Ahmed Lesfari - Distributions, Analyse de Fourier et Transformation de Laplace - Cours et exercices-Ellipses Marketing (2012)

Ahmed Lesfari
Distributions,
analyse de FOURIER
et transformation
de LAPLACE
Cours et exercices
Références sciences
Distributions, analyse
de Fourier et transformation
de Laplace
Cours et exercices
Ahmed Lesfari
Collection Références sciences
dirigée par Paul de Laboulaye
[email protected]
Arithmétique et cryptologie, Gilles Bailly-Maitre, 312 pages, 2012.
Calcul différentie/, Marcel Grangé, 240 pages. 2012.
Concevoir et programmer en C++, Philippe d'Anfray, 576 pages, 2012.
Convolution. séries et intégrales de Fourier, Jacques Peyrière, 120 pages, 2012.
De /'intégration aux probabilités, Olivier Goret. Aline Kurtzmann. 504 pages, 2011.
Distributions. analyse de Fourier et transformation de Laplace - Cours et exercices, Ahmed Lesfari,
384 pages, 2012.
Éléments d'analyse réelle - Rappels de cours illustrés et exercices corrigés, Mohamed Boucetta,
288 pages, 2012.
Épistémologie mathématique, Henri Lombardi, 216 pages, 2011 .
L'évolution des concepts de la physique de Newton à nos jours, Jean-Louis Farvacque, 360 pages, 2012.
Exercices de probabilités pour futurs ingénieurs et techniciens, Antoine Clerc, 168 pages, 2012.
Géométrie euclidienne élémentaire, Aziz El Kacimi Alaoui. 240 pages, 2012.
Ingénierie Dirigée par les Modèles, Jean-Marc Jézéquel, Benoît Combemale, Didier Vojtisek,
144 pages. 2012.
Intégration - Intégrale de Lebesgue et introduction à /'analyse fonctionnelle, Thierry Goudon,
192 pages. 2011 .
Introduction à /'analyse des équations de Navier-Stokes, Pierre Dreyfuss. 168 pages. 2012.
Introduction à /'Optimisation - 2° édition, Jean-Christophe Culioli, 384 pages, 2012.
Le plan; la sphère et le théorème de Jordan. Jean-Yves Le Dimet. 144 pages, 2012.
Recherche Opérationnelle - Tome 1 - Méthodes d'optimisation, Jacques Teghem, 624 pages, 2012.
Statistique mathématique, Benoît Cadre, Céline Vial. 192 pages, 2012.
Suites et séries numériques. Suites et séries de fonctions, Mohammed El Amrani, 456 pages, 2011 .
Systèmes de communications numériques, Gaël Mahé, 216 pages, 2012.
Théorie des groupes, Felix Ulmer, 192 pages, 2012.
Traité de géométrie affine, Dominique Bourn, 168 pages, 2012.
Une introduction moderne à /'algèbre linéaire. Vincent Blanlœil, 216 pages, 2012.
ISBN 978-2-7298-76296
©Ellipses Édition Marketing S.A., 2012
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15
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A El Rhalia, Reda, Hicham et Imad.
Avant-propos
La théorie des distributions fut construite par le mathématicien L. Schwartz
entre 1944 et 1950 et lui valut la médaille Fields en 1950. Comme la plupart de
grandes découvertes scientifiques, la théorie de distributions est construite sur
des bases provenant de travaux effectués par de nombreux chercheurs : Heaviside en 1893, Wiener en 1925, Dirac en 1926-27, Hadamard en 1932, Bochner
en 1932, Leray en 1934, Sobolev en 1936, Carleman en 1944, etc. L'objectif a
été de généraliser la notion de fonction, afin de donner un sens mathématique
correct à des objets manipulés par les physiciens et les ingénieurs.
La théorie des distributions est importante aussi bien en mathématiques
que dans plusieurs disciplines scientifiques. Elle s'est révélée être une nécessité
pour le progrès de plusieurs théories en physique et en ingénierie où beaucoup de problèmes discontinus conduisent naturellement, entre autres, à des
équations différentielles dont les solutions sont des distributions plutôt que des
fonctions ordinaires. La théorie assure un certain nombre d'opérations indispensables auxquelles les fonctions ne se prêtent pas toujours et a apporté les
outils mathématiques dont les physiciens et les ingénieurs avaient tant besoin.
L'exemple le plus célèbre de distribution est l'impulsion de Dirac, indispensable aussi bien pour la formulation de la mécanique quantique qu'en analyse
harmonique et en traitement du signal. Elle s'est révélée en particulier être un
moyen efficace pour mieux comprendre le produit de convolution et la transformée de Fourier qui sont des instruments puissants de calcul en traitement
du signal. D'ailleurs il ne faut pas être étonné que l'un des premiers articles de
Schwartz sur la théorie des distributions fut publié en 1948 dans les Annales
des Télécommunications (Généralisation de la notion de fonction et de dérivation; théorie des distributions. Annales des Télécommunications, vol. 3, pp.
135-140, 1948).
Par ailleurs un autre point important qu'apporte la théorie des distributions
sur celle des fonctions provient de ce que les distributions sont dérivables autant
de fois que l'on veut, ce qui n'est évidemment pas le cas des fonctions. Au sens
des distributions, la dérivabilité s'étend même à des fonctions discontinues, qui
sont indéfiniment dérivables. L'approche utilisée par Schwartz est basée sur la
6
AVANT-PROPOS
dualité dans les espaces topologiques. Il s'agit là d'un concept abstrait, profond
et apparemment sans relation avec la physique. Une telle théorie nécessite donc
un bagage mathématique assez poussé en analyse fonctionnelle, notamment sur
la notion de convergence forte qui détermine une topologie adéquate dans des
espaces de fonctions régulières ou de convergence faible dans les espaces duaux
de distributions.
En physique, on rencontre souvent des problèmes faisant intervenir des
ondes ou des vibrations ou encore des oscillations. Dans chaque cas, la décomposition d'une vibration en une somme de vibrations élémentaires ou harmoniques pose le problème de la représentation d'une fonction par une série
trigonométrique. Cette décomposition s'appelle analyse spectrale. L'exemple le
plus ancien et le plus important est donné par les séries de Fourier qui trouvent
leur origine dans l'étude de problèmes de la physique. En effet, la théorie de
l'analyse de Fourier (séries de Fourier et leur version "continue" intégrales de
Fourier) est issue de l'étude de diverses équations de la physique mathématique,
comme l'équation de la chaleur. Faute de pouvoir résoudre ces équations, on
a cherché à représenter leurs solutions sous forme de séries de fonctions trigonométriques. C'est Euler, à propos d'un mémoire de Bernoulli sur les cordes
vibrantes qui a posé le problème de la représentation d'une fonction par une
série trigonométrique. Ce problème a été repris en 1807 par Fourier dans ses
travaux concernant l'équation de la chaleur qui a affirmé que l'on pouvait représenter ainsi des classes de fonctions beaucoup plus larges que celle des fonctions
analytiques. En 1822, Fourier exposa les séries et la transformation de Fourier
dans son traité intitulé : Théorie analytique de la chaleur. Des démonstrations
rigoureuses de ce fait ont ensuite été données par d'autres mathématiciens,
notamment Cauchy et Dirichlet. D'autres résultats importants ont été obtenus par Dirichlet, Dini, du Bois-Reymond, Fejér, Cesàro, Kahane, Katznelson,
Carleson, Kolmogorov et d'autres.
