Donc i — ^.
Si Mo = 4, la suite (un) est constante égale à 4.
Si Mo > 4, la suite (m„) est décroissante car ui — uq < 0 , et elle est
minorée car m„ > 4 pour tout n. Elle est donc convergente et sa limite
est égale à 4.
Conclusion : Pour tout Mo > —4/3, la suite (un) converge et admet
pour limite 4.
Exercice 1.28 Étudier, suivant les valeurs de uq, la convergence de la
suite donnée par : Un+i = (1 + m^ )/ 2 .
Solution
Puisque la fonction / : x
(1 + x ^ )/2 est continue sur R, si la suite
(■Un)n>o admet une limite £, alors £ = {1 + ^ ) / 2 , donc {£ — 1 )^ = 0 .
D’où £ = 1 .
Par ailleurs, quel que soit Mo G M, on a
Mn > 0 pour tout n > 1 ,
et
'^n+1
'^n —
l + ul
---
2
"
(1 - Wn)'
> 0.
2
La suite (m„)„> o est donc croissante.
- Si |mo| < 1, alors Ml < 1, et par une récurrence im m édiate on voit que
Wn < 1 pour to u t n > 1. D onc (m„)„> o est croissante et m ajorée, elle
est donc convergente, et de lim ite 1.
- Si |mo| > 1, alors
«i-kl =
+
- kl = ^(N-1)"
donc Ml > |mo|. On en déduit que m„ > |mo| > 1 pour tou t n G N*, et
{un)n>o ne peut converger vers 1. D onc (Mn)n>o diverge, et com m e elle
est croissante, alors
lim Un = + 00 , d’après la remarque 3.5.
l —»+CXD
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 1
77
Exercice 1.29 Étudier la suite définie par
1
'^0 — 2 ’
^n+i
2
'^n
3
^
^
][g ’ ^ ^ 0 *
Solution
C’est une suite définie par une relation de la forme Un+i = f(un) où
/ est la fonction continue x
La limite i de (un)n>o >si elle
existe, vérifie f{ i) = c’est-à-dire 16^^ —16^ -I- 3 = 0. Donc ^ = 1/4
ou bien l — 3/4.
La suite (un)n>o 6st manifestement à termes positifs, et elle est en outre
décroissante puisque, pour tout n > 0 , on a
W n+l
U fi
=
îijj
’^Tl—1 ~
'^n—l ) ( ’^Tl “t"
On en déduit que Un+i ~ Un est du signe de
—Un-ii donc du signe de
Ui — Uq = —1/16. D’où Un+i — Un < 0 pour tout n > 0.
La suite (un) est décroissante et minorée par 0, elle est donc conver­
gente. Comme sa limite appartient à {1/4,3/4} et que wo = 1 / 2 < 3/4,
on conclut que («„) converge vers 1/4.
Exercice 1.30 Soit uq g M+, et pour tout n G N, Un+i = Un e““".
1) Montrer que la suite {un)n>o converge vers 0.
2) Donner un équivalent de Un lorsque n tend vers l ’infini.
Solution
1) Comme uq > 0, alors ui > 0. Par une récurrence immédiate, on
montre que Un > 0 pour tout n G N. On en déduit que, pour tout
n G N, on a e““" < 1, donc {un)n>o est décroissante. La suite (un)
est donc convergente, de limite ^ > 0. Par continuité de la fonction
X
X e~ ® , on a ê = i e~^, d’où £ = 0.
2 ) Si Uq = 0 , alors il est clair que
= 0 pour tout n > 0 .
Si «0 > 0 , alors Un > 0 pour tout n > 0. Dans ce cas, considérons un
nombre o; > 0 . On a alors
1
u:
1
1
— = ----------= —
[1 + aUn + o (Un) )•
Chapitre 1.
78
Suites réelles ou complexes
Pour tout n € N, posons
+ O( < - “).
^n+l
Pour o: = 1 , on obtient
lim
n—>+oo
= 1 , et d’après la moyenne de Cesàro
(voir exercice 1 .8 ) on en déduit que
lim ^0
_ I
'f l
n — >+CX)
Par ailleurs, on a, pour tout n € N* :
uo H------ 1- Vn-l _ 1
/ 1
— X
n
n
vu“
1
En prenant o; = 1, on conclut que
1 1— = n + o{n),
/ N donc
^ —1 = n + o(n),
-----Un
Uo
Un
et finalement
n-»+oo
n
Chapitre 2
Séries réelles ou complexes
La théorie des séries numériques est l’étude des sommes comportant une
infinité dénombrable de nombres réels ou complexes. Plus précisément,
étant donné une suite numérique
quel sens peut-on attribuer à
l’expression uq +
-I- ... ? Le but de ce chapitre est l’étude détaillée
de ce problème. Après les définitions fondamentales et quelques résultats
préliminaires, nous examinons dans un premier temps les séries à termes
positifs, puis nous détaillons les principales règles de convergence dans le
cas général, en particulier le critère de Leibniz pour les séries alternées
et le critère d’Abel pour les séries semi-convergentes.
1
Généralités
Pour toute suite réelle ou complexe (u„)ngN, on se propose de donner un
sens à la somme uq -h
. . Il est donc naturel de commencer par
former les sommes partielles :
n
Sn
=
Uo d-
+ . . . d-
^
Uk,
k=0
et d ’étudier la limite de la suite numérique (S'n)neN ainsi obtenue.
1 . 1 . D éfinition Soit (un)nçN une suite à valeurs dans R ou C. On
appelle série de terme général Un, la suite
Vn € N , Sn = Uq + U i + . . . +
79
définie par
Un.
Chapitre 2.
80
Séries réelles ou complexes
On note cette série X) '^n- Pour tout n G N, Un s’appelle le terme d’ordre
(ou d ’indice) n de la série, et Sn s’appelle la som m e partielle d’ordre
(ou d’indice) n, de la série
Un.
1 . 2 . D éfinition On dit que la série
converge si la suite («S„)
converge. Dans ce cas, la limite S de la suite {Sn) s’appelle la som m e
de la série Y Un et on la note :
+00
n= 0
1.3. Exem ple (Série géom étrique) C’est par définition la série de
terme général a” où a est un nombre réel ou complexe donné. D’après
la formule (1.4) du chapitre 1, on sait que si a 7^ 1, alors
^ a*’ =
k=0
lim
¿ a ® = —------- ,
d ’où l’on déduit que la série géométrique Y
si |a| < 1 . Sa somme est alors donnée par
+00
E a" =
ièo
n
lim
converge si et seulement
1 _
E«" =
k^o
lim
1
1
„П+ 1
-
1 - «
= — .
1 - a
Comme pour une suite, donner la nature d’une série, c’est dire si elle
est convergente ou divergente. La majeure partie de ce chapitre sera
consacrée au problème de trouver des conditions nécessaires ou suffisantes
pour qu’une série soit convergente.
1.4. D éfinition Si Y Un est une série convergente de somme S, le
nombre
Rn = S - Sn
est appelé le reste d’ordre (ou d’indice) n de la série.
1.5. R em arque Le reste Rn d’ordre n n’est défini que pour les séries
convergentes, et comme dans ce cas la suite [Sn) converge vers S, on en
déduit que la suite (i?„) converge vers 0. On a aussi
+00
Rn ~
y ^ U¡f¡
k=n+l
§ 1.
81
Généralités
n
+00
+00
fc=n+l
k=0
de sorte que l’égalité
traduisant Sn+Rn = S,
k=0
est pleinement justifiée.
1 . 6 . P ro p o sitio n On ne change pas la nature d ’une série 53
en mo­
difiant un ensemble fini des termes de la suite (u„).
D ém onstration :
no G N tel que
Soit (un)n>o une suite, et supposons qu’il existe
Vn G N , n > no
n
Vn = Un-
n
En notant Un =
Uk et Vn =
k=0
Vk^ on obtient
k=0
Vn G N , n > no
no
U n -V n ^ Y ^ { u k - Vk).
k=0
La différence Un —Vn étant constante à partir d’un certain rang, la suite
(Un) et convergente si et seulement s’il en est de même de la suite (1 4 ).
En cas de convergence, on a
+00
+00
53
53
/5=0
/5=0
D’où la proposition.
no
~ 5 v ^k
k=0
no
5 v '^k•
k=0
□
On en déduit que les résultats de ce chapitre, énoncés souvent avec une
hypothèse sur le terme général u„ supposée vérifiée pour tout entier n,
voient leurs conclusions qui subsistent, avec parfois une légère modifica­
tion, lorsque Un ne vérifie l’hypothèse qu’à partir d’un rang no.
1.7. D éfinition Étant donné deux séries YjUn et 5 3 et un nombre
réel ou complexe o, on définit :
a) la série som m e comme étant la série de terme général Un-\-Vn. Cette
nouvelle série est notée 53 (un + Vn),
b) la série p ro d u it par a de la série 53
la série de terme général
a Un- On la note a J2unAvec ces deux lois et les propriétés établies pour les suites numériques,
on déduit aussitôt le résultat suivant.
Chapitre 2.
82
Séries réelles ou complexes
1.8. P ro p o sitio n Muni des deux opérations définies ci-dessus, Ven­
semble des séries numériques est un K-espace vectoriel, dont l ’ensemble
des séries convergentes est un K-sous-espace vectoriel.
1.9. R em arque La somme d’une série convergente
et d’une série
divergente
est divergente ; sinon, la série Y v n — Y (un+Vn)—Y u n
serait convergente. En revanche, on ne peut rien dire a priori de la somme
de deux séries divergentes.
1 . 1 0 . P ro p o sitio n Si une série Y ^ n converge, alors
lim
n—>+oo
= 0.
D ém onstration :
Pour tout n > 1, on a Un = Sn — Sn-i, et les
suites (Sn) et (Sn-i) convergent vers la somme S de la série Yun- On
en déduit que la suite (u„) converge et a pour limite 0 .
□
1 . 1 1 . R em arque La condition
gence de la série Y
pour
> 0 est nécessaire pour la conver­
mais n’est évidemment pas suffisante. Par exemple,
= In (l + - )
^
n'
la suite (un) converge vers 0 , mais
Un
¿
fc=l
Ufe = ¿
{n > 1),
(ln(A: + 1 ) - In A;) = ln(n -|- 1 )
k=l
n—>+oo
+ 00,
donc la série Y «n diverge !
1 . 1 2 . D éfinition On dit qu’une série Y'^n diverge grossièrem ent si
la suite (u„) ne tend pas vers 0 .
1.13. E xem ple On sait, d’après l’exercice 1.27, que les suites (sin a n ) n > o
et (cos a n ) n > o divergent si a ^ ttZ. On en déduit que les séries Y sm (on)
et Y cos ( a n ) divergent grossièrement si a ^ ttZ.
1.14. D éfinition On appelle série télescopique associée à une suite
(o„), la série Y ^ n où Un = ü n - a„_i.
1.15. P ro p o sitio n Soit Y u n une série télescopique associée à une suite
(ûn)n>o- Alors la série Y ^ n et la suite (un) sont de même nature, et en
cas de convergence, on a
+ 0O
Vufc =
lim Un - ao.
§ 1.
Généralités
83
D ém onstration :
Pour tout entier n > 1, on a
n
n
'y Ufc = y ^
k=l
Ok—l) = ûjj
ÛQ)
k=l
et on conclut en faisant tendre n vers l’infini.
1.16. E xem ple Considérons la série de terme général
1
n > 1.
Un =
n(n+ 1)’
Puisque
1
1
n{n+l)
n n + 1’
on en déduit que ^ Un est une série télescopique. Elle est donc conver­
gente, et de plus, on a
”
1
1
1
1 _ _ 1
1
- ï “ 2 + 2"3 + " + n
fe=l
d’où la somme de la série considérée
n+1
,
= 1
1
n+V
+00
n^\ n { n + 1 )
=
lim
( l ------= 1 .
n -I- 1/
n -> + o o V
1.17. R em arque L’entier q > 1 étant fixé, on peut traiter de même
une série télescopique de terme général Un =
—ünLe résultat qui suit est fondamental. Il permet d’établir la convergence
(ou la divergence) d’une série sans en connaître a priori la somme.
1.18. T héorèm e (C ritère de C auchy) Une série numérique
converge si et seulement si elle satisfait le critère de Cauchy :
n+p
< e.
V e > 0 , 3 N e N , V n € N , Vp G N*, n > N
k=n-\-\
D ém onstration : D’après le théorème 4.5 du chapitre 1 , la suite (5„)
des sommes partielles converge si et seulement si elle est de Cauchy. Pour
n+p
conclure, il suffit alors de remarquer que Sn+p — Sn =
Ufc-
□
k=n+l
L’entier N dans le théorème ci-dessus dépend de e, c’est pourquoi nous
le noterons parfois N{e).
84
Chapitre 2.
Séries réelles ou complexes
1.19. Exem ple (Série harm onique) C’est par définition la série de
terme général 1 /n avec n > 1 . On a
1
^
feS-i ^
1
~
1
1
2n ~
2'
Le critère de Cauchy n’étant pas vérifié, on en conclut que la série har­
monique est divergente.
1.20. D éfinition Une série 53
si la série 53 l^nl est convergente.
est dite absolum ent convergente
Le résultat suivant est très important en pratique.
1 . 2 1 . T héorèm e Toute série absolument convergente est convergente.
D ém onstration : Soit e > 0. Puisque la série 53 |^n| converge, il
existe iV G N tel que
n+p
Vn G N, Vp G N*, n > N ^
k=n-\-l
D’après l’inégalité triangulaire, on a alors
n+p
n+p
k=n-\-l
k=n+l
d’où l’on déduit que la série 53 Un satisfait au critère de Cauchy, donc
converge d’après le théorème 1.18
□
1 . 2 2 . R em arque La réciproque du théorème précédent est fausse. Consi­
dérons par exemple la série de terme général
avec
U2p = - P
et U2p-i = P
(p e N*).
Pour tout n > 1, on a
2n
^ 2n ~ ^ y'^k — 0 6t 5^271+1 “
k=l
2n-|-l
y y '^k —
k=l
n+1
§ 2.
Séries à termes positifs
85
Les suites extraites (S 2n) et (5 '2n+i) ayant la même limite (égale à 0),
la proposition 2.26 du chapitre 1 permet de conclure que la suite (Sn)
converge et que sa limite est 0. La série de terme général Un est donc
convergente et de somme égale à 0. Cependant, cette série n’est pas ab­
solument convergente car
2n
E
k=l
^ 1
= 2 E rk
k=l
et on a vu à l’exemple 1.19 que la série harmonique est divergente.
1.23. D éfinition Une série numérique qui converge mais qui ne converge
pas absolument est dite semi-convergente.
Nous reviendrons plus loin sur ce type important de séries.
2
Séries à termes positifs
Dans cette section, nous nous intéressons aux séries X)
à termes réels
positifs. Tous les résultats que nous obtiendrons pour de telles séries
resteront vrais pour les séries à termes négatifs, il suffit d’adapter les
énoncés et les démonstrations en remplaçant croissante par décroissante,
majorée par minorée, +oo par —oo ...
2 . 1 . Lem m e Une série à termes positifs converge si et seulement si la
suite {Sn)n>o des sommes partielles est majorée.
Si la série diverge, alors la suite (<S'„)„>o tend vers -l-oo.
D ém onstration : Pour tout n € N, on a S'n+i —Sn — Wn+i > 0, donc
la suite (-S'n)n>o est croissante. D’après le théorème 3.4 et la remarque
3.5 du chapitre 1, une telle suite converge si elle est majorée, ou tend
vers 4-00 dans le cas contraire.
□
N o tatio n s Si X) Un est une série à termes positifs divergente, on écrira
+00
^
71=0
Un = + 00. Cette notation signifie que
lim Sn = +oo. Elle est géné71— > + 0 0
râlement réservée aux séries divergentes à termes positifs (ou positifs à
partir d’un certain rang). De même, pour indiquer que la série de terme
-1-00
général Un > 0 converge, on écrit parfois ^ «n < +oo71=0
Chapitre 2.
86
Séries réelles ou complexes
Nous allons maintenant établir les principaux critères de convergence
relatifs aux séries à termes réels positifs.
2 . 2 . T héorèm e (Règle de com paraison) Soient
et Y,Vn deux
séries à termes positifs telles que Un < Vn pour tout n > 0 . Alors
1 ) si la série X)
converge, il en est de même de la série ^ Un, et on a
+CX)
+00
( 2 . 1)
< Y^Vn,
n=0
n=0
2 ) si la série Y^Un diverge, il en est de même de la série
D ém onstration : 1) Notons (5„) et (T„) les suites des sommes par­
tielles associées respectivement aux séries
et Y ^n- Par hypothèse,
on a Un < Vn pour tout n > 0 , donc
Vn e n , Sn < Tn.
(2.2)
Comme la suite (T„) est majorée (car convergente), il en est de même de
la suite (/Sn). Le théorème 3.4 du chapitre 1 assure que (5'„) converge.
Donc la série Y Un converge. On obtient l’inégalité (2 .1 ) en faisant tendre
n vers l’infini dans l’inégalité (2 .2 ).
2 ) C’est la contraposée de l’assertion 1 ).
□
2.3. Exem ples 1) Pour tout n > 2, on a 0 < ^ < n{n-i)- Comme
la série de terme général —
est convergente (voir exemple 1.16), la
règle de comparaison permet d’en déduire que la série de terme général
1 /n^ est convergente.
2) Pour tout n > l , o n a 0 < — <
Comme la série harmonique
n
y/n
est divergente (voir exemple 1.19), on en déduit que la série de terme
général l / \ / n est divergente.
2.4. R em arque Si la majoration u„ <
n’est vérifiée qu’à partir d’un
certain rang no, la règle de comparaison reste valable car la convergence
des suites (S'n)n>no
{Tn)n>no entraîne celle des suites {Sn)n>o et
(Tn)n>o- Cependant, l’inégalité (2 .1 ) peut être fausse. Ainsi, pour Un =
3“” si n > 0 , et Vn = 2 “” si n > 1 et uo = 0 , on a évidemment u„ < Vn
pour tout n > 1, et l’exemple 1.3 avec a = 1/3 et a = lf2 montre que
+CX>
O
+00
n=0
^
n=0
1.
§ 2.
87
Séries à termes positifs
La règle de comparaison permet d’établir un autre critère important.
2.5. T héorèm e (Règle d ’équivalence) Soient Y,Un et
ries à termes positifs telles que Un ~ Vn lorsque n
+oo. Alors
1) Les séries sont de même nature.
2) En cas de convergence, les restes sont équivalents.
3) En cas de divergence, les sommes partielles sont équivalentes.
D ém onstration :
sé­
L’équivalence Un'^Vn peut s’écrire
Ve > 0, 3no G N, Vn > no
(1 —e) Un <
< (1 + e) i;„,
(2.3)
ce qui montre que, pour n assez grand,
> 0 lorsque n„ > 0 .
1) Il suffit d’appliquer la règle de comparaison. En effet, si X) converge,
il en est de même de (1 + ff)
et donc de
Si maintenant X)'^n
diverge, il en est de même de (1 —e) X)^n et donc de X^n2) En cas de convergence, la suite des restes converge, et avec l’encadre­
ment (2.3), on déduit que
+00
n > no
+CX )
(1 - e)
p=n+l
S
+00
^p ^ (1 + ^) IZ ^p>
p=n+l
p=n+l
ce qui établit l’équivalence des restes.
3) En cas de divergence, notons {Sn) et (T„) les suites des sommes
partielles associées respectivement aux séries
Pour tout
n > no, on a
n
n
— s no “I"
Tji = T^iQ +
P=no + l
Vp^
p=no + l
et en utilisant l’encadrement (2.3), on obtient
+00
(1 - e)
S
p=no + l
+00
<
+00
X) “p ^ (1 + ^)
p=no + l
Y l ^p>
p=no + l
ce qui s’écrit aussi
(1 —
{'En ~ Eno) < S n ~ Sno
<
(1 + s ) (En ~ Eno)
ou encore
0
\ - e - (l-g)^no->gno^
^
(^1 -F e -
Tn.
Chapitre 2.
88
Séries réelles ou complexes
Comme les séries Y,Un et X)
sont divergentes et à termes positifs, les
suites des sommes partielles tendent vers +oo, et l’on a
lim
(1 - e)
- S,«O _
(1 + g) Тщ^
n—»>+00
T
-*-n
n—>+oo
Snp _ Q
On peut donc trouver deux entiers naturels ni et ri2 tels que
n>ni
—e <
SriQ
(1
T,
et
Avec N = max (ni, 712), on obtient
Vn € N, n > N
{l — 2e)Tn < Sn < (1 + 2g) T„
ce qui établit l’équivalence des sommes partielles Sn et
2.6. R em arque La règle d’équivalence peut être mise en défaut si les
séries ne sont pas à termes positifs. En revanche, la règle reste valable
pour les séries X) «n à termes négatifs, il suffit en effet de considérer les
séries opposées, c’est-à-dire celles de terme général —
Le résultat qui suit traite de séries qui serviront de référence pour appli­
quer les règles de comparaison et d’équivalence.
2.7. T héorèm e (Séries de R îem ann) La série de Riemann ^
{a € M) converge si et seulement si a > 1.
n"
D ém onstration : Cette série diverge pour a — 1 (voir exemple 1.19).
Pour a < 1, on a n~^ < n~°‘, donc la série X) n ““ diverge d’après la
règle de comparaison. On a vu par ailleurs que la série X)
converge
(voir exemple 2.3), donc par majoration on a la convergence de X
pour tout a > 2. Il reste à traiter le cas o; € ]1,2[. Pour cela, considérons
la série de terme général
1
TVa —
L—1 '
(n + l ) O
(2.4)
§ 2.
Séries à termes positifs
89
On a facilement
et comme a —1 > 0 , on en déduit que
P
+00
lim ^
p — ►H-CX)
^
n=l
Un = 1 .
n=l
D’après (2.4), on a alors, pour tout n suffisamment grand,
“«=n4î (i - f i n+^ 1 =¿î
- fl + —
n +»(n^
D’où
Un =
—j^a
------ ^ ^ \ r)Ot }
TiOi (I
^ + O(l)),
^
ce qui donne
Un
^
n->+oo
a —l
Les deux séries étant à termes positifs, la règle d’équivalence permet de
conclure que pour a € ] l , 2 [, la série Y, n~°‘ est convergente.
□
Du théorème précédent, on déduit les règles pratiques suivantes qui sont
des conséquences faciles du théorème (ou règle) de comparaison.
2 . 8 . C orollaire (Règle n“Un) Soient Y'^n
et Y ^ n deux séries à
termes positifs.
1 ) Si la suite (n“ Un) converge vers 0 et si a > 1 , alors la série Y Un
converge.
2 ) Si la suite (n“ u„) tend vers +oo et si a < 1 , alors Y ^ n diverge.
D ém onstration :
1 ) Puisque la suite (n“ Un) converge vers 0 , en
prenant e = 1 dans la définition de la convergence, on trouve un AT g N
tel que n“ Un < 1 pour tout n > AT. On en déduit que
pour
tout n > N , et comme o; > 1 , la série Y
converge, et on conclut
par la règle de comparaison pour séries à termes positifs.
2) Si {n°‘Un) tend vers +oo, alors on peut trouver iV G N tel que
n^Un > ^ pour tout n > N. On a alors
> n ““ pour tout n > N ,
et comme a < 1 , la série Y n~°‘ est divergente, et on conclut ici aussi à
l’aide de la règle de comparaison.
□
Chapitre 2.
90
Séries réelles ou complexes
2.9.T héorèm e (Règle de dom ination) Soient
et YlVndeux
séries à termes positifs telles que Un = O (vn) quand n
+oo.
Si la série
sst convergente, il en est de même de la série
•
+00
+00
Dans ce cas, les restes respectifs Rn = E
Uk
fc=n+l
vérifient : Rn= O (p„)lorsque
D ém onstration :
n
et Pfi — 'y
Vk
fe=n+l
+oo.
L’hypothèse Un = 0 (u„) peut s’écrire
3 M > 0, 3no € N, Vn € N, n > Uq
0 < Un < MVn-
Si la série ^V n converge, il en est de même de M Y^Vn, et d’après la
règle de comparaison Y
converge.
Si les séries considérées sont convergentes, on a, pour tout n > no :
+00
+ 00
Uk < M
fc=n+l
Ufc,
fc=n+l
□
c’est-à-dire Rn = O (pn) lorsque n —y -|-oo.
2.10. R em arque Le théorème précédent reste vrai si la série Y'fJ’n est
à valeurs complexes, il suffit de remplacer n„ par |un| dans la démons­
tration ci-dessus.
2 . 1 1 . T héorèm e Soient Y'^n ri Y'^n deux séries à termes positifs
telles que Un = o (u„) quand n —» -foo.
Si la série Y '^n est convergente, il en est de même de la série Y Un •
+CXD
Dans ce cas, les restes respectifs Rn= Y
fc=n+l
+00
et pn = E
Vk
fc=n+l
vérifient : Rn = o{pn) lorsque n —>
■-foo.
D ém onstration : Soit e > 0. Puisque Un = o (u„) quand n
-l-oo,
il existe iV G N tel que n„ < evn pour tout n > N. Puisque Y ' ^
converge, on déduit de la règle de comparaison que la série Y ^ n (où
n > N) est convergente. De plus, pour tout n > N , on a,
+CX)
0 <
Y
k=n+l
+00
< e Y
k=n+l
§ 2.
Séries à termes positifs
91
ce qui montre que
+CX)
/
E
“ fc =
+00
\
E
k=n-\-l
Vk I lorsque n
\ k=n+l
+0 0 .
/
Ceci achève la démonstration du théorème.
□
2 . 1 2 . R em arque Le théorème précédent reste vrai si la série Y, Un est à
valeurs complexes, il suffit de remplacer dans la démonstration ci-dessus
le terme
par son module |u„|.
2.13. T héorèm e (C om paraison série-intégrale) Soient a un nombre
réel donné et f : [a, -h o o [^ M une fonction positive et décroissante.
Alors la série Y f { n ) (avec n > a) et l ’intégrale impropre
f{ t)d t
sont de même nature. De plus, en cas de convergence, on a l ’encadrement
suivant :
r+oo
+2?
f{t)dt < Rn =
/
•'"+1
E
f+OO
^
/
f{t)dt.
p=n+l
D ém onstration : Quitte à considérer fa{t) = f{ t + a), on peut sup­
poser a = 0. La décroissance de / donne pour tout p G N :
t e \ p ,p + l ] =4> / ( p + 1 ) < f{t) < f{p).
Par intégration de / sur le segment \p ,p + \], on en déduit que
rP+1
/( p + 1) < r
f{ t)d t < f{p).
jp
En sommant pour p allant de 0 à n, on obtient
rn+L
rn + 1
V n e N , Sn+i - / ( 0 ) < /
f{ t)d t < Sn.
Jo
(2.5)
Si la série converge, la suite (¿'n) est majorée, donc la suite
f{t) dt^
l’est aussi. La fonction / étant positive, x h-> Jq f(t) dt est majorée, ce
qui prouve que l’intégrale impropre
f{t) dt est convergente.
Réciproquement, si l’intégrale impropre est convergente de valeur M, on
déduit de l’encadrement (2.5) que
/•+00
/
Jo
f{ t)d t + / ( 0 ) < M -1- / ( 0 ).
92
Chapitre 2.
Séries réelles ou complexes
La suite (Sn) des sommes partielles est donc bornée, et comme elle est
croissante (car la série est à termes positifs), elle est donc convergente.
Autrement dit, la série X) Un est convergente.
□
2.14. R em arq u e Grâce à la règle de comparaison avec les intégrales
impropres, on peut retrouver facilement les résultats obtenus pour la
convergence des séries de Riemann (voir [7] p.l65).
2.15. T héorèm e Si f est une fonction positive, définie sur 1R+ et in­
tégrable sur tout segment [0 , a] inclus dans M+, et si (xn) est une suite
de nombres réels positifs tendant vers +oo, alors la série de terme géné­
ral Un = /* ”■'■V (t)d i et l ’intégrale impropre fQ°° f{ t)d t sont de même
nature.
En plus des séries de Riemann, les séries de Bertrand fournissent une
autre famille de séries de référence qui permettent parfois, grâce aux
règles de comparaison et d’équivalence, de décider de la convergence ou
non d ’une série numérique.
2.16. P ro p o sitio n (Séries de B e rtra n d ) La série de Bertrand
E
^
1
—
r>ot (Inn)^
n°‘
{ a ,l5 )e W
converge si et seulement si a > 1 ou (a = 1 et fi > 1 ).
D ém onstration : Pour a < 0 ou (a = 0 et /3 < 0), la série diverge
car son terme général ne tend pas vers 0 .
Supposons a > 0 ou (a = 0 et fi > 0). Alors la fonction
t i->
i“ (Ini)^
est positive et décroissante sur un intervalle [a, + oo[. La comparaison â
l’intégrale de Bertrand (voir [7] p. 157) permet de conclure.
□
Signalons enfin le résultat suivant, d’usage moins fréquent que ce qui
précède, mais qui peut s’avérer fort utile.
§ 3.
93
Règles de Cauchy et de D’Alembert
2.17. P ro p o sitio n Soient YjUn et
deux séries à termes stricte­
ment positifs à partir d’un rang p, et telles que
w
'î^n+1 ^ '^n+1
----- < ----- .
Uji
Vfi
\
vn> p,
1 ) Si
2 ) Si
converge, alors J2un converge.
diverge, alors 53 diverge.
D ém onstration : Bien sûr, les points 1) et 2) sont équivalents. En
écrivant, pour n > p + 1 ,
Up-|-i ^ 'I’p+l
Unrj
^
Vp
)
‘O^p+2 ^
^p+2
Up^i
^p+1
_
) •••î
Uji
^n—1
^
_
'^n—1
puis en formant le produit de ces inégalités, on obtient
'^p
'^p
ce qui donne le résultat grâce à la règle de comparaison.
□
3 Règles de Cauchy et de D ’Alembert
Il s’agit de deux règles d’absolue convergence que nous obtiendrons par
comparaison de la série 53 |wn| avec une série géométrique. Pour énoncer
ces règles nous avons besoin de préciser quelques définitions.
La notion de valeur d’adhérence a été définie au chapitre 1 . Nous allons
la généraliser à R = E U {—oo, + oo}. Soit {un) une suite réelle.
- Si {un) est bornée, alors elle possède au moins une valeur d’adhérence
dans R d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass.
- Sinon, on peut extraire de {un) une sous-suite qui tend vers -f-oo (ou
vers —oo). On dit alors que -l-oo (ou —oo) est une valeur d’adhérence
de la suite (u^). Évidemment, une suite peut avoir -l-oo et —oo comme
valeurs d’adhérence comme on le voit par exemple avec
= (—l)” n.
Ainsi, une suite réelle admet toujours une valeur d’adhérence dans R.
3.1. D éfinition Soit {un) une suite réelle. On appelle lim ite supé­
rieu re (resp. lim ite inférieure) de (u^), la plus grande (resp. la plus
petite) de ses valeurs d’adhérence dans R (voir problème 7.5).
On utilise les notations : limsup
et liminf
n^+oo
n^+oo
94
Chapitre 2.
Séries réelles ou complexes
3.2. T héorèm e (Règle de C auchy) Soit Y>Un une série à termes
réels ou complexes et soit L = limsup y\un\ (L éventuellement infini).
n—>+oo
Alors
1 ) si L < 1, la série
converge absolument,
2) si L > 1 , la série Y Un diverge.
D ém onstration : 1 ) Supposons L < 1 et soit a tel que L < a < 1.
Il n’existe qu’un nombre fini d’entiers n tels que ^\un\ > a. On peut
donc trouver un entier N (dépendant de a) tel que
n> N
^\un\ < a.
À partir de ce rang N, on a alors |tt„| < a’^, ce qui permet de conclure.2 ) Si L > 1 , il existe une infinité d’entiers n tels que
> 1, donc
\un\ > 1. Le terme général de la série ne tend pas vers 0, donc la série
Y Un diverge grossièrement.
□
3.3. C orollaire (Règle de C auchy usuelle) Soit (u„) une suite de
nombres réels ou complexes. Supposons que lim vluul = A existe. Alors
1 ) si A < 1, la série Y Un converge absolument,
2) si A > 1, la série Y u n diverge.
(
J[\ n“
, on a pour
n/
1 — )
tout n > 1 :
et pour tout n suffisamment grand :
Par continuité de l’exponentielle, on a alors : lim
= e
n—► 4-00
—1
/
1\
e~^ < 1 , on conclut que la série X)
converge.
Comme
§ 3.
Règles de Cauchy et de D’Alembert
95
3.5. T héorèm e (Règle de D ’A lem bert^) Soit YlUn une série à
termes réels ou complexes non nuis à partir d ’un certain rang. On note
L
=
limsup
n—
>+oo
Alors,
1) si L < 1 , la série
2) si £ > 1 , la série
'^n+1
Un
et
U n -\-l
£ = liminf
71^+00
Un
Un converge absolument,
diverge.
D ém o n stra tion : Elle est analogue à celle de la règle de Cauchy, en
n+l
remplaçant y|un| par ЦU
n
Le corollaire suivant donne la version de la règle de D’Alembert qu’on
utilise le plus souvent dans la pratique.
3 . 6 . C orollaire (Règle de D ’A lem bert usuelle) Soit (u„) une suite
de nombres réels ou complexes. Supposons que
lim
n^+oo
Un
= A existe.
Alors
1 ) si A < 1 , la série Y,Un converge absolument,
2) si A > 1 , la série J2un diverge.
3.7. E xem ple Pour la série de terme général
et O G R+, on a
n
'^71+1
donc
= a
n+ 1 ’
Uri
lim
n -^ + o o
= a”/n où n € N*
'^n+1
= a.
'^n
Il en résulte que X) {à"'/n) converge si a < 1 et diverge si a > 1 . Si
a = 1 , on a Un = 1 /n et on sait que la série harmonique diverge.
Maintenant, comparons les règles de Cauchy et de D’Alembert.
3 . 8 . P ro p o sitio n Soit (un) une suite de nombres réels ou complexes.
Si la suite ( |" ^ ^ |) admet une limite A finie ou infinie, alors la suite
( \j\ân\) a,dmet la même limite A.
^D’ALEMBERT Jean Lé Rond (dit) (1717-1783). Mathématicien et philosophe
français. Célèbre pour son travail sur le calcul intégral et son Traité de dynamique
■dans lequel il expose ses résultats sur la quantité de mouvement. Il dirigea avec Diderot
le projet de l’Encyclopédie.
Chapitre 2.
96
Séries réelles ou complexes
D ém onstration : Supposons d’abord A fini et strictement positif, et
choisissons e tel que 0 < e < A. On pose, pour simplifier, £i = X —e et
£2 = X + e. À l’aide de la règle de D’Alembert, on vérifie facilement que
la série de terme général
est absolument convergente. Son terme
général tend donc vers 0. Il existe alors un entier N\ tel que
n> N1
an
< 1.
On en déduit que
pour tout n > iVi. En montrant de
même que la série de terme général Un/i^ ®st absolument convergente,
on prouve qu’il existe un entier N 2 tel que
n > N 2 =^
^ ^2-
En posant N = max (iVi, N 2), on obtient
n> N
A —e <
^\un\ < A + e.
ce qui prouve que la suite ( \j\ân\) converge et a pour limite A.
Lorsque A = 0 ou A = + 00 , on reprend le raisonnement précédent en
ne considérant que ¿2 (ou ^1 ).
□
3.9. R em arque La proposition ci-dessus nous dit que si la règle de
D’Alembert conduit à un cas douteux (celui où la limite de \un+i/un\
vaut exactement 1 ), il est inutile d’essayer la règle de Cauchy.
Dans certaines situations où l’on a un développement de '^n+l - 1 , la
'^n
règle de D’Alembert a été améliorée. Un exemple classique et utile est
donné par la règle dite de Raabe^ et Duhamel^ (voir exercice 2.8).
^RAABE Joseph Ludwig (1809-1859). Mathématicien allemand. Ses travaux
portent sur le calcul diflFérentiel et intégral, l’analyse fonctionnelle et les séries nu­
mériques. On lui doit également des contributions en astronomie. Il a associé son nom
à un critère de convergence de séries établi en 1839.
^DUHAMEL Jean-Marie (1797-1872). Mathématicien et physicien français. Il est
l’auteur de nombreux travaux sur les équations aux dérivées partielles, sur l’acoustique
et la propagation de la chaleur. Il a associé son nom à un critère de convergence de
séries établi en 1839.
§ 4.
Séries semi-convergentes
4
Séries semi-convergentes
97
4.1. D éfinition On dit qu’une série est sem i-convergente si elle est
convergente mais non absolument convergente.
4.2. Exem ple Nous verrons dans un instant que la série ^ (—l)" /n est
convergente , mais on sait déjà qu’elle n’est pas absolument convergente
puisque
\un\ est la série harmonique.
4.3. D éfinition On appelle série altern é e toute série de terme général
(—l)"o„ où (on) est une suite réelle de signe constant.
À un signe près, une série alternée s’écrit donc Z)(—l)”On où (a„) est
une suite à termes positifs.
Pour de telles séries, on a le résultat remarquable suivant.
4.4. T héorèm e (C ritère de Leibniz^) Soit (an) une suite à termes
positifs, décroissante et tendant vers 0. Alors la série alternée
(—1)" «n
est convergente. De plus, sa somme S vérifie S 2n+i < S < S 2n pour tout
n, et son reste Rn d’ordre n vérifie |i?n| < Un+i.
D ém onstration :
On va montrer que les suites (<S'2n) et (S'2n+i)
sont adjacentes. En effet, puisque la suite (a„) est décroissante, on a
<S'2n+2 —S 2n = 0,2n+2 ~ Û2n+1 < 0 et S2n+3 ~ <S'2n+l = Û2n+2 ~ 0,2n+3 > 0 De plus, S 2n —S 2n-i = o,2n tend vers 0. Les deux suites (<S'2n) et (-S2n+i)
étant adjacentes, elles sont donc convergentes et ont même limite. La série
Y, (—1)'^ On est donc convergente et, pour tout n, on a 5 ^2n+i < S < S 2nOn en déduit que
|.R 2n| ~
1.^271+11 =
1*^
<^2n| ^
[»S'— 5 '2 n + l | <
^2n
^2n+l ~
0 ,2 n + lj
<S'2n+2 — <S'2n+l — ® 2n+2-
Donc |i?n| < On+1 pour tout entier naturel n.
□
4.5. Exem ple Pour tout a G
la série Z)(—1)” ^n “ est alternée
et la suite de terme général 1/n“ est décroissante et tend vers 0. D’après
^LEIBNIZ Gottfried (1646-1716). Mathématicien et philosophe allemand. Disciple
de Descartes. Il inventa le calcul diflérentiel en 1676, en même temps que Newton.
Chapitre 2.
98
Séries réelles ou complexes
le critère de Leibniz, la série X) (—1)" ^ n “ est donc convergente, et de
plus, on a
1
<
(n + 1 )“ ’
p=n+l
”
4.6. R em arque Si X)(—l)” a„ est une série alternée et que (a„) tend
vers 0 , Cela,ne suffit pas à assurer la convergence de la série. Considérons
en effet la série alternée
^ ( - l ) ” a„ avec a„ =
1
^/n + (-!)"■
On a a„ ~ l / \ / ^ lorsque n tend vers l’infini, donc la suite (a„) tend
vers zéro. Cependeint la série de terme général Vn — (-1)”
diverge car u« > 0 et
—On^
~ 1 /n . D’après la remarque 1.9, on en déduit
est divergente puisque ( - l ) ’*a„ = ( - 1) " - Vn.
y/n
que la série Y,
Le prochain théorème est une profonde généralisation du critère d Leib­
niz. Établissons d ’abord le lemme suivant.
4.7. Lem m e Soit M un nombre réel strictement positif. Soient
Ul ^ U2 ^ O3 > ... ^ Q>n > 0
des nombres réels, et soient 61 , 62,^ 3, • • • ,bn des nombres complexes tels
que, pour tout p = 1 , 2 , ... ,n, on ait
|6i -f- 62 + ... + bp\ < M.
Alors
|tti bi + (Ï2 ^2 + • • • A ttn bn\ ^ M ai.
D ém onstration : Posons <Ji = 61 , 02 = b\+ b-i, . . . , Op = bi-\-b 2 +
,.. .-\-bp, . . . , et (7n = 61 -I- 62 + ... + 6n- Alors,
bi
(Tl, 62
^2
•••) bp — Op
Gp—i, . . . , bn — (Xn
CTn—!•
§ 4.
Séries semi-convergentes
99
Donc
|ai 6i -|- 02 62 H- ...
dn bn\
= |0 i (Tl -I- 02 ((72 - CTi) - I - ------ h dp ( d p - (Tp_i) +
------ h On ((7„ - (7 „ _ i)|
= |(Ti (Oi — O2 ) -|- (72 ( 0 2 — O3 ) -|- • • • + d p {d p — Op+i) +
= k l | ( a i - CI2) +
• • • + (7n ûn|
|(7 2 | ( 0 2 - O3 ) -1- • • •
|(7p| (Op
Op4-i) -|“ • • • +
|(7n| On
< M (Oi —O2 -|- O2 —O3 -|- • • • -|- On-i — On + On) = M Oi.
D’où le lemme.
□
4.8. T héorèm e (C ritère d ’Abel®) Soit J2un une série numérique
telle que Un = dn bn pour tout entier n > 0. On suppose que
1 ) les On sont réels strictement positifs, et Id suite (on) est décroissunte
et tend vers 0.
2) les bn sont réels ou complexes, et il existe une constunte M > 0 telle
que, quels que soient n > 0 et m > n , on dit
\bn + bn+i -t- ... -I- bm\ < M.
Alors, la série X) Un converge et, pour tout n e N , on a
+00
— ^
K l =
•
p=n+l
D ém onstration : On vérifie pour J2un le critère de Cauchy. Soit
£• > 0. Puisque la suite (on) tend vers 0, il existe un entier N tel que
n > N implique 0 < dn < s/M . Alors, quels que soient m > n > N , on
a, d ’après le lemme précédent (dans lequel on modifie les indices) :
l ^ n + l “I" Un-\-2 "I" ■ ■ ' "h Ufn\ — |O n + l bn+1 "I" ' ■ • d" a m & n il
D’où le théorème.
— ^
an+l
^
S.
□
®ABEL Niels Henrik (1802-1829). Mathématicien norvégien. Il est connu pour
ses travaux en analyse mathématique sur les séries semi-convergentes, les suites et
séries de fonctions, les critères de convergence d’intégrales impropres, ainsi que sur
les intégrales elliptiques.
Chapitre 2.
100
Séries réelles ou complexes
4.9. Exem ple Avec bn = (—1)” dans le théorème ci-dessus, on peut
prendre M = 1, et l’on retrouve ainsi le critère de Leibniz.
Plus généralement, si
= г”, où г est un nombre complexe donné tel
que |2:| = 1 et z ^ 1 , alors
l^n ^ ^ n + l ^
+ z^\
=
\z^\ x\l + Z + z“^ + ■■■ + z^-^\
=
\z'^\
<
1 -b
|1 - ^ |
|]^ _ ^ m -n + l|
_ ^ m -n + l|
X
|i - ^ l
2
|1 - ^ |
On voit donc que l’hypothèse 2 ) du critère d’Abel est vérifiée avec la
constante M égale à 2 /|l —z|.
Si, dans l’exemple ci-dessus, on pose 2: = cos 0 -I- z sin 6 , on déduit du
critère d’Abel le résultat suivant.
4.10. C orollaire Soit (on) une suite à termes strictement positifs, dé­
croissante et tendant vers 0. Alors, pour tout 6 7^ 2 kTT, les séries
Un COS (n 9)
et
a„ sin (n 6 )
sont convergentes.
D ém onstration : D’après la formule de De Moivre, les deux séries
sont respectivement les parties réelle et imaginaire de la série ^O nZ^.
On peut même préciser que
+00
Ün COS ( n 9)
p=n+l
-
+00
On sin {n 9)
p=n+l
D’où le corollaire.
<
2 dn-\-i ^
|1 - г | -
2 û^n+i
sin(0/ 2 )|
2 On+l ^
2 Qn+l
|sin( 0/ 2 )|'
11-^ 1
□
§ 5.
Produit de Cauchy de deux séries
5
Produit de Cauchy de deux séries
101
On sait déjà définir une combinaison linéaire de séries et on a montré que
l’ensemble des séries convergentes est stable par cette opération.
Nous allons maintenant définir le produit (ou p ro d u it de Cauchy) de
deux séries numériques.
5.1. D éfinition Étant donné deux séries Y,Un et
série p ro d u it comme la série de terme général
on définit leur
n
U)n — ^ ^ UfcUji—fc.
k=0
5 . 2 . E xem ple On considère les séries de termes généraux
( - 1 )”
y /n + 1
.. =
v„.
et
( - 1 )”
In (n + 2 )
Ces deux séries vérifient les hypothèses du critère de Leibniz, donc elles
convergent. Leur série produit a pour terme général :
w,'n = ( - 1 )" E
^
1
1
V k + l l n { n - k + 2 )'
Donc
mr, = E
V k T Î ln ( n - f c + 2 )
>
“E
Vn+ 1
ln(n + 2 )
On en déduit |tün| > in(n + 2^'
et la série produit X)
est divergente.
Cet exemple montre en particulier que le produit de Cauchy de deux
séries convergentes peut être une série divergente !
5.3. T héorèm e Soient
et Y
deux séries numériques conver­
gentes, de somme S et T respectivement. Supposons que l ’une au moins
de ces deux séries soit absolument convergente. Alors la série produit est
convergente et a pour somme le nombre S T . Si les deux séries Y
Y Vn sont absolument convergentes, la série produit aussi est absolument
convergente.
102
Chapitre 2.
D ém onstration
Séries réelles ou complexes
Posons
Sn =
Un ^
où Wk = Y '^iVk-i/c=0
/c=0
k=0
2=0
Pour fixer les idées, supposons que X)
converge absolument, et notons
A la somme de la série
|n„|. La suite {Sn) est convergente, donc est
bornée d’après la proposition 2.10 du chapitre 1 . Posons M = sup [¿'„l.
n >0
D’après l’inégalité triangulaire, on a |5„ - 6 U| < 2M pour tous m ,n
dans N. Donnons-nous e > 0. Il existe un entier N (dépendant de e)
tel que l’on ait
^
+00
^
l^pl ^
(reste d’une série convergente).
p=N
b) m > n > N entraîne
Y ' ^ p — ôT
(critère de Cauchy).
p=n
Posons N ' = 2 N. Pour tout n > N', on a
\SnTn - Uni
K u i -\-U 2 -\- • • • + U n) Vn +
=
( u 2 -|- • • • -b U n) V n - l +
^ |ui "b U2 “b • ■■"b Un\ I'l’nl "b 11^2 "b • • • "b tifil
< 2M
••• +
U nV \\
"b • • • "b |utj| Ivil
-b l'nn-il + ••• + |niv+i|j
+^ (Kl + K-il + ••• + hl + \vi\)
^
^
€ e
— “b
——
2 2
Ainsi, la suite {SnTn - Un) tend vers 0, donc (Un) tend vers ST , ce qui
prouve que la série E
converge et a pour somme ST.
Maintenant supposons que I] |«n| converge elle aussi, et notons B sa
somme. Alors, pour tout n G N, on a
-
n
Y
hfel =
+ \U o V l + U iV o \ -b • • • -b \u o V n -b • • • -b U n V o \
k=0
^
|w o| |î^o| +
l^ o l l'î^ll +
l'î^ol +
< (|uo| + |wi| + ••• +
On en déduit que la série produit
n
sommes partielles ^
fc=0
••• +
|Wo| |n n | +
••• +
\U n \ |Uo|
(|uo| -b Inil -b • • • -b |un|) < A B .
u)n
converge absolument puisque ses
|«'fc| définissent une suite croissante et majorée. □
§ 6.
Groupement et permutation des termes
103
5.4. R em arque La première partie du théorème précédent est souvent
appelée le théorème de Mertens.
Une première application spectaculaire du théorème ci-dessus est l’exten­
sion à la variable complexe de l’équation fonctionnelle de l’exponentielle.
5.5^ T héorèm e Soient z et z' deux nombres complexes. Alors
Q^p{z-\-z') = exp( 2:) exp( 2 ').
D ém onstration :
Par définition, on a
+00
+ 00
exp (z) = Y , ^
S P'-
+00
(^') =
p=0
fp
+00
TT = I ]
P o P'p=0
Le critère de D’Alembert permet de voir aussitôt que les deux séries
convergent absolument. D’après le théorème précédent, on a
+ 00
exp (z) exp {z') =
Wn
n=0
OU
w.'n ^
Y
p+q=n
“p^9 =
1
z^ z'^
13 TT
(P + g)! ,p
p-\-q=n
y-
n\
Donc
+00
exp (2 ) exp (2:') = Y
“ exp (2: H-2;').
n=0
D’où le théorème.
6
□
Groupement et permutation des termes
L’objectif de cette section est de répondre à la question naturelle de savoir
si l’associativité et la commutativité de l’addition des nombres réels ou
complexes se prolongent à des sommes infinies de termes.
104
Chapitre 2.
Séries réelles ou complexes
6 . 1 . R eg ro u p em ent de term es consécutifs
Soit (nfc)fe>o une suite d’entiers naturels strictement croissante telle que
no = 0 . À toute série
on associe la série de terme général
Wfc
Up.
P=nk
Si (S'n) est la suite des sommes partielles de la série Y,Un, et si (Tfe)
est la suite des sommes partielles de la série
alors, pour tout entier
positif A:, on a
Tk — '^0 +
+ ••• +
— Wo +
+ ••• +
= Si^nk+i —l-
6 . 2 . D éfinition On dit que la série Y Uk ci-dessus se déduit de la série
Y Un par g ro u p em ent de term es consécutifs.
6.3. R em arq u e Une série obtenue par groupement de termes consécu­
tifs n’est pas nécessairement de même nature que la série d’origine. Consi­
dérons, par exemple, la série divergente Z)
En prenant Uk = 2A:,
Oïl a Vk = U2k + U2k+i = 0 et la série Y Un ainsi obtenue est manifes­
tement convergente (et de somme nulle).
En revanche, on a le résultat remarquable suivant.
6.4. P ro p o sitio n (Som m ation p a r paquets) 1) Si une série converge,
alors toute série obtenue par regroupement de termes consécutifs converge
et les deux séries ont la même somme.
2) Si une série est à termes positifs, alors toute série obtenue par regrou­
pement de termes consécutifs est de même nature que la série d ’origine.
3) Si une série a son terme général qui tend vers 0 et si l ’on se donne
un entier p > 2 , alors toute série obtenue par groupement d’au plus p
termes consécutifs est de même nature que la série d’origine.
D ém onstration : 1 ) Si (Sn) est la suite des sommes partielles de la
série Y Uni on a POur tout entier A: > 0 :
Tk — I'd +
+ • • • + Vfc — Uq -h
-h • • • +
— S,
ce qui montre que la convergence de (Sn) entraîne celle de (T„), et que
les limites sont égales.
§ 6.
Groupement et permutation des termes
105
2 ) Les sommes partielles des deux séries sont majorées simultanément.
3) Ici, Uk+i—rik < p. Pour tout entier m tel que n^+i —1 < m < nk+2 —l,
on a
'S'm “ ^nic+i—l "P
P ■■■4" Um ~ 'l'k 4"
P ‘ ‘ ' 4"
Mais Unk+1 P • • • 4- Um comporte au plus p termes qui tendent vers 0
lorsque k tend vers l’infini. Les deux suites des sommes partielles sont
donc de même nature, donc les deux séries correspondantes aussi.
□
6.5. M odification de l’o rd re des term es
Soit a une permutation de N, c’est-à-dire une bijection de N sur N. À
toute série '^Un, on associe la série de terme général
= Uo-(n)- Remar­
quons que Un = u<y-i(n) et que l’on récupère ainsi la série
à partir
de la série '^VnLes séries
et
'^n ne sont pas nécessairement de même nature, et
même quand elles sont toutes deux convegentes, elles n’ont pas nécessai­
rement la même somme.
Considérons par exemple la série harmonique alternée :
. 1
'~ 2
1
1
+ 3 “ 4 +
P
2n 4-1
2n 4- 2
4-
Cette série converge d’après le critère de Leibniz. Si maintenant on change
l’ordre des termes comme suit :
1 _ 1
1 _ 1 _ 1
2
4~^3 ~ 6 ” 8 '*'
■4-
2îi 4“ 1
1
2 (2ii 4“ 1)
1
-b'
2 (2n 4- 2)
elle reste convergente, mais sa somme est divisée par deux car elle vaut
1_ 1
1_ 1
2 ~ 4 ’^ 6 “ 8 ‘^
P
1
2 (2 n -b 1 )
1
42 (2 n 4- 2 )
Par un changement adéquat de l’ordre des termes, on pourrait même
rendre cette série divergente! Nous reviendrons plus en détail sur cet
exemple dans l’exercice 2.23.
6 .6 . D éfinition Une série X) '^n est dite com m utativem ent conver­
gente si pour toute permutation a de N, la série X ^ia(n) est conver­
gente.
Chapitre 2.
106
Séries réelles ou complexes
6.7. R em arque En prenant pour a l’application identité de N, on voit
que toute série commutativement convergente est convergente.
6 . 8 . T héorèm e Toute série absolument convergente est commutative­
ment convergente, et sa somme est inchangée par toute modification de
Vordre des termes.
D ém onstration : Soit a une permutation de N. Pour n > 0, notons
rrin le plus grand des entiers cr(0 ),cr(l), .. .,a{n). Alors
p=0
mn
+0O
p=0
p=0
donc la série
|^ (r (n )| converge puisque la suite de ses sommes partielles
est croissante (car la série est à termes positifs) et majorée par la somme
de la série convergente
|up|.
Posons maintenant
n
n
Sri ~
Tn —
p=0
+00
'^ît(p) î
p=0
'^p*
s
P=0
Soit e > 0. Il existe N (dépendant de e) assez grand pour que
e
l'S' — ^nl < - ,
2
”
e
et que m > n > N implique ^ |ufc| < - .
k=m
^
Posons Ps = max{cr~^(0),cr“^(l), ... ,<j“^(A^)}. Pour tout p > pe, la
somme partielle Tp comprend les AT + 1 premiers termes de la série
Y^Un, donc Tp — S n ne comprend que des Uk tels que k > N, et par
suite, |Tp — S n \ < e/2. Pour tout p > Ps, on a alors
|5 '-T p | < \ S - S n \ + I^Ar-TpI < I + |On a donc prouvé que
lim T„ = S.
p—^+oo
^
□
6.9. R em arque La réciproque du théorème 6.8 est vraie. Une série nu­
mérique est donc absolument convergente si et seulement si elle est com­
mutativement convergente (voir [1 ] p.282).
§ 7.
Calcul approché de la somme d’une série
7
Calcul approché de la somme d’une série
107
Il peut être important de pouvoir calculer, avec une précision donnée, la
somme S d ’une série J] Un convergente.
Étant donné e > 0 , on cherche à déterminer un entier n (le plus petit
possible) tel que l^-zSnl < £, où Sn désigne la somme partielle d’ordre
n de la série X) Un. Rappelons que
+0O
= |i4 | =
k=n+l
Examinons les cas usuels.
• Séries altern ées :
Pour de telles séries, le théorème 4.4 fournit aussitôt un encadrement de
la somme S ainsi qu’une majoration du reste
+CX)
/_j\n
7.1. E xem ple Calculons une valeur approchée de la somme ^
n= 0
à 10 ~^ près.
D’après le théorème 4.4, on a |5 —Ss\ < 1/10, et
f
(zl> = 1, - - 1 + ------ - 1+ T1 =
n+ 1
“
2 '
8 ' 9
1879
2520
fournit une valeur approchée par excès : Ss — 10 “ ^ < S < Ss- On en
déduit que 0,745 < 5s < 0,746, et qu’une valeur approchée de 5 à 10“^
près est égale à 0 ,7.
Notons que pour obtenir une précision de 5.10“^, il faudrait calculer
S'9998, ce qui n’est guère possible sans moyen de calcul performant. Nous
verrons dans l’exercice 2.23 que la valeur exacte de la somme considérée
est ln 2 .
• Séries relevant de la règle de C auchy :
Si lim
< 1 alors il existe a g ]0 , 1 [ tel que |u„| < a ” à partir
n—>+oo V
d’un certain rang no. On aura donc, pour tout n > no :
+00
Ifini <
E
k=n+l
a
=
a ,n+l
a
108
Chapitre 2.
7.2. E xem ple Considérons la série
Séries réelles ou complexes
On a
{/ÎmJ = - < ^ pour tout n > 7.
^
'
n
6
Considérons
ç, _ .
~
1
22
1
1
8923
44 “ 6912’
33
On a
1
+00 1
S 4 < S = S 4 + R 4 où R 4 = - + y
5®
±.
Or
V J_
V Jl _
1
n" ^
6"
5 X 65’
de sorte que
R4 < ^
55
+
5 X 65
< 0,00035.
+00
Donc S4 est une valeur approchée par défaut de ^
^
à moins de
n=l ^
35.10“^ près.
• Séries relevant de la règle de D ’A lem bert :
Si
lim
n —>+00
alors il existe a g ]0, 1[ tel que |un+i/u„| < a
|г¿^|
à partir d’un certain rang no. On aura, pour n > no et pour tout
P > 0 ; \un+p\ < Oi^ |tin|, donc
lie.,1 < K + il
^l - a
+00
2
1 -a
K l-
^
7.3. E xem ple Calcul approché de e
n=0
'^n+1
XLr\
D’où
1
n+ 1
+00
1
J ii^
1
< — pour tout n > 1 1 .
11
1 +00 1 •
11! S 11‘
10! 10'
§ 7.
Calcul approché de la somme d’une série
Puisque
= 3628800 < 3.10
1
^
n=0
n!
109
on a
9864101
= 2,7182818.
3628800
C’est une valeur approchée de e à moins de 3.10 ® près par défaut.
• Séries com parables à des intégrales im propres :
Si la convergence d’une série relève du théorème 2.13, on a établi, lors de
la démonstration de ce résultat, l’encadrement :
/*71+1
/( n + 1 ) < /
f{ t)d t < /(n ).
Jn
Par addition et à l’aide de la relation de Chasles, on a pour p > 0 :
n+l+p
^
n+p
f (k) < I
k=n+l
f( t) d t < ^ /( A ;) .
^
k=n
En faisant tendre p vers Tinfini, on obtient pour tout n > 1 :
/*+00
r+oo
Rn<
f{ t)d t < R n - 1 ,
Jn
d’où l’encadrement
/*+00
/*+00
/
f{ t)d t < R n <
Jn+1
Jn
+00
7.4. E xem ple Calcul approché de C(3) = ^
f it ) dt.
2
^
n=l
Ici, on a
/■+°° dt _ l
Jn
t^
2n^
20
J
La somme ^
-3
1
< /?
2 ( n + l )2 - ^
< _L
- 2n 2 '
approche par défaut C(3) à moins de 125.10“® près
n=l ^
puisque i ?2 < 850-
calcul donne
^( 3 ) = 1,20205 à moins de 10“® près.
7.5. R em arque Pour une étude approfondie portant sur les questions
d ’approximation, le lecteur pourra consulter avec profit la référence [4]
de la bibliographie.
no
Chapitre 2.
8
Enoncés et solutions des exercices du chapitre 2
Séries réelles ou complexes
Exercice 2.1 Étudier les séries de termes généraux :
—
1 —sin n
1 + n-y/ñ’
Vn =
e^ - 1
y/ñ
Wrt —
= e \/2+n ,
Xn =
I — COS
n
Solution
- Étude de la série
Pour tout n G N*, on a
Q^
l - s i n n ^ l + |sinn, ^
<
1 + n y/ñ
1 + n y/ñ
1 + n y/ñ
n y/ñ
r?!'^
Comme 1 /n^/^ est le terme général d’une série de Riemann conver­
gente, la règle de comparaison pour les séries à termes positifs/permet de
conclure que la série X) '^n est convergente.
/
- Étude de la série I] Un/
Pour tout n G N*, on a
/'■
/
- 1
— r~
yjn
1
^
> ^ > 0,
yjn
)
^--------
et l¡y /ñ est le terme général d’une série de Riemann divergente. La règle
de comparaison assure que la série X)
est divergente.
- Étude de Z)wnOn a
lim r ? e ~ ^ ^ = 0 ,
n—>+oo
donc
37V G N*, Vn>7V,
< 1,
OU encore
37V G N*, Vn>7V,
0 <
Comme 1 /n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente,
on conclut que Y, Wn converge.
- Étude de la série Y ^n -
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
111
Puisque 1/n tend vers 0, on a
1 —cos — = 1 — 1
n
\
+ Of ^
2 n^
) lorsque n —>
■+oo,
d’où l’on déduit que
1 —cos —
n
~
n->+oo
1
2
Les séries sont à termes positifs et 1 /n^ est le terme général d’une série
de Riemann convergente, donc
est convergente d’après la règle
d ’équivalence.
Exercice 2.2 Étudier les séries de termes généraux :
^—2n + ^/n
1
'4n + V
v„.
=
Wrr =
—
K
)
O
^3n + 2
+ sin n
+1 ’
Solution
- Étude de la série Y, Ur,
Pour tout n > 1, on a
+ sin n® =
(1 +
sm n''
Comme la suite de terme général sinn^ est bornée (par 1 ), on en dé­
duit que la suite de terme général (sinn^)/n^ converge vers 0 d’après la
proposition 2 .1 1 du chapitre 1 . On a donc
n^-|-sinn^
~
n—>+oo
donc Un
~
n—>+oo
Comme l/n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente,
la règle d’équivalence pour les séries à termes positifs assure que la série
est convergente.
- Étude de la série '^VnD’après la croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances
au voisinage de -|-oo, on a lim
\/n = 0 , d’où
n—>+(X)
e 2n + \fn = ^Jn
f a —2n
\
—
~ \/^^Jn + 1JI n^+oo
Chapitre 2.
112
Donc
0 <
e
+ ^/n
+
1
Séries réelles ou complexes
\/n _
1
n -» + o o
n ^/2
Comme
est le terme général d’une série de Riemann convergente,
on conclut par la règle d’équivalence que X) '^n est convergente.
- Étude de la série
Les Wn sont des nombres positifs, et on a
.—
^/
^/wZ = wi'
^
^
An + 1
= -------3n + 2
4
—^ - > 1.
3
Le critère de Cauchy permet de conclure que la série E
diverge.
Exercice 2.4 Étudier les séries de termes généraux :
2^
pn/n
Un =
Jo
v ^ n x dx. Vn = —^ (sina)^^ avec a G [0 , 7r / 2 l.
Solution
- Étude de la série E«nPour tout X G R+, on a sinx < x, donc
Vne№ , 0 <
/■ îr/n
< /
Jo
y/x dx =
[ 2
0/9
- X '
L3
n/n
2 / 7T\
3 \ ni )
■
Comme
est le terme général d’une série de Riemann conver­
gente, la règle de comparaison pour les séries à termes positifs permet de
conclure que la série E
converge.
- Étude de la série E'î^nPour tout n > 1, on a
(2 sin^
n"“
d’où
lim
n -» + o o
X)^
n -^ + o o
\n - |- l/
(2 sin^ a) = 2 sin^ a.
À l’aide de la règle de D’Alembert, on conclut que
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
113
- pour 0 < a < 7t/ 4 ; la série '^Vn converge,
- pour 7t/ 4 < û; < 7t/ 2 : la série
diverge.
Pour a = 7r/ 4 , on a
> 0 et
~ l/n^, donc la série ^ V n converge
d’après la règle d ’équivalence pour les séries à termes positifs.
Exercice 2.5 Étudier les séries de termes généraux :
U,
cos(n^Tr)
n Inn
Vn
=
(—1 )”
^3/4 _|_ ÇQg n ,
Wn
= sin (2TT
Solution
- Étude de la série 53 UnL’entier
a même parité que n, donc
Vn > 2 ,
Un = ( - 1 )"
n Inn
d'où
\U n \
1
n Inn
=
La suite (|n„|)n >2 tend vers 0 et elle est manifestement décroissante.
D’après le critère de Leibniz, la série ^ n„ est convergente.
- Étude de la série EunPour tout n e N*, posons : On = Vn — ( - i r . On a
n3/4
an = ( - 1 )"+^
d’où
cosn
(nV4 + cosn)n^/'*’
cosn
a„, =
(n ^ /4
+
C O S n )n ^ /4
1
<
~
(n ^ /^ — 1) n ^ /^ ’
De plus
1
1
(n^/4 — 1 ) n^/^ n—*+oo 77,3 / 2 ’
Comme 1 /n^/^ est le terme général d’une série de Riemann convergente,
on déduit de la règle d’équivalence que (yj,d/4
,
\
_
y jd /4
est le terme gé-
néral d’une série convergente. La règle de comparaison permet alors de
conclure que la série an est absolument convergente, donc convergente.
Par ailleurs, la série de terme général (—
est une série alternée
Chapitre 2.
114
Séries réelles ou complexes
et la suite de terme général 1 /n^/^ est décroissante et tend vers 0. Cette
série est donc convergente d’après le critère de Leibniz.
On conclut que la série
somme de deux séries convergentes, est elle
aussi convergente.
- Étude de la série
Pour tout entier n suffisamment grand, on a
m
= sin ( 2 TT
=
+ ( - 1 )")
sin (2 7 r n ( l +
= sin
)
2
n?
= sin 27rn + 7T ( - 1) "
= sin
=
7T ------------
n
+
o{h)-
Or, (—l)”/n est une série alternée convergente car la suite ( 1 /n) est
décroissante et tend vers 0. D’autre part, en posant a„ = o(l/n^), on a
lim
a„ = 0 , et la règle n“
(corollaire 2 .8 ) permet de conclure
n—>+oo
que la série Y
converge. La série Y Wn, somme de deux séries conver­
gentes, est donc elle-même convergente.
Exercice 2.6 Étudier les séries de termes généraux :
n + l^
Un = i - i r arcsin ( ^ ^ ) ,
, A . ( - 1 )"
Vn = l n ( l -h
Solution
- Étude de la série
Pour tout n suffisamment grand, on a
n+ 1
+S
n -I-1
1
1 + à
n
û;
II-
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
d ’où
.
arcsin
115
/n + l\
1 ,
/1 \
—r— - = — + O —r ,
Vn2 + 3 /
n
W J '
et par conséquent
Un =
(-If
+
Or Z)(—l)”/w est une série alternée convergente car la suite (1 /n) est
décroissante et tend vers 0. D’autre part, en posant o„ = o(l/n^), on a
convergence de la série
d’après le théorème 2 .1 1 .
- Étude de la série
Pour tout entier n suffisamment grand, on a
( - 1 )" \
n °‘
( - 1 )’^
J
n"
+ bn avec bn
"
1
~
n—>+oo
n-*+oo
2 n^°‘
Puisque a > 0, la série
(—l)" /n “ est convergente car c’est une série
alternée et que la suite de terme général 1 /n “ est décroissante et tend
vers 0. D’autre part, la série X) bn est à termes négatifs (donc de signe
constant) et son terme général est équivalent au terme général de la
série de Riemann —S l / n ^ “, et cette dernière converge si et seulement
si 2 a; > 1. La règle d’équivalence permet d’en déduire que la série J2K
converge si et seulement si o; > 1 / 2 .
On conclut que la série
converge si et seulement si a > 1 / 2 .
Exercice 2.7 Etudier les séries de termes généraux :
1 J
L1
.Tr/n gj]j3 ^
1 + 2
+ h (n > 2 ) , Vn = /
-7—— dx (n > 1 ).
In (n!)
Jo
1 + a;
Solution
- Étude de la série X) w„.
La fonction t 1-^ 1/t est décroissante sur R*. Soit
i G [fc. A; + 1], on a | < | , d’où
.k+idt ^ fk+i 1
„
,
Jk
t - Jk
~
En sommant pour k allant de 1 à n, on obtient
^ rk+l (jf
1
k=l
T^
k=l ^
1
G N*. Pour tout
1
~ k-
116
Chapitre 2.
Séries réelles ou complexes
et grâce à la relation de Chasles, on en déduit que
/•”+1 dt
Ji
t
A l
~ hi
c’est-à-dire
In (n -I-1) < 1 -f ^ -I- • • • -I2
n
Par ailleurs, on a
In (n!) = In 1 -I- In 2 -I- In 3 -I- • • • -I- In n < (n —1) In n.
Il en résulte, pour tout entier n > 2 :
Un ^
\n{n + 1 )
‘
]
X 1 >
Inn
n —1
n —1
Comme la série de terme général l/{ n — 1 ) est divergente, la règle de
comparaison pour les séries à termes positifs permet de conclure que la
série
Un est divergente.
- Étude de la série
La fonction
sin^x
^ TT
X
0, /
nj
1 -I- X
est continue. D’après la formule de la moyenne (voir [7] p. 60), il existe
c G [0,7r/n] tel que
TT sin c
Vn = n \-\-c
Or,
Il en résulte que
n ^
^
0 < Un < —r X
1
1 -h c
< - ,
’
où \/n ^ est le terme général d’une série de Riemann convergente. La
règle de comparaison pour les séries à termes positifs permet de conclure
que la série X)
est convergente.
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2____________ H7
Exercice 2.8 (Règle de R a ab e e t D uham el) Soient
deux séries à termes réels strictement positifs.
1 ) On suppose qu’il existe N e N tel que
Vn > iV , ^
'^n
<
Montrer que si
converge, alors ^
2 ) On suppose qu’il existe a G R tel que
et
Vn
'^n
converge.
lorsque n —> +oo.
Montrer que
a) si O! > 1 , alors
converge,
b) si a < \ , alors Y^Un diverge.
Solution
1) Soit n G N tel que n > iV + 1. On a
Un
U fi—i
<
Vn
Ufi—l
Un—i
Un,—2
< V n -\
V n -2
U n +1
Un
< Un +1
Vn '
Un
< — Vn-Comme u n / vn est une constante
Un
(strictement positive) et que la série Y u n est convergente, on conclut
grâce à la règle de comparaison pour les séries à termes positifs.
2 ) Observons d’abord que si a < 0, alors pour tout n assez grand, le
quotient
est supérieur à 1 . La suite {un) est donc croissante
et à termes strictement positifs à partir d’un certain rang, donc la série
YiUn diverge (car sa somme partielle Sn tend vers +oo).
On suppose maintenant a > 0 .
Pour /3 G R, et pour tout n G N*, notons :
= 1/n^. On a
d’où, par multiplication :
^n+1
lorsque n
Donc
^n+1
Vtri
+oo.
Chapitre 2.
118
Séries réelles ou complexes
Si a ^ P, on en déduit que pour n assez grand,
V n+l
U n+ l
est du
Vn
signe de a — P.
a) Si o: > 1, on peut choisir P tel que a > P > 1. Dans ce cas,
est une série de Riemann convergente, et l’inégalité
(valable
pour n assez grand) entraîne que X) ^ converge.
b) Si O! < 1 , on peut choisir P tel que a < P < 1. Dans ce cas,
est une série de Riemann divergente, et l’inégalité
(valable
pour n assez grand) entraîne que X) '^n diverge.
Exercice 2.9 Soient X)
une série à termes positifs, et a € M.
