Université Nazi Boni Année académique 2023-2024
UNB Deuxième année
Travaux dirigés de Statistique
Tests d’hypothèse
Exercice 1
Une production en série doit fournir des pièces de 10 mn avec une tolérance correspondant à un écart type de 0,10 mn. Un
échantillon de 200 pièces donne une moyenne de 10,016 mn. Doit-on considérer que la production est conforme au seuil de 10%
de risque ? au seuil de 5% de risque ? de 1% de risque ?
Exercice 2
Une machine fabrique des produits dont 2% eb général sont défectueux. Dans un échantillon de 600 produits on a trouvé 16 produits
défectueux. Peut-ons, au seuil de 5%, considérer que la proportion de produits défectueux dans la population est effectivement
égale à 2%.
Exercice 3
Deux entreprises fabriquent des machines d’un même type. Un échantillon de 200 machines de la première entreprise a donné une
durée de vie moyenne de 12000 heures avec u écart type de 1000 heures. Un échantillon de 300 machnies de la deuxième entreprise
a donné une durée de vie moyenne de 12500 heures avec un écart type de 2000 heures. Cette différence est-elle significative au
seuil de 5% ?
Exercice 4
Une entreprise conditionne et commercialise du sel fin fluoré en sachet portant les mentions "poids net 1 kg et fluoré de potassium
250 mg/kg".
Une association de consommateur décide de contrôler la teneur en fluor de potassium de ce sel fin fluoré, dont la valeur annoncée
sur chaque paquet est 250 mg/kg. On prélève au hasard un échantillon de 100 sachets dans la production afin de l’adresser à un
laboratoire. Les résultats en mg/kg obtenus pour la moyenne m−eet pour l’écart type σesont : me= 253,9et σe= 21,9
1) On désigne par µla moyenne et par σl’écart type en mg/kg des teneurs en fluorure de potassium de la production totale des
sachets de sel. A partir des résultats obtenus par le laboratoire donner une estimation ponctuelle de µet σ.
2) Soit ¯
Xla variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille 100 prélevé au hasard dans la production totale associe sa teneur
en moyenne de fluorure de potassium. On assimile ces échantillons à des échantillons non exhaustifs.
a) Montrer que ¯
Xsuit la loi normale µet d’écart type 2,2
b) On se propose de construire un test bilatéral permettant d’accepter ou de refuser, au seuil de signification de 5% l’hypothèse
selon laquelle la teneur en fluorure de potassium des sachets est, en moyenne de 250 mg/kg en procédant de la manière suivante :
— énoncer l’hypothèse à tester (H0)puis l’hypothèse alternative (H1),
— énoncer la condition de rejet de (H0)au risque 5%.
— utiliser le test avec l’échantillon.
Exercice 5
Des statistiques réalisés sur une population de grand effectif permettant de penser qu’en période de compétition intense, la
probabilité pour un sportif pris au hasard d’être déclaré positif au contrôle antidopage est p0= 0,02. On décide de construire un
test bilatéral qui, à la suite de contrôle sur un échantillon aléatoire de 50 sportifs permettent de décider si au seuil de signification
de 10% cette hypothèse est possible.
1) Soit Fla v.a qui, à tout échantillon de 50 sportifs contrôlés, associe le pourcentage de sportifs contrôlés positivement.
a) Quelle est approximativement la loi suivie par F?
b) Énoncer l’hypothèse à tester (H0)et l’hypothèse alternative (H1)
c) Énoncer la règle de décision du test.
2) Dans l’échantillon deux contrôles antidopage ont été déclarés positifs. En appliquant la règle de décision du test peut-on
confirmer au seuil de risque de 10% l’hypothèse selon laquelle la fréquence de contrôles positifs dans la population est 0,02 ?
Exercice 6
Une association de consommateurs a réalisé une étude comparative portant sur la longévité des pneus de deux types "A" et "B"
de la marque Goodrelli.
Un échantillon de 50 pneux de "A" montre une durée de vie moyenne de 48700 km avec un écart type égal à 6900 km.
Un échantillon de 70 pneux de "B" montre une durée de vie moyenne de 45000 km avec un écart type égal à 5400 km.
Bien que la durée de vie moyenne des pneus "A" semble supérieure à celle des pneus "B" mettre en place un test bilatéral
permettant de répondre à la question :
"Existe-t-il une différence significative de longévité des deux types de pneus, au seuil de 5%" ? 1) Soit P l’ensemble des pneus "A"
fabriqués et L la v.a qui, à tout pneu de cette production associe sa durée de vie. L suit une loi de moyenne µet d’écart type σ,
inconnus.
1
On dispose d’un échantillon E1, d’effectif n1= 50, extrait de P, où la durée de vie moyenne est m1= 48700 avec un écart type
σ1= 6900. Donner les estimations ponctuelles ˆm1et ˆσ1respectivement de µet σ.
Soit P’ l’ensemble des pneus "B" fabriqués et L’ la v.a qui, à tout pneu de cette production, associe sa durée de vie. L’ suit une
loi de moyenne µ0et d’écart type σ0inconnus. Donner des estimations ponctuelles de ˆm2et ˆσ2respectivement de µ0et σ0.
2) Soit ¯
Lla v.a qui, à tout échantillon de taille n1, issu de la population P associe sa moyenne. Quelle est la loi de ¯
L? De même
¯
L0la v.a qui, à tout échantillon de taille n2, issu de la population P’ associe sa moyenne. Quelle est la loi de ¯
L0?