L'étude des séries de Fourier est délicate et il fallut plus d'un siècle pour
éclaircir plusieurs questions relatives à ces séries. Cette étude et les difficultés
qu'elle souleva a obligé les mathématiciens à formaliser des notions telles que
la continuité, la dérivabilité, la convergence selon divers modes et elle est à la
base de théories fondamentales : intégrales de Riemann, intégrales de Lebesgue,
théorie des ensembles (Cantor 1870) ainsi que les premiers concepts de l'analyse fonctionnelle. A la suite des travaux sur les séries de Fourier émergèrent
plusieurs spécialités nouvelles : analyse harmonique, théorie du signal, ondelettes et qui font encore actuellement l'objet de recherches actives. A l'heure
actuelle, l'analyse de Fourier constitue l'un des moyens les plus puissants de
l'analyse et intervient dans la plupart des domaines des mathématiques et de
la physique. Elle constitue avec les transformées de Laplace (transformations
intégrales proche des transformées de Fourier) et autres transformations inté-
7
AVANT-PROPOS
grales (transformée de Fourier discrète, transformée de Fourier rapide, transformée en Z, etc.) un des outils mathématiques les plus utilisés dans plusieurs
branches techniques avec des applications vastes et diverses. On les rencontre
par exemple dans l'étude des signaux périodiques, des circuits électriques, des
ondes cérébrales, dans la synthèse sonore, le traitement d'images, pour ne citer
que quelques uns.
Cet ouvrage s'organise en trois grandes parties, respectivement intitulées :
Distributions, Analyse de Fourier et Transformation de Laplace, ainsi qu'un
Appendice. On trouvera une description détaillée de toutes ces notions dans
l'introduction propre à chaque chapitre. Chaque chapitre commence par un
exposé clair et précis de la théorie (définitions, propositions, remarques, etc.).
En général, j'ai rédigé des démonstrations complètes, détaillées et accessible
à un large public. Par ailleurs, le souci de rendre les notations aussi simples
que possible a conduit à raisonner souvent dans le cas d'une variable avec des
indications sur les quelques changements que demande le cas de plusieurs variables. De nombreux exemples se trouvent disséminés dans le texte. En outre,
comme il s'adresse principalement à tous les étudiants scientifiques entrant
dans un établissement d'enseignement supérieur, chaque chapitre comporte de
nombreux exercices de difficulté variée complètement résolus, ainsi que des
exercices proposés avec éventuellement des réponses ou des indications. Certains exercices ont fait l'objet de questions d'examen au cours des dernières
années. Par ailleurs parmi ces exercices il y en a des classiques, que l'on retrouvera certainement ailleurs, et d'autres qui sont vraisemblablement originaux. A
la fin, j'ai inclus une bibliographie comportant un petit nombre d'ouvrages fondamentaux facilement accessibles. C'est avec reconnaissance que j'accueillerai
les critiques et suggestions que les lecteurs voudront bien me faire parvenir.
Cet ouvrage est destiné aux étudiants de licence ou master de mathématiques (12, 13, Ml) ainsi qu'aux élèves des grandes écoles scientifiques et techniques. Il peut également être utile aux enseignants.
E-mail : [email protected]
Table des matières
I
DISTRIBUTIONS
13
1 Définitions et exemples
1.1 Espace des fonctions test 'D
1.2 Définition d'une distribution .
1.3 Exemples de distributions . .
1.3.1 Fonctions localement sommables
1.3.2 Distribution de Dirac . . . . . . .
1.3.3 Mesures . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Quelques définitions et propriétés locales .
1.5 Extension de l'espace 'D : espaces C, & et S
1.6 Exercices résolus
1. 7 Exercices proposés . . . . .
15
2 Dérivation des distributions
2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . .
2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Dérivée de la fonction d'Heaviside
2.2.2 Dérivée de la distribution de Dirac
2.2.3 Dérivée d'une fonction discontinue
2.3 Extension au cas de plusieurs variables .
2.4 Exercices résolus
2.5 Exercices proposés ..
41
3 Opérations élémentaires
3.1 Multiplication des distributions
3.2 Translation d'une distribution .
3.3 Changement d'échelle . . . . .
3.4 Transposée et parité d'une distribution .
3.5 Exercices résolus
3.6 Exercices proposés . . . . . . . . . . . .
67
16
18
20
20
24
25
25
28
29
37
42
43
43
43
44
45
46
63
67
69
70
70
71
81
TABLE DES MATIÈRES
10
4
Convergence des distributions
4.1 Définitions et propriétés
4.2 Exercices résolus .
4.3 Exercices proposés
85
85
89
101
5 Convolution
105
5.1 Produit tensoriel
105
5.2 Convolution des fonctions ..
110
5.3 Convolution des distributions
113
5.4 Algèbre de convolution . . . .
118
119
5.5 Équation de convolution . . .
5.5.1 Définitions et propriétés
119
5.5.2 Opérateurs différentiels à coefficients constants
121
5.5.3 Équations différentielles linéaires à coefficients constants 124
5.6 Exercices résolus .
126
5.7 Exercices proposés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
II
ANALYSE DE FOURIER
139
Séries de Fourier
6.1 Séries trigonométriques . .........
6.2 Séries de Fourier, Théorème de Dirichlet
6.3 Cesaro, Fejér, Jordan et Weierstrass ..
6.4 Égalité de Parseval et inégalité de Bessel .
6.5 Séries de Fourier des distributions .
6.6 Exercices résolus
6.7 Exercices proposés ..
141
7 Transformée de Fourier
7.1 Transformée de Fourier dans C, 1 .
7.2 Transformée de Fourier dans S
7.3 Transformée de Fourier des distributions
7.4 Transformée de Fourier dans C,2 . • . . •
7.5 Transformée de Fourier à plusieurs variables
7.6 Exercices résolus
7.7 Exercices proposés ..............
235
6
142
147
164
169
173
180
224
236
243
248
257
261
264
284
TABLE DES MATIÈRES
III
TRANSFORMATION DE LAPLACE
11
289
8 Transformée de Laplace
8.1 Transformée de Laplace des fonctions .
8.2 Transformée de Laplace des distributions .
8.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Équations différentielles . . . . . .