1 ) Montrer que si J2un converge et si a > 1 , alors la série X ^ “
converge.
2) Montrer que si '^Un diverge et si a < 1, alors la série
diverge.
Solution
1) Puisque X Un converge, la suite (u„) tend vers 0. Donc, il existe un
iV G N tel que Un < 1 pour tout n > N. Mais a étant supérieur ou
égal à 1 , on a alors 0 < u“ <
pour tout n > AT. La règle de
comparaison pour les séries à termes positifs permet de conclure que la
série Y, Un converge.
2) La série X Un est divergente, donc ou bien la suite (un) ne tend pas
vers 0 , ou bien (un) tend vers 0 .
- Si {un) ne tend pas vers 0 , alors (u“) ne tend pas vers 0 (car o; > 0 )
et la série X uñ diverge grossièrement.
- Si (un) tend vers 0, il existe N £ N tel que Un <1. pour tout n > N.
Comme a est inférieur ou égal à 1 , il en résulte que
< u“ pour tout
n > N.L& règle de comparaison pour les séries à termes positfs permet
de conclure que la série X
divergente.
Exercice 2 . 1 0 Etudier les séries de termes généraux :
a' 2 ^/i
^n. — 2 v^ + i,n’
Vn
=
a” + (ln n )'^
+ (\/ñ)i"" ’
{a, h) G
X
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
119
Solution
- Étude de la série X)^n• Si 6 < 1 , alors 2 ^ + 6” ~ 2 ' ^ lorsque n tend vers l’infini, et par
conséquent Un'^ oP'- On en déduit que la série
Un est de même nature
que la série géométrique Y^àP. Donc
converge si a < 1, et diverge
si a > 1 .
• Si 6 > 1 , alors 2 ^ + 6” ~ 6", et alors
V/n
(D”2 ^ .
n-^+oo
Or si Wn désigne le terme de droite, on a
/w.
b
'
n—»+00
et par suite, en vertu de la règle de Cauchy :
• si a < 6, la série E Wn converge, donc aussi la série E «n d’après la
règle d ’équivalence,
• si a > 6, la série Ei^n diverge, donc aussi la série E^nEnfin, si a = 6, la suite (u„) tend vers +oo, et dans ce cas aussi la série
Ewn diverge.
- Étude de Ei^nNotons A„ = a’^ + ( I n n ) ^ et
In
a”
= 6” + (-y/n)inn
= "too-V S ln(lnn)
„ ¡n a pour a ^ l ,
d’où
(tan )''" si o < i .
De même.
B,”
6" si 6 > 1,
B„
(vs)inn si 6 < 1.
On est ainsi amené à distinguer quatre cas :
• a > l , 6 > 1 : on a alors
n—>+oo
ay
b) ’
Chapitre 2.
120
Séries réelles ou complexes
la série
Vn converge si a < b, et diverge si a > b.
• a > 1 , b < 1 : on a
a"
donc la série
diverge puisque Vn tend vers +oo (comme on le voit
en considérant Inu^).
• a < l , 6 < 1 : on a
(In n )'^
n^+oo
la série E'^n diverge, puisque Vn
• a < l , 6 > 1 : on a
+oo (considérer le logarithme).
(In n ) '^
En notant Zn le terme de droite, on a
,—
1
In(lnn) ,
= - exp — - p.— , donc
n
y/n
i/—
1
1
lim ^Zn = 7 < 1
n^+00 ''
b
d’où la convergence de la série E
d’après la règle de Cauchy. On en
déduit, par la règle d’équivalence, que la série E
converge.
Exercice 2 . 1 1 Étudier la nature de la série de terme général :
Un = (\/n^ + an + 2 — -\/n^ + 6n + 1 ^ ,
(0 , 6) 6
a >b .
Solution
La forme même du terme général suggère d’utiliser la règle de Cauchy.
Observons d’abord que la condition a > b entraîne que
> 0 pour
tout n > 0. Ceci étant, on a pour n assez grand,
=
(n^ + an + 2 )^/^ — (n^ + 6n+l ) ^/ ^
= n
/
a
n
n-‘
/
b
- n l + - + —
n
4 - a ^ + 6^
+ ----- 8n
^ +
, n^ .
1 + - + —
a —b
8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
d’où
__
liin
n—
>+oo
^yun
121
a —b
Z
=
— X— •
On en déduit que
• Si
> 1, la série
diverge,
• Si ^
< 1 , la série ^U n converge,
• Si ^
= 1 , alors
—
^
=
1+
2 - (a + 6)
------- ;;-------- - + O
An
\n ,
donc
- pour a + 6 < 2 ,
> 1 pour n assez grand, donc
> 1 et la série
Un diverge grossièrement,
- pour O+ 6 > 2, on ne peut conclure sous cette forme. En revanche, on
a, pour q; > 0 :
In (n“ Un) = a In n + n In ^ 1 + ^
^
= a Inn + 2 —(a + 6) + O(1 ),
il en résulte que lim
= +oo, et en particulier, lim nun = +oo.
La corollaire 2.8 permet de conclure
que la sérieUnest divergente.
Exercice 2 . 1 2 Établir la convergence puis calculer la somme des séries
de termes généraux :
O
2 n —1 - ^
= - 5 ---- 7 - [n > 3),
— An
Vn =
24
(2n - 1) (2n + 1) (2n + 5) ■
Solution
- Convergence et somme de la série YunPour tout n > 3 , on a
> 0, et de plus
—
2n —1 ■
—4 n
n-*+oo
^
La règle d’équivalence pour les séries à termes positifs permet de conclure
que la série Y u n converge puisque 1 /n^ est le terme général d’une série
Chapitre 2.
122
Séries réelles ou complexes
de Riemann convergente.
Calcul de la somme.
On a
—4n = n{'n? — A) = n (n — 2 ) (n + 2 ), et la décomposition en
éléments simples de la fraction rationnelle définissant
donne
_
3/8
1/4
-5 /8
n —2 ^ n "*” n + 2
Dans la sommation jusqu’au rang AT, la plupart des termes se détruisent,
il reste
^
3
3
1
1
/3
8
/1
5\
+ 4 -8
1
/1
4
1\ 1
4 /3
55'\ 1
s) N
/3
1\ 1
5
1
8 N +1
5 1
8 N + 2’
d’où
^
8Q
T ,U n^ ^ N->+00
lim y ,U n = ^Qfi.
+ 00
n=3
n=3
- Convergence et somme de la série X)
On a
24
Vn =
(2 n —1 ) (2 n + 1 ) (2 n + 5 ) n-*+oo
’
et comme 1/n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente,
la règle d’équivalence pour les séries à termes positifs permet d’en déduire
la convergence de la série ]C^nCalcul de la somme.
On a
-3
1
+
+
2 n —1
2n + 1
2n + 5
Dans la sommation jusqu’au rang N , la plupart des termes se détruisent,
il reste
N
.
n=l
= 2 - lx ^
d’où
+00
1
^5
3
2/V + l
1
2iV + 3
N
Y , Vn = lira £
N — >+CXD
n=l
n=l
c\c\
=
15'
1
2iV + 5 ’
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
123
Exercice 2.13 Déterminer (a, b) G
pour que les séries suivantes
soient convergentes, puis calculer leur somme,
'^U n où Un = \nn + a ln(n + 1 ) + 6 ln(n + 2 )
où Vn = \/n + a \/n + 1 + b V n + 2 .
Solution
- Étude de la série J2 unPour tout entier n suffisamment grand, on a
Un = (1 + a + 6) Inn + O In ^1 +
=
,
,, ,
û “I" 26
(l + a + 6) Inn + - ^
+
+ 6 In ^1 + —^
/ 1 \
On en déduit que la série
Un converge si et seulement si l + a + 6 = 0
et O+ 26 = 0 , c’est-à-dire a = —2 et 6 = 1 . Avec ces valeurs, on a
¿ U n = - l n 2 - In(AT-l-l) -h ln(iV-h2) = - l n 2 -h
n=l
\iV d - l/
et par suite
/
+00
/N + 2\ \
+ ta ( ^ ) )
E
= - ln 2
- Étude de la série Y VnPour tout n suffisamment grand, on a
=
V5 ( l + a ( l + i )
/1
1\
r~
= (1 + a + 6) \/Û +
+ i.(l + ?))
CL
2b
—7=r- +
2^
' ^
Il y a donc convergence de la série
Vn si et seulement si l + a + 6 = 0
et a + 26 = 0 , c’est-à-dire a = —2 et 6 = 1 . Avec ces valeurs, on a
N
E
n=l
= - V I - V n T T + V N + 2 = -1 +
1
V n T Ï + ^/ÎV + 2 ’
124
Chapitre 2.
Séries réelles ou complexes
d ’où
+CX)
n=l
lim
1 +
N-^+oo ( V ^F+I + V N + 2
)=
Exercice 2.14 Déterminer tous les polynômes P tels que
Un =
+ 3n2 - ^P {n )
soit le terme général d ’une série convergente.
Solution
Si la série ^
converge, alors (w„) tend vers 0. Comme
Vn^ + 3n2
~
n—>+oo
n,
il est alors nécessaire d’avoir ^P {n ) ~ n, donc que P soit de la forme
P{n) = n^ + an^ + bn + c. Il s’agit maintenant de calculer a, b, c pour
que la partie principale de
soit de la forme K /n°‘ avec a > 1. Pour
tout n suffisamment grand, on a
3x1/4
et
X 1/3
où A est une constante réelle qu’il n’est pas nécessaire d’expliciter ici.
Donc
O 1 /3
b
a^\
A
/ 1A
“ “ 3 s U “ 3 + 9‘J "
Les conditions
a
-3=0
et
3
b
a?
„
4 “ 3 + '9 “ “
§ 8.
125
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
sont nécessaires et suffisantes pour que la série
Un converge. Donc les
polynômes P pour lesquels la série X)
converge sont donnés par
P{x) =
^ a; + c
où
c G R.
Exercice 2.15 Étudier la nature de la série de terme général :
f’f/2 sin” X
dx
n
Jq
/*71
Un =
(n > 1 ).
Solution
Posons
/•tt/2
In=
sin” X dx.
Jo
En intégrant par parties, on obtient, pour n > 2 :
/
/o
In =
r-K/2
sin x d x — J
sin”
|V 2
— [ —cosx sin”“^a:]
lo
X sin a: dx
,
, W2
d’où
/
J0
sin X dx =
=
/■’r/2
(n —1 ) ^1
sin”- 2 a; ( 1 -sin^a;
0
^7t/2
sin”“^ X dx — [n — 1 )
( n - 1 ) 1'
Jo
sin”
Il en résulte que, pour tout entier n > 2 ;
(*)
n in = ( n - l ) / „ _ 2 .
Comme I q = tt/ 2 , et Ii = 1 , on en déduit par itérations de (*) :
hp
—
TT 1 • 3 • • • (2p - 1 )
r, A
r,^
2
2 • 4• • • 2p
2 • 4 • • • 2p
6t
i2 p + l —
3 - 5 - ; - ( 2 p + l) '
On a de plus, pour tout x E [0, 7t/ 2],
sin”'^^ X < sin”'*'^ X < sin” X , donc
/„+2 < / n + l <
In
Chapitre 2.
126
Séries réelles ou complexes
Or
lim
n-+oo I„
=
lim ^ 1 = 1 , donc
n^+oo rr + 2
Par ailleurs,
hphp+i —
d’où
= 1.
TT
2 (2p + l ) ’
TT
lim n /„ = - , donc In
n—>+oo
lim
♦+°° L.
~
2
n-»+cx>
V 2n
.
D’après (*), on a finalement
7T
n-^+oo
1
n3/2'
Comme 1/n^/^ est le terme général d’une série de Riemann convergente,
la règle d’équivalence pour les séries à termes positifs permet de conclure
que la série
Un est convergente.
Exercice 2.16 Étudier la nature des séries de termes généraux :
Un -— /f
(n + l)ir s i n X
Jn
X
dx
et
Vn
=
f
Jn
( n + l ) 7T g i n 2 ^
X
dx
Solution
- Étude de la série Y,UnPour tout n € N, on a
(n pair et æ G ]n7r, (n + 1)7t[)
sinx > 0,
(n impair et X G ]n7r, (n + 1)7t[^
sinx < 0.
et
Il en résulte que la série de terme général U n est alternée.
D’autre part, on a
p(n+l) 7T /
|Wn+l| - |Un| = /
Jnn
I
l\
---;---------- |sinx| dx < 0 .
\ X + 7T
xJ '
'
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
127
ce qui prouve que la suite (lunDH^i est décroissante.
Par ailleurs, les inégalités
|^(n+l)n I
/■(n+l)7r I g in a jl
U
= /
------- d x <
JriTT
X
^(n+l)7T
—d x <
Jm r
X
I
— dx
Jm r
T17T
montrent que
Vn G N*,
0 < \un\ < - ,
n
et le théorème des gendarmes permet d’en déduire que la suite (|u„|)„>i
converge vers 0 .
Le critère de Leibniz (théorème 4.4) permet de conclure que la série
est convergente.
- Étude de la série
Il s’agit manifestement d’une série à termes positifs, et on a pour tout
n > 0:
,
.
f (n+l)7T gin^ X
-— — — dx , donc
Vn < /,
(n + 1 ) TT
Jnnir
1
Vn > ;t7^— TT2 (n + 1 )
Comme l / ( n + 1 ) est le terme général d’une série divergente, la règle de
comparaison pour les séries à termes positifs assure que la série Y,
est
divergente.
Exercice 2.17 Étudier la nature des séries de termes généraux :
Un =
!/"■ -y/i dx
Jo \ / l +
et
Vn ^
Í
+°°
Jn
dx
x^ —bx"^
(b e M).
Solution
- Étude de la série YunOn a
Va: G M, \ / l +
> 1 d'où
Il en résulte, pour tout n G N*,
Jo
dx
-
Jo
y/l +
< 1.
128
Chapitre 2.
Séries réelles ou complexes
Or,
- l/n
/> l/n
/
Jo
2 1
3 n3/2’
J x dx =
0
d’où
Vn G N* , 0 <
^ ^
3 n3/2'
Comme l/n3/2 est le terme général d’une série de Riemann conver­
gente, la règle de comparaison pour les séries à termes positifs permet de
conclure que la série Yj
est convergente.
- Étude de la série Y ^nPour tout X G R+, on a
X
> 2b
bx“
^ > 0
T
x^ — bx^ >
Zi
Il en résulte que, pour tout entier n > 26, on a
/*+00
Jn
dx
dx
X 3 —6a;2
-
d ’où
VnGN*,
f+°° 2 dx
Jn
1 1 +°°
0 < Un <
n2 '
Comme 1 /n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente,
la règle de comparaison pour les séries à termes positifs (à partir d’un
certain rang) permet de conclure que la série
'^n est convergente.
Exercice 2,18 1 ) Étudier la nature de la série de terme général :
^(n+i)7T
'^n — /r
dx
Jm
X^ \ Sinxl
2) En déduire la nature de l ’intégrale impropre :
r+oo
dx
a
\ / Îl
+ x^ sm x\
8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
129
Solution
1) Par positivité de l’intégrale (voir [7] p.20), on a Un > 0 pour tout
n > 0.
Le changement de variable x
mr + x donne
rTT
dx
'^n ~ I
7=
yjl + (nvr +
sina;
Sur ]0, 7t[ la fonction x
1/\/® est définie et continue donc intégrable
sur tout segment inclus dans ]0 , 7t[. Au voisinage de 0 on a sina; ~ x,
donc Vsina: ~
De même, on a -\Zsina; ~ ^/'ïï — x lorsque x
Ti~.
On en déduit que l’intégrale impropre / — converge. Il en résulte
70 Sin X
que
^
1
dx
Vn e N*, Un <
(n7r)3/2 Jo ^/sm x
Comme
est le terme général d’une série de Riemann convergente,
on en conclut que la série
Un est convergente.
2 ) La fonction
/ :
X
a/ T T x^
sm x\
est à valeurs positives et elle est continue (donc intégrable) sur tout segr+OO
ment de R+. D’après le théorème 2.15, l’intégrale impropre /
f{x) dx
Jo
r {n + l) n
est de même nature que la série de terme général /
f{x) dx. Elle
Jnn
est donc convergente.
Exercice 2.19 Étudier la nature de la série de terme général :
Un = In
'V n + ( - l ) " \
\/n + a
ae
Chapitre 2.
130
Séries réelles ou complexes
Solution
Pour tout n G N*, posons
)”
Un = 1 + (-1
■ ■■;= - et
v/s
X
Wn
1
,■ ----y /rn
=
Les suites (vn)n>i et (wn)n>i sont à termes strictement positifs, et on
a pour tout n assez grand :
( '- 1 ')”
( '- 1 ')"
1
et
où les suites (ei(n)) et et (e2 W ) convergent vers 0 .
Comme Un — Inun + Inwn, il vient
—
( - 1 )”
\/ñ
0+ 1
2n
+
( - 1 )”
(1 + £l(n)) +
3n3/2
o^
(1 + £ 2 {n)).
D’après le critère de Leibniz, la série I ] ( —l)”/ \ / n est convergente car
la suite ( 1 /y/n) est décroissante et tend vers 0 .
Par ailleurs, les séries de termes généraux :
(1 + £i(n))
et
(1 + e2 {n))
sont absolument convergentes. En effet, si a = 0, le résultat est évident
pour la deuxième. On peut donc supposer que o 7^ 0 . On a alors
f-D ”
n —>+00
377 /^/^
et
4n^
(1 + £2 {n))
n —>+00
Par ailleurs, la série de terme général
est divergente si a 7^ —1 et
convergente si o = —1 .
On a donc deux cas :
- si o = —1 , la série
est convergente,
- si o ^ —1 , la série
est divergente car somme d’une série conver­
gente et d’une série divergente.
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
131
_ n \ 271+1
Exercice 2 .2 0 1 ) Pour n e N*, résoudre dans C : ( - —
\z + i j
n (2 n —1 )
fcTT
2) En déduire que : Vn € N* , ^ cotan^
2n + 1
k=\
7T
8) Montrer que : Vu G 0
cotan^u < — < 1 + cotan^u.
I l,
.
+00
4) En conclure que : ^
— = —
n=l
Solution
1) Pour tout k e { 0 , . . . , 2n}, posons
^
Pour tout 2: G c \
et
= e<«..
on a
'z —
= 1
.2; + i j
3 k e { 0 , . . . , 2 n}, ^
= cok
z+t
3 A: G {1, . . . , 2 n },
Z = i
De plus,
A
. e*®fc/ 2
+ u>k
. g - i 0fc/ 2
e^k/2 _
l-tO k
^
_ c o s { 6k / 2 )
g - i 0fc/ 2
6k
_
2
—cotan
L’ensemble des solutions de l’équation proposée est donc
{ - c
o
t a
n
A: G {1, . . . , 2 n } | .
kn
2 n “h 1
=
1.
132
Chapitre 2.
Séries réelles ou complexes
2 ) En développant par la formule du binôme de Newton®, on obtient
_
2n + l
= 1
\ z + i)
{z + i Y - { z - i f ^
2
xz~" + 2
^ '-•3
XZ
+ ... = 0 .
En notant <71 , 0-2 , . . . , les fonctions symétriques élémentaires de l’équa­
tion algébrique précédente, on a
¿3
./x
=
2 ( 2”+ij i
2
<7i
= 0
et
0-2 =
2n - l
d ’où
I : cotant
= 0-1 - 2 o-2 =
2n - | - 1
fc=i
puis, comme pour tout k € { n + 1 , . . . , 2 n},
cotan
2n (2n —1)
kn
(2 n + 1 — k) TT
= —cotan
2n + l
2iTi + 1
il vient
2n
kxr
kn
cotan^ ------ - = cotan^
2iTi -f- 1
ti
2n+l
2 ^
n (2 n —1 )
ce qui donne bien la formule annoncée.
3) Pour tout U e]0,Tr/2[, on a
0 < n < tan U
et
0 < s in t/< t/
=>
1
cotar
1
=> 1 + cotan^ U = ^—- 2- >
sin «
1
V?
®NEWTON Isaac (1642-1727). Physicien anglais. Un des plus grands scientifiques
des temps modernes. Apporta des contributions majeures aussi bien en physique qu’en
mathématiques. Il entama l’étude des fonctions dérivables et de leurs dérivées et ré­
digea un compte rendu sur les fondements du calcul infinitésimal. Newton a fondé
l’analyse moderne. En géométrie, il classifia les cubiques et en donna des tracés cor­
rects avec asymptotes, indexions et points de rebroussement. En physique, ses contri­
butions sont immenses, notamment en optique et en mécanique, avec la mise en place
de sa théorie de l’attraction universelle.
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
133
D’où l’encadrement désiré.
4) De la question précédente, on déduit que pour tout n fixé dans N* :
— cotan
kir J
k'K
< 1.
2 n -\-l
En sommant et en utilisant la question 2 ), il vient :
^
( 2 n + l ) 2
-
0 < ------^—
7T^
1
n ( 2 n - l )
2^ P
--------- 5
^
1 ^
^
^
k=l
^
donc
7 T ^ n ( 2 n — 1)
3 (2 n +
1)2
2 7 T ^ n ( n + l)
3 ( 2 n
+
l)2
■
Comme
7 r ^ n ( 2 n — 1)
3 (2n + 1)2
27T^n^
-
n-»+oo
12 n?
2 7 T ^ n ( n + l)
et
3 (2n + 1)2
-
n-»+oo
27T^n^
12n2 ’
le théorème des gendarmes donne
n i
+00 1
S
2
=T-
Exercice 2 . 2 1 On considère les séries de termes généraux :
'^n —
2
2"
si n = 0
si n > 1
,
=
/Í —1
- 1 si n = 0
1 1 si n > 1
1 ) Montrer que les séries
et
Vn sont divergentes.
2) Déterminer la nature de la série produit.
Solution
1 ) On a
lim Un =
n—>+oo
lim 2 ” = +oo et
n—>+oo
lim
n—>+oo
=
lim 1 = 1,
n—>+oo
donc les séries Y'^n et Y Vn divergent grossièrement.
134
Chapitre 2.
Séries réelles ou complexes
2) La série produit a pour terme général Wn donné par
W q
=
u oV o
=
—2,
= ui uo + uo
= —2 + 2 = 0,
et pour tout n > 2 :
n —1
Wn
—
U q V n “h
n—1
^ ^ '^k '^n—k “I”
^ 0 — 2 H“ ^ ^ 2
k=l
2
k=l
= 2 + 2 (2’^-^ - 1 ) - 2 " = 0 .
Ainsi, la série produit des deux séries divergentes Z) «n et
série convergente.
Vn est une
Exercice 2.22 1 ) Montrer que le produit de la série semi-convergente
Z)(—l)"/-\/ñ par elle-même est une série divergente.
2 ) Montrer que le produit de la série semi-convergente
par
elle-même est une série convergente.
Solution
1) Pour tout n € N*, posons Un = (—l)"/-v/n, et notons Wn le terme
général de la série produit de Z)
par elle-même. On a
n
Wn+^ = Y '
k=i
( _i\/c
Vk
( _1 \n + l—A;
_____= ( - 1 )”+! V
V n + 1 —A:
n
-I
:
■ .
(n + 1 —A:)
Or,
VA: € { 1 , ... ,n},
car la fonction x
D’où
A:(n+ 1 —A:) <
(n + 1 )^
x { n - \ - l —x) admet un maximum en a: = (n + 1 ) / 2 .
(*)
- Si la suite (iü„) converge, alors (|wn|) converge aussi et sa limite est
supérieure ou égale à 2 d’après (*), donc (tü„) ne tend pas vers 0 , et la
série Z^ Wn diverge grossièrement.
- Si la suite [wV) n ’a pas de limite, la série Z^ Wn est divergente d’après
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
135
la proposition 1 .10 .
2 ) Pour tout n 6 N*, posons Vn = (—l)”/n, et notons Wn le terme
général de la série produit de J2
par elle-même. On a
” (-!)'= ( - 1 )”+!-'=
n+ l-k
^
(-1)"+^ ” /1
n -t- 1 É Î U
,
A
1
^
k {n +l-k )
1
\
n -I- 1 -
22 i(--l i) r”+i A 1
n+1
¿ i fc■
fc=i
A: J
Pour tout n G N*, posons
- V - > 0.
n + 1 ¿1 ^
Oin --
D’après ce qui précède, on a
= (—1 )”+^ an pour tout n > 0.
La série de terme général
est donc alternée, et pour montrer qu’elle
converge, il suffit de prouver qu’elle vérifie le critère de Leibniz, c’est-àdire que la suite (o;„) est décroissante et tend vers 0 .
- Montrons que la suite (an) tend vers 0.
En procédant comme pour l’exercice 2.7, on obtient, pour tout n > 2 :
1
^ l n n <^ l - h -1 + ----|- ----1
+ ... + _1 <
2
n
2
n —1
d’où l’on déduit que
n
1
~
donc
,.
lim an =
n -> + o o
Inn,
,.
2 Inn
lim ------- = 0 .
n -> + C X )
n
+
1
- Montrons que la suite (a„) est décroissante.
Pour tout n G N*, on a
AM
2
û!n+l
^
1
^ + 1 ^ ^
OCn
2
-1-2
2 \ A
Tl
1
k=l A:
l) S
1
(n -1- 1 ) (n -b 2 )
n
^
2
1
E
Î
+
(n -b 1 ) (n + 2)
A:
(n -b 1) (n + 2 ) ’
Chapitre 2.
136
d’où
Séries réelles ou complexes
-2 Inn
Oin+I -
Oin
~
n-»+oo
7 — —PTT— - r r
{ n + 1 ) (n + 2 )
<
0.
On en déduit que la suite (o;„) décroît à partir d’un certain rang.
Le critère de Leibniz permet de conclure que la série X) '^n converge.
Exercice 2.23 On considère la série harmonique alternée, de terme
général
( _ l) n + l
n > 1.
n
1) Vérifier que cette série est semi-convergente.
2) À l ’aide de la formule de Mac-Laurin appliquée à x
In (1 + x) sur
le segment [0 , 1 ], trouver la valeur S de la somme de cette série.
3) On considère maintenant la série dont les termes sont ceux de la série
précédente écrits dans l ’ordre suivant :
Un =
1 _ 1
1 _ 1 _ 1
“ 2 “ 4 " ^ 3 “ 6 “ 8' ^
+
2n + 1
1
2 (2 n + 1 )
1
+
2 (2 n + 2 )
Montrer que cette série converge et que sa somme est égale à S / 2 .
Solution
1 ) La série
est alternée et la suite (|u„|) est décroissante et tend
vers 0. Le critère de Leibniz permet de conclure que la série X)
converge.
En revanche, la série
\un\ n’est autre que la série harmonique, elle est
donc divergente.
La série
Un est donc semi-convergente.
2 ) La fonction / : [0 , 1 ] ^ R, x
In (1 + a;) est de classe C°° sur [0,1 ],
et une récurrence facile montre que, pour tout n G N, on a
’
'
(l+ x )"
■
D’après la formule de Mac-Laurin, il existe 0 g ]0, 1[ tel que
In (1 -I- x) = X —
X“
— +
n+2 ^n+1
( - l ) ’"+^x”
( - 1)
+
n
(n + 1 ) ( H - 0 x)”+i'
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 2
137
En faisant x = 1 dans ce développement, on obtient
1 n
( - 1 )”+^
n
1
.
( - 1 )'»
( n + 1 ) (l + 0 )"+ i’
Notons Sn la somme partielle d’ordre n de la série étudiée. On a
( - 1 )”
(n + 1 ) (1 + «)"+' ’
- ln 2 =
avec
(-ir
<
car
n+ 1
1 + e < 1.
(n + 1 ) (1 +
On en conclut que lim 5„ = In 2 , c’est-à-dire
n-^+oo
5 ; ^ —L
= In 2 .
n
n=l
3) En appliquant la méthode de groupement de termes consécutifs, on
obtient aussitôt la convergence de la série puisque
1___________ 1_____________ 1
_ ________ 1
1
2/Tt -|-1
2 (2tî "1“ 1)
2 (2 tî "f" 2 )
4 (2ti -|- 1 ) (n -|- 1 ) n^+oo 8n^
Comme de plus,
1
1
1
2n-f-1 “ 2 (2n + 1) “ 2 ( 2 n - M ) ’
la série proposée peut aussi s’écrire sous la forme :
1
/
1
1
1
2 ^ " 2 + 3 " 4 +
-I-
1
1 ^
( - 1 )”+!
O 2^
n
n=l
1
-IQiTi + 2
2/1 - | - 1
D’après la question précédente, on a alors
1
2 \
/
1
1
2^3
1
1
4'^'"'^2n-hl
1
2n + 2
+
Exercice 2.24 Étudier les séries de termes généraux :
il -I- i Y
('—1')”+^
1 ln 2 .
2
Chapitre 2.
138
Séries réelles ou complexes
Indications : pour
on pourra utiliser le critère d’Abel, et pour
on pourra utiliser un regroupement de termes consécutifs.
Solution
On a
Un =
(V 2 )"
-----------------
(v/2 )"
--------- ,
r\j
+ 1 ) a"
n-»+oo
'^n+l
n—>+oo
Un
V2
a
De plus
lim
- Pour a > \ / 2 , la règle de D’Alembert et la règle d’équivalence assurent
que la série
Un est absolument convergente, donc convergente.
- Pour a < y/2, la suite (|u„|) ne tend pas vers 0, donc (u„) non plus.
La série X) Un est alors grossièrement divergente.
- Pour a = y/2 , on a, grâce à la formule de De Moivre :
Un —
(cos f + i s i n f ) ’' _ cos n f + Z sin n f
+ 1
rг^ + 1
Le critère d ’Abel (théorème 4.8) avec
1
^ ,
7T
. .
TT
Un = —s— 7 et On = cos n — + Z sm n —
+1
4
4
permet de conclure que la série ^
converge.
Étudions maintenant la série Z)Un- Pour tout entier n > 2, on a
1
1
1
1
1
“ "3 + 2 “ 5 + 4 + " ' +
2 zz - | - 1
J_ _
2 zz
Notons Wp le terme général de la série qui se déduit de J] Vn par regrou­
pements de termes consécutifs deux à deux. On a
1
1
1
’2p + l
La série J2wp est convergente puisque Wp =
1
^
r------- r
2 p ( 2 p + 1)
~
p -^+ o o
— .
La proposition 6.4 permet d’en déduire que la série Y, Un est convergente.
Chapitre 3
Suites de fonctions
La notion de convergence d’une suite de fonctions est cruciale en Analyse
et constitue une source inépuisable de sujets d’examens et de concours.
Ce chapitre est une des parties les plus importantes du cours d’Analyse
des niveaux L2 et L3. En plus de leur importance intrinsèque, les résul­
tats obtenus jouent un rôle fondamental dans toute la suite de l’ouvrage.
Dans ce chapitre, X désigne un ensemble non vide quelconque et E est
un espace vectoriel muni d’une norme || • ||. Le lecteur qui n’est pas fami­
liarisé avec la notion d’espace vectoriel normé peut accéder sans difficulté
à tous les résultats en remplaçant l’espace E par R ou C et la norme
par la valeur absolue ou le module.
1
Convergence simple et convergence uniforme
1.1. D éfinition Soit (/„) une suite d’applications de l’ensemble X dans
l’espace vectoriel normé E, et soit / une application de X dans E. On dit
que (fn) converge sim plem ent vers / sur X si, pour chaque x £ X,
la suite ifn{^)) converge dans E vers f{x). En d’autres termes,
V x e X , V £ > 0 , 3 A g N, V n e N , n > N
^
||/„(a;) - /(x )|| < e.
On dit alors que / est la lim ite sim ple sur X de la suite d’applications
(/n)) et on note parfois :
,
c.s.
n
fn
— —
n—>+oo
/•
1.2. R em arque II est clair que la fonction limite / est unique puisque,
pour tout Æ€ A, la suite numérique {fn{x)) a une limite unique.
139
Chapitre 3.
140
Suites de fonctions
1.3. E xem ple La suite des fonctions définies sur [0,1 ] par fn(x) = x''
converge simplement vers la fonction / définie par
f ( x) = ( “
^^ ^
I 1 SI 2; = 1 .
On observe sur cet exemple que toutes les fonctions fn sont de classe
C°° sur [0,1 ] alors que / n’est même pas continue !
Dans la définition ci-dessus, l’entier N dépend, en général, de e et de x.
Cela nous amènera parfois à noter AT(e, x) au lieu de N.
En exigeant que N soit indépendant de x, on obtient un mode de conver­
gence plus restrictif, appelé convergence uniforme.
1.4. Définition On dit que la suite (/„) converge uniformément vers
/ sur X si,
V s > 0 , 3ÍVGN, V n e N , n > i V
(VrreX, ||/„(a;) - /(a:)|| < e).
On dit alors que / est la lim ite uniforme sur X de la suite d’applica­
tions (fn)- On note parfois :
,
c.u.
f
fn —
—^
/•
n-^+oo
1.5. Remarque Si X est un intervalle de R et E = M, la convergence
uniforme de la suite (/„) vers / signifie que pour tout e > 0 , il existe
un rang N à partir duquel le graphe de /„ est contenu dans la partie
du plan xOy définie par x £ X et y € [f{x) — £,f{x) + e]. Autrement
dit, il existe un rang à partir duquel le graphe de /„ est compris entre le
graphe de f — e et celui de f + e.
1.6. Proposition Si la suite (/„) converge uniformément sur X vers
f , alors elle converge simplement sur X vers f .
D ém onstration :
Découle immédiatement des définitions.
□
1.7. R em arques 1 ) Nous verrons dans l’exemple 1.10 que la réciproque
de la proposition 1.6 n’est pas vraie.
2 ) Cette proposition nous dit que pour rechercher une éventuelle limite
uniforme, on pourra d’abord étudier l’existence d’une limite simple, et
si la convergence simple est vérifiée, la limite simple est alors la seule
application candidate à être la limite uniforme.
§ 1.
Convergence simple et convergence uniforme
141
1.8. Critères de convergence uniforme
De la définition 1.4 on déduit immédiatement le critère suivant.
1.9. Proposition Soit (/„) une suite d ’applications de l ’ensemble X
dans l ’espace vectoriel normé E, et soit f une application de X dans E.
Pour chaque n G N, notons
= sup Wfnix) - f{x)\\.
xe x
Pour que la suite (fn) converge uniformément vers f sur X , il faut et il
suffit que la suite numérique ()U„) tende vers zéro.
D ém onstration :
La condition (Va; G X , \ \ f n { x ) — f { x ) \ \ < e)
équivaut à :
< e. Le résultat annoncé en découle aussitôt.
□
Évidemment, ce critère est intéressant lorsqu’on peut calculer effective­
ment Pn- Par exemple, si X est un intervalle de M et
= R, on obtient
la valeur de pn en étudiant les variations de la fonction réelle /„ —/ .
En fait, il est souvent possible de procéder plus simplement. En effet,
pour prouver que la suite (pn) tend vers zéro, il suffit de la majorer
par une suite convergeant vers zéro ; et pour prouver qu’elle ne tend pas
vers zéro, il suffit de la minorer par une suite de nombres positifs ne
convergeant pas vers zéro.
1.10. Exemple La suite de fonctions donnée sur [0,1 ] par fn{x) = x”
converge simplement vers la / définie par f (x) = 0 si x G [0,1[ et
/(1) = 1. Mais (fn) ne converge pas uniformément sur [0,1] vers /
puisque
Pn =
sup ||x’" - /(x )|| = 1
o:€[0,l]
ne tend évidemment pas vers zéro.
1.11. Proposition Soit ( f n ) une suite d ’applications de l ’ensemble X
dans l ’espace vectoriel normé E, et soit f une application de X dans E.
1 ) Pour que la suite ( f n ) converge uniformément vers f sur X , il suffit
qu’il existe une suite (e„) de nombres réels positifs, convergeant vers
zéro, telle que
Vx G X , \ \ f n ( x ) - f(x)\\ < E n 2) Pour que (fn) ne converge pas uniformément vers f sur X , il suffit
qu’il existe une suite (x„) de points de X telle que (/n(x„) —f(xn)) ne
tende pas vers zéro.
142
Chapitre 3.
D ém o n stra tio n :
Suites de fonctions
Notons fin = sup \\fn{^) —
xex
Si la condition énoncée dans 1 ) est vraie, on a fin < Sn> ce qui montre que
la suite (fin) tend vers zéro, donc la suite (/„) converge uniformément
vers / sur X.
Si la condition énoncée dans 2) est vraie, on a ;Un > ||/n(a;n) —/(3^n)||)
ce qui montre que la suite (//„) ne tend pas vers zéro, donc (/„) ne
converge pas uniformément vers / sur X.
□
1 . 1 2 . E xem ple Considérons la suite de fonctions définie sur
fn{x) =
par
sin nx
1 + n^x“
^'
Pour tout X fixé dans R, la suite numérique ( f n i ^ ) ) converge vers 0.
Donc la suite (/„) converge simplement vers la fonction nulle sur R. Or,
pour n > 1 , on a
^”(s) = rrWi ^ °
L’assertion 2) de la proposition précédente permet de conclure que la
suite (/n) ne converge pas uniformément vers / sur R.
La définition 1.4 de la convergence uniforme suppose connue la fonction
limite / de la suite (/„). Lorsqu’on ne connaît pas / , on peut utiliser le
très important critère suivant.
1.13. T héorèm e (C ritè re de Cauchy uniform e) Soit ( f n ) une suite
d’applications de l ’ensemble X dans l ’espace vectoriel normé E. Pour que
la suite (fn) soit uniformément convergente, il faut qu’à chaque nombre
e > 0, on puisse associer un entier N tel que les inégalités n > N et
p > N entraînent
Vx e X,
||/„(a:) - fp(x)\\ < s,
(3.1)
et cette condition est suffisante si l ’espace E est complet, donc, en par­
ticulier, si E = M. ou C.
D ém o n stra tio n : Si la suite (/„) converge uniformément vers / sur
X , et si le nombre £ > 0 est donné, il existe un entier N tel que, pour
§ 1.
Convergence simple et convergence uniforme
143
tout entier n > N et tout a; € X, on ait \\fn(^) — fp{^)\\ ^ s:/2 . Les
inégalités n > N et p > N entraînent donc par l’inégalité triangulaire :
\\fn{x) - fp{x)\\ <
||/ n ( a : ) - / ( x ) ||
+
||/ p ( x ) - / ( x ) ||
<
e,
(3 .2)
pour tout X G X , c’est-à-dire (3.1). La condition annoncée est donc
nécessaire.
Inversement, supposons cette condition vérifiée. Pour chaque x G X , le,
suite ( f n { x ) ) est de Cauchy dans E , donc converge si E est complet.
Posons
f { x ) = ^lim ^ f n { x ) ,
et choisissons N tel que les inégalités n > N et p > N entraînent (3.1).
En faisant tendre p vers l’infini dans (3 .2 ) et en utilisant la continuité de
la norme, on a pour chaque x G X :
\\fn{x) - f { x ) \ \ = ^lim^ \\fn{x) - /p(a;)||,
d ’où \\fn{x) — f { x ) \\ < s, quels que soient n > N et x G X . Cela
montre bien la convergence uniforme de (/„) vers / sur X .
□
1.14. C aractérisatio n de la convergence uniform e su r l’espace
des fonctions
On peut obtenir une caractérisation très commode de la convergence
uniforme si on regarde une suite de fonctions comme une suite de points
d’un espace de fonctions.
1.15. D éfinition (N orm e de la convergence uniform e) Soit X un
ensemble et E un espace vectoriel normé. On note ‘B {X, E) l’espace
vectoriel des applications bornées de X dans E. Pour tout / G 'B(X, E),
la norme
ll /l lo o = sup l|/(x)|l
xex
fait de ‘B ( X, E) un espace vectoriel normé. Cette norme est appelée la
norme de la convergence uniforme.
1.16. P ro p o sitio n Une suite (fn) de 'B(X,E) converge uniformément
sur X vers f G ‘E (X, E) si et seulement si | | / n — / | | o o i e n d vers 0 lorsque
n tend vers l ’infini (c’est-à-dire si et seulement si (fn) converge vers f
dans ‘B {X,E)).
144
Chapitre 3.
Suites de fonctions
D ém o n stra tio n : - Si (/„) converge vers / dans Ъ(Х, Е), alors la
suite réelle
Un = sup ||/„(Æ )-/(a:)|| - ||/n - /||o o
xex
converge vers zéro, ce qui montre que la suite (/„) converge uniformé­
ment sur X vers / .
- Réciproquement, si (/„) converge uniformément sur X vers / , alors
BTVe N, V n € N ,
n> N
sup ||/n( 2^) —/ ( 2^)11 ^ 1
xex
d’où l’on déduit par l’inégalité triangulaire :
Vx e a:. ||/( x)|| < ||/(x) - /„(x )|| + ||/„(x )|| < 1 + ||/л,||„.
Cela prouve bien que / appartient à Ъ{Х, E). Comme de plus
sup ||/n(a:)- /( ж ) || = ||/n - /||o o ,
x€X
on conclut que (/„) converge vers / dans {Ъ{Х,Е), || • ||oo).
□
1.17. R em arq u e Au cours de la démonstration précédente, nous avons
établi au passage que si (/„) est une suite de fonctions bornées conver­
geant uniformément vers une fonction / , alors / est bornée.
1.18. P ro p o sitio n Soient (/„) et (p„) deux suites de fonctions de
!B(X, K) convergeant uniformément sur X vers f et g respectivement.
Alors la suite (/„ gn) converge uniformément vers fg sur X .
D ém onstration :
On a, d’une part,
fn9n - fg = ifn - f ) {9n - 9 ) + 9 { f n - f ) - f ( 9 - 9n),
et d’autre part, H^V’Iloo < llv’lloo llV’Iloo pour tous
l’aide de l’inégalité triangulaire, on déduit que
ll/n 9n
-0 ^ S(A ,K ). À
/^lloo ^ ||/n“ /||oo ||^n~5'||oo + II5 II00 ||/n“ /||oo + ll/lloo ||^'"^n||oo'
Donc Wfn9n — fgWoo tend vers zéro lorsque n tend vers l’infini.
□
§ 2.
Convergence uniforme et continuité
145
1.19. R em arque La proposition précédente est fausse si les suites ne
sont pas dans Ф(Х,К). En effet, si on considère les suites de fonctions
définies sur R par
Уп(^) ~
n
—1 )
alors (/„) converge unformément vers la fonction nulle, la suite (^n) qui
est une suite constante converge uniformément sur E vers la fonction
g : X 1-^ Ж, mais la suite (/„
= (/„ g) ne converge pas uniformément
sur E vers la fonction nulle puisque
X
sup \fn{x)gn{x)\ = sup - = + 00 .
хеш
хбК ^
1 . 2 0 . T héorèm e L ’espace vectoriel Ъ{ Х, Е) muni de la norme || •Iloo
est complet.
D ém onstration :
Il suffit d’observer qu’une suite de fonctions de
Ъ{Х, E) est uniformément de Cauchy si et seulement si elle est de Cauchy
pour la norme uniforme || • ||oo□
2
Convergence uniforme et continuité
Le théorème suivant est fondamental.
2 . 1 . T héorèm e Soit E un espace vectoriel normé, soit X une partie non
vide d ’un espace vectoriel de dimension finie F, et soit (/„) une suite
uniformément convergente d’applications de X dans E. Si les fonctions
fn sont toutes continues en un point a de X , alors leur limite f est
continue au point a.
D ém onstration : Soit e > 0. Puisque (/„) converge uniformément
vers / sur X , il existe A/' G N tel que
VnGN, n > N
^
( v x g X, ||/„( x) - / ( x)|| < 0 .
Comme f{^ est continue en a, il existe un voisinage V de a dans F tel
que
V ieX flV ,
||/jv ( x ) - /jv ( a ) l| < I
146
Chapitre 3.
Suites de fonctions
Pour tout a: de X n V, on a alors par l’inégalité triangulaire :
||/(a;) - /(a )||
< ||/(a;) - fN{x)\\ + \\fN{x) - /Af(o)|| + ||/jv(o) - /(a )
^ e
e e
^ —“1“ —
- 3
3 3
Donc / est continue au point a.
□
2 . 2 . C orollaire Soit E un espace vectoriel normé, soit X une partie
non vide d ’un espace vectoriel de dimension finie F, et soit (/„) une
suite uniformément convergente d ’applications continues de X dans E.
Alors leur limite f est continue sur X .
D ém onstration : La continuité étant une propriété locale, la fonction
/ est continue sur X si et seulement si elle est continue en chaque point
de X . On peut donc conclure grâce au théorème précédent.
□
L’importance du théorème précédent provient du fait que beaucoup de
fonctions usuelles sont définies comme limites uniformes de fonctions
continues.
Notons que ce théorème permet souvent de montrer, sans calcul, que la
convergence d ’une suite de fonctions n’est pas uniforme.
2.3. E xem ple La suite (/„) donnée sur R par fn{x) = e“"® converge
simplement sur R+ vers la fonction / définie par f (x) = 0 pour a; > 0
et /(0 ) = 1. Les fonctions /„ sont continues sur R+, et leur limite ne
l’est pas. La convergence de (/„) vers / n’est donc pas uniforme sur M+.
2.4. R em arq u e 11 existe des suites (/„) de fonctions continues qui
convergent simplement mais non uniformément vers une limite / qui
est continue. C’est par exemple le cas de la suite (e“"®) sur ]0, +oo[. En
d’autres termes, la convergence uniforme d’une suite simplement conver­
gente de fonctions continues est une condition suffisante, mais non né­
cessaire, pour que la fonction limite soit continue.
2.5. T héorèm e (de la double lim ite) Soit X une partie non vide
d’un espace vectoriel normé de dimension finie F, soit E un espace vec­
toriel normé, soit (/„) une suite d ’applications de X dans E, convergeant
uniformément sur X vers une application f , et soit a un point de X tel
que, pour chaque n G N, /a limite bn de {fn{x)) lorsque x tend vers
2.
147
Convergence uniforme et continuité
a existe. Si E est complet, alors la suite (bn) a une limite b, et f{x)
tend vers b lorsque x tend vers a. En d’autres termes, on a la formule
d ’interversion de limites :
lim
lim fn(x) = lim
lim fn(x).
D ém onstration : - Montrons que la suite (6„) converge dans E.
Puisque E est complet, la suite (6„) converge si et seulement elle est de
Cauchy. Soit e > 0 . Puisque (/„) converge uniformément sur X vers / ,
il existe N e N tel que
VneN, \ /x e X ,
(n> N
=> \\fn{x) - f{x)\\ < 0 .
Soient p,q Ç.N tels que p > N et g > N. D’après l’inégalité triangu­
laire, on a
yxGX,
\\fp{x) - fg{x)\\ <
<
-
||/p (a:)-/(a ;)|| + Il/,(a :)-/(a;)||
-
2
+ - = £ .
2
En faisant tendre x vers a, on déduit, par continuité de l’application
||x|| que : ||6p —6g|| < e. On a donc démontré que la suite (6„) est
de Cauchy dans l’espace complet E, elle est donc convergente. Notons b
sa limite.
- Montrons que f{x) tend vers b lorsque x tend vers a.
Soit e > 0. Puisque (fn) converge uniformément sur X vers / , on peut
trouver iVi e N tel que
X
Vn€N, V i € X .
(n>Afi
=> ||/„(x) - / ( i ) || < 0 .
Puisque (bn) converge vers b, il existe N 2 E N tel que
V n e N , n > N 2 => \\bn-b\\ < l .
O
Notons N ' = max(A^i,iV2). Puisque fN'(x) tend vers bpf> lorsque x
tend vers a, il existe un voisinage y de a dans F tel que
V x e x n y ,
WfN'ix) - bN>\\ <
|.
Chapitre 3.
148
Suites de fonctions
On a alors, pour tout x e X D V :
\\f(x) - 6|| < \\f{x) - /jv'(a:)|| + WÎN'ix) - bN'\\ + ||&tv' - i>||
^ €
e
e
< — I------ 1— = e .
- 3
3
3
Cela montre bien que f{x) tend vers b lorsque x tend vers o.
3
□
Convergence uniforme et dérivation
Considérons la suite (/n)n>i des fonctions définies sur R par
U x ) = (x^ +
1 \V 2
.
Cette suite converge simplement vers la fonction / : a;
|x|. Pour
chaque n > 1, /„ est dérivable (et même de classe C°°) sur E. D’autre
part, on a
k| <
+ - ^ < \x\ + - , d'où \fn{x) - f{x)\ < - ,
n
n
ce qui prouve que la convergence de (/„) vers / est uniforme sur E.
Cependant la fonction / n’est pas dérivable à l’origine !
En d ’autres termes, la limite d’une suite (même uniformément conver­
gente) de fonctions dérivables n’est pas nécessairement dérivable. Dans
cette section, nous allons établir une condition suffisante (mais non né­
cessaire) pour que la limite d’une suite (/„) de fonctions dérivables soit
dérivable. Il faudra bien noter que cette condition ne porte pas sur la suite
ifn) elle-même, mais sur la suite (/^) des fonctions dérivées.
3.1. T héorèm e Soient E un espace vectoriel normé, I un intervalle de
E, et soit (fn) une suite d’applications dérivables de I dans E, conver­
geant simplement vers une application f . Pour que f soit dérivable sur
I, il suffit que la suite des dérivées (/^) soit uniformément convergente
sur I ; et pour tout x E I on a alors
§ 3.
Convergence uniforme et dérivation
D ém onstration
149
Fixons un point xq dans I, et posons
fn{x) - fn{xo)
^n(x) = *
/n K )
et
si
f{x) - f{xo)
X — Xq
(p{x) =
si X ^ X q
X — Xo
lim
n—>+oo
f^ {x o )
X = X q,
si X ^ X q
si
x
= xq.
Les fonctions (fn ainsi définies sont continues au point xq et convergent
simplement vers (p sur I.
Pour prouver que la fonction / admet p {xq) pour dérivée au point xq, il
suffit de prouver que la fonction limite p , elle aussi, est continue en X q .
Cela résultera immédiatement du théorème 2.1 lorsqu’on aura prouvé que
la suite {(pn) converge uniformément vers <p sur I, et le résultat annoncé
en découlera.
Montrons donc la convergence uniforme de (v?„) sur I.
Par hypothèse, la suite (/^) est uniformément convergente sur I, donc
uniformément de Cauchy. Pour chaque e > 0, il existe donc un entier N
tel que les inégalités n > N et p > N impliquent
Va: G /,
||/n(a:)-/p(a:)|| < e.
En appliquant à fn — fp la formule des accroissements finis, on obtient
pour tout X € I :
\\fn{x) - fp(x) - {fn{xo) - /p(a:o))|| < s \ x - xo|,
ou encore, après division par |x —Xq| (en supposant x
\\iPn{x) - Pp{x)\\ < e.
xq)
(3.3)
:
(3.4)
Mais l’inégalité (3.3), vraie pour x ^ Xq, reste vraie au point xo par
passage à la limite (puisque les fonctions
sont continues en ce point).
Faisons maintenant tendre p vers +oo dans la relation (3.4). À la limite,
on a, pour tout n > N et tout x G / :
||<^n(a:) - p{x)\\ < e.
Cela prouve bien la convergence uniforme de (^„) vers p sur /, et
achève la démonstration du théorème.
□
Chapitre 3.
150
Suites de fonctions
3 . 2 . R em arq u e Le théorème ci-dessus reste vrai si on y remplace le
mot “dérivable ” par “dérivable à gauche ” ou “dérivable à droite ”, et si
les fonctions fn sont supposées continues sur I.
Lorsque E est complet, notamment lorsque E = R ou C, on a le résultat
remarquable suivant. Rappelons qu’un espace vectoriel normé complet est
appelé un espace de Banach.
3.3. T héorèm e Soit (/„) une suite d’applications de classe
de
[a, b] dans un espace de Banach E. On suppose que
i) il existe xq g [a,b] tel que la suite (fni^o)) converge;
a) la suite (/^) des dérivées converge uniformément sur [a, b] vers une
application g.
Alors (fn) converge uniformément sur [a, b] vers une application f de
classe C^, et de plus, on a f = g.
D ém onstration :
En reprenant le raisonnement utilisé précédem­
ment pour établir la convergence uniforme de la suite (ipn), on voit que,
pour tout e > 0, il existe un entier N, tel que pour tout x G [a, 6] et tous
entiers n > N et p > N , on ait l’inégalité (3.1). On en déduit que
\\fn{x) - fp{x)\\ < \\fn{xo) - fp{xo)\\ A e \ x - a;o|.
Notons M = sup \x —rco|. Le nombre e > 0 étant donné, la converxe[a,b]
gence de la suite numérique (/n(a^o)) entraîne l’existence d’un entier N '
tel que, pour tous entiers n et p vérifiant n > N et p > N, on ait
||/n(a;o)-/p(a;o)|| < £•
Pour tout X G [a, b] et tous entiers n , p > max(iV, N'), on a alors
\\fn{x) - fp(x)\\ < s { l + M).
On a ainsi montré que la suite (/„) est uniformément de Cauchy sur
[a, 6], donc uniformément convergente puisque E est complet. Le théo­
rème précédent et le théorème 2.1 assurent que la limite / de (/„) est
de classe
sur [a, 6] et vérifie f = g.
□
§ 4.
Convergence uniforme et intégrale de Riemann
151
3.4. R em arques 1) Il n’est pas difficile de déduire du théorème précé­
dent que si I est un intervalle quelconque de R et (/„) est une suite de
fonctions de classe
de I dans E qui vérifie les hypothèses précédentes
sur tout segment de I, alors les mêmes conclusions subsistent (sauf la
convergence uniforme de (/„) sur / tout entier).
2) En appliquant par récurrence ce théorème, on en déduit qu’une suite
de fonctions (/„) de classe
telle que pour tout k = 0 , 1 , ... ,p, la
suite
converge uniformément vers une fonction gk, converge uni­
formément vers une fonction / de classe
qui vérifie
= gk pour
k = 0 ,l,
4 Convergence uniforme et intégrale de Riemann
Le résultat suivant est un des points cruciaux de ce chapitre.
4.1. T héorèm e Soit (/„) une suite uniformément convergente de fonc­
tions intégrables sur l’intervalle compact [a, b], à valeurs dans un espace
de Banach E. Alors la fonction limite f est intégrable sur [a, h], et on a
nb
lim
rh
/ fn{x)dx = / f{x)dx.
i-^ + o o Ja
(3.5)
Ja
D ém onstration : Pour chaque n G N*, l’intégrabilité de /„ entraîne
l’existence d’une fonction vectorielle ipn '■ [a, 6] —*• E et d’une fonction
numérique 9n. : [a, b] M, toutes deux en escalier et vérifiant :
i) VxG [a, 6], \\fn{x) - (Pn{x)\\ < 0n{x),
ii) f l 0 n{x)dx < i .
D’autre part, puisque (/„) converge uniformément sur [a, b], la suite
numérique de terme général
6n =
sup \\f{x) - /n(a;)||
x e [a fi]
tend vers zéro. On a donc, pour tout n G N* et tout x G [a, b] :
ll/(a;) - /n(a;)|| < €n + 0n{x),
et
[ (en -h 9n(x))dx = e n ( b - a ) -h
f 9n{x)dx <
Ja
Ja
^
'
e „ (6 - a )
-I- - .
^
Chapitre 3.
152
Suites de fonctions
D’après le théorème des gendarmes, la suite ^Sai^n + ^n(x)) dxj tend
vers zéro lorsque n tend vers l’infini, ce qui prouve que la fonction / est
intégrable sur [a, 6].
Cela étant, on a immédiatement
f f { x ) d x - [ fn{x)dx
Ja
Ja
< i ||/( a :) - /„ ( x ) || < e „( 6 - a ) ,
J Q,
d’où (3.5) puisque la suite (e„) tend vers zéro.
□
Le théorème qui suit améliore le résultat précédent.
4 . 2 . T héorèm e Soit (/„) une suite de fonctions intégrables sur l ’in­
tervalle compact [a, 6], convergeant simplement vers une fonction f sur
[a, b]. Si les fonctions /„ sont bornées par un même nombre k, et si la
convergence de (/„) vers f est uniforme sur tout intervalle compact
[a, P] contenu dans l ’intervalle ouvert ]a, 6[, alors f est intégrable sur
[a, b], et on a
pb
nb
lim / fn{x)dx = / f{x)dx.
n—^+OO Jq^
Jd
D ém onstration : La limite / est intégrable sur [a, 6]. En effet, elle
est bornée puisque par passage à la limite lorsque n tend vers +oo,
on a ||/(x )|| < k pour tout X G [o, 5]. De plus, / est intégrable sur
tout intervalle compact contenu dans ]a,b[ comme limite uniforme de
fonctions intégrables.
Le nombre e > 0 étant donné, choisissons
a < a+
/? > 6 - ^
tels que
a < a < P < b.
Pour tout n G N, on a alors
^
et
{ f n ( x ) -fixfjd x
< 2 k {a — a) < -
J {f n{x)~ f i x ) ) d x < k { b - P ) < - .
2
Les nombres a et P étant fixés, la convergence uniforme de (/„) vers /
sur [a, P] entraîne l’existence d’un entier N tel que, pour tout n > N,
on ait
£
{fn{x) - f i x ) ) dx
<
3’
§ 5.
Convergence uniforme et intégrales impropres
153
d’où, pour tout entier n > N :
1 ^
(fn (x )-f(x ))d x
< e.
On a donc démontré que
lim
n—>+oo
(fn {x )-f(x ))d x
^
=
0.
Par continuité de la norme, on déduit que
rb
D’où le théorème.
□
4.3. Exem ple Soit (/„) la suite définie sur [0, tt/ 2] par /„(æ) = sin” a;.
Cette suite converge uniformément vers la fonction nulle sur tout inter­
valle [0, a] quel que soit 0 < a < 7t/ 2 car sur un tel intervalle on a
|sin” x| < sin” a avec 0 < a < 1. D’autre part, les fonctions /„ sont
bornées par 1. On a donc, grâce au théorème précédent.
fTT/2
lim
l—>+oo i
sin” X dx — 0 .
'■
5 Convergence uniforme et intégrales impropres
Dans la section précédente, l’intervalle d’intégration est un segment de
R sur lequel les fonctions /„ sont Riemann-intégrables. Le cas plus gé­
néral des intégrales impropres (ou généralisées) est traité dans le résultat
remarquable suivant.
5.1. T héorèm e Soient a,h tels que —oo < a < b < -l-oo, et soit (/n)
une suite d ’applications de ]a,b[ dans un espace de Banach E. Soit f
une application de ]o, b[ dans E. On suppose que
i) (/„) converge uniformément sur tout segment de ]a, b[ vers f ;
a) pour tout n, l ’intégrale impropre
f n { x ) dx converge;
iii) il existe une fonction ip : ]a, i>[-^ R+ telle que f^ip{x)dx converge
et telle que
V n e N , \/xe]a,b[, \ \ f n { x ) \ \ < (pix).
154
Chapitre 3.
Alors, l ’intégrale
Suites de fonctions
f{x) dx est convergente et on a
rfb
b
rb
rh
lim / fn{x)dx = / f{x)dx.
1^+00 Ja
Ja
D ém onstration : En appliquant le théorème 4.2, on voit que / est
intégrable sur tout segment inclus dans ]a, 6[. Par ailleurs, l’inégalité
||/n(a^)|| <
pour tout n et tout x, montre en faisant tendre n vers
l’infini que ||/(a;)|| <(p(x) pour tout æ. Le théorème de comparaison pour
les fonctions positives (voir [7] p. 148) permet d’en déduire que l’intégrale
impropre
f{x) dx est absolument convergente, donc convergente.
Fixons maintenant e > 0, puis [a, P] c]o , 6[ tel que
pa
pb
/ (p(x) d x +
(p(x) dx < s.
Ja
JP
D’après le théorème 4.2, on a
IATg N, V n>iV ,
\\ i \ f n { x ) - f { x ) ) dx
Ja
< e.
On en déduit que pour tout n > N :
b
f
Ja
[fn{x) - f{x)] dx
<
+
Ja
<
D’où le résultat désiré.
f
Ja
\\fn{x) - f{x)\\ dx
\\fn(x) - f{x)\\ dx + f \\fn{x) - f{x)\\ dx
Je
[ 2 (p{x)dx + e + f 2 (fi{x) dx
Ja
Jg
2£-|-6' — 3 e .
□
En fait, on dispose d’un résultat puissant et particulièrement commode
pour le passage à la limite dans les intégrales impropres. Il s’agit d’un
résultat très général qui est au cœur de la théorie de Lebesgue^. Nous en
énonçons une version adaptée au niveau visé par cet ouvrage.
^LEBESGUE Henri (1875-1941). Mathématicien français. Dans sa thèse soutenue
à l’Université de Nancy en 1902, il présenta la théorie d’une nouvelle intégrale qui
porte désormais son nom et qui va considérablement simplifier et amplifier la recherche
en Analyse de Fourier.
5.
Convergence uniforme et intégrales impropres
155
5.2. T héorèm e (de la convergence dom inée) Soit ]a,b[ un inter­
valle de R (avec —oo < a < b < +ooj, et soit {fn)neN une suite de
fonctions définies de ]a, b[ dans R. On suppose que
a) pour tout n € N, /n est continue par morceaux sur ]a, b[,
b) ( / n ) n e N converge simplement sur ]o, 6[ vers une fonction f ,
c) f est continue par morceaux sur ]a, b[,
d) il existe (p : ]a,b[—^ R, continue par morceaux, positive, telle que
fa
converge, et vérifie
Vn € N, |/n| <
(hypothèse dite de domination).
Alors
rb
•
pour tout n G N, / \fn{x)\dx converge,
Ja
•
/ |/(a;)| dre converge,
Ja
•
lim / fn{x)dx = / f{x)dx.
n—
>4-00Jd
Jd
rb
rb
nb
5.3. E xem ple Pour tout entier n > 2, considérons
X "
■ [0 ) + Co['
fn
X
I
- Les fonctions /„ sont continues par morceaux sur [0, + oo[.
- La suite (/„) converge simplement sur [0, +oo[ vers la fonction / définie
par
i
/ : X
0
si
I 1/2 si
X ÿé I
X
= 1.
- La fonction / est continue par morceaux sur [0, + oo[.
De plus,
Vn G N, Vx e [0, + oo[, \fn{x)\ < ^(x),
où la fonction positive
(^ : rc I—>
si 0 < rc < 1
1 < re
x^ si
|.r
est intégrable sur [0, + oo[ car
r+oo . .
M dx
r+o°
= lim
> i-» + o o L
x^
lA
=
rej 1
1.
Chapitre 3.
156
Suites de fonctions
Le théorème de la convergence dominée donne alors
n^+oo
lim /
n —>+00 J q
6
a;2” + l
dx = 0.
Théorème d’approximation de Weierstrass
En 1885, Weierstrass énonce et établit le célèbre théorème d’approxi­
mation qui porte son nom. Parce que les fonctions polynômes sont les
fonctions les plus simples, et que les ordinateurs peuvent évaluer direc­
tement les polynômes, ce théorème est à la fois d’un intérêt pratique et
théorique.
6.1. D éfinition Soit / une fonction continue sur [0,1] à valeurs réelles
ou complexes. Pour tout n € N, on appelle n-ièm e polynôm e de B ern­
stein associé à / , le polynôme
noté ici
défini par
6.2. P ro p o sitio n Soit f une fonction continue sur [0,1] à valeurs
réelles ou complexes. La suite (B„) des polynômes de Bernstein asso­
ciés à f converge uniformément vers f sur le segment [0,1].
D ém onstration : - Nous allons d’abord montrer que, pour tout x
dans E et tout p dans N, on a
^ k { k —l) . . . (A;—p -h l)
k=0
(1 —x)" “ *’ = n ( n —1) . . . {n-p-\-l)x^.
\^ J
C’est clair pour p > n car alors tous les termes sont nuis. Pour p < n, il
suffit de dériver p fois par rapport à x l’identité du binôme :
(x+vT = E ( J
*=0
de multiplier par x^, puis de remplacer y par 1 —x.
- En utilisant les cas particuliers 0 < p < 2 et la décomposition
{k —n x Y = k { k - l ) - \ - { l — 2 nx) k + n^ x^.
§ 6.
Théorème d’approximation de Weierstrass
157
on en déduit aussitôt
^ (k — nx)“
^
fe=0
x'^ {1 —x)'^ ^ — n x { \ — x).
Notons que, pour x G [0,1], le second membre est borné par n/4 comme
on le voit facilement en étudiant la fonction continue x\-^ x { l — x) sur
l’intervalle compact [0 , 1 ].
- Notons M = max |/(x)l. Par l’inégalité triangulaire, on a pour tous
xe[o,i]
x , y de [0,1] : \f{x) - f(y)\ < 2M.
Soit e > 0. La fonction / étant continue sur le segment [0,1], le théorème
de Heine^ assure que / est uniformément continue sur ce segment. Il existe
donc un réel 77 > 0 tel que \f{x) —f{y)\ < e /2 pour tout couple (x,y)
vérifiant \x —y\ < 7]. Il en résulte, pour x G [0,1] et n G N* fixés :
• pour un indice k tel que - —x < rj :
e
m
- f{
< 2-
• pour un indice k tel que ^ —a; > 77 :
/w
- /1
< 2M < 2M
{k — n x y
772
J
{k —nx)^
puisque dans ce cas
„ > 1.
‘n? rp
Pour tout indice A:, on a donc l’inégalité
m /1
-
< - + 2M ^ 3 /
2
n^T}^
,
puisque le premier est majoré, selon les cas, par le premier ou par le
second terme du second membre.
- Les résultats précédents justifient les majorations ci-dessous, valables
^HEINE Heinrich (1821-1881). Mathématicien allemand. Célèbre pour ses résul­
tats sur les fonctions spéciales et l’analyse réelle.
158
Chapitre 3.
Suites de fonctions
pour tout point X du segment [0 , 1 ] :
|/(x ) - B„(x)| =
^
-
e
M
— “h ----- ¡T•
2
2nr)^
Comme e et 77 sont fixés, mais pas n, on peut choisir un rang N tel que
pour tout n > AT on ait n?7^e > M. On a alors pour tout réel x 6 [0 , 1 ],
l’inégalité \f{x) — Bn{x)\ < e, et il en résulte que la suite de polynômes
(Bn) converge uniformément vers / sur [0 , 1 ].
□
6.3. T héorèm e (W eierstrass) Toute fonction f continue sur un in­
tervalle compact [a, b], à valeurs réelles ou complexes, est limite uniforme
sur [a, 6] d ’une suite de fonctions polynomiales.
D ém o n stra tio n :
Soit </? la fonction définie sur [0 , 1 ] par
(f{x) -
a
{h —a) X,
et qui réalise une bijection de [0,1] sur [a, b]. La fonction foip est conti­
nue sur [0 , 1 ], donc est limite uniforme de la suite (Bn) des polynômes
de Bernstein associés. La fonction / est alors limite uniforme de la suite
{Bn O(p~^) qui est bien une suite de fonctions polynômes puisque
Le théorème de Weierstrass est donc démontré.
□
6.4. R em arq u e Le résultat prédédent est faux sur un intervalle non
compact de E. En effet, une limite uniforme de fonctions bornées étant
bornée, la fonction x
1 / x qui n’est pas bornée sur ]0 , 1 ] ne peut être
limite uniforme de fonctions polynomiales qui, elles, sont nécessairement
bornées sur ]0 , 1 ].
Il existe un théorème analogue pour les fonctions continues 27r-périodiques.
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
159
6.5. D éfinition On appelle polynôm e trig o n o m étriq u e toute com­
binaison linéaire (finie) d’éléments de la famille (e*"®)„ezDans le problème 7.22, nous établirons le résultat suivant appelé théorème
de Weierstrass trigonométrique.
6.6. T héorèm e Toute fonction continue 2 tt-périodique de M dans C
est limite uniforme sur R d’une suite de polynômes trigonométriques.
6.7. R em arque Un théorème fondamental, dit de Stone-Weierstrass et
relevant du programme d’Analyse fonctionnelle du Master, propose un
cadre général englobant les deux théorèmes précédents.
7 Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
Exercice 3.1 Soit (fn) une suite de fonctions réelles définies sur un
intervalle I de R, et convergeant simplement sur I vers une fonction f .
Que peut-on dire de f si chaque fonction fn est :
a) croissante (ou décroissante) sur I ?
b) paire (ou impaire) sur I supposé symétrique par rapport à 0 ?
c) convexe (ou concave) sur I ?
Solution
a) Si chaque fonction fn est croissante sur /, alors
\/{x,y)eI^,
X<y
f n ( x ) < f n( y) -
Par passage à la limite lorsque n tend vers l’infini, on obtient
V (a ;,y )€ /^ , x < y
f(x)<f{y),
ce qui prouve que / est croissante sur I.
Le cas où chaque fn est décroissante est similaire.
b) Si chaque fonction fn est paire sur 7, alors
Va; 6 7, f n { - x ) = /„(x).
En faisant tendre n tend vers l’infini, on obtient / ( —x) = /(x ) pour
tout X G 7, donc / est paire sur 7. Le cas d’imparité est similaire.
Chapitre 3.
160
Suites de fonctions
c) Si chaque fonction /„ est convexe sur I, alors
V(x,y) G P , Vi G [0,1], fn{tx + (1 - t)y) < tfn{x) + (1 - i) fn(y),
Par passage à la limite, on déduit que
y{x,y) G P , Vi G [0,1], f {t x + (1 - t)y) < t f { x ) + (1 - i) f{y),
ce qui exprime bien que / est convexe sur I. Le cas concave est similaire.
Exercice 3.2 Soient (fn) et (gn) deux suites d’applications définies
sur une même partie D de M. ou C, et convergeant uniformément sur
D. En est-il de même des suites (fn+gn) et {a fn) où a est un scalaire ?
Solution
Notons f et g les limites respectives de (/„) et (p„).
D’après l’inégalité triangulaire, on a
ll(/n "b 9n) ~ ( / "b ^)l|oo ^ ll/n ■“ /Iloo + ll^n ~ PIIoo)
et par ailleurs
\\Oifn - Oif Woo = |o;| X ||/„ - /IlooOn en déduit que les suites de fonctions (/„ + gn) et (a fn) convergent
uniformément sur D vers f -i- g et a f respectivement.
Exercice 3.3 1) Soit ( /n ) n > i lo, suite des fonctions R dans R, définie
par
0
fn{x)
=
si a; g ] —oo, 0],
si a ;G [0 ,1 /n ],
X
(1 — n^) X-\-2n — n~^ si a; G [l/n, 2/n],
1/n
si a; G [2/n, +oo[.
Montrer que
a) (fn) converge simplement vers une fonction f que l ’on déterminera.
{ f n ° f n ) ne converge pas simplement vers f o f .
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
161
2) Soit (fn) une suite de fonctions de IR dans E . On suppose que (fn)
converge uniformément sur E vers une fonction f . Montrer que la suite
(fn Ofn) converge simplement vers / ° / .
3) Soit à présent la suite de fonctions {fn)n>i définie, pour tout x G E,
par fn{x) =
+ n~^. Montrer que
a) la suite (fn) converge uniformément sur E vers une fonction f que
Von déterminera.
h) la suite (fn o fn) ne converge pas uniformément sur E vers f o f .