3) a) Énoncer l’hypothèse à tester (H0)et l’hypothèse alternative (H1).
b) Enoncer l’hypothèse de rejet de (H0).
4) En utilisant les estimations ponctuelles obtenues précédemment mettre en œuvre ce test et conclure.
Exercice 7
Soit P une population d’individus présentant une certaine maladie M. Pour déceler la présence de cette maladie chez un individu
on dispose de deux tests médicaux T1et T2.
On extrait de P, un échantillon A d’effectif nA= 300 et on applique aux individus de A le test T1. On décèle la présence de la
maladie chez 243 sujets. Indépendamment de la première observation, on extrait de P, un échantillon B d’effectif nB= 200 et
on applique aux individus de B le test T2. On décèle la maladie chez 152 sujets. On se propose de construire un test bilatéral
permettant de dire si les deux tests ont au seuil de confiance 95% un pouvoir de détection sensiblement égal.
1) Quelles sont, d’après ces résultats expérimentaux, des estimations ponctuelles notées respectivement f1et f2des pouvoirs de
détection (inconnu) p1et p2de chacun des tests T1et T2?
2) On note F1la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille 300 associe le pouvoir de détection du test T1dans cet
échantillon. Quelle est la loi de F1?
De même, on note F2la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille 200, associe le pouvoir de détection du test T2dans cet
échantillon. Quelle est la loi de F2?
3) Énoncer l’hypothèse nulle (H0)et l’hypothèse alternative (H1)pour ce test bilatéral. Énoncer la règle de décision du test.
4) p1et p2sont inconnus donc, sous l’hypothèse (H0), ils sont estimés par le nombre ˆptel que : ˆp=nAf1+nBf2
nA+nB
. Calculer ˆp,
mettre en œuvre le test et conclure.
Exercice 8
Une entreprise pharmaceutique développe un nouveau médicament, conçu pour prévenir les rhumes. Pour tester cette affirmation,
ils choisissent un échantillon aléatoire simple de 100 femmes et 200 hommes d’une grande population. A la fin de l’étude, 38% des
femmes ont attrapé un rhume, et 51% des hommes ont attrapé un rhume.
1) L’entreprise indique que le médicament est également efficace pour les hommes et les femmes. Basé sur ces résultats, peut-on
rejeter l’affirmation de l’entreprise que le médicament est également efficace pour les hommes et les femmes ? Utilisez un niveau
de signification de 0,05.
2) Supposons plutôt que l’entreprise déclare que le médicament est plus efficace pour les femmes que pour les hommes. Basé sur
ces résultats, peut-on conclure que le médicament est plus efficace pour les femmes que pour les hommes ? Utilisez un niveau de
signification 0,01.
Exercice 9
Un chercheur veut comparer les taux de cholestérol d’immigrés asiatiques en Eu rope aux taux typiques trouvés dans la population
européenne. Le taux de cholestérol moyen des femmes européennes est 190 mg/dl (connu). Il est inconnu si les taux de cholestérol
des immigrés asiatiques soient plus ou moins élevés par rapport aux taux dans la population eu ropéenne. Des analyses de sang
sont effectuées sur un échantillon aléatoire de 100 femmes immigrées asiatiques ; la moyenne et l’écart type de ces 100 mesures
sont de 180 mg/dl et de 40 mg/dl, respectivement.
1) Trouvez un intervalle de confiance approximatif de 95% pour le taux de cholestérol moyen dans la population des femmes
immigrées d’Asie.
2) Si on souhaite que la longueur de l’intervalle de confiance de 95% soit au plus 4, quelle est la taille de l’échantillon nécessaire ?
3) Que pouvons-nous conclure au sujet du taux de cholestérol des femmes immigrées d’Asie par rapport aux femmes européennes,
basée sur cet échantillon ? (Utilisez α= 0,01.)
4) Des analyses de sang sont également effectuées sur un échantillon aléatoire de 100 hommes immigrés asiatiques (indépendants
des femmes) ; la moyenne et l’écart-type de ces 100 mesures sont de 175 mg/dl et de 30 mg/dl, respectivement. Testez si le taux de
cholestérol moyen dans la population des hommes immigrées d’Asie est moins élevé que le taux moyen pour les femmes immigrées
d’Asie. (Utilisez α= 0,05.)
Exercice 10
Un échantillon de taille n a donné lieu au calcul d’une fréquence observée f correspondant à l’intervalle de confiance [0,220,34]
au seuil α= 5%.
1) Calculer n. 2) Par rapport à la proportion p= 0,3, l’écart est-il significatif au seuil α= 5% ? 3) Déterminer l’intervalle de
confiance de |f−p|au seuil α= 5%.
Exercice 11
Un questionnaire auquel on ne peut répondre que par ”oui” ou par ”non”, a été rempli par un échantillon de taille n. L’intervalle
de confiance de la fréquence observée fdes réponses ”oui” est [0,35; 0,43] au seuil α= 5%.
1) Quelle est la taille nde l’échantillon.
2) Par rapport à la proportion p= 0.4, l’écart est-il significatif au seuil α= 5% ?
3) Déterminer l’intervalle de confiance de |f−p|au seuil α= 5%.
2
1
/
2
100%