8.3.2 Résolution des équations de convolution
8.3.3 Résolution des équations intégrales . . .
8.3.4 Etude de la stabilité de quelques systèmes non-linaires
8.4 Exercices résolus .
8.5 Exercices proposés
291
9 Appendice
9.1 Éléments de topologie . . . . . .
9.2 Mesure et intégrale de Lebesgue .
365
Bibliographie
379
Index
381
291
303
307
307
312
313
316
322
358
365
371
Première partie
DISTRIBUTIONS
Chapitre 1
Définitions et exemples
Introduction
Dans ce chapitre on introduit tout d'abord un espace de base, noté 'D,
constitué de fonctions indéfiniment dérivables à support borné. Ensuite on
donne les exemples 1.1.3 et 1.1.4 de fonctions appartenant à l'espace 'D. Ces
fonctions sont souvent utilisées aussi bien dans les démonstrations de quelques
théorèmes que dans la résolution de nombreux exercices. Une distribution T
est une fonctionnelle linéaire
T: 1J ~ R(ou C),
cp 1----' (T, cp},
et continue (en un sens qui sera précisé) sur l'espace 'D. On donne d'autres
définitions équivalentes, utiles en pratique. Les distributions forment un espace vectoriel, noté 'D', dual de 'D. On montre que les fonctions localement
sommables déterminent des distributions :
1J ~ R(ou C),
cp 1----' f f(x)cp(x)dx.
}~n
Ce résultat nous sera d'un grand recours pour la suite car pour définir les opérations sur les disributions on commence tout d'abord par les définir sur les
fonctions localement sommables et ensuite on généralise les définitions obtenues
à l'ensemble des distributions. Un autre exemple important est la distribution
ô de Dirac (elle représente une masse ou une charge +1 placée à l'origine). On
la définit d'une manière rigoureuse et on explique pourquoi elle ne peut pas
être une fonction. Ensuite on définit une mesure comme étant une fonctionnelle
linéaire continue (dans un sens qui sera précisé) sur l'espace C des fonctions
continues à support borné. On montre que toute mesure est une distribution
et que la réciproque n'est pas nécessairement vraie. La distribution ô de Dirac
16
CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
est une mesure. A partir de quelques définitions locales sur des ouverts recouvrant Rn, on reconstitue la définition globale d'une distribution sur Rn. C'est
l'objet du théorème du recollement par morceaux, que nous démontrons. Ceci
nous permet d'introduire la notion de support d'une distribution. Nous verrons
qu'une distribution particulière peut admettre une extension à un espace plus
large que V. Enfin plusieurs exercices concernant la valeur principale de Cauchy, les supports des fonctions et des distributions, la parité des distributions,
les parties finies de Hadamard, etc., sont traités en détail. Les exercices 1.6.1
et 1.6.3 sont très importants et seront souvent utilisés par la suite.
1.1
Espace des fonctions test V
Définition 1.1.1 On définit le support d'une fonction f: Rn--+ R(ou C) par
suppf = adh {x E Rn: f(x) =/= O},
c'est-à-dire l'adhérence de l'ensemble des x tels que f(x) est non identiquement
nulle. Autrement dit, c'est le plus petit ensemble fermé en dehors duquel f est
identiquement nulle.
Exemple 1.1.1 Soit x = (xi, ... , Xn) E Rn, r = llxll = Jxî + · · · + x~. On
pose
f(x) = { e-1!r2
0
s~ r < 1
sir~ 1
On a suppf = { x E Rn : llxll ~ 1} ; la boule de centre 0 et de rayon 1.
Définition 1.1.2 On désigne par 'JJ(Rn), ou tout simplement, 1J l'ensemble
des fonctions indéfiniment dérivables à support borné
1) = { <p E C00 : suppf borné}.
Cet ensemble s'appelle espace de base et ses éléments fonctions de base (ou
fonctions tests).
Notons que 1J est un espace vectoriel sur C (si <pi, <p2 E 1J et a, f3 E C, alors
a<p1 + f3<p2 E 'JJ) de dimension infinie. Il n'est pas évident que l'espace 1J
contient d'autres fonctions que les fonctions nulles. Nous donnerons ci-après
(voir exemples 1.1.3 et 1.1.4 ainsi que l'exercice 1.7.1) quelques exemples de
telles fonctions et qui seront utiles par la suite.
1.1. ESPACE DES FONCTIONS TEST1J
17
Exemple 1.1.2 La fonction f: R--+ R définie par
est de classe C00 • Si x < 0, toutes les dérivées de f sont nulles. Si x = 0, les
dérivées à gauche de f sont nulles. Si x > 0, on a
-~
! "( x ) -_ 4 - 66x 2 e -~
"' , ... , f(k)( x ) -_ P(x)
3k e "' ,
X
X
où P(x) est un polynt1me. Dès lors,
-
1
3k
uT
e ;;;2"
()
lim f k (x) = P(O) lim ~ = P(O) lim = 0,
x--+O+
x--+O X
u--+oo eu
il suffit d'appliquer plusieurs fois la règle de l'Hospital. Enfin, si x = 0, les
dérivées à droite de f sont nulles : J(k)(O) = 0, Vk E N. En effet, procèdons
par récurrence sur k. Pour k = 0, c'est évident. Supposons que J(k)(O) = 0 et
montrons que : J(k+l)(O) =O. On a
1
1
-;;;2"
-;;;2"
f (k)(x) - J(k)(O) = lim P(x)-e/(k+l)(o) = lim
= P(O) lim _e_ =O.
x--+O
X -
0
x--+O
x3k+ 1
x--+O x3k+ 1
Ainsi f(x) est indéfiniment dérivable.
Exemple 1.1.3 La fonction cp: R ~ R définie par
1
cp(x) = { e- 1 - "'2 si lxl < 1
0 si lxl ~ 1
appartient à 1J. En effet, si lxl > 1, alors cp(x) = 0 et cp E C00 • De méme, si
1
lxl < 1, 1!x2 E C00 et cp(x) = e- 1 -0:2 E C00 • Si lxl = 1, on utilise le méme
raisonnement que dans l'exemple précédent. On montre dans ce cas que l'on
a cp(k)(x) = 0, donc cp E C00 • En outre, supp cp = [-1, 1] et par conséquent
cp E 1J.
Exemple 1.1.4 (Lemme d'Urysohn) : Soit K un compact de Rn. Alors il
existe une fonction cp E 1J telle que :
(i) 0 :S cp(x) :S 1 pour tout x E Rn.
(ii) cp(x) = 1 sur K.
(iii) cp(x) = 0 en dehors d'un ouvert contenant K.
CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
18
Notation : Si c.p est une fonction de V et si a = (a1, ... ,an) E Nn est un
multi-indice, on pose
a
D°'c.p = ( 8x1
)°' ... 8xna )°'n = âxf1a'°''"'
... ax~n '
1
(
avec 1a I= a1 + · · · + an.