Solution
1) a) Montrons que la suite (/„) converge simplement sur E vers la
fonction nulle. Pour tout x < 0, on a f n ( x ) = 0. Pour tout x > 0,
il existe un entier N tel que 2 /N < x, donc pour tout n > iV, on a
fn(x) = l / n qui tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.
b) Avec les notations ci-dessus, si x > 0 et 2 /N < x, alors fn°fn(x) = n
pour tout n > N. La. suite (fn ° fn) ne converge donc pas.
2) Pour tout X G E et tout n G N, on a
l/4 /n W )- / № ) ) !
=
\ U ( U x ) ) - f ( U x ) ) + fif„(x))-f(f(x))\
< l/„(/n(i)) - / ( / .W ) l + l/(/« W ) - /(/W )lSoit e > 0. Il existe AT G N tel que, pour tout n > N et tout y G E,
on ait \fn(y) - f(y)\ < e. On applique cela à y = fn(x). Comme / est
continue, on a
lim /„(x) = /(x )
n—>+oo
lim /(/„ (x )) = /(/(x )).
n—>+oo
On peut donc trouver N' > N tel que, pour tout n > N', on ait
\ f i f n ( x ) ) - f(f(x))\ < e, donc \ f n ( f n ( x ) ) - f(f(x))\ < 2e. D’où le
résultat désiré.
3) a) Pour chaque x G E, x^ -I- n “ ^ tend vers x^ lorsque n tend vers
l’infini. Donc ( f n ) converge simplement vers la fonctions / : x i--> x^.
En fait, on a convergence uniforme sur E puisque
s u p |/„ W - /( i) | =
i
0.
Chapitre 3.
162
b) Pour tout a; G
Suites de fonctions
on a
1
4
= —
-n ) + ----n
2x^
+
n
1
1
n'
En prenant a: = n, on obtient
2ti H“
1
'n?
1
+00,
n n-^+oo
et la proposition 1.11 permet de conclure que (/„ o /„) ne converge pas
uniformément sur R vers / o / .
Exercice 3.4 Soit (/„) une suite de fonctions réelles définies sur [a, b],
convergeant simplement vers une fonction f . On suppose que, pour tout
n, fn est k-lipschitzienne sur [a, b]. Montrer que la suite (/„) converge
uniformément sur [a, b] vers f .
Solution
Puisque chaque fonction /„ est A:-lipschitzienne sur [a, 6], on a
W{x,y) e [ a , bf , \fn{x) - fn{y)\ < k \ x - y \ .
Par passage à la limite lorsque n tend vers l’infini, on voit aussitôt que
la fonction / est fc-lipschitzienne sur [a, 6].
Donnons-nous e > 0, et considérons (ao,Oi, ... ,an) une subdivision de
[a, 6] de pas inférieur ou égal à e. Pour x G [a, 6], considérons i tel que
ü i < x < ai+i. Alors, par l’inégalité triangulaire, on a
\fn{x) — f{x)\ ^ \fn{x) — fnif^i)] + |/n(ûi) ~ /(% )| + |/(ûi) —f{x)\
< 2A;|a; —aj| H- |/n(i^i) ~
< 2 k e + |/n(oi) —/(di)|.
Comme la suite numérique (/n(ûi)) converge vers /(aj),
BAT G N, Vn G N, n > N => \fnidi) - f{ai)\ < e.
On en déduit que, pour tout entier n > N et pour tout x G [o, b],
\ f n { x ) - f { x ) \ < 2 k e + e,
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
163
ce qui exprime bien la convergence uniforme sur [a, b] de (/„) vers / .
Exercice 3.5 Soit f une fonction deux fois dérivable sur R et telle que
f" soit bornée sur E. Montrer que la suite des fonctions données par
fn(x) = ^
“ /( ^ ) )
- 1)
converge uniformément sur E vers la fonction dérivée f
Solution
Puisque / est deux fois dérivable sur E et que / " est bornée sur
l’inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à / sur
a; +
donne
\
nJ
n
^
a:€R
d ’où
« ( / ( a ^ + - j - f{x)\ - f ( x )
< ^ su p |/"(x )|.
¿n œeR
Cette dernière inégalité est vraie pour tout x € E, et le second membre
est indépendant de x et tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. On en
déduit que la suite (/„) converge uniformément sur E vers / '.
Exercice 3.6 Étudier la convergence uniforme sur [0,1] de la suite de
fonctions définie par
VnGN,
fn{x)
x" Inx si x g JO, 1]
si x = 0.
1 0
=
Solution
Soit X g ]0, 1[. Alors fn{x) = x ^ l n x , donc lim fn{x) = 0.
n—>+oo
Comme de plus /„(0) = /n (l) = 0, on a
Vx G [0,1],
lim fn{x) = 0.
n—>+oo
164
Chapitre 3.
Suites de fonctions
Donc la suite (/„) converge simplement sur [0,1] vers la fonction nulle.
Soit n € N*. La fonction /„ est dérivable sur ]0,1], et on a
V x e ]0 ,1], fn(x) = n x ” ^ Inx + — = x” ^(l + n ln x ).
X
On en déduit que /„ est décroissante sur ]0, e
1], avec
= —e~^/n. On conclut que
et croissante sur
,-i
sup |/„(x)| = — .
ie[o,i)
^
Comme
lim n ^ e ^ = 0, la proposition 1.9 permet de conclure que la
n —>+oo
suite (/„) converge uniformément vers / sur [0,1].
Exercice 3.7 On considère la suite ( f n ) n > o de fonctions définie sur le
segment [0,1] par
f n ( x ) = arctan(nx).
Étudier la convergence uniforme de cette suite sur les intervalles [0,1], ]0,1]
et [a, 1] où a e]0,1[.
Solution
- Étude sur le segment [0,1].
Si X = 0, alors fn(x) = 0 pour tout n. Si x ^ 0,
lim
n —>+oo
fn {x )
= 7t/ 2. La
suite ( / n ) converge donc simplement sur [0,1] vers la fonction / définie
par
_ i 0
si X = 0
/ W — I ^^2 si 0 < X < 1.
Puisque chaque /„ est continue sur [0,1], et que la limite simple / n’est
pas continue sur cet intervalle, on conclut par le théorème 2.1 que la
convergence de la suite (/„) sur [0,1] n’est pas uniforme.
- Étude sur l’intervalle ]0,1].
Sur ]0,1], les fonctions /„ et la fonction / sont continues, et de plus
sup |/ „ ( x ) - / ( x ) | = sup ( ^ - a r c t a n n x ) =
i6]o,i]
xe]o,i]
/
/
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
165
Donc la convergence de la suite (/„) n’est pas uniforme sur ]0,1], d’après
la proposition 1.9.
- Étude sur le segment [a, 1].
TT
Pour chaque n G N, la fonction <Pn '■ x
— axctannæ est dérivable
sur M, et on a
—n
Vx € R ,
donc
< 0.
est décroissante. On en déduit que
sup \ f n ( x ) - f { x ) \ = sup |<^n(a;)| = J - arctanna —
0.
ze[o,l]
ie[a,l]
^
n-^+oo
La proposition 1.9 permet de conclure que la suite (/n) converge unifor­
mément sur l’intervalle [a, 1].
Exercice 3.8 Établir la convergence uniforme sur R+ de la suite de
fonctions définie par
VnGN*,
fnix)
i ^1 —
si a; G [0, n]
SI x > n.
Solution
Calculons d’abord la limite simple de (/n).
Pour X G M+ et n G N suffisamment grand (on peut donc supposer
n > x), on a
= (‘ " 9 " =
s))’
et
n In ( 1 - - )
\
n i
~
n-»+oo
ni \
n i
^ -X.
Par continuité de la fonction exponentielle, on en déduit que
Væ G M+ ,
lim fn{x) — e“®,
n—>+oo
166
Chapitre 3.
Suites de fonctions
ce qui montre que la suite (/„) converge simplement sur R+ vers la
fonction f : X e~^.
Montrons que la convergence de (/„) vers / sur R+ est uniforme.
Fixons un entier n > 1 et considérons (p [0, n] —>R, x
—/n(x).
La fonction polynomiale p est dérivable sur [0, n] et on a
(p\x) = —
+ ^1 -
^exp ^(n—1) In
~
Le signe de <f^{x) est donc celui de tp{x) = ( n —l) ln(l —n~^ x) + x. La
fonction -ip est dérivable sur [0, n[, et on a
ф'{х) =
1 —x
n —x ’
d ’où l’on déduit que ф croît sur [0,1] et décroît sur ]l,n[. Comme
■0(0) = 0 et que 0(x) tend vers —oo lorsque x tend vers n~, on en
déduit l’existence de а б]1,п[ tel que
Vx G[0, a], 0(x) > 0, Vx6[o:,n[, 0(x) < 0.
Comme 0 a le signe de <p', on conclut que cp est croissante sur [0, a]
et décroissante sur [a, nj. Comme (^(0) = 0 et (p{n) = e“” > 0, alors
Vx e [0,n],
0 < p{x) < p{a) avec (p\a) = 0.
Il s’agit maintenant de majorer p{a).
Oi\
( 1 — —j
= e~°‘, donc
(*)
Une étude rapide sur R+ montre que la fonction x
x
atteint son
maximum en x = 1, donc est majorée par 1/e, de sorte que (*) entraîne
la majoration : (p(a) < e“ ^n“ L
Sur [n, + oo[, on a
\fn (x )-f{x )\
<
|/n ( n ) -
/(n )|
<
— ,
Tb 6
et finalement
Vx e R+,
\fn(x) - f{x)\ < — ,
Tb 6
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
167
d’où le résultat désiré.
Exercice 3.9 On œnsidère la suite des fonctions fn définies sur [—1,1]
pO 'f' ■ f n ( x ) = sin (nx)
+ V l —x “
^, n € N.
1) Montrer que la suite ( f n ) converge simplement sur [—1,1] vers une
fonction f que l’on déterminera.
2 ) Montrer que ( f n ) converge uniformément vers f sur tout segment
[a, 1] avec a g ]0, 1[.
3 ) Montrer que ( f n ) ne converge pas uniformément vers f sur [0,1].
Solution
1) Pour chaque x fixé dans [—1,1], on a
lim fn(x) = V l - x^.
n—>+oo
En effet, pour x ^ 0 , fixé, on a |sin(nx)j
et
tend
vers zéro lorsque n —> +oo. En posant f (x) = y/1 — x"^, on voit en outre
que f n ( 0 ) = 1 tend vers /(0) lorsque n —» +oo.
On conclut que la suite ( f n ) converge simplement sur [—1,1] vers la
fonction / ; X \ / l —x“
^.
2) Pour tout X G [a, 1], on a
\fn (x )-f(x )\
= e
|sin(na;)| < e'
< e'
où
est une suite numérique, indépendante de x, qui converge vers
0 puisque a > 0. La proposition 1.11 permet de conclure que la suite
( f n ) converge uniformément vers / sur [a, 1].
3) Supposons par l’absurde que ( f n ) converge uniformément vers / sur
[0,1]. Alors,
Ve > 0, 3 AT(e),Vn > N(€), Va; G [0,1],
\fn(x)
- /(a;)] < e.
En particulier,
Vn > N(e),
< e,
c’est-à-dire
Vn > N(e), sin(l) e
< s.
Chapitre 3.
168
Suites de fonctions
Cela étant impossible (car sin 1 ^ 0 et
tend vers 1 lorsque n tend
vers l’infini), on ne peut donc avoir convergence uniforme de (/n) vers
/ sur le segment [0,1].
Exercice 3.10 1) Montrer que la suite de fonctions {fn)n>i définie sur
R par
I
J, / Ч
fn{x) = <
[ 1
sin ( — ) H- 1 si ж ^ 0
\nxJ
^
si ж = 0
converge simplement vers la fonction / : ж
2) A-t-on convergence uniforme sur R?
1 sur tout compact de R.
Solution
1) Notons / la fonction constante égale à 1 sur R, et soit K un compact
de R. Puisque K est fermé et borné dans R, il existe un nombre A > 0
tel que K C [—A, A].
Comme | sina;| < x pour tout rr G R, on obtient
- pour tout X G [—A, A\ \ {0} :
\fn{x) - f{x)\ = ж^ sin
1
nx
< M <
n
n
- pour ж = 0 :
l/n(0) - /(0)1 = 0 < - ,
n
Soit e > 0. En prenant N{e) = E{A/e) + 1 (où E(æ) désigne la partie
entière de x), on obtient
VnGN, n > N ( e )
(Vo: g [-^ ,A ], |/n(a:) - / ( x)| < e),
ce qui prouve la convergence uniforme sur [—^4, A] (et donc aussi sur K)
de (/„) vers / .
2) Supposons que (fn) converge uniformément vers / sur R.
Alors,
Ve > 0, 3N{e) G N, Vn > N{e) =l> (Vx G R,
|/ „ ( x )
- f(x)\ < e).
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
169
En particulier, on aurait (en notant N = N{e)) :
sin
\fN(x)-f{x)\ =
OU encore, en posant y = ^
siny
1
Nx
< €, \/x ^ 0,
:
<
|ÿ|, Vÿ ^ 0,
y
ce qui entraînerait que le quotient
smj/
y
tend vers 0 lorsque y tend vers
zéro, ce qui est absurde puisque ce quotient tend vers 1.
On ne peut donc avoir convergence uniforme de (/„) vers / sur R tout
entier.
Exercice 3.11 On considère la suite de fonctions /„ : [0, + oo[-^ R,
définie par
1) Montrer que (fn) converge simplement sur [0, +oo[ vers la fonction
nulle, mais qu’il n’y a pas convergence uniforme sur cet intervalle.
2) Montrer qu’il y convergence uniforme sur tout [a, +oo[ où a E R+.
Solution
1) Si X = 0, la suite (/n(0))n est la suite nulle, donc tend vers zéro.
2 1
2 1
Pour X > 0 fixé, on a / n ( x ) ~
- — et
l i m ------- = 0, ce qui
' ’
n->+oo
X n
n->+oo X n
montre que la suite (/„) converge simplement vers la fonction nulle sur
l’intervalle [0, + oo[.
Cependant, il n’y a pas convergence uniforme sur [0, + oo[. Pour cela, il
suffit de montrer qu’il n’y a pas convergence uniforme sur [0,1]. Or,
sup |/„(x)| > f n ( - ) = 1xe[o,i]
La proposition 1.9 permet de conclure que (/„) ne converge pas unifor­
mément vers la fonction nulle sur [0,1].
Chapitre 3.
170
Suites de fonctions
2) Pour chaque n, la fonction /„ est dérivable sur [0, + oo[, et on a
2n
fni^) = (1 +
(l-nV ),
ce qui permet de voir aussitôt que la fonction /„ est croissante sur
[0,1/n] et décroissante sur [l/n, + oo[, donc passe par un maximum
pour X = l/n . Si on se donne ck > 0, alors
Vn > - ,
Oi
sup \fn(x)\ = fn{oi) - x e [ a ,l]
1
+
’
qui tend vers zéro quand n tend vers l’infini. Ainsi, (/„) converge uni­
formément vers zéro sur chaque intervalle [a, -I- oo[ avec a > 0.
Exercice 3.12 On définit pour n G N* une fonction fn sur [0, tt] par
sinx
,,
,
fn{x) = < a; (1 -I- nx)
1
si a; 7^ 0
si X = 0.
1) Étudier la convergence simple et uniforme sur [0, tt] de la suite de
fonctions (fn).
2) Soit a g ]0, 7t[. Étudier la convergence uniforme sur le segment [a,7r]
de la suite (fn)-
Solution
1) On a immédiatement
lim /n(0) = 1 et
n—>+oo
lim /n(x) = 0 si xG]0,Tr].
n—>+oo
On en déduit que la suite de fonctions (/„) converge simplement sur
[0, tt] vers la fonction / définie par
f (x) =
0 si X 7^ 0
1 si X = 0.
La fonction / n’est pas continue sur [0, tt]. N ous allons montrer que
chacune des fonctions /„ est continue sur [0, tt], ce qui permettra de
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
171
conclure, grâce au corollaire 2.2, que la convergence de (/„) vers / ne
peut être uniforme sur [0, tt].
Pour chaque n G N, la fonction /„ est manifestement continue sur ]0, tt],
et de plus
sma;
= 1.
lim fn(x) = 1 car lim
Chaqué /„ est done continue sur [0, tt], et on en conclut que la conver­
gence n’est pas uniforme sur ce segment.
2) Soit a g ]0, 7t[. Pour tout x € [a, vr], on a
1 -I- na; > 1 -h na, a; (1 -|- nx) > a (1 -f no) et 0 < sin a; < 1.
On en déduit que
Vx e [a,7r],
0 < fn{x) <
1
a (1 + na)
Ainsi,
sup \fn{x)\ < - 7
,
ie[a,7r]
il (1 -|- na)
où le majorant est indépendant de x et tend vers 0 lorsque n tend vers
l’infini. La convergence est donc uniforme sur l’intervalle [a, tt] d’après la
proposition 1.11.
Exercice 3.13 Soit I = [0,7t/2] et fn la fonction définie sur I par
fn{x) = sin*^ X cos X.
Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de (fn) sur I.
Solution
- Convergence simple.
Soit X E I.
Si X = 7t/ 2, alors sinx = 1 et cosx = 0. Dans ce cas, pour tout
6 N, /n(x) = 0 et lim /„(x) = 0.
n^+CX)
Si X 6 [0,7r/2[, alors |sinx| < 1 donc lim /n(x) = 0.
n—>+oo
La suite (/„) converge donc simplement sur I vers la fonction nulle.
- Convergence uniforme.
Chapitre 3.
172
Suites de fonctions
Pour chaque n, la fonction /„ est positive sur I et /„ (0 ) = /„(7 t/ 2) = 0.
D e plus, pour tou t re G / , on a
f^(x) = n sin”“ ^rc cos^ x — sin”‘''^x = sin”“ ^rc (n cos^rc — sin^rc).
Sur [0, 7t/ 2], le facteur sin”“ ’^rc ne s ’annule q u ’en 0, tandis que
n cos^ X —sin^ rc = {^/n cos X + sin x) ( \ / n cos X —sin x)
s ’annule en rc„ = arctan y/n en étant p o sitif pour tou t rc < x„, et
n égatif pour tou t x > Xn- A insi, la fonction |/n| adm et un m axim um en
rc„ = arctan ^/n g ]0, 7t/ 2[, et on a
\fn{xn)\ — [sin^X nl cosxn < cos Xn — COS (arctan
Or, par continuité de la fonction cosinus, on a
lim Xn = ^
n—>+oo
2
d ’où
lim
n -+ o o
lim cosrcn = 0,
n—>+oo
sup \fn{x)\ = 0.
La convergence de (/„ ) est donc uniforme sur
I.
Exercice 3.14 Soit a G [ 0 , 1[. Considérons la suite des fonctions
fn • C —i-C, Z
1
Z
z^ .
1) Montrer que (fn) converge uniformément vers f : z
{1 — z)~^
dans chaque disque Da — {z E C , N < « } 2) Montrer que (fn) converge simplement, mais non uniformément, dans
le disque unité ouvert D = {z e C , kl < !}•
Solution
1) On a
1
f{z) - fn{z) =
l-z
^n+1
-
{1 +
Z +
••■ +
z^)
donc, si \z\ < a < 1, alors
if(z)
-
fn(z)l
<
an + l
(= Vn),
1 —a
=
1-z’
7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
173
où (vn) est une suite indépendante de 2: et qui converge vers 0. D’après
la proposition 1.11, la suite (/„) converge vers / uniformément dans
chaque Da.
2) Puisque pour tout 2 G D, on a \z\ < 1, on en déduit, comme ci-dessus,
que la suite (/„) converge simplement vers / sur D.
En revanche, on a pour x réel :
lim (/„(x) - f{x)) = + 00 ,
æ—
donc \fn(z) —f{z)\ n’est pas bornée dans D. D’après la proposition 1.11,
il ne peut donc y avoir convergence uniforme de (/„) vers / dans D.
Exercice 3.15 Montrer que les suites de fonctions complexes suivantes
sont convergentes sur C et préciser si la convergence est uniforme.
r
si ^/n \z\ > 1
1) fn{z) =
[ 0 si -v/n |2:| < 1 ’
4z
—^ + — si n <\z\ < 2 n
2)9n{z) =
2n^
Z
SI
\z\ < n ou \z\ > 2n.
0
Solution
1) On a /n(0) = 0, et pour z ^ 0 , fn{z) = z"^ pour tout entier n tel que
n > \z\~^. On en déduit que la suite (/„) converge simplement sur C
vers la fonction / : z ^ z"^.
La convergence est uniforme sur C car
\fn{z)-f{z)\ -
0 si ^/n \z\ > 1
si ^/n \z\ < 1,
d’où
Vz g C,
\U( z ) - f{z)\ < - ,
ce qui permet de conclure grâce la proposition 1.11.
2) On a ^n(O) = 0, et pour z ^ 0 , gn{z) = 0 pour tout n > \z\. On en
déduit que (^n) converge simplement sur C vers la fonction nulle.
La convergence est uniforme sur C car, pour tout 2; tel que n < \z\ < 2n,
174
Chapitre 3.
Suites de fonctions
on a
<l i ! ! + ± < 2 + i
2r\?
2
2n^
\z\
n
n
et on conclut ici aussi grâce à la proposition 1.11.
n
Exercice 3.16 1) Montrer que la suite (/n)n>i de fonctions définie sur
“1“ dp“
Tl
[0,1] par fn(x) = ------------- converge uniformément sur [0,1] vers
n+ X
une fonction f à déterminer.
2) En déduire la nature de la suite de terme général
Un
^ ne ^
n+x
- L
dx.
Solution
1) Il est clair que, pour chaque x € [0,1], on a
fn{x) n —>+00
ne
fl
, donc lim
n—»>+00
fn (x )
= e
La suite (/„) converge donc simplement vers la fonction / : x
sur [0,1]. De plus,
e'
\x^ — x e
^ 2
— )
n+x
n
et comme (2/n) est une suite qui ne dépend pas de x et qui tend vers 0,
on conclut par la proposition 1.11 que (/„) converge uniformément sur
[0,1] vers / .
2) Compte tenu du résultat précédent, le théorème 4.1 permet d’affirmer
que
\fn{x) - f{x)\ =
ri
ri
^ n e ^ + x^
dx
[ f { x ) dx = [ e
n-»+oo J
Joq
Jo
n+x
Jo
c’est-à-dire : lim Un = 1 — e-1 .
Un =
f
n—>+oo
Exercice 3.17 1) Montrer que la suite de fonctions (/n)neN définie sur
[0,1] par
n{x^ + x)
în{x) = -------------—I-------nx + 1
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
175
converge simplement sur [0,1] vers une fonction f que l ’on déterminera.
2) Montrer que l ’on a convergence uniforme sur tout intervalle [a, 1]
avec a €]0,1[. A-t-on convergence uniforme sur [0,1] ?
3) Montrer que \fn{x) — f{x)\ est bornée sur [0,1].
4) Déduire des questions précédentes la nature de la suite
Un
^ n{x^ x) e"
n x -\-\
- i
dx.
Solution
1) - Étude de la convergence simple.
Pour tout X fixé dans ]0,1], on a
n ix^ + x)e~'”
/ 2 .
-a:
hm —^
i ----- = (a;^ + l)e
n->+oo
nx -\-l
et pour a; = 0, on a
lim /n(0) = lim 0 = 0.
n—
^+oo
n—
>+CX)
On conclut que la suite (/„) converge simplement sur [0, l] vers la fonc­
tion / donnée par
Vx € [0, l] , f ( x)
■Í
-H l) e
0
si a: e]0, l],
si X = 0.
2) Soit a G ]0, l[, et montrons que (/„) converge uniformément sur [a, 1].
En effet, on a
_ (x^ -F 1)
Vx G [a,l], \fn{x)-f{x)\ =
nx -l-1
2
nx
na
Comme le majorant 2/{na) est indépendant de x et tend vers 0 lorsque
n tend vers l’infini, on conclut à l’aide de la proposition 1.11.
- Montrons qu’il n’y a pas convergence uniforme sur [0,1].
En effet, les /„ étant continues sur [0,1], si l’on avait convergence uni­
forme sur ce segment, la fonction limite / serait continue sur [0,1], donc
en particulier en zéro, ce qui n’est manifestement pas le cas.
176
Chapitre 3.
Suites de fonctions
3) Pour tout X e ]0,1], on a
\fn{x) - f{x)\ < (x^ + 1) e"“' < 2,
et pour a; = 0, on a
l/»(0) - /(0)1 = 0 < 2.
On en déduit que
Væ G [0,1], \fn{x) - f{x)\ < 2.
4) Puisque (/„) converge uniformément vers / sur le segment [a, 1], le
théorème 4.1 donne
71
lim [ fn{x)dx = f f{x)dx.
► +00 J
J
Donc, pour tout e > 0, il existe N{e) G N tel que
If
n > N{s)
Ja
fn{x) dx -
f
Ja
f (x) dx < e.
En particulier, pour s — a, il existe N(a) G N tel que
{*)
n > N{a)
f
fn(x)dx -
Ja
[ f { x) dx
< a.
Ja
De la question 3), on déduit que
^
fn{x) dx -
f{x) dx
=
{fn{x) - f i x ) ) dx
<
Î \fn{x) - f ( x) \ dx < 2a.
JO
De (*) et de la dernière inégalité on conclut que
n > N(a) =>
[ fn(x) dx — f f{x) dx < 3a.
Jo
Jo
Autrement dit,
lim
n-»+oo Jo
nx +1
= ff(x)dx = 3 - 5 .
Jo
e
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
177
Exercice 3.18 Soit (/n)neN* lo, suite des fonctions définies sur C par
U z) = (i + ^ ) ■
On pose Z = x + iy où a; € R et y eW .
1) Montrer que lim \fn(z)\ = e®.
n—>+oo
2) Pour y ^ 0 , montrer que
a rg [l + - )
V
n '
~
n-*+oo
fl
et en déduire qu’un argument de fn{z) est équivalent à y lorsque n tend
vers l’infini.
3) Déterminer la limite simple sur C de la suite (/„).
4) A-t-on convergence uniforme de (/„) sur C ?
Solution
1) On a
n
1+ -
/
=
n
V
2 \ n /2
1 H—
= exp
— (l
n
2a; ^
\
n
2x
x^ + y^
'5
”/2
)
+
Pour n G N suffisamment grand, on a
n,
A
2x
x^-Py'^X
2 ‘" ( ' + n + —
n ( 2x
) = 2(n+Hn))
Par continuité de la fonction exponentielle, on a n —
lim
\fn{z)\ = e®.
>+00
2) Soit 6n un argument de 1 + f • Puisque
supposer, pour n assez grand, que
lim^ ^1 + —) = 1, on peut
^ ] —tt/2, 7t/ 2 [, donc
y.
6n = arctan
i + §;
n-.+«.
y
n
1 + 2
Par conséquent, un argument de fni^) est n$n qui vérifie
lim nOn = y.
n — >+CX )
Chapitre 3.
178
Suites de fonctions
3) Soit y ^ 0, c’est-à-dire 2; G C \ E. D’après ce qui précède, on a
fn{z) = \fn{z)\ e*^". On en déduit que
lim fn(z) —
n —»^+00
^
'
donc
lim f l -I- —
n —>4-00
\
'fl/
= e*.
4 ) En prenant 2 = n G N*, on obtient
lim |/„(n) - e” | = lim |2" - e” | = +<x..
n—
>4"00
n-^H“Oo
On conclut que la convergence de (/n) n’est pas uniforme sur R ni o
fortiori sur C.
Exercice 3.19 (T héorèm e de D îni) Soit (fn) une suite de fonctions
continues de [a, b] dans E. Pour chaque x G [a, b], la suite numérique
(/„(a;))n>i est supposée décroissante et minorée.
1) a) Montrer que la suite (fn) converge simplement sur [a, 6] vers f .
b) Montrer que si f est continue sur [a, b], alors la suite (fn) converge
uniformément sur [a, b] vers la fonction f .
c) Que peut-on dire lorsque, pour chaque x G [a, b], la suite {fn{x))n>i
est croissante et majorée ?
2) Application :
On considère la suite de polynômes définie par la relation de récurrence
Po = 0, 2Pn+i{x) = rc •+ 2Pn(x) - Pn{x).
a) Vérifier que, pour tout x G [0,1], on a 0 < Pn(x) < sjx.
b) Montrer que, pour chaque x G [0,1], la suite numérique (Pnix))n>o
est croissante, et en déduire que la suite (Pn) converge uniformément
sur [0,1] vers la fonction x
/ x.
Solution
1) a) Pour chaque x G [a, 6], la suite numérique {fn{x)) est décroissante
et minorée, donc converge. On note f{x) sa limite. La suite (/„) converge
donc simplement sur [0 , 6] vers la fonction x t - ^ f { x ) .
b) Soit s 0. Pour chaque xq G [n, 6j, il existe un entier
~
X(f^
tel que
\fn (X o ) - f { X Q ) \ <
Vn G N, n > Nxo
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
179
En particulier,
\fN^o(^o) - f(Xo)\ <
(*)
De plus, la fonction (/ nxo ~ f ) étant continue sur le compact [a, 6], elle
y est uniformément continue d’après le théorème de Heine, on peut donc
trouver a = a{e, N^q) > 0 tel que
(**)
\x-xo\< a
\{fN{x) - f{x)) - ifN^^ixo) - /(a;o))| <
De (*) et (**) on déduit que
| r c- a : o| <û;
\ f N { x ) - f ( x ) \ < e,
ou encore, en notant B(xo,axQ) = {a: € [a, b], \x - a:o| < a^o} :
(t)
xeB{xQ,a)
\fN.ç,{x)-f{x)\ < e.
La famille (5(x, ax))xe[a,b] constitue un recouvrement du compact [o, b]
par des ouverts de [a, 6], on peut donc en extraire un recouvrement fini
(B{x,Otxi))l<i<p- Posons
N = sup Nxil<i<p
Soient n > N et X E [a, b]. Il existe i G {1, ... ,p} tel que x G B{xi, a^J,
et la suite (/„) étant décroissante, on déduit de (f) que
0 < f { x ) - f n { x ) < f { x ) - f N { x ) < \ f {x) - f N^ . ( x) \ < e.
On a donc démontré que
Vn > TV, Va; G [a,b],
\f{x) - fn{x)\ < £,
d’où le résultat recherché.
c) On se ramène au cas précédent en considérant la suite numérique
i—fn{x))n>i qui est décroissante et minorée.
2) a) Montrons que 0 < Pn{x) < \fx pour tout x G [0,1].
Cette double inégalité est clairement vérifiée pour le polynôme nul Pq.
Supposons-la vraie pour Pn, et montrons qu’elle est vraie pour Pn+iPuisque l’on a 2Pn+i{x) = {x - Pn{x)) + 2P„(x), le nombre 2P„+i(x)
180
Chapitre 3.
Suites de fonctions
qui est la somme de deux termes positifs ou nuis, est nécessairement
positif ou nul. En considérant la relation
2(x/x - Pn+i(a;)) = {y/x - Pn{x)) (2-y/x - Pn{x)),
on constate que y/x — P„+i(x) sera positif si 2 —y/x — Pn{x) est positif.
Or, par hypothèse de récurrence, on a
Va; € [0,1] , 2 —y/x — Pn{x) > 2 — 2 yfx > 0,
donc yfx — P„+i(a:) > 0, et la propriété est donc vraie à l’ordre n + 1.
Elle est donc vraie pour tout n e N.
b) Pour chaque x € [0,1], la suite numérique {Pn(x))n est croissante
puisque d’après la question 2) a), on a
2(P„+i(a;) - Pn{x)) = X - P^{x) > 0.
(tt)
La suite {Pn{x))n étant croissante et minorée par y/x, elle est donc
convergente de limite f{x) ; de plus, en faisant tendre n vers l’infini dans
(tt), on obtient
0 = a; - i f i x ) f .
On en déduit aussitôt que f{x) = yfx puisque la limite est positive
comme les termes Pn{x) de la suite.
La fonction limite / étant continue sur [0,1], nous pouvons donc utiliser
le résultat de la question 1) et conclure que la suite (Pn) converge uni­
formément sur [0,1] vers la fonction f : x
y/x.
Exercice 3.20 Soient I un intervalle de R, et (/„) une suite de fonc­
tions continues sur I et convergeant uniformément sur I vers une fonc­
tion f . Soit (xn) une suite dans I convergeant vers un élément i de I.
Montrer que (fnixn))n converge vers f{£) lorsque n tend vers l ’infini.
Solution
Pour tout n G N, on a par l’inégalité triangulaire,
0 <
\fn {X n ) -
fi^ )\
-
-
\fn {X n )
<
\fn {X n ) -
f(X n )
+ f(X n ) -
f{X n )\ +
\f{X n ) -
f{^)\
f{^ )\-
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
181
Comme (/„) converge uniformément vers / , /n —/ est bornée à partir
d ’un certain rang, et ||/„ —/||oo tend vers 0 lorsque n
+oo.
Or,
V n G N , \fn(Xn) - f{Xn)\ < ||/n - /||o o ,
et le théorème des gendarmes entraîne alors
\fn{Xn)
(*)
f{Xn)\
D’autre part, puisque les /„ sont continues au point £ (car ^ € /) , et
que (/n) converge uniformément sur I vers / , alors / est continue au
point i d’après le théorème 2.1, donc
Comme on a démontré que pour tout n € N :
\fn{Xn) -
f{^)\ <
\fn{Xn) -
f{Xn)\ +
\f{Xn) -
/(^ )|,
on déduit de (*) et de (**) et du théorème des gendarmes :
\fn{Xn) -
f{^)\
nZ^oo
Exercice 3.21 On considère la suite de fonctions fn : [0,2] —^ R définie
par :
n a; (1 —a;)” + arcsin (x —1).
fn{x)
1 ) Quel est le domaine de convergence simple A de la suite de fonctions
(fn) ? Préciser la limite simple f .
2) Soit a g ]0, 1[. Montrer que la suite (fn) converge uniformément sur
le segment [a, 2 —o;[ vers sa fonction limite f .
3) Évaluer f^(fn(x) — f ( x ) ) d x et en déduire que l ’on ne peut avoir
convergence uniforme de la suite (fn) sur [0,1].
Solution
1) - Pour X € jO, 2[, on a |x —1| < 1, donc
lim n ^ x ( l - x ) ” = 0 et
n—^+00
lim /„(x) = arcsin ( x - 1 ) .
n—>+oo
182
Chapitre 3.
Suites de fonctions
- Pour ic = 0, on a
lim v ^ x { \ — xY' = 0,
donc
lim /n(0) = arcsin(—1).
- Pour X = 2, on a •n? x { l — x)^ = 2n^ (—1)" qui est le terme général
d’une suite divergente, donc la suite {fn{ 2))n diverge.
Le domaine de convergence simple de la suite (/n) est donc A = [0,2[
et la fonction limite est f : x
arcsin (x —1).
2) Sur [a, 2 —a], on a |1 —a:| < 1 —a, donc, pour tout entier n assez
grand,
\ f n { x ) - f { x ) \ < 2 n2 | l - 0!|".
Comme n^ |1 —al” tend vers zéro lorsque n tend vers l’infini, on en
conclut, grâce à la proposition 1.11, que (/„) converge uniformément sur
le segment [a, 2 —a] vers / .
3) En posant y = 1 —a:, on obtient
/ {fn{x) - f{x)) dx
JO
=
f
Jo
n ^ x { l - a;)” dx ^
f
JO
y” (1 - y) dy
= n f _ ! _______
n + 2j
\n + l
n"
1.
(n + 1) (n + 2) n^+oo
Par conséquent, l’intégrale Jq fn(x) dx ne tend pas vers
f{x) dx lorsque
n tend vers l’infini. D’après le théorème 4.1, (/„) ne converge donc pas
uniformément sur [0,1] vers / .
Exercice 3.22 Calculer la limite lorsque n tend vers l ’infini de
/•7t/4
P+O O
f jq f
r+ O O
rp n
a;2” + 1
dx.
Solution
Chacune des limites proposées peut s’obtenir facilement en utilisant le
théorème 5.2 de convergence dominée (voir exemple 5.3). Nous proposons
ici une méthode directe.
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
183
1) À l’aide du changement de variable t = tan x, on a
¡■n/4
fl dt
1
0 < /
tan" x d x =
-— -X < / t^d t = ------- — > 0.
Jo
Jo 1 + t‘‘
Jo
n + 1 n-^+oo
Le théorème des gendarmes donne alors
PTT/4
lim /
tan" X dx = 0.
n-^+oo J q
2) Pour chaque n € N, notons
/„ : [0,+ o o [ - ^ E ,
- Les fonctions /„ sont continues sur [0, +oo[, donc intégrables sur chaque
segment inclus dans [0, + oo[. De plus,
Va: € [0, + oo[,
et / 0'''°° e ^ dx est convergente car
f+00
/
e ^ dx = lim [ —e
Jo
a4 —>+0 0 L
a:” + e® œ-^+oo e®’
JO
=
lim
i 4 -^ + o o
fl —e
V
/
= 1.
Le théorème d ’équivalence pour les fonctions positives permet de conclure
que Jq °° fn(x) dx est convergente.
- Sur [0, +oo[, la suite (/„) converge simplement vers la fonction / définie
par
si 0 < a; < 1
a: = 1
/ : X I—> < (1 + e)-^ si
0
si
1 < a;.
La fonction / est continue par morceaux sur [0, + oo[, et on a pour
n>2:
r+OO
/
Jo
P+00
fn{x)dx - /
Jo
f{x)i
< J ( — -------i ) *
+
Jo ya:” + e® e®y
ai
a;" + e®
x^ dx
r+°° dx
Jo (a;” + e®) e® Ji x" + e®
/•1 „ ,
r+°° dx
<
X
dx +
—
Jo
Ji
1
n +
1
+
x”
1
n — 1 n->
+00
0.
184
Chapitre
Enfin,
r+°°
d’où
,
/“1 dx
r+oo
lim /
fn{x) dx = 1 n->+oo Jn
3) Pour chaque entier n > 2, considérons
fn : [0, + oo[-> ]
X"
X
+ 1■
Les fonctions /„ sont continues sur [0, + oo[, donc intégrables sur tout
segment inclus dans [0, + oo[. De plus,
Vn > 2,
1
X"
2j2n ^ J x->+oo x”
Or, pour tout n > 2, /j^°°
dx est un exemple de Riemann convergent,
donc l’intégrale impropre /i^°° /„(x) dx est convergente. On conclut que
fn{x) dx converge pour tout n > 2.
Sur [0,+oo[, la suite (/„) converge simplement vers la fonction / définie
par
[ 0 si X 7^ 1
/ : æ
1 1/2 si X = 1.
La fonction / est continue par morceaux sur [0, + oo[.
On a par ailleurs
f+°° x"
,
0 < /
-----r d x =
~ Jo
X^^ + 1
ri
/o
x”
,
f +00 2;^
—------ dx +
x2n ^ I dx
x2" + 1
Jo
il
Jl
x”
1
1
+
n + 1 n —1 n-^+oo
Le théorème des gendarmes donne alors
r+00 x"
lim /
—------ dx = 0.
n-^ +oo J q
+ 1
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3
185
Exercice 3.23 Soit {Pn)n>o une suite de fonctions polynômes. On sup­
pose que (Pn)n>Q converge uniformément sur R vers une fonction f .
1) Montrer qu’il existe TV G N tel que
Vn G N, n > N = ^ P n = PN + \ i avec An € R.
2) En déduire que f est une fonction polynôme.
Solution
1 ) D’après le critère de Cauchy uniforme (théorème 1.13), on a
3TV G N, W n > N , Va; G R,
\Pn{x) - P n ( x ) \ < 1.
Ainsi, pour tout n > N , P n ~ P n est une fonction polynôme bornée sur
R, donc constante. Autrement dit, pour tout n > TV, il existe A„ € R
tel que Pn = Pn + K 2) La suite numérique (Pn(0)) converge, donc la suite ( \ n ) n > N aussi car
An = Pn{0) — Pn {^) pour tout n > N. Notons A la limite de la suite
(An)n>iv. Pour tout X G R, on a
/(x ) =
lim Pn(x) =
n —>+oo
lim (Pn (x ) + K ) = Pn (x ) + A.
n —>+00
On en déduit que /(x ) = P n ( x ) + A pour tout x G R, donc / est une
fonction polynôme.
Exercice 3.24 Soit f : [0 , 1 ] —^ C une fonction continue. À l ’aide du
théorème d ’approximation de Weierstrass, montrer que
lim n
n—
»^+oo
(*)
e-^^dx = / ( 0 ).
Solution
Commençons par examiner le cas où / est une fonction polynomiale.
On a d ’abord
n [ e“”®dx = 1 - e“” , donc
Jo
lim n [ e“"®dx = 1 .
n -> + o o
Jo
Chapitre 3.
186
Suites de fonctions
Par ailleurs, une intégration par parties donne
n f/ . x e - ^ ^ d x = - e " ” + f ^ e - ^ ^ d x = - e " " +
Jo
Jo
1 —e'
d ’où
lim n if . x e
n—
^+oo
Or, pour tout entier fc > 1, on a
dx = 0.
0 < n f x^ e~'^ dx < n f x e ~ ^ d x ,
Jo
Jo
et le théorème des gendarmes permet d’en déduire que
lim n f x^
n-^+oo
Jq
dx = 0 .
Pour toute fonction polynôme P{x) = oq + aix + ... + 0^0;", on a alors
par linéarité de l’intégration :
lim n [ P(x) e“"®dx =
n-^+00
Jq
üq
lim n f e“”®dx
n—»+00
Jq
.1
n
+ y'afe
tí
= ao = P(0).
lim n
x ^e~ '^d x
-^0
Le résultat annoncé est donc vrai pour toute fonction polynôme P.
Considérons maintenant le cas d’une fonction quelconque / continue sur
le segment [0 , 1 ].
Soit £ > 0. D’après le théorème de Weierstrass, il existe une fonction
polynôme P telle que ||/ —P||oo < £• Posons
Un = n [ f { x ) e
Jo
dx.
On a
K
-/(0)1
=
\n f \ f { x ) - P { x ) ) e - ’“ dx
\ Jo
P{x)e~'^ dx - f{0)
< n tf(x)-P{x)\e-^^dx
Jo
- |- |n ^ P{x)e-^^dx - P(0) -h |/ ( 0 ) - F ( 0 ) |.
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 3____________
Or, 11/ —P||oo < e implique
^ / \f{x) — P { x ) \ e ~ ^ d x < n e [ e~'^^dx = (1 —e“")e < e,
•'O
70
et d ’après la première partie, on a
\n
P{x)e~'^^dx - P{Q) < e pour tout n > N.
Comme de plus,
1/ ( 0 ) - P ( 0 )| < 11/ - P |U
< e,
on conclut que, pour tout n > iV, on a \un —/(0)| < 3e. D’où le résultat
désiré.
Remarque : on pouvait procéder directement en écrivant l’intégrale de
l’énoncé sous la forme :
^ / i f i ^) - / ( 0 )) e“""“ dx + n [ (f{x) - / ( 0 )) e"”®dx
•/0
Ja
et en choisissant o; > 0 associé à un e > 0 de continuité de / en 0 ...
Exercice 3.25 Soit {E, || • ||) un espace vectoriel normé complet, et soit
i f n ) n > o une suite d ’applications continues sur E à valeurs dans R.
1) Montrer que si (fn) converge uniformément sur E alors, pour tout
X E E et toute suite (xn) d ’éléments de E convergeant vers x, la suite
réelle {fn{xn))n>o converge vers f{x).
2 ) Montrer que si l ’on suppose seulement la convergence simple de { f n ) n > o
vers f , alors ce résultat tombe en défaut
Solution
1) Puisque (fn) converge uniformément sur E, il existe une fonction /
de E dans R telle que
Ve > 0, 3 AT G N, Vn G N, Vx e E, ( n > N ^
|/„(x) - f{x)\ < e).
La fonction / étant limite uniforme sur E d’une suite de fonctions conti­
nues, elle est elle-même continue sur E, donc
Vx G P , Ve > 0, 3o! > 0, Vj/ G E, ( ||a : - 2/|| < o;
\ f ( x ) - f { y ) \ < e).
Chapitre 3.
188
Suites de fonctions
■Soit (xn) une suite d’éléments de E convergeant vers x, alors
3no 6 N, Vn G N, ( n > n o =» ||a; —a;„|| < cc^.
Donc, pour tout n > no, \f{x) — f{y)\ < e. Or, pour n > AT, on a
\fn{xn) - f{xn)\ < £• Donc, pour tout n > max(no,iV), on a
\fn{Xn) - f{x)\
< \ f n M - f{Xn)\ + \f(Xn) - f(x)\
< 2e.
Donc
lim
n—
►+(» fn(xn) = f{x).
2 ) Prenons E = [0,1 ] et fn : [0,1 ] —^ E, x i-> x". Chaque fonction /„
est continue sur [0 , 1 ] et la suite (/„) converge simplement sur [0 , 1 ]
vers la fonction / définie par
fi^)
_ J 0 si X G [0 , 1 [
= I J si X = 1.
Comme / n’est pas continue sur [0 , 1 ], la suite (/„) ne peut donc conver­
ger uniformément sur [0 , 1 ] vers sa limite / .
Considérons alors la suite de terme général x„ = 1 — C’est une suite
à valeurs dans [0,1] et qui converge vers 1 . Or,
i
lim fnixn) =lim
1 ------- =
n -> + o o \
f l /
n -> + o o
1
-e .
Comme / ( 1 ) = 1 , on conclut que : lim /„(x„) 7^ / ( 1 ).
n —^+00
L’hypothèse de convergence uniforme sur E est donc nécessaire.
Chapitre 4
Séries de fonctions
Comme pour les séries numériques, on peut, à partir d’une suite de fonc­
tions (/n)n>o, construire une suite {Sn)n>o où Sn = fo + ■■■ + fn- On
obtient ainsi ce qu’on appelle une série de fonctions, notée
fn Les séries de fonctions jouent un rôle considérable en Analyse avec no­
tamment les exemples fondamentaux des séries entières
an x” et des
séries trigonométriques
o,n e*”® qui feront l’objet des deux prochains
chapitres. Pour les séries de fonctions, on dispose d’un nouveau mode de
convergence, dite normale, qui n’est en fait qu’une condition suffisante
très commode pour établir la convergence uniforme.
Nous gardons les notations du chapitre précédent.
1
Différents modes de convergence
1 . 1 . C onvergence sim ple
1 . 2 . D éfinition Soit (/n)neN une suite d’applications de X dans E.
On appelle série des fonctions fn et on note 13 /n> iu suite (Sn) où Sn
désigne l’application de X dans E définie par
S n {x ) = ¿ fk { x ) ,
k=0
et appelée la n-ième somme partielle de la série
fn -
1.3. D éfinition Lorsque la suite de fonctions (5n)n>o définie ci-dessus
converge simplement sur X , on dit que la série de fonctions fn converge
189
190
Chapitre 4.
Séries de fonctions
simplement sur X . Dans ce cas, la fonction limite S de {Sn) s’appelle
la fonction som m e de la série X) /n> et on note
+00
s = E /n=0
1.4. R em arq u e Si f n converge simplement sur X , alors, pour chaque
a; G X, la série Ylîn{x) est convergente dans E, et l’on a
/
vi€X ,
s(x) =
+00
+00
E /" W =
n=0
\ n=0
1.5. D éfinition On appelle reste d ’o rd re n d’une série simplement
convergente Z) /«, la fonction Rn définie par
+00
Va; G X,
Rn{x) =
Y.
/c=n+l
1.6. R em arq u e Pour tout x G X, on a alors S{x) = Sn{x) + Rn{x).
1.7. E xem ple Considérons la série de fonctions définie sur R+ par
fn{x) = x e “”®. Pour chaque x fixé dans RÜj., on a x e “"® = o(l/n^),
donc la série numérique J2fn{x) converge, ce qui montre que la série
f n converge simplement sur R+ (pour x = 0 , la convergence est évi­
dente). Sur cet exemple, on peut même déterminer la fonction somme de
la série J2fn puisque, pour tout x G E+, on a
1
= x E (0
fc=0
‘ =
k= 0
X
_ g -(n + l)x
1
—
X
n—>+oo 1
Donc
+ 00
Y
E
n=0
X
pour X > 0 , et 0 pour x = 0 .
= 1 - e -—
^
1 . 8 . C onvergence uniform e
1.9. D éfinition On dit que la série X)/n converge uniform ém ent
sur X si la suite de fonctions (S'n) converge uniformément sur X.
§ 1.
Différents modes de convergence
191
1 . 1 0 . R em arque De la proposition 1.6 du chapitre 3 on déduit que
si la série
simplement.
converge uniformément sur X , alors elle y converge
On a immédiatement la proposition suivante.
1 . 1 1 . P ro p o sitio n Si la série Y^fn converge uniformément sur X ,
alors la suite de fonctions (/„) converge uniformément vers zéro (zéro
désignant ici la fonction nulle) dans X .
1 . 1 2 . R em arque La suite (/n) peut converger uniformément vers zéro,
sans que la série Y fn ne converge uniformément. Par exemple, la suite
(l/n®)„>i converge uniformément vers zéro sur ]1 , +oo[ puisque
Vx G]1 , + o o [ , 0 < — <
n®
n
n —>+oo
0,
mais la série Z)(l/n®) ne converge pas uniformément sur ]l,+oo[ comme
on le verra dans le problème 7.14.
1.13. P ro p o sitio n Soit Y f n une série simplement convergente. Pour
que Y f n converge uniformément sur X , il faut et il suffit que la suite
(Rn) des restes partiels converge uniformément vers zéro dans X .
D ém onstration : - Si la série Y f n converge uniformément sur X
vers S, alors il est clair que la suite des fonctions S —Sn = Rn converge
uniformément sur X vers zéro.
- Réciproquement, il est tout aussi évident que si la série Y f n converge
simplement sur X vers S et si la suite (Rn) converge uniformément
sur X vers zéro, alors la suite de terme général Sn = S — Rn converge
uniformément sur X vers S.
□
1.14. Exem ple La série des fonctions définies par fn{x) = x e
converge pas uniformément sur E+. En effet.
+ 00
Vi € R ; ,
R .,{x )
=
£
x e - ”” =
t™+i
d’où
Rn ^n + l j
1
n—+00 e ’
et on conclut par la proposition précédente.
1-e
”
ne
192
Chapitre 4.
Séries de fonctions
1.15. Convergence uniform e su r to u t com pact
1.16. D éfinition On dit que la série S / n converge uniform ém ent
su r to u t com pact inclus dans X si la suite {Sn) des sommes partielles
converge uniformément sur tout compact inclus dans X.
1.17. E xem ple La série de l’exemple précédent converge uniformément
sur tout compact de IRÜj.. En effet, si K est un compact contenu dans
RÜj., on peut trouver des réels a et 6 tels que 0 < o < 6 et i f C [a, 6].
On a alors
„g-(n+l)a
V x G [a, 6],
0 < Rn{x) < —----3^ ,
1 _ g O
OÙ le majorant est indépendant de x et tend vers 0. Donc la suite (i?„)
converge uniformément sur [a, 6] vers zéro.
1.18. C ritè re de C auchy uniform e
1.19. P ro p o sitio n La série
converge uniformément sur X si, et
seulement si, pour tout e > 0, il existe N g N (dépendant de e) tel que
pour tout entier n > N et tout entier p > l , on ait
Vx 6 X,
||/„+i(x) + ••• + fn+p{x)\\ < e.
D ém onstration : C’est le critère de Cauchy uniforme appliqué à la
suite des sommes partielles (Sn) (théorème 1.13 du chapitre 3).
□
1 . 2 0 . C onvergence absolue
1 . 2 1 . D éfinition On dit que la série X)/n converge absolum ent sur
X si, pour tout X G X , \ a série réelle Y, ||/n(ic)|| converge.
1 . 2 2 . E xem ple Le critère de Leibniz permet de voir que la série des
fonctions définies par fn(x) — (—l)”/n® converge simplement sur
tandis que la règle de comparaison pour les séries à termes positifs permet
de voir que X)/n converge absolument sur ]1 , + oo[.
Le résultat qui suit est très utile en pratique.
1.23. P ro p o sitio n Si la série Y,fn converge absolument sur X , alors
elle converge simplement sur X .
§ 1.
193
Différents modes de convergence
D ém onstration : Soit x E X , la série J2fn{^) converge absolument
dans E qui est complet, donc elle converge.
□
1.24. Convergence normale
Rappelons que 'B{X,E) désigne l’espace vectoriel des fonctions de X
dans E bornées, et que, muni de la norme || •Iloo de la convergence
uniforme, c’est un espace complet.
1.25. Définition On dit que la série E / n converge normalement
sur X si
• V n e N , f n e ‘B { X , E ) ,
• la série E ||/n||oo converge.
1.26. Proposition La série J2fn ^st normalement convergente sur X
si, et seulement si, il existe une suite réelle positive (o!„) vérifiant les
deux conditions suivantes :
• Vn e N, Vx G X , ||/n(a;)|| < an,
• la série
Oin converge.
D ém onstration : Si la série X) fn est normalement convergente, alors
la suite de terme général
= ll/n||oo satisfait aux deux conditions de
la proposition précédente.
Réciproquement, si les deux conditions de la proposition sont vérifiées,
alors chaque /„ est bornée et la série S l|/n || est convergente comme
série à termes positifs majorée par la somme d’une série convergente. □
1.27. Exemple La série
est normalement convergente sur
l’intervalle [a, + oo[ où o > 0. En effet, pour n assez grand, on a
|2;g-ni| < a e “”“ pour tout x > a, et on conclut par la proposition
précédente puisque
e“”“ est une série géométrique convergente car de
raison e““ appartenant à ]0 , 1 [.
1.28. Théorème Si la série Y^fn converge normalement sur X , alors
elle converge absolument et uniformément sur X , et l ’on a
+00
+ 00
E /"
n=0
< E
oo
n= 0
ll/.lloo-
Chapitre 4.
194
Séries de fonctions
D ém o n stra tio n : Si la série J2fn converge normalement, il existe
une suite réelle positive (o;„) telle que
V neN ,
||/n(o:)|| < a„,
avec convergence de la série X) ccn- La série de vecteurs X fn{^) converge
donc absolument sur X. D’où la convergence absolue de X fn sur X .
Soient n € N et P € N*, on a
Va: G X, ||/„+i(a:) + • • • + /„+p(a;)|| <
+ • • • + cxn+p
ce qui montre que la série X fn vérifie le critère de Cauchy uniforme sur
X (proposition 1.19), elle est donc uniformément convergente sur X .
Pour tout a: G X, on a
+00
<
k=0
IIA(*)II <
E
/e= 0
IIAII- <
E
k=0
E
IIAlU.
k=0
d’où
+00
+00
Va:GX,
¿ fk(x)
k=0
ce donne bien l’inégalité désirée
^ ¿
ll/fe||oo,
fc= 0
1.29. R em arq u e Une série peut converger uniformément et absolument
sans converger normalement. Considérons en effet la suite de fonctions
en escalier définie sur [0 , 1 ] par
ri .1
r.. 1
si a: G 0 ,----- 7 U - ,1
.n .
. n+ 1.
<
■
1 .
■ 1
1
— SI a; G
n
Ln + 1 n .
0
fn(x) -
Cette série converge uniformément sur [0,1 ] puisque
fn + k {x )
k=l
<
n+ 1
Mais la convergence n’est pas normale puisque
sup Il/n(2:)|| = i
a:e[0 ,l]
^
et que 1/n est le terme général d’une série de Riemann divergente.
§ 2.
Convergence uniforme et limite
195
1.30. P ro p o sitio n Soit Z )(~ l)” 5'n une série de fonctions de X dans
R telle que
i) pour chaque x € X , la suite (gn{x))n ^st décroissante,
a) la suite de fonctions (p„) converge uniformément sur X vers zéro.
Alors la série E)(—l)” ^n converge uniformément sur X .
D ém onstration : Pour chaque a: G X, la suite réelle {gn{x))n tend
vers zéro en décroissant, donc tous ses termes sont positifs. La série al­
ternée Z) ( ~ l) ” ^n(a?) vérifie le critère de Leibniz, donc converge, et si
S{x) désigne sa limite, on a d’après le théorème 4.4 du chapitre 2 :
\S{x) - 5n(a;)| < \gn+i{x)\.
Comme (gn) converge uniformément sur X on déduit que (S'n) converge
uniformément sur X vers S. Donc la série Z )(~ l)” â'n converge unifor­
mément sur X.
□
1.31. Exem ple Ce résultat permet de voir aisément que Z) (—
converge uniformément sur tout intervalle [o, -I- oo[ où a > 0.
2
Convergence uniforme et limite
2 . 1 . T héorèm e Soit a un point adhérent à X , et soit J2fn une série
de fonctions de X dans E. On suppose que
i) pour tout n € N, /o fonction fn admet une limite in uu point a,
a) la série Y, fn converge uniformément sur I.
Alors
- la série Y
converge dans E,
- la fonction somme S admet une limite en a, et de plus
+00
limSix) =
n=0
D ém onstration : Il suffit d’appliquer le théorème 2.5 du chapitre 3
à la suite (S'„) des sommes partielles.
□
196
Chapitre 4.
Séries de fonctions
2 .2 . R em arq u e Le dernier point de la conclusion du théorème précé+ 00
dent s’exprime aussi en disant que l’on peut permuter
lim
et
n=0
En d’autres termes, sous les hypothèses du théorème, on a
la
= ¿ ( |а - ^ ”М)
3 Convergence uniforme et continuité
3.1. T héorèm e Soit a € X , et soit (/„) une suite d’applications de X
dans E. On suppose que
i) pour tout n G N, la fonction /„ est continue au point a,
ii) la série Y^fn converge uniformément sur X .
Alors la fonction somme de la série Y fn ^st continue au point a.
D ém onstration : Il suffit d’appliquer le théorème 2 .1 du chapitre 3
à la suite (Sn) des sommes partielles.
□
La continuité étant une propriété locale, on a immédiatement le corollaire
suivant qui découle du corollaire 2.2 du chapitre 3.
3.2. C orollaire Soit (fn) une suite d’applications de X dans E. On
suppose que
i) pour tout n G N, la fonction est continue sur X ,
ii) la série Y fn converge uniformément sur X .
Alors la fonction somme de la série Y fn esi continue sur X .
+o° p—n\x\
3.3. E xem ple La fonction ж
est continue sur R. En effet.
71= 1
c’est la somme d’une série de fonctions continues qui converge normale­
ment (donc uniformément) sur E puisque
,-n|œ|
'ix G
< -h -
Comme dans l’étude des suites de fonctions, il arrive souvent qu’il n’y ait
pas convergence uniforme de Y f n sur X, mais qu’il y ait convergence
uniforme sur certaines parties de X . D’où la définition suivante.
§ 4.
Dérivation terme à terme
197
3.4. D éfinition Soit (/„) une suite d’applications de X dans E. On dit
que Y, fn converge localem ent uniform ém ent sur X si et seulement
si Y f n converge uniformément sur toute partie compacte de X .
3.5. C orollaire Soit I un intervalle (non vide) de R, et soit (fn) une
suite de fonctions de I dans E. On suppose que
i) pour tout n G N, la fonction fn est continue sur I,
ii) la série Y fn converge localement uniformément sur I.
Alors la fonction somme de la série Y fn est continue sur I.
+00
J
3.6. Exem ple La fonction ^ : xi-^ ^
~
continue sur l’intervalle
Tt
ouvert ]1, +oo[. En effet, c’est la somme d’une série de fonctions continues
qui converge uniformément sur tout intervalle [a, + oo[ avec a > 1 , car
n=l
Va; G [a, + oo[,
n“ s 4 .
et que 1/n“, pour a > 1 , est le terme général d’une série de Riemann
convergente.
Il y donc convergence uniforme a fortiori sur tout compact K inclus
dans ]1 , + oo[, et le corollaire précédent s’applique.
4
Dérivation terme à terme
Dans cette section, / désigne un intervalle de R, non vide ni réduit à un
point.
4.1. T héorèm e Soit (fn) une suite de fonctions dérivables de I dans
un espace vectoriel normé E. On suppose que la série Y f n est sim­
plement convergente et que la série Y fn formée avec leurs dérivées est
uniformément convergente sur I. Alors la fonction somme S est déri­
vable sur I, et on a
+00
Va; G /,
S'(x) = ^ f n ( x ) .
n=0
D ém onstration : Résulte immédiatement du théorème 3.1 du cha­
pitre 3 appliqué à la suite (Sn) des sommes partielles.
□
Lorsque E est complet (par exemple E = R ou C), le théorème 4.1
ci-dessus fournit le résultat remarquable suivant.
198
Chapitre 4.
Séries de fonctions
4.2. T héorèm e Soit (/„) une suite de fonctions dérivables de I dans
un espace de Banach E. On suppose qu’il existe a G I tel que la série
S /n(o) soit convergente dans E, et que la série X) fn converge unifor­
mément sur I.
Alors la série
f n converge simplement sur I, uniformément sur tout
segment inclus dans I. De plus, sa somme S est dérivable sur I et sa
dérivée est la somme de la série Y^f^.
4.3. R em arq u e Chacun des deux théorèmes précédents donne la for­
mule dite de dérivation terme à terme d’une série de fonctions :
\ '
+00
E /»
n=0 /
+00
= Efnn=0
Ce théorème (comme le précédent) se généralise très naturellement au
cas des fonctions p fois dérivables sur l’intervalle I.
4.4. P ro p o sitio n Soit (fn) une suite de fonctions p fois dérivables de
I dans un espace de Banach E. On suppose qu’il existe a G I tel que
la série X)/n(o) soit convergente. Si pour tout entier k ( l < k < p),
les séries Y!,fn^ convergent uniformément sur I, alors la série J2fn
converge simplement sur I, uniformément sur tout segment inclus dans
I. De plus, sa somme S est p fois dérivable sur I et, pour \ < k < p,
chaque dérivée S^^^ est la somme de la série Y fn^ / en d’autres termes :
VA: € { i , . . . . p } ,
/ +00 \ (k)
+00
(E /» )
= E / Î ’n=0
^
n=0
4.5. R em arq u e Le résultat ci-dessus est encore vrai si on remplace la
convergence uniforme sur I par la convergence uniforme sur tout segment
inclus dans /.
4.6. E xem ple On a montré (voir exemple 3.6) que la fonction zêta
c;X
+00
1
E
è
n=l
est continue sur l’intervalle ]1, -l-oo[. En fait, ^ est indéfiniment dérivable
sur ]1, -H oo[. Pour tout n e N*, posons f n ( x ) = n~®. Alors
VfcsN, / « ( x ) =
nr
§ 5.
Intégration terme à terme sur un segment
199
Pour tout k e N et tout nombre réel a > 1 , la série
fn^ converge
normalement (donc uniformément) sur [a, +oo[, donc a fortiori sur tout
segment inclus dans ]1 , +oo[. On peut alors dériver k fois terme à terme
sur cet intervalle, d’où
V x € )l, + oo|, C“ ’(*) = ( - l ) " E **""^*’
n=l
5
Intégration terme à terme sur un segment
5.1. T héorèm e Soit [fn) une suite de fonctions intégrables sur l’inter­
valle compact [a, b], à valeurs dans un espace vectoriel normé complet E.
Si la série X)/n converge uniformément sur [a, b], alors
+ 00
- sa somme S :
^ fn{x) est une fonction intégrable sur [a, b],
n=0
- la série de terme général Un = f^ fn(^) dx est convergente, et on a
rb
+0O
/ S{x)dx = У^г¿т,
(4.1)
n=0
D ém onstration : Il suffit d’appliquer le théorème 4.1 du chapitre 3
à la suite (Sn) des sommes partielles en notant que, pour tout n e N,
on a
[ Sn{x)dx = è
Ja
/ fk{x)dx.
Ja
□
Le théorème en découle aussitôt.
La relation (4.1) est appelée formule d ’intégration terme à terme et s’écrit
aussi
fb f + ° °
/
( S
\n =0
\
+°°
rb
/ fn(x) dx.
n=0 ‘' “
pb
+00
On dit qu’on permute les deux symboles / et y^.
/
(4.2)
n=0
5.2. R em arque II se peut, dans d’assez nombreux exemples, qu’on
pb
+0O
puisse permuter les deux symboles / et ^ sans qu’il y ait nécessairement convergence uniforme !
n=0
200
Chapitre 4.
Séries de fonctions
En effet, soit 53 fn une série de fonctions intégrables sur [a, b] et conver­
geant simplement sur [a, 6]. Supposons que la somme S' de J2fn soit
continue par morceaux (donc intégrable) sur [a, 6]. Alors, pour tout
n G N, le reste Rn est une fonction intégrable sur [a, b] (car Rn = S —Sn)
et on a par linéarité de l’intégration :
Î
S{x)dx = f
Supposons que
i^/fe(a;))dx = X! i / fk{x)dx\ + f
\fc=0
/
k=0
J
Ja
Rn{x)dx.
fb
/ Rn(x)dx — ^ 0.
Ja
n^+oo
Alors
donc la série ^ 2 (^J f k { ^ ) d ^
+00 -i,
converge, et on a
-b
/ fk{x)dx = / S(x)dx =
k=0
/>6 /+<»
\
/ j ^ / f e ( x ) dx.
\fc=0
/
/■b
+°°
Ainsi, pour pouvoir permuter les symboles / et y^, il suffit que l’intén=0
grale sur [a, b] du reste Rn tende vers zéro lorsque n tend vers l’infini.
Cette remarque s’applique aussi aux intégrales sur un intervalle qui n’est
ni nécessairement fermé ni nécessairement borné.
6
Intégration terme à terme sur un intervalle
L’énoncé suivant (admis) constitue un outil puissant pour permuter les
symboles de sommation et d’intégration dans le cas où I est un intervalle
quelconque. On suppose néanmoins que I n’est ni vide ni réduit à un
point.
6 . 1 . T héorèm e Soit {fn)n>o une suite de fonctions continues par mor­
ceaux sur I et telles que, pour tout n G N, Vintégrale impropre fj \fn{x)\ dx
converge. On suppose en outre que
i) la série 53 fn converge simplement sur I,
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
n)
la fonction somme S est continue par morceaux sur I,
iii) la série numérique
201
fn{x) dx converge absolument.
Alors
• J |5(ic)|da: est convergente,
• / |5'(a;)|dx
XI / \f n { x ) \d x .
<
n=0 ‘
+00
i
S{x)dx = X / fn{x)dx.
n=0
6 .2 . R em arque Sous les hypothèses du théorème ci-dessus, on peut
+00
«
donc permuter les symboles X
^
7
> c’est-à-dire qu’on a
dx =
^ X
X
( /
fn{x) d x ^ .
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
Exercice 4.1 Etudier la convergence simple des séries de fonctions de
termes généraux :
X
/^(^) = T~i— 2^ ’
1 -I- n^x"^ '
(—1)”
9ri{x) = ------- ,
n
— X
hn{x) - - n x ^ Inx.
Solution
- Convergence simple de
/nSoit a; G IR fixé. Si a; = 0 , alors fn{x) = 0 pour tout n > 0 , donc
converge (et vaut 0 ). Si x ^ 0 , alors
fn(x)
fn {x )
1
n -> + o o
ri^ X
Comme 1 /n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente,
le théorème d’équivalence pour les séries à termes positifs permet de
conclure que la série numérique
f n { x ) est convergente.
Donc la série
f n converge simplement sur R.
202
Chapitre 4.
Séries de fonctions
- Convergence simple de
9nLa fonction Qn n ’est pas définie au point x = n. L’ensemble des points
où la série Y,9n{x) peut converger est donc au plus E \ N.
Soit X 6 E \ N fixé. Il existe un entier N tel que TV—a; > 0 et l’on a
Vn 6
n> N
> 0.
n
— X
À partir du rang TV,
est le terme général d’une série alternée. Pour
chaque æ € E \ N, la suite de terme général l/( n —a:) est décroissante
et tend vers zéro. Le critère de Leibniz (théorème 4.4 du chapitre 2 )
permet de conclure que cette série alternée est convergente. La série ^ Çn
converge donc simplement sur E \ N.
- Convergence simple de J^hnPour chaque n, la fonction
est définie sur E^j., et on a |/i„(a:)| > 0
pour tout EÜj. \ {!}. De plus,
lim flnx" lna;|)
n -» + o o V
1/ n
V
= x.
Il résulte de la règle de Cauchy (théorème 3.4 du chapitre 2 ) que la série
numérique Y^hn{x) converge si x € ] 0 , 1 [ et diverge si x g ]1, + o o [. Si
a: = 1 , on a hn{x) = 0 , donc la série Y, ^n(l) converge.
En résumé, la série de fonctions Y hn converge simplement sur ]0,1].
Exercice 4.2 Étudier la convergence simple et déterminer la somme de
la série de fonctions donnée par
fn{x)
=
{
^ n
si X = n.
SI
X
Solution
Pour tout n G N, notons Sn la n-ième somme partielle de la série Y f k Si a; ^ N, on a fk{x) = 0 pour tout A: G N, donc Sn(x) = 0, et par
conséquent lim ^„(a:) = 0 .
n^+oo
Si a; G N, posons x — N. Pour tout n > TV, on a Sn{x) = / a^(TV) = TV^,
et donc lim Sn(x) = TV^.
n —>+oo
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
203
En résumé, la série de fonctions
fn converge simplement sur E et sa
somme est la fonction S donnée par
0
^
si a; ^ N
si a: e N.
1
Exercice 4.3 Étudier la convergence simple et la convergence uniforme
de la série de fonctions de terme général fn donné par
Vl € K, U(x) = ( -1 )”
Solution
Pour tout n € N* et tout x G E, on a
_or»2
( - 1)”
+ 1
^
2+ 1
rr\£i
'
Comme \jr? est le terme général d’une série de Riemann convergente,
la proposition 1.25 permet d’en conclure que la série YLfn converge nor­
malement sur E.
D’après le théorème 1.27, la série X)/n est alors absolument et unifor­
mément convergente sur E.
Exercice 4.4 Étudier la convergence simple et la convergence uniforme
des séries J2fn ei E 9n où
»,
\
sinnx
. ,
Va; G E, /„(a;) = -r--— r et gnix) =
a;2 + n'^
Solution
- Étude de la série
fnPour tout n G N* et tout a; G E, on a
sm na;
a;2 +
24
sinnx
x^ + ri2 •
204
Chapitre 4.
Séries de fonctions
et comme 1/n^ est le terme général d’une série de Riemann conver­
gente, on déduit de la proposition 1.25 que la série X)/n est normale­
ment convergente sur E, donc uniformément et absolument convergente
d’après le théorème 1.27.
- Étude de la série
9nLa série X) 9n se déduit de la série X) fn en multipliant chaque terme
par x^. Elle a donc le même domaine de convergence, c’est-à-dire E. La
fonction X
n’étant pas bornée sur E, la propriété de convergence
uniforme sur E n’est pas nécessairement conservée.
Supposons que la série X) 9n converge uniformément sur E. D’après le
critère de Cauchy uniforme (proposition 1.18), pour tout e > 0 , il existe
iV e N ne dépendant que de e et tel que, pour tout entier n > N et
tout entier p > 1 , on ait
k=n-\-l
< e,
x“
^ -I-
Va; G
En particulier, pour n = N et p = l :
x“
^ I sin(A^ -t- l)a;
x^ + {N + 1)2
Donc, pour X = 2 A:7r -|- 2W+2 ’
< e , Va; G
^
< £,
(2A;7T + ^ ) ' + (iV -hl )2
propriété évidemment fausse puisque le premier membre de l’inégalité
tend vers 1 lorsque k tend vers -l-oo.
On ne peut donc avoir convergence uniforme sur E de la série X^nEn revanche, la série converge uniformément sur tout compact K de E.
En effet, la fonction a; 1—^ a;^ étant continue sur K, elle y est bornée et
atteint ses bornes. Il existe donc M G E+ tel que x “
^ < M pour tout x
dans K. On en déduit que
Va; G RT,
x ‘ smna;
a;2 -I- n2
< M.9 ’
—
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
205
et comme Ijr? est le terme général d’une série de Riemann convergente,
on déduit de la proposition 1.25 que Yj Qu converge normalement, donc
uniformément, sur le compact K .
Exercice 4.5 On considère la série des fonctions fn définies sur [0,1]
par
fn{x) =
(n > 1 ).
1) Montrer que cette série de fonctions converge simplement sur [0 , 1 [.
Déterminer sa fonction somme S.
2) La série Y^fn converge-t-elle uniformément sur [0,1[ ?
Solution
1 ) Si a: = 0, alors fn{x) = 0 pour tout entier n > 2 , donc la série
S /n (0 ) converge. Soit xq €]0, 1 [. On a
n+ 1
/n+l(^o)
/n(^o)
n
^ 0,
d’où
lim
n—>H-oo
/n+l(^o)
fni^o)
=
< 1.
Xq
D’après la règle de D’Alembert (corollaire 3.6 du chapitre 2 ), la série
J2fn(xo) converge. Donc J2fn converge simplement sur [0,1[.
Pour calculer sa somme S, remarquons que /„(x) =
et que pour
tout X G [0,1[ :
1 + X + x^ +
1
... + x ”
=
-
1 —X
On a alors
l + 2 x + . . . + n x”
d f l — x”"^^\
~ T“
ax (\ 11 —X y/
1 ~
—(n + 1 ) x” (1 —x)
/1
\2
(1 - x )2
En faisant tendre n vers l’infini pour x G [0 , 1 [ fixé, on obtient
Six) =
1
(1 —x)2‘
Chapitre 4.
206
Séries de fonctions
2) On a clairement
sup \fn{x)\ = n.
i 6 (0 ,l[
De même, on a, fn = Sn —Sn-i- Si (Sn) convergeait uniformément vers
S, alors, comme
Vx e [0,1[,
|/„(x)| < l^n(^) - s { x ) \ + |5n-i(x) - S{x)\,
la suite (fn) devrait converger uniformément sur [0 , 1 [ vers la fonction
nulle, ce qui n’est pas le cas puisque
lim
sup \fn{x)\ = + 00 .
La convergence de la série S / n n’est donc pas uniforme sur [0,1[.
Exercice 4.6 Étudier la convergence simple, uniforme et normale de la
série de fonctions donnée sur R+ par : ^
n+ æ
Solution
L’idée est de commencer par étudier la convergence normale car, d’après
le théorème 1.27, si cette étude aboutit on en déduit la convergence simple
et la convergence uniforme.
Notons ip la fonction définie sur R+ par p{x) = xe~^. Cette fonction
est clairement continue et positive, et de plus y?(0 ) = 0 et ip{x) tend
vers 0 lorsque x tend vers +oo. On en déduit que (p est bornée sur R+,
donc il existe un nombre M > 0 tel que f{x) < M pour tout x G R.)..
On a donc
xe-'^^
nxe
p{nx)
VnGN*, Va:GR+,
n-\-x
n{n + x)
n{n-\-x) s i La série de terme général M/n^ étant convergente, on en conclut que la
série de fonctions proposée converge normalement sur R+, donc simple­
ment et uniformément.
Exercice 4.7 Étudier Iç^'nvergence simple, uniforme et normale de la
série de fonctions
^ arctan {x-\-n) — arctan nj
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
207
sur E, puis sur tout intervalle compact [a, 6] inclus dans
Solution
- Étude sur E.
Posons : fn{x) = arctan (x + n) — arctann. Pour n G N fixé, on a
TT
lim fn(x) = ~ 2 ~ arctann,
donc
ll/n
TT
TT
= sup \fn{x)\ > Ö + arctann >
xeK
^
^
La série numérique
ll/n||oo est donc divergente, et il n’y a donc pas de
convergence normale sur E.
Examinons à présent la convergence simple.
Soient X un réel fixé et n un entier suffisamment grand. Puisque pour
tout æ > 0 , on a : arctana; + arctana:“ ^ = tt/ 2 pour tout rc > 0 (il
suffit de dériver sur E!^ la fonction du premier membre), on a
arctann =
1
—— arctan —=
2
n
TT
7T
1
—— — + o
2
n
et
TT
1
TT
/1
— a rc ta n ------- = — — arctan - +
2
x +n
2
\n
7T
—
2
-------- 1- 0 ^
.
n
\ n^J
Donc
(*)
arctan (a;+ n) — arctann =
Or 1 /n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente, et
le théorème 2 .1 1 du chapitre 2 montre que la série numérique X)/n(a^)
converge. Ceci étant vrai pour chaque x fixé dans E, on en déduit que
la série de fonctions X) fn converge simplement sur E.
Étudions maintenant la convergence uniforme.
Chapitre 4.
208
Notons Rn le reste d’ordre n de la série
On a
+00
Rn{—n) =
^
Séries de fonctions
fn -
^arctan (—n + A;) — arctan A:^.
k=n+l
Tous les termes de cette somme étant négatifs, on en déduit que
+CX)
|-Rn(—^)I —
^
^ arctan A: — arctan (A; —n)j
k=n-\-l
> arctan (n + l) — arctan 1 .
Or,
,
/
/
1\
t\
lim ( arctan (n + l) - arctan 1
n^+oo \
'
/
= 7t 9.
t
4
=
t
4
> 0-
Donc la suite {Rn{—i^))n>o ne tend pas vers 0. D’après la proposition
1.12, la série X)/n ne converge pas uniformément sur E.
- Étude sur le segment [a, b].
Soit (a, b) € E^ tel que a < 6, et soient n G N et x G [a, 6].
La fonction
: X
arctan (x + n) — arctan n est continue sur le
compact [a, b], donc elle y est bornée et y atteint ses bornes. Comme de
plus elle est dérivable sur E (donc sur [a, 6]) et que l’on a
V x € | a , 6|.
= j r r (-i + „ ) 2 >
on en déduit que (fn est croissante sur [a, b], donc son minimum est
atteint pour x = a et son maximum pour x = b. D’où
(**)
\/xe[a,b], I arctan(x + n) - arctann| < |v?n(n)| + Wn{b)\.
Mais d’après (*), les séries numériques X)|<^n(n)| et Z)|v’n(^)| sont
convergentes. Le théorème de comparaison pour les séries à termes po­
sitifs permet d ’en déduire que la série numérique X) (iv^n(iï)l + Iv’n(^)l)
est convergente, et grâce à (**) on conclut que la série Y, f n converge
normalement sur [a, b].
Remarque : la série Y f n converge normalement sur toute partie com­
pacte AT de E car K est (fermée et) bornée donc est contenue dans un
segment de E.
§ 7. Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
209
Exercice 4 . 8 On considère la suite de fonctions ( / n ) n > o définie par
fn{x) = 3" sin^
1) Montrer que la série
fn converge simplement sur R.
2) A-t-on convergence uniforme sur tout segment [a, b] de R ?
3) a) Établir : fn{x) = gn(x) — gn-i(x) pour tous n G N* et x € R.
b) En déduire la somme S de la série Y^fn4) Soit Rji le reste d’ordre n de la série Y f n a) Calculer la limite de la suite numérique de terme général Rn{3’^)b) La série Y f n converge-t-elle uniformément sur R ?
Solution
1) Puisque Isina:| < |a:| pour tout a; G R, on en déduit que
Vx g R,
|/„( x)| < 3"
Fl
gn
(3»^)3
Pour X G R fixé, Y |a;p/9" est une série géométrique de raison 1/9, elle
est donc convergente. On en déduit que que la série de fonctions Y f n
converge absolument (donc simplement) sur R.
2 ) On a
Vx G [a, 6], |x| < M = m ax(|a|, |6|),
donc
V x G [a, 6],
\f n { x ) \
<
La convergence de la série géométrique IZ(l/9)” entraîne la convergence
normale, donc uniforme, de la série Y f n sur tout segment [a, b] de R.
3) a) Sachant que
■3
3 .
1 . „
sm X = - sm x — - smox.
on en déduit que
fn {x )
= -l3 sin
X
3"+i . i x \
4 ^^’^ 1 3 " )
— sm 3n
3”
4
.
X
= 9n{x) - gn-i(x),
Chapitre 4.
210
Séries de fonctions
ou
9n(x) = ^
™ (^)-
b) On a
n
Sn{x) =
=
n
îk{x) = Y \ 9k{x) - gk-i{x)) = gn{x)-gQ{x)
k=l
k=l
3”+^ . ( x \
3 .
—— sin —
3n - -4 sinx,
d’où
.
3x
sin(a;/3”)
3 .
Zx
3 .
Six) = — lim ------ 77- — - - sma; = — - - sinx.
^ ’
4 n-»+oo
X Z'^
4
4
4
Donc,
Vx € M,
Six) = - ( x —sinx).
4) Pour tout X G R, on a R n i x ) = -S'(x) —S n i x ) , donc
=
O
Qn+1
O
- ( 3 " - s i n 3 " ) ----- — sinl + - sin3”
3 n+l
(1 —sinl),
et comme sin 1 < 1 , on déduit que : lim BniZ^) — + 00 .
n^+oo
^ ^
b) Si la série X) f n convergeait uniformément sur R, la suite iün) conver­
gerait uniformément sur R vers zéro, ce qui n’est pas le cas d’après ce
qui précède. La série X) f n ne converge donc pas uniformément sur R.
Exercice 4.9 On considère la série des fonctions fn définies sur R par
1) Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de J 2 f n - On
note f la fonction somme.
2) Calculer : a) lim f ix),
b) lim f ix), c) lim x /( x ) .
Æ—>+00
X—>0+
a:—>0+
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
211
Solution
1 ) On a /n(0) = 1, donc la série
/n(0) diverge grossièrement.
Pour X € R* fixé, on a |/n(x)| = fn{x) < ^
et comme 1 /n^ est
le terme général d’une série de Riemann convergente, on en déduit, par
comparaison de séries à termes positifs, que la série numérique Z!/n(x)
est convergente. Ceci étant vrai pour tout réel non nul fixé x, on conclut
que la série de fonctions J2fn converge simplement sur E*.
Étudions maintenant la convergence uniforme.
Soit a > 0 . On a
Vx e ] - o o , - a [ U ] o , + o o [ ,
1
/„(x) < — — —
1
< ^
1
x —.
Comme 1/n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente,
la proposition 1.25 permet de conclure que la série J2fn converge nor­
malement (donc uniformément) sur ] —oo, —a[U]o, -I- oo[.
2 ) a) On a
V xe [a, -|-oo[,
0 < /„(x) < ^
X
X
Th
d’où
Vx G [a, -h oo[,
1
0 < /(x ) < - 2 E
1
Z2 •
n=l
Comme la série du second membre est convergente et que 1/x^ tend vers
zéro lorsque x tend vers 4-oo, on déduit du théorème des gendarmes que
lim f i x ) = 0 .
¡c->+oo ' '
b) Notons Sn la somme partielle d’ordre n de la série ]C/fcComme lim fk(x) — 1, alors lim 5'„(0) = -l-oo.
X—>0"^
n—»^+oo
Donc
VM>0, 3no€N,
S-noCO) > M.
D’autre part, pour tout x tel que |x| > a, on a /(x ) > Sno(x). Or Sno
est continue en 0 , donc
Ve > 0,
0 < x < t] ^
l'S'no(a;) - '5>io(0)l <
212
Chapitre 4.
Séries de fonctions
Par suite,
f{x) > Sno(x) > Sno(0) — s > M —e pour 0 < a < x < r).
Autrement dit,
lim f{x) = + 00 .
x-^0+
c) Pour tout t e [k,k + 1] où A: € N, on a
-------- --------- < ---- ----- < -----------,
1 + {k + i y x ^
1 +
1 + k"^ x^ ’
d ’où, pour a; > 0 ,
1 + {k + iyx"^ ~ Jk
1 + t^x'^ ^ ~ 1 + k^x^'
En additionnant membre à membre ces doubles inégalités pour k allant
de 0 à n, on a grâce à la formule de Chasles :
V
^
1
1 + (A: + 1 )^
<
~ Jo
^
1 + t‘^ x“
^
.
A
~ ^
11
1 + A;2
En faisant tendre n vers l’infini, on obtient
/*+oo
xf{x) <
^
Y + ¥ ^ dt < X + x /(x ).
Le changement de variable u = x i (x > 0 fixé) donne
r+°°
X
.
f+°° du
r
-lA
TT
/
t-----TT-;; dt = /
------ r = lim arctanu
= —.
Jo
1 + X^
Jo
1 +
i4->+oo L
J0
2
Pour tout X > 0, on a donc
f - a; < x / ( x ) <
Le théorème des gendarmes permet de conclure que
lim x / ( x ) =
x^o+
^
2
’
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
213
Exercice 4.10 1) Quel est le domaine de définition A de la fonction
+00
/ : 1 «
E (-l)"
n.O
" + 1
êj Montrer que f est continue sur A.
Solution
1 ) Pour tout n G N, notons fn la fonction définie sur R par
U x ) = ( - 1 )"
n+1
Pour a: < 0, la suite numérique {fn{x)) ne tend pas vers zéro lorsque
n tend vers l’infini, donc la série numérique X) fn{x) est grossièrement
divergente, et la fonction / ne peut être définie pour x strictement négatif.
Pour a: > 0, fn(x) est le terme général d’une série alternée et la suite
numérique (|/n( 2;)|)n>o converge vers zéro en décroissant. Le critère de
Leibniz (théorème 4.4 du chapitre 2) permet d’en déduire que la série
numérique J2fn{x) est convergente. On conclut que la fonction / est
définie sur A = [0 , + oo[.
2) Posons
+00
p-px
f i x ) = ¿ ( - 1 ) ^ — 7 = Sn(x) + Rn(x),
P= 0
P -r L
et R n désignent respectivement la n-ième somme partielle et le
reste d’ordre n de la série considérée.
Toujours d’après le théorème 4.4 du chapitre 2 , on a, pour tout a: G A,
OÙ S n
p -{n + l)x
|i?n(a;)| <
|/n + i( a ; ) | =
--------- T - <
n+2
1
n+2
Pour tout e > 0, on aura (en notant E(t) la partie entière de t) :
Vn G N, n > E { l / e )
^
\f{x) - Sn(x)\ = |iîn(a:)|
<
e, Vx G A,
ce qui exprime la convergence uniforme sur A de (¿"n) vers / , c’est-àdire la convergence uniforme sur A de la série X)/n- Comme, de plus.
214
Chapitre 4.
Séries de fonctions
chaque /„ est continue sur A, le théorème 3.1 permet de conclure que
la fonction somme / de la série X ) f n est continue sur A.
Exercice 4.11 1) Quel est le domaine de définition A de la fonction
+00
f
:
+ 1 ’
n=0
2) Montrer que f est de classe
sur A \ {0 }.
Solution
1) Pour tout n G N, notons fn la fonction définie sur R par
fn {x )
=
( - ly
+ 1’
Pour a; < 0, on a
lim
= + 00,
n -* + o o ri^ + 1
donc la série numérique X) f n ( x ) est grossièrement divergente, et la fonc­
tion / ne peut être définie en aucun point de ] —oo,0 [.
En revanche, on a
Vx G [0, + oo[,
(-1 )
+ 1
<
n2 + l ’
OÙ (n^ + 1 ) “ ^ est le terme général d’une série convergente. On en déduit
que la série numérique
f n { x ) converge pour tout x > 0. Donc / est
définie sur l’intervalle [0 , + oo[.
3) Nous allons montrer que / est de classe
sur tout intervalle [o, +oo[
avec a > 0 .
Chaque fonction /„ est de classe
sur [a, + oo[ et on a
Vx G [a, + oo[,
/ ' (x) = (-1)"+^
ne
n2 + 1 ’
Donc, pour tout n > 1 et tout x G [a, + oo[.
ne
\ m \
=
+1
<
ne~
+1
<
n
< e~
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
215
où e
est le terme général d’une série géométrique convergente car de
raison e““ e ] 0 , 1 [.
On en déduit que la série J2fn converge uniformément sur [a, + oo[.
Les théorèmes 3.1 et 4.1 permettent de conclure que la somme / de la
série J2fn est une fonction de classe
sur [a, + oo[. Cela étant vrai
pour tout a > 0 , la fonction / est donc de classe
sur ]0 , + oo[.
Exercice 4.12 Soit { f n ) n > i
suite de fonctions définie sur R par
/„ ( 0 ) = 0 et fn{x) = —■71j»
si
Montrer que X) f n ^st une série de fonctions continues convergeant
uniformément sur le segment [0 , 1 ].
2) En déduire que
1)
= g
Jo
(z lT !,
n™
Solution
1) Pour tout entier n > 1, la fonction /„ est manifestement continue sur
]0,1], et comme x Inx tend vers 0 lorsque x tend vers O'*', on en déduit
que fn se prolonge par continuité en 0 puisque /„ ( 0 ) = 0 .
Considérons la fonction (p définie sur [0 , 1 ] par
x h v x si a: 6 | 0 , 1 |
I 0
si a; = 0 .
Cette fonction est dérivable sur ]0,1] et on a
Va;G]0,1],
<p'{x) = 1 + lna;.
On en déduit que <p' s’annule en x = 1 /e, qu’elle est croissante sur
]0, 1 /e] et décroissante sur [1 /e, 1]. Comme de plus <p(0) = 0, alors
sup \(p{x)\ = </^(7 ) = 7 -
a:6[0,l]
V e/
e
On en déduit que
Va: e [0,1],
|/„(a:)l <
niI e
216
Chapitre 4.
Séries de fonctions
La règle
(corollaire 2.8 du chapitre 2 ) permet de voir aussitôt
que la série de terme général 1 / (n! e") est convergente, et la proposition
1.25 permet d ’en déduire que la série
converge normalement, donc
uniformément, sur [0 , 1 ].
2 ) Notons / la fonction somme de la série
fn- On a /(0) = 0 et, pour
tout X € ]0 , 1 ] :
fix) = 2
- 1 =
- 1 =
- 1.
n= l
Puisque la série 5D/n converge uniformément sur [0,1 ], on a alors
«1
(*)
+O 0
1
»1
/ {x^ — l ) d x = V ' —r / x” (lnx)” dx.
Jo
n. Jo
En intégrant par parties, on obtient
XTl+l
i \ ^ { \ n x y dx =
Jo
n1
n
n + 1 Jo
n+ 1
{\ïix)^-Ux,
d’où
£ x ^ {\n x )^ d x = -
j \ ^ + \ ln x ) ^ - U x .
Pour n > 1, on réitère l’intégration par parties, ce qui conduit à
I x” (In x)” dx = - ^
Jo
(n + 1)” Jo
dx.
On en déduit que
-
[\^i\nx)^dx =
n! 70
^ If
(n + l ) '‘+i
et, compte tenu de (*), il vient
[\^dx - 1 = E
Jo
r( n-~
+ l^) r”+i
c’est-à-dire
h
¿ î (n + l)»+i
^
n"
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
217
D’où la formule annoncée.
Exercice 4.13 On considère la série de fonctions Ylfn, avec
.. / V
/ s
lu x .
fn{0) = 0 et fn{x) = -------- SI a; > 0 .
Th
1) Montrer que cette série converge normalement sur [0 , 1 ], et en déduire
\
.1 /+00
/o
+00
1
“ “S
2) Calculer la somme de cette dernière série sachant que la somme de la
série de terme général 1/n^ est égale à 7t^/ 6 .
S) Démontrer que f Inx ln(l —æ)da;
Jo
converge et que
ri
/ Ina: ln(l —x) da; = 2 — —.
Jo
6
Solution
1) Soit n G N*, et considérons la fonction (p définie sur [0,1] par
x” Inx si
si
0
M x) =
x G]0 , 1 ]
X = 0.
Cette fonction est dérivable sur ]0 , 1 ] et on a
Vx G]0, 1],
<Pn(x) = x”“ ^ (l + nlnx).
On en déduit que (p^ s’annule en x =
qu’elle est croissante sur
]0 ,
et décroissante sur
1 ]. Comme de plus ^n(O) = 0 , on a
sup kn(a:)| = v?n(e
xe(o,i]
6 Th
On en déduit que
sup |/„(x)| <
a:e[0,l]
en^
218
Chapitre 4.
Séries de fonctions
Comme 1 /n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente,
la proposition 1.25 permet de conclure que la série J2fn converge nor­
malement (donc uniformément) sur [0,1]. Le théorème 5 .1 d’intégration
terme à terme s’applique donc et on a
W
t(^U x )d x)d x
■'O
\n = l
=
/
n = l-'0
^
La formule d’intégration par parties pour les intégrales généralisées conver­
gentes (voir [7] p. 155) donne immédiatement
1 a;” In a;
n
l
dx =
X,n+l a;
n{n+ l)
1
n (n—-1- 1 ) kt
x^d x
d’où
1 x” In a;
L>0
n
-1
n { n + 1)2
— dx =
ce qui est bien la formule désirée.
2) La décomposition en éléments simples :
-1
n ( n -1- 1)2
-1
1
1
-In+1
( n -1- 1 )2 ’
entraîne, pour AT > 1 fixé,
^
^
-1
n ( n + l )2
1
f
n
=
f
n+1
1
(n-H l y
JV+l 1
1
-14- 1 + E
N +Y
^
n=l
En faisant tendre N vers -l-oo, on obtient
+ 00
(* * *)
+00 1
-1
n ( n - h l )2 = - 2 + nE= l à
^2
= - 2 + X-
3) Sur ]0 , 1 [, la fonction / : X 1-^ In X ln(l —a;) est continue donc
intégrable sur tout segment inclus dans ]0 , 1 ].
De plus, on a lim f(x) = — lim a; Ina; = 0 et
jc-»0+
i-»0+
lim f{x) = - lim (1 - x) ln(l — x) = lim u Inu = 0 ,
x—^\-
x—*\~
W—>0+
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
219
ce qui permet de prolonger / par continuité en 0 et en 1 en posant
/(0) = 0 et / ( 1 ) = 0. On conclut que
f
JO
/0
Ina; ln(l —x) dx converge.
Or, pour tout X €]0,1[, on a
+2?
n=l
+00
Inx
= Inx ^ — = — Inx ln(l —x),
n
n
et, compte tenu de (*), (=(=♦) et (***), on conclut que
/•l
7T^
/ Inx ln(l —x)dx — —2 +
Jo
6
lu X
— - dx est convergente.
Exercice 4.14 1) Montrer que l ’intégrale J
2) Montrer que
/•1 x 2 Inx
_
Jo
1
(2 n + l) 2 -
3) En déduire la valeur de l’intégrale sachant que la somme de la série
de terme général \/r? est égale à 7t^/ 6 .
Solution
In. X
— r est continue, donc intégrable
X J.
sur tout segment inclus dans ]0,1[. De plus,
1) Sur ]0 , 1 [, la fonction f :
lim
x^ Inx
^
— - = 0 et
i-» 0 + X^ — 1
x^ Inx
hm ^ — - = lim
X^ — 1
1
l n ( l+ î/ )
1
--------- ^ ^
= -,
y-*0 2 + y
y
2
ce qui montre que la fonction / se prolonge par continuité en 0 et en 1
en posant / ( 0 ) = 0 et / ( 1 ) = 1 / 2 .
L’intégrale proposée est donc convergente.
2 ) Posons
Vn € N*, Vx g ]0, 1],
/„(x) = x^" Inx et /„(0) = 0.
220
Chapitre 4.
Séries de fonctions
- Si a; = 1 , alors /n (l) = 0 pour tout n > 1 .
- Si a; € ] 0 , 1 [, alors
+00
+ 00
Y,
^7•+I l1
n =_ N
fn{x)
In x
=
2N+2
Ina;.
^^'" = 7 3
Y
t 1
n = AT
N +
l
Puisque / est bornée sur le compact [0,1], disons par M > 0, alors
pi
/•!
M
ri +00
L ( x ) d x < M /I xx^^
—7
ViVGN, 0 < /
x : fn(x)dx
^^ddx
x =
= ——
.
/0
2 iV +
+ 1
Jo
-^0
2N
D’après le théorème des gendarmes, on a donc
^+00
X])
r»1i
im
lim
TV--► +00
/
JQ
= 0.
fn {x )d x
Or, pour tout AT 6 N*,
rril
N
^
.1 + 0 0
n=l
•'° n = l
/ Y fni^) dx =
donc
»1
Y fn{x) dx -
-Hoo
Y fni^)
-^0 n = J V + l
-1 +(X)
rl
/ Y f n i ^ ) ^ ^ = Jo
/ Yfn(x)<^^
Nlim
^+00 Jo
Par ailleurs.
+00
V :r€ |0 ,l|,
Y , U
x )
=
Ç
n=l
^
^
,
^
et, pour tout N e N fixé :
rl
^
^
rl
n=l
n = l ‘'®
f Y f r i { x ) d x = Y i fn{x)dx = Y i x'^^lnxdx
‘'0
n = l-'0
n1
TV f 3,271+1
=
=
E
^n = l L2n + 1
N
1
-
E
Inai
rl
Jo
(2 n + l ) 2 ‘
En faisant tendre N vers l’infini, on conclut que
rl xMnx
Jo x ^ - 1
_
1
E
( 2n +
7.2”
/ ^ ---- dx
do 2 n + l
l ) 2-
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
221
3) D’après l’exercice 2.20 du chapitre 2, on a
+00
v i-
= —
6 ’
n=l
donc
+00
E
i
- iA v
(2n)2
4
—
n
n22
TT"
iA
4
0
0/1
Comme
+00
J
n^= l
ri
+ 00
+ 00
s
s
(2 n + l) 2 ’
on a donc
+ 00
s
D’où
1
7T^
(2 n + 1)2 - 6
7T^
24
7T^
"s’
i“!
InX
Inx ,
n“
/ —— T ax = — - 1 .
Jo
—1
8
Exercice 4.15 On considère la fonction f donnée sur K+ par
+00 / 1 \n
m
= E
n=l
^ ^
X + n
Montrer que f est bien définie et de classe C°° sur M4..
Solution
( - 1 )"
x +n
Pour chaque n > 1, la fonction /„ est clairement de classe C°° sur ir.+
comme quotient de fonctions C°° sur R+. Par récurrence immédiate sur
l’entier k, on obtient
Pour tous n € N* et x G R+, notons : f n ( x ) =
Wk € N. Va: e R+,
f f \ x ) = ( - 1 )»
Fixons k e N et x G R+. La série numérique
la suite (|/,l*^(a:)|)n>o est décroissante et on a
alternée, et
= 0. Le
Chapitre 4.
222
Séries de fonctions
critère de Leibniz permet de conclure que la série numérique
est convergente. Ceci étant vrai pour tout x € K+, on conclut que la
série de fonctions
est simplement convergente sur R+.
De plus, pour tout n G N et tout a; € M+, on a
|i?n(a:)| < \f!Hi{x)\ =
^ (n+l)fe+i n ^oo °-
On en déduit que la série
converge uniformément sur R+. Le
corollaire 3.2 et la proposition 4.4 permettent de conclure que la fonction
/ est de classe
sur R+. Ceci étant vrai pour tout A; € N, on en déduit
que / est de classe C°° sur R+.
Exercice 4.16 Montrer que la série J2fn où
xe
(n > 2 )
Inn
converge uniformément mais pas normalement sur
fn
X
Solution
Sur R+, la fonction ip : x
x e " ”® est manifestement dérivable, et on a
(f/{x) — ( l —nx) e“”®. Donc (p est croissante sur [0,1/n] et décroissante
sur [l/n, + oo[. Comme (/)(0) = 0 et que ip{x) tend vers 0 lorsque x
tend vers +oo, on en déduit que
||/n||oo = sup \fn{x)\ = % [ ! ' ) =
a:eM4.
n \n/
^
en Inn
Or,
est le terme général d’une série de Bertrand divergente, donc
la série J2fn ne converge pas normalement sur [0 , + oo[.
Montrons maintenant que
fn converge uniformément sur [0, + oo[.
Pour tout X G R+, on a
+00 g—
fcx
0 < Rn(x) = a: ^
A;=n+1 InA;
Or, k > n entraîne InA: > Inn. Donc Rn{0) = 0, et pour tout x G 1%
on a
+00 g—
/¡JÎC
xe
<
0 < Rn{x) < X ^
In n 1 —
2 In n shx
2 In n ’
fc=n+l Inn
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
223
car shx > X pour tout a: > 0. Le théorème des gendarmes permet de
conclure que la suite {Rn) converge uniformément sur [0 , + oo[ vers la
fonction nulle. D’où le résultat désiré.
Exercice 4.17 Montrer que la série des fonctions
fn : [0,1]
R,
------------(n > 1)
n
converge uniformément sur [0 , 1 ], mais ne converge ni normalement ni
absolument sur ce segment.
Solution
- Si a: G [0 , 1 ], la suite (x'^/n) tend vers 0 en décroissant, et le critère
de Leibniz (théorème 4.4 du chapitre 2) permet d’en déduire que la série
alternée J2fn{x) converge. La série de fonctions J2fn converge donc
simplement sur [0 , 1 ].
- Montrons que Y^fn ne converge pas normalement sur [0,1].
Notons {Rn)n>i la suite des restes. Puisque Y fn{^) vérifie le critère de
Leibniz, on a pour tout x G [0,1] et tout entier n > 1 :
+00
KW I =
¿
îk{x)
<
fc=n+l
l/n + i(a :)|
=
1
X,n+l
1
<
< n+ 1
n+ 1
n
où 1/n ne dépend pas de x et tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. On
en déduit que la suite de fonctions (Rn) converge uniformément vers la
fonction nulle sur le segment [0,1]. De plus, pour tout entier n > 1 , /„
est bornée sur [0 , 1 ] et ||/ n ||o o = | / n ( l ) | =
où 1 /n est le terme gé­
néral d’une série divergente. Donc la série de fonctions Y fn ne converge
pas normalement sur le segment [0 , 1 ].
- Montrons que Y f n ne converge pas absolument sur [0,1 ].
S’il y avait convergence absolue sur [0 , 1 ], la série Y\fn{^)\ serait conver­
gente pour tout X fixé dans [0,1]. Or, pour tout entier n > 1, on a
| / n ( l ) | = 1 /?^) terme général d’une série divergente.
Exercice 4.18 Pour chaque n G N*, on définit la fonction fn sur
par
fn(x) =
arctannx.
224
Chapitre 4.
Séries de fonctions
1) Montrer que la série
fn converge uniformément sur R.
2) Montrer que la fonction somme S est impaire et continue sur
3) Montrer que S est de classe
sur R*.
4) Étudier la dérivabilité de S en 0.
5) Déterminer lim S(x).
'
x-*+ca
' '
Solution
TT
TT
1 ) Pour tout a; G R, on a : —— < arctanx < —, donc
Vn e N*, Vx € R,
|/„(x)|
Zi 71/
Comme la série de terme général 1 /n^ est convergente, on en déduit que
la série X) fn converge normalement sur R, donc uniformément.
2 ) Pour chaque n € N*, la fonction fn est continue sur R . L’uniforme
convergence sur R de la série
fn entraîne la continuité sur R de la
fonction somme S d’après le théorème 3.1.
D’autre part, comme chaque fn est une fonction impaire, on a aussi
Én(—x) = —Sn{x) pour tout a; G R, et en faisant tendre n vers +oo, on
obtient
Va; G R, S { - x ) = - S { x )
ce qui prouve que S est une fonction impaire.
3) Pour chaque n G N*, la fonction / „ est dérivable sur R et on a
1
Va; G R, /;(a;)
n
x
n { l + n^x^Y
Soit a un nombre réel strictement positif. On a
Vx G [a, +oo[,
|/„(x)| <
1
Comme 1/n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente,
on en déduit que la série de fonctions Yj fn converge normalement sur
[a, +oo[. D’autre part, Y fn converge au moins en un point de [a, +oo[.
Le théorème 4.2 assure que S est dérivable sur [a, + oo[ et que
v i €R,
s '(x)
= E /» '
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
225
De plus, les fonctions
sont continues sur [a, + oo[ et la convergence
de Y!,fn étant uniforme sur [a, + oo[, il résulte du théorème 3.1 que S'
est continue sur cet intervalle. En résumé, S est de classe
sur tout
intervalle [a, + oo[ avec a > 0. Donc S est de classe
sur E+. La
fonction S étant impaire, on conclut que S est de classe
sur E*.
4) Soit A un réel positif. La série de terme général 1 /n étant divergente,
N 1
il existe un entier N tel que
r > 2A. Or,
k=l
N
1
N
lim ÿ ; -rj----- = è
^ -0 ¿
k ( l + k^x^)
-t
7,
k
donc, il existe ri > 0 tel que
N
—r ¡ < X < r )
1
k { l + k^x^) -
E
^ 1
2 ^ ^ k'
1
On a donc
N
—r ] < x < r ]
f l k { l + k^x^)
Comme
N
+ 00
V . . M, E / : w
> A.
1
> g
il résulte que
+00
-rj <
X <
T)
^
E ) /n (^ )
^
n=l
Donc *-»0
lim S'(x)
V / = + 00 ), et la fonction somme S n’est pas dérivable à
l’origine.
5) Pour tout X G E^ et tout n 6 N*, on a par croissance de la fonction
arctangente arctan rc < arctan nx < 7t/ 2 . D’où
+00
a rc ta n x
E
n=l
1
^
<77- "TOO 1
^
<
ô
E
2 nTli
=i
Le théorème des gendarmes permet de conclure que
+00
lim S{x) = ^ E
X—>+oo
n=l
à
7T^
= Tïï
12
Chapitre 4.
226
Séries de fonctions
puisque la somme de la série de terme général \jr ? est égale à 7t^/6
(voir exercice 2.20 du chapitre 2 ).
Exercice 4.19 1) Montrer que la série des fonctions fn données par
fn{z) =
(1 - z^) (1 - z^+^)
(n > 1 , 2: € C)
converge normalement sur toute partie compacte située à l ’intérieur ou à
l ’extérieur du disque D = {z e C ; N < i } .
2) On note f la somme de cette série.
U
a) Décomposer en élément simples y-------^ --------- où a ^ 1 , puis dé(1 - tx) (1 - au)
composer fn{z).
b) Pour tout Z e C tel que |2;| > 1, montrer que la série ^
^— est
z"^
1
absolument convergente et calculer f{z).
c) Pour tout Z e D, montrer que f { l / z ) = z f { z ) et en déduire la
somme f{z).
Solution
1 ) Soit r g ]0, 1[. Pour tout Z tel que \z\ < r, on a
<
(1 - Z”) (1 - z”+i)
(1 —r^) (1 —^n+1 ^
La convergence de la série géométrique
(0 < r < 1 ) entraîne la
convergence normale de la série de fonctions E /n sur tout compact
inclus dans D.
Soit iî 6]1, + oo[. Pour tout Z tel que \z\ > R, on a.
Z~n-1
(1 - Z”) (1 - Z"+l)
(2:-” - 1 )
<
<
- 1)
(1 - R-'^) (1 _ R -n -l)
R’^
- 1)(R^+^ - 1) n-^ + 0 0
1
§ 7.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 4
227
La convergence de la série géométrique de raison R~^ ^]0> 1[ entraîne
la convergence normale de la série X) f n sur tout compact extérieur au
disque D.
2 ) a) Si a 7^ 1 , on obtient facilement
1
\ —a u j
U
(1 —u) (1 —au)
Pour u =
1 —a \ l —U
et a — Z , on en déduit que
z^
_
1
(1 - z ^ ) (1 - 2:^+1) “ l -
1
Z
1
\1 - z'^ ~ 1 -
b) Pour tout ^ vérifiant l^j > 1, on a
1 - 2:"
n-»+oo
\z \
et comme la série X) k | " converge (car \z\ ^ < 1 ), il en résulte que la
série de fonctions
(1 —z‘^)~^ converge absolument. De plus,
+00
(1
+00
E
=
rr? «
donc
V2: G C tel que \z\ > 1 , f{z) =
= TT-
1
(1 - ^ ) 2 -
c) Si \z\ < 1 , alors \z~^\ > 1 , et on est ramené au cas b). Donc
( 1\
z)
+QQ
Z~^
y71+1
{1 - z-^) (1 - z-^-'^)
( z ^ - 1 ) (2:"+^ —1 ) '
D’où
/(;)
= zf{z),
et finalement
i
(1 -zf
Chapitre 5
Séries entières réelles ou
complexes
Nous allons appliquer les résultats du chapitre 4 à des séries d’un type
particulier possédant des propriétés de convergence remarquables. Ces
séries sont parfaitement adaptées à la représentation des fonctions de
variable réelle ou complexe, de classe C°°, et jouent un rôle considérable
dans de nombreuses branches des mathématiques comme la combinatoire
ou la théorie des nombres, et sont au cœur de la théorie des fonctions
analytiques réelles ou complexes.
1 Rayon de convergence
1 . 1 . D éfinition On appelle série en tière com plexe de variable com­
plexe toute série de fonctions X) f n dans laquelle /„ est une fonction
de C dans C de la forme z
an
où {an) est une suite donnée de
nombres complexes. Une telle série est notée X) o-n
et (a^) est appelée
la suite des coefficients de la série entière.
De manière similaire :
• on appelle série en tière com plexe de variable réelle toute série
de fonctions YL f n dans laquelle /„ est une fonction de R dans C de la
forme X f-f o„ rc” où (a„) est une suite donnée de nombres complexes.
Une telle série est notée
• on appelle série entière réelle de variable réelle toute série X) f n
dans laquelle fn est une fonction de R dans R de la forme x
an x'^
229
230
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
où (a„) est une suite donnée de nombres réels. Une telle série est notée
E o,nic”.
1 .2 . D éfinition On appelle som m e de la série en tière E^^n^” l’ap­
plication S définie en tout point où cela a un sens par
+00
S{z) =
n=0
1.3. Lem m e (A bel) Soit Zq G C. Supposons que la suite (un-^o) soit
bornée. Alors, pour tout nombre complexe z tel que 0 < |^:| < \z q \, la
série E ^ n ^ ” converge absolument.
D ém onstration : On peut supposer 2:0 7^ 0 (car si zq = 0, il n’y a
rien à démontrer). Posons
M = sup |an^o|.
nGN
Si 0 < 1^1 < \z q \, on a
\anz‘^\ = |a „ 2o| X
< M ç " où 0 < 9 =
< 1.
Puisque q g ]0, 1[, E ? ” est une série géométrique convergente. La règle
de comparaison permet d’en déduire que la série E
converge,
c’est-à-dire que la série E «n
converge absolument.
□
1.4. T héorèm e II existe un nombre R et un seul tel que
1) si \z\ < R, la série Ean-s:” converge absolument,
2) si \z\> R, la série Y^ünZ'^ diverge.
D ém onstration :
Soit E l’ensemble des nombres réels r > 0 tels
que la suite (|a „ |r”) soit bornée. L’ensemble E n’est pas vide puisqu’il
contient au moins 0. Si E n’est pas majoré, nous posons R = -|-oo. Si E
est majoré, nous posons R = sup E c’est-à-dire le plus petit des majo­
rants de l’ensemble E (l’existence de sup E est garantie par l’axiome de
la borne supérieure).
1) Supposons kl < R. Alors il existe ro € E tel que k | < ro < i?. La
suite (knko )
bornée. Si, dans le lemme d’Abel, on prend zq — ro,
§ 1.
Rayon de convergence
231
on voit que la série ^
z'^ converge absolument.
2) Suposons \z\ > R. Alors \z\ n’est pas dans l’ensemble E. Donc la suite
(ttn z'^) n ’est pas bornée. On en déduit que la série numérique
o-n
diverge car son terme général ne tend pas vers 0 .
Prouvons l’unicité de R. S’il existait R et R' tels que 0 < R < i?' < +oo
satisfaisant tous deux aux propriétés 1 ) et 2 ), alors pour un nombre r
choisi tel que R < r < R', la série X)
devrait à la fois converger et
diverger, ce qui est absurde.
□
1.5. Remarque On peut avoir R = 0 ou R = +oo. Si R = +oo, X) o,n z ^
converge pour tout z G C et la somme de cette série entière définit une
fonction de C dans C dite fonction entière.
1.6. Définitions L’élément R de
= R+ U {+oo} défini ci-dessus
par
R = sup{rGM+, la suite (unr”) est bornée}
s’appelle le rayon de convergence de la série entière Y, o-n
Le disque
ouvert {2: G C ; N < R } est le disque de convergence de la série, il
est vide si R = 0, il coïncide avec C tout entier si R = H-oo. En variable
Z = X réelle, l’ensemble {x G IR ; —R < x < R} est l’intervalle de
convergence de la série entière
1.7. Remarques L’ensemble {2 G C , \z\ = R } est appelé le cercle
d’incertitude. Si R est fini, on ne peut prévoir le comportement de la
série sur ce cercle. En effet, ce comportement peut être varié comme le
montrent les exemples suivants :
• La série Y z^, dont le rayon de convergence est égal à 1 , diverge en
tout point tel que \z\ = 1 .
• La série Y
dont le rayon de convergence est égal à 1 , converge
en tout point tel que \z\ = 1 .
• La série Y { z ^ l n ) , dont le rayon de convergence est égal à 1, diverge
au point Z = 1, mais converge en tout autre point tel que j^l = 1. En
effet, si 0 ^ 27tZ, alors la somme
|l-he*^ -I-,
+, e
<^
1
|sin(^/ 2 )|
est bornée indépendamment de n et on conclut par le théorème 4.8 du
chapitre 2 .
232
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
1.8. M éthodes p ratiq u es p o u r calculer R
Dans ce paragraphe, nous poserons
-^ = 0 si i? = + 0 0 , et i = + 0 0 si
H
R
= 0.
Si la série
<2n
est telle que
7^ 0 à partir d’un certain rang, alors
on a le résultat suivant qui découle de la règle de D’Alembert pour les
séries numériques.
1.9. P ro p o sitio n (Règle de D ’A lem bert) Soit
une série
entière, et notons R son rayon de convergence. Si la suite de terme
général
converge vers L € R-i-, alors R = 1/L.
1 . 1 0 . E xem ple Pour la série entière ^ z "/n !, on a
lim
n—^+oo
^n+1
dqn
=
n!
lim
n-++oo ( n + 1 )!
=
lim
1
n-»+c» n + 1
= 0.
Le rayon de convergence est donc égal à + 00 .
I<^n+l I n’a pas de limite
I (Lfi I
dans R+, la règle de D’Alembert est inapplicable. C’est par exemple le
cas de la série entière 5D(2 + (—1 )”) 2 ”.
La règle de D’Alembert est également inapplicable pour les séries du type
1 . 1 1 . R em arq u e Si la suite de terme général
. . .
Dans ces cas on peut par exemple effectuer un changement de variable
du type Z =
ou procéder comme dans l’exemple suivant.
1 . 1 2 . E xem ple Calculons le rayon de convergence de ^
2^1 ^2n+l
n+1
2n + l
Soit zq g C*, et posons ; Un =
On a
'^n+l
dn.
2 n+i |^opn+3
n+2
2” |2o|
n+1
X
n+ 1
2^ |zo|2"+l
2 |^^o|^(n + 1 )
n+ 2
§ 1.
Rayon de convergence
233
Il en résulte
lim
n—>+oo
'^n+1
ILri
= 2 l^op
On en déduit que, si \z q \ < 1/ 1/ 2 , la série à termes positifs
converge
et si l^ol > l/\/2 , la série
diverge. Par définition-même, le rayon
de convergence de la série entière proposée est égal à 1 / \ / 2 .
En fait, on a le résultat suivant qui découle de la règle de Cauchy pour
les séries numériques et qui permet de résoudre les difficultés soulevées
par la remarque précédente.
1.13. T héorèm e (Form ule de H adam ard^) Le rayon de convergence
R d ’une série entière ’^ O nZ ”^ est donné par
R = Y
L/
^vec L = limsup |a„|«.
n —>+00
D ém onstration : Fixons 2; G C, et appliquons le théorème 3.3 du
chapitre 2 à la série numérique X) o,n
L’égalité |a„
\z\
montre que la série converge absolument pour limsup
< 1 et din—^+oo
verge pour limsup
> 1 . Par conséquent, la série converge absolun —>+00
ment si \z\ < 1 /L, et diverge si \z\ > l /L . Donc R = 1/L.
□
1.14. E xem ple Calculons le rayon de convergence de ^ 2 ^ 2:^".
On a
i
I 22 si n est pair
0
si n est impair.
On en déduit que limsup |on|« = \/2, donc R — l/-\/2.
n-^+OO
1.15. C orollaire (Règle de C auchy) Soit
anZ^ une série entière.
Si la suite de terme général \an\^ converge vers L G M+, alors R = 1/L.
^HADAMARD Jacques (1865-1963). Mathématicien français. Célèbre pour ses tra­
vaux en théorie des nombres et en cryptologie. Il contribua de façon décisive dans
plusieurs domaines parmi lesquels celui des fonctions analytiques et leurs applications
à l’arithmétique, les équations différentielles, les équations aux dérivées partielles et
leurs applications en physique mathématique.
Chapitre 5.
234
Séries entières réelles ou complexes
1.16. E xem ple Pour la série entière E
lim
y
n —* + 0 O
I a„ " =
rlim
n —t + o o
2П ^
—— = y lim ——
2
П -+ + 0 0
2
1
2'
On en déduit que le rayon de convergence recherché est égal à 2 .
1.17. Comparaison de rayons de convergence
Dans ce paragraphe, Е)а„;г” et Y^bnZ^ sont deux séries entières de
rayons de convergence respectifs Ra et Rb. Les deux résultats qui suivent
découlent immédiatement de la formule de Hadamard. Nous en donnons
néanmoins une preuve à partir de la définition du rayon de convergence.
1.18. Proposition Si pour tout n 6 N , on a | a „ | < | 6 „ | , alors R a > R b D ém o n stra tio n : Découle de la définition du rayon de convergence.
En effet, soit r € M+ tel que la suite {Ьпг'^) soit bornée. Puisque
\0'nf^\ <
la suite (a„ r”) est également bornée. On a donc bien
l’inégalité : Ra > Rb□
1.19. Exemple Pour tout n G N, on a
< e. Les séries
Y,
et Y
étant de rayon de convergence égal à 1 , la série
Y
est elle aussi de rayon de convergence égal à 1 .
1.20. Proposition Si ün = 0 (bn), alors Ra > RbD ém onstration : Par définition, il existe M G KÜj. et un rang N à
partir duquel on a |an| < M |6„|. La série Y MbnZ'^ ayant pour rayon
de convergence Rb, la proposition précédente permet de conclure que l’on
a bien Ra > Rb□
1.21. Proposition Si ün n—
~>+oo bn, alors Ra = RbD ém onstration :
Si
~ bn, alors o„ = 0(6„) et
= 0(an),
donc d’après la proposition précédente, on a R a> Rb et Rb > Ra- D’où
l’égalité annoncée.
□
1 .2 2 . C orollaire Soit Y a n ^ ^ une série entière telle qu’il existe une
fraction rationnelle non nulle F avec, pour tout n € N, a„ = F(n).
Alors le rayon de convergence de Y an z"' est égal à 1.
§ 2.
Opérations sur les séries entières
235
D ém onstration : Il existe deux polynômes P, Q non nuis tels que
F = P/Q. En notant X X ° (resp. ¡xX^) le terme de plus haut degré de
P (resp. Q), on a A/i ^ 0 et
\CLr\
Comme
n a-p
n—>+oo
(n + 1) a —P
l\o t-P
=
1+
rva —P
i)
le rayon de convergence de la série entière
V
n—>+oo 1,
-
est égal à 1 d’après la règle de D’Alembert. Donc celui de
lui aussi égal à 1 d ’après la proposition précédente.
2
est
□
Opérations sur les séries entières
2 . 1 . S tru c tu re algébrique
2 . 2 . D éfinitions Si
On
et
K
sont deux séries entières, on
appelle
• série som m e, la série entière
(«n + 6n) z^^
• série p ro d u it (appelé aussi p ro d u it de C auchy), la série entière
Yj CnZ^ définie par
Vn G N ,
Cfi — ^ ^ Ufc ^n—k-
( 6 . 1)
k=0
• série produit par A G C, la série entière Y (A fln) 2:” ou A X)
z'^.
Muni de ces trois lois, l’ensemble des séries entières a une structure de
C-algèbre commutative.
2.3. T héorèm e Soient Y
z^ et Y t>nz^ deux séries entières de
rayons de convergence respectifs Ra et Ri,. Alors
236
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
1) le rayon de convergence R de la série somme vérifie R > min (Ra, Rb),
avec égalité si Ra ^ Rb- De plus, si \z\ < min (Ra, Rb), on a
+00
+00
+00
Y2 an z'^ + Y^bnZ'^ = 53 («n + bn) z'^,
n= 0
n=0
n= 0
2) en multipliant
On z^ par X ^ 0, on ne change pas le rayon de
convergence. De plus, si \z\ < Ra, on a
+00
A 53
+00
= 53 (Aan)^;”,
n=0
n=0
3) le rayon de convergence R de la série produit vérifie R > min (Ra, Rb).
De plus, si \z\ < min (Ra, Rb), on a
/ +00
\ / +00
>
Vn=0
/ \n =0
>
+00
= ¿
CnZ^
n=0
où Cn est donné par la formule (5.1).
D ém onstration :
1 ) Si \z\ < Ra et \z\ < Rb, les deux séries en­
tières convergent absolument. La série entière somme converge également
puisque l’inégalité triangulaire donne
\(an + bn)z"4 <
+ \bnZ^\.
On a donc R > min (Ra, Rb). Si Ra ф Rb, par exemple si Ra < Rb, on
a pour tout Z tel que Ra < N < Rb, convergence de la série X) bn z^
et divergence de YL OnZ'^. Il ne peut y avoir convergence donc a for­
tiori convergence absolue, de la série somme. On a bien dans ce cas
R = min (Ra, Rb). La formule finale découle de celle donnant la somme
de deux séries convergentes.
2 ) La preuve est évidente (notons que si l’on multiplie par 0, on obtient
la série entière nulle, de rayon de convergence égal à -f oo).
3) Pour |г| < ilo et |.г| < Ль, les deux séries entières convergent absolu­
ment. Leur série produit converge également d’après le théorème 5.3 du
chapitre 2 . On a donc R > min (Ra, Rb). La formule donnant le produit
de deux séries entières provient du même théorème 5 .3 .
□
§ 2.
Opérations sur les séries entières
237
2.4. R em arque Pour le rayon de convergence R de la série somme et de
la série produit, on peut avoir R > max (i?a, Rb)- Par exemple, les séries
et
sont de rayon de convergence 1 , mais la série somme est
la série nulle donc de rayon de convergence égal à +oo.
De même, considérons les séries Y «n
et Y K
définies par
2
si n = 0
2 ” si n > 1
i —1 sisi nn => 01
et bn
=
'n
” = \ 1
Pour n > 1, on a
= 2 et
= 1 , donc -Ra = ^ et Rb = 1 .
La série produit Y ^n Z ^ est définie par
n —1
n —1
Cn = ao6„ + Y ^ a k h n -k = 2 + £ 2^^ - 2" = 2 + 2(2”- ' - 1) - 2”,
fc=i
fc=i
donc Cn = 0 pour tout n > 0. La série produit est donc la série nulle, et
son rayon de convergence est alors égal à +oo.
2.5. Série entière dérivée
2 . 6 . D éfinition On appelle série en tière dérivée d’une série entière
Y «n z'^ la série entière Z) (^ + 1 ) On+i -2”.
2.7. P ro p o sitio n La série entière dérivée d ’une série entière a le même
rayon de convergence que celle-ci.
D ém onstration :
Notons R et R' les rayons de convergence des
séries entières Y o-n z^ et Z
+ 1 ) a„+i 2 ” respectivement.
Si \z\ > R, la suite (un z”) n’est pas bornée donc a fortiori la suite
((n + 1) a„+i z^) n’est pas bornée, d’où \z\ > R'. Donc R > R!.
Si \z\> R', choisissons un nombre p tel que |2;| > p > iî'. La suite
¡a n z '^ l
=
n |a „ |p ”
^ X
P /\^ y
n \ PJ
est le produit de deux suites à termes positifs dont l’une n’est pas bornée
(car P > R') et l’autre tend vers + 0 0 (car \z\ > p). La suite (|a„.2:’^|)
n’est donc pas bornée, d’où \z\ > R. Donc R' > R.
□
Chapitre 5.
238
Séries entières réelles ou complexes
2 . 8 . R em arques 1 ) En appliquant le résultat précédent à une série
en tière prim itive c’est-à-dire
voit que
^
à la place de
on
n+1
a même rayon de convergence que ^ ü n z ”'.
2 ) Soient
une série entière et F une fraction rationnelle autre
que la fraction nulle. Il est clair que la démonstration de la proposition
précédente peut être adaptée pour montrer que X) F{n) an
a le même
rayon de convergence que Y^OnZ'^.
3
Convergence uniforme et séries entières
3.1. T héorèm e Une série entière Y,
converge normalement sur
toute partie compacte incluse dans le disque de convergence.
D ém onstration : Soit K un compact inclus dans le disque de conver­
gence Z)(0, R) de Yj Un z^. Puisque la fonction
: z\-^\z\ est continue
sur le compact K , elle y est bornée et y atteint sa borne supérieure. Il
existe donc r € [0 , i?[ tel que
K C D{Q,r) C D{0,R)
où £>(0 , r) désigne le disque fermé de centre 0 et de rayon r.
Puisque 0 < r < iî, la série numérique Y |un|r” converge. Comme de
plus
Vn € N, sup |an 2:” | < |a n |r”,
z& K
il en résulte que la série Y
-2” converge normalement sur K.
□
3 . 2 . R em arques 1) En général, il n’y a pas convergence uniforme sur le
disque de convergence. Par exemple, la série entière Y z ^ ^ pour rayon de
convergence 1 et ne converge pas uniformément sur le disque de conver­
gence puisque la suite {z^) ne converge pas uniformément vers la fonction
nulle sur ce disque.
2 ) Si R ^ -|-oo, les séries entières qui convergent uniformément sur le
disque de convergence D sont celles qui convergent uniformément sur le
disque fermé D. En effet, la convergence uniforme sur D se traduit par
le critère de Cauchy uniforme sous la forme
Ve > 0,
G N, Vn > N , y p > N, ^ z G D,
^ ^ ^n+k^
k=0
n-hk
<
S.
§ 4.
Propriétés de la fonction somme
239
Pour n et P fixés, la fonction z
|a„ H---- + a„+p
est continue,
l’inégalité ci-dessus serait également vraie sur le disque fermé D.
On en déduit que s’il existe un point du cercle {z E C ; \z\ = R}
en lequel la série diverge, alors la série entière
o-n
n® converge pas
uniformément sur D.
4
Propriétés de la fonction somme
4.1. C ontinuité de la fonction som m e
4.2. T héorèm e Soient an z^ une série entière, R son rayon de conver­
gence, et S sa somme. Alors la fonction S est continue sur le disque
ouvert D{0,R).
D ém onstration : La série de fonctions X) o-n
converge uniformé­
ment sur toute partie compacte incluse dans le disque de convergence
D{0,R), et toutes les fonctions 2 1-^
sont continues sur D{0,R).
On conclut par le théorème 3.1 du chapitre 4.
□
4.3. Exem ple La règle de D’Alembert permet de voir facilement que
la série X) (z'^/nl) est de rayon de convergence égal à -t-00 . Sa fonction
somme
{z'^/n\) est donc continue sur C tout entier.
4.4. C orollaire Pour tout entier p > 0 , la fonction somme S de la série
entière X)
admet un développement limité à l ’ordre p au voisinage
de l ’origine dont la partie régulière est donnée par aQ+a\ z
Op z^.
D ém onstration :
Si kl < R, on a
+00
S{z) = ao
ai Z
ap z^
^
anz’^ ^ ^
n=p+l
+00
Or ^
n=p+l
+ 00
^ On+p+i^;’^ est une série entière de rayon de
n=0
convergence R, dont la fonction somme est continue à l’origine et tend
vers Up+i lorsque 2: tend vers zéro. On en déduit que
+00
E
= 0{zP+^).
n=p+l
D’où le résultat annoncé.
□
Chapitre 5.
240
Séries entières réelles ou complexes
4.5. In tég ra tio n de la fonction som m e
4.6. T héorèm e Soit
Om.
une série entière complexe de variable
réelle, de rayon de convergence R > 0. Si [a, b] est un segment inclus
dans l ’intervalle de convergence ] —R,R[, alors
fb
+ °°
pb
/ S{x) dx = ^ a„ / x” dx.
Ja
Ja
D ém onstration : La série de fonctions X) x'"' converge uniformé­
ment sur [a, 6]. On conclut par le théorème 5 .1 du chapitre 4.
□
4.7. C orollaire La fonction somme S de la série entière Y, Un x ”' est
continue sur l ’intervalle de convergence ] —R,R{, et ses primitives sont
de la forme
+00
an
X
a + Y'
X
où a e c .
D ém onstration : On applique le théorème précédent sur un segment
[0 , x] pour X > 0 , et sur [x, 0] pour x < 0 .
□
4.8. D érivabilité de la fonction som m e
4.9. T héorèm e Soit Y Un
une série entière complexe de variable
réelle, de rayon de convergence i? > 0. Alors la fonction somme S définie
sur ] —i?,
à valeurs dans C est de classe
et sa dérivée S' est la
fonction somme de la série entière dérivée.
D ém onstration : Les fonctions /„ : x
a„x" sont de classe C^, la
série Y Un a:” converge simplement sur ] —R, /2[, et la série des dérivées
Y f n converge uniformément sur toute partie compacte de ] — i?,
d’après le théorème 3.1. Le théorème 5.1 du chapitre 4 permet de conclure
que S' est la somme de la série Y f n C
On en déduit aussitôt le résultat suivant.
4.10. C orollaire Sous les hypothèses du théorème ci-dessus, la fonction
somme S est de classe C°° sur ] — R, R[, et
+~
V Î;€ N ,
V x e ]-fl,B [,
S<‘ >(x)
=
n=k
En particulier, on a, pour tout k £ N :
=
A:!
7 -------- T T ï “ » *
\ U - K ) \
S^'^\0)
k\ ■
n —k
§ 5.
Fonctions développables en série entière
241
4.11. E xem ple On a vu que la série géométrique
convergence 1 et que
+00
Vx € l - l , l [ ,
E l"
n=o
= T
est de rayon de
1
1J- - ^
Par dérivation, on a, pour tout x G ] —1 ,1[,
+00
Par une récurrence immédiate sur A;, on en déduit que
(1 —x)*^+^
A:! dx'‘ \ l — x j
k\ dx^
n=U
5
/
n=U
Fonctions développables en série entière
Dans ce paragraphe, nous nous intéressons aux fonctions de variable
réelle, à valeurs dans E ou C.
5.1. G énéralités
5.2. D éfinition Soit / une fonction complexe de variable réelle, définie
sur une partie X de E. On dit que / est développable en série entière
en 0 , s’il existe une série entière Y
de rayon de convergence i? > 0
et un nombre r G ]0, R] avec ] —r, r[ C X tel que
-foo
Vx G ] - r, r [ , /(x ) = ^ a„ X"
n=0
5.3. D éfinition On dit que / : X —^ E est développable en série
entière en un point xq si la fonction x
/(x —Xq) est développable en
série entière en 0 .
5.4. R em arques 1 ) La notion de fonction développable en série entière
en 0 est une notion locale, donc si une fonction / coïncide au voisinage
de 0 avec une fonction g développable en série entière en 0 , alors / l’est
242
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
également.
2 ) Même si / est définie sur tout IR, on n’a pas nécessairement r = R.
En effet, la fonction définie par
/(^ ) =
e®
e
si a: < —1 ,
si a: G ] —1 ,1[,
si a: > 1 ,
est développable en série entière en 0 , et elle est égale à la somme de la
série entière Y, {x^/nV) sur ] —1 , 1 [ et non pas sur E, bien que
(a;”/n!)
soit de rayon de convergence infini.
5.5. E xem ple Tout polynôme P est développable en série entière en
tout point Xq de E d’après la formule de Taylor :
VrrGE, P{x) = Y . ^ - ^ { x - x , r
tn=U
: ^ n \
=
„n=U
n
ni
Rappelons qu’on appelle voisinage d’un point xq de E toute partie de
E contenant un intervalle ouvert de la forme ]a;o —r, a;o + r[ avec r > 0.
En particulier, tout intervalle ]xq —p ,X q + p[ avec p > 0 est un voisinage
du point Xq.
5.6. P ro p o sitio n Si une fonction f est développable en série entière en
Xq, alors il existe un voisinage de Xq sur lequel f est de classe C°° et
le développement en série entière de f en Xq est Y ---- ^—- (x - xo)”.
Cette série est appelée la série de Taylor de f en x q .
D ém onstration : Puisque / est développable en série entière en xq,
il existe un nombre r > 0 tel que pour tout x Ç:]xQ — r,XQ + r\ on ait
+00
/(^ ) =
XqY.
n=0
Or, la somme S de la série entière Z) a„ (a: —xq)'^ est de classe C°° sur
]xq —r, Xq + r[ et, pour tout n G N ,
= n\ a„. D’où le résultat
annoncé.
□
§ 5.
Fonctions développables en série entière
243
5.7. R em arques 1 ) La proposition précédente assure que si / est déve­
loppable en série entière en xq, alors son développement en série entière
f{x) = Y j
— xqY 6st unique, c’est-à-dire que la suite (o„) de ses
coefficients est unique.
2 ) Il est possible qu’une fonction / soit de classe C°° au voisinage de
X q sans être développable en série entière en X q . La fonction définie par
X G E \ {0}
=
si X = 0
est de classe C°° sur R et toutes ses dérivées en 0 sont nulles (voir
exercice 5 .22 ). Si / était développable en série entière en 0 , elle serait
nulle sur un voisinage de 0 , ce qui est manifestement faux.
5.8. P ro p o sitio n Soient f une fonction développable en série entière
en 0, et
son développement en série entière au voisinage de 0.
Alors
• si f est paire, on a pour tout p E N, ü2p+i = 0,
• si f est impaire, on a pour tout p e N, a2p = 0.
D ém onstration : Soit r E ]0, R[ tel que / soit égale à la somme de
sa série de Taylor sur ] — r,r[. La fonction g définie sur ] — r,r[ par
g{x) = / ( —x) est développable en série entière en 0 et on a
+00
+00
V x G ] - r , r [ , g{x) = Y ^ a n ( - x ) ' ^ = ^ ( - l ) ” anx".
n=0
n=0
Si / est paire, alors g = f et par unicité du développement en série
entière on a, pour tout n G N, a„ = (—l)” On, ce qui donne a 2p+i = 0
pour tout p G N. On raisonne de manière similaire si / est impaire. □
5.9. P ro p o sitio n Soit f une fonction de classe C°° sur un intervalle
ouvert I de R, contenant 0. Soient n G N et x E I, et notons Rn{x)
le reste d ’ordre n défini par
K i x ) = i(x) - t ^
k=0 k\
Alors f est développable en série entière en 0 si, et seulement si, il existe
un intervalle ouvert contenant 0 sur lequel la suite {Rn)n>o converge
simplement vers la fonction nulle.
244
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
D ém onstration : Supposons que / soit développable en série entière
en 0, alors il existe un intervalle ouvert I centré en 0 sur lequel on a
+00
e /.
i(x) = Y ,
fc= 0
A:!
La suite (Rn)n>o converge donc simplement sur I vers la fonction nulle.
Réciproquement, supposons qu’il existe un intervalle ouvert / tel que la
suite {Rn)n>o converge simplement vers la fonction nulle, il existe alors
77 > 0 tel que la suite {Rn)n>o converge simplement vers la fonction
nulle sur ] —r), r}[. La série entière ^
æ” a donc un rayon de
convergence R vérifiant R > 77 > 0, ce qui montre que / est développable
en série entière en 0 sur ] —77, t7[.
□
Le résultat remarquable suivant donne une condition suffisante pour
qu’une fonction / soit développable en série entière en 0.
5.10. P ro p o sitio n Si f est de classe C°° sur un intervalle de la forme
I = ] — a, a[ avec a > 0, et s ’il existe p > 0 et M £ R+ tels que
y x e l , WneN,
pn
alors f est développable en série entière en 0 sur l ’intervalle ] —R, R[
où R — min {oi,p).
D ém onstration :
|i?n(x)| <
D’après l’inégalité de Taylor-Lagrange, on a
sup
(’T
' + 1)' te[o,i]
-1 \ I
.............................
< M
r>n+l
Pour tout X fixé dans ] —R,R[, on a \ x / p \ < 1. Le théorème des gen­
darmes permet d ’en déduire que la suite (Rn) converge simplement sur
l’intervalle ] —R, R[ vers la fonction nulle, et on conclut aussitôt par la
proposition précédente.
□
5.11. O p ératio n s sur les fonctions développables en série entière
5.12. P ro p o sitio n Soient f et g deux fonctions développables en série
entière en 0 et de développements respectifs X)
ci S bnX'"'. Alors,
pour tout (X,p) 6 C^, la fonction X f + p, g est développable en série
entière en 0 et son développement est la série entière X) {Xon + p-hn) x"'.
§ 5.
Fonctions développables en série entière
245
D ém onstration : Il existe deux séries entières X) x” et X) K
de rayons de convergence respectifs
> 0 et
> 0, ainsi que deux
voisinages Ua et Ub de 0, tels que
+00
VX G U a O ] -
Ra,Ra[, f ( x ) =
On X"
n=0
et
+00
Vx G t/ftD] - Rb,Rb[, g{x) = ^
bnX^.
n=0
Le rayon de convergence R de la série entière ^ { X o n + f i bn)
est stric­
tement positif car R > min (Rat Rb) (voir théorème 2.3), et en notant
JJ = Ua C\ Ub, on a que U est un voisinage de 0 et
+ 00
\/x e Un] - R, R[,
( X f + fj,g){x) = Y^{Xün + fjibn)x‘^,
n=0
ce qui prouve que X f + fig est développable en série entière en 0.
□
5.13. P ro p o sitio n Soient f et g deux fonctions développables en série
entière en 0 et de développements respectifs Ylo-nXJ' et Y^bnX^. Alors
la fonction produit fg est développable en série entière en 0, et son
développement en 0 est le produit des deux séries entières.
D ém onstration : Avec les notations de la proposition précédente, le
rayon de convergence R de la série entière produit Y!, Cn x^ est stricte­
ment positif car R = min {Ra, Rb) (voir théorème 2.3), et on a
+00
\ ! x £ U r \ ] - R , R [ , ifg)(x) =
CnX^,
n=0
ce qui démontre les résultats annoncés.
□
5.14. P ro p o sitio n Soit f une fonction développable en série entière en
0, de développement Y o,nX^. Alors il existe un intervalle ouvert I conte­
nant 0 sur lequel f est dérivable, et la fonction dérivée f est développable
en série entière en 0 sur I, son développement étant la série obtenue en
dérivant terme à terme la série entière Y o.nxJ', soit Z) (^ + 1) <^n+i
246
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
5.15. R em arq u e Les dérivées successives d’une fonction développable
en série entière en 0 sont donc développables en série entière en 0 et leurs
développements sont obtenus en dérivant successivement terme à terme
le développement de la fonction considérée.
5.16. P ro p o sitio n Si f est une fonction développable en série entière
en 0, de développement Y, On a;”, alors f est continue sur I et si F est
l’une de ses primitives sur I, alors F est développable en série entière
^n+l
en 0 sur I, son développement est donné par : F{0) + ^
n+ 1
5.17. M éthodes de développem ents en série entière
Pour montrer qu’une fonction est développable en série entière et pour
trouver son développement, il est souvent judicieux d’utiliser la méthode
dite de l’équation différentielle. Cela consiste à
• trouver une équation différentielle linéaire d’ordre 1 ou 2 à coefficients
polynomiaux, de préférence de petits degrés, telle que la fonction / soit
la solution d’un problème de Cauchy associé à cette équation,
• supposer que la fonction / est développable en série entière et en
déduire son développement à l’aide de l’équation différentielle,
• étudier le rayon de convergence de la série entière obtenue, s’il est
non nul, la somme de la série sera solution du problème de Cauchy sur
l’intervalle de convergence et sera donc égale à / sur ce dernier.
5.18. E xem ple Développons en série entière en 0 la fonction
f :X
(arcsin a;)^.
/ est de classe C°° sur ] —1 ,1[ et on a
^ \ / l — + X arcsin X
f (x) = 2 (1 —x2)3/2
2
1—
^ xf{x)
' 1 —x “
^
Donc / est solution sur ] —1 ,1[ du problème de Cauchy :
(E)
{l — x^)y" — X y' = 2 avec y(0) = y'{0)
- 0.
Or, la solution générale sur ] —1 ,1[ de l’équation différentielle ci-dessus
est donnée par
y = (arcsin x Ÿ + A arcsin x + B avec A, B E R.
§ 5.
Fonctions développables en série entière
247
On en déduit que la fonction x
(arcsin
est la seule solution du
problème de Cauchy (E).
Recherchons maintenant les solutions de (E) développables en séries en­
tières au voisinage de 0 sous la forme
+00
y' =
n=0
Par application du théorème de dérivation terme à terme, on a
+ 00
y" = X ^ ( n + l ) a n + i X ^ .
n=l
Le développement du premier membre de (E) a donc la forme suivante
(1 - x^) ^ ( n + 1) a„+i x” - X 53
n=0
n=0
a:”
c’est-à-dire
+00
+00
+ 00
X,n+l
53 (« + 1) ûn+1 a;" - 5Z (^ + 1) ®«+i
n=0
n=0
OU encore
+00
n=0
+00
+00
53 (« + 1) On+1 a?” - 13
n=0
“ 1)
a;" - 53
n=l
n=2
En remplaçant dans {E), on obtient
+00
+00
ai -I- 2 02 X + 53 (n + 1) On+i
- 53
n=2
n=2
“ 1)
x^
+00
- ao X - 53 ®n-i a:” = 2,
n=2
d’où, en regroupant les termes,
+00
ai + ( 2 o 2 -
ao)a:
+
5 3
( ( ^ + l ) û n + i
-
n O n - ij
x ”
=
2.
n=2
Par unicité du développement, on déduit que
Tl
ai = 2, 2a2 = ao, a„+i = ----- r a„_i pour tout n > 2.
n -\-l
(5.2)
248
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
Comme oq = /(0), on a Uq = 0, donc 02 = 0. Par récurrence, il en
résulte que U2p = 0 pour tout p > 0, et
2p
2p-2
2
2Pp{p-l)---l
En écrivant
(2p+l)!
(2p + l ) ( 2 p - l ) . . - 3 =
on obtient
2Pp!
’
22P+1 (p!)2
02p+l —
(2p+ 1)!