Remarque 1.1.1 On peut munir l'espace D de la topologie limite inductive,
en introduisant une famille de semi-normes mais dans tout ce qui va suivre,
la connaissace de cette topologie n'est pas nécessaire; il suffit de connaître la
notion de convergence des suites dans V.
Définition 1.1.3 On dit qu'une suite de fonctions ('Pk) E V converge dans V
vers une fonction c.p E V si :
{i) tous les supports des 'Pk sont contenus dans un même compact K.
{ii} pour tout j E N, la suite des dérivées (c.p~)) converge uniformément1
vers c.p(j) sur K.
Remarque 1.1.2 Dans le cas de plusieurs variables, la condition {ii} est remplacée par celle-ci : {ii}' Pour tout a E Nn, la suite (D°'c.pk) converge uniformément vers D°'c.p sur K.
Notation : On écrit 'Pk ~ c.p pour dire que (c.pk) converge dans V vers c.p.
1.2
Définition d'une distribution
Définition 1.2.1 On appelle distribution T une fonctionnelle linéaire continue sur V.
{i) fonctionnelle linéaire signifie : une application T de V dans ~ (ou C)
faisant correspondre à une fonction c.p E 'D, un nombre noté (T, c.p) tel que :
pour tous c.p1, c.p2 EV et a, {3 E C, on a
Au lieu de fonctionnelle linéaire, on dit aussi forme linéaire.
{ii} continue signifie : si la suite ('Pk) converge dans V vers c.p, alors (T, 'Pk)
converge au sens usuel vers (T, c.p).
Autrement dit, une fonctionnelle linéaire sur V définit une distribution si
pour toute suite (c.pk) E V qui converge dans V vers zéro, la suite (T, 'Pk)
converge au sens usuel vers zéro.
1 La suite (<p~)) converge uniformément vers <p(i) dans Ksi, quel que soit e
> 0, il existe
un entier N(e) tel que, pour tout k 2:: N(e) et tout x E K, on ait 1 <p~>(x) - <p(il(x) j::; e
c'est-à- dire si limk-+oo sup.,EK 1 <p~>(x) - <p<i>(x) 1 =O.
19
1.2. DÉFINITION D'UNE DISTRIBUTION
Proposition 1.2.2 Une fonctionnelle linéaire sur V est une distribution si et
seulement si, pour tout compact K et pour toute fonction cp E V avec supp cp c
K, il existe une constante C > 0 et un entier m tels que :
m
1(T,cp) I~ CI:sup 1cp~)(x) I ·
{l.2.1)
j=OxEK
Démonstration : Soit T une distribution sur V et supposons que pour toute
constante C > 0 et tout entier m, il existe un compact K et une fonction
'Pk EV, supp 'Pk C K tels que:
m
1(T,cpk) I~ CI:sup 1cp~)(x) I ·
j=OxEK
Choisissons C = m = k et posons 1/Jk = (T~~k) . La fonction 1/Jk appartient à
V car 1/Jk E C00 et supp 1/Jk C supp 'Pk c K. Dês lors,
k
1 = (T,1/Jk) 2: k I:sup 11/J~)(x) 1,
j=OxEK
et
lim (sup 11/J~)(x) 1) = 0,
k-+oo
xEK
k 2: j
c'est-à-dire 1/J~) converge uniformément vers 0 ce qui est absurde puisque
(T, 1/Jk) ne converge pas (au sens usuel) vers O. Réciproquement, supposons
que la suite (cpk) converge dans V vers 0 c'est-à-dire supp 'Pk C K et cp~)(x)
converge uniformément vers O. Donc
lim (sup 1cp~)(x) 1) = 0,
k-+oo
xEK
et d'après (1.2.1), (T, 'Pk) converge (au sens usuel) vers O. Donc la définition
précédente et la proposition 1.2.2 sont équivalentes. D
Remarques 1.2.1 a) Dans le cas de plusieurs variables, l'expression {1.2.1}
est évidemment remplacée par celle-ci
1(T, cp) I~ C
L sup 1Dacp(x) 1.
lal~mxEK
b} Une distribution n'a pas de valeur en un point, mais on peut parler de
la valeur d'une distribution dans un ouvert quelconque.
20
CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
c) On dira qu'une distribution T est réelle si (T, cp) est réel où cp E V(IR).
Toute distribution arbitraire T peut s'écrire sous la forme T = R + iS où R et
S sont des distributions réelles, autrement dit,
(T, cp) = (R, cp) + i(S, cp),
cp E V(IR)
De meme, on définit la distribution complexe conjuguée (notée T) d'une distribution T en posant
(T, cp) = (T, cp),
cp E V(IR)
Soient T1, T2, T des distributions et >. un scalaire. On définit la somme
T1 + T2 et le produit >.T, par les relations :
(T1, cp) + (T2, cp), Vcp EV
>.(T, cp), Vcp E V
Les applications T1 + T2 et >.T de V dans IR (ou C), sont des distributions.
Donc
Proposition 1.2.3 Les distributions forment un espace vectoriel que l'on note
V' (espace dual de V).
Soit vm l'espace vectoriel des fonctions ayant des dérivées d'ordre j continues pour 0 :::; j :::; m et à support borné.
Définition 1.2.4 On dit qu'une suite de fonctions (cpk) E vm converge dans
vm vers une fonction cp E vm si :
(i) tous les supports des cpk sont contenus dans un m€me compact K.
(ii) pour tout j E N, 0 :::; j :::; m, la suite des dérivées (cp~)) converge
uniformément vers cp(j) sur K.
Toute fonctionnelle linéaire continue sur vm est dite distribution d'ordre m.
Autrement dit, d'après la proposition 1.2.2, la distribution Test dite d'ordre m
lorsque l'inégalité (1.2.1) est satisfaite pour 0:::; j :::; m. De telles distributions
constituent un espace vectoriel noté V'm.
1.3
Exemples de distributions
1.3.1
Fonctions localement sommables
Définition 1.3.1 Une fonction f: !Rn -----+IR (ou C) est dite localement sommable si elle est sommable sur tout ensemble borné K de !Rn, c'est-à-dire, si
l
lf(x)ldx < +oo.
On dit aussi qu'elle est localement intégrable.
21
1.3. EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS
Soit f : R ---+ R (ou C) une fonction localement sommable. Nous allons
montrer que f(x) engendre une distribution Tt par
1
+00
(T1, cp) =
_
cp E 'D.
f(x)cp(x)dx,
00
L'intégrale ci-dessus existe car on intégre en fait, non sur R, mais sur le support
borné de cp.
{i) Tt est linéaire en effet, soient cp1, cp2 E 'D et a, /3 E C,
(T1 1 acp1 + /3cp2) =
=
1_:
00
f(x)(acp1(x) + /3cp2(x))dx,
00
00
a 1_: f(x)cp1(x)dx+/31_: f(x)cp2(x)dx,
= a(T1 cp1) +(Tt, cp2).