D’après la relation (5.2) appliquée à n = 2p + 1, on a
lim
P-+ 0 0 a2p-i
donc le rayon de convergence de la série
est égal à 1.
En vertu de l’unicité de la solution de (E?), on peut donc déduire que
+00
92n + l ( „ \ \ 2
et puisque /(0) = 0, on en conclut que
6
+00
o2n+l ( „ \\2
Vx G] - 1,1 [, (arcsina;)^ = J ]
{2n + 2)\
Séries entières classiques
6.1. La fonction exponentielle et les fonctions hyperboliques
L’application exp ; x 1-^ e® est C7°° sur R et : Vn G N, exp(”^(0) = 1.
D’après la formule de Taylor avec reste intégrale, on a
^ rp^
nX (nf*_
(5.3)
V{n,x) e N x R ,
=
— g — e‘ dt.
Comme
(* - t r eJ dt
n\
Jf O
<
=
(x - ty
dt
fJo
0
n!
X n+l
max(l,e®)
(n+ l)!’
max(l,e®)
§ 6.
Séries entières classiques
249
le théorème des gendarmes entraîne que
Vx 0 M,
[,
0
JO
ni
n->+oo
0.
De (5.3), on conclut que
n
lim
”“*+0°
k
+00 k
T7 =
E
TT = «*■
E
A:!
k=0
A:!
Pour tout X G M, on a alors
+00 ^2n
g X _|_ g - I
chx =
=
2
, shx =
E
e® —e~^
=
„00 (2")!
E
^ 0
(2n + l ) ! ’
6.2. Les fonctions cosinus et sinus
Les applications cosinus et sinus sont de classe C°° sur R et
cos^") (x) = cos (x +
V(n, x) G N X E, <
sin^”^ (x)
= sin (x + ^ )
En utilisant la formule de Taylor avec reste intégrale, on montre, comme
précédemment, que cosinus et sinus sont développables en série entière
en 0, de rayon de convergence égal à +oo, et que pour tout x G E :
^
(_l)n ^2n
00
(2")l
6.3. La fonction /a : X
y .2 n + l
00
(2 n + l)!
(1 + x)“
À l’aide de la méthode de l’équation différentielle, on montre que fa est
développable en série entière en 0, avec rayon de convergence égal à 1 si
CK^ N, et égal à + 0 0 si a G N. De plus,
V r r s ] - l . l | , (1 + ï ) «
=
1+ E
n=l
(voir exercice 5.20). En particulier.
+00
V x € ] - l ,l |, —
= E (-1 )"^ "
^
n=0
250
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
En remplaçant x par —a;, on retrouve la série géométrique
J
+00
VxG -
X
n=0
6.4. La fonction x
ln(l + x)
En prenant la primitive (qui s’annule en 0) du développement en série
entière de la fonction a; i-> (1 + a;)“ ^, on obtient
+00
V a;e]-l,l[,
ln (l + a;) = ^
n
n=l
6.5. Les fonctions circulaires réciproques
a) Puisque
1
+00
n=0
on déduit, en primitivant :
Vx G1 —1, I f ,
^
^
+00 (_1\n
^
^2n+l
n=o2n + l
arctanx =
b) À l’aide du développement de x
^ /Г^^
■
(1 + x)“, on obtient
èi
2-4...(2n)
pour tout X g ] —1 ,1[. Par primitivation, on déduit que
^
arcsm X
^
1 • 3 . ■■ (2n - 1) x^^^+^
2 • 4 . . . (2n)
2n + 1
ou encore
•
Vx G 1 —11,1i r , arcsmx
,= ^>
W
2^)!
tt( —
^
--------.
X2n
§ 7.
Fonctions usuelles de variable complexe
251
6.6. Les fonctions hyperboliques réciproques
a) En primitivant le développement en série entière en 0 de la fonction
a; 1-^ 1/(1 —x^), on obtient, pour tout a; g ] —1 ,1[ :
.
1 , 1+ a;
^
argtha; = - In ------- = >
2
a;2”+i
--------.
2n + l
¿ Q
1 - a ;
b) De même, en primitivant le développement en série entière en 0 de la
fonction X i-> 1 / v T T ^ , on obtient pour tout a: G ] —1 ,1[ :
argsha; = ln(a; + V l + x^) = x + ^ (-1 )” ^ ^
^
n=i
2 • 4 ... (2n + 1)
g ( _ l ) n ( 2 „ ) ! a.2n+i
^ 0
(2"n!)2
2n + l '
7 Fonctions usuelles de variable complexe
7.1. L’exponentielle com plexe
7.2. D éfinition On appelle fonction exponentielle complexe, et on note
exp : 1-^ e^, la fonction somme de la série entière X) {z'^/'nX) qui est de
rayon de convergence infini. On a donc
+00
V2: G C,
exp (2 ) = e"' = ^
n=0
n
—rn\
7 . 3 . R em arque On retrouve la formule :
Vy G M,
= cos y + i sin y.
En effet.
_
~
+00
iw)
^
n\
n=0
+00
+00
{%yff>
_
+ E
~ p=U
^
(2p)!
^
\~ ^ y ’
p=
+ °o
^ _ i y y 2p
§
(2p)l
+00
+ iE
^
7.4. P ro p o sitio n On a
V ( 2:1 , 22 ) G
(iy)2»+l
(2 p + l)!
^ _ Ÿ ^ P y 2p-^\
(2 p + l)!
= cosy + i sin y.
Chapitre 5.
252
Séries entières réelles ou complexes
D ém o n stra tio n : Ce résultat a déjà été établi dans le cadre du théo­
rème 5.5 du chapitre 2.
□
7.5. P ro p o sitio n Pour tout nombre complexe z, on a
0
et
^
= e -^
= e^
|e^| = e^^\
D ém o n stra tio n : On a :
e~^ = e^~^ = e° = 1, ce qui établit
les deux premiers points. On a également
+00
+00 ■ÿTl
? = E ^ = E ^
n = 0 '''•
n=0
et enfin
le^|2 =
Donc |e^| =
D’où la proposition.
□
7.6. C orollaire
y z e C,
D ém o n stra tio n :
|e^| = 1
2; 6
Pour tout 2: G C, on a
\é"\ = 1
= 1
liiez — Q.
D’où le corollaire.
7.7. T héorèm e L ’application 2: i-> e* est un homomorphisme continu
surjectif du groupe additif (C, -I-) sur le groupe multiplicatif (C*, x ).
D ém o n stra tio n :
L’application 2;
e* est bien continue sur C
comme somme d’une série de fonctions coiitinues convergeant uniformé­
ment sur tout Compact de C, et c’est bien un homomorphisme de (C, -I-)
dans (C*, x) d’après la proposition 7.4.
Montrons la surjectivité de cette application. Soit zq € C.
§ 7.
Fonctions usuelles de variable complexe
253
- Supposons zo ^ M_. On paramètre le segment joignant le point d’affixe
1 et le point d’affixe zq par
/ : [0,1] —^ C , 1 1—^ (1 — t) + tzoL’application / est clairement de classe
sur [0,1] et ne s’annule pas
puisque 2:0 ^ 1^-) il est donc possible de considérer l’application
g : 10,1]- ^ C ,
№ ) du
4
0 f(u )
/
qui est de classe
sur [0,1] car f ' / f est continue sur ce segment.
L’application /
est donc de classe
sur [0,1] comme composée et
produit de fonctions de classe
sur [0,1]. De plus,
-0
( f e - ^ y = f e - ^ - f ^/ ' e-^
= 0
/
La fonction fe~ ^ est donc constante sur [0,1], donc égale à sa valeur en
0, d’où
V iG [0 ,l], /(i)e-^W = /(0)e-®(°) = 1.
On a alors
/(l)e
= zo e
, d'où
zq =
ce qui montre que Zq a au moins un antécédent par la fonction exp.
- Supposons à présent zq € K!.. D’après l’étude précédente, il existe
0 € C tel que e*® = i. Puisque —zq g IRÜj. et que l’application x ^
est une bijection de E sur
il existe x G E tel que — z q = e®, et par
conséquent Zq =
□
7.8. R em arque L’application zt-^
de C sur C* n’est pas injective.
En effet, en reprenant les notations de la démonstration précédente, on
a :
= 1 = e° et 9 ^ 0 .
7.9. T héorèm e L ’application </? : x 1-^ e*“’ est un homomorphisme
continu du groupe (E ,+) dans le groupe (U, x) des nombres complexes
de module 1. De plus, il existe a G EÜj. unique tel que Kev(p = oZ. On
note alors tt = a/2.
254
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
D ém onstration : L’application (p est clairement un homomorphisme
continu du groupe (M,+) dans le groupe (U, x).
Montrons qu’il est surjectif. Soit zq G U. Puisque zq ^ 0, il existe z e C
tel que
= e^. Or I^îqI = 1 entraîne que 2: G zM.
Le noyau de (p est donc un sous-groupe fermé (car p est continu et {1 }
est fermé) de (M,-h) distinct de R (car (^(tt) = e*’’’ = —1 7^ 1 ). Il est
également distinct de {0} car p n’est pas injective (e^^ = 1 et ^ G ® ).
Il existe donc a G R+ unique tel que Ker p = aZ.
□
7.10. Corollaire
Va: G
D ém onstration :
cédent.
= 1
X
G 27tZ.
C’est une conséquence immédiate du théorème pré­
□
7.11. Les fonctions trigonom étriques e t hyperboliques com plexes
7 . 1 2 . D éfinition On appelle fonctions cosinus et sinus complexes, et on
note respectivement cos et sin, les applications de C dans C définies
par
+00
2n
gi2 ^ g-iz
COS 2: =
gtz _ g-гz
sm2; =
+00
^2n+l
2i
^
(2 n -t-l)!
7.13. D éfinition On appelle fonctions cosinus e t sinus h y p erb o ­
liques com plexes, et on note respectivement ch et sh, les applications
de C dans C définies par
^
ez ^ ç -z
ch2: =
sh2: =
=
—e ^
2
=
^2n
E
i s (2»)!
+00
^2n+l
E
(2nd-1)!
Les propositions suivantes sont immédiates.
§ 7.
Fonctions usuelles de variable complexe
255
7.14. Proposition Pour tout z Ç. C, on a
cos (iz) — ch Z ,
sin (iz) = t sh 2;,
ch (iz) =
sh (iz) =
cos z
i sin Z
7.15. Proposition Pour tout z E C, on a
= ch
2 + sh 2:,
= cos 2: + i sin 2:,
cos^ 2: + sin^ 2: = 1 ,
e~^ = ch 2: — sh 2:
= cosz — i sin 2:
ch^ Z — sh^ Z = 1.
7.16. Proposition Pour tout (a, b) € C^, on a
cos (0 + 5) =
cos O cos b — sin a sin b
sin (a + 6)
sin a cos b + cos a sin b
=
ch (a + 6) =
ch a ch 6 + sh a sh 6
sh (o + 6) =
sh a ch 6 — ch a sh b.
7.17. Proposition 1) L ’application z
cosz est périodique paire et
son groupe des périodes est 2nZ. On a de plus, pour tout z e C :
cos (2: + 7t) = —cos 2:, cos
2) L ’application z
sin z est périodique impaire et son groupe des pé­
riodes est 27tZ. On a de plus pour tout z e C :
sm (2: + 7t) = - sin 2:, sin
~
= cos 2:.
SJ L ’application z
ch2: est périodique paire et son groupe des périodes
est 2i7rZ. On a de plus, pour tout z e C :
ch (z + iir) = —chz , ch ^2: + i
= i sh2:.
4) L ’application z 1— sh2: est périodique impaire et son groupe des pé­
riodes est 227tZ. On a de plus, pour tout z e C :
sh (z + ¿7t) = i sh2; , sh ^2; + i
= ch2;.
256
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
7.18. D éfinition On appelle fonctions tan g en te e t cotangente com­
plexes, et on note respectivement tan et cotan, les fonctions impaires et
TT-périodiques définies par
,,
, 7T
_
s m 2:
V2: e —+ 7tZ , tan 2: = ------
c o s 2:
2
'iz ¿ 7tZ , cotan 2: =
8
COS X
— = tan
sm2;
(i->
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
Exercice 5.1 Déterminer le rayon de convergence des séries entières de
termes généraux :
y37l+l
n"
n!
, 4) (-2 )’ n + 1
Solution
1) La série entière s’écrit
lim
avec a„ = l/y/n . Donc
^n+1
n—>+oo
=
n
lim
n^+00 v n -I-1
= 1,
et la règle de D’Alembert permet de conclure que le rayon de convergence
recherché est égal à 1.
2) La série entière s’écrit
avec a„ = n"/n!. D’où
lim
n —>+CX)
^n+l
dn
Ito
n->+ oo
fîl± iy =
\ n /
ta
n -»+ oo
( ' l + i ' ) ” = e.
\
fl J
La règle de D’Alembert permet de conclure que le rayon de convergence
est égal à 1/e.
3) La série entière s’écrit
avec Un = (—l)”/n ”. On a donc
lim
n-^+oo
|a„|" =
lim
n —>+co
i
72
= 0,
et la règle de Cauchy entraîne que le rayon de convergence est + 00 .
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
257
4) Ici, la série entière s’écrit Y!, ûn -2^” avec
0
si n =
= 3p ou n = 3p + 2
dn. — ^ (_2)P
si n = 3 p + l.
l P+1
On ne peut utiliser ni la règle de D’Alembert puisque |on+i/a„| n’est
pas défini, ni la règle de Cauchy puisque ^\an\ n’admet pas de limite.
Posons alors
y3?l+l I
dn — (-2 )'
n+11
On a
Mn+l
_
O I-.I3 ^
=
Un
^
2 4
n
+
2
2\z\
n -> + c x )
3n+l
On en déduit que la série ^
|(-2)”
converge si 2 \z\^ < 1 c’est-
à-dire 1^1 < 1 /v ^, et diverge si 2\z\^ > 1 c’est-à-dire \z\ > 1 /- ^ .
Le rayon de convergence recherché est donc égal à 1 /- ^ .
Exercice 5.2 Déterminer le rayon de convergence de la série entière de
terme général Un z'^ où
1
dn. — ^
si n = 3p,
p + Vp
P-P
(—a)P
si n = 3p -I-1
si n — 3p + 2, O €
Solution
On a
1
(p+v^)V 3p
Unh = < p ~ 3 ^
si n = 3 p + l
a3p+2
si n = 3p + 2.
Or {p + y/pŸ^^P = exp
^
si n — 3p
\n(p + y /^
.3p
~
In {p -IInp
p-*+oo 3p
, et
avec
lim
Inp
p-»+oo 3p
= 0.
Chapitre 5.
258
Séries entières réelles ou complexes
Par continuité de l’exponentielle, il vient
lim
p-^+oo''^
1
= 1 , donc P-»+oo
lim -------"
= 1.
(p + ^ ) V 3 p
+
D’autre part, p
V
3p +
1
= exp ^
Inp
q-y Inp^, et
3p +
Inp
—— avec
~
Inp
lim — - - = —oo,
3
p -^ + o o
p^+oo
et par continuité de l’exponentielle, on déduit que
3
lim p ^p+i = 0.
p—►H-oo
Enfin, on a
lim
=
p-*+oo
lim e x p f—
p^+oo
- Ina^ = ex p f^ ^ ^ =
^ \3 p + 2
/
^ \
3 /
Conclusion : D’après la formule de Hadamard, le rayon de convergence
recherché est
B =
1
m ax(l,a^/3)'
Exercice 5.3 Calculer, suivant la valeur du paramètre a G R+, le rayon
de convergence R{a) de la série entière X) ûn
où
0'2n —
1+
n/i».2
24n
Û2n+1 —
1+
22n+l
Solution
On a
lim |o2nh"
n—
++00
lim
n —>+oo
(1 +
2n
22n
si 0 < a < 2
si a = 2
+ 0 0 si a > 2 ,
' 0
1
et
lim
n—
^+00 |a 2n+ih"+i
lim
n—y+oo
(1 +
2^
_ / 1/2 si 0 < a < 1
■ l a/2 si a > 1.
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
259
La formule de Hadamard donne alors
'1 / 2
= limsup |an|" = < a /2
si 0 < a < 1
si 1 < a < 2
+ 0 0 si û: > 2
n-^+oo
H[a)
2
Donc R{a) = < 2 /a
0
si 0 < a < 1
si 1 < o; < 2 .
si o: > 2.
Exercice 5.4 Déterminer le rayon de convergence de la série entière de
terme général an
dans chacun des cas suivants :
_
(-1 )"
(n - 1)^
ON .
^ " " (n + 1)-’
ON _
""" “ ( n + 1 ) ! ’
rr^+1 x^dx
” Jn 2 + x 8'
Solution
1) On a
\J\^n\
” n +I i1 n—
^
>+(X)
donc, d ’après la règle de Cauchy, le rayon de convergence est égal à +oo.
2) On a
^n+1
dn
i
nn+1
(n —1)" n + 2
IN - n
n
71 "1“ 2
n /
n+ 2
n
n —>+oo
D’après la règle de D’Alembert, le rayon de convergence est R = l / e .
3) On a
n +1
f
2 + (n + 1)8
dt ^
^
rn +1 {n + 1)*
/
Jn
2-Kn8
c’est-à-dire
n°
2 -h (rH -1)8
(n+l)8
2-Kn8 ■
dt,
Chapitre 5.
260
Séries entières réelles ou complexes
D’après le théorème des gendarmes, la suite (an) converge vers 1, donc
o„ ~ 1 lorsque n tend vers l’infini. D’après la proposition 1.21, le rayon
de convergence de la série
est égal à celui de la série entière
c’est-à-dire 1.
Exercice 5.5 Déterminer le rayon de convergence de la série entière de
terme général an z^ dans chacun des cas suivants :
,,
sin(2n0)
1) On ~~
, et 2) On '
n
/ ,
I ch I
\ nj
,
où ô ^ k-jr/2 (k E l i ) , a G R.*•
Solution
1) Notons R le rayon de convergence recherché. On a |a„| < 1/n pour
tout n > 1, et la série
a même rayon de convergence que la
série dérivée Y -2”, c’est-à-dire 1. La proposition 1.18 permet d’en déduire
que R > 1 . D’autre part, la série Yo>nZ^ a même rayon de convergence
que la série dérivée Y sin2n0 z^. Or la série numérique Y s\n2nd est
divergente puisque le terme général ne tend pas vers 0 (voir exercice 1.24
du chapitre 1). Il en résulte que i2 < 1. Finalement, R — 1.
2) On a
(
V_^
ch ^ j
= exp ^
In ^ch
Or,
donc
n « - ' In (ch i )
= n « -‘ ( ¿ + o ( l ) ) .
Il en résulte que
• si a > 3, n—
lim
d\an\ — 0, d’où R = -|-oo,
>-4-00 V '
si 0 = 3, n—
lim
\/ja J = 1/Vë,
d’où R = y/ê,
>+00 V ' '
'
si a < 3, n —
lim
>-+-00 {V /iô j = 1, d’où R = \ .
.
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5____________ 261
Exercice 5.6 Déterminer le rayon de convergence des séries entières
suivantes :
+00 on ^2n-\-l
1) E
r
1=0 ”■+
„3n + l
+O0
+C»
. 2) n=0
E 1^s t . 3 )n=0
E
,
>
où E(x) désigne la partie entière de x
Solution
2”
1) Soit zq un nombre complexe non nul. Posons tt„ = ----- — • On a
^n+l _ 2^+' |.^o| 2n + 3
Uji
n+2
n+ 1
_ 2 ¡zol“
^ {n + 1)
2^1zoP"+^
n+2
Il en résulte que
lim
n^+oo Un
= 2 \zq\^.
D’après la règle de D’Alembert, on en déduit que si \zq\ < l/\/2 , la série
Y^Un converge, et si \zq\ > l/\/2 , la série Y u n diverge. Le rayon de
convergence de la série entière proposée est donc égal à 1/V^.
On aurait pu aussi utiliser la formule de Hadamard.
1^0
2) Soit Zo un nombre complexe non nul et posons «n =
• On a
^ = i^ p .
I
IL ri
O
Donc la série à termes positifs Y ^ n converge si \zq\ < 2 et diverge si
l^ol > 2. On en déduit que le rayon de convergence de la série entière
proposée est égal à 2.
Ici aussi on aurait pu utiliser la formule de Hadamard.
3) Soit £ =
I n G N}, et soit (o„) la suite définie par
—
1 si n G £
0 si n ^ £.
On a
+ 00
E
n=0
+ 00
=
E
n=0
y£(n3/2)
262
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
Pour tout entier n, on a |a„| < 1 et donc |an 2;” | < \z^\. Il en résulte que
si |;2| < 1, la série Yj
converge. Si |.2 | > 1, le terme général de la
série ne tend pas vers zéro, donc la série diverge.
On conclut que le rayon de convergence recherché est égal à 1.
Exercice 5.7 Soit d{n) le nombre de diviseurs de n € N*. Trouver le
rayon de convergence de la série entière Y d{n)z^.
Solution
Lorsque n > 1, on a 1 < d(n) < n. D’après la proposition 1.18, Le rayon
de convergence R de Y d { n )z ^ est donc compris entre les rayons de
convergence des séries entières Y z ^ et Y ^ z ^ . Or la règle de D’Alem­
bert permet de voir immédiatement que ces deux séries ont un rayon de
convergence égal à 1. Donc R = 1.
Exercice 5.8 Montrer que toute fraction rationnelle F de C{z) n’ad­
mettant pas 0 pour pôle est la somme d ’une série entière dont le rayon
de convergence est le minimum des modules des pôles de F.
Solution
La décomposition en éléments simples de F dans C(2 ) montre qu’il
suffit de considérer un élément de la forme
{z - zoY
Or, pour tout Z e C avec \z\ <
^
{z - Z q)p
, zq £ C \
\z q \,
fl - £
{-Z q)P V
Zo^ '
p GN*.
on a
~ (-zo y
’
ce qui montre directement que la fonction z
^f(z —zq)^ est la somme
d’une série entière de rayon de convergence |2o|.
En notant P le minimum des modules de ses pôles complexes, la fonction
F est la somme d ’une série entière de rayon de convergence R au moins
égal à p.
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
263
Supposons que l’on ait R > p. ïl existerait un pôle zq de F avec
P = \zq\ < R. hd, fonction F serait alors continue en zq, ce qui est
impossible puisque |F ( 2 )| tend vers +oo lorsque г tend vers zq. On a
donc R = p.
Remarque : F est une fraction rationnelle, donc n’admet qu’un nombre
fini de pôles.
Exercice 5.9 Soient X) o,n
et K
deux séries entières, de rayons
de convergence respectifs R a et R f , . On suppose que ces deux séries en­
tières sont disjointes, c’est-à-dire telles que : Vn G N ,
= 0.
1) Montrer que le rayon de convergence R de Y, (ûn + i>n) est donné
par R = min (Ra, Rb)2) Déterminer le rayon de convergence de la série entière Y otn z'"' avec
i T
= \ 3-
si n est pair
si n est impair.
Solution
1) - Soit Z e C tel que \z\ < min (Ra, Rb). Alors, \z\ < Ra et \z\ < Rb,
donc les séries numériques Y «n z'"' et Y K z^ convergent. On en déduit,
par addition, que la série numérique Y («n + bn) z"' converge, et donc
\z\ < R. Il en résulte que min (Ra, Rb) < R.
- Soit 2 G C tel que \z\ > min (Ra, Rb)- On peut supposer, par exemple,
l^l > Ra- Il en résulte que la suite (onZ’^) n’est pas bornée.
Or, pour tout n G N, on a a„ = 0 ou
= 0, donc
\(an + bn)z’^\ = lünz’^ + bnz’^l = ¡ünz’^l + \bnZ^\ > \anz'^\.
On en déduit que la suite de terme général (an + 6„) 2 " n’est pas bornée,
et par conséquent \z\> R. Donc : min (Ra, Rb) < ROn conclut que : R — min (Ra, Rb).
2) Pour tout n G N, posons
2” si n est pair
0 si n est impair
et bn —
0
si n est pair
3“” si n est impair.
On a
Vn G ^ , On bn — 0 et ocn — Un "b bn-
Chapitre 5.
264
Séries entières réelles ou complexes
Or, la série
notée aussi X) 2" ^ ^ est de rayon de convergence
Ra égal à 1/2. En effet, pour tout 2; fixé dans C, on est ramené à une
série géométrique puisque
2‘^Pz‘^P = (Az^y , et
i^Az^\ < 1
De même, la série
bn z^ notée aussi
convergence R\, égal à 3 puisque
3“(2p+i)
3 -(2 p + l) _j.2p+l ^
^ 1( 3 “ ^
est de rayon de
< 1
k l < 3^.
D’après la question précédente, le rayon de convergence de Y Oin
est
R = min{Ra,Rb) = m i n Q , 3 ^ =
Exercice 5.10 Soit Y o-nZ^ une série entière telle que a„ 7^ 0 si n
est assez grand. Que dire de son rayon de convergence s ’il existe ^1,^2
et ¿3 dans R!!j. tels que
lira
^
p^+00 ü 3p + i
lim
P -+ 0 0 a zp +2
= 4 ,
lim
p-*+oo
ÎS± 1 = £, 7
a sp
S o lu tio n
La série entière Y
est somme des trois séries entières disjointes :
Y^aspX^P, X) «3p+i
et X «3p+2ic^^'^^.
Posons Up = azp x^^ et notons N ■un entier tel que pour tout p > N ,
on ait ü3p y 0. On a
VxT^O,
'^p+1
Û3p+ 3
0-3p +2
U’Zp+l
ILp
O'Zp+2
U>3p +1
^ 3p
\x\
p-^+oo
4^2 4 ^ 1 ^
La règle de D’Alembert appliquée à la série réelle Y |wp| montre que
celle-ci converge si ^ i 4 4
< 1 et diverge si 4 4 4 |a;|^ > 1. On en
déduit que le rayon de convergence R de la série entière Y aspX^^ est
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
265
égal à {il ¿2 h )
En procédant de la même manière avec les deux autres séries entières,
on montre qu’elles ont même rayon de convergence {¿i ¿2
Comme
les trois séries entières sont disjointes (voir exercice 5.9), le rayon de
convergence de la série entière J2anX^ est égal à { i \ i 2 iz)~^^^•
Exercice 5.11 Soit Y^anZ^ une série entière dont tous les coefficients
sont non nuis. On suppose que
lim
n—>+00
Û2n+1
= A et
^ 2n
lim
n—>+oo
0 ’2n +2
0 -2n + l
= IJ'-
Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.
Solution
Soit R le rayon de convergence recherché.
Pour \z\ < R, on a
+00
+00
+00
^
n=0
^ Ü2n
n=0
2 02n+l
n=0
2n+l
et les trois séries sont convergentes.
La série entière Y<^2nZ^'^ a pour rayon de convergence
Û2n+2
Û2n+2
^2n
Û2n+1
Elle converge pour \z^\<
De même.
X
Û2n+1
^2n
n—>+00
puisque
A,
et diverge pour \z^\ >
Û2n + 3
0 2 n+ 3
^2n+l
Û2n+2
X
0271+2
02n + l
n—>+00
montre que le rayon de convergence de Y î^2ti+i
D’après le théorème 2.3, on déduit que R >
//A,
est égal à 1/y/XJi.
Supposons R > -4= et soit z e C tel que —^ < \z\ < R. Les séries
yA/i
s/Xfi
entières YO'nZ'^ et
{ ~ z Y étant convergentes, il en est de même de
Chapitre 5.
266
Séries entières réelles ou complexes
leur série somme, c’est-à-dire de la série X) <i2n •2^”- D’où la contradiction.
On conclut que
1
R =
Exercice 5.12 Calculer le rayon de convergence et déterminer la somme
des séries entières réelles suivantes :
+00
+00
1)
+ 00
2)
n=0
3)
n=0
n=l
¿■)
Solution
1) - Posons Un = n
On a
n+1
----- \x\ — >
^n+l
n
U tî
a;
' ' n-*+oo ' '
La règle de D’Alembert permet d’en déduire que la série entière considé­
rée converge si |a:| < 1 et diverge si |a;| > 1. Le rayon de convergence
recherché est donc égal à 1.
- Calcul de la somme.
Pour |a;| < 1, on a
+00
__
+00
+ 00
n=0
n=l
n=l
où l’on a posé t = x^. Mais, pour tout i €] —1,1[, on a
+ tj
(l - hi ) 2’
d’où
+00
n+1 ^
2n+l _
Lorsque a; = ±1, la série proposée diverge grossièrement, et il n’y a donc
pas lieu de calculer la somme.
2) On a : chn
~ e”/2, et comme
n-»+oo
'
qTI+I
lim
n—>+oo
—
= e,
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
267
la règle de D’Alembert permet d’en déduire que le rayon de convergence
de la série entière X)
est égal à 1/e. La proposition 1.21 permet
de conclure que le rayon de convergence de
ch (l/n ) a;” est égal à 1/e.
- Calcul de la somme.
Pour |æ| < 1/e, on a
+ 00
e" + e '”
E ( c h n ) a ;” =
n=0
n=0
1
1
+
a:” = X
2 V1 —ea;
1 —e~^x
Pour X = ±e
cette série diverge grossièrement.
3) Le rayon de convergence est 1 car le coefficient de a;” est équivalent
à 1/n^ et la série S a;"/n^ est de rayon de convergence 1 comme on le
voit immédiatement avec, par exemple, la règle de D’Alembert.
Pour |a:| < 1 et a; 7^ 0, on a
+ (X )
+00
X"
' ^ i n { n + 2)
1
/1
E l '
n
n=l
=
=
1
-jin d -x )
1
X"
n + 2,
1 +°°
—
In(l-x) -
+
Exercice 5.13 Calculer le rayon de convergence et déterminer la somme
des séries entières suivantes :
+°°
1)
+00
(-^ec),
n=0
2)
E
n=0
«2
_ „ I 4
„ ,
n+ 1
^
(a:e
Solution
1) La règle de D’Alembert (ou encore le corollaire 1.22) permet de voir
sans peine que le rayon de convergence de la série entière S (—1)" n^
est égal à 1.
Pour déterminer la fonction somme «S, posons u = —z^. Pour \z\ < 1,
268
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
donc aussi pour |u| < 1, on a
+O0
+00
n=l
n=0
(1 —
3
1
+
(1 —u)2
1 —U
Z S{z) =
^(ji + 2) (n + 1) — 3 (ri + 1) + 1^ tt™
u + u^
( 1 —u)^’
d’où
S(z) =
Z^ -
Z
{1 + z ^ y
2) Avec la règle de D’Alembert, on a immédiatement R = 1. Notons S
la fonction somme de la série considérée. En écrivant
—n + 4
„
6
= n -2 +
n+l
’
' n + 1’
on obtient, pour tout a; e ] - 1 ,1[\{0} :
=
+00
+00
+00 ^n+l
53(n+l)x" - 3 $ 3 :r"+ - ^ —
71=0
(1 —x)2
n=0
1 —a;
^
n=0
^
X
Exercice 5.14 Calculer le rayon de convergence et déterminer la somme
+00 ^71
de la série entière de variable réelle : ^
n = 0 4n^ — 1
Solution
- Calcul du rayon de convergence R.
Notons, pour tout n G N : a„ = (4n^ —1)“^. On a
^n+1
4n2-l
4 ( n + 1 ) 2 — 1 n-»+oo
1.
La règle de D’Alembert permet de conclure que R = 1.
^ 0, et
§ 8.
269
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
- Déterminons la fonction somme S de la série entière.
Soit rr g ] —1 ,1[. On a
1
+00
s(x ) = x ;
±T 1
An? -1 = -2 n=0
n =0
_
~
+00
2n —1
2n + 1,
X"
J
1 ^+00
i ^+ 0 0
X"
2 n=0 2 n - 1 ~ 2 n'^ 2n + 1
2 V
S
2V
1
''’ ^ £ 2 n + J
7- _ 1 +0O x'^
=
+
+00
2
2n+l)
2 5
2 2
2 ti 4 " 1
2n+l
2n + l
X'
Notons A{x) = E
2n + l
- Si 0 < a; < 1, posons t = y/x. On a, x =
n=o
+00
1
j.2 n
= S
+00
STTT = ï S
A{x) =
=
1
f2 n + l
= Vî
On a X = — et
^
^
E=0 2n +
2
1
n
1
-1 arctan i = ■ .1
t
1
STTÏ = ï
- Si —1 < X < 0. Posons t =
+00
et
+
5
l
2îi + 1
arctan y /—
—X.
y / —X
- Enfin, si X = 0, on a i4(0) = 1.
On conclut en reportant les valeurs trouvées pour A{x) dans l’expression
de S{x) :
si 0 < X < 1
S{x) =
-1
si X = 0
1
X —1
.—
—- + - —-== arctan v —ic si —1 < x < 0.
2
2 V —X
Chapitre 5.
270
Séries entières réelles ou complexes
Exercice 5.15 Déterminer le rayon de convergence et la somme des
séries entières complexes suivantes :
sin n6 _
^
+ 00
cos n9
n\
n=0
et
E
,.
^
n =0
Solution
Pour tout n G N, on a
cos nO
< —
n!
n\
(*)
et
sin u9
n\
Avec la règle de D’Alembert on voit immédiatement que le rayon de
convergence de la série entière Y liz‘^ /n\) est égal à +oo. Les inégali­
tés (*) et la proposition 1.18 permettent d’en déduire que le rayon de
convergence des séries proposées est égal à -l-oo.
Pour 2 G C, posons alors
cosn0 n
/(^ ) = ¿2 —TTn\ ^
^
^
^
sinné» „
n!^ ^ •
n=0
n=0
On a
+00
n
f{z) + ig{z) = Y .
=
.ie
n=0
_
gZcose (cos(;jsin0) + i sin (2:sin0)),
et
+00
f{z) - ig{z) =
E
—iO
^
n=0
=
d’où : f{z) =
(cos (2: sin 0) — i sin (z sin 0)),
cos(^sin0) et g{z) =
sin(.2:sin 0).
Exercice 5.16 Développer f{x) = cosx chx en série entière au voisi­
nage de 0.
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
271
Solution
On a
m
= 4 (e“ + Ô
2
(e" + e-")
+00
= 4 E
^ n=0
;^ ( ( l + 0 ’* + ( l - i r + ( i - i r + H - i r ) x " ,
'
et comme
1 + i = \/2
et \ - i = ^Pi
il vient
+00
■fW =
E
4^
+ ( - ! ) “)
+ e -“ '/'*) i ”
n=0
+00
=
E
J
2P+2
f)
cos IP —I
Comme les termes cos(pTr/2) sont nuis pour tout p entier impair, on a
finalement, en posant p = 2fc :
+ 00
/_1\k o2A;
■"
Exercice 5.17 À l ’aide de la méthode de l ’équation différentielle, déter­
miner le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction :
f{x) = exp (arcsinrc).
Solution
La fonction / est indéfiniment dérivable sur ] — 1,1[ comme composée
goh on g :
e^ est indéfiniment dérivable sur R et h : x h->- arcsina;
est indéfiniment dérivable sur ] —1 ,1[. De plus,
nx) =
V T ^ x^
. donc r ( x ) = 4 M
V
T ^
, +
(l-a ;2 )3 /2 ’
272
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
d’où
X
La fonction / est donc solution sur ] —1 ,1[ de l’équation différentielle
(1 —x ‘^ )y" — X y' — y = 0 avec y{0) = 1 et y'{0) = 1.
+ 00
Puisqu’on cherche / sous la forme ^ a„ x", on a
n=0
+00
^
+00
n (n — 1) a„
^
n= 2
+00
n (n — 1) Un a:" — ^
+00
n On x" — ^
n=l
n =2
On x ” = 0.
71=0
En identifiant le termes constants du premier et du second membre, on
obtient : 2 u2 —uq = 0, donc U2 = 1/2 car oq = 1.
En identifiant les termes de degré 1, il vient fias — a\ — ai = 0 , d’où
03 = 1/3 car oi — 1.
En identifiant les termes de degré k, on obtient
(k + 2){k + 1) Ofc+2 - k{k - l)ak - kük - ük ^ 0,
d’où
j^2 1 1
Vfc € N , Ofc+2 =
{k + 1) (A: + 2)
o,k.
Pour tout P € N*, on a donc
2
02p —
(2P)
p -i
Tn
(l + 4A:^) et 02p+i -
^2p+l)\ H (l + (2^ + l)^)>
avec üQ = ai — 1.
Comme
lim
/d—
>+oo ük
les séries X) 02p x^^ et 1] 02p+i
De plus,
|x| > 1
lim
71—> + 0 0
= 1,
ont 1 pour rayon de convergence.
|onx” | = + 00 ,
car on est dans le cas de divergence dans le critère de D’Alembert. On
en conclut que le rayon de convergence de la série
anx'^ est égal à 1.
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
273
Exercice 5.18 Développer en série entière près de 0 la fonction :
f{x) = In ( y i — 2xcha +
{a G R+).
Solution
On a : 1 — 2xcha +
= (x — e°'){x — e““).
La fonction a;
1 —2a; ch a +
est strictement positive sur l’ensemble
] —00 , e~“[U]e“, + oo[. Le plus grand intervalle, centré en 0, sur lequel
/ peut être développée en série entière est donc ] —e“®, e"“[.
Pour tout a; G ] —e~®, e“®[, on a
f( ^ ) = ^ (ln(e®-a;) + ln(e"“ -a;)).
Or ln(e® — x) = a + ln(l —a;e“®), et comme |a;e“®| < 1, on a
+0
00
0
g —na
n=l
n
In (e° —a;) = g —
De même, ln(e “ —a;) = —a + ln(l —a;e®) et |a;e“| < 1 entraînent
+00 ^na
In (e~® — x) = —a —
n
On en déduit que
’+00 ^—na^n
+00 ^na
^
+ E
■).
n..............
=l
^ ^n=l
1
V x G ] - e - ® , e - “[, f{x) =
✓ + 0 0
^ —
I ^
rp!f>
ry*
donc
n=l
n
Exercice 5.19 Déterminer les fonctions solutions de l ’équation différen­
tielle suivante qui sont développables en série entière en 0 :
(E)
3^ { l - x) y" - x { l + x)y' + y = 0.
274
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
Solution
Soit X) ûn a:” le développement en série entière d’une fonction / solution
de l’équation différentielle {E).
Pour tout n G N*, on a
(n (n - 1) - n + 1) On + ( - ( n - 1) (n - 2) - (n - 1)) On-l = 0,
ou encore
Vn G N ,
(on+i - On) = 0.
Il en résulte que On+i = o„ pour tout n > 1.
À l’aide de la règle de D’Alembert on voit immédiatement que le rayon
de convergence de la série Y^anX^ est égal à 1.
D’autre part, en faisant a: = 0 dans (E), on obtient /(0) = Oq = 0.
Par conséquent, toute solution sur ] —1,1[ de (E) développable en série
entière est de la forme A/i où
+00
Va;G]-l,l[, f i ( x ) ^ J 2 x ' ^
+00
= x '^x '^ =
n=i
--.
1 - ^
^ 0
Exercice 5.20 À l ’aide de la méthode de l ’équation différentielle, déter­
miner le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction :
f{x) = (l + x)“
(aGE).
Solution
La fonction / est de classe C°° sur ] —1, + oo[, et on a
V æ G ] - l , + o o [ , f { x ) = a ( l + a;)“"^ =
f{x).
Donc / est solution sur ] —1, + oo[ de l’équation différentielle
{E)
{l + x ) ÿ - a y = Q.
Soit y une fonction développable en série entière en 0; il existe alors
une série entière
On a;” de rayon de convergence i? > 0, et un nombre
r > 0, tels que
+00
r < min(l,jR), et VrcG]—r,r[ : y{x) = ^ O n x ”'.
72=0
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
275
Pour tout a: G ] —r, r[, on a alors
+00
{l-\-x)y'- ay
=
+00
nonx'^~^ - a
anX^
n=l
+00
=
^
H-OO
+00
n Un x^~^ + ^ n a„ x” - a ^
n=l
n=l
+00
=
n=0
a„ a;”
n=0
+00
+00
13 (»^ + 1 )Un+1 a;” + 13 ^û„a;" - a 13 ûn^;”
n=0
n=l
n=0
+CX)
=
1 3
a On) a;"
( ( i ^ + l ) a n + i + n On -
n=0
Pour que y soit solution de {E) sur ] —r, r[ et que y{Q) = 1, il faut et il
suffit, par unicité du développement en série entière de la fonction nulle,
que l’on ait
1 U
iM*
a ( a —l ) . . . ( a - n + l )
ao = I , Vn G N* : Un = — -------------r ------------ ~n\
Considérons maintenant la série entière Y, <^n
^
ao = I et
où
a (o: —l) ... (a —n + l)
a„ = ---------------- ;------------- ^ si n > 1.
n!
Si o; G N, alors les
sont tous nuis à partir d’un certain rang, le rayon
de convergence de la série entière Y, <hi x^ est infini, et sa fonction somme
est donc définie sur R.
Si a ^ N, comme
^n+l
a —n
n+ 1
n—>+oo
1,
le rayon de convergence de la série entière 53a„a;” est égal à 1, et sa
fonction somme S est définie sur ] —1 ,1[.
Or on a vu que S est solution sur ] — 1 ,1[ de l’équation différentielle
linéaire (E), il existe donc A G R tel que
V a ; G ] - l , l [ , S{x) =
= A(l + a;)“ .
Comme 5'(0) = Oq = 1, on conclut que
V a ; G ] - l , l [ , S{x) = (l + æ)“ = f{x).
Chapitre 5.
276
Séries entières réelles ou complexes
Finalement, / est développable en série entière autour de 0, avec un rayon
de convergence 1 si o; ^ N, et +oo si et e N. De plus,
Vxe|-l,l[,
(1+xr =
+
n=l
Exercice 5.21 Développer en série entière près de 0 la fonction
f (x) = arctan(l + x).
Indication : développer en série entière la dérivée f'{x).
Solution
La fonction / est indéfiniment dérivable sur E comme composée de fonc­
tions indéfiniment dérivables sur E. De plus.
1
= IT (ÏT Ï? '
V - S K . / 'W
En décomposant en éléments simples dans C( îc), on obtient
2 i \ ] . — i-\-x
Pour
1—i
1
= Qim
\-\-i-{-x)
\^1 —î-|-x^
< 1, c’est-à-dire |x| < y/2, on a
1
1 -i +x
1
=
1
l-f-i
2
E (-ir ( ^ )
n=0
\
^
J
Or
^ 1 -1 -
donc
2 ~ ^
g (n + l)iir /4 ^
1
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
277
Comme /(0) = tt/ 4, on obtient après intégration
+00
n+1
TT
(-1 )" 2 - ^
/(* ) = 7 + E
n=0
Finalement, on a, pour tout x e] — -\/2, \/2[
TT
arctan(x + 1) = T +
+00
(_ _ l)n -l 2 - 2
sin
n
n=l
(")
Exercice 5.22 On considère la fonction f :
m
= (f+
1
SI
définie par
X
= U.
1) Montrer que f est de classe C°° sur R.
2) Calculer /^”^(0) puis déterminer la série entière J2a^x‘^ engendrée
par f .
S) La fonction f est-elle développable en série entière à l ’origine ?
Solution
1) Posons f = g + h o v L f et g sont définies sur R par
g{x) =
(;■*
si X ^ 0
si X = 0.
et h{x) = e®.
La fonction h est manifestement de classe C°° sur R. Il suffit donc de
s’assurer que g est de classe C°° sur R.
La fonction g est continue en tout point x ^ 0 comme composée de
fonctions continues, elle est également continue en x = 0 car
lim o(x) = lim e ^ = 0 = p(0).
X—>0
X—►
O
La fonction g est dérivable en tout point x ^ 0, et on a
g'(x) =
I
e-i.
278
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
Par ailleurs,
1
6 ®
g{x) - g{0)
X —0
X
donc g est bien dérivable en 0 et ^'(0) = 0.
En résumé, g est dérivable sur M, et on a
0.
2 _1
—r e ^ si X ^ 0
g'{x) = < x^
0
si a; = 0.
La fonction g' est manifestement continue pour tout x ^ 0, et d’autre
part, on a
Um /f{x) = Ito I e - i = 0 = 9'(0),
ce qui prouve que g' est continue en a: = 0.
La fonction g' est dérivable en tout point a;
fonctions dérivables sur E*, et on a
g'jx) - g'{0)
X— 0
= 2
0 comme composée de
x-^0 0 ,
x^
donc p"(0) existe et est égale à 0.
On peut alors faire un raisonnement par récurrence en supposant que
est définie par une expression de la forme
S<”)(x) =
P„{x) —1
e ^
X3n
0
.
SI
X 7^ 0
si a; = 0,
où Pn est une fonction polynôme.
Le résultat étant vrai pour tout n 6 N, on conclut que g est de classe
C°° sur E. Donc / est de classe C°° sur E comme somme de fonctions
sur
2) On a
= 1 donc /^"^(0) = g^‘^ \0 ) +
= 1, pour tout
n € N. On déduit que le développement en série entière de / en 0 est
donné par la série de Taylor :
+00
n=0
n=0
^
n\
§ 8.
Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
279
La règle de D’Alembert permet de voir aussitôt que le rayon de conver­
gence est égal à +oo.
Si / était développable en série entière en 0 , on aurait, dans un voisinage
+ 00
de ce point f ( x) =
~
~ h(x), ce qui est absurde, puisque
n=o
f{x) = g{x) + h{x) avec g{x) 7^ 0 pour tout x dans R.
La fonction / n’est donc pas développable en série entière à l’origine.
Exercice 5.23 Résoudre dans C les équations suivantes :
a)
= 3 , b) e^ = —2 , c) e^ = i , d) chz = —1 , e) 7 cos 2:-f-sin2 = 5.
Solution
a) On a
= 3 =
2: = ln3 -b 2ikir où k G h.
b) On a
= - 2 = 2 e " = e‘“2 e" =
d’où
2: = In 2 + Î7r + {2k -b 1 ) ¿TT,
k G Tl.
c) On a
TT
Z = i — + 2ik'K , k g T.
e* = i = e"/^
d) On a
chz = —1
e^-be""^ = —2
-4=^
e^* + 1 = —2e^
donc
chz = - 1
(e""-b 1 )^ = 0
*4=4>
d’où
Z = {2k + l ) i i r , k g T.
e) En posant Z = e", on obtient
{7-i)
- l O Z + {7 + i) = 0,
= - 1,
280
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
qui a pour solutions
3
Z\ = —
O
4
~ i et Z 2 = —i Z \ .
U
Sous forme trigonométrique, on a
Z\ —
avec в\ = arccos -
et
7Г
Z2 =
avec Ö2 = —7: +
2
D’où les solutions de l’équation proposée :
3
5
2: — arccos - +
= — arcsin
3
5
3
2k'K, A: G Z, ei z = —arcsin - + 2£тг,
5
^ G Z.
Exercice 5.24 Résoudre dans C les équations suivantes :
o) sin2: = 0 , b) cos Z — 2 , c) cos Z = chz , d) exp
~
Solution
a) Posons z = x + iy avec æ, y G M. On a alors
sin (x + iy) = sinæ cos iy + sin iy cosx = sinx chy + ¿shy cosa:.
D’où
sin 2: = 0
j sin a: ch y = 0 ( 1 )
I shy cosa; = 0 (2 )
Puisque ch y ^ 0 pour tout y G R, il est clair que l’on a
( 1)
X = ктг, A; G Z,
puis
(2)
shy cos(A:7r) = (—l )^shy — 0
donc
sin 2: = 0
Z = ктг, к E
4=^
y — 0,
§ 8 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
281
b) En posant Z = e**, on obtient
- 4 Z + 1 = 0,
qui a pour solutions
Zi = 2 + \/3 =
et Z2 = 2 - \/3 =
On en déduit les solutions :
Z = —ê In (2 + \/3) + 2 A:7r et z = —i In (2 —y/S) + 2£Tr,
où k j e Z.
Comme 2 —y/3 = 1/(2 + \/3), les solutions sont deux à deux conjuguées
et peuvent s’écrire plus rapidement sous la forme
= 2/c7r ± i In (2 + -\/3) , k E h .
c) On a
cos Z = ch Z = cos (iz),
d ’où
^ = ± i z + 2 k 7T, k e h ,
ce qui donne les solutions recherchées :
Z
=
2kTr
, keh.
l± i
d) On â l — i — y/ 2 e '‘‘^1^, et par suite,
= 1 —i
eîTï =
^ gln^Æ-гî
On a alors
—- —= In y/ 2 — î T + 2 ikn , k e h .
z -\-l
4
Si 0!fc désigne le nombre complexe donné par le second membre, on a
alors ttfe ^ 1 et
2:
z+1
= 0!fc 4=^
1
1 ----- 7-7 = ûife
z+1
z+1 =
1
1 - Ûfc
2: =
(Xk
1 — (Xk
Chapitre 5.
282
Exercice 5.25 Soient { x, y)
I
Séries entières réelles ou complexes
, z = x + iy. Vérifier :
C O S 2;
—
cos^ X + sh^2/ =
~ sin^ X
(1)
|sin^P
= sin^ X + sh^y = ch^y —cos^ æ.
(2)
Solution
D’après les propositions 7.14 et 7.16, on a
cos (x + iy) = cos X cos iy — sin X sin iy = cos aj ch y — z sin a; shy,
d ’où
|cos z\“
^ = cos^x ch^y + sin^a; sh^y
= cos^ X (1 + sh^y) + sin^a; sh^y
- cos^a; + sh^y = 1 — sin^a; + ch^y — 1
=
c h ^ y — s i n ^ X.
Pour établir (2 ), on procède de la même manière. En eiïet,
sin(x + zy) = sin a; cos ¿y + siniy cosx = sin a: ch y + ¿shy cos a;,
d’où
|sin
= sin^a; ch^y + cos^a: sh^y
= sin^ a; (1 + sh^y) + (1 - sin^ x) sh^y
= sin^a; + sh^y = 1 — cos^a; + ch^y — 1
=
c h ^ y — c o s ^ X.
Exercice 5.26 Résoudre dans R l ’équation :
+CX)
{E)
'^ { S n + l ) ^ x ^ = 0.
n=0
Solution
En notant X) ûn a;” la série entière proposée, on a
ün+l
n ++ 4\2
%n+i ^ //33n
4V
ün
\3 n +
ly
^
n-*+oo
§ 8 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
283
et d’après la règle de D’Alembert, le rayon de convergence est égal à 1 .
Pour tout a: G ] —1 ,1[, on a
+00
E
+CX)
(3?2 + 1)^
9 (n + 2) (n + 1) X
n=0
n=0
+00
+00
- 2 1 ^ ( n + l)a;" + 4 X; a;”
n=0
2
_
(1 —
4a;2 + 13a; + l
(l-a:)3
•
1
[1 —x y
n=0
4
1 —a;
Les solutions de l’équation {E) sont donc les racines dans ] —1 ,1[ du
polynôme
+ 13 a: + 1 = 0. D’où l’unique solution
=
X
-1 3 + V ï ^
8
fr+oo
Exercice 5.27 Montrer que l ’intégrale impropre /
dx estconver^
^
^ ^ h
chx
gente et établir l ’égalité :
/
(•)
JO
" dx = 2 E
cha;
„0
(S'i + l)"'
Solution
- Convergence de l’intégrale impropre.
Sur [0, + oo[, la fonction x
x/ch. x est continue donc intégrable sur
tout segment contenu dans [0, + oo[. De plus,
X
cha:
2x
e® +
2x
i^+oo ET
^ = O X^ ,
et comme l’intégrale de x
l/x"^ sur [1 , + oo[ est convergente, il en
est de même de celle de la fonction x
a:/cha: d’après le théorème
d’équivalence pour les fonctions positives.
L’intégrale proposée est donc convergente.
284
Chapitre 5.
Séries entières réelles ou complexes
- Établissons à présent la relation (*).
Le changement de variable u = e"® donne
/•+00
(îl!*)
l
X
,
1 Inu
.
d t o * = - V o î + «2
du.
L’idée est alors d ’utiliser le développement en série entière de la fonction
U 1-^ (1 + u^)~^ pour |u| < 1 .
Considérons donc la série de fonctions ^ fn où, pour tout n > 1 :
/n(w) = (—
I nu si 0 < li < 1 , et /„ ( 0 ) = 0 .
C’est une série de fonctions continues sur [0 , 1 ], mais qui ne converge
pas normalement. On va prouver la convergence uniforme en majorant
le reste Rn d ’ordre n de cette série. Pour chaque u g ]0, 1[, la série
^ ( _ l) n + i ^ 2n
gg^. alternée et vérifie les hypothèses du critère de
Leibniz (théorème 4.4 du chapitre 2), elle est donc convergente. On a
alors, par la majoration du reste :
+0O
U
<
Inul = —
Inu.
p=n+l
Une étude rapide de la fonction u
Inu montre que
,-i
Vu G [0,1],
|i2n(u)| <
¿‘ n
2
On voit donc que la suite {Rn) converge uniformément sur [0,1] vers la
fonction nulle, ce qui prouve que la série de fonctions X)/n est unifor­
mément convergente sur [0,1]. On peut donc intégrer terme à terme :
+00
[
) du ■
n=l
J
In u du
0
avec
■ y2n+l
Jq
\nu du =
lim
£->0+
1
. 2n + 1 . e
/ g2n+l
lim 1
£ -0 + l
2 n -M j
-1
(2 n + l) 2 ’
i \u^'^ du
^
QiTi - | - 1 jo
1
(2n + 1)2
§ 8 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 5
285
Or,
/>1 Inî,
fl
/•! /+°o
\
donc
^
inu
,
^ /•!
—2 / ------- r d u
Jo l + u2
,
„
(-1 )”
—
—2
=
—2 lim m Inu — u \ + 2
e-o L
ie
=
—2
Jo
\n u
d u
+
r
2
(2 rH -l)2
il
(—1 — £ ln£^ + s) + 2 ^ ^
¿ î (2n + 1)2
+00
(—\Y
= 2 + 2 5:
^
a
(2 > i+ i) 2 -
Compte tenu de (**), on a bien la formule annoncée :
/*+00 7»
l
f—1)"
7------(2n + l)2
+00
/_l\r
í h г ‘^ = ^ n=0
Ç
( - 1 )'
Chapitre 6
Séries de Fourier
Les séries de Fourier sont un outil fondamental dans l’étude des fonctions
périodiques. Elles ont été introduites par Joseph Fourier en 1822, même
si leur étude systématique et approfondie n’a réellement démarré qu’avec
l’apparition de l’intégrale de Lebesgue en 1902. Les séries de Fourier sont
encore aujourd’hui l’objet de recherches actives pour elles-mêmes, et ont
suscité plusieurs branches nouvelles telles que la théorie du signal et la
théorie des ondelettes.
1
L’espace préhilbertien C27t(1^,C)
1 . 1 . L’espace vectoriel CM2,r(l^)C)
Une application / : M ^ C est dite périodique s’il existe un nombre
réel T > 0 tel que
Vx g E, f{ x + T) = f{x).
(6 . 1 )
On dit que / est périodique de période T (ou simplement T-périodique)
si T est le plus petit des nombres réels strictement positifs vérifiant la
relation (6 .1 ). De façon générale, l’étude d’une fonction T-périodique /
peut toujours se ramener à l’étude d’une fonction 27r-périodique g donnée
pour tout X réel par
g(x) = / ( i * ) ■
C’est pourquoi nous avons choisi pour cadre naturel de ce chapitre celui
des fonctions 27r-périodiques.
Nous nous intéressons plus précisément aux applications de M dans C,
287
Chapitre 6 . Séries de Fourier
288
27T-périodiques et continues par morceaux. On note CM2,r(l^) C) l’espace
vectoriel de telles applications, et on note C27r(K, C) le sous-espace vec­
toriel formé des applications continues.
Il est facile de voir qu’une fonction / appartient à CM2,r(l^)
si et seule­
ment si elle est périodique de période
et si sa restriction à [0 , 27t] est
continue par morceaux.
1.2. Proposition Soit f G CM2 ,r(®, C). On a
/
0+27T
/‘27T
f {t )dt =
f {t )dt
pour tout a 6 R. Cette valeur commune s ’appelle l’intégrale de / sur
une période.
D ém onstration :
On a
ra
/*a+27T
/ f { t ) dt = / f ( t - 2 TT)dt = /
f(t)dt.
JO
«/0
J2TT
À l’aide de la relation de Chasles, on a alors
/•a+27T
/*0
/*27t
/*a+27T
/
f{t) d t =
f{t) d t +
f{t) d t +
f{t) dt
pa
Ja
./0
Ja
=
/*0
J2'K
ra
r2n
f{t) dt -I-
f{t) dt -I-
f{t) dt
/‘27T
=
/
f i t ) dt.
Jo
□
D’où la proposition.
1.3. Remarque Ce résultat dit que, pour a G E et pour tout / élément
/•0+27T
de CM2,r(E, C), l’intégrale /
Ja
f{t)dt ne dépend pas de a.
1.4. Notion d’espace préhilbertîen
On note K le corps E ou C.
1.5. Définition Soit E un K-espace vectoriel. On dit qu’une applica­
tion (f : E x E
est sesquilinéaire si, pour tous x, y, z dans E et
tout a dans K, on a
' ip{x + y,z)
= (p{x, z) -I- (p{y, z)
(p{x,y + z) = (pix,y) + (p{x,z)
(p{ax,y)
= a(p{x,y)
<p(x,0!y)
= â(p{x,y).
§ 1 . L’espace préhilbertien C27r(ÎK, C)
289
1.6. D éfinition Une forme sesquilinéaire
sur E x E est dite herm i­
tien n e si
W x , y e E , (p(x,y) = (p(y,x).
1.7. D éfinition Une forme sesquilinéaire hermitienne (p sur E x E est
dite positive si ip{x, x) > 0 pour tout x dans E.
1 . 8 . D éfinition Une forme sesquilinéaire hermitienne p sur E x E est
dite définie positive (ou positive e t non dégénérée) si elle est po­
sitive et si de plus on a
(p{x, x) = 0 => X = 0 (= Oe )On dit alors que ¡p est un p ro d u it scalaire h erm itien sur E, ou plus
simplement un produit scalaire sur E.
1.9. D éfinition On appelle espace p réh ilb ertien sur K, tout Kespace vectoriel E muni d’un produit scalaire (.,.). On note alors {E, (.,.))
ou simplement E lorsqu’aucun risque de confusion n’est à craindre.
1.10. P ro d u it scalaire e t sem i-norm e
1 . 1 1 . D éfinition On appelle produit scalaire de deux fonctions f et g
de CM2,r(i^)C), le nombre complexe
{/,»> =
/
f{t)g{t)dt.
( 6. 2)
1.12. Remarque II est immédiat que l’application (f,g)
{f,g) est
une forme sesquilinéaire hermitienne positive. Nous verrons ci-dessous
qu’elle n’est pas définie positive sur CM27r(lK, C). L’appellation “produit
scalaire” est donc abusive, mais néanmoins traditionnelle.
1.13. Définition On appelle semi-norme sur un K-espace vectoriel
E, toute application N : E ^ R vérifiant :
• y x Ç. E , N{x) > 0,
• Vx G Æ; , Va G K , N{ a x ) = |a| iV(x),
• Wx,y e E , N{x + y) < N(x) + N(y).
Si, de plus, on a
• N{x) = 0
X = 0 (= Oe ),
alors on dit que N est une norme sur E.
290
Chapitre 6 . Séries de Fourier
1.14. D éfinition On appelle sem i-norm e de la convergence en
m oyenne q u ad ratiq u e d’une fonction / de CM27t(K, C), le nombre
réel positif :
ii/ib = iU J ) La proposition suivante montre que l’application / i-> ||/||2 n’est pas une
norme sur CM2,r(lR, C) et précise quelles sont les fonctions de semi-norme
nulle.
1.15. P ro p o sitio n Une fonction f de C3Vt27r(M, C) vérifie ||/||2 = 0
si et seulement si elle est nulle sauf peut-être en un nombre fini de points
de [0 , 27t].
D ém onstration : Soit (ûq, ■••,Op) une subdivision de [0,27t] adap­
tée à / , et soit fi le prolongement par continuité à [ai-i,ai\ de la res­
triction de f k ]oj_i,ai[ pour tout i G { 1 , ... ,p}.
Si II/II2 = 0, on a
P ^ pCLi^i
I
\fi{t)\'^ dt = 0 .
i=0
On en déduit que
/
Jai
\fi{t)\^ dt = 0 et fi = 0 sur [oj_i,aj]
pour tout i puisque fi est continue sur [ai_i,aj].
La fonction / est donc nulle sur le segment [0, 27t] sauf peut-être aux
points üi. La réciproque est évidente.
□
On dira que deux fonctions / et p de CM2„ (K, C) sont orthogonales,
et on écrira f 1. g, lorsque (/, g) est nul. On obtient bien sûr, dans ces
conditions, la formule de Pythagore :
l l / + î i = ll/ll^ + llslllLe produit scalaire (f,g) donne évidemment une structure d’espace
préhilbertien à tout sous-espace de 6 ^ 2^ (M, C) sur lequel la relation
I2 = 0 implique / = 0. En voici deux exemples très importants.
1.16. C orollaire Muni de (.,.) donné par (6.2), (Q2-k (R,C), (.,.)) est
un espace préhilbertien.
§ 1 . L’espace préhilbertien 63 ^(R, C)
291
D ém onstration : Avec les notations de la démonstration de la pro­
position précédente, la restriction de / à [0, 27t] est / 1 . La relation
Il/112 = 0 entraîne donc / = 0 sur [0 , 27t], et finalement / = 0 sur M
par périodicité.
□
Rappelons que pour une fonction / continue par morceaux sur R, l’en­
semble des points de discontinuité est fini, et qu’en chacun de ces points
U, les limites :
lim f(t) et
i-tr
lim f{t) existent (et sont finies)
t^tT
et sont souvent notées respectivement /( tj ) et f {t f ).
1.17. Définition On dit que / G ÇM.2-K(R,C) vérifie la condition de
Dirichlet en to GM. si on a
f(to) = I { f ( 4 ) + /(¿0 ))•
C’est évidemment le cas en tout point de continuité de / .
L’ensemble des fonctions 27r-périodiques continues par morceaux et véri­
fiant la condition de Dirichlet en tout point, est un sous-espace vectoriel
de C3Vt2^(R, C), que l’on notera î) 27r (R,C) .
1.18. Corollaire ( p 2n
(., .)^ est un espace préhilbertien.
D ém onstration : Soit / G î>27r (R, C). Avec les notations de la dé­
monstration de la proposition 1.15, la relation ||/||2 = 0 implique fi = 0
pour tout i de {0, ... ,p — 1}. La condition de Dirichlet montre alors
que l’on a aussi
/ (« i) = \ {
/(^) +
/(^)) = 0
pour tout i de {0, ... ,p}. Donc / est la fonction nulle.
□
Comme dans tout espace prehilbertien, on dispose dans ^ 2ir (R,C) et
dans 'D2tt (R, C) de deux inégalités très importantes (voir [6]).
1.19. Proposition Pour toutes fonctions f et g dans C2 ir(i^)C) ou
T>2^ (R, C), on a
• l ’inégalité de Cauchy-Schwarz : |(/,^)| < II/H 2 Iblla• l ’inégalité triangulaire : ||/+ ^ ||2 < II/ II 2 + ll^lh (dite aussi inégalité
de Minkowski).
292
Chapitre 6 . Séries de Fourier
1 . 2 0 . Systèm e exponentiel e t polynôm es trigonom étriques
Pour tout n € Z, on note e„ la fonction exponentielle : 1 e*”*. La fa­
mille (en)nez est souvent appelée système exponentiel et son importance
est due, en partie, à la proposition suivante.
1 . 2 1 . P ro p o sitio n La famille (en)nez est orthonormée dans С2тг(1К)С)
(c’est-à-dire orthogonale et chacun de ses éléments est de norme 1).
D ém onstration :
Pour tout n e Z, on a
1
/*27г
/ e - " ‘ e*"‘ Л
¿'K
JO
{en, en) =
1
/*2тг
dt = 1.
Z7T JQ
De même, pour tous п , т Е Ъ vérifiant m ^ n, on a
Л
г2ж ,
Г p{m-n)it
,
2тг Jo
[г{т — n) Jo
=
0.
D’où la proposition.
□
On utilisera aussi la famille des fonctions trigonométriques :
(l, cos nt, sin ni)
— (1 , cosí, suit, cos 2 i, sin 2 i, ...).
1 . 2 2 . P ro p o sitio n La famille (1, cosnt, smnt)nen* est orthogonale dans
Сзя- (K,C). La norme de ses éléments est donnée par ||1||2 = 1 ei
||cosni ||2 =
Vn G N * ,
^
Z
et
| | s in n i ||2 =
Z
D ém onstration : On ramène le calcul des produits scalaires des fonc­
tions trigonométriques à celui des fonctions exponentielles en utilisant les
formules d’Euler.
Pour tous m, n G N vérifiant m n, on a en effet
2 тг (cos ni, sin mi)
=
r2'ïï
/ cos ni sin m id i
Jo
^
~ ^
e„j)
h lo
(e,i, е_пг)
{e—m^m}
(e—щб—m)^ ~ 0.
§ 1.
293
L’espace préhilbertien C27t(1^,C)
De même, pour tout n G N* :
(cos ni, cos ni) =
^
Cn "b C_ji &ji -|- S—n
ô
)
ô
— 4 ((®nj 6n) + (fi—ni ^—rS) — n
Les autres résultats se démontrent de la même manière.
1.23. Remarque Les familles (en)nez et (1, cos ni, sin ni)neN* sont
orthogonales dans l’espace préhilbertien
elle sont donc libres.
1.24. Définition On appelle polynôm e trigonométrique d’indice
G N, toute combinaison linéaire de vecteurs de la famille (en)-N<n<NOn note iPjv leur ensemble.
On note y l’espace vectoriel des polynômes trigonométriques d’indice
quelconque.
Puisque
est le sous-espace vectoriel de 62«- (M, C) engendré par la fa­
mille libre {en)-N<n<N, on en déduit que tout polynôme trigonométrique
P d’indice N s’écrit de façon unique sous la forme exponentielle :
N
P — ^ ^ fin finn = —N
Les coefficients Cn, appelés coefficients exponentiels de P , sont donnés
par les produits scalaires Cn = {^n,P)Pour obtenir l’écriture trigonométrique de P, notons U n le sous-espace
Vect(e„, e_„) où n G N. La décomposition en somme directe orthogo­
nale :
^JV = ® '^n
n=0
nous permet d’écrire de façon unique tout polynôme trigonométrique P
de Tjv sous la forme :
N
P = ^
n=0
Un avec Uq = Cq et Un = C-n f i - n + fin fin
Vn > 1 .
294
Chapitre 6 . Séries de Fourier
Le couple (cos ni, sinni) étant une base de U„ pour n > 1 , le polynôme
trigonométrique P peut aussi s’écrire de façon unique sous la forme dite
trigonométrique :
ao
P{t) = -^ +
^
(ûn cos ni + bn sinni)
avec ao = 2 uo et Un{t) = On cos nt + bn sin nt pour tout n > 1 .
Les coefficients a„ et bn, appelés coefficients trigonométriques de P,
sont donnés par les produits scalaires :
Vn G {0, . . . , N } , ün = 2 {cos nt, P(t))
Vn G {1, ... ,iV} , bn — 2 {sinnt,P(t)).
1.25. P ro p o sitio n La norme de P £ iPjv csi donnée en fonction des
coefficients exponentiels ou trigonométriques par
llflli = i : k P = J K P + I E ( K P + k p ) .
n=l
n =-N
D ém onstration :
On a
N
M il = IK IIi + E
n=l
En utilisant la valeur des normes des fonctions exponentielles ou trigo­
nométriques, il vient
llt^olli = |coP = ^ |aoP
et
V n e N * . I K i = |C_„P + k P = i ( K P + k p ) .
D’où la proposition.
□
§ 2.
Séries trigonométriques
2
Séries trigonométriques
295
2 . 1 . D éfinition On appelle série trig o n o m étriq u e toute série de fonc­
tions :
+00
S = ^ Un avec Un € Vect (e_„, e^) pour tout n G N.
n=0
Une série trigonométrique s’écrit évidemment de façon unique :
• sous la forme exponentielle :
+ 00
— Cq ~t" ^ ^ ( c —n 6 —n "I" Cji
s
,
n=l
+ 00
qu’on notera désormais
^
Cn e„.
n = —oo
• sous la forme trigonométrique :
+00
^
^
-I- ^
(ün cos ni -I- bn sinnij.
n=l
La convergence de la série S est par définition équivalente à celle de la
suite des som m es partielles sym étriques associées ;
N
a
' ^ Cn e*"* = -^ +
^N(t) =
^
cos nt + bn sin ni).
n=l
n = —N
2 . 2 . T héorèm e La série trigonométrique
+00
+ 00
= Y +
(a„ cos ni + bn sin ni)
n=l
est normalement convergente sur R si et seulement si l ’une des séries
+00
-|-oo
|c„|l
X) K
-^oo
+00
ou
Y . (|an| -I- |6n|)
n=l
est convergente.
Chapitre 6 . Séries de Fourier
296
D ém o n stra tio n : Calculons la norme uniforme || •Iloo de la fonction
t
c_„ e“*”* + Cn e*”* où 71 > 1. D’après l’inégalité triangulaire, on a
Vi 6 K , \c-n^
< \c-n\ + |Cn|-
En écrivant Cn = Pn e®"®" avec (p„, On) G R+ x R, on obtient pour
¿0 —
i^-n
^n)
les relations
\c-n
+ c„
I =
~
\p-n
+ Pn
|
1^—
n| "I" lení­
cela implique
P iflt ^I Lyji
_ C
U_72 C/
— |e—
n| "I" l^nl-
La convergence normale de la série trigonométrique S est donc équiva+0O
lente à la convergence de la série numérique ^
(|c_n| + |cn|)-
n=l
Les relations entre les coefficients exponentiels et trigonométriques four­
nissent l’encadrement suivant :
| c _ , i | -|- |Cfj|
^
|û n | "I" |^ n |
^
2 ^ |c _ j i | "I" |C fi|^ -
On en déduit immédiatement que la convergence normale de la série S
+ 00
équivaut à la convergence de la série numérique ^
(|an| + |i>n|)-
□
n=l
En dehors du cas de convergence normale que nous venons de voir, l’étude
de la convergence uniforme d’une série trigonométrique est en général
assez délicate. La proposition suivante présente un cas particulier très
intéressant.
2.3. P ro p o sitio n Si (a„)„>o et (6„)n>o sont deux suites décroissantes
de nombres réels positifs ou nuis tendant vers 0, alors les séries trigono­
métriques
ün cos nt et ^ bn sin nt
convergent uniformément sur tout segment inclus dans ]0, 27t[.
§ 2 . Séries trigonométriques
D ém onstration :
297
Considérons la série
sin nt.
n
Pour tout i G ]0, 27t[, la somme Enit) = ^
est égale à
fe=0
1 _ gi(n+l)t
En{t) =
sin (n +
1 - e**
Ant
sm
Cela donne
sin (n +
Suit) = ^
sin H
fe=l
sin ni.
sin I
On en déduit que
V n G N , ViG]0,2Tr[,
Sn{t)\ < ^ - j .
sm ;
(6.3)
En effectuant une transformation d’Abel (voir problème 7.9), on obtient
bnSinnt =
Y
n=p+l
bn [Sn{t) - S n -l{t))
n=p+l
=
Y
bnSnit) - Y ^ n + iS n it)
n=p+l
n=p
9 -1
bqSq — 6 p + i Sp{t) +
=
Y/
bn+l) Sn{t)
n=p+l
pour tous p,q E N vérifiant 0 < p < g.
Tout segment de ]0 , 27t[ étant contenu dans un intervalle de la forme
[a, 27t—a] avec a G ]0, 7t[, nous nous limiterons à l’étude de la convergence
uniforme sur les intervalles de ce type.
Soit donc a G ]0, 7t[. Puisque bk G K+ et bk — bk+i G K+ pour tout
fc G N, on a
Y
n=p+l
bji sin ni -
1
/
2 \
S
n=p+l
\
2
“ ^ri+i) ) =
/
pour tous P, q vérifiant 0 < p < q, et tout i G [a, 27t —a].
bp+i
2
298
Chapitre 6 . Séries de Fourier
Soit e > 0 . Puisque (i>„) converge vers 0, il existe A/’ G N tel que
2
sin f
E.
Pour tous P, q vérifiant q > p > N, on &alors
Vi G [a, 2'K — a] ,
hn sin ni < oin ® '^P+1 —
< ■ (V
Sin ^
sin f
n=p+l
La série X^6„ s in n i vérifie donc le critère de Cauchy uniforme, elle
converge donc uniformément sur le segment [a, 27t —a].
On démontre de la même façon que la série
an cos nt converge uni­
formément sur tout segment inclus dans ]0 , 27t[ en utilisant, au lieu de
Sn{t), l’expression
sin fn -I- i
cos kt - - -----t - cos ni.
sin I
fc=0
JL
C'n(i) =
qui vérifie la même inégalité (6.3).
3
Séries de Fourier
3.1. Coefficients de Fourier d ’un élém ent de CM2,r(IK>C)
• Coefficients de Fourier exponentiels
3.2. D éfinition Soit / G CM2,r(lR) C). On appelle coefficients de Fou­
rier exponentiels de / , les produits scalaires
1
CnU) = (e»,/) = ^
/*2^
/(<)«■’”' *
(n e
(6.4)
3.3. R em arq u e Pour chaque n G Z, l’application Cn : f
Cn(f) est
manifestement une forme linéaire sur CM2w(K, C).
On note habituellement / la fonction Z
C,n
Cn{f)- L’application
/
/ est donc une application linéaire de CM2,r(lK, C) vers l’espace
vectoriel des applications de Z dans C.
§ 3.
299
Séries de Fourier
• Coefficients de Fourier trigonométriques
Les coefficients de Fourier exponentiels sont commodes d’usage dans un
contexte théorique. Dans les situations concrètes, en particulier lorsque
les fonctions considérées sont réelles, paires ou impaires, il est souvent
plus pratique d’utiliser les coefficients de Fourier trigonométriques, que
nous allons définir maintenant.
3.4. D éfinition Soit / G C!M2,r(lR,€). On appelle coefficients de
F ourier trig o n o m étriques de / , les produits scalaires
1
Vn G N , ün{f) — 2 (cos n i,/(i)) = - / f{t) cos nt dt
TTJo
Vn G N* , bn{f) = 2 (sin n i,/(i)) = — / /(i)s in n id i.
TTJo
Le résultat qui suit donne les formules de passage entre coefficients de
Fourier exponentiels et trigonométriques.
3.5. P ro p o sitio n En posant bo{f) = 0 , on a pour tout n G N
Cn(/)
=
C-n(/) =
an{f)-ibnif)
^
Clnif)+ibn(f)
O n (/)
=
C „ ( /) + C _ n ( /)
bnif)
= i(cn{f)-C-n{f))-
et
D ém onstration : Pour tout n G N, les formules d’Euler et la linéarité
de l’intégration donnent
(/)
1 /’27t
= TT
Z7T Jo
On(/) - ibnif)
1 p’Ztt
1
TT
f{t)
dt
{ c o s n t - i sinnt)
Ztt Jo
On obtient de la même manière la formule donnant c_n(/).
De même, on a
a ni f )
=
1 /*2^
1 /*27t
/ .
f{t)cosntdt = —
/(i)
TTJo
= C„(/) + c_„(/).
¿TT Jo
On procède de la même façon pour 6n(/)-
^
.V
'
dt
□
300
Chapitre 6 . Séries de Fourier
3.6. R em arq u e Tout ce qui précède et tout ce qui suit reste valable
pour les fonctions T-périodiques, à la seule condition de remplacer les
formules (6.4) par
Cn(f) =
f{x)exp(^-2iTm^^dx.
3.7. T héorèm e Soit f G
Si tous les coefficients de Fourier
de f sont nuis, alors f est la fonction nulle.
D ém onstration :
En considérant 5Re(/) et
on se ramène
à d’étudier le cas où / est réelle. On va prouver que / est nulle sur
tout intervalle où elle est continue. Cela suffit pour conclure car en un
éventuel point de discontinuité to, on aura, puisque / G !D2,r(lR)C) :
= /M ± /m
= 0.
Supposons donc qu’il existe a g ]0 , 27t[ tel que / soit continue et non
nulle en ce point, avec par exemple /(o ) > 0. La continuité de / entraîne
l’existence de a g ]0 , 7t/ 2 [ tel que
]a —O!, a -I- o;[ C ]0, 27t[ et f{t) > ^ /(a ) pour |t —a| < a.
Considérons le polynôme trigonométrique
Pi{t) = 1 —cosa -I- cos(i —a).
- Si t Çi]a — a, a + a[, alors cos {t — a) > cos a et Pi{t) > 1 .
- Si i G [0,0 —a] U [a -I- 0!, 27t], alors cos (t — a) < cos a et Pi{t) < 1.
Pour tout n G N*, posons Pn(t) = (Pi(i))’^. On a
/*a+ûj
{Pnj) = /
J a—a
pa—a
P n (t)m d t+ /
JO
pzn
P n {t)m d t+ /
Ja-\-a
P n (t)m d t
La somme des deux dernières intégrales est majorée indépendamment de
l’entier n puisque
p2n
/•a— a
/
«/0
Pn{t)fit)dt < 2(n —ex)
Pnit)f{t)dt+
d~\~ot
§ 3.
Séries de Fourier
301
tandis que la première intégrale tend vers +oo lorsque n tend vers +oo
comme le montre la minoration
r
‘ p„(t)f{t)dt >
J a—a
P„(t)f(t)dt > i / ( a ) / î ”
Ja—%
^
OU
¡3 =
~ 1 —cosa + cos
> 1.
On en déduit que
Um ( P „ , / ) =
n—>+oo
+ 00 ,
ce qui contredit {Pn,f) = 0 pour tout n G N*.
□
3.8. Séries e t som m es de Fourier
Les relations entre coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques montrent que l’on a cq = ao/ 2 et, pour tout n > 1 ,
c_n(/)e“*”* + Cn(/)e“ * = a „(/) cos ni + 6„ (/) sinni.
Cela conduit à la définition suivante.
3.9. D éfinition Soit / € СМ2я^(М,С). On appelle série de F ourier de
/ , la série trigonométrique :
Пп(
+00
S{f ) =
S Cn{f)en{t) =
n=—oo
+ Y . (a„(/) cos ni + &„(/) sinni).
n=l
Pour tout N E N, Oïl appelle som m e de Fourier d’ordre N de / , et on
note -S'jv(/), la iV-ième somme partielle symétrique de la série de Fourier
de / . C’est donc le polynôme trigonométrique donné par
Зм( Л = Y Cn{f)en(t) =
п=-ЛГ
^
+ Y i^nif) cos ni + bn{f) sinni).
n=l
3.10. P ro p rié té s des coefficients de Fourier
3.11. P ro p o sitio n Soient f E CM2,r(K, C), a G E, (k,n) G Z^. Alors
a) Сп(Л) = c_n(/) (où U{x) = f { - x ) ),
Ю Cnif) = c_„(/),
c) Cn{Taf) = e-^^‘^Cn{f)
(où { r j ) { x ) = f { x - a ) ) ,
d) Cn{ekf) = Cn-k{f)en (où efc(i) =
).
302
Chapitre 6 . Séries de Fourier
D ém onstration : Ces résultats découlent facilement des propriétés
standards du calcul intégral,
a)
1 /»TT
C n (M
=
J_J{~ t)e-^ dt =
^
11 r'Zn
- j i
f ( t ) e ~ ‘ dt =
b)
_
1
1
/•27T_____
C»(/) =
m
_________
p2ir
e -“ ‘ à t = ^ l
m
e<»‘ dt = c .„ (/).
c)
-ina r’
«2z7nT
CnM)
=
^
f ( t - a) e
dt =
2 TT L
dn
d)
c»(efc/) = 5 - / /( i)
Z7T ./0
D’où la proposition.
* = Cn-tU).
□
Soit / une fonction continue et de classe
par morceaux sur [0 , 27t]. Sa
dérivée / ' existe donc sur [0, 27t] \ E on E est un ensemble fini sur lequel
on peut prolonger f arbitrairement. On a ainsi une nouvelle fonction
continue par morceaux sur [0 , 27t], 27r-périodique, que nous noterons en­
core f (abusivement mais c’est bien commode ... ). On a alors le résultat
important suivant.
3 . 1 2 . P ro p o sitio n Soit f une fonction continue et de classe
par
morceaux sur [0 , 27t]. j4/ors f est continue par morceaux et 2tt-périodique,
et on a
V n e Z , Cn{ f )=i ncn{f ).
D ém onstration :
Compte tenu des hypothèses sur / , on peut écrire
[0,2irj = U
j=o
(î>eN‘)
§ 3.
Séries de Fourier
303
où 0 = Oo < tti < • • • < Up = 27t et / est de classe
sur chaque
intervalle [aj^aj+i]. Une intégration par parties donne alors
f{t)
dt = [f{t)
+ i n f i t ) e -~ ‘ dt.
Sommant ces égalités de j = 0 à jf = p —1 et divisant par 27t, on obtient
p -i
¿TT
=
¿ ( / ( O p ) e - ‘”^ - /(o „ )e -‘”« ) + ^
£ m e - ‘"‘ dt,
et comme / ( —tt) = / ( tt), on conclut que
Cnif) = i ncni f ),
□
ce qui est bien la relation désirée.
3.13. R em arque Lorsque / est de classe
^ sur [0 , 27t] et de classe
par morceaux sur ce segment, on obtient par itérations :
= («n)" c^U)Pour les coefficients de Fourier trigonométriques , on a le résultat suivant,
très utile en pratique.
3.14. P ro p o sitio n Soit f G eM 2^(M,C). On a
f paire
o,n(f) = ~ f f ( t ) c o s n t d t et bn(f) = 0.
TT J o
^
f impaire =>■ a A f ) = 0 et bn{f )= — / /(i) sin nt dt.
TT Jo
3.15. T héorèm e Si une série trigonométrique
+°° ,
C q ~\~
.
\ C —n
n "b ^
n=l
est uniformément convergente sur M et de somme f , alors
^neZ,
Cnif) = Cn-
304
Chapitre 6 . Séries de Fourier
D ém onstration : Soit m G Z.
La fonction 1 1-^ e**”* étant bornée sur R, la série de fonctions
+ 00
Cq
+ ^2 (c-n c-n + c„ 6n^
n=l
converge uniformément sur M vers la fonction t
déduit alors par intégration terme à terme :
1
+0O 1X f2iT
r’ZTT .
/’2TT
=
/(i)e*'”L On en
.
en) e<”“ dt.
Pour m = 0, {e-n,em) =
= 0 pour tout n > 1 d’après la
proposition 1 .2 1 . On en déduit que co(/) = cq.
Pour n 0 et m > 1, on a
(e_n,e^) = 0 V n > l , et (en,e,„) = | J g| JJ f ^
Donc Cm(/) = Cm- D’où le théorème.
□
Le résultat précédent dit qu’une série trigonométrique uniformément
convergente sur R est la série de Fourier de sa somme.
3.16. R em arq u e Le théorème ci-dessus se formule aussi en disant que
si la série trigonométrique
formément sur R, alors
^
Vn G N , ünif) = o„,
^ («n cos nt +
n=l
sin nt) converge uni-
et Vn G N* , 6„ (/) = bn-
3.17. Inégalité de Bessel
Voici d’abord une caractérisation importante des sommes de Fourier.
3.18. P ro p o sitio n Soient f G CM2,r(K, C) et N E N. Alors, la N ième somme de Fourier SN(f) est l ’unique polynôme trigonométrique
P de
tel que la fonction f — P soit orthogonale au sous-espace
vectoriel iPjv.
§ 3.
305
Séries de Fourier
D ém onstration :
d ’où
Pour tout n e [—iV, TV], on a {sn^SNif)) — ^ ( / )
{ e n J - S N i f ) ) = {enJ) - {en,SM{f)) = 0,
pour tout n € [-N, N]. Donc / —5iv(/) -Lî’ivSi P E ‘J*n vérifie / —P J- iPjv, le polynôme trigonométrique
S M ) - P = U - P ) - ( f - S n (î ))
appartient à iPjv et est orthogonal à lui-même, il est donc nul. On en
□
conclut que P = S^i f )3.19. C orollaire Lorsque f appartient à C27r(H^)C), la somme S n U)
est la projection orthogonale de f sur “
Pn D ém onstration :
est un espace préhilbertien et “
Pm en
est un sous-espace vectoriel fermé (car de dimension finie). Le théorème
de projection orthogonale sur une partie fermée d’un espace préhilbertien
complet (voir théorème 2.20 de [6]) assure que l ’unique vecteur P tel que
f — P soit orthogonal à iPjv est précisément la projection orthogonale
de / sur Pff.
□
3.20. T héorèm e (Inégalité de B esseP) Soit f G СМ2я-(1К,С). On a
^
VJV € N ,
„ -И
I f2n
\ U f ) Ÿ < 5 - / |/(t)|* M =
7o
D ém onstration : Nous avons vu que f = S n U) + h avec h ortho­
gonal à iPjv- On en déduit que h est orthogonal à <S'iv(/)) et d’après la
formule de Pythagore on a alors
11-^Аг(/)||^ +
On en conclut que
E |c„(/)l" = ||5я(/)||' <
n = -N
ce qui est bien l’inégalité désirée.
□
^BESSEL Friedrich Wilhelm (1784-1846). Mathématicien et astronome allemand.
Il entreprit la tâche monumentale de déterminer les positions et les mouvements spé­
cifiques de plus de 50 000 étoiles.
306
Chapitre 6 . Séries de Fourier
3 . 2 1 . R em arq u e II s’agit évidemment d’un simple résultat de la théorie
générale des espaces préhilbertiens (voir [6] page 4) lorsqu’on se limite à
C27r(H^)C) ou à !D27r(R)C).
3.22. P ro p o sitio n Si f G C M 27r(lR, C ), alors
+ 00
1) la série
^
|cn(/)P est convergente, et on a
n = —oo
+ 00
E
n = —oo
1
l<v(/)l" < ll/lli.
1
2) la série - |oop + « ^ (|on(/)P + l^n(/)P) est œnvergente, et on a
n=l
1
1
7 I^Op + 2
(l<^n(/)l^ + |6n(/)P) <
n=l
D ém onstration : 1 ) Pour chaque AT g N, la somme partielle symé­
trique d’ordre N de cette série à termes positifs est égale à ||< S j v ( /) || 2 D’après l’inégalité de Bessel, cette somme partielle est majorée par la
constante WfWl, donc la série considérée est convergente.
2) Même raisonnement que précédemment.
□
3.23. C o m p o rtem en t asym ptotique des coefficients de Fourier
3.24. T héorèm e Pour tout f G CM2,r(l^, C), les coefficients de Fourier
ûn(/)> &n(/)) Cn(/) et c-n{f) tendent vers 0 lorsque n tend vers -t-oo.
D ém onstration : Découle de la convergence des séries dans la pro­
position précédente et de la proposition 1.10 du chapitre 2 .
□
3.25. C orollaire Soit k G N*. Soit f G CM2^(R, C), de classe
sur R et
par morceaux sur M. Alors
\n[
ainsi que
«n(/) n ->=+ o o
\n '^ J
et bnif) n ->=+ o o
J
§ 4.
307
Formule de Parseval
D ém onstration : On a Cn{f^’°^) = {in ^ Cn{f) où
par hypothèse. Le corollaire découle alors de
|Cn(/)| =
pour n ^ 0, et de
€ СМ2я-(М, C)
n
lim Cn(/^^^) = 0.
n —>+oo
Les formules reliant les coefficients de Fourier trigonométriques aux co­
efficients exponentiels prouvent le deuxième point.
□
4
Formule de Parseval
Nous allons démontrer que les inégalités établies à la proposition 3.22
sont en fait des égalités !
4.1. P ro p o sitio n Toute fonction 2ж-périodique continue sur M est uni­
formément continue sur R.
D ém onstration : Soit e > 0. Puisque / est continue sur [—тг, Зтг],
le théorème de Heine assure que / est uniformément continue sur ce
segment. Il existe donc o; > 0 tel que
V(s, i) G [-7Г, Зтг]^ , | i - s | < o ;
|/( i) - / (s)| < e.
Considérons alors p = min (a, тг).
Soit un couple (t,s) G R^ vérifiant l’inégalité |t — s| < P- H existe
un couple {k, t') de Z X [0,2тг] tel que t' = t — 2kir. Le nombre réel
s' = s —2kTT appartient à [—тг, Зтг] puisque < тг. La relation \t—t'\ < a
montre que l’on a |/(i') —/(s')l < e et par translation on en déduit que
1/(0 ~ /(0 1 ^
D’où la proposition.
□
4.2. Lem m e Pour toute fonction f G eM 2^(R,C) et pour tout segment
[a, b] de R, on a
ï î î è / \f{t + a ) - f{t)\dt = 0.
Chapitre 6 . Séries de Fourier
308
D ém onstration : - Si / est continue, comme elle est périodique, elle
est uniformément continue sur R d’après la proposition précédente, ce
qui donne le résultat désiré puisque
Ve>0,3/?>0,
(^\a\</3
\f{t + o c ) - f{t)\ <
- Dans le cas général, l’ensemble des discontinuités de / sur [a, b] est
fini. Par périodicité, il suflftt d’envisager un segment de longueur 27t. De
plus, la propriété à démontrer est invariante par translation car
/
—a-^:¿7г
p27t
\f{t + a ) ~ f{t)\dt =
\Taf{0 + a)-Taf {9)\ de,
où Taf(x) = f { x — a). On se ramène ainsi au cas où / n’a qu’une
discontinuité en un point to de [0, 27t], avec a = 0 et 6 = 27t.
Soit 0 <rj < min (¿0, 27t —to). On a
rrto+v \ f { t - V a ) - f { t ) \ d t < 477 II/II,
Jto-rj
où le majorant peut être rendu arbitrairement petit par le choix de rj, et
cela indépendamment du choix de a.
L’intégrale Jq'" \f{t + a) - /(i)| dt est majorée par
Ar’
ZlT
r2ir
pto—rj
/
\f{i + oi) - f{t)\dt +
to+T)
\f{t + a ) ~ f{t)\dt + 4rj\\f\\oo,
ce qui permet de conclure car / est continue sur les segments [0, io ~ Vl]
et [to + T],2n].
□
4.3. D éfinition Soient f , g deux fonctions 27r-périodiques, continues
par morceaux sur [0, 27t]. On appelle p ro d u it de convolution de / et
g sur [0, 27t] la fonction f * g donnée par
\/t e R , f * g{t) ^
f { t - x ) g{x) dx.
4.4. R em arq u e Les propriétés suivantes du produit de convolution sont
immédiates. En effet,
• Le changement de variable 6 = t — x donne la commutativité :
V/, g G CM2,r(K, C ) , f *g = g* f.
§ 4.
309
Formule de Parseval
• La linéarité de l’intégration permet d’établir la distributivité de * par
rapport à l ’addition :
V / , p , / i G e M 2.(M,C),
f*{g^h) = f* g ^ f* h .
• Le théorème de Fubini (voir [7] p.323) permet d’établir l ’associativité :
V /,g , h e eM 2.(E ,C ) , f * { g * h ) = { f * g ) * h .
4.5. P ro p o sitio n Soient f et g deux fonctions appartenant à CM27t(R, C).
Alors
V f *9 ^ CM2^(]R,C),
2) pour tout n e Z , on a : Cn{f *g) = Cn{f) Cn(g),
3) pour tout t e R, on a
+00
f*g{t)=
D ém onstration :
E
Ant
cn{f)cn(g)e'
1) Pour tout i G E, on a
f * g ( t + 2'K) =
— /
Z7T Jo
1
=
f { t + 2TC - x ) g{x) dx
/*277
^
f i t - x ) 9 {x) dx = f * g { t ) ,
^7T J0
donc f * g est 27r-périodique.
La continuité de f * g résulte du lemme précédent. En effet, en posant
u = to — X et compte tenu de la périodicité de / , on a
\f*g{t)-f*g{to)\
1
< TT
2iTï J0
1
/*2^
< TT 11^11°° /
Z7T
^0
D’après le théorème de Fubini, on a
U Î*9)
=
1 /■2’^
^ l ’ ( f * 9)(^)
“
^nio) ^n{f) — ^n(/)^n(p))
- f { t o - x ) \ x \ g { x ) \ dx
- io + «) - f{u)\ du
Chapitre 6 . Séries de Fourier
310
d ’où la formule désirée.
3) Pour tous n ,p e N, l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne
f Ê |c . ( / ) f t ( s ) |) ' < (
\ k = —p
/
(
t
\ k = —p
< ( E
\ k = —oo
/
t
\ k = —p
(
/
/
E
\ k = —oo
/
< -1-00.
On en déduit que la série numérique X) |cn(/)^(â')l converge et par
conséquent la série X Cn(f) Cnig)
(série de Fourier de f * g) converge
normalement sur M. On conclut alors grâce au théorème 3.15.
□
4.6. T héorèm e (Form ule de P arsev aP ) Pour toute fonction /, 2'kpériodique et continue par morceaux sur [0, 27t], on a la formule
2TT Jq
qui s ’écrit aussi
i
l“ol^ + 5 E ( M / ) I ^ + M / ) 0
n=l
= è
D ém onstration : Notons g la fonction donnée par g{x) = fa{x) où
fc{x) = f { —x). En d’appliquant le 3) de la proposition précédente avec
i = 0, on obtient
f*9(0)
1
- TT /
2TT JQ
+00
f{x)g{-x)dx =
ix:
E Cn(/)cn(p).
n= -oo
Or f { x) g{ —x) = |/(x )p , et la proposition 3.11 donne
Cnig) = Cnifo) = c_n(/^) = Cnif).
D’où le résultat désiré.
□
^PARSEVAL Marc-Antoine (1755 - 1836). Mathématicien français. Célèbre pour
l’égalité qui porte son nom et qui est une formule fondamentale en théorie des séries
de Fourier.
§ 5.
Noyau et théorème de Dirichlet
311
4.7. Corollaire Si f G D 2 w(K, C), alors la suite (<S'n(/))n>o des poly­
nômes de Fourier de f converge dans î) 2,r(l^, C) vers f pour la norme
quadratique || • H2. Autrement dit,
lim ||S „(/) - /II 2 = 0.
n-^+CX)
D ém onstration :
Le résultat découle de l’égalité
wsnif) - m = wfwi - \\Sn{f)\\i
n
et du théorème de Parseval, car ||5n(/)|| 2 = E
|Cfc(/)|^.
□
k = —n
On exprime le corollaire ci-dessus en disant que la série de Fourier d’une
fonction / de î) 2,r(lK, C) converge vers / en moyenne quadratique. Ce
résultat reste vrai pour / dans CM2^(M, C).
5
Noyau et théorème de Dirichlet
5.1. Le noyau de Dirichlet
N
5.2. Définition Soit iV G N. La fonction
^
e„ où e„(t) =
n = —N
est appelée le noyau de Dirichlet d’ordre N.
En voici quelques propriétés utiles pour la suite de notre étude.
5.3. Proposition 1) D m est une fonction paire, 2t^-périodique, et vérifie
^ J
DN{t) dt = 1.
2) D m est le prolongement par continuité à
: \ 27tZ
1 1—>
(6.5)
de la fonction
sin (N -h
sin(i/2)
3) Pour tout f G CM2,r(K,C), on a : SM{f) — f * D m -
312
Chapitre 6.
D ém onstration :
1) La fonction
N
est paire car
N
N
XI i^n)a = XI
{Dn )<7 =
n = -N
Séries de Fourier
=
X^
n = -N
= Dn -
n = -N
Elle est 27T-périodique car
N
N
^
D ^ it + 27t) = XI éi n ( t + 2 n ) ^
n —N
g in t ^
D N {t).
n = —N
De plus,
Co{ D n ) ~
j
DN{t)dt,
et comme Cq {Dn ) = 1, on a bien l’égalité (6.5).
2 ) Si e*‘ = 1, alors DN{t) = 2N + 1 . Pour
2N
Ü N it )
7^ 1 , on a
1
J 2 N + l)it _
=
■
i=o
= e -iAft
®
^
g(2JV +l)it/2 (g (2 iV + l)it/2 _ g -(2 J V + l)it/2 )
+ 1 )^
sin(i/ 2 )
On remarque que cette dernière expression tend vers 2N + 1 lorsque t
tend vers 0, donc se prolonge par continuité en i = 0 vu que D n {0) =
2N + 1. Elle se prolonge donc à i = 2 A;7t {k € Z) par périodicité.
3) On a
/»B „ =
f ; (/,e„) =
n = —N
f ; c..(/)e„ = S „ (/).
n = —N
□
d’où la relation annoncée.
5.4. Lem m e (R iem ann-L ebesgue) Soit f une fonction continue par
morceaux sur un segment [a, b] de R. Alors
pb
lim
/ f{t)e^*^dt = 0
X —^ + 0 0 J n
rb
et
lim
liin / f{t)<e^*^dt = 0.
OOJd
X - -^—
§ 5.
Noyau et théorème de Dirichlet
313
D ém onstration : - Supposons que / soit constante égale à 1 sur le
segment [a, b]. Alors, pour a; G R*, on a
[ ’ f{t)
dt =
Ja
=
Ja
ix
d ’où
0 <
2
dt < -r-T
Ja
\x\
—
|x|->+oo
0.
Le théorème des gendarmes permet d’en déduire que le résultat annoncé
est vrai pour / constante égale à 1 sur [a, b].
- Supposons maintenant / en escalier sur [a, b]. Si
• • • ^tp-i,tp)
est une subdivision de [a, b] associée à / , alors
ffit)é^^dt = t ( r
r
désigne la valeur de la fonction / sur l’intervalle ] t k - i , t k [ . D’après
le cas précédent, chaque intégrale flf_^
dt tend vers 0 lorsque |x|
tend vers +oo. On en déduit que le résultat annoncé est vrai pour toute
fonction en escalier sur [a, b].
- Supposons enfin / continue par morceaux sur [a, 6]. Un réel e > 0
étant donné, il existe une fonction en escalier (p sur [a, 6] telle que
OÙ X k
2 (6 —a)
Alors
Ja
dt
<
[ \f(t) - ^ (t)\d t +
Ja
f p{t)é*'^dt
Ja
rb
< - 1 -
/ ^{t) e^^^dt
Ja
Mais, d’après ce qui précède, <p étant en escalier sur [a, 6], on a
^ (pit)é*^dt < I
pour |a;| suffisamment grand. Pour de tels x, on a alors
/
Ja
dt < £,
314
Chapitre 6 . Séries de Fourier
□
ce qui termine la démonstration du lemme.
5.5. R em arq u e Comme application directe du lemme de RiemannLebesgue, on retrouve le fait que, pour tout / G CM27t(K)C), les coef­
ficients de Fourier a „ ( /) , 6n(/), Cn{f) et c_n(/) tendent vers 0 lorsque
n tend vers -l-oo.
Par définition, si / G CM2,r(lK, C), elle admet en tout point i G K une
limite à gauche f(t~) et une limite à droite /(t'*’), finies.
Rappelons que D 2^(K, C) désigne l’ensemble des fonctions de 6 M 2,r(lR, C)
vérifiant
Vî g M, f{t) =
^^
Zi
Si / G CM2,r(]R, C), on peut lui associer / g D 2,r(R, C) en posant, pour
tout réel t :
/( ,) =
La fonction / ainsi obtenue est appelée la régularisée de f .
Sur tout segment [a, b], les fonctions f et f ne diffèrent qu’en un nombre
fini de points et coïncident en tout point où / est continue.
Le résultat qui suit est particulièrement utile en pratique.
5.6. T héorèm e (D irichlet) Soit f est une fonction 21^-périodique,
de classe
par morceaux sur [0 , 27t]. Alors la série de Fourier de f
converge simplement sur R, et sa somme est la régularisée f de f .
D ém onstration : Soit to G M. Quitte à translater, on peut supposer
que to = 0. D’après la proposition 5.3, on a
■ÎKÎfliO) =
^
d’où
S/v(/)(o) -
= ± 1 * /( _ ( ) £ ,„ ( ( )
D n H) dt,
§ 5.
Noyau et théorème de Dirichlet
315
où h est définie sur ]0 , tt] par
m + n - t ) - f(o-) - m )
= -------------- ita(i 72 )--------------■
La fonction h est intégrable sur ]0, 27t[ car elle est
]0 , 7t] et se prolonge par continuité en 0 vu que
lim
(—
f0+
par morceaux sur
= j/(o+).
t
D’après le lemme de Riemann-Lebesgue, on a alors
ce qui permet de conclure que
lim SAr(/)(0) =
/(0-) + /(0+)
TV—>+oo
D’où le théorème.
5.7. R em arque La démonstration ci-dessus montre l’importance de
l’hypothèse “ / de classe
par morceaux La continuité de / n’est
pas requise, mais supposer seulement la continuité ne suffit pas.
Voici à présent un critère de convergence normale.
5 . 8 . T héorèm e Soit f une fonction 2 -k -périodiques, de clause
par
morceaux sur le segment [0 , 27t]. On suppose de plus que f est continue
sur M. Alors la série de Fourier de / converge normalement sur M avec
pour somme la fonction f .
D ém onstration : Sur [0 , 27t], la dérivée f { t ) existe, sauf peut-être
sur un ensemble fini, et d’après la proposition 3.12, Cn{f) = incn{f)
pour tout n e Z. De l’inégalité
- r) ^
valable pour tout n G Z*, on déduit que
n
^ + b i/o r
Chapitre 6 . Séries de Fourier
316
ou encore
2 K (/) I < ^
66
( . )
+ K i/O f -
Or, d’après le théorème de Parseval, la série
+00
5 : (ic„(/')p + ic_„(/')p)
n=l
est convergente, et comme 1/n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente, on déduit de (6 .6 ) que la série
+00
n=l
est convergente. D’où la convergence normale de la série de Fourier de
la fonction / . De plus, sa somme en t, limite de la suite (<S'a^(/)(î ))jv>o
vaut f(t) puisque / est continue sur E et de classe
par morceaux
sur [0 , 27t].
□
6 Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
Exercice 6 .1 Soit / : R
R, 2 tt-périodique, impaire et telle que
t
m
=
si 0 < i < 7t/ 2
TT— t si 7t/2 < t < 7T.
1 ) Vérifier que f appartient à CM27r(R, R) et calculer ses coefficients de
Fourier trigonométriques.
2) Étudier la convergence de la série de Fourier de f
8) En déduire les sommes des séries :
+ 00
§
1
(2p + l )2 ’
+ 00
1
+ 00
^ ^£
+00
(2 p + l)4 ■
1
n=l
Solution
1 ) La fonction / est 2 Tr-périodique par hypothèse, et continue par mor­
ceaux sur R puisqu’elle est continue sur [0 , 7t] et paire. Donc / ap­
partient à CM2x(R, R) et ses coefficients de Fourier trigonométriques
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
317
existent.
Puisque / est impaire, on a On(/) = 0 pour tout n G N.
Pour tout n G N*, on a, par imparité de / :
b n if)
/ f{t) sin n t d t
7T JO
2 / rn/2
rn
\
—I /
t siurit dt +
(n —t) sin nt dt
n \Jo
Jn/2
J
2 / /•’^/2
/•’^/2
=
-
=
=
tsmntdt+
—( /
U sin(n 7T— nu) du
''
sin n i dt.
On en déduit que 62p(/) = 0 pour tout p > 1. De plus, pour tout p G N :
4 /’’^/2
hp+iif)
=
- f
TT Jo
4
t sm {2p+l)tdt
cos (2p + l) il
-i
+
2p + l
7T
sin (2p + l ) i
TT(2p + 1 ) [
/*71 2
W
7o
- 7t/ 2
cos {2p + l)i
dt
2p + l
4 ( - l) ^
2p + 1
7T
(2p + 1)2 ‘
2 ) Puisque /
est continue sur R et de classe
par morceaux, le
théorème 5.8 assure que la série de Fourier de / converge normalement
(donc uniformément et simplement) sur R et a pour somme / . On a
donc
+ °°
(*)
Vi G R , f { t )
=
^
A ( —\ \ P
^
sin(2p + l)i.
TT(2p + 1)2
3) - En prenant i = 7t/ 2 dans (*), on obtient
+00
§
4
TT(2p + 1)2
■
I ®
■
d’où
+00
7T^
^ 0 (2p + 1 )"
8
(**)
i
318
Chapitre 6 . Séries de Fourier
- Compte tenu de (**) et en écrivant
+00
1
+00
+00
1
E à = ES
(2P + l ) ^
V
^
—
n=l
+
-I
E
^
(2 p r
on déduit que
— n?
n=l
8
1 V
—
p2 >
4^
donc
V
V ¿ i n2
8
D’où
V — = —
n=l
6 •
- Puisque / €
la formule de Parseval donne
+00
dt
1 i /’’^/2
+ l y - t f d t )
TT \^c/0
J tt/2
i f
_
r '\^ d u
TT \ J o
Jo
2O r/*7r/2
77-2
^
J.
)
^
12
7T Jo
'
D’où
V
'
=
¿ ; ( 2), + i)‘
96En écrivant
+CX)
-1
e
A = ^e
n=l
+00
1
(2p + l ) '
+00
+
E
^
1
(2p)*’
on déduit que
1 s
i-
+00
1
+00
1
À e A = .Et ; (2p + l)<
167
7T^
96’
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
d ’où
+00
1
319
7T’
9Ô‘
E
n=l
Exercice 6 .2 Soit / : R — R, 2 -k -périodique, impaire, telle que
Vi € [0, 7t] , f{t) = sin^ t.
1 ) Vérifier que f
appartient à 1 )2^ (R, R) et calculer ses coefficients de
Fourier trigonométriques.
2) Étudier la convergence de la série de Fourier de f .
S) En déduire la somme de chacune des séries :
+00
2
(“ l)^
(2n - 1) (2n + 1) (2n + 3) ’
2
1
(2n -
1)2 (2n + 1)2 (2n + 3)2
Solution
1 ) La fonction / est 27r-périodique par hypothèse, et elle est continue sur
[0, 7t] et impaire. Elle appartient donc à î>2,r(ÎR,l^), et ses coefficients de
Fourier trigonométriques existent.
Comme / est impaire, on a an{f) = 0 pour tout entier n € N.
Par ailleurs, pour tout n 6 N* :
bn(f)
=
=
Z
O
1
sin^i s in n id i = —
(1 — cos 2 t) sm n td t
TT JO
TT Jo
- /
^sinni — ^ ^ s in ( n + 2 )i + sin(n —2 )i^^ di.
Si de plus n 7^ 2 , alors
bnif) = TT
—cos nt ^ cos (n + 2 )t ^ cos (n —2 )i
+ 2 (n + -2 ) + 2 ( n - 2 )
n
1 - ( - 1) " /1
7T
n
1
2 (n + 2 )
Si n est pair et n 7^ 2 , alors : 6„ (/) = 0 .
Si n est impair, alors : 6n(/) =
—8
7Tn (n2 —4)
\
2 ( n - 2 )^
1
Chapitre 6 . Séries de Fourier
320
Enfin,
h{/)
= iTT ^0rfsin:
V
VneN
VpeN
On(/) - 0,
kipU ) = 0,
Conclusion[ ;
-8
42p+i (/) = 7t(2p - 1 ) (2 p + l) (2p + 3 )‘
VpeN
2) On a
-1
!^p+i(/) p-»+oo
,
7rp 3’
donc la série de Fourier de / converge normalement donc uniformément
et simplement sur R.
Comme / € D 2^(R,R) et que / est de classe
par morceaux sur R,
on peut appliquer le théorème de Dirichlet pour conclure que la série de
Fourier de / converge simplement sur R (ce qu’on savait déjà) et a pour
somme / . On a donc
-8
+00
vt € R , m
=
^
7T(2p - 1) (2p + 1) (2p + 3)
sin {2p + l)i.
3) - En appliquant la formule précédente avec i = 7t/ 2 , on obtient
O
+00
= 4 TT ^e
i
(-l)P
( 2 p - l ) ( 2 p + l ) ( 2 p + 3)’
d’où
+ 00
^E
7T
8'
( - 1)'
( 2 p - l ) ( 2 p + l ) ( 2 p + 3)
- Puisque / G î>2,r(lK)lR)) la formule de Parseval donne
1 +00 /
2
\2
-8
5 U(2P - 1 ) (2P + 1 ) (2P + 3),
^ r ■
TT 70
^ r i-i
4TT 7o V
=
r.
/*2^
1
^
dt
i
l + cos4f\
2
J
3
8
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
D’où
321
+00
E( 2 p - l f ( 2 p + \ Y ( 2 p + Zy
^
256
Exercice 6.3 1) Développer en série de Fourier la fonction 27tf :
R donnée par
Vi G [-7r,7r], f{t) = |il.
2) En déduire la somme de chacune des séries :
+00
1
et
"
éEi (2" + l)“
g
S
(2 « + 1 )2 ’
OÙ E{x) désigne la partie entière du nombre x.
Solution
1 ) La fonction / est paire, donc bn{f) = 0 pour tout n > 1 . D’autre
part,
I fir
2
= —
\t\dt = —
t d t = 'ïï.
TT J—TT
TT Jo
Pour n > 1, on a
=
1 r
U
TT J —n
1^' nt dt
COS
2 f”
, 2
= — t cos nt dt = —
n Jo
7T
s in n t
2 r ■
-------/ s i sin nt dt
Trn Jo
n
nn^
Ainsi,
N/n G
— 0 et
—
-4
7T (2n + l ) ^
Comme / est de classe
par morceaux, le théorème de Dirichlet s’ap­
plique, et comme de plus, / est continue sur E, alors
(*)
Vi c R
V teR .
f(t) —
m
^
4 ^
cos (2n -I- l ) i
(2 n + l ) 2-
Chapitre 6 . Séries de Fourier
322
2) - En faisant i = 0 dans (*), on obtient
+00
m = 0 = ^2
;7T ^E0 (2n + 1)2
d’où
+ 00
-1
7T
E
è ; (2 n + 1)2
8 ■
- En faisant i = tt/ 4 dans (*), on trouve
/ Î t) = 7 = ? -
2 (2 n + 1)2
TT n=0
d’où
¿0
(2 r H - l )2
n“
8^ 2'
Exercice 6.4 Soit x E R+, et considérons la fonction f :
périodique, telle que / ( tt) = 0 ei
Vî g ] —7r, 7r[,
l, 27T-
f{t) = shxt.
1) Vérifier que f appartient à CM2,r(ÎK, ÎK) et calculer ses coefficients
de Fourier trigonométriques.
2) Étudier la convergence de la série de Fourier de f , et montrer que
pour tout i e ] —TT, 7t [, on a
^
sh x t = ^
2 ( - 1 )"+^ n shTTo; .
------ r-;r-— ----- sinni.
7T (n2 + a;2)
n>l
3) En déduire que
+ ° ° COS xt
I
Jo0
chi
dt =
TT
2 ch {7tx/2)
Solution
1) La fonction / est 27r-périodique par hypothèse et et continue sur
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
323
] —7T, 7t[. Donc / appartient à CM2,r(lK)K) et ses coefficients de Fou­
rier trigonométriques a „(/) et 6n(/) existent. Comme / est impaire,
ûn(/) = 0 pour tout n G N. De plus, pour tout n > 1, on a
1
b n {f)
= —
/>7T
T J-n
22 r
sho;i siïint dt = — sh xt sin nt dt
TT Jo
L1 rr( e, ^ ‘ _ e"®*)
2m
(Î7T J0
- e"*”*)
dt
/ 0{3:+in)n
g ( —i+m)5T
1
g ( i —in)7T
2î 7T \ X -|- m
X — in
( - 1 )” (gTTx _ g-Tra;^
1
X + in
2î 7T
g —(x+in)'7r'
-I-
in
1
X — in J '
—X
x + in
d ’où
VneN*,
6„ (/) =
2 (—1 )"+^ n shTTX
7T (n^ -(- a;2)
2 ) Puisque / est 2 Tr-périodique et de classe
par morceaux, le théo­
rème de Dirichlet assure qi^ la série de Fourier de / converge simplement
sur R vers la régularisée / de / . On a donc
..
^
Vt G R.
m
,
1 /
n/ - \ \
2 (—
= -2 V
(fit *) +■ -fZiV
t-- )//) =
^
n shTTX .
sin nt.
St
_|_ ^2^
Comme / est continue sur ] —7r, 7r[, on obtient
. .
(*)
VJ 1
r 1
2sh7ra; ^
(—
.
VÎ G J - 7r, 7r[, sh x t = ---- ;;;;--- 2 ^ — —--- ^7“ SlUnt.
TT n = l n^ -I- x'^
3) Pour tout réel i > 0, on a
cos xi
chi
où fn{t) =
considérons
+CX)
2 cosxt
+00
.t + p-t ^ 2 e - ^ c o s x t ' £ { - e ~ ^ T = E
2 (—1)" e
i?n(i) =
cosaji. Pour i g ]0, -f o o [ et n G N,
iE?
E Mt) -
k=n+l
r*os t/
^
Mt )-
^
k=0
Chapitre б.
324
Séries de Fourier
On a
+ 00
R^{t) =
X)
k=n-\-l
_ 9 /_1
"
p“(2n+3)i
^
cos xt,
^
l + e - 2‘
donc Rn est intégrable sur ]0 , + oo[, et
I
/*+CX)
ji
r+ o o
Rn{t) dt\ < I
.
.
^ e-(2"+3)* dt =
2n + 3
Comme le majorant ne dépend pas de t et tend vers 0 lorsque n tend
vers + 00 , on peut alors intégrer terme à terme, d’où
Jo
chi
= V 2 ( - i r p e - < “"+«‘ cosxidt.
Jo
En exprimant cos xt sous forme exponentielle complexe, on obtient après
des calculs élémentaires :
(**)
-^2
(2 n + 1 )
dt = 2 ^
/ +~ cosxt
(2 n + 1)2 + x^
chi
n=0
Par ailleurs, en faisant t = тг/2 dans (*), on obtient
7га
. 'KX
2 sh 7ra;
s h — = -------- X
~2
71- ^
(—l ) ^ ( 2p + l )
(2p + l y + ^2 ’
d’où, pour x ^ O ,
(* * *)
^ (—l ) P ( 2 p + l ) _ 7rsh ( 7Tx/2 )
2sh7TX
h o (2p + l )2 + x 2
7Г
4ch(7Tx/2)
Pour X fixé, la série dans {***) vérifie les hypothèses du critère de Leibniz.
Le théorème 4.4 du chapitre 2 donne alors, pour tout x > 0 :
-
2^ГГЗ’
d’où l’on déduit, par la proposition 1.29 du chapitre 4, que la série dans
(***) converge uniformément sur [0, +oo[. En faisant tendre x vers 0,
on obtient
^
(-l)P
^
7Г
¿S (2p + l) ■ 4 '
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
325
Ainsi, pour tout a; 6
g
^
( - l ) - ( 2p + l )
(2p + 1)2 + x2
7T
4 ch (7ra;/2 ) ’
et compte tenu de (**), on conclut que
TT
/Jor+oo coschixt dt = 2ch(7ra;/2)'
Exercice 6.5 Soit a G ]0 , + oo[, et considérons la fonction f :
définie par
f it ) = penhC
ni +
i p cos
n Q tf 1) Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de f .
2) En déduire que, pour tout n G N,
cos ni
C(
,
(—1 )” 7Te“”“
dt = ■
sha
Jo ch a + cost
Solution
1) La fonction / est 27r-périodique (car cos l’est), et continue sur M car
cha > 1 pour tout a > 0. Donc / appartient à C2w(lK>l^)- Pour calculer
ses coefficients de Fourier trigonométriques, observons d’abord que
v îg e ,
m
=
2 ei t
q2ü -f- 2 e** ch a + 1
La décomposition en éléments simples dans IR(Ar) donne aussitôt
2X
/ e“
s h o V A + e“
1
A2 + 2Ach 0 + 1
e -“ \
X + e~“
d’où
viGR, m
=
sh O V6** + 6“
6** + 6““ /
Chapitre 6 . Séries de Fourier
326
Pour a € ]0, + oo[, on a 0 < e “ < 1 < e“, donc
m
-a —it
1
= sh a V1 +
1
sha
^
1 + e
+00
+00
\
n=l
/
1 + 2 : ( - l ) " e —n a + in i
^
n=l
2
+°°
+ ^
Y . ( - i r e “"“ cosni.
sh O
sh a ~y
1
Or, pour tous n G N* et i G M, on a
|(—1 )” e””“ cos ni I < e“”“
et e“”“ est le terme général d’une série géométrique convergente puisque
e““ G ]0,1[. Donc la série
(~1)"
cos ni converge normalement sur
R, donc uniformément. Comme de plus / est continue sur R et de classe
par morceaux, le théorème 5.8 donne, pour tout n G N,
Ûn(/) —
2 ( - l ) ’^e~
sha
Les coefficients 6n (/) sont tous nuis car / est paire.
2) Pour tout n G N, on a
/ “¡T—7---- T
Jo ch a + cos t
= Ô/
2 J-n
cosnidi = - ttnif) 2
7T ( - l ) " e -
sho
Exercice 6 .6 Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de la
fonction 2n-périodique définie sur R par f(t) = |sin^i|. En déduire la
formule
2
256
4608 ^
1
+ —
E
5
(4n^ —1)2 (4n2 —9)2
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
327
Solution
La fonction / étant paire, on a &n(/) = 0 pour tout n G N*, et
On(/) = —
7T J - n
3
— —
Isin^ t\ COS nt dt
/•ir
27T J o
1
sin i COSnt dt — — / sin 3 i cos nt dt
27T J o
3
= —
sin(n + l)t —sin(n —l)t dt
4ir J0
- — / sin(n + 3 )i - sin(n —3)t dt,
47 t J o
d ’où
VpeN,
24
a 2p+i(/) = 0 et “» ( / ) = ^ (4^2 _ i) (4^^ _ 9 ) ■
Comme / est continue sur R et de classe
le théorème de Dirichlet donne
^^
^ 3^i^
2
par morceaux sur [0 , 27t],
7T(4p2-l) ( 4 p 2 - 9 ) ’
et la formule de Parseval s’écrit
2
32
, 576 K
1
(4p2 —1 ) (4p2 _ 9^
Or,
/
Jo
7o \16
sin^i +
16
sin^3í — ^ sini sin3i') di
8
/
—^ (cos 2t — cos 4i)^ dt
= 5TT/16,
d’où la formule recherchée.
Exercice 6.7 Soit z E C tel que \z\ < 1 , et soit / : R —>C la fonction
donnée par
m
= 1 + ^26'i t '
328
Chapitre 6 . Séries de Fourier
Vérifier que f appartient à C2,r(ï^)C) et calculer ses coefficients de Fou­
rier exponentiels.
Solution
La fonction / est manifestement continue sur K et 27r-périodique, donc
appartient à C2ir(iKjC). En outre, pour tout i G M, on a \ze^*\ = \z\ < 1,
donc
1
+00
et
w ^(/) =¿
/
où ft(t) =
:
(
I
Or,
VJ:eN, V i € | - ) T , 4
|A (i)| = N ‘ ,
et comme kl < 1 >la série J2fk converge normalement sur [—tt. tt], donc
uniformément. On peut donc intervertir l’intégrale et la somme dans (*),
d’où
1 i£?
<="(/) = 527T
T E /
+00
r'^
A W * = 257T- EE
k=0
J-TT
1
On en déduit que
VnG Z, Cnif) =
(—1 )” ^" si n > 0
0
si n < 0 .
Exercice 6.8 Soit f la fonction définie sur R par f it )
rir
r (cos 2nt
posons, pour tout n e Z : In =
—
dt.
Jo 1 + cos^ t
1) Montrer que, pour tout n G Z, on a
C2n+i(f) = 0
et C2n{f) = - /,
TT
1
1 + cos^ t
, et
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
329
2) Montrer que
=
dt
,
7T
---------- dt = —p=.
3 “I” cos 2i
-^/2
^/
,
Jo0
3) a) Montrer que, pour tout n > 1, on a : In+i + In-i = —6 /„
b) En déduire explicitement In pour tout n > 0 .
4) Montrer que, pour tout i G M, on a
1
+00
f{t) =-7= + V2 ^ ( - 1 )” ( \/2 - 1 )2” cos 2nt.
V2
n=i
Solution
1 ) / étant TT-périodique, on a r_ ^ / = / , d’où
V p € Z , e-*^c, {f ) = Cp(/).
Pour P = 2 n + l , on a alors ; - C2„ + i ( / ) = C2„ + i ( / ) , donc C2„ + i ( / ) = 0.
Par ailleurs,
C2n(/) = - [ f i t ) cos2ntdt
TTJo
TT
2 ) On a
^0 = Jo
Î ' t1 ^+ cos^
>OS"' t=
C
En posant 2 i = a:, on obtient
dt
^ Jo
Î 3 + cos 2t
dx
r
dt
_ 1 /‘2’r
dx
_ ^ r
dx
_ r^
Jo
2 Jo 3 + cos x
2 J-n 3 + cos x
Jo 3 + cos x ’
/0 3 +
+ cos 2t
et en posant x — 2u, il vient
dx
Jo 3 + cos X
d ’où
fi
2 du
Jo 3 + cos 2u ’
du
Jo 3 + cos 2u
^0 = 4 r
330
Chapitre 6 . Séries de Fourier
Avec V — tan u, on obtient finalement
rr+°° dv
Jo v^ + 2
TT
y/2'
^0 = 4 /
3) a) Pour tout n G N*,
cos (2 n + 2 )i + cos (2 n — 2)t = 2 cos 2nt cos 2 i,
et comme cos 2 i = 2 cos^i —
il vient
cos {2nt) (4 cos^ i —2)
/ --------7—----- 57 -------- dt
Jo
1 + COS'^ t
pu
f’f cos {2nt) (4 cos^ i + 4 —6 )
dt
1 + cos^ t
Jo
pn
pn^ ,cos 2nt
dt,
= 4 / cos 2nt dt — 6
Jo
Jo 1 + cos^ t
in+l + in-x =
d’où
(*)
%+l +
( n > 1 ).
In -l —
b) L’équation caractéristique
+ 6r + 1 = 0 associée à (*) admet pour
racines : n = —3 + 2-\/2 et V2 = —S — 2y/2. Il existe donc a,b e M.
tels que, pour tout n G N, on ait
/„ = a r ” + èrj.
Comme \In\ < lo et que |ri| < 1 et |r 2 | > 1 , on a 6 = 0 , et par
conséquent a = I q. Ainsi,
VnGN, In = ^ ( - 3
+ 2 V 2 r.
4) Les résultats précédents montrent que la série de Fourier de / s’écrit
1
+00
- 7o(/) + 2
- In cos2nt,
TT
n = l 7T
c’est-à-dire
V2
+00
+ ^/2 E ( - 3 + 2 ^/2 )” cos 2nt,
n=l
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
et comme —3 +
331
= —(V^ —1 )^, cette série s’écrit aussi
P)
\
+00
^
( - 1 )”
2
cos 2 ni.
n=l
Elle converge normalement sur R puisque, pour tout i, on a
| ( - l ) ” (\/ 2 - i f ’^cos 2 ni| < ( v ^ - l ) 2” et | a/ 2 - 1 | < 1 .
La fonction / est donc la somme de sa série de Fourier sur R. En d’autres
termes,
Vi E R,
+00
1
+ \Î2 Y , (—1 )” ( v ^ —l)^” cos 2 nt.
1 + cos i
n=l
Exercice 6.9 1) Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f
définie dans R, -périodique, et donnée pour tout t € [—■
tt, tt] par
2) Montrer que f est développable en série de Fourier.
3) En déduire la somme de chacune des séries suivantes :
^
( - 1)”
1
n=l n
n=l
1
n = l rr
Solution
1) Par un calcul élémentaire, on obtient
ooif)
Pour n E li*, une primitive de i
(1 —
est de la forme
1 1-^ Pn{t)
où Pn est une fonction polynôme de degré 2 à coefficients
complexes. On a donc
2irc,.(f)
/( t) e
dt =
=
j
=
( - l ) " ( F „ ( 7r ) - P „ ( - ^ ) ) .
e
+7T
—TT
332
Chapitre 6 . Séries de Fourier
Il suffit alors de déterminer la partie imaginaire de
c’est-à-dire en
définitive le coefficient du terme de degré 1. Posons P„ = a„T^-l-/?„T-|-7 „.
On doit avoir
rjy2
—i n (ünT^ + PnT -t- 7 n ) + (2 0!„T 4d’où
1
9
znTT^
^
Hn —
=
1 “
-2
?г^7Г^’
On en déduit que
Vn € Z-, c^(S) =
Comme / est à valeurs réelles, on a c-n(f) = Cn{f), d’où
d n if)
=
C n {f)+ C n (f)
=
^
W
)
=
* (c n (/)-C n (/))
=
0.
2 ) Comme / est manifestement continue sur IR et de classe
par
morceaux, le théorème 5.8 assure que la série de Fourier de / converge
simplement (et même normalement) vers / sur R. D’où
(.)
Vi € 1 - ^ .,]. m
= 1 - ^
= 5 - ^
E (-1 )”
n=l
En faisant t = n dans (*), on obtient la formule bien connue
V
n=l
—
j^2 - —
fi ■
En faisant i = 0, on trouve
(-1 )”
7T^
Ï2’
= 1 f'V 1
- V
g
n=l
Comme
+00
V
1
¿ ;( 2 n - ip
h
J’
333
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
on en déduit que
+0 0
1
E
s
(2n - 1)"
7T^
8■
Enfin, comme / G CM2,r(IR)lK)) la formule de Parseval donne
A 15
f
9
1 V —
2 n = l TT^n^
d ’où
1
7T'
E
90
n=l
Exercice 6 .1 0 On considère la série de fonctions
Vn G N , Vi G R , fn(t) =
fn où
sin^ nt
n\
1) Vérifier que cette série converge normalement sur R. On note S sa
fonction somme.
2) Montrer que S est de classe C°° sur R.
3) Montrer que la fonction S est développable en série de Fourier et
trouver son développement.
4) Montrer que, pour tout t dans R, on a
S{t) = ^ sin(sini)e“ "‘ - ^ sin(sin3i)
Solution
1) La série est normalement convergente sur R car
Vi G R,
sin^ nt
n\
1
+00
E
^ n\
n=l
< +°°-
2 ) Montrons que S est de classe C°° sur R. D’abord, on a
.^
sin^ni
“ S“
n=l
„^
=
sinni
~
n=l
^
- nE= l
sinSnt
n\
334
Chapitre 6 . Séries de Fourier
car chacune de ces trois séries est convergente. Posons maintenant
^ sin nt
= 2 ^ n\
n=l
Pour tout i G E, on a
(*)
4 S '(i) = 3cr(i) — <t (3 î ),
et pour montrer que S est de classe C°° sur E, il suffit de montrer que
a l’est. Comme la série de terme général (sin^^ nt)/n\ est uniformément
convergente sur E, la fonction
est partout définie, donc S est de
classe
sur E pour tout p G N. Par conséquent, a est de classe
sur E, donc S aussi.
3) Puisque 2 (sin ni)/n! converge uniformément sur E, et que a est
continue sur E et de classe
par morceaux, le théorème 5.8 montre
que cette série est précisément la série de Fourier de a. Donc S est
développable en série de Fourier, et la relation (*) donne
Vi G E,
S{t) = ^
bn sin ni,
n>l
avec
3 1
4 (3p)!
1 1
4 (p)!’
3
1
ft
4 ( 3 p + l)!’
_ 3
1
“ 4 (3p + 2)!'
4) Pour le calcul explicite de S{t), considérons
T(t) =
On a
cosnt
n\
n>l
oint
r(t) + za{t)
donc r{t) + ia{t) —
g
n!
où 2: = e*‘,
(cos(sini) + ¿sin(sini)), et par suite
a{t) = sin(sini) e“ ®*.
En remplaçant dans (*) on obtient l’expression de S{t) désirée.
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
335
Exercice 6.11 Soit a G R \ Z et considérons la fonction 2Tr-périodique
f définie pour tout t G [—7r, 7r] par f{t) = cos at.
1) Déterminer la série de Fourier associée à f .
2) Établir le développement eulérien
1
Vu G R \ ttZ,
cotan u = — + ^
U
n=l
2u
u^ —r^'ïï^
Solution
1) La fonction / est 2Tr-périodique définie pour tout t G [— tt, tt].
Comme / est paire, ses coefficients de Fourier bn{f) sont tous nuis, et
des calculs élémentaires donnent
.
2
sinoTT
,,,
,
sinoTT
2a
/
Ooif) = ---------- et ünif) = ( - 1 )” -----------^
(n > 1 ).
7T
OTT
a^ —
^
f étant continue sur R et
par morceaux, le théorème 5.8 assure que
cette fonction est somme de sa série de Fourier, avec convergence normale
sur R. Pour tout t G [—TT, 7t], on a alors
, .
*
...
^
sinoTT
,
2 a s in a 7 T
f(t) = cos at = — — + ----- -----OTT
E
7T
-1
n=l
,
co sn i
n^ — a 2'
2) En faisant t — tt dans la série (*), on obtient
COSOTT =
2 a sin OTT /
TT
+00
1
2 a 2 - nE= l u 2 —a 2
donc, pour tout a non entier,
+00
E
n=l
1
1
TT
n 2 —a 2
2a 2
2 a tan avr
En posant U = aTT, on obtient le développement eulérien
+00
Vu G R \ ttZ,
2u
u 2 —n 2Tr2 ‘
72=1
cotan u = - + ^
U
Chapitre 6 . Séries de Fourier
336
Exercice 6 .1 2 (Inégalité de W irtinger^) Soit / : E —» C une fonc­
tion 21^-périodique, de classe
et de valeur moyenne nulle (c’est-à-dire
telle que
f{t) dt = 0).
/*27r
'
/*27T
1) Etablir l ’inégalité : / \f{t)(^ dt < / |/'(i)|^di.
Jo
Jo
2) Montrer qu’on a égalité si et seulement si on a f{t) = ae** +
avec a,b e C.
Solution
1) Le coefficient de Fourier co(/) est nul car
la formule de Parseval donne
1
/•27T
—
f{t) dt = 0. Par ailleurs,
___
\f{t)\‘^ dt =
nez*
■'°
=
|c„(/)|^ < X ) r i 2 |cn(/)P
nez*
___
1
E |cn(/')l^
nez*
^Jo
/*27T
d’où l’inégalité de Wirtinger.
2) Il y a égalité si et seulement si la seule inégalité dans la formule cidessus est une égalité, c’est-à-dire si et seulement si lcn(/)P =
|cn(/)P
pour tout n e Z*, ce qui équivaut à c„(/) = 0 pour tout n tel que
|n| > 2 . Comme / est de classe C^, elle coïncide partout avec sa série
de Fourier. En résumé, l’égalité a lieu si et seulement si / est donnée par
f(t) = a + 6
où a et i> sont des constantes complexes arbitraires.
Exercice 6.13 Montrer que pour tout t G ]0, 27t[, on a
T,
;^co s(n + i)i
8
n=0
(2 n - h l )2 ■
^WIRTINGER Wilhelm (1865-1945). Mathématicien autrichien. Un des plus
grands mathématiciens de son temps. Contribua de manière décisive dans de très
nombreux domaines des mathématiques. En plus de remarquables articles en théo­
rie des fonctions, il a également contribué en géométrie, en algèbre et en théorie des
nombres.
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
337
Solution
Soit / la fonction X
7r( 7r —a;)/8 sur [0 , 27t], définie par parité sur
[—27t, 0], (donc /(x ) = 7r( 7r + a;)/8 sur [—27t, 0]), puis définie sur R par
périodicité de période 47t. La fonction g \ xv-^ /(2 îc) est 27r-périodique,
continue sur R, et de classe
par morceaux, donc sa série de Fourier
converge uniformément sur R vers g. De plus, g est paire. On a alors
^o(â^) = g{x)dx = {7T — 2x)dx = - \ ' kx — x ^\ = 0,
iT J0
4 7o
4 L
JO
et pour tout n > 1 :
a„ = 7 / (tt —2x) cos nx dx = ^ f cos nx dx — l- f x cos nx dx.
iJo
4 Jo
2 Jo
L’intégrale de cosnæ est en sinna: qui est nul en 0 et tt, d’où
1
o-nid) — ~ ô / X cosnx dx.
2 Jo
On obtient alors
^n{f)
—
X .
— sm nx
n
2
2n
— — f sin n x d x
n Jo
)
—cos nx
n
Jo
1-
( - 1) ”
2n?
On en déduit que
02fe = 0 et
a2k+i =
1
(2 ib + l) 2 ’
d’où
w ^TD.
/N
^
cos(2 fc + l)a;
avec g{x) = f{2x) = tt (tt —2x)/8 sur [0 , 7t]. En posant 2a: = t, il vient
TT
+2? cos fn + 5 ) i
= 1 ;
(2 ; + ! ) / ■
V te [0,2^1,
ce qui est bien la formule désirée.
Exercice 6.14 Montrer que, pour tout i G R, on a
|sini| =
8
sin^ni
7T
4 n 2 - l '
Chapitre 6 . Séries de Fourier
338
Solution
Considérons la fonction paire et 7r-périodique définie sur IR par f{t) =
Isinij. Sa série de Fourier est donc de la forme
Onif) cos 2nt,
n=l
avec
a„(/)
4
= —
sin t cos 2nt dt
TT Jo
2 /•’^/2 /
= —
^sin {2n + l)i — sin (2 n —l)ij dt
2 } 1________ 1 _ \ _
-4
7r \ 2 n + l
2n — l )
7r( 4n 2 —1 )'
La fonction / étant continue sur R et de classe
par morceaux sur
[0, 27t], on déduit du théorème 5.8 qu’elle est égale en tout point à la
somme de sa série de Fourier. D’où
(*)
w in. I • I
2
4 ^ cos 2nt
Vi G R , |smt| — — — —
7T
4n^ —1 '
7 1 =1
Or, cos 2nt = 1 —2 sin^ nt, donc
(**)
+°° cos 2nt
4n 2 -
1
- " 2 nt
sin
1
“
4n2 -
1
4n 2 -
En faisant i = 0 dans (*), on obtient
+00
1
E
¿Î4n^-l
2’
et en remplaçant dans (**), il vient
^
cos 2 ni
4n2-l
_ 1
- 2
2 ^
sin^ni
4n2-r
En revenant à (♦), on a finalement
I . .1
8
V i e n t , Ismil = -
E
sin^ni
r
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6
339
Exercice 6.15 Soit f : M R, 2tt-périodique, de classe
l ’aide du théorème de Parseval, montrer que
sur i . À
r \ m \ H t ^ - r \ n t ) \ H t > 2r\f\t)\^dt.
JÇ)
7o
JO
Solution
Puisque /, / ', f " sont 27r-périodiques et continues par morceaux sur R,
ces trois fonctions admettent des coefficients de Fourier, et comme / est
de classe (7^ sur R, on a
Vn G Z
■I
Cnif)
= inCnif)
C n {î" )
=
in C n if)
=
Pour tout n € Z, notons Cn = Cn{f).
Puisque / , f , f " sont 27r-périodiques et continues par morceaux sur R,
on a, d’après la formule de Parseval,
^ i'\f{t)\^dt = i :
2TT JO
+0O
,
OÙ ^ |cnp désigne ici |coP + ^ (icnP + |c -n |j- De même, on a
nez
n=l
/*27T
1
et
1
___
= E
/*27T
5- f
•''>
On en déduit que
r2n
pzn
i \m \^ d t
JO
___
l/'w r* = E
nez
__
l/"(i)l"ott = E K (/")P = E " ‘ k p ia
«Z
/ \fW d t - 2
JO
jo
\f'{t)\Ut
/‘27T
+
= 2 ii(Vnez
y : ic«p + e
nez
= 2TT
(n^ n£Z
i<^p - 2 E
\cnŸ > 0 ,
nez
/
340
Chapitre 6 . Séries de Fourier
d’où l’inégalité recherchée.
Exercice 6.16 On se donne a € R*.
+ 00
1) Montrer que pour tout t G Ml :
= _— _
e* - 1
n=0
+00
sinai
^
a
2) Montrer que : /
—— - dt = y —------r.
JQ e' —1
^
+ n^
8) Soit g lafonction 2t:-périodique dont la restriction à [0 , 27t] estdonée parg{t) = e“‘. Déterminerla série de Fourier de g, et justifier sa
convergence.
4) En déduire que : Y '
—r = - ( — ------ --- i
2 VthaTT
a.
Solution
1) Pour tout iGM!!j., on a 0 < e * < l , donc la série géométrique
Y,
est convergente, et sa somme est donnée par
+00
+00
-(n + l)i
n=0
^
g -t
-t
1
fe-*)" = — ___ =
■
’
l_ e-i
e* -l‘
sinat
Cette fonction est conti­
e* —1
nue sur ]0, -f- oo[, et pour tout t G M!^, on a
2 ) Soit / :
définie par f{t) =
+0O
/(^) = XI
sinai.
n=0
Pour chaque n G N, la fonction Vn ■ Mîj. —> M , i
g-(n+i)t
est continue sur M!!j. et vérifie |'yn(i)| <
Comme la fonction
t
e~(.n+i)t g g ^ intégrable sur M!^, il en est de même de t ^ Vn{t). Afin
d’utiliser le théorème d’intégration terme à terme sur un intervalle non
compact, nous cherchons à démontrer la convergence de la série de terme
général /o^°°bn(i)|diLa simple majoration |u„(i)| <
ne permet pas de conclure car
la série de terme général ¡q °° e“(”+i)* dt = (n -t-1 )“ ^ est divergente !
En revanche, la majoration | sin at\ < |a| t, suivie d’une intégration par
§ 6 . Énoncés et solutions des exercices du chapitre 6_________
341
parties permet de conclure puisque
r+
OOO
r+oo
r+O
/
*+0 0
/
\vn{t)\dt < |a| /
JO
Jo
,
.
t=o
^
+
r°°
n + 1 Jo
b
(n + 1)2 ’
et que la série de terme général
convergente.
Il en résulte que l’intégrale /
Jo
. ^ ; dt est convergente
—1
f
Jo
J
g p e - < " « ) ‘ sinaidi.
e* — 1
n=0
Or,
1
2 г \ (n + 1 ) • ia
\ _
g
(n + 1 ) + Ш/
(n + 1)2 + g',2 '
1
On a donc bien
./0
■ S
g
+°°
( « + i ) ^ + g^
n=l1
g
3) Pour tout n e N, on a
1
nt ir,t ,
1
- 1
1 a - гп , 2аж
- / e“*e*”‘ cii = ----------^ = - 0 , 9 (e ~ !)•
7Г Jo
7Г g + гп
тг g-* +
D’où en prenant les parties réelle et imaginaire :
V n S N , «„(9 ) =
g
_1 )
et Ш
=
—ri
—1
342
Chapitre 6 . Séries de Fourier
Comme g est 2Tr-périodique et de classe
de Dirichlet donne pour tout i e ]0, 27t[ :
g2a^ - 1 ( 1
gai ^
7T
+00
\^2 a ' ^
par morceaux, le théorème
a
n
sin ni
cos ni —
ya? + n^
a? + V?
et pour i = 0 :
\ _|_ g2a7T
g2a7T — \ f \
7T
a
a? + 'n?) '
\ 2a
D’où
+00
E^
o^ + n^
TT e^“ + l
2 62“^^ —1
1
2a
1 /
TT
2 \ t h a 7T
1
ay
,
Chapitre 7
Problèmes de révision corrigés
Ce chapitre est entièrement consacré à des problèmes de révision et de
synthèse relevant de l’ensemble du programme couvert par cet ouvrage.
Le lecteur avancé, notamment agrégatif ou préparant le CAPES, trouvera
dans [6] un important complément d’exercices et de problèmes portant
sur les séries de Fourier.
1
Problèmes sur les suites et les séries numériques
P ro b lèm e 7.1 Soit n G N*. On considère la fonction fn définie par
fn{x) = x ^ ^ + ^ - x ^ + ^ - 1 .
1) Montrer que l’équation f n { x ) = 0 admet une unique solution u„
appartenant à ]1 , +oo[.
2) Montrer que la suite (u„)n>i est décroissante.
3) a) Montrer que
Vn e N *, < «
-1 ) = — .
Un
b) Montrer que la suite (un)n>i est convergente et a pour limite 1.
4) Pour tout n G N*, on pose Vn = v^Montrer que la suite {vn)n>i converge et a pour limite (1 + \/h)l2.
5) Déterminer un équivalent simple de
—1 lorsque n tend vers +oo.
343
344
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
Solution
1 ) Soit n € N*. La fonction /„ est polynomiale, donc dérivable sur R,
et, pour tout a; € R, on a
fn(x) = (2 n + l ) a ; ^ ” — (n + l)a;” - x” ((2n + 1 ) x” - (n + 1 )).
On en déduit aussitôt que fn{x) > 0 pour tout a; > 1 , ce qui montre que
la fonction fn est strictement croissante sur [1 , + oo[. Comme de plus
/„ est continue, elle réalise donc une bijection de l’intervalle [1 , + oo[
sur son intervalle image
[/„( 1 ), ^lim^ fn(x)[ = [ - 1 , +oo[.
Puisque 0 e] — 1, + oo[, le théorème des valeurs intermédiaires et la
bijectivité de fn entraînent respectivement l’existence et l’unicité de
Un g ]1 , + oo[ tel que /„(«„) = 0 .
2 ) Soit n € N*, en utilisant la relation ,2n+i _ ^n+i _|_ on obtient
U lM
= u f « - « r* - 1 =
+ uî (Un 1) "i" (Un 1) (Un ~\~ 1)
=
— {Un — 1 )
+ Un + 1 ) > 0 .
- 1
Comme /n+i(l) = —1 et /n+i(un) > 0 , l’unique solution de l’équation
în+\{x) = 0, à savoir Un+i, se trouve dans l’intervalle
La suite
(un)n>i est donc strictement décroissante.
3) a) On a
— u”'^^ — 1 = 0, d’où u”
—Un) = 1, et comme
Un g ]1 , + o o [, on a bien, après division par Un :
(*)
< «
- ! ) = -Un•
b) La suite (un)n>i est décroissante et minorée par 1, elle est donc conver­
gente et sa limite, notée i, vérifie £ > 1 . Montrons que £ = 1.