1
{ii) Tt est continue : en effet, par hypothèse la suite (cpk) converge vers
cp dans 'D, c'est-à-dire tous les supports des 'Pk sont contenus dans un même
compact [a,b] et pour tout j EN, la suite des dérivées (cp~)) converge uniformément vers cp(j),
lim ( sup
k-+oo
xE[a,b]
lcp~)(x) - cp(j)(x)I) =O.
Montrons que (T1, 'Pk) converge vers (T1 1 cp). On a
l(T,,cpk) - (T,,cp)I
=
l(T,,cpk -cp)I,
11_:
< 1_:
00
00
<
f(x)(cpk(x) - cp(x))dxl,
lf(x)ll'Pk(x) - cp(x)ldx,
(lb lf(x)ldx) .
a
sup l'Pk(x) - cp(x)I.
xE[a,b]
Par conséquent, on a
Proposition 1.3.2 Toute fonction f(x) localement sommable définit une distribution Tt par
1
+00
(T1, cp) = _00 f(x)cp(x)dx,
cp E 'D.
22
CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
Dans Rn, toute fonction f (xi, ... , Xn) localement sommable définit une distribution Tt par la relation
cp E 'D.
Proposition 1.3.3 Deux fonctions f et g localement sommables définissent
la meme distribution si et seulement si elles sont égales presque partout.
Démonstration : Si f(x) = g(x) presque partout, alors (Tt, cp} = (Tg, cp}, quel
que soit cp E 'D. Montrons que la réciproque est vraie. Par hypothèse, on a
(Tt, cp} = (Tg, cp}, c'est-à-dire
1:
00
f(x)cp(x)dx =
1:
00
g(x)cp(x)dx,
qui peut encore s'écrire J~;: h(x)cp(x)dx = 0, où h(x) = f(x) - g(x). Il s'agit
de montrer que h(x) = 0 presque partout. Pour cela, posons 1/Jk = (cpa(x)) 1 fk,
k E N* où 'Pa : R ---t R est une fonction définie par
- { e - a 2 ~o: 2
'Pa (X ) -
si lxl < a
0 si lxl ~a
avec a > 0, une constante. Comme dans l'exemple 1.1.3, on a 1/Jk E 'D avec
supp 'lfJk = [-a, a]. Posons 9k(x) = h(x)'lfJk(x). Pour tout x E] - a, a[, on a
limk--+oo 9k(x) = h(x). En outre, pour tout k EN* et tout x ER, il existe une
fonction sommable qui majore l9k(x)I :
l9k(x)I = lh(x)'l/Jk(x)I ~ lh(x)I. sup'l/Jk(x)I.
lR
Ainsi, les hypothèses du théorème de convergence dominée de Lebesgue sont
satisfaites et on peut donc permuter limite et intégrale :
0=
kl!__.~1:00 h(x)'lfJk(x)dx =
l:
h(x)dx,
car supp 1/Jk = [-a, a] et limk--+oo 'lfJk(x) = 1. D'où, h(x) = 0 sur [-a, a] et
puisque a est arbitraire, h(x) = 0 presque partout sur R D
Remarque 1.3.1 D'après les deux propositions précédentes, on convient dans
la suite d'identifier le symbole f qui représente la fonction localement sommable
définie presque partout, à celui qui représente la distribution Tt qui lui est
associée : Tt = f.
23
1.3. EXEMPLES DE DISTRIBUTIONS
Exemple 1.3.1 Toute constante C définit une distribution telle que :
r+oo
(C, cp) = C l-oo cp(x)dx,
cp EV.
Exemple 1.3.2 La fonction
f(x) = {
x°' si X> 0,
0 si X '.S 0
(a E C)
est localement sommable si et seulement si Re a > -1. Elle détermine donc
une distribution sur IR en posant
r+oo
(f,cp) = l-oo x°'cp(x)dx,
cp EV.
{Voir aussi l'exercice 1. 7.9).
Exemple 1.3.3 L'application
V 3 cp 1----+ (!, cp)
=lb
cp(x)dx,
définit une distribution sur R En effet, on a
(!, cp) =
l
b
a
r+oo
cp(x)dx = l-oo g(x)cp(x)dx = (g, cp),
où
g
(x) = { 1 s~ a::::; x::::; b
0 sinon
est une fonction localement sommable.
Exemple 1.3.4 La fonction ln lxl définit une distribution sur IR car elle est
localement sommable. En effet, la fonction ln lxl est continue sur IR*, donc
elle est localement sommable. Dans un voisinage de 0 par exemple ] - 1, 1[,
l'intégrale J~ 1 llnlxlldx est convergente; on a f01 lnxdx = -1, donc 01 lnxdx
existe. Méme argument pour l'intégrale J~ 1 ln(-x)dx. {Une autre méthode :
la fonction ln lxl pour x i- 0 est localement sommable dans IR car dans un
J
voisinage de 0, on al ln lxll :S lx~°' pour 0 <a< 1).
CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
24
1.3.2
Distribution de Dirac
Définition 1.3.4 La distribution de Dirac à l'origine est une fonctionnelle,
notée ô, défini par (ô, cp) = cp(O), cp E 'D.
On vérifie aisément qu'il s'agit bien d'une distribution : pour tous cp1, cp2 E
'D et a,(3 E C, on a acp1(0) + f3cp2(0) = (acp1 + f3cp2)(0), et dès lors
(ô, acp1 + f3cp2) = a(ô, cp1) + (3(ô, cp2),
donc ô est linéaire. Pour la continuité, on a par hypothèse 'Pk ~ cp. Donc
limk-+oo 'Pk(O) = cp(O) et par conséquent, limk-+oo(ô, 'Pk) = (ô, cp). La distribution ô représente une masse (ou une charge) +1 placée au point O. On définit
de même la distribution de Dirac Ôa au point a par (ôa, cp) = cp(a), cp E 'D. Elle
représente une masse (ou une charge) +1 placée au point a.
Remarque 1.3.2 Les physiciens utilisent l'écriture
1
+00
-oo ô(x)cp(x)dx = cp(O),
où
ô (x) = {
de sorte que
1
0 pour x i- 0
oo pour x = 0
+00
-oo ô(x)dx = 1.
{l.3.1)
(1.3.2)
En fait, cette écriture est incorrecte car le symbole ô(x) n'a pas de sens {il
n'y a pas de valeur de ô en x). De plus ô(x) n'appartient pas à la classe de
fonctions localement sommables (voir exercice 1. 7.4). Aucune fonction ne peut
satisfaire aux relations ( 1. 3.1) et ( 1. 3. 2) qui sont contradictoires : en effet,
d'après {1.3.1), ô(x) est nul partout sauf au point 0, donc ô(x) est presque
partout nul et d'après une propriété de Lebesgue, son intégrale est nulle ce qui
contredit (1.3.2).
Par la suite, nous écrirons indifféremment ô ou ô(x), Ôa ou Ôa(x) ou encore
ô(x - a).