Comme pour tout n > 1 , Un > 1 , on déduit de (♦) que u” (u” —1 ) < 1 .
L’étude de la fonction g : x
x {x — 1) sur [1, -I- oo[ montre que
l’inégalité x { x — \) < \ entraîne x < 2. Pour tout n 6 N*, on a donc
1 < u ^ < 2 , d’où
„
,
ln2
0 < In Un < — .
n
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
345
Le théorème des gendarmes permet d’en déduire que (lnun)n>i converge
vers 0. La continuité de l’exponentielle permet de conclure que (un)n>i
converge vers 1 .
4) Montrons que la suite (un)„>i converge et déterminons sa limite.
L’égalité (*) est équivalente à g{vn) = 1/un- On vérifie facilement que la
fonction g est une bijection de [1 , 2 ] sur [0 , 2 ] et que g~^ est continue
sur [0 , 2 ]. Ainsi, la suite de terme général Vn = g~^{\/un) converge et
lim Vn = g~^{ lim — ) = g~^{l) = —
^ \n^+oo Un)
^
^ ’
2
n-»+oo "
5) Déterminons un équivalent simple de
lim <
n-»+oo
"
=
l + \/5
2
—1. On a
,.
,
lim n In u„
,
/l + v^\
n-^+oo
d’où
Intin n-»+oo n
V
2
/
Par ailleurs.
\nUn = l n ( l + u „ - l ) n^+oo
~
U n ~ l.
Finalement,
Un - 1
~
n-^+oo
Problèm e 7.2 Soient X\,X 2 , ...,X n dans
1) Démontrer l ’inégalité arithmético-géométrique :
, 1/^ ^ X\ "b ... "b Xn
(æi X2 ... Xn) " <
n
S) Démontrer l ’inégalité géométrico-harmonique :
n
j_
\l/n
(
j _ _L
—
X 2 . . . Xn )
Xi ' Xi ' ' ' ’ ' Xn
3) On se donne uq, vq, wo des réels vérifiant Q < wq < vq < uq, et on
considère les trois suites définies par les relations suivantes :
Un-\- Vn-\- Vûn
'^n+l —
5
Un+1
— -y/Un Vn U)n
1/1
1
1 ,
Wn+1 — ô ( ----- 1------- 1------1 •
3 \ Un
Vn
U)nn
Chapitre 7.
346
Problèmes de révision corrigés
a) Montrer que pour tout n E N, on a Wn < Vn < Unb) Montrer que les suites (un) et (wn) sont monotones.
c) Montrer que les suites (un), (vn) et (w„) sont convergentes et qu’elles
ont la même limite.
Solution
1 ) La fonction /
: x
\n x est deux fois dérivable sur ]0, + oo[, et
f'{ x ) = —1/x^. Donc / est concave sur ]0, + oo[, d’où
In
'X\ +
•••
.
n
X,
> - V In Xi = In (xi X2 ... X n)
7
^ гtí
^
’
\jn
Par croissance de la fonction x i—>e®, on en déduit que
Xi X2 • • • X,
, l/n
^
Xi + • • • + Xn
n
2) En remplaçant x* par 1/xi dans l’inégalité arithmético-géométrique,
on obtient
i l . 1 ...
\Xi
d ’où
X2
< i / ' l + 1 + ... + J_Y
Xn/
n VXi
n
X I A. 4.
3/]_
X2
Xn/
(
\ 1/n
1 A. — (^1 ^2 • • • a^nj
iCj_
3) Une récurrence immédiate permet de voir que les trois suites sont bien
définies et à termes strictement positifs.
a) D’après les questions 1 ) et 2 ) on a Wn+i < ^n+i < «n+i pour tout
n > 0 , et comme ces inégalités sont vraies au rang 0 par hypothèse, on a
finalement
^ , UJji ^ Vfi ^ Un*
b) Compte tenu de (*), on a
W ^R J
_ '^n + Vn + VJn .
V?7- G N , Ufi^i —
2
^ '^n
donc la suite (un) est décroissante.
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
347
D’autre part, pour tout n > 0, on a
1
_ 1
^
^
_ J_
et comme la suite {wn) est à termes strictement positifs, on conclut que
Wn+i > Wn- La suite (wn) est donc croissante.
c) On a wq < Wn < Un < uo pour tout n > 0, donc les suites (un)
et (wn) sont respectivement minorée et majorée par wq et uq. Compte
tenu des résultats du b), elles sont donc convergentes d’après le théorème
3.4 du chapitre 1. Notons £i et £3 leurs limites respectives. On a
Un-j-1 —
Un+ Vn+Wn
2
J
) donc
_
_
Vji — Ol^n+l
'^n
'^n
ce qui montre que la suite (u„) converge (car combinaison linéaire de
suites convergentes) et que sa limite, notée £2 , est donnée par
£2 = 2 4 -
£3-
De plus, par passage à la limite dans (*), on a : £ 3 < £2 ^ £iFinalement, £1 = (£2 + £ 3 ) 1 2 < £2 - D’où £i = £2 = £ 3 En particulier, les suites (u„) et {wn) sont adjacentes.
P ro b lèm e 7.3 1) Étudier la suite définie par
otn — ^ a -\-^a -\-^J a -\-...-\- y/â , a G
, n G N*.
n radicaux
Indication : on pourra définir (a„) par une relation de récurrence.
2 ) Soit {un)n>i Id suite définie par
U.n
= y l + \ / 2 + • • • + y/n.
Montrer que (u„) est croissante.
3) Pour tout n G N*, on pose
Vn = / 22° + ^/ 2^
h
+ ... +
Chapitre 7.
348
i) Montrer que : Vn G N* : n > 2"
n) Si Wn = y 1 +
Problèmes de révision corrigés
et en déduire que Un <
... + V î, montrer que :
= \/2
' -------------------------V-------------------------'
n radicaux
iii) Montrer que les suites (vn) et (wn) convergent.
iv) En déduire que (un) converge.
Solution
1) La suite (an)n>i est définie par recurrence puisque
«i = y/â
et On+i = \/a + «n
pour n > 1 .
Cette suite est bien définie et elle est à termes positifs.
La fonction qui définit la récurrence est f : x
yja + x, pour x > —a.
Elle est donc croissante sur [—a, +oo[ et la suite (on) est donc monotone
d ’après la proposition 5.5 du chapitre 1 . Or
!--------
0!2 — cxi = y a + a i — O'! =
O+ CXi —û!j
\/â
,
------ =
> 0,
x/ ôT+ ô T + ai
^ a + y/â + y/â
donc la suite (a„) est croissante.
De plus, comme la fonction / est continue sur [—a, + oo[, la limite £ de
(on) vérifie la relation i = f{ f) = y/a + £, ou encore ^ — i — a = 0 et
^ > 0. On en déduit que si (a„) converge, alors
£ =
1 + v T + lâ
Or
0 < ai <
1 4“ ■ ^1 “f- 4û
car (y/â)^ — y/â —O < 0 , donc le nombre a i est situé entre les racines
du trinôme x"^ — x — a.
L’intervalle [0, £\ est stable par / . En effet,
0 < X< £
/ ( 0 ) < f{x) < f{£) = £.
Par récurrence sur n, on obtient que a„ G [0,^] pour tout n > 0. La
suite (an) étant croissante et majorée, elle est donc convergente et sa
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
349
limite est égale à i.
2) Pour tout n G N*, on a
^n+1 — ^1 + ^2 H------ \fn + \ / n 1
>
---- \- y/n =
donc la suite (îx„) est croissante.
3) i) Pour n = 1 , la propriété est vraie. Supposons-la vraie pour n. Alors
n + 1 < 2 '^"" + 1 < 2 ”" ' + 2 "~^ = 2”,
donc la propriété est vraie au rang n + 1 . Elle est donc vraie pour tout
entier n > 1 .
On en conclut que
pour tout n > 1 .
ii) On a
^ 22"-* + \ / ^
= ^/22”-^ (1 + \/î).
Puis
^/22"-" + \ / 22»-2 +
En itérant ces transformations, on obtient
= y Ç ( l + 7 l + ... +
radicaux),
d’où
Un = \/2 ^ 1 + V^l + ... +
= y/2 wn.
n radicaux
iii) La suite (wn) converge d’après la question 1) (ici a = 1).
La question précédente permet d’en déduire que la suite (vn) converge
elle aussi.
iv) À partir de la définition de son terme général Vn, on déduit im­
médiatement que la suite (vn) est croissante. Comme de plus elle est
convergente, elle est donc majorée. Or, d’après i), on a Un < u„ pour
tout n > 1 , donc la suite (un) est elle aussi majorée, donc convergente
puisqu’elle est croissante d’après 1 ).
350
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
P ro b lèm e 7.4 (Form ule de Stirling) On considère les intégrales
^7Ttrr^
/2
P
In =
sin” t dt
Jo
(n 6
1 ) Calculer I q et I\.
2) Donner une relation de récurrence entre In et In- 2 (n > 2 ). En
déduire une expression de l 2n et hn+i en fonction de n.
S) Établir, pour tout n G N*, les inégalités
1 <
hn+i
^ 1+ ^2n
f ) Établir la formule de Wallis^ :
•pi’
1
2 fe
ni+ooV 2^
5) Soit (a„)„>i la suite définie par On =
_
~
e™n!
a) Trouver le nombre réel a tel que
I n f - ^ ^ ' ) = -^ +
\a n + ij
n2
VnV
lorsque n —>+oo.
En déduire que la suite (a„)n>i est convergente. On note I sa limite.
b) Montrer que lim (hn/hn+ i) permet de déterminer £.
n^+oo
c) En déduire la formule de Stirling :
ni
^
n—>+oo
Solution
1) On a immédiatement I q = tt/ 2 et Ii = 1 .
^WALLIS John (1616-1703). Mathématicien anglais. Ses travaux portent sur la
géométrie analytique, le calcul infinitésimal mnsi que sur la rectification des courbes.
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
351
2) Pour tout entier n > 2, on a
r
17t/2
/*^/2
In — [ —cosí sin”“^
+ (n —1) J
sin”“^ Í COS^ Í di
^7t/2
fT T / Z
=
=
p7\
(n — 1) /
sin”“ ^ í d í — (n — 1) /
70
70
s in " i(ii
(n - 1) In - 2 - (ïï - 1) In-
D’où
'in > 2 , n in = {n - 1 ) In- 2 Par récurrence immédiate, on obtient alors
( 2 n - l ) ( 2 n - 3 ) - - - 3 - 1 TT
•‘2n —
/<-. \ /n
TT
A
(2n) (2n - 2) • 4 • 2
2
(2n)(2n-2)---4-2
■‘2n+l —
(2n + l ) ( 2 n - l ) - 5 - 3 ‘
En multipiant le numérateur et le dénominateur de l 2n par la quantité
(2n) (2n —2) • • -4 • 2 = 2” n!, puis en procédant de manière analogue
avec hn+ii on obtient
(*)
_
(2 n)! TT
■^2n — c\o^ / i\o
2 ^" (n !)2 2
_ 22" ( n !)2
■‘2n+l —
(2 n + l ) !
3) L’inégalité sin”"''^ t < sin^i, vérifiée pour tout t G [0, tt/ 2], prouve que
la suite (/„) est décroissante. Donc, pour tout n > 1, hn+i < hn < hn-i^
et comme hn+i > 0 , il vient
^
l 2n ^ l 2n—l
' 2n+l
‘2n+l
^
= 1 + —,
Or
2n’
hn+i
donc
Vn G N*, 1 <
Î 2n+1
< 1 + 7^ 2n
Notons, au passage, que le théorème des gendarmes entraîne alors(*)
(**)
lim
n-^+oo
- ^ = 1.
2tiH
-1
Chapitre 7.
352
Problèmes de révision corrigés
4) D’après les résultats obtenus en 2), on a
l 2n
l 2n+i
~
=
(2 n - l ) ( 2 n - 3 ) - - - 3 - 1 ^ (2n + l ) ( 2 n - 1 ) - 5- 3 tt
(2 n) (2n - 2) • 4 • 2
^
(2n) (2n - 2) • 4 • 2
2
” 2 k - I V TT
(2n + 1) i n
\*:=1 2 k ) 2 '
et compte tenu de (**), on déduit que
^ 2 A : - i y TT _
lim {2 n + 1 ) 1 I I
' V i l 2k ] 2 ~
ou encore (puisque la suite est à termes strictement positifs) :
-pr
2 A:
_
IW
Î i i 2A : - l
“
y 2 '
1
nH +oo
V 2^ r F T
a
1 /n +
5) a) On a immédiatement —— = - ( ----------------]
a„+i
e\
n J
vers + 00 , il en résulte que
Av?
, et lorsque n tend
*^(n^)
D’où a = —1/4.
Pour n assez grand, on a In (
)
< 0, donc la suite (a^) est décrois-
santé à partir d’un certain rang, et comme elle est à termes positifs, elle
est donc convergente et sa limite i est positive. En fait, i est strictement
positive. En effet, la série de terme général «„ = In ( —— ) converge et
a pour somme
S =
d’où
lim
n—>+oo
“ Inofe+i) = 1 «=1
lim In a„ = 1 - 5' 6 R, donc
n —►H-oo
lim Un =
n —>+oo
liin Inun+i,
n—>+oo
^ > 0.
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
353
b) De la définition de an, on déduit que
(* * *)
n! = a„ e“”
.
D’autre part, les relations (*) montrent que
hn
a 2„+ie-( 2"+i)( 2 n + l)2™+ia2„e-2"(2n)2"+5
2 ^»» ai
'2 n + l
^ Q2n+1 a2n g-i
a"
Comme de plus lim
-V
tt
TT
1
2n /
-----= 1 , on déduit que
n^+oo / 2„ + i
al
Û2n+lÛ2n
1 \ 2^+i TT
4e ‘
I
/
—
2
n-»+oo
27T
/
][ \ 2tî
(^1 +
= e. La
où la seconde équivalence résulte du fait que
suite (a„) étant convergente, sa limite i (qui est strictement positive)
vérifie
= 2 n, d’où : £ = v ^ c) Puisque lim
n—>+oo
désirée :
= V ^ , et compte tenu de (**¡1!), on déduit la formule
n!
~
n —>+00
e“”
.
P ro b lèm e 7.5 Soit (u„) une suite réelle. On pose
lim sup Un =
n^+oo
lim ( sup Uk | et
^^+oo \k > n
J
lim inf
”^ + 0 °
=
lim ( inf Uk ].
” -"+«> \ k > n
Ces éléments de R s ’appellent respectivement la limite supérieure et la
limite inférieure de la suite (u„).
1 ) Établir
lim inf Un = sup ( inf Uk ) < lim sup
n^+oo
n
2 ) Calculer lim sup
n-*+oo
Un = ( n+l ) (
\ k>n
J
n^ +oo
= inf ( sup Uk ) •
\ k>n
)
et lim inf Un dans les cas suivants
n->+oo
, Un = (^2+cos y )
^
5n + 2 cos n-ïï
\/9n2 + n —1
354
Chapitre 7.
3) Etudier limsup
et liminf
n-^+oo
Problèmes de révision corrigés
lorsque la suite (w„) est monotone.
n-»+oo
4) Soit £ G M. Établir l ’équivalence :
lim Un = i j
n—>+oo
( liminf Un = limsup
\
— ¿].
J
7^_)._j_oo
71—> + 0 0
5) Supposons (un) bornée et notons adh(tt„) l ’ensemble de ses valeurs
d ’adhérence. Montrer que
liminf Un = inf adh(tt„) et
limsup
= sup adh(u„).
n-^+oo
Solution
1) Pour tout n G N, on a clairement
inf Uk <
k>n
inf Uk < Un+l < sup Uk < sup Uk.
k>n+l
k>n+l
k>n
Posons inf Uk = Pn& Kk>n
- Si (un) n’est pas bornée, alors pn = —oo pour tout n G N.
- Si (un) est minorée, la suite réelle (p„) est croissante et elle a une
limite dans R ;
lim Pn = sup
Pn < + 00 .
n—>+00
7^
Dans les deux cas, on a bien : lim inf
n—►+CX)
= sup ( inf Uk ).
ji
La démonstration est analogue pour lim sup
n—>+oo
\ k>n
J
= inf ( sup Uk ).
^
\ k>n
J
Enfin, Pn < sup Uk entraîne bien : liminf Un < limsup Unk>n
n-*+oo
n-^+oo
Si l’on pose inf Uk = P n ^ R, on a les quatre possibilités :
k>n
• (un) est minorée et non majorée, ce qui équivaut à dire que l’on a
G R et Pn = + 00 , pour tout n > 0.
• (un) est majorée et non minorée, ce qui équivaut à dire que l’on a
Pn — —oo et
G R pour tout n > 0.
• (u„) est bornée, ce qui équivaut à dire que l’on a Pn €
et Pn G R
pour tout n > 0 .
§ 1. Problèmes sur les suites et les séries numériques
355
• {Uji) est non minorée et non majorée. Cela équivaut à dire que l’on a
Pn — —oo et pn = + 0 0 pour tout n > 0 .
2 ) À partir des définitions, on obtient
liminf (n +
= 0 et
limsup (n +
= +oo.
n—*+oo
De même, on a
n7T\
lim inf ( 2 + cos
1
n-^+oo \
t ) 2n + l et
limsup 12 + cos
n—>+CX)
\
n7T\
n
T J 2n + 1
1
2
_ 3
“ 2
Enfin,
. . 5n + 2 cosn 7T
5 ,
limini , ^
=
= - et
\Z9n^ + n —1
3
5n + 2 cosn 7T
limsup , ^
^
n^+oo ^/9n^ + n —1
5
3
3) Supposons par exemple (un) croissante. On a alors
Pn = Un et lim inf Un = lim pn = lim
n-^+oo
n—
>+oo
n—^+oo
On a ici deux cas :
• (un) est majorée. Il existe alors ^ G R, tel que lim inf
= sup Un.
n->+oo
n
Dans ce cas, Pn = ^ pour tout n.
• (un) est non majorée. Alors lim
= +oo et lim Pn = +oo.
n—
>+CX)
n—^+oo
Si (un) est croissante, on a
lim
inf Un = n -^lim
Un — lim
inf Unn^+oo
+oo
n -> + o o
Le résultat est le même si (u„) est décroissante.
4) Si lim sup Un = ^ G K, la suite (pn) est croissante. L’hypothèse
n—>+oo
lim inf Un = ^ = limsup u„
n-»+oo
implique —o o < p n < U n < P n < +oo pour tout n. Le théorème des
gendarmes donne alors lim Un =
n—
>4-00
356
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
Réciproquement, supposons que (un) converge vers ^ G R. Soit e > 0.
Il existe P G N tel que pour tout n > p, on ait i — e < Un < i + e. On
en déduit que ^ —e < p„ <
< ^ + e. Et, puisque Pn < ^ < А^п) on
a en particulier
0 < ^ —P n < e
et 0 < p „ —^ < e ,
ce qui donne bien : liminf Un = £ = limsup
n-^+oo
n->+oo
Remarque : Le résultat établi ci-dessus est encore vrai avec £ = ±oo.
5) Si (un) est bornée, il en est de même des deux suites monotones (pn)
et (pn)- Posons Л = liminf
= lim pn- Alors
n—
>+oo
n-^+oo
Ve > 0 , 3p G N , У п > р ,
p „ g ]A —е,Л].
Pour n > P, on a donc pn < A -Ь e. Comme p„ = inf
k>n
entier k > n tel que l’on ait Pn < «fe < A -I- e. Ainsi,
il existe un
Ve > 0 , Vn G N , 3 A: > n , |гх„ —A| < e,
donc A est une valeur d’adhérence de la suite (u„).
De plus, on sait que A —e < Pp < A, d’où A —e < pp <
pour
tout n > p. Ceci interdit à tout nombre strictement inférieur à A, soit
A —e, d’être une valeur d’adhérence de (u„). Autrement dit, A est la
plus petite valeur d ’adhérence de (u„).
De la même manière, on montre que limsup Un est la plus grande valeur
n—
»^+oo
d’adhérence de la suite (u„).
Ce résultat est encore vrai dans R.
P ro b lèm e 7.6 Soit f une fonction continue sur [0,1] à valeurs réelles.
Pour tout n G N , on considère Un =
f (x)
dx.
1 ) Montrer que la suite (un) converge et a pour limite 0.
2) Pour 0 < a < 1, on pose u„(a) = Jq f{x) x^ dx. Montrer que la série
X)u„(a:) converge et établir l ’égalité
+0O
n=0
8) On suppose que / ( 1 ) est non nul.
./ü
J.
X
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
357
a) Montrer que si / ( 1 ) > 0, alors il existe a g ]0, 1[ tel que
Vn e N ,
f(l) (
> Unipt) + —
1
- —
\
j.
b) Qu’en déduit-on pour la série 'E,Un ?
4) Soit f la fonction définie par
m
= 1 , / ( 1 ) = 0 , et f{x) =
X
In (1 —x)
a) Montrer que f est continue sur [0,1].
b) Montrer que la série
diverge.
5) Montrer que si la fonction f est de classe
converge si et seulement si / ( 1 ) = 0 .
si
X g ]0, 1[.
sur [0,1], la série Yl,Un
Solution
1 ) Comme / est continue sur l’intervalle compact [0 , 1 ], elle y est bornée,
il existe donc une constante M telle que | / ( a ; ) | < M pour tout x G [0,1].
On a alors
P
M
V n e N , |u„| < M / x ^d x = ----- -,
Jo
n+ 1
et le théorème des gendarmes permet de conclure que la suite («„) est
convergente et de limite 0 .
2) Soit AT G N. On a
E
= f /(X) ( E
=r ê ;
-r ^
Comme la fonction x
(1 —
f{x) est continue sur le compact
[0, a], il existe une constante K telle que, pour tout x G [0, a], on ait
1(1 - x)~^ f{x)\ < K. On a, alors
r lM ^ ^ d x
Jo
1 —X
< K rx^+ ^d x <
Jo
K a^+ ^
N +2 ’
et comme a g ]0, 1[,
tend vers 0 lorsque N tend vers +oo, et le
théorème des gendarmes donne
f°‘ f(x )x ^ '^ ^
lim / ^ ------- dx = 0 .
N-^+oo Jo
1 —X
358
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
Donc
lim
Z M o) =
n=o
^0 1 a;
ce qui signifie que la série J^Un{a) converge et que sa somme est
N —^ + o o
+“
'• f ( x)
2_^ Un{oi) —
/
_
n=0
•'0
^
dx.
X
3) a) Pour tout n e N, on a
Un = Un{oi) + / f { x ) x ^ dx .
Ja
Comme / est continue sur ]0,1[, si / ( 1 ) > 0, il existe a €]0,1[ tel que
(û!<X<l)
- f{x) <
On en déduit que /(æ) > /( l) /2 , et par conséquent
(*)
Un > Un{a) +
j x'^dx ^ Un{a) +
Z
Ja
Z
n + 1
•
3) b) On sait déjà que la série X)u„(a) converge. D’autre part, on a
1
1
-
--------------n + 1
—J
n -y + o o
n
et la série Yj
est divergente. Compte tenu de (*), on conclut que la
série Y Un est divergente (voir remarque 1.9 du chapitre 2).
Lorsque / ( 1 ) < 0, on applique ce qui précède à —/ et le résultat subsiste.
4) a) / est continue sur ]0, 1 [ comme quotient de fonctions continues. Au
voisinage de 0 , on a In (1 —a;) = —a; + o{x), donc x~^ In (1 — x) tend
vers - 1 et il en résulte que lim /(x ) = 1 = /(0). La fonction / est donc
continue en 0. Par ailleurs, puisque In (1 —x) tend vers —oo lorsque x
tend vers 1, on a lim /(x ) = 0 = /(1). La fonction / est donc continue
X—
►
!”
en 1 .
On a ainsi montré que / est continue sur [0 , 1 ].
f^~n
x”"*”^
4) b) On a :
> J
—
^ dx, et puisque x !->• —In (1 —x) est
■In (1 —x)
une fonction croissante, on a
V x€
0, 1 -
1
nj
—ln(l —x) < Inn,
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
359
d’où
1 _ 1 j-n+l
X,72-+1
dx
Un > f - ' In (1 —x)
Inn
dx
/
1
(n + 2 ) Inn \
i y +2
n)
Or,
( l - i) " = exp(nln(l-i))
et
n l n f l ——^ ~
n x f ——^ = —1,
V
n / n-»+oo
V n/
d ’où, par continuité de la fonction exponentielle :
lim
n-»+oo
fl--)” =
V
n/
e
On a donc
/ _ ].\" + 2
~ (n + 2 ) l n n V
n)
1
*+°° e n Inn
Or, l/( n Inn) est le terme général d’une série de Bertrand divergente,
donc la série X)
diverge d’après la règle de comparaison pour les séries
à termes positifs.
5) On a
«n
=
^ /(1) x'^ dx +
(/(a;) - / ( !) ) x ” dx
Puisque / est de classe
sur [0,1], sa dérivée f est bornée sur ce com­
pact, et d’après l’inégalité des accroissements finis, il existe une constante
M telle que \f{x) - /(1)| < M \ x - 1 \ pour tout x G [0,1]. On a alors
/ ; ( / W - / ( D ) . ” d .| < M ¡ y . ) . U x
=
La série de terme général (n-|-1)“ ^ - (n-|-2)~^ est une série télescopique
convergente, et la série de terme général /( l) /( n - |- 1 ) converge si et
Chapitre 7.
360
Problèmes de révision corrigés
seulement si / ( 1 ) = 0. On conclut que la série 53 Un converge si et
seulement si / ( 1 ) = 0 .
P ro b lèm e 7.7 Pour tout n € N*, on pose
n
'^n =
*=1 ^
- Inn.
1 ) En étudiant par exemple la série de terme général
que la suite (un)n>i converge. On note 7 sa limite.
—Un, montrer
2 ) Étudier sur l ’intervalle [k,k + 1 ], pour k € N*, les variations de la
fonction
et en déduire que
1
k+1
< ,„ ( '^ '1
< i fi +
2 \ A;
1 i
A; “b 1
8) Montrer que : ^ < 7 < 1.
Zà
4) On définit sur ]0, +oo[ les fonctions / 1 et /2 par
“ " t T T + '“ (* + î) “ ^
Étudier les variations de f \ et /2 sur ]0 , +oo[ et en déduire leur signe.
5) Déduire de ce qui précède que, pour tout n > l , on a
6) Montrer que, pour tout n > 2 , on a
1
2n
1
—
3(n - 1)2
T ^
2( n - l ) ‘
7) Donner une valeur de l ’entier n telle que l ’encadrement précédent per­
mette, à partir de Un, de déterminer 7 à 10 “^ près.
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
361
Solution
1 ) Pour tout n suffisamment grand, on a
'^n+1
'n + l \
ffi
n J
1
—
n
2n^
-1
1
n+l
\
n\
n
nj
n \
n
\n^ J
1
r \J
---------,
n-»+oo
2 ‘n ?
La série de terme général Un — Un+i est donc convergente. Sa suite des
sommes partielles (S'n) est donc convergente. Or, pour tout n > 2, on a
n—1
^n —1 ~ ^ y i^k
^ Ui
Ufi.
k=l
On en déduit que iin = ui — Sn-i, et par conséquent la suite (un) est
convergente.
2) La fonction / est manifestement définie sur ]0, + oo[, elle y est égale­
ment continue et dérivable, et on a pour tout i > 0 ,
____ 1 \
^k + 1
A:y
fit) =
_ k{k + l) k{k + l)t'^
On en déduit que sur [k, A:-fl], f s’annule en i = ^ k {k - I - 1), qu’elle est
croissante sur [A:, ^ k {k + 1 )] et décroissante sur [y^A: (A: -f 1 ), A:]. Comme
de plus f{k) = f ( k + l ) = 0 , on en déduit que / est positive sur [A;, A:4- 1 ].
D’où
Vi G [A:, A: - I - 1] ,
A: -f 1
t
k
En intégrant sur le segment [A:, A: -I-1] pour A: > 1, on obtient
1
< In
A: + l
21 t= k + l
k -I- r
{t - k f
k+1
ï
t= k
ou encore
(*)
A: - I - 1
<1
1
2 Vfc“h 1
/u/
Chapitre 7.
362
Problèmes de révision corrigés
3) En sommant les inégalités (*) pour k variant de 1 à n —1, on déduit
que
n—1
(k + l \
V
Z—^ -----¿.Il <
— V In
k
k=\
^
k=i
1
1
1
kr
c’est-à-dire
et finalement
é ; *=
é ; *=
2 V"
/
On obtient alors l’encadrement
2 (n
+ 0 < «n < 1 ,
et par passage à la limite lorsque n tend vers l’infini, on obtient
i < T < 1.
4) Les fonctions / i et /2 sont manifestement définies continues et déri­
vables sur ]0, -I- oo[. De plus,
Vî g ]0, + oo[, f[{t) =
> 0-
On en déduit que la fonction / 1 est strictement croissante sur cet inter­
valle, et comme sa limite en -f-00 est égale à 0 , elle est donc négative.
De même,
ViG]0,-boo[, m =
4- 9
La fonction /2 est donc strictement décroissante, et tend vers 0 lorsque
t tend vers -foo, elle est donc strictement positive.
5) De la question précédente il résulte que, pour tout n > 1, on a
J _____ L < 1 /"i
___ î _
J_
2 n^
3n^ ~
^ n)
n + 1 ~ 2 n^ ’
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
363
c’est-à-dire
2n 2
3n3 - """
- 2n 2 -
6 ) En sommant les inégalités (**) pour n variant de p à p -I- ç —1, on
obtient
p + 9 -1
p+9-1 1
E
n=p 2 n 2 ’
p+9 -1
1
„ „ 2n^
n=p
irl
n=p
3n^
Or, en comparant à des intégrales, on a
J n - l ¿2
~
¿2
J p -l
1
1
p -- 11
P
p+ g- 1’
1
1
ainsi que
p + 9 -1
^ p
~
^ p
J n -l
¿3 “
J p -l
2 \ (p - 1)2
(p-H g - 1)2
De même, on a
p + q -l
S
n=p
i
P + 9-1
S /
' *'
n=p
^
1
¿2
” P
1
p-\-q
D’où
1 /1
2 \p
p - f g y
3 \ ( p - l )2
( p + ç _ l )2
< i
Up
Up-^q
ip ) "
( 1
1
"l
^p- 1
p + g - i;
En faisant tendre q vers -foo, on obtient, pour tout p > 2 fixé
1
2p
1
1
< Up- ' J <
3 (p - 1)2
2 ( P -1 ) '
7) Pour tout n > 3, on a
3 (n - 1)2 - 2n = 3n2 - 8n -h 3 > 0,
Chapitre 7.
364
Problèmes de révision corrigés
d’où l’encadrement : 0 < Un —' y < zr,----- rr2(n —1)
Pour avoir 0 < U n ~ ^ < 10“^, il suffit donc de prendre 2{n-i) —
c’est-à-dire n > 51.
Donc «51 est une valeur approchée de 7 par excès à 10“^ près.
Un programme élémentaire sur machine donne «51 = 0,586 987 548 3.
P roblèm e 7.8 On note, pour tout n € N*,
^ e"+*= et on se
k=\
propose de former un développement asymptotique de Sn à la précision
o(l/n^) lorsque n tend vers l ’infini.
1 ) a) Montrer qu’il existe a 6]0, -|-oo[ et C €]0, -|-oo[ tels que
Va; G [0 , a] , |e® — (l + a;)| < Ce^
1
ln 2 .
b) Montrer que ^
k=l n + k n-^+oo
c) En déduire que Sn = n + l n 2 - l - o ( l ) lorsque n
2) On note, pour tout n G N*, Vn = Sn — n — \n 2 .
a) Montrer que
—«n-i
+00
~
n-^+00 8n'^
1
b) Montrer que
+ 00 .
J
~
c) En déduire le développement asymptotique :
Sn = n + h i 2 — - - —- + o ( —^ .
16
Vn^y
Solution
1 ) a) Lorsque x est au voisinage de 0, on a e^ = l + x + Y + o(a;^),
donc en particulier e® = 1 -l-a; + 0 (a;^). Par définition de O (a;^), il existe
û; g ]0, -|- oo[ et C g ]0, + oo[ tels que : Va; G [O.a], |0(a;^)| < Ca;^.
On a donc |e® — {\ + x ) \ < C x ‘^ pour tout x G [0, a].
b) D’après les sommes de Riemann (voir [7] p.26), on a
V
^
^ i ÿ.
1
+n
Jo 1
dx
+
_ r
X
L ^
11
0
= ln 2.
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
365
c) Notons N = E{ l / a) + 1 où a est le réel défini dans a) et E ( l / a )
désigne la partie entière du nombre 1 /a.
Pour tout n G N* tel que n > N et pour tout A: € {1, . . . , n}, on a
0 ^
1
n + k < -n < Ik
1 +
< C
d’où, d’après a) :
1
e^+k
n+k
\n + kj
< -§ ■
En sommant, pour k allant de 1 à n, on a
-
1
n +
S
^+
-ii))
—
k=l
< y - ^^2
r)
n’
k=l
et le théorème des gendarmes donne alors
n
i
s„-n -
n + A: n-^+oo
0.
En utilisant b), on déduit que
Sn-n = (Sn-n -
V
^
+
On conclut que Sn = n + ln2 + o(l)
V — > ln 2 .
+ ^ n-^+oo
lorsque n —» +oo.
2 ) a) On a
Vn - Vn-i = {Sn - n - \ïi 2 ) - {Sn-i - (n - 1 ) - ln 2 )
=
- 1 = Ê
- I
k=l
n —2
= ^
^
k=l
=
1
±.
—1
k=0
1
.
e2n-i _|_g2n — en — 1.
366
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
De plus, pour n suffisamment grand, on a
1
^
1
1
en - i + _ + _
+ _
n
2n^
1
1
fl"
+ o l^
1
6n^
ainsi que
-L
,
f 1 \
1
^+
+ 48^5
’
et
e2n-i
=
1
1
1
1
+ O
+
+
(2 n - 1)3^
2n-l
2(2n -l)2
6(2n -l)3
1 +
i ( i _ l
2n
2n V
1
48n3
1 - ^
2n
1+ 1 + i
+ À
2n
4n3 /
8n^
i+ i
nJ
+
=
1 + 1
2n
.0
1
48n3
1 '
M
Vn3
,
1
3
13
/ 1'
— 1 4" 7^ 4" 7 —ô 4" t;;—^ 4“ O I —r
2n
8n3 48n3
On en déduit que
~ '^ n -i
—
/
1
3
1 4- — 42n
8n^
+
13
i
l
l
1
+ \ Î + 72^n + 77-^
+
8n3
48n3
48n3
n ^ 2 n?
=
6n3
4 . + 0 1 y
8n3
Vn3
On conclut que
1
Vn - Vn-1
~
^ •
n -* + o o
b) L’application / ; [ ! , + oo[—> R, x 1—> l/a;3 est décroissante et inté­
grable sur [1 , -b co[, donc, pour tout n 6 N* :
, .
f+ °°
dx ^
1
^
Jn + I a;3 “ k=n-hl fc3 -
f+ °°
dx
Jn
x ^'
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
Or
f+°° dx
/
“T =
Jn
et
1
2 x^
lim
Il
A-^ +00
-lA
367
1
1
f+°° dx
1
J n + l X^
Jn+i
x^
(n +
22 fn
+ 1 )2
n -» + o o
2n 2
L’encadrement (*) permet d’en déduire que
+00
1
y
—
1,3
1
^3 n^+oo 2 n?
k=n+l
c) Puisque
~ l / ( 8n^) et que Y^n ^ est une série de Riemann
convergente, on a, d’après le théorème 2.5 du chapitre 2 :
+00
,
+00
1
k =^n + l
W '
r\j
E
k=n-\-l
K - i i f c - i ) n„ ->+oo
D’une part, puisque (vk) converge vers 0, on a, pour tout n fixé,
N
{ n - Vk-l)
=
VN-Vn
iV—>+oo
k=n+l
+CX )
donc
^
(ufc —Vk-i) = —Vn- D’autre part, d’après 2 ) b)
fc=n+ l
+00
2
8Rk^
A;^
.
k=n+l
n
n--» + o o
16n 2
On en déduit que
-1
"
n-^+oo
16n 2 ’
et on conclut que
Sn = n + ln 2 + Un = n + ln 2 —
ce qui est bien le résultat désiré.
16n2
+ O -X ,
Chapitre 7.
368
Problèmes de révision corrigés
P ro b lèm e 7.9 1) Transformation d’Abel :
Soient (un)n>Q
(vn)n>o deux suites numériques. Pour (p, q) €
que q > p + l , on note Cp^q =
^
tel
Vk-
k=p+l
Montrer que pour tout {p,q) de
'y "'j '^k ‘^k ~
tel que q > p + l , on a
^p,q A" ^ ^ {f^k
^p,k'
A;=p+1
k=p+l
2) Théorème d ’Abel :
Soit {un)n>o une suite réelle décroissante de limite 0, et {vn)n>o une
suite numérique à sommes partielles bornées, c ’est-à-dire telle qu’il existe
M e M. vérifiant
V(p, g) G № ,
9> P+ 1
Uk < M \ .
É
k=p+l
Montrer que la série Y, Un Vn converge dans E.
3) Applications :
oint
a) Montrer que : V(i, a) G (R \ 2 nZ) x
la série ^
— converge.
n"
b) Déterminer la nature de la série de terme général : —^ — (^osn
n + ( - 1 )" sinn
Solution
1) On a
9
9
UkVk
=
U p + i Vp+I +
k=p-\-l
=
■Up+iVp+i +
XZ
Ufc (^p,k ~ 0 ’p , k - l )
k—p-^2
9
g- 1
XI
"U-kOp^k fe=P+2
X
fc=p+i
Wfc+I(7p,fc
9 -1
Up+i Vp+i +
Uq Op^q — Up+2 CTp.p+l +
X
k=p+2
q -1
= Uq Œp^q +
^
k=p+l
{uk — Uk+^ ^Pyk^
{fik ~ Wfc+l) <Xp^k
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
369
où la dernière égalité découle du fait que Up+i = <yp,p+\Noter l’analogie du résultat de cette question avec la formule d’intégra­
tion par parties.
2) On reprend ici les notations de 1).
Soit (p, q) € № tel que ç > p -I- 1. On a
UpCTpql — '^0
d ’où
g -l
g -1
^^
^p,k
—
fc = p + l
^
{y>k
Aj= p + 1
q -1
^
Ai
^ ^ (^k
“ (^p-hl
Ai.
k=p+l
D’après 1 ), il en résulte que
ukVk < Up+iM.
k=p+l
Soit £ > 0 fixé. Puisque (un) converge vers 0 , il existe N Ç. N tel que
Vn € N, n > N => Un <
M +1
On a alors
V( p , ç ) e N^, N > p + l > q =>
UkVk < €.
k=p+l
On conclut que la série X) u„ converge dans E.
3) Applications.
a) Il suffit d’appliquer le théorème d’Abel à
= 1 /n “ et
effet, pour tout n G N, on a
n
fc=0
\ _ g i(n + l)i
sin ( 2 ± ii
sin (t/ 2 )
1 -
<
= e*"*. En
|s in (i/ 2 )|'
b) Pour n assez grand, on a
( - 1 )" cosn
n -h (—1 )” sinn
(—
cosn
n
n
+
o(à)-
370
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
cos (tt + 1 ) n
^omme partie réelle
Mais d’après a), la série ^
d’une série convergente. La série proposée est donc convergente comme
somme de deux séries convergentes.
P ro b lèm e 7.10 Pour tout entier n > \ , on pose
rr
Hn
—1. + 1- +
Z
1
n
1)
a) Montrer qu’une suite numérique (u„)„>i converge si et seulement
si la série numérique
(^n+i —Un) converge,
b) Établir
1
1
( l\
= — — —T + O —r
n+ 1
n
1
,
lorsque
n —>
■+oo.
c) Désormais, on pose Un = Hn — Inn. Montrer que Un+i — Un est
équivalent lorsque n tend vers + oo à une expression de la forme p/n^
où P et q sont deux nombres réels à déterminer.
d) En déduire la nature de la suite (un)n>i ainsi qu’un équivalent simple
de Hn lorsque n tend vers +oo.
2) On note
s» = n=l
E
(a G
Pour quelles valeurs de a, la série Sa converge-t-elle ? Jusqu’à la fin du
problème, on choisit a de la sorte.
On note Y,Cn lo- série produit de Sa par Sa3) a) Pour n > 2 fixé, déterminer le maximum de la fonction f donnée,
pour tout X G IR par f{x) = x { n — x).
b) En déduire que
Vn > 2 ,
\cn\ >
4“ (n —1)
n 2a
c) Conclure que pour 0 < a < 1 / 2 , la série ^
c„ diverge.
n>2
4) Désormais, on suppose que o; = 1 .
a) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle X ( n - X ) ■
§ 1.
371
Problèmes sur les suites et les séries numériques
b) En déduire une expression de Cn en fonction de H n-i/n.
c) Déterminer la monotonie de la suite {Hn-i/n)n> 2 +0O
d) En déduire la nature de la série ^ c„.
n=2
Solution
1) a) Pour n 6 N, notons Sn la somme partielle d’ordre n de la série
('^p+i
^
5n =
{U2
U i) + ( îi3
ÎÎ2 ) + • • • "I" {Ufi
+ (Ufi+i
Ufi)
=
Ufi^i
U\.
On en déduit que les suites (sn)n>i et (u„ —Ui)„>i sont de même na­
ture, donc les suites (sn)n>i et (un)n>i aussi. Comme la convergence
de la suite (s„)„>i équivaut, par définition, à la convergence de la série
(tip+i —Up), on conclut que la suite (un)n>i converge si et seulement
si la série
(un+i —«n) converge.
b) Pour n suffisamment grand, on a
n +1
^ 1+ è
1
n
1
I - - + 0 n
n,
1
1
= --------- ^ + 0 - ^
n“
n
c) Pour n sufiisamment grand, on a
~
=
-^n+1
”1“ In 72
n -I-1
ln (l + i )
V
ni
_ 1
1
1
n -I-1
n
2
ln(n -|- 1 )
+ o
1
1
+
n “ T
nTô ~ ~
n
2 n2 + " U .
1
2 n2
On conclut que
'^n+l
'^n n—>+00
1
2 n2’
Chapitre 7.
372
Problèmes de révision corrigés
d) Comme l/n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente,
on déduit de la question précédente que Y, {^n+i ~ Un) est une série
convergente. La question a) permet alors de conclure que la suite (m„)
est convergente.
Or, pour tout n > 2 , on a
= ■u„ + Inn, donc
(*)
1—
Inn
= 1 + ^— ,
Inn
et comme (n„) converge et que In n tend vers +oo avec n, on en conclut
que Un/ Inn tend vers 0 lorsque n tend vers +oo. De (*) on déduit alors
lim
Hn
n-»+oo Inn
= 1 , donc Hn
~
n —>+00
Inn.
2) Si a G E_, le terme général de la série Y (—l)" /n “ ne tend pas vers
zéro, donc la série diverge grossièrement.
Supposons a G E+. Comme la suite (1/n“) est décroissante et tend
vers 0 , on en déduit que Y (—l)”/n “ est une série alternée qui vérifie le
critère de Leibniz. Elle est donc convergente.
En résumé, la série Sa converge si et seulement si a G M+.
3) a) Soit n G N vérifiant n > 2. La fonction / : x
a: (n —x) est
dérivable sur R et on a : f ( x ) = n — 2 x.
On en déduit que f ( x ) = 0 pour x = n/2, et que la fonction est
croissante sur ] —o o ,n / 2], et décroissante sur [n/2, +oo[. La fonction /
admet donc un maximum au point d’abscisse x = n / 2 . D’où
tx /(x) = / ( - ] = — .
max
’
■
’ \2j
4
a:e[0,n]
b) Soit n > 2 . Par définition d’une série produit, on a
n—1 / _1
^ = E
^
k=l
/ _■ ] \ n —k
X &
(n —k y
n
= ( - 1 )” E^ k°‘ {n — k)°‘’
n
donc : |c„| =
----- — .
A:“ (n —k)°‘
Or, d ’après a), on a : k°‘ {n — fc)" <
n—1
1^1 ^ E
k=l
Api
n2a
d’où
=
4“
Aa
§ 1.
Problèmes sur les suites et les séries numériques
373
c) On a
(o < a <
^
(0 < 2a < l )
( - K 2 û; - 1 < 0),
donc
4«
4^
( n - 1)4“
et
0.
^ 2 a —1 ^
n —>+oo 722 a - l
n2 a
On en déduit que |cn|
0 lorsque n
+oo, donc c„
0. La série
X) Cn est donc grossièrement divergente.
4) a) La décomposition théorique s’écrit
a
= ^ +
X{n-X)
X
n -X
(*)
avec a, 6 € M.
En multipliant les deux membres de (*) par X puis en faisant X = 0, on
obtient a = 1 /n. En multipliant ensuite par n —X et en faisant X = n,
on obtient 6 = l/n . D’où
l /n ^ l/n
X
n -X
X {n-X)
b) On a
_
( - 1 )" ^
2
^
U
t ^ i k i n - k)
= 2 { -l)"
M ):
i l .
1
^
2^ \ U ^
Tt
k=\
^ ^J
Hn-l
n
c) Pour tout n > 1, on a
Hn+i
n+2
Hfi
n+1
1
n+1
1
A 1
k ~ n+1 ^^k
1
^+2¿Í
( 1 )si*
1
\n + 2
n+ 1
(n + 1 ) (n + 2 )
n
1
1
1
^ -U
(n + 1 ) (n + 2 )
k
(n + 1 ) (n + 2 )
374
Chapitre 7.
donc
H,n + l
Hn
n+ 2
n + l
Problèmes de révision corrigés
— Inn
< 0,
n-^+oo {n + 1) (n + 2)
ce qui montre que la suite
décroissante à partir d’un cer­
tain rang.
d) Pour tout n > 2 , on a Cn = 2 (-!)"■
La série
est donc al­
ternée. De plus, la suite
décroissante à partir d’un certain
rang et on a
Hn-i
-------n
~
n—>+oo
In (n - 1 ) ^ In (n - 1 )
^
---------------- et ---------------- — > U.
fl
fl
n->+oo
La série
vérifie donc le critère de Leibniz (théorème 4.4 du chapitre
2 ), elle est donc convergente.
2
Problèmes sur les suites et les séries de fonctions
P ro b lèm e 7.11 (Irratio n n alité de tt^) On considère la suite de fonc­
tions (/„) définie sur R par
f o (x ) = sinx , et Vn € N, Va; G R ; fn+i{x) = [ tfn{t)dt.
Jo
1)
Déterminer les fonctions f \ et /2 et montrer qu’il existe des poly­
nômes Pn et Qn tels que, pour tout x G R, on ait
fn{x) = Pn{x^) sinx -I- xQn{x^) cosx.
1)
Déterminer les degrés de Pn et Qn et montrer que ces polynômes
sont à coefficients dans Z.
X,2n
2) Montrer que, pour tout x G R, on o \fn{x)\ <
, .-,■ et en
^ *T ***[ZtiiJ
déduire que (/„) converge simplement sur R vers une fonction f que
l’on précisera.
3) Montrer que la suite (/„) converge uniformément vers f sur tout com­
pact de R.
4) Donner une relation liant /n+i,/n ei fn-i-
§ 2.
Problèmes sur les suites et les séries de fonctions
375
5) Déterminer une équation différentielle vérifiée par fn6) Montrer que tt^ est irrationnel. (On pourra étudier Fn(Tr^/4)).
Solution
1) Pour tout a; G R, on a
f\{x) = J t s i n t d t = —[i cosijo + J c o std t = —x cosx + sina;.
De même,
px
f 2 {x) = /
Jo
cost + t sini) dt = —x^ sina: — 3a; cosa; + 3 sina:.
Supposons que pour tout k tel que k < n , fk puisse s’écrire
fk{x) = Pk{x^) sina: + xQk{x^) cosx.
Cette relation est vérifiée par les fonctions fo, f i et / 2.
On peut alors montrer que /„ s’exprime sous la même forme en consta­
tant que
f
¿2"+^ sin t dt = —a;^”'*'^ cos x -|- (2n + 1) /
cos t dt
et
/
co std t = a;^” sina; — 2 n [
s in id i.
Jo
Jo
Les polynômes P„ et Qn sont à coefficients dans Z, et ont pour degrés
respectifs
degP„ =
et
degQ„ =
OÙ E{x) désigne la partie entière du nombre x.
2 ) On a évidemment |/o(a;)| < 1 pour tout x.
En majorant l’intégrale définissant / 1, on obtient |/i(a:)| < x^/2 pour
tout X réel. Par le même procédé, on obtient
(*)
X2n
\fn(x)\ <
2-4-- - ( 2n) '
376
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
On en déduit que, pour tout x fixé dans R, la suite numérique {fn{x))
tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. En résumé, la suite (/„) converge
simplement sur R vers la fonction nulle.
3) Soit K un compact de R. Puisque K est fermé et borné dans R, on
peut trouver un réel 5 > 0 tel que K C [—<5,5]. On a alors, pour tout
x£K :
¿2n
pn
X2n
<
2-4---(2n) - 2-4---(2n)
2'‘ n!'
Mais d ’après la formule de Stirling (problème 7.4), on a
n\
~
n->+oo
( —) y/bm ,
Ve '
¿2n
d’où l’on déduit la convergence de la série de terme général
2" n ! ‘
De l’inégalité (*), on conclut que la suite (/„) converge uniformément
sur le compact K .
4) Pour tout rc G R, on a / 2 (2;) = 3/i(a:) — x “
^ fo{x).
Supposons que, pour une valeur donnée de n, on ait
(**)
fn+i{x) = {2 n-\-l) fn{x) - x"^ fn-l{x).
On a alors
f n+ 2 {x) =
[
t f n + l { t ) d t = ( 2 n + l ) f n+i { x) -
f
JO
JO
et puisque /„ est une primitive de la fonction x
^
x
fn-i{x), il vient
dt = [i^/n(i)]^ - ^ 2 tfn{t) dt = - 2 fn+i{x) + x'^fnix).
La relation (**) est donc vraie pour tout n G N.
5) En dérivant les deux membres de (**), on obtient
fn + Л ^ ) =
(2n + 1 ) /;(ж ) -
2 x f n - i { x ) - x^f^_i(x) = xf n{ x) ,
ce qui peut également s’écrire
f n( x) =
( 2 n + l)/ „ _ i(a :) -
2 f n - i { x ) - xf^_-^{x)
§ 2.
Problèmes sur les suites et les séries de fonctions
377
d ’où, en dérivant à nouveau :
/;(x ) = (2 n - l ) / '_ i ( x ) - /;_ i(x ) - x/"_i(a;) = x fn -i{x ).
On en déduit que fn est solution de l’équation différentielle
x y" — 2ny' + x y = 0 .
6) Pour tout n € N, on a /„ ( 7r / 2 ) = Pn{'K^/A). Si 7T^ est rationnel,
alors 7t^/4 l’est aussi. Posons donc tP/A — p/q où ip,q) € N x N*.
La suite [q^ Pni'K^/ A)^ est une suite d’entiers qui tend vers 0 d’après
l’inégalité de la question 2). D’après l’exercice 1.7 du chapitre 1, cette
suite est nulle à partir d’un certain rang. Donc P„( 7t^/ 4 ) est nul à partir
d’un certain rang, ainsi que /„ ( 7t/ 2 ) et d’après la relation obtenue à la
question 4), /„(7t/2) est nul pour tout n G N. Or / i (7t/2) n’est pas nul.
Donc le nombre tP est irrationnel.
Problème 7.12 Pour tout n G N, on considère la fonction fn donnée
( - 1) "
par f n { x ) = —
— T.
n! [x + n)
1) Étudier la convergence simple de la série X)/n2) On désigne par S la fonction somme de cette série. Déterminer S'(l)
en fonction de e.
3) Montrer que la fonction x
xS {x) —5(x + 1 ) est constante.
4) Étudier la continuité de S.
5) Montrer que S est dérivable.
6) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que
S(x) = a + - + -^ +
X
x^
\x ^ J
lorsque
X
+00.
Solution
1 ) La fonction fn est définie sur R \ {—n}. Donc l’ensemble des x pour
lesquels Ylfn{x) peut converger est au plus P = {a; G R , —x ^ N}.
Soit xo un réel de E, et soit N e N tels que Xq + N > 0. Pour tout
n > N , \e nombre Xo + n est positif et donc fni^o) est le terme général
Chapitre 7.
378
Problèmes de révision corrigés
d’une série alternée dont le module du terme général décroît et tend vers
zéro. Le critère de Leibniz (théorème 4.4 du chapitre 2) permet d’en
déduire que la série numérique Y!,fn{xo) est convergente. On en conclut
que la série de fonctions X) fn converge simplement sur E.
2) On a
/ l\n
+00
*> ■ sSs
= _ g (-iy
n!
n=l
= i - i .
e
3) Soit X € E. On a
+00
+o° ('-l')
X
(-ir
V
^
^
x
+
n
n\
S
i
n!
(n
+ 1 + x)
n=0
+00
(-if f
(-l)-n + 1
n ^
- E
^ (t2. + 1 )! (n. + 1 + x)
n\
X+ n ,
x 5 ( x ) - ^ ( x + l)
=
^ g
n=0
1
=
-
+00
e
-
(-l)-ri
^ ^0 n!(rc + n)
g
E
( - l ) ’‘n
n!(a; + n )'
D’où
Vx € £ ? , a;5(a;) - S{x + 1) = - .
(*)
4) Soit Xq un réel dans E. Il existe un intervalle fermé [a, b] contenant
E. Soit N un entier tel que N + a soit positif. On a
alors
Vn > iV , Vx € [a, 6], X + n > 0 ,
xq et inclus dans
ce qui montre que X) f n { ^ ) est une série alternée convergente car \ f n { x ) \
est le terme général d’une suite décroissante qui tend vers 0. Pour tout
n > iV, on a alors d’après le théorème 4.4 du chapitre 2 :
V x e [ a , 6], |iî„(x)| < |/„+i(x)|
+00
où R n { x )
—
^
fk (x )k=n+l
On en déduit que
Vx g [o, 6], |iî„(x)| < |/„+i(a)|,
où |/„+i(a)| tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. La suite des restes
R n converge donc uniformément vers 0 sur [a, 6], donc la série de fonc­
tions J 2 f n converge uniformément sur [a, b]. Comme de plus chaque
§ 2 . Problèmes sur les suites et les séries de fonctions
fonction fn est continue sur [a, 6], on déduit du théorème 3 .1
pitre 4 Que
I^u, b],
UJ, donc
uv./ii\./ en
<;;ii particulier
peu bii.uiii^i en
cil Xq, p.
ue Skj est vuiiumuc
continue oui
sur [a,
conclut que la fonction somme S est continue sur l’ensemble
^
5) Les fonctions L sont dérivables sur E et fL(x) =
-----'
•’
’
n!(æ + n) 2 un raisonnement analogue à celui de 4), on montre que la série
converge normalement sur tout intervalle compact inclus dans E. D’après
le théorème 4.2 du chapitre 4, la fonction S est dérivable sur et on a
M x ^ E , S \x ) = Ê
^
^ ^
n\{x + n y
6 ) On a
4-00
1
Soit X un nombre réel positif. On a
0 < \ S{x) \ < i g i
n=U
et le théorème des gendarmes permet d’en déduire que
(**)
lim S(x) = 0 .
a:->+oo
^ '
De (*) et (**) on conclut que
1
lim x S( x ) — - , donc S(x)
e
æ—>4-00
~
x->4-oo
1
—.
e X
Posons H{x) — S{x) — l/{ex). On a
H{x) =
On en déduit que H{x)
e x S{ x ) — 1
ex
~
a:->+oo
S{x) = — +
ex
ex
X
1 X -^, d
A’ou^
—
e x
X
(l+e(a;))
qu’on peut encore exprimer sous la forme
ex
S{x + 1 )
ex^
avec
lim e{x) = 0,
X—
>4-00
380
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
Les coefficients recherchés sont donc : a = 0 et h = c = \/e .
P roblèm e 7.13 (Fonction zêta de R iem ann) 1) Déterminer le do­
maine de définition de la fonction
+00
C
: X ^
1
y ,
n=l
Étudier la convergence uniforme de cette série de fonctions.
2) Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction C3) Montrer que
4) En déduire la limite en +oo et en l'*' de C5) Montrer que
•ïïîv ( < w -
^
où 7 désigne la constante d’Euler.
Solution
1) - Pour tout a; e R, I ] (l/n®) est une série de Riemann qui converge
si et seulement si a; > 1 . On en déduit que la fonction
est définie sur
l’intervalle ]1 , +oo[.
- Étudions la convergence uniforme de la série proposée.
Soit a > 1 . On a
^
^
Va; € [a, + oo[, —
< —
,
/pX
/nCl
et comme 1/n“ est le terme général d’une une série de Riemann conver­
gente, on en déduit que la série de fonctions ^ ( 1 /?^®) converge norma­
lement donc uniformément sur [a, + oo[.
- Étudions la convergence uniforme sur ]1 , -f oo[.
Pour tout a; €]1, -h oo[, on a
+00
1
2n
¿ + 1 P® “ p 5 - i
2
^
~ (2^)"'
2
2=^
§ 2.
Problèmes sur les suites et les séries de fonctions
381
L’application x
2“®n}~^ est strictement décroissante sur ]1 , +oo[,
et sa borne supérieure, obtenue lorsque x tend vers 1 , est égale à 1 / 2 .
Donc
^
sup Rn{x) >
X>1
^
On en déduit que la convergence n’est pas uniforme sur ]1, + oo[.
2 ) - Continuité de la fonction CSoit
g ] 1 , + o o [. En choisissant a G ] l , r c o [ , on peut affirmer que C est
somme uniforme d’une série de fonctions continues sur [a, +oo[, donc C
est continue sur [a, + oo[ donc en particulier en Xq. La fonction C, est
donc continue sur ]1 , + oo[.
- Dérivabilité.
Soit Xo > 1 et 1 < a < Xq. Pour tout n G N*, posons Un{x) = n~^.
Chaque fonction Un est dérivable sur [a, +oo[, et Î7^(x) = —
Inn.
D’où |i/^(x)| < n ““ Inn pour tout X >a.
Comme la série numérique majorante X^n“®Inn est une série de Ber­
trand convergente, on déduit que
• Z)
converge normalement donc uniformément sur [a, + oo[,
• Y,Un converge uniformément sur [a, -I- oo[.
Le théorème 4.1 du chapitre 4 permet de conclure que la fonction C est
xq
dérivable sur [a, -h oo[ et que pour tout x > a, on a C^(x) = ^
n*"
n=l
Ceci étant vrai pour tout a > 1 , on conclut que C est dérivable sur
l’intervalle ]1 , -Ьоо[ et que l’on a
Vx g ]1 , + oo[,
n=l
rv
On observe que C^(x) < 0 , donc ^ est décroissante sur ]1, + oo[.
3) Pour X > 1 fixé, la fonction définie sur ]0, -f- oo[ par t i->
strictement croissante, d’où
T
r
*
V .€ ll,+ o o |.V p € ir.
soit
^
1
/■p+1 dt ^ 1 ^ rp dt
Jp
~ ^ ~ Jp-i¥'
rp+i dt
1
est
382
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
Il en résulte que
h •'P
'p
p=2
"
“ p=2
h yr
- p=2
h Jp-i t- '
En faisant tendre n vers l’infini, et sachant que
f+°° dt _
1
il
X —1 ^
/■+°° dt _
1
J2
(a; —1) 2®“^’
on déduit que
(*)
Vo;G] 1 , + o o [ , 7^;;—
{x — 1 ) 2 ®‘
< C(a:)-1 <
4) Puisque
1
lim 7----- —
—— - = 0^ et
1^+00 (a; —1 ) 2 ®“ ^
1
hm ----- = 0^,
1^+00 X — 1
et compte tenu de (*), le théorème des gendarmes donne
lim C(^)' = 1x-»+oo
Par ailleurs,
lim 2^ ® = 1 donc, toujours à l’aide du théorème des
ÎC—>1+
gendarmes, on déduit de (*) que
lim {x — 1 ) C,{x) = 1 .
a;^l+
D’où
C{x)
r\J
--------
a:-*l+
rC — 1
, donc
lim
æ—
►!+
— + 00 .
5) Pour tout n G N*, considérons
K .:[l,+ o o H R ,
XH.
1
rn+1 (U
On a
1
^
—T— < /
(n +I- 1)
1)'’’ ~ Jn
1
,
— < — donc
ή “
—
r+ ^dt
1
— < —7----+ 1 )®’
Jn
~ (n +
§ 2 . Problèmes sur les suites et les séries de fonctions
383
d’où
Vx e [1, + oo[, 0 < Vn{x) < —----
{n + 1 )®
Pour n G N*, posons maintenant
V x e | l , + o c [ , WUx) =
Chaque fonction Wn est dérivable sur ]1 , + oo[, et on a
W',{x) =
In (n + 1 )
{n + 1 )“
In n
n“
Or, pour X > 1 fixé, la fonction (p : t
i ®In i est dérivable sur
et on a
fu\
l-a;ln i
= -> + i
•
Elle est donc décroissante sur l’intervalle
+ oo[. Par ailleurs, on
a
< e, donc ip est décroissante sur [3, + oo[. En particulier, on a
p(n + 1 ) < p(n) pour tout n > 3, donc W^^{x) < 0. La fonction Wn
est donc décroissante sur [1 , + oo[. On en déduit que
Vn > 3 , Vx G [1, + oo[, Vn(x) < Wn{l) =
d ’où
Vx G [1, + oo[, 0 < V n ( x )
<
n{n + l)
1
< i.
n (n + 1 )
Donc la série
converge normalement sur [1 , +oo[. De plus, chaque
Vn étant continue sur [1 , +oo[, la fonction somme de X) K» est elle aussi
continue sur [1 , + oo[ d’après le théorème 3.1 du chapitre 4.
Par ailleurs, on a, pour tout x > 1 :
Or
+00
E
+00
=
E ^n(l) =
^ /1
/>»‘+1 dt \
lim £ ( - - /
-r )
Chapitre 7.
384
Problèmes de révision corrigés
Donc
lim
X—
>1 +
C(a;) -
—1
X
=
7.
P ro b lèm e 7.14 On note F la fonction donnée par
+00
/ _ i \ n —1
n ^ ) = E ^ nr
^
n=l
et on considère la fonction zêta de Riemann définie sur ]1 , + oo[ par
+00
n=l
On se propose une étude croisée de quelques propriétés de F et Ç
1) Déterminer l ’ensemble de définition de F.
2) On considère la suite des fonctions
définies sur [0,1 [ par
gn(t) =
Ê
A:=0
Déterminer la limite simple g de (gn)n>i puis, en utilisant le théorème
de convergence dominée, montrer que F (l) = f^ g(t)dt.
En déduire la valeur de F(l).
3) Démontrer que
converge normalement sur ]2 , + oo[.
En déduire la limite de F{x) lorsque x tend vers + 00 .
4) a) Soit X > 0. Étudier les variations sur ]0, + oo[ de la fonction
t H->
Ini, et en déduire que la suite (n~^ lnn)„>i est monotone à
partir d ’un certain rang (dépendant de x) que l ’on précisera.
b) Pour n > 1, on pose fn{x) — (—1)"“^ n~®. Si a est un nombre
réel strictement positif, montrer que la série des dérivées
converge
uniformément sur [a, + oo[.
En déduire que F est une fonction de classe
sur ]0, + oo[.
5) Pour a; > 1 , calculer F(x) — (^(x) en fonction de x et de C{x). En
déduire que
F{x) = (1 - 2'-") C(x),
puis en déduire la limite de (^{x) lorsque x
+ 00 .
§ 2 . Problèmes sur les suites et les séries de fonctions
385
Solution
1) Soient n G N*, rc G M, et notons fn{x) = (—
Comme
\ u x ) \ — n il en résulte que pour x < 0 , la série numérique J2fn(x)
diverge grossièrement. Pour x > 0, cette série converge car elle vérifie le
critère de Leibniz puisque la suite (|/n (a ^ )|)n > i est décroissante et tend
vers zéro.
L’ensemble de définition de la fonction F est donc ]0, + oo[.
2) En tant que somme partielle d’une série géométrique, on a
ViG [0,1[,
Qnit) =
1
-
1 + i
Donc la suite (gn)n>i converge simplement sur l’intervalle [0,1[ vers la
fonction g : i i-> (1 +
Les fonctions polynômes gn et la fonction rationnelle g sont continues
sur ]0,1]. De plus, on a
VnG N*, VtG] 0 , l ] ,
k ( i ) | < 1.
Comme la fonction constante i
1 est intégrable sur [0,1], il résulte
du théorème de convergence dominée que g est intégrable sur [0 , 1 [ et
lim / gn{t)dt = f g{t)dt.
n-*+ooJo
Jo
Comme
/>1
n
(_ -i\k
i0
“ S ^
n —^+00
et que Î g{t) dt = In 2 , on en déduit que F (l) = In 2 .
J0
3) On a
Vx G [2, + o o [ , Vn G N * , |/n (x )| <
4.
Comme 1 /n^ est indépendant de x et que c’est le terme général d’une
série de Riemann convergente, on en conclut que la série E / n converge
normalement sur [2 , + oo[.
D’autre part, on a
Vn G N* ,
, , .
f 0 si n > 2
lim /,» w = 1 1 si
si n = 1 .
X—^ + 0 0
386
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
D’après le théorème de la double limite (théorème 2.5 du chapitre 3), on
déduit que
lim F(x) = 1.
(*)
a:->+oo
4) a) La fonction h :
^ '
et on a
®In i est de classe (7°° sur
Vi G R ; , h'{t) =
1 —a; In i
D’où
h'{t) > 0
i < exp
^
car la fonction u
exp u est (strictement) croissante. Il s’ensuit que
h est croissante sur ]0,
et décroissante sur
+ oo[. La suite
{h(n))n>i décroît à partir du rang N{x) —
+ 1 où E{t) désigne
la partie entière du nombre réel t.
b) Pour chaque n > 1 , la fonction /„ est de classe
sur R+, et on a
/n(a^) = ( - 1 )” Hn)Si O! > 0 , notons no = E{e^^°‘) + 1 . On a
1 ^ 1
- < - < no.
a; > û; > 0
X
a
Pour tout X e [n, + oo[, la suite (l/n(^)l)jj>Q ®st décroissante et tend
vers 0 (car |/^(a;)| = h{n)). Donc la série ¿ /„ ( x ) (n > no) vérifie le
+ 00
critère de Leibniz, donc converge. En notant Rn{x) = ^
fn(x), on a
fc=n+l
Va; G [a, + o o [ , Vn > no , |i?n(a;)| < |/'+i(a;)| <
In (n + 1 )
n°
Comme la suite n
n~°‘ In n est indépendante de x et tend vers zéro
lorsque n tend vers l’infini, la suite de fonctions (i?n)n>no converge uni­
formément vers la fonction nulle sur [a, -I- oo[. En d’autres termes, la
série J2fn (pourn > no) converge uniformément sur [o:, + oo[.
On déduit du théorème 4.1 du chapitre 4 que F est de classe
sur
et que
+0O
+00 / l'in
„
Va: e R I , F'(x) = ■£ f'„(x) = ■£
—
n=l
n=l
^
§ 2.
Problèmes sur les suites et les séries de fonctions
387
5) Pour tout n G N*, on a
^
2n
(-l)fc-l
V
\^x
fc=i
n
—
= -2 V
Ux
-1
-1
^ 1
(Om\x
(2p)"
= -2'^-^ V ' —
n-ix'
pî P
Par passage à la limite lorsque n tend vers +oo, on obtient
Va; g ]1, + oo[, F{x) - C{x) = -2^"® C{x)
d’où
(**)
V a ; e ] l , + o o [ , F{x) = (1 —2^“®) C(îc).
Comme 2 ^“® tend vers 0 lorsque x tend vers +oo, on déduit aussitôt de
(*) et de (*♦) que
lim C(a;) =
X—>+00
lim F(x) = 1.
X—►H-oo
P roblèm e 7.15 Ce problème utilise les résultats et les notations du pro­
blème précédent. On a montré, en particulier, que la fonction F donnée
par
+00
F(^)
est définie et de classe
=
E
n=l
1
rr
sur MÜj., et que
^ g
(*)
( - 1 )”- Inn
^
n=l
/nX
1) a) Écrire en fonction de ln2 et de F'(l) le développement limité à
Vordre 1 au voisinage de 1 de la fonction F, puis déterminer le dévelop­
pement limité à Vordre 2 au voisinage de 1 de la fonction a; h-> 1 —2^“®.
b) En déduire deux réels a et b qui s ’écrivent éventuellement à l ’aide de
ln 2 et P '(l) tels que l ’on ait
a
C(x) = X — 1 + 6 + o(l)
2) On considère la série de fonctions
/ ,
1
dt
par : vn{x) = — n®
Jn
Î
lorsque
x
l'*’.
où v^ est définie sur [1 , 2]
Chapitre 7.
388
Problèmes de révision corrigés
a) Montrer que pour tout n > l et x E [1 ,2[, on a
0 < Vn{x) < \
-
^
(n + 1)®■
b) Montrer que, pour tout x G [1,2], la série '^Vn{x) converge.
+0 0
On note alors 7 = ^
nn(l)
('y est la constante d’Euler).
n=l
c) Exprimer pour x g ]1 , 2 ], la somme ^
n„(æ) à l ’aide de ((x) et de
n=l
X — 1,
d) Montrer que la série
converge uniformément sur le segment
[1 , 2 ] (on pourra utiliser le reste Rn de la série).
e) En déduire que
C(^) = —^ + 7 + 0 ( 1 )
X —1
lorsque
x —> 1 "^.
3) Déduire des résultats précédents une expression à l ’aide de l n 2 e i 7
( - I f - i In n
de la somme : > ^ —
n=l
n
Solution
1 ) a) Comme F ( l ) = In 2 , on a pour tout x au voisinage de 1 :
F(x) = ( a ; - l ) F ' ( l ) + o ( a : - l ) .
Du développement limité de x
e’^ en a; = 1 , on déduit
1 - 2^-^ = (æ - 1 ) In 2 -
In^ 2 + O({x - 1 )2).
b) On a, pour X au voisinage de 1 ;
1
_
1 —2^~^
1
(æ —1 ) In 2
_____________ 1_____________
1 —(a; —1 ) ^
+ O(x —1 )
+
+ » ( ^ - 1 ))-
Donc
= (x -[)ln 2
§ 2 . Problèmes sur les suites et les séries de fonctions
389
D’où
,
F{x)
F '(l)
1
2) a) Pour X G [1,2[ fixé, la fonction i
sante sur MÜj.. On en déduit que
V n > i,
ln2
,,,
1 /i® est continue et décrois­
< r ' f
(n -f- 1)® “ Jn
< 1.
ή “ n®
Donc
(**)
Va; G [1,2] , Vn € N *, 0 < Vn{x) < ^ 'nr
[n + 1
b) Comme Z)(n“® — (n -l- 1 )“®) est une série télescopique (voir propo­
sition 1.15 du chapitre 2), elle est donc convergente puisque n “® tend
vers zéro lorsque n tend vers l’infini.