Les distributions de la forme
+00
(Tf, cp) = _00 f(x)cp(x)dx, cp E 'D,
1
sont dites régulières, les autres (celles qu'on ne peut pas mettre sous la forme
ci-dessus) sont dites singulières (par exemple la distribution de Dirac).
1.4. QUELQUES DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS LOCALES
25
Il n'est pas possible de représenter une distribution singulière sur un graphe
mais, par convention, on symbolise la distribution de Dirac ôa(x) au point a,
par une flèche (ou un baton) verticale de longueur unité.
Toute combinaison linéaire des distributions de Dirac en différents points,
forme une distribution singulière appelée peigne de Dirac et est symbolisée par
Li(x) =
1.3.3
OO
OO
k=-oo
k=-oo
L ôk(x) = L ô(x - k), k Z
E
Mesures
Soit C l'espace des fonctions continues et à support borné. Cet espace est
muni de la topologie de la convergence uniforme sur tout compact. Une suite
de fonctions ('Pk) E C converge dans C vers une fonction cp E C si :
(i) tous les supports des 'Pk sont contenus dans un même compact K.
(ii) la suite (cpk) converge uniformément vers cp sur K.
Définition 1.3.5 Une mesure est une fonctionnelle linéaire et continue sur
l'espace C.
Les mesures forment un espace vectoriel noté C' (dual de C). L'espace V est
un sous-espace vectoriel de l'espace C. Toute mesure définit une distribution
mais la réciproque n'est pas nécessairement vraie. Cependant, on peut montrer
qu'une ditribution positive est une mesure positive (une distribution Test dite
positive si, pour toute fonction positive cp de V, le nombre (T, cp) est positif).
Exemple 1.3.5 ô est une mesure (on dit mesure de Dirac} et est définie par
(ô, cp) = cp(O). Pour que cette expression ait un sens, il n'est pas nécessaire que
cp EV, il suffit que cp soit continue à l'origine.
1.4
Quelques définitions et propriétés locales
Soit n c !Rn, un ouvert. On dit qu'une distribution T est nulle sur n si
l'on a (T, cp) = 0, pour toute fonction cp E 'D, ayant son support dans O.
Exemple 1.4.1 La distribution ô de Dirac est nulle sur tout ouvert ne contenant pas l'origine, par exemple IR*. En effet, 0 ~ supp cp et (ô, cp) = cp(O) =O.
Deux distributions Ti et T2 sont .dites égales sur n, si pour toute fonction
cp EV, ayant son support dans n, (Ti, cp) = (T2, cp), ou de manière équivalente
si la distribution Ti - T 2 est nulle sur n.
26
CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
Exemple 1.4.2 Les distributions T et T + o sont égales sur tout ouvert ne
contenant pas l'origine. En effet, ceci résulte immédiatement de l'exemple précédent puisque la différence de ces distributions est égale à o.
On définit une distribution sur n, par analogie sur Rn, comme suit : On
désigne par 'Dn le sous-espace de 'D, constitué des fonctions cp de classe C00
ayant un support inclus dans n. Une suite (cpk) E 'Dn converge vers cp si tous
les supports des 'Pk sont contenus dans un même compact K c n et si pour
tout j EN, la suite des dérivées ( cp~)) converge uniformément vers cp0) sur K.
Par définition, une distribution sur n est une fonctionnelle linéaire et continue
sur 'Dn.
A partir de ces définitions locales sur des ouverts recouvrant Rn, on peut reconstituer la définition globale d'une distribution sur Rn. C'est l'objet du théorème du recollement par morceaux (voir ci-dessous). Définissons tout d'abord
ce qu'est une partition de l'unité : Soit (ni)iEJ un recouvrement ouvert de n
où I désigne un ensemble (d'indices) quelconque. On démontre l'existence de
fonctions 9i de clase C00 telles que :
(i) gi(x) ~ 0 pour tout XE n.
(ii) supp 9i C ni pour tout i E J.
(iii) sur tout compact de n, un nombre fini des 9i sont différents de O.
(iv) I:iEJ 9i(x) = 1 pour tout X En.
Une telle famille (gi)iEI est dite partition de l'unité relative au recouvrement
(ni)iEl·
Proposition 1.4.1 (théorème de recollement par morceaux) : Soit n = uni
où ni sont des ouverts. Supposons définie sur chaque ni, une distribution '.li
telle que : '.li = Ti sur ni n ni. Il existe alors sur n une distribution T unique
qui, sur chaque ni, se réduit à '.li.
Démonstration : Soit (gi)iEI une partition de l'unité dans n, relative au recouvrement (ni)iEJ. Unicité : Supposons que T existe et que T = '.li sur ni. Soit
cp E 'Dn, on a 9i'P E 'Dni et cp = I:iEJ 9i'P· Cette somme est finie puisqu'il n'y
a qu'un nombre fini de 9i qui sont différents de 0 sur supp cp. Dês lors,
(T,cp) = / T, LBi'P) = L(T,gicp).
\ iEJ
iEJ
Or (voir exercice 1.6.4),
supp (gicp) c supp Bi n supp cp c supp Bi c ni,
1.4. QUELQUES DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS LOCALES
27
et nous avons supposé que T = 11 sur ni, donc
(T,cp) = L(Ti,gicp).
(1.4.1)
iEI
Si T existe, elle est unique et est définie par (1.4.1). Existence de T : Montrons que l'application définie par (1.4.1) détermine une distribution. Elle est
évidemment linéaire. En ce qui concerne la continuité, soit K c n, un compact et J un ensemble (fini) d'indices i E I tel que : 9i(x) =f:. 0 sur K. On
'Dn.
'DK
suppose que 'Pk ---t cp, d'où 9i'Pk ---4 9i'P, quel que soit i E J. Dès lors,
(11, 9i'Pk) ~ (11, 9i'P), et par conséquent
iEJ
iEJ
Montrons que, sur chaque nj, la distribution T se réduit à Tj, quel que soit
j E /. En effet, soit cp E 'Dni avec supp cp c ni et j E /. D'après l'exercice
1.6.4, on a supp (gicp) c supp 9i n supp cp c
n
et par hypothèse Ti = Ti
sur ni n ni. Donc
ni ni,
ce qui achève la démonstration. D
Considérons tous les ouverts ni où T s'annule. Le plus grand ouvert sur
lequel T est nulle est n = uni. L'existence de cet ouvert est justifiée par le
théorème précédent. Son complémentaire ne, est appelé support de la distribution T (noté supp T), c'est-à-dire le plus petit fermé en dehors duquel T
s'annule. Autrement dit, x E supp T si et seulement si T est nulle sur aucun
voisinage de x.
Exemple 1.4.3 Le support de la distribution ô de Dirac est {O}. En effet,
d'après l'exemple 1.4.1, ô s'annule sur IR* et dès lors supp ô = {O}.
Exemple 1.4.4 Si T1 est la distribution associée à une fonction continue
f, alors supp T1 = supp f. En effet, posons F = supp f et montrons que
supp T1 CF. Soit cp EV telle que : supp cp c Fe. Comme f = 0 sur supp cp,
alors (TJ, cp) = 0, c'est-à-dire T1 est nulle sur Fe. Dès lors,
supp T1 c (Fer= F = supp f.
Il reste à prouver que supp f c supp T1. Soit x E F = supp f et montrons
que x E supp T1 . On va raisonner par l'absurde en supposant que x (j:. supp T1.
28
CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
Dans ce cas, il existe un intervalle I = ]x - e, x + e[ tel que : pour toute fonction
cp E V ayant son support dans I,
l
+oo
(T1, cp = _00 f(x)cp(x)dx = 0,
sur I. Dès lors, f est nulle sur I et par conséquent In F = 0. Donc, x ~ F ce
qui est absurde.
1.5
Extension de l'espace V : espaces C, & et S
Nous avons défini les distributions sur l'espace de base V. Or ils existent des
distributions particulières qui sont définies comme des fonctionnelles linéaires
et continues sur des espaces plus larges que V.
Soit f(x) une fonction localement sommable. Cette fonction peut représenter la densité avec laquelle est répartie uniformément sur l'axe réel une masse,
une charge électrique, une loi de probabilité, etc. L'expression
(!, cp) =
l
+oo
_ 00 f(x)cp(x)dx,
représente la masse totale lorsque l'on fait cp(x) = 1, c'est-à-dire
(!, 1) =
l
+oo
-oo f(x)dx,
mais cp(x) = 1 ~ V. Le moment d'inertie de cette répartition de masse par
rapport à l'origine s'écrit
(!, x 2 ) =
l
+oo
-oo f(x).x 2 dx,
mais alors cp( x) = x 2 ~ V.
Une distribution particulière peut admettre une extension à un espace plus
large que V. Nous allons définir une extension comme suit :
i) Soit T une distribution dont le support est compact. Soit e = C00 ,
l'espace des fonctions indéfiniment dérivables. D'après l'exemple 1.1.4, on sait
qu'on peut construire une fonction a EV égale à 1 sur un voisinage du supp T.
On sait aussi (exercice 1.6.5) que pour toute fonction cp E C, acp E V et dès
lors (T, acp) existe. Ce nombre est indépendant du choix de a. En effet, soit (3
une fonction de V égale à 1 sur un voisinage du supp T, on a (a - (3)cp EV
et supp (a -(3)cp C (supp T)c. Donc (T,acp) = (T,(3cp). On peut donc définir
une application
T: e ~ C, cp 1-----t (T, cp),
29
1.6. EXERCICES RÉSOLUS
en posant (T, <p) = (T, a<p), avec a E 'D et a= 1 sur un voisinage du supp T.
Cette définition étend la fonctionnelle T à l'espace e. On vérifie aisément que
la fonctionnelle T ainsi définie sur e est linéaire et continue. Pour la continuité
sure, on utilisera la définition de convergence suivante : une suite (cpk) de e
converge vers <p E e, si pour tout compact K et tout j E N, la suite (<p~))
converge uniformément sur K vers cpÜ). On notera &' (dual de &) l'ensemble
des distributions à support compact. C'est un sous-espace vectoriel de V'. On
démontre que l'espace des distributions à support compact e' est identique à
l'espace des fonctionnelles linéaires et continues sur e.
ii) Soit T une distribution dont le support n'est pas compact. Soit <p E
e une fonction telle que : supp <p n supp T est borné. En procédant comme
précédemment, on définit une extension de T à l'espace de ces fonctions <p
(espace plus large que 'D), en posant (T, cp) = (T, a<p), avec a E 'D valant 1 sur
un voisinage de supp <p n supp T.
Nous avons vu dans la section 1.3.3, que les mesures sont des distributions
particulières définies sur l'espace C des fonctions continues à support borné.
Un autre espace, fréquemment rencontré, est l'espace de Schwartz
S = {<p E C00 : \;/p,q E N,sup lxP<p(q)(x)I < oo},
xElR
formé par les fonctions <p à décroissance rapide. Autrement dit,
S = {cp E C00 : Vp, q EN, lim lxP<p(q)(x)I = 0},
lxl-+oo
ou, ce qui revient au même, S est l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables telles que : <p et toutes ses dérivées décroissent plus rapidement que
toute puissance de l~I quand !xi ---+ oo. Notons que S est un espace vectoriel
et que 'D c Sc C. L'espace S sera étudié en détail dans le chapitre des transformées de Fourier où on définira à cette occasion des distributions d'un type
particulier, appelés distributions tempérées.
1. 6
Exercices résolus
Exercice 1.6.1 1) Soit I un intervalle et f : I --+ IR. une fonction de classe
+ X E I' alors
cn+I. Montrer que si Xo et Xo
{formule de Taylor d'ordre n avec reste sous forme intégrale).
CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
30
2) Pour tout cp E 'D, on pose
n
cp(x) =
k
L ~! f(k)(o) + xn+lo(x), XE~*
k=O
et cp(n+l)(O) = (n + 1)!0(0).
a) Montrer que la fonction 0 est continue sur R
b) On suppose que supp cp c [-c, c], c >O. Montrer que
sup IO(x)I ~A sup lcp[n+l)(x)I,
xE[-c,c]
xE[-c,c]
où A> 0, est une constante.
Solution : 1) Sans restreindre la généralité, on peut supposer que xo = O.
D'après le théorème fondamental du calcul différentiel et intégral, on a
f(x) = f(O) +fox f'(u)du.
La formule d'intégration par parties, nous permet d'écrire
f(x) =
f(O) + [(u - x)f'(u)] 0- fox (u - x)J"(u)du,
f(O) + xf'(O) +fox (x - u)f"(u)du,
r
f(O) + xf'(O) - [(x - u) 2!"(o)] X+
(x - u) 2 f( 3 )(u)du,
2
lo
2
0
x2
1 rx
f(O) + xf'(O) + 2 f"(O) + '2 Jo (x - u) 2/< 3 )(u)du,
L ~k! f(k)(O) + -n!l
n
=
k
k=O
1
x
(x - u)n f(n+l)(u)du.
0
On va raisonner par récurrence. Pour n = 1, 2 la formule ci-dessus est satisfaite.
Supposons qu'elle est vraie à l'ordre n et montrons qu'elle est vraie à l'ordre
n+ 1. Comme
11x
(x- urf(n+l)(u)du
n! o
= _!_ (-[(x-u)n+l f(n+l)(u)]x + rx (x-ur+l f(n+2)(u)du)'
n+ 1
n!
=
X
n+l
(n+ 1)!
j<n+l)(O) +
11
0
1
(n+ 1)!