Le théorème de comparaison pour les séries à termes positifs permet d’en
déduire, grâce à (**), que la série X)Un(x) converge.
c) Pour tout X G ]1,2] fixé, la série ^ (1/?^®) converge et a pour somme
C(x), et l’on a
g
_ r+ °°dt
1
a; —1
Donc
+ 00
Va; g ]1, + oo[,
^n(cc) = C(a;) n=l
1
X —r
d) On déduit de 3) a) que
+00
Rn{^) =
+00
E ^k{x) < E
(^
fc=n+l
A;=71+1
- {k -1^- 1 )®J
D’où
1
(n -1- 1 )=' ■
1
1
< -.
n+1
n
Comme 1 / n , on conclut par la proposition 1 .1 2 du chapitre 4 que la série
converge uniformément sur [1 , 2 ].
e) La fonction (i, x) i-> 1 /i® est continue sur le compact [n, n -I-1] x [1,2]
pour tout n > 1 . Donc la fonction x
i ”®dt est continue sur [1,2]
Vn G N* , Vx G [1,2] , 0 < Rn{x) <
390
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
(voir [7] p. 224). On en déduit que la fonction x i-> u„(x) est continue
sur [1 , 2 ] comme différence de fonctions continues.
D’après le théorème 3.1 du chapitre 4, et compte tenu de 2 ) d), la fonction
somme S de la série ^ V n est continue sur [1 , 2 ]. En particulier,
S (l) = T = ,lim S (i) = £ m
(c (i) - ^ ) .
On a donc
({x) = ----- - + 7 + O(a: —1 ) lorsque x —> l'*'.
X —1
3) D’après la question précédente, le coefficient b de la question 1) b) est
égal à 7 . En identifiant avec les calculs de 1 ) b), on obtient
F '(l) = 7 ln 2 -
(ln 2)2
De (**) on déduit alors
n
n=l
3 Problèmes sur les séries entières
P roblèm e 7.16 1) Montrer que la série entière
+00
n!
X2n+l
(
2
n
+
1
)
1-3--n=0
E
S
a pour rayon de convergence -\/2 .
On note f la fonction somme de cette série sur ] —y/2, y/2 [.
2) Montrer que f est solution de l ’équation différentielle
(x^ - 2 ) y ' + xy + 2 = 0 ,
(E)
et déduire de ce qui précède une expression explicite de f .
+00
yjj
4-) La série ^
^ — c\
n=0
-1-
^
3---(2n + l)
converge-t-elle lorsque x = y/2 ?
§ 3.
Problèmes sur les séries entières
391
Solution
n!
1) Pour tout n e N, posons a„ =
. Pour a: G E* fixé,
1 • 3 • • • (2n + 1)
on a
\x\
<^n+l ^ 2n+3
n
—
>+oo
2
2
H~ 3
On
t i
Il résulte de la règle de D’Alembert que la série X) <^n
converge ab­
solument si |xp/2 < 1, et diverge si |a;p/2 > 1. Le rayon de convergence
de la série X)
est donc égal à V2.
2 ) D’après le théorème 4.9 du chapitre 5, la fonction somme / de la série
0"n
est dérivable sur l’intervalle de convergence ] —^/2,^/2[, et
de plus on a
+ 00
Vx g ] - V ^ ,\/ 2 [ , f { x ) — ^
(2 n +l)ona;^”.
n=0
En posant F{x) — {x^ — 2 ) f { x ) + x f { x ) , on obtient
+CX)
+00
= 13 (2^ + 1 )
=
- 2 ^
n=0
n=0
+00
+00
1 3 ( 2n + 2) On
~ 2^
n=0
=
+ 00
2n+2
a„ X
(2 n -h 1 ) On
n=0
( 2n -b 1) o„ a:'
n=0
+00
+00
^
2no„_ia;^” - 2 13) (2n-f 1)Ona;'«2n
n=l
n=0
+00
=
13
2 (nOn_i - (2n -b 1) o„) æ” - 2.
n=l
Et, puisque nOn_i — (2n -b 1) On est nul pour tout entier n, il en résulte
que (x‘^ —2) f'{x) + x f{x) = —2 . Donc / est bien solution de l’équation
différentielle (e ).
Sur l’intervalle ] —y/2, -\/2 [, l’équation homogène (a:^ — 2)y' + xy = 0
(J
associée à {E) admet pour solution générale y — —^ = = . En utilisant
\/2 —a;2
la méthode de variation de la constante, on obtient
a;2 - 2
c = -2
V2 x^
d'où a =
Chapitre 7.
392
et finalement ( 7 = 2 arcsin
Problèmes de révision corrigés
+ i4, où A est une constante réelle
arbitraire.
Finalement, comme /(0) = 0, on obtient
X
arcsin
Vx g ] - V 2 , V 2 [ , f (x) =
V2-
3) En multipliant le numérateur et le dénominateur de a„ par 2 4 • • • (2n),
on peut écrire a„ = ^2^ + 1 )!'
n\
formule de Stirling
I —i \ / ^ n ,
n—>+oo Ve
donne alors
= V2
2 ^" (n!)^
y/ïr
(2 n)!( 2 n + l ) n-^+oo y / ^ ‘
On en déduit que la série de terme général a„ (\/ 2 )^"‘'’^ diverge par com­
paraison à la série de Riemann de terme général \jy /n .
P ro b lèm e 7.17 On considère la suite (Sn)n>i définie par
«S'il — 1 + - -I-
+
n
/*7"1 dx
1) a) Montrer que Sn < 1 + / — .
Jl
b) En déduire que
X
lim Sn/n = 0.
n—>+oo
+00
2) Soit la série entière : ^ (—1 )”+^ S 2n
n=l
a) Déterminer le rayon de convergence R de cette série.
b) La série converge-t-elle pour |a:| = i? ?
3) On désigne par f la somme de la série précédente, et on pose
g{x) — (1 4 - /(a;) pour |x| < iî.
Montrer que
+00
s(x) = E ' ( - ! ) ”+■ ^
n=l
2n
+00
^2n
§ 3.
393
Problèmes sur les séries entières
En déduire une expression simple de g puis de f à l ’aide de fonctions
élémentaires.
Solution
1 ) a) La fonction ip : RÜj. —» R , x ^
\ j x est manifestement continue
positive et décroissante sur RÜj..
Pour tout fc G N*, posons Uh =
Pour tout a; G M+ vérifiant
a; < A: + 1, on a Uk+i < <p(x), donc Uk+i <
(p(x) dx. D’où
k+l dx
~
§
X
f dx
~
Ji
X
pu
On en déduit que «S'« < 1 + / — .
X
Jl
b) L’inégalité précédente s’écrit aussi, pour tout n > 1 :
«S'il < 1 + In n , donc 0 < — < - +
n
n
n
Le théorème des gendarmes entraîne que ^lim n~^ Sn = 0.
2) a) Pour (n,x) G N* X
posons ^„(a;) = (—1)”+^
Vn+l{x)
Vn{x)
'S^2n+2
^ 2n
On a
X la ; ^
Or,
J2n+2
et comme
1 I 2n-\-l___ 2n-\-2
^ 2n
lim Sn = +oo, on a alors
^2n
n—>+oo
lim
n->+oo
¿2n
= 1 et
lim
n^ +oo
î^n+l(ic)
Vn(x)
=
X\
On en conclut que la série X) l^n(ir)| converge si |a;| < 1 , et diverge si
|a;| > 1 . Donc i? = 1 .
+ 00
b) Pour X = ±1, la série s’écrit ^ (-1)"+^ S 2n- Elle est donc divergente
n=l
Chapitre 7.
394
Problèmes de révision corrigéi
car son terme général ne tend pas vers 0 .
3) Pour tout X vérifiant |a:| < 1 , on a
+00
+00
n=l
n=l
+00
+0O
n=l
«2n
n=2
+0O
=
S2
+ ^2, (—1 )^^^ (^ 2n
^ 271- 2)
„2n
n=2
Or, S 2n - S 2n-2 = TT^—T +
donc
2n - 1
2n
+00
n=l
+00
,2n
2n
+00
71=1
2n—1
+00
1 +00
2 \n
n+1
n
n=l
+00
~r^
^2n+l
= ^ n^=0
I
+00
-r^
2 \n
^ -h i + 2Z s
n
= X arctanx + - In(H-x^).
Z
Par suite,
») ■ rft
— ^ ô I ^ arctanx + ^ In (1 + a;^) I.
1+
V
2
/
P ro b lèm e 7.18 Soit (on) une suite de nombres complexes. On suppose
que le rayon de convergence de la série entière Y, ûn
est égal à + 00 .
On note f la fonction somme de cette série.
1) Montrer que
f2TT
V r € ] 0 , + o o [ , Vp G N , / f{re**)e~‘^ ^dt = 27rr^Op.
J0
§ 3.
Problèmes sur les séries entières
395
2) On suppose dans cette question que f est bornée sur C.
Établir l ’existence d’un nombre réel positif M vérifiant
Vr €]0, + oo[, Vp G N , |ap| <
M
ipP
Montrer que üp = 0 pour tout p > l . En déduire que f est constante.
3) On suppose ici qu’il existe un entier q non nul et deux nombres réels
strictement positifs a et fi tels que :
€ C , \f{z)\ < a\z\^ + fi.
Montrer que f est une fonction polynôme.
4) On suppose que : V2: G C , \ f { z ) \ <
Montrer qu’il existe un
nombre complexe K tel que f{z) = K e” pour tout z g C.
Solution
1) Pour tout t G [0, 27t], n et p g N, posons fn{t) =
alors
p2ir
_
/•27T
/ f{ré^^)e~^^^dt =
fn{t)dt.
On a
n=0
‘' 0
Mais |/n(i)| = |ûn|r”, et pour tout z dans C, la série de terme géné­
ral OnZ’^ est absolument convergente (car la série entière Y^anZ^ est
de rayon de convergence infini). Donc la série de terme général
converge et la série de fonctions Y f n converge normalement sur [0 , 27t].
On peut donc intégrer terme à terme, ce qui donne
/
•'0
f { r é ^ ) e ~ ‘^^ dt = £ /
n=0
fn{t)dt.
Mais,
/'2’f , , , ,
I fn {t)
Jo
~
f 0
\ n
P
[ Z 'ïïr ^ ü p
si n 7^ P
SI
si n = p .
On obtient donc
/
J0
fn{t)dt = 2 nr ^O p.
2 ) Puisque / est supposée bornée, il existe une constante M telle que,
pour tout 2: G C, on ait \f{z)\ < M. On a alors, pour tout r > 0 et tout
P GN :
/*27T
2irr^ap < / |/(re*‘)|d i < 2'ï ï M,
Jo
396
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
donc |ap| < M/rP.
Si P > 1 , on en déduit en faisant tendre r vers l’infini que Up = 0 et
donc que f{z) = oo- La fonction / est donc constante.
3) Par la même majoration qu’en 2 ), on obtient
2 ttr ^ ü p
<
/
Jo
r’ZTT
|/(re**)|di < / { a r ' ^ +
Jo
P ) d t
=
2 ‘K { a r ^
+ /3),
et donc |ap| < (ar^ + P)/r^.
Si P > ç + 1 , on en déduit en faisant tendre r vers l’infini, que Op = 0 ,
et donc que f{z) = Oq + a i z + --- + ûqZ'^. La. fonction / est donc bien
un polynôme.
4) Considérons la fonction g \ z\-^ f{z) e~^. Puisque le produit de Cau­
chy de deux séries entières de rayon infini est une série entière de rayon
infini (théorème 2.3 du chapitre 5), la fonction g possède un développe­
ment en série entière de rayon infini. Par ailleurs, on a
MzeC,
\f{z)e-^\ <
= 1,
donc g est bornée. Il résulte de la question 2 ) que la fonction g est une
constante K. On a donc, pour tout z E C, f ( z) = K e^.
P ro b lèm e 7.19 On considère l ’équation différentielle
1
{l + x'^)y" + x y - j y = 0
(E)
1) À quelles relations doit satisfaire la suite (a„)„>o pour que la somme
de la série entière
vérifie l ’équation différentielle (E).
2) Montrer que toute solution de (E) est développable en série entière
sur l’intervalle ] —1 , 1 [.
3) Transformer l ’équation (E) par le changement de variable a; = shi.
4) Intégrer la nouvelle équation et en déduire les solutions de (E).
5) Déduire des questions précédentes les développements en série entière
des fonctions
-
X 1-^
^1 -t- V l + x'^y^“
^ et X i-> X ^1 -I- V l +
1/2
§ 3.
Problèmes sur les séries entières
397
Solution
1) Une fonction / développable en série entière est solution de l’équation
différentielle {E) si, et seulement si, son développement Y, o-n a;” est tel
que
Vn e N ,
a„ + (n + 2) (n + 1) a„+2 = 0.
On en déduit que
О'П+2 —
1 (2 n — 1 ) (2 n + 1 )
4 (n + 2) (n + 1)
Pour P ^ 0, on a alors
1 \ p+i
(l2p
(4p - 3) (4p - 5) (4p - 7) • • • 1
ao
(2p) (2p - 1) (2p - 2) X • • • X 2 X 1
et
Û2p+1
4)
ly
= (
(4p - 1) (4p - 3) (4p - 5) X • • • X 3 X 1
ai.
(2p + 1) (2p) (2p —1) X • • • X 3 X 2
2 ) Considérons les séries entières
lim
n—>+oo
et Z) a 2p+i
рП+2
^n+2 ^
an
=
On a
\x\
d’où l’on déduit que les deux séries ont un rayon de convergence égal à 1 .
La série entière
a donc un rayon de convergence égal à 1 (car elle
est somme des séries entières Z)a 2pX^^ et Z)a 2p+i
De plus, ao
et ai étant arbitraires, l’ensemble S des solutions de {E) développables
en série entière est un espace vectoriel de dimension 2. Or {E) est une
équation différentielle linéaire du second ordre, l’ensemble de ses solutions
sur ] —1 , 1 [ est donc un espace vectoriel de dimension 2 , il est donc égal
à 8 . On en conclut que toute solution de {E) est développable en série
entière sur ] —1 , 1 [.
3) Posons X = shi. On a /(x ) = /(s h i) = g{t), d’où
chi
et
^ 3 (+\ _
dt^
~ dx^
df
ch^^i + — (shi) • shi.
CLJu
Chapitre 7.
398
Problèmes de révision corrigés
On en déduit que
dx ^
^
d i t ' dt
puis
^
(i) _ —
-(i)j.
Il en résulte que / est une solution de l’équation {E) si, et seulement si,
g est solution de l’équation différentielle de la variable t :
v"
(E')
- jy = o.
4) L’équation caractéristique associée à {E') s’écrit
—| = 0 et admet
deux racines distinctes : ri = —1/2 et
= 1 / 2 . La solution générale
de {E') est donc une combinaison linéaire des solutions particulières :
gi{t) =
et
g^it) =
On en déduit que la solution générale de l’équation {E) est une combi­
naison linéaire des solutions particulières
f i { x ) = exp ^^argsha;^ = [x-]r^/x'^ + l)^^^
et
/ 2(0;) = exp ^ ~ ^ argsha;^ = ( - a; -I5) On a
/i( ^ ) + f 2 {x) — (z -b
- a; + Væ2"+T)
puis
2
{ f i ( x ) + / (a;))' =
2V x ^
-b 2,
d’où
fl{x) + f2{x) = V 2 (1 + Vx^ +
La fonction h : X
(1 + y/x^ -b 1 ) ^ est donc solution de {E) et, par
suite, elle est développable en série entière. Puisque oo = ù(0) = \/2 et
tti = h'{0) = 0 , il résulte que le développement en série entière de h est
ly
1 - 3 - 5 ••• ( 4 p - 3 )
x^^ avec
(2p)!
x g ] —1 , 1 [.
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
399
De manière analogue, on a
^2
{h{x) - M x ) )
2 a;2
= 2V^TÎ - 2 =
^
donc
fl{x) - f2(x) = x V 2 (Vx^ + 1 + l )
puis
^/2
-
~Y
1/2
^ ( v x ^ n + i)
La fonction k : X
x (^\/x^ + 1 + l ) ^ est donc solution de (E).
De k{0) = 0 et k'{0) = 1 /v ^, il résulte que le développement en série
entière de la fonction k est donné pour tout a; ] —1 , 1 [ par
V2
-/2 ^
2
2
^
/
1
ly
J
1.3 .5 -.( 4 p - l)
(2p + l ) !
4 Problèmes sur les séries de Fourier
P ro b lèm e 7.20 Soit / ; C \ {—3}
f{z) =
3z
3 Z
1) Développer f en série entière au voisinage de l’origine, et préciser le
rayon de convergence de la série entière ainsi obtenue.
2) Soit g la fonction impaire, 2-ïï-périodique, définie sur M par
yeeR ,
g{e) =
sin6
5 + 3 cos 9
a) Montrer que la série de Fourier de la fonction g converge normalement
sur R, et que sa somme est égale à g.
b) Montrer qu’il existe une constante réelle A, à déterminer, telle que
\ / 9 e R , g{9) = A Qm(f(e^^)),
où Qfm/(e*^) désigne la partie imaginaire de /(e*^).
c) À l’aide de la question 1), déterminer un développement de g sous la
forme de la somme d’une série trigonométrique : g{9) =
bk sinkO.
d) En déduire, pour tout n Ç. N*, la valeur de l ’intégrale In = ^ lo
Chapitre 7.
400
Problèmes de révision corrigés
puis la série de Fourier de g.
3) Calculer
g{6) d$. En déduire la valeur de la somme
+CX)
^ £
( - 1 )'= (6 A: + 5)
33^+2(3A: + l)(3A: + 2)‘
Solution
1) Le développement en série entière de z
(1 +
pour a = —1
(exemple 6.3 du chapitre 5) donne pour tout z G C vérifiant j^l < 3 :
__
= 1 +' - = 2 ^
^ 3
fc=0
m
_
+00
3^=
fe+l _ ^
^
fc=l
3fc-
La règle de D’Alembert permet de voir immédiatement que le rayon de
convergence de la série obtenue est égal à 3.
2) a) La fonction g est 27r-périodique et de classe
sur E. Le théorème
5.8 du chapitre 6 assure que la série de Fourier de g converge normalement
sur E, et que sa somme est égale à g. Comme, par ailleurs, g est impaire,
on a an{g) = 0 pour tout n G N.
b) On a
9 w ( / ( e “ ))
=
3e*^
i2i \ -^
3 -U
+ e*®
3 e-*®
3q _+t_ ^-ie
e
9 sin0
1 0 + 6 cos 0
9
1
9 (e*® - e-*®)
2i 10 + 3 (e*® + e-*®)
donc
V » € R , g(e) = - 9m (/(e**)).
c) En appliquant la question 1 ) avec 2: = e*®, on obtient
+00
/(^ " ) = E
fe=l
i \ / c —1
(
^
d) Soit n G N. La série
normalement sur
puisque
V0 G
9
+00
. donc g(e) = I E
fc=l
/
1
1
sin kO.
où uk{0) = -—^ — sinA:^ sinnO converge
|Ufe(0 )| <
1
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
401
et que la série géométrique de raison 1/3 est convergente. Le théorème
d’intégration terme à terme d’une série normalement convergente donne
alors
2
/>îT
2 i2? C—li^“ ^ 2 /■’T
= n i
=
3 S
3^
sin kû sin nû d6
“
l
2 ( - 1 )”-^
n
La série de Fourier de g est donc la série trigonométrique obtenue à la
question 2 ) c).
3) On a d’une part
^
' g{0)dB =
[ ln(5 + 3 cos^]^’'^^ = ^ I n y .
D’autre part, le théorème 5.1 du chapitre 4 permet d’écrire
\ n —1
+ 00
■/O
3
n3"
2 ^
( - 1 )"-!
127T/3
-lo
L
2nir\
Pour tout n e N* et tout k e N, posons alors
Oin. --
2n7T\
( - l ) ’^-i (
2n7T^
I l —cos —y 1 et Pk = CXzk + 0!3fc+l + Û3fc+2nS^
Un calcul élémentaire donne aussitôt
(_l)3fc+l
3k
( - 1)
Pk =
(3k + 1) 3^+1
+
(3k + 2) 3'=+2
d’où
Pk =
(-1)* (6 A: + 5)
33fc+2 (3 fc +
l ) (3fc +
2 ) ‘
En regroupant trois à trois les termes de la série ci-dessus, on obtient
Ç?
(-1)'= (6 A:-I-5)
^ 1 , 16
33^+2 (3k + l)(3k + 2) ~ 3
7■
Chapitre 7.
402
Problèmes de révision corrigés
P roblèm e 7 .2 1 (T héorèm e de B ernstein) Soit f une fonction de
classe C°° sur
à valeurs réelles, et telle que
Vn e N , Va: €] - 1,1[,
> 0.
On considère les fonctions
f( x) + f ( - x )
^
K x)-f{-x)
2
^ ^
2
1) Montrer que, pour tout n G N,
en va de même de la fonction
2) On fixe n G N.
a) Montrer que la fonction
> 0 sur [0,1]. En déduire qu’il
p(2fc)(0)
V>n ■ X
X,2k
9(x) -
X2n + l
est croissante et positive sur ]0 , 1 [.
Si X e [0,1[ et a e]x, 1[, en déduire la double inégalité
\ 2n+l
X
c) En déduire que sur ] —1 ,1[ la fonction g est somme de sa série de
Taylor en 0 :
V x s l - l , l | , g{x) = g
X
k\
k=0
s ) a) Si
\x\ < 1 et n e N, montrer que : |h(^”)(a;)| < g^'^’^^x).
b) En déduire que pour tout n G N ei tout a: g ] —1 ,1[ ;
^
■
s
( M
,
A
g^^’^Ko)
2k
"
c) Montrer alors le théorème de Bernstein : si f : ] - 1 , 1 [ ^ M est une
fonction de classe C°° telle que, pour tout (n,x) G Nx] - 1,1[, on ait
j ( 2n)(^) >
somme de sa série de Taylor en 0 sur ] —1 , 1 [.
4) Appliquer ce qui précède pour montrer que la fonction x
tan x est
§ 4.
403
Problèmes sur les séries de Fourier
développable en série entière sur ] —tt/ 2 , 7t/ 2 [.
Solution
Il est clair que g ei h sont respectivement paire et impaire. Donc, pour
tout n € N, les fonctions
et
sont de même parité que n. En
particulier, on a
= 0 et
= 0 , pour tout n > 0 .
1) Pour tout n € N et tout x G [0,1[, on a
2
Si n est impair, on a (5'^"^)' > 0 sur [0 , 1 [, donc la fonction
croissante. De plus ^^”^(0) = 0.
En résumé : Vn G N , Vx G [0,1 [ , g^‘^ \x ) > 0.
2) a) La formule de Taylor avec reste intégrale donne
<Pn(x) =
{1 -
est
g^^^+^\ux) du > 0 .
Pour tout U fixé dans [0,1[, la fonction x i-> g^^”'+^\ux) est croissante,
donc (fn aussi.
b) Le cas x = 0 est clair.
Si 0 < X < a < 1, on a (pn(x) < fn{o), d’où
271+1
+
" S W
d’où
“ .
2ti+1
“ -
^
“ S
(2 ^)!
x“ <
g(a) X I -
car les termes
sont positifs.
c) Soit X g ] —1 ,1[. On a ^(x) = 5 (|x|), et on va choisir a dans ][x|, 1[
de sorte que (x/a)^^'^^ tende vers 0 lorsque n tend vers + 00 . On a alors
= g
g
)
Chapitre 7.
404
Problèmes de révision corrigés
et par parité de p, il vient
+00
Vx e ] - i , i [ ,
g{x)
-
S
3 ) a) Si (n,x) € Nx] - 1 , 1 [, comme
- / ( 2")(_x)
k!
k=Q
X
est à valeurs positives, on a
<
/ ( 2n)(^) + / ( 2n)(_ 3.)
donc
< g^^'^\x) pour tout x ê ] —1 , 1 [.
b) Pour (n,x) G Nx] - 1 ,1[, la formule de Taylor avec reste intégrale
donne
h(2«+l)(0)
7(x) =
'
U|2n+2
(2 n + l ) !
I2ti-|“2
<
\X \
2fc+l
S
^
h(2-+ 2)(î,a;) du
»/0 ^
/ ’' ( l _ „ 2)2n+l |/i(2n+2)(^^)|
(2 n + l ) ! Jo
Or, cette même formule de Taylor donne aussi
^
p(2A=)(0 )
D’où l’inégalité désirée.
+00 n(fc)(0)
c) On a montré que pour tout x G ] — 1, l[i5 '(3 :) = ^ — 7^ x*. D’après
ik=0
l’encadrement de b), on a aussi h{x) = ^ —Tj—^ a:*’. Comme f = g+h
k=o^
sur ] —1 , 1 [, / est elle aussi somme de sa série de Taylor en 0 sur ] —1 , 1 [.
4) Considérons <p :] —1 , 1 [—^ E , x ^ tan(Trx/2 ). Cette fonction est
de classe C°° sur ] —1 , 1 [ et impaire. Posons / = (p'. Pour montrer que
y(2n) > Q g^jj. ] — i[ pour tout n G N, il suffit de montrer que
> 0
sur [0,1[. Procédons par récurrence sur n.
On a
• (/? > 0 sur [0 , 1 [.
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
405
Si ( y k G [0,n], /W > 0 sur [0 ,i[^ , alors,
et la formule de Leibniz donne
^(n+l) ^ I A(n) ^ ^
fe=0 V^/
^
D’où
> 0 sur [0,1 [, et la fin de la récurrence.
Par suite, / et donc (p sont développables en série entière sur ] —1 , 1 [.
Finalement, la fonction x
tan x est développable en série entière sur
l’intervalle ] —7r / 2 , 7r/ 2 [.
P roblèm e 7.22 On considère la suite de fonctions (Qk) donnée par
Qk{x) — Ck
1 + cosxN*
où Ck est une constante choisie de sorte que
1
1 r
^ j _^Qk{x)dx = 1 .
1) Montrer que Qk est un polynôme trigonométrique vérifiant :
a) Q k > 0 sur R,
b) {Qk)k converge uniformément vers 0 sur [—tt, —5] U [ù,7r], pour tout
réel S > 0 fixé.
2) À chaque f G C27r(l^)lR) on associe les fonctions Pk définies par
1 r
Pk{x) = 7T i
¿ 'K J —'ïï
Qk{s) ds.
Montrer que les Pk sont des polynômes trigonométriques.
S) Montrer que : lim 11/ —Ffc||oo = 0/c—>+oo
Chapitre 7.
406
Problèmes de révision corrigés
Solution
1 ) Le point a) est évident, montrons le b).
La fonction Qk étant paire, on a
Ck
r
= 7 /„
J
f l + C O S X Y
J
2
+ cosxŸ .
,
2 Cfe
sm X dx =
2
J
7r{k + 1) ’
^ Ck
Cfe Yr
f l + c o s x \
^ 7TT/ Jo
o
\
et comme Qk est décroissante sur [0 , tt], il en résulte que
Qk{x) < Qk{S) <
7t ( / î: + 1)
/1 + cos(5^
(pour 0 < (5 < |a;| < tt)
ce qui entraîne b) puisque 1 + cos 5 < 2 vu que 0 < 5 < tt.
2 ) Compte tenu de la périodicité de / et de Qk, on a, aussi
Pk(x) = ^ J^^f{s)Qk{x - s)ds.
(*)
Comme Qk est un polynôme trigonométrique, on a
(**)
Qk{x) =
Nk
X! ^n,k e*'"
n = -N k
et en remplaçant x par x — s dans (**) puis en substituant le résultat
dans (*), on voit aussitôt que tout Pk est un polynôme trigonométrique.
3) Donnons-nous un e > 0 . Comme / est uniformément continue sur
[0, 27t], il existe un 5 > 0 tel que \f{x) — /(s )| < e dès que |s —a;| < ô.
Or, d ’après le point b), on a
P k ( x ) - f ( x ) = ^ J ^ ^ ( ^ f { x - s ) - f{xŸ)Qk{s)ds
et le point a) entraîne, pour tout A: G N* :
\Pk{x) - f{x)\
^
1
^
Y
l/(^ - «) - fi^)\ Qk{s) ds
+ ^
Z7T JS<\x\<'rr
\f{^ - s ) - f{x)\ Qk{s) ds.
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
407
Comme dans la première intégrale on a |(x - s) - x| = |s| < ^ on en
déduit que
~ ’
Posons maintenant
nk{5) =
sup Qk{x).
Puisque sur [-5,5], on a Qk{s) < r/fc(5 ), alors compte tenu du point b),
^
~
^ 11^"“ ’'‘W s ^
pour k suffisamment grand.
Ces inégalités étant indépendantes de x, on a donc prouvé que
P ro b lèm e 7.23 Soient a, b g ]0 , 7t[ tels que a < b et a + b < t:. Soit
/ : R —>R, 21:-périodique, continue, paire et telle que
fu \ _ i ^
i G [0,6 —a]
<
\ 0 si i 6 [a + 6, 7t]
/ est affine sur [6 —a, a + b].
1) Vérifier que f appartient à î>27r(R,R) et calculer ses coefficients de
Fourier trigonométriques.
2) Etudier la convergence de la série de Fourier de f .
3) En déduire les sommes des séries
^ sin(an) sin(6n)
n^= l
^
^
sin^(an) sin^(6n)
t
'
n=l
^t4
Chapitre 7.
408
Problèmes de révision corrigés
Solution
1) La fonction / est 27r-périodique et continue, donc / G D 2w(K,lR).
Comme / est paire, on a &«(/) = 0 pour tout n > 1. Par ailleurs, pour
n > 1 , on a
cinif) = - f fit) cosntdt
7T JQ
=
2 (
— /
,
/’*’+“ b + a - 1
cos nt dt
cosntdt + /
2a
7T \ J o
J b-a
ib+A
il
fb+a gin nt , '
2 / I sin nt
b + a —t sin nt
+ /
-------dt
+
J b—Ci
Th
j
n Jo
2a
n
b—a
b-{-cb
—cos nt
'Kan
n
b—a
cos n{b — a) — cos n{b + a)
nan^
2 sin(na) sin(n 6)
'ïïan^
Et,
2 /
rb-a
~~[
Tr\Jo
6+0 5 + n _ ^ \
26
—----- dt\ = —.
J b-a
2a
¡ T C
fb+i
dt +
2 ) On a
Vner,
M /)| <
Ka
et 1/n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente. Donc
la série de Fourier de / converge normalement, donc uniformément et
simplement, sur R.
Comme / appartient à D 2,r(1^ 5l^), le théorème de Dirichlet permet de
conclure que la série de Fourier de / converge simplement sur R (ce
qu’on sait déjà) et a pour somme / . On a donc
(*)
Vi G R , f{t) = - + X! ------^
TT n = l
Kan^
3) En appliquant (+) avec i = 0, on obtient
J _ 6 ^
7T
2
^
7ra
n=l
sin(na) sin(n 6)
^ cosnt.
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
409
d ’où l’on déduit aussitôt
^
sin(na) sin(n 6) _ a (tt —6)
77^2
n=l
O
^
Par ailleurs, comme / 6 !D2,r(lR)R)) la formule de Parseval donne
6^
1 / 2
7t2
2 W a/
1
^
1
sin^(an) sin^(6n)
n^
/•TT
1
/
27T Jo
/>6—a
= ;; ^ {/(())* = ^ ( I
r'Â
/■
2T’rT
i im ? d t
/'6+0
1
N
dt + l _ ^ - , { b + a - t r d t ^
On en conclut que
^
sin^(an) sin^(6n) _ a^ (Sôtt — air — 36^)
n=l
P roblèm e 7.24 (T héorèm e de Fejér) Soit / : M ^ C une applica­
tion 2ir-périodique et continue. On note
ek : tt-^
pour /c € Z , 5„ = J]) Cfc(/) Cfc
k = —n
Cn =
—
’^ + 1
Un =
fc=0
ek ,
è
Un ^
fc=-n
^ + 1
i j Établir les formules suivantes :
a) Pour tout n € N, co{Un) = 16; Vn G N, Vi e R \ 27tZ, Un(i) =
sin ( i/ 2 )
cj Vn G N, Vi G M \ 27tZ :
C7 (i) = _ L _ ( ' S Î Ü V
^
t l + 1 l^sin(i/ 2 )^ ■
¿“aii a g ]0, 7t[, et notons Da = [—tt, —a] U [o, tt].
^
«fc-
Chapitre 7.
410
Problèmes de révision corrigés
Montrer que la suite {Un)n>o converge uniformément vers 0 sur DaII) 1) Établir les formules suivantes :
oj Vn G N, Vi G R : Sn(t) = t t i
^n(^)
ZTT J — TT
6; Vn G N, Vi G R : Cn{t) = ^
r
ZTT J —TT
c; Vn G N, Vi G R
f(i -
: |C n (i) - f{t)\ < ^
Un(v)dv.
T \f(t - v ) - f(t)\ Un(v) dv.
2) Montrer que f est uniformément continue sur R.
3) Démontrer le théorème de Fejér : la suite des fonctions Cn converge
uniformément vers f sur R.
Solution
I) 1 ) a) Pour tout n G N, on a
Par ailleurs, pour tout A; G N,
1
r
= £ (è/'K dt
è ;
1
^
27T
PTT
.V- tt
Or,
TT
= 0 si j ^ 0
'^3 -I-TT
27T
si j - 0 .
D’où : VA: G N, c o K ) = 1 , et donc : Vn G N, Co{Un) = 1.
b) Pour tout n G N et tout i ç \ 27tZ, on a
/
é ^U t = I
ik t
^n(i) =
o^int
k = —n
Akt _
O
k=0
:
= e"*"*
2n
gi(2n+l)i _ I
““ O
—
1
t
2i sin (n +
sin ( i/ 2 )
_ sin (n + |) t
sin (i/ 2 )
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
411
d ’où la formule désirée.
c) Pour tout n € N et tout t G R \ 27tZ, on a
(n + 1 ) Un{t) =
___\___Qfml
e**’M
sin (i/ 2 ) ''" “y '
—1
1
sin (i/ 2 )
/ /,
V
e»‘/ 2 sin (i/ 2 )
;
_ i _ 3„i'e<¥« fKîÊÎÎ) = /fÜLÇîH V.
sin (i/ 2 )
y
sin (i/ 2 ) )
\ sin (i/ 2 ) J
On a donc bien la formule recherchée.
2) Soient n G N et i G D a - On a
1
fsin(^^t)Ÿ
1
0 < Un{t) = ------- I ■
1 <
n + 1 \ sin (i/ 2 ) J
n + 1 sin^(û!/2 ) ’
d’où, pour tout n G N,
et donc
sup |C/„(i)|
te D a
n-^+OO
0,
ce qui montre que la suite des fonctions Un converge uniformément vers
zéro sur l’ensemble Da-
412
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
II) 1 ) a) Pour tout n e N et tout i e M, on a
=
¿ / " / ''K
^ J
¿ -n
J -K
. ? / “ “’ " ) ' ' “
v = t-s
f
27T J t + w
f { t - v ) Un { v ) dv
où la dernière égalité découle du fait que l’application v i—> f { t —v) Un(v)
est 27T-périodique.
b) On a, pour tout n € N et tout t g R :
“
n + T^ k=0
n + 1 "è
^27T y-7T
/ f(t-v)uk{v)dv
c) On a, pour tout n e N et tout t g R :
\Cn{t) — f{t)\
— |C'„(i) —CQ{Un) f{t)\
^
I^
~ éir I-n
dv
puisque les fonctions Un sont à valeurs dans M+.
2 ) Soit e > 0. Puisque / est continue sur le segment [—tt, tt + 1], le
théorème de Heine assure l’existence d’un 77 > 0 tel que
W , x " G [ - 7r , 7T+ 1], (\x' - x"\ < T ) ^
\f{x') - f{x")\ < e).
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
413
Notons T)' = min (rj, 1 ) > 0.
Soit
6
tel que |i' — t"\ < rj'.
Puisque \t' —1"\ < 1, il existe x ',x ” G [—tt, tt + 1] et A: G Z tels que
x' = t' — 2k'K et x" = t" — 2kTT.
On a alors \x' — x"\ =
< 77, donc, par 27r-périodicité de / ,
\ m - m \
= \f{x')-f{x")\<e.
Ainsi,
Ve > 0 , 3 „ ' > 0, V(t',i") e 1R^ I«' - ("I < ! ,'= > \ m
- f(t")\ < e,
et / est donc uniformément continue sur R.
3) Soit e > 0 fixé. Notons 17 > 0 associé à e dans la continuité uniforme
de / sur R.
Soit a G ]0, 7t[ à choisir ultérieurement.
D’après I) 2), il existe iV G N tel que
Vn > iV, Vi G R , \Un{t)\ < s.
Soit n G N tel que n > N , et soit i G R. D’après II) 1) c) :
1
\C n {t ) -
f{t)\
^
r
^
l/(^ -
-
/W l U n{v) dv.
D ’une part.
f{t)\Un{v)dv
<
<
{ \ f { t - v ) \ + \f(t)\) Un{v)dv
( tt -
a ) 2 ll /l lo o e
<
et de m êm e pour l’intégrale sur [—tt, — a].
D ’autre part, en choisissant a tel que a < 77/ 2 , on a
[- û ;,a ]2 ,
< 2 a < 77,
donc
[ - a ,a f , \ m -f { t " )\ <s,
27 t ll /l lo o
Chapitre 7.
414
Problèmes de révision corrigés
d’où
^ l / ( i -« )-/(* )!£ '» * <
dv
= e co{Un) = £■
On obtient ainsi
sup \Cn{t) - f{t)\ < (1 + 2 ll/lloo) et€R
On en déduit que
sup \Cn{t) - f{t)\
ieR
n -+ o o
0,
ce qui montre que ((7„)n>o converge uniformément sur R vers / .
On a donc démontré le théorème suivant dû à Fejér ; Pour toute applica­
tion / : R ^ C continue et 21^-périodique, la suite {Cn)n><o (dite suite
des sommes de Fejér de f ) converge uniformément sur R vers f .
P roblèm e 7.25 (P hénom ène de G ibbs) Soit g une fonction impaire,
2tt-périodique, telle que
9{t) = ^
si i e ] 0 , 7r[, g(0) = g(Tx) = 0.
1) a) Déterminer les coefficients de Fourier trigonométriques de g.
b) Montrer que g coïncide avec la somme de sa série de Fourier en tout
point de R.
c) Montrer que la série de Fourier de g ne converge pas uniformément
sur [0 , 7t].
2) Pour n G N* ei i G R, soit Bn(t) = T
fc=i
a) Montrer que
B ,(t) = i
2 Jo
- 1
sm 6
b) Montrer que la fonction 1 1—> 5„(i) admet un maximum local stricte­
ment positif en t = - ^ .
§ 4.
415
Problèmes sur les séries de Fourier
3) On pose Mn =
En écrivant
1
- sin 2nB dO,
6
sin 2 n 0
1 /■^ / 1
sin 0
‘» + 2 / .
e
1
montrer que
lim Mn'■„ = - /
2 JO
d6
6
n —>+00
(phénomène de Gibbs).
4) Si M désigne la limite de Mn lorsque n
n ^
2
k
+ 00 , montrer que
(-l)P TT^P
i
{2p)!(2p + i p -
TT 1
5) En déduire que ; M > — + — .
4
10
Solution
1) a) Puisque g est impaire, on a an{g) = 0 pour tout n > 0. Pour
n > 1 , on a
2
bnig) = - /
TT JO
7T
1
4
Z
T sin n td t = -
b) La fonction g est de classe
condition de Dirichlet, donc
cos nt
n Jo
l-(-l)”
2n
par morceaux sur [0, 27t] et vérifie la
,,
s in ( 2 A :- l) i
Vt 6 K , g{t) = E
k=l
2k-l
■
c) La convergence de la série de Fourier de g n’est pas uniforme sur [0, tt]
car la somme g n’est pas continue sur ce segment alors que chaque terme
de la série l’est.
2 ) a) La fonction
est dérivable sur E comme somme finie de fonctions
dérivables sur E, et on a
Bn(t) = ¿ c o s ( 2 / ^ - l ) i .
fc=i
416
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
Pour tout P G Z, on B'^
= n et B'^ ((2p —1 ) tt) = —n.
Si i G R \ 7tZ, on peut par exemple écrire
n
2 B'^{t) sini = ^
i s i n {2kt) —sin {2k — 2)t\,
k=l ^
d ’où : 2B'^(t) sint = sin ni. Comme 5„(0) = 0 , on a donc bien
^ /X
11 r/•* sin 2n6
æ.
Bn{t) ~ n
0
^ «/0
Ssin
I
c) Sur ]0 , 7t[, B{^{t) s’annule et change de signe en i = 7r/( 2 n). Comme
Bn{t) 0 pour tout i de
tt^ ^2 n.^j j il s agit d un maximum pour
De plus, si Mn désigne ce maximum, on a Mn > Bn{0) = 0.
3) Soit V? la fonction définie sur [0 , 7t/ 2] par
1
(p{e) ^ < sin 0
0
- i si O < 0 < 1
2
6
si i = 0 .
-
Elle est continue (et même de classe C°°) sur ce segment, elle y est donc
bornée et
7T
(*)
i ” (p{9) sin2n6 d9 < ll^lloo ^ = O{1) lorsque n
JJo0 ' ' '
iTh
..... . Z
2n
D’autre part, en posant u = 2n6, on a
(**)
iJo
:
sin2n9
_ 1“^ sin U
d9
du.
9
Jo U
Grâce à (*) et (x”):) on conclut que
1 f/•’fsin^
lim Mn = - /
d9.
n ->+oo
2 Jo
T~
4) La fonction / donnée par
i sin a:
f{x) = ^
X
si a; ^ 0
si a: = 0
+ 00 .
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
417
est développable en série entière sur R, et on a
+00
V ..« ,
/( .) = g
2p
( - 1 ,.
Comme cette série entière est de rayon de convergence infini (règle de
D’Alembert), elle converge uniformément sur tout compact de R d’après
le théorème 3.1 du chapitre 5. Donc, pour tout i G R fixé, le théorème
5.1 du chapitre 4 donne
( _ 1 ) P ¿2p+l
^
§
+00
(2p + l ) ! ( 2p + l ) ~ 2
(—1 )P
(2p)!( 2p + l ) 2 '
En prenant i = tt, on obtient le résultat désiré.
5) Le nombre M étant la somme d’une série alternée, on sait que
( _ 1 ) P 7t2p
2 ^ 0 (2p)!( 2p + l ) 2 ’
soit M > 0,92. Comme | < 0 , 8 , on a l’inégalité désirée.
P roblèm e 7.26 Soit f la fonction 2tt-périodique définie sur [0 , 27t[ par
f{x) = ch (tt —a:).
1) a) Calculer les coefficients de Fourier exponentiels Cn{f) de f .
b) Montrer que la série de Fourier de f converge uniformément vers f
sur R.
I
(—1 )”
c) Calculer la somme des séries
^ et
------ r..
^
^ l + n2
^ l + n2
.
, ,
.
, , , .
sinnx
d) Determiner la fonction somme de la serie
^^
.
Sj À l ’aide de la formule de Parseval, calculer la somme
-foo
E
n=0
1
n'* + 2 n 2 + 1
Chapitre 7.
418
Problèmes de révision corrigés
Solution
1) a) Pour tout n G Z, on a
1
/‘27T
=si
3—
TT /»2TT
r e - ‘'+ ‘">*dx + ^
r e < " - “ )'<fa
47T yo
4TT yo
g - 7T r g ( l -—
min'\a:
)a : 1
g -( l+ in )a :
+
47T - ( I H - w ) J q ' 4TT
O—T
T ^27T
1 —e—2TT
+
Air l + in
' 4TT 1 - zn
((®' - «■') (1 - ™) + («' - « "') (1 + “ ) ) ’
shTT
d 'o ù .c „ (/)=
b) Le calcul ci-dessus montre que la série de Fourier de / s’écrit
4-00
E
=
n = -o o
shTT
—
^
e*”®
E r+ „ r
n = -o o J-
^
Cette série converge uniformément vers / sur tout segment sur lequel /
est continue. Comme /(0) = /(S tt), / est continue sur R.
Donc la série de Fourier de / converge uniformément sur R vers / .
c) D’après ce qui précède, on a
c\l TT
v^ g r ,
m
=
^
pinx
E T
n=-oo 1 + n 2
- Pour X = 0, on obtient
/(0)
U
shTT
2 sh 7T ^
1
= ch TT = — -I- —— ^ TT
^ ^ 1 1 -l-n^
shTT
TT
2sh7T
1
TT ¿ ^ o l- ^ n 2 ’
d’où
+ 00
-1
_ M 1
E —
1
-L
«2
::i, 1 -Fn^ “ 2
n=0
^ '
thTT
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
419
Pour a: = 7T, on a
_ ^
“
7T
2 s h 7T ^
(-1 )"
l+ n 2’
7T
d’où
g
H T
= 1 ("i +
¿ l+ n 2
j l \
l , ^ s h 7r;
2
d) Les coefficients de Fourier trigonométriques de / sont donnés par
ûn(/) = Cn{f)+ c-n(/) et 6n(/) = ¿(c„(/) - c_n(/)). D’où
On en déduit que
^
sliTT
2sh7T ^
Vi G M , ch TT- i = ----- + ------7T
TT ^
OÙ
cosn i
1 +
la série du second membre est normalement convergente sur R car
Vi G M ,
cos ni
1 + n2
n2’
et que 1/n^ est le terme général d’une série de Riemann convergente.
On peut donc intégrer terme à terme sur le compact [0, x] :
rc h (^ -f)* =
Jo
^
’
T æ +
TT Jo
g
TT
^
rc œ n td t
1 + n 2 70
d’où
,
, ,
.
sh 7T
2 sh 7T
shTT - sh (tt - a;) = x -------- 1---------- > ^
n
n
sin nx
^
“ i n ( l + n 2)
ou encore
^
sin nx
7T
n + n^ ~ 2
TTsh (tt —a;)
2 sh 7T
x
2
2 ) Sachant que 6„ (/) = 0 pour tout n > 1 , l’égalité de Parseval s’écrit
Oo(/)
+ E
n=l
11
^nif) = -
^
/-r^T
2»T
L
ch^ (tt - a;) dx
420
Chapitre 7.
ou
Problèmes de révision corrigés
, ,
2 sh 7T
2 sh 7T
ooif) = — z ~ > an(/) =
TT
1
1 +
+ E ‘¿(Z ) = ^ 7T^
n=l
^ 7t2
E
7T
'
On a donc
( l + ‘n 2)2 -
D’autre part,
i r c h n .- x ) d x = i f l±£M 2^rM dx
TT Jo
TT Jo
=
2
.
2 sh 27t
sh TTch TT
1 + — ---- = 1 +
4TT
7T
Il en résulte que
1 H
shTTchTT
2sh^7T
-
7T
4sh^Tr ^
2^
---- ------ 1-------^
7T^
2sh^7T
7T^
1
(1 +
4sh^7T ^
7t2
1
t o i ^ + n-^r
d’où
+00
+00
2 (1 +
1/
7T^
7T
2+
+
^^ + 2^^ + ï ~ 4
^ sh^^ ^ t h n ) '
=
2
T
P ro b lèm e 7.27 (Form ule som m atoîre de Poisson) Soit S Vensemble des fonctions f de classe C°° sur R telles que, pour tout (m, n)
de
l’application x\-^
soit bornée sur R ('on dit qu’il s ’agit
de fonctions à décroissance rapide ainsi que leurs dérivées).
1) Montrer que S n’est pas réduit à {0}.
2) Pour f E S, étudier la convergence des séries de fonctions définies
+00
sur R par : F{x) — ^
+00
f { x + n) et G{x) =
n = —OO
^
f ( x + n).
n= —00
3) Montrer que F est de classe
sur R et 1-périodique.
4) Montrer que F est développable en série de Fourier, et exprimer ses
^
/*+oo
.
coefficients à l ’aide de la fonction f '• y f ( t )
dt.
J —oo
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
421
5) En déduire la formule sommatoire :
+00
+00
E
/(^ ) =
E
E
p = —oo
f(p)
Solution
est manifestement de classe (7°° sur
et sa A:-ième dérivée est de la forme Hk{x)
où Hk est une fonction
polynôme. Donc, pour tout (m ,n) € №,
tend vers 0 lorsque
X tend vers ±oo. Autrement dit, ( f appartient à S.
2) Pour a; G [-N, N], (AT g N* fixé) et |n| > AT + 1 , on a |a; + n| > 1.
Soit B réel tel que, pour tout i G M, on ait \t^f{t)\ < B. Alors,
1 ) La fonction <p
X
Vx G [ - N , N ] ,
|( x + n ) ^ / ( a ; + n )| <
B
et
\f{x + n)\ <
B
B
<
{x + n )2
(n —N y ’
ce qui prouve la convergence normale de
f ( x + n) sur [—N, AT].
Il en est de même avec G puisque f aussi est à décroissance rapide.
3) Compte tenu de ce qui précède, le théorème 4.2 du chapitre 4 permet
d’affirmer que F est dérivable sur E, et que F' — G. Or, G étant continue
sur R comme somme d’une série normalement convergente de fonctions
sur E.
continues, on conclut que la fonction F est de classe
La 1-périodicité de F est évidente.
4) La série de fonctions
f ( t + n)
converge normalement sur le
compact [0 , 1 ], et on peut donc écrire
<h>(F)
=
1 ' ( E
+
+00
=
E
f { t + n ) e - ^ ’^ dt
Chapitre 7.
422
Problèmes de révision corrigés
En posant u = t + n dans l’intégrale, on obtient
+°° ( /-n+l
E ( /
=
\
da\
=
= /(p).
J —oo
D’après la question précédente et le théorème 5.8 du chapitre 6 , la série
de Fourier de F converge normalement sur R et sa somme est F.
5) Puisque la fonction F est somme de sa série de Fourier, on a en par­
ticulier
+00
^ ( 0) =
+00
E /W
n = —oo
=
E
p = —oo
+00
^ (/)
= E /(p)>
p = —oo
ce qui donne bien la formule de sommation de Poisson.
P roblèm e 7.28 Soit f : R —^ R une fonction continue, de période 27t,
+ 00
et notons Uo -I- E
sin nx) sa série de Fourier.
n=l
px
On pose F{x) = —OqX -I- / f{t)dt.
1) a) Montrer que la fonction x i—^ F{x) est dérivable sur [0, 27t].
b) Montrer que F est périodique de période 2tt.
c) Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques de F.
2) Utiliser ce qui précède pour étudier la convergence sur E de la série
+00
^
— {ün sinnx — bn cosnx).
«EÎ n
n=l
Quelle est la somme de cette série ?
I
+00
3) Montrer que : E
~
n
ç2-K
—— /
2TT Jo
{x — tt) f{x) dx.
4) Pour quelles valeurs de x, la série ^
n=2
converge-t-elle ?
^^
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
423
+00
sin nx
5) Montrer que la série trigonométrique ^
ne peut être la série
de Fourier d ’une fonction continue sur M.
Solution
1) a) La fonction / étant continue sur E, la primitive x i-> Jq f(t) dt est
dérivable, donc F aussi. De plus, F'{x) = —oq + f{x).
b) On a
rx+Z
TT
2T
+ 27t) =
—ag (x + 27t) + /
f{ï)dt
J0
nx-\-2'K
/’27T
=
-oo X - 2 n a o + /
f{t) d t +
J2'K
f{t) dt.
Comme / est de période 27t, on a
px+Zn
nx+2Tv
px
/
f{t) d t =
f{u) du
J2'K
JO
(u = t - 2n).
De plus.
1
Donc F (x + 2tt) = F(x) pour tout x réel.
+ 00
c) Notons i4o + ^ {An cos nx +
n=l
Pour n G N*, on a
An =
—J
= ^ 1 ^ ''
sin nx) la série de Fourier de F.
^ — OqX + J
f { t ) d ^ cosnx dx
£ f i t ) dt^ cos nx dx.
Intégrons par parties en posant
px
u{x) = / f {t )dt et v'(x) = cos nx.
JO
On a alors
u \x ) = f{x)
et v{x) —
sin nx
n ’
Chapitre 7.
424
Problèmes de révision corrigés
et on obtient ainsi
sinna;
1
dx,
A„= —
f(x)
n
7TJo
c’est-à-dire An = —bnin pour tout n > 1 .
D’une manière analogue, on trouve Bn — —a „ /n pour tout n > 1.
+00 /„
U
smnx — — cosnx ^ est, à une constante addi2) D’après 1) c), ^
n
tive près, la série de Fourier de F. Or F est dérivable sur M, donc d’après
le théorème de Dirichlet, elle coïncide avec sa série de Fourier. D’où
( — sinnx — — cosna;') = F{x) — A q,
Vn
n
J
pour tout X dans IR.
3) En faisant x = 0 dans l’égalité précédente, et sachant que F(0) = 0,
on obtient
S
^ = A. - i'(O) = ^0,
n=l
et comme F{ 27t) = F{0) = 0, il vient
1 r2ir
Aq =
/ ^ f{x) dx -b TTUo.
27T Jo
D’où
Ao =
,
X f{x)dx +
2 I
27T J{D
1
f{x) dx
On en conclut que
+00
E
n=l
1
^0
n
p2tt
27T l
- x) f{x) dx.
4) Utilisons le critère d’Abel pour les séries de fonctions. On a
sinkx
k=l
La suite
+00
<
1
sin(a;/ 2 )|
pour
X ^ 27tZ.
positive, décroissante et tend vers 0. Donc la série
sinnx
converge uniformément sur tout segment qui ne rencontre pas
Inn
n=2
E
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
425
R \ 27tZ. Comme chaque fonction x
sin nx est continue sur M (donc
sur E \ 27tZ), le théorème 3.1 du chapitre 4 permet de conclure que la
fonction somme de la série est continue sur E \ 27tZ.
+00 sm Thx
5) Supposons que ^
-j----- soit la série de Fourier d’une fonction /
Inn
continue sur R. On a alors
+00 U
L
+00
1
1 *27T
+00
(*)
n=2
n=l ^
+00
Or, ^
n=2 ^ 1^ ^
27T J o
J
—j— est une série de Bertrand divergente, ce qui est en contra-
n=2
diction avec l’égalité (*) où l’intégrale jQ^{Tr—x ) f { x ) d x est bien définie
(comme intégrale d’une fonction continue sur un intervalle compact).
+°° sin no;
Par conséquent, la série trigonométrique
----- ne peut être la série
\Tl
n=2
de Fourier d’une fonction continue sur
P ro b lèm e 7.29 (N om bres de B ernoulli) On se propose d ’établir une
formule permettant de calculer la valeur des C(2 A:) où C désigne la fonc­
tion zêta de Riemann et k est un entier naturel non nul. Pour cela, on
introduit les polynômes et les nombres de Bernoulli.
On dit qu’une suite (Bn) de E[X] est une suite de polynômes de Ber­
noulli si elle vérifie les propriétés suivantes :
B q = 1, Vn G N* :
= n B n -i et
[ Bn{t)dt = 0.
Jo
On admet qu’il existe une et une seule suite de polynômes de Bernoulli
que l ’on notera désormais (5„). On l’appelle la suite des polynômes de
Bernoulli.
On pose bn — Bn(0) et on l’appelle le n-ième nombre de Bernoulli.
1) Calculer B\ et B 2 . En déduire bi et 62.
2) Pour n > 2 , calculer B„(l) —jBn(O).
3) Montrer que, pour tout n G N, on a Bn{X) = ( - l ) " Bn{l - X ).
4) Soit G N, et considérons la fonction Qk définie sur E par
gk{x) =
pour x e [0,27t[,
Chapitre 7.
426
Problèmes de révision corrigés
et Qk périodique de période 27t.
Montrer que Çk est développable en série de Fourier, et que tout x € Œ
an{k) cos(nx).
9k{x) =
^
n=l
5) a) Soient n > 1 et k > 1. Montrer que l’on a
~
(n7r)2 (■^2fe-l(l) - ■B2fe-l(0))
^2n7r)2
*^n-l{k ~ 1).
b) En déduire la valeur de a„(l) pour n > 1.
c) Conclure que pour k > 1 et n > 2 : an{k) =
( - 1 ) ^ -1 {2k)\
22A
:-1 (7^7r)2fc
6) Déterminer pour k > l une relation entre C(2^) et b2k7) a) En utilisant la formule de Taylor, montrer que pour tout n G N,
on a
B n (x ) =
y:
fc=0
br,-k X “.
b) En déduire une relation de récurrence permettant de calculer les nombres
de Bernoulli sans avoir à déterminer les polynômes de Bernoulli asso­
ciés.
Solution
1 ) On a, B[ = B q = 1, donc Bi{x) = x + o; pour tout x dans R. Or
/ q Bi(x)dx = 0, donc a = —1/2. On en déduit Bi{X) = X — En
procédant de la même manière, on obtient B 2 {X) =
—X + |. D’où
bo = 1, bi = —1/2 et b2 = 1 / 6 .
2) Pour tout n > 2, on a
B n { l ) - B n { 0 ) = f^B'^{t)dt = n f^ B n -i{ t)d t = 0 .
JO
Jo
3) Soit Qn{X) = (—1)’^ Bn{l —X). On a Qo = 1, et pour n > 1 :
Qi(AT) = (-1 )"+ ' ( n B „ _ i ( I - X ) ) = n Q „ . t ( l - X ) .
Enfin,
Vn € r
,
t/0
Qn(t) dt = ( - 1 )”
«/0
Bn{l - 1) dt.
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
427
Le changement de variable u = l — t donne
f ' Q n { t ) d t
V0
= (-1 )” f ^ B n { u ) d u
Jo
=
0.
De l’unicité (admise) de la suite des polynômes de Bernoulli, on déduit
que Qn = Bn pour tout entier n.
On conclut que 5„(X ) = (-1 )” B „(l - X ) pour tout n G N.
4) La fonction gu est continue sur R \ 27tZ et elle est périodique de
période 27t. Pour prouver sa continuité sur E, il suffit donc de prouver
sa continuité en 0 .
D’une part, on a lim Qk{x) = ^fc(O) = B^kW) = 62fc- D’autre part,
x-^0+
&2fe si fc > 1
lim Qkix) = B 2k{\) = ( 1 '
si k = 0.
æ—>27r~
I i
Comme 6o =
on a
VA: G N , lim gk{x) - lim gk{x)
x-^0+
æ—
>0~
- &2fc = gk{0).
Donc gk G C2,r(K,E). Comme de plus gk est de classe
par morceaux
sur E, on déduit du théorème 5.8 du chapitre 6 que gk est somme de sa
série de Fourier qui converge normalement sur E.
Pour montrer que la série de Fourier de gk est de la forme indiquée, il
suffit d’établir que gk est paire.
Par définition de
on a
Vrt€ [-2Tr,0[.
De plus, compte tenu de la question 3), on a
a: G [-27t,0[ ^
- x e
[0,27t[
g k (-x ) =
gk{-x) = B2k
Donc, si a; G [—27t, 0[, alors gk{—x) = gk{x).
De même, si a; G [0, 27t[, alors —x G ] —27t, 0]. Donc
= B ..
= B ^ (^ ).
428
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
On conclut que Çk est paire, donc ses coefficients de Fourier bn{gk) sont
nuis pour tout n > 1 .
En notant an{gk) = an{k), on a bien obtenu
Va; G R , gk(x) =
^
^
an{k) cos (na;).
n=l
1 /*27r
5) a) Par définition, on a an(k) = —
gk{t) cos (nt) dt, et en posant
TT Jo
t = 2 Trx, on trouve
/•2TT
d'n{k) = 2 / B 2k{t) cos{2'Knx)dx,
JO
Comme
= 2kB2k-i, une intégration par parties donne
Un(^) —
B2k(x)
Donc
sin(27mx)]^
2k
^
+'
2im J0
n7T
B 2k-l{x) sin{27rnx)dx.
2k ri
o-nik) = — / B 2k-i(x) sm(2Tmx)dx.
nn Jo
De même, comme B'2f._i = (2k — 1) B 2k- 2 , on a
fi.\
an(k) = —
( T>
n7T \L
( \ c o s (2 7 m x )]i
B2k-i (x) — ------ -\
27rn
Jo
2 A: - 1
riTT
/•!
2 {x) COS (2imx) d x ^ .
L
D’où
2k (2k - 1 )
b) D’après la formule précédente, on a
Or
an(0) = 2 / Bo(x) cos(2Tmx)dx = —
Jo
sin(27rnrc)l
nTT L
Jo
= 0
§ 4.
Problèmes sur les séries de Fourier
429
et 5 i( l) = - 5 i( 0 ) = 1 / 2 . Donc a„(l) =
(n7r)^
c) D’après 2 ), on a 5 2 A:-i (0 ) —B 2k-i{Î) = 0 pour tout k > 2 . Donc
~
2fc(2A:-l)
(2n7r)2
„
~
(—1 )^“^ (2 fc)!
Par une récurrence facile, on obtient : a„(fc) = 92
22fc-i
fc-l (
d ’où
(-l)fc-i (2 fc)!
O'ni.k) — 22fc-l
6) D’après 3), on a gk{Q) =
anik\
Or,
n=l
ao(A:) = 2 Î B 2k{x)dx = 0 si A: > 1 , et ^fc(O) = &2fc,
J0
donc
= (22zfc-ll M
C(2.),
7) a) La formule de Taylor pour les polynômes donne
B n( x) =
èk=o
X'^.
Comme B!^ = n B n -i pour tout n > 1 , on obtient, par récurrence im­
médiate sur k :
VA; e {0 , . . . , n} , B^^^ = n ( n - 1 ) • • • (n-A:-|-l) Bn-k -
“
it]
Bn(X) = £
fe=0
b) La formule précédente donne
s « (i) = E
k=0
!)
^
Bn-k-
430
Chapitre 7.
Problèmes de révision corrigés
Comme 5„(1) = 5„(0) pour tout n > 2 d’après 2), il vient
£
( ;: I bn-k = 0 .
k=0
Connaissant déjà bo, bi et b2, on peut trouver tous les
grâce à un
programme classique qui résout un système linéaire triangulaire.
Noter que d ’après 2) et 3), on a 62*1+1 = 0 pout tout k > l .
Bibliographie
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[15] PÉCASTAINGS F., Sevin J. : 1985.
Chemins vers l ’Analyse, V uibert,
Index
Abel
- critère d’-, 99
- théorème d’-, 372
absolue (convergence -), 194
accélération de convergence, 40
adjacentes (suites -), 33
Aitken (méthode d’-), 45
attractif (point fixe -), 41
Banach (espace de -), 150
Bernoulli
- nombre de -, 429
- polynôme de -, 429
Bernstein
- polynôme de -, 156
- théorème de -, 406
Bertrand (séries de -), 92
Bessel (inégalité de -), 307
Bolzano-Weierstrass, 36
Cauchy
- produit de -, 10 1
- règle de -, 94
- suite de -, 34
- uniforme, 142
Cauchy-Schwarz, 293
cercle d’incertitude, 233
Cesàro (moyenne de -), 53
coefficients de Fourier
- exponentiels, 300
- trigonométriques, 301
constante d ’Euler, 384
convergence
- absolue, 194
- d’ordre r, 42
- commutative, 105
- en moyenne de Cesàro, 53
- en moyenne quadratique, 313
- géométrique, 40
- lente, 42
- localement uniforme, 199
- normale, 195
- quadratique,' 42
- rayon de -, 232
- simple, 140
- uniforme, 140
convolution (produit de -), 310
cosinus complexe, 256
cosinus hyperbolique complexe, 256
cotangente complexe, 258
critère
- d’Abel, 99
- de Leibniz, 97
- de comparaison, 86
- séquentiel, 38
critère de Cauchy
- pour les suites, 34
- pour les séries, 83
- uniforme, 142
D’Alembert
- règle de -, 95
- théorème de -, 40
433
Index
434
De Moivre A., 47
développement eulérien, 337
dichotomie, 36, 37
Dini (théorème de -), 179
Dirichlet
- noyau de -, 313
- théorème de -, 316
disjointes (séries entières -), 266
disque de convergence, 233
divergence grossière, 82
dominée (suite -), 26
entière
- fonction -, 233
- série -, 231
équation caractéristique, 7
espace
- eM 2^(K,K) , 290
- C27r(H^)
289
- Î » 2^(R,K), 293
- complet, 36
- de Banach, 150
- euclidien, 291
- préhilbertien, 291
Euler
- formule d ’-, 294
- constante d’-, 384
exponentiel (système -), 294
exponentielle complexe, 253
extractrice, 14
Fejér
- théorème de -, 413
- somme de -, 418
Fibonacci L., 4
fonction
- à décroissance rapide, 424
- entière, 233
- lipschitzienne, 163
- somme, 192
- zêta de Riemann, 384
forme
- hermitienne, 291
- sesquilinéaire, 290
- définie positive, 291
- non dégénérée, 291
- positive, 291
formule
- de De Moivre, 47
- d’Euler, 294
- de Stirling, 354
- de Wallis, 354
- de Hadamard, 235
- de Parseval, 309
- de Pythagore, 292
- sommatoire de Poisson, 424
Fourier
- coefficients de -, 300
- série de -, 303
Gibbs (phénomène de -), 418
grossière (divergence -), 82
Hadamard (formule de -), 235
harmonique (série -), 84
Heine (théorème de -), 157
hypothèse de domination, 155
incertitude (cercle d’ -), 233
inégalité
- arithmético-géométrique, 349
- de Bessel, 307
- de Cauchy-Schwarz, 293
- de Minkowski, 293
- géométrico-harmonique, 349
- triangulaire, 293
intervalle de convergence, 233
Lebesgue H., 155
435
Index
Leibniz (critère de -), 97
lemme de Riemann-Lebesgue, 314
limite
- inférieure, 93
- simple, 140
- supérieure, 93
- uniforme, 140
lipschitzienne (fonction -), 163
polynôme trigonométrique, 295
polynôme de Bernstein, 156
produit
- de convolution, 310
- de Cauchy, 101
- scalaire, 291
projection orthogonale, 307
Pythagore (formule de -), 292
Mertens (théorème de -), 103
Minkowski (inégalité de -), 293
monotone (suite -), 32
moyenne
- de Gauss, 69
- harmonique, 71
- arithmético-géométrique, 69
- arithmétique, 71
- de Cesàro, 53
- géométrique, 71
quadratique (norme -), 313
négligeable (suite -), 25
nombre
- de Bernoulli, 429
- de Fibonacci, 4
- irrationnel, 64
normale (convergence -), 195
norme, 292
- quadratique, 313
- uniforme, 143
noyau de Dirichlet, 313
orthogonale (projection -), 307
Parseval (formule de -), 309
permutation, 105
phénomène de Gibbs, 418
point fixe, 10, 38
point fixe attractif, 41
Poisson (formule de -), 424
Raabe-Duhamel (règle de -), 117
raison d’une suite
- arithmétique, 3
- géométrique, 3
rayon de convergence, 232
récurrence homographique, 9
récurrence linéaire
- d’ordre deux, 7
- d’ordre un, 7
référence (suite de -), 40
règle
- n°‘Un, 89
- d’équivalence, 87
- de Cauchy, 94
- de comparaison, 86
- de D’Alembert, 95
- de Raabe et Duhamel, 117
- de domination, 90
régularisée d’une fonction, 316
reste d’ordre n, 80
Riemann-Lebesgue, 314
Romberg-Richardson, 43
semi-norme, 291
série
- absolument convergente, 84
- entière, 231
- harmonique alternée, 136
436
- alternée, 97
- convergente, 80
- de Taylor, 244
- de Bertrand, 92
- de Fourier, 303
- de Riemann, 88
- de fonctions, 191
- divergente, 80
- géométrique, 80
- harmonique, 84
- harmonique alternée, 105
- trigonométrique, 297
- télescopique, 82
série entière
- dérivée, 239
- primitive, 239
- produit, 237
- somme, 237
séries entières disjointes, 266
sesquilinéaire (forme -), 290
simple (convergence -), 192
sinus complexe, 256
sinus hyperbolique complexe, 256
sommation par paquets, 104
somme
- d’une série, 80
- d’une série entière, 232
somme partielle, 80
somme partielle symétrique, 297
sommes de Fejér, 418
sous-suite, 14
Stirling (formule de -), 354
suite
- bornée, 12
- convergente, 13
- croissante, 32
- monotone, 32
- arithmétique, 3
Index
- arithmético-géométrique, 6
- complexe, 1
- de Fibonacci, 4
- de Bernoulli, 429
- de Cauchy, 34
- de fonctions, 139
- de référence, 40
- divergente, 13
- dominée, 25
- décroissante, 32
- extraite, 14
- géométrique, 3
- numérique, 1
- négligeable, 25
- périodique, 14
- réelle, 1
- stationnaire, 14
suites
- adjacentes, 33
- équivalentes, 26
système exponentiel, 294
tangente complexe, 258
Taylor (série de -), 244
théorème
- d’Abel, 372
- de Mertens, 103
- de Heine, 157
- de Weierstrass, 158
- de Bernstein, 406
- de D’Alembert, 40
- de Dini, 179
- de Dirichlet, 316
- de Fejér, 413
- de convergence dominée, 155
- de la double limite, 146
- des gendarmes, 19
- des segments emboîtés, 36
Index
transformation d’Abel, 372
trigonométrique (polynôme -), 295
uniforme (convergence -), 193
valeur d’adhérence, 15
vitesse de convergence, 40
Wallis (formule de -), 354
Weierstrass (théorème de -), 158
zêta (fonction -), 384
437
Achevé d ’imprimer en novembre 2011
N® d’impression L 74867
Dépôt légal, novembre 2011
Imprimé en France
Suites et séries numériques
Suites et séries de fonctions
Les suites et les séries jouent un rôle fondamental en Analyse mathéma­
tique. Avec la notion de convergence qui leur est intimement liée, les
suites et les séries numériques sont au coeur de la construction d'objets
mathématiques essentiels comme les nombres réels ou les intégrales. Par
ailleurs, plusieurs fonctions fondamentales, telles que la fonction gamma
d'Euler ou la fonction zêta de Riemann, sont obtenues comme limite de
suites de fonctions ou comme somme d'une série de fonctions. L'étude
de la continuité et de la dérivabilité de telles fonctions conduit très na­
turellement à la notion cruciale de convergence uniforme.
Ce livre propose un cours détaillé sur tous ces sujets avec un éclairage
tout particulier sur les séries entières et les séries de Fourier qui constituent
la base de l'Analyse complexe et de l'Analyse de Fourier. L'ensemble
est rédigé de manière à être adapté à différents parcours et à différents
niveaux, et l'auteur a systématiquement privilégié l'équilibre nécessaire
entre les approches abstraites et pratiques. De nombreux exemples
et contre-exemples sont disséminés afin de motiver l'introduction des
concepts et techniques. À la fin de chaque chapitre, un grand choix
d'exercices rédigés de manière progressive et détaillée permet au lecteur
de se familiariser avec les nouvelles notions et de contrôler l'assimilation
correcte des points essentiels. En vue des examens et des concours, un
chapitre entier propose un grand choix de problèmes d'approfondis­
sement et de synthèse, tous entièrement corrigés.
Cet ouvrage se destine aux étudiants de L l, L2 et L3, et aux candidats
au CAPES et à l'Agrégation interne.
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Mohammed El Am rani est enseignant-chercheur à l'un ive rsité d'A ngers
et responsable pédagogique du Master I Mathématiques Fondamentales
et Appliquées.
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