0
Jo
n+ 1
(x - ur+l j(n+ 2)(u)du,
31
1.6. EXERCICES RÉSOLUS
alors
n+l
f(x) =
k
X
L ~k! j<k)(O) + (n +1 1)! }f (x - u)(n+l) J<n+ )(u)du.
2
k=O
0
Pour obtenir la formule en question, il suffit de poser u = tx, d'où
11
tr
+
n+I k
n+I
f(x) = ~ ~ f(k)(o) + x
(n
L.J k!
k=O
1)! o
(1 -
JCn+I)(tx)dt.
2) a) Il suffit évidemment de montrer que limx-+O O(x) = 0(0). Comme
cp E 'D, alors d'après la question précédente, on a
et donc O(x) = ~ f01 cp(n+l)(tx)(l - trdt, xi- O. Dês lors,
lim O(x) =
X-+Ü
f 1 lim cp(n+l)(tx)(l - trdt,
n! lo X-+Ü
_.!._
_!_cpcn+i) (O) f 1 lim (1 - trdt,
n!
} 0 x-+O
1
=
(n+ 1)!
0(0).
cp(n+l)(o)
'
b) Pour x E [-c, c], x #- 0, on a
1
IO(x)I < _.!._ f 1cpCn+i)(tx)l(l - trdt,
n! lo
<
A
sup
lcp(n+l)(tx)I l\1- trdt,
n.
lo
xE[-c,c),x;éO
1
---,
sup
lcp(n+l)(x)I,
(n + 1). xE[-c,c),#0
< A sup lcp(n+l)(x)I,
xE[-c,c)
'
1
ou A= (
)'.Pour x = 0, on a
n+l.
0(0) =
1
1lcp(n+l)(O)I ~A sup lcp(n+l)(x)I.
(n + 1).
xE[-c,c)
32
CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
Exercice 1.6.2 Pour toute fonction cp E 'D, on considère une application sur
'D, en posant
Prouver que cette applicaton existe et qu'elle détermine une distribution sur R.
Quelle est son ordre ? On pourra utiliser le résultat suivant :
J~~
(t 1- n) = =
C
ln
0, 5772 ... (constante d'Euler).
k=l
Solution: Soit cp E 'D, on a d'après l'exercice 1.6.1 (avec n = 1),
cp(x) = cp(O) + xcp'(O) + x 28(x),
où 8 est continue sur R et supxEIR IB(x)I ~ AsupxEIR lcp"(x)I. Dès lors,
(T, <p) =
.U~'!
(t,
<p'(O)
.~ (t, ~ -Inn) + J~'! ~2 0
Ccp'(O) +
(<p(O) +
~<p'(O) + ~O m) -rnp(O) -<p'(O) ln n) ,
m,
kl~1! : 28 (1).
Comme lbB{!)I ~ bsupxeJRlcp"(x)I, et que E~ 1 k1-supxe1Rlcp"(x)I est une
série convergente, alors d'après le critère de comparaison, la série E~ 1 bB(Î)
converge aussi, donc limn-+oo E~=l
(i) existe et est finie. Donc,
bB
(T, cp) = Ccp'(O) +
1 (1)k '
L k28
OO
k=l
existe. L'application proposée est linéaire et en outre si [a, b] désigne un compact de R, alors
l(T, cp)I
=
ICcp'(O) +
1 (1)k 1,
L k28
OO
k=l
< C sup lcp'(x)I +
xE(a,b)
(f :
k=l
2)
A sup lcp"(x)I,
xE[a,b)
donc il s'agit bien d'une distribution. Son ordre est évidemment ~ 2.
1.6. EXERCICES RÉSOLUS
33
Exercice 1.6.3 Pour toute fonction cp E V et tout é > 0, on définit une
application sur V, appelée valeur principale de Cauchy, en posant
1
(vp -, cp) = vp
X
j+oo -cp(x)
d x = lim ( r-e cp(x) dx + l+oo cp(x) dx) '
_
X
1-oo X
e
X
ê--+Ü
00
lim
r cp(x) dx.
e--+0 llxl?.e
X
a) Montrer que cette application a bien un sens.
b) Montrer qu'elle est une distribution sur lR et déterminer son ordre.
Solution: a) Soit cp E 'D, on a d'après l'exercice 1.6.1 (avec n = 1),
cp(x) = cp(O) + xcp'(O) + x 2B(x),
où() est continue sur lR et supxEIR IB(x)I ~ AsupxEIR lcp"(x)I. On suppose que
supp cp c [-c, c] et on pose 'lj;(x) = cp'(O) + x()(x), d'où cp(x) = cp(O) + x'lj;(x),
avec 'lj; continue sur R On a
1
(vp -;;' cp)
vp
cp(x)
j-oo+oo --dx,
.
1lill
1
1
X
cp(x)d
-- X
e--+O e?.lxl?.e
.
1lIIl
ê--+Ü
X
'
cp(O) + x'lj;(x)d x,
e?. lxl ?.e
X
l~ ( {-e cp(O) dx +le cp(O) dx + {-e 'lj;(x)dx ++le 'lj;(x)dx) ,
e
0
1-:
1-e
e
X
1-e
X
e
'lj;(x)dx,
1
et l'application vp - a donc bien un sens.
X
1
b) L'application vp - est linéaire car si a, {3 E Cet cp1, cp2 E 'D, alors
X
.
1lill
1
e--+O lxl?.e
a lim
acp1(x)+f3cp2(x)dx,
X
r cpi(x) dx + lim r 'P2(x) dx,
{3
e--+O llxl?.e
e--+0 llxl?.e
X
1
1
X
X
= a(vp -, acp1) + {J(vp -, acp2).
X
CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
34
Montrons que l'application proposée est continue. Cela veut dire que si la suite
(cpk) converge dans 'D vers cp (c'est-à-dire supp 'Pk c [-c, c] et (cp~)) converge
")
1
1
uniformément vers cp (J ), alors (vp -, acpk) converge vers (vp -, acp). On a
X
l(vp
X
~,cpk) - (vp ~,cp)I =
l(vp
~,cpk - cp)I,
=
11:
('lfJk(x) - 'l/J(x))dxl,
<
l:
(d'après a)),
l'l/Jk(x) - 'l/J(x)ldx.
Or d'après le théorème des accroissements finis (si une fonction f est continue
sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[, alors il existe Ç E]a, b[ tel que: f(bt"=~(a) = f'(Ç)),
on a
'l/J(x) = cp(x) - cp(O) = cp'(Ç),
Ç E]O, x[.
X
En outre, l'l/J(x)I = lcp'(Ç)I ~ SUPxe[-c,c) lcp'(x)I, et par conséquent,
r
'Pk) - (vp .!, cp)I ~
sup lcpk(x)-cp'(x)I = 2 sup 1cpk(x)-cp'(x)1.
l(vp .!,
X
X
J_c xE[-c,c)
xE [-c,c)
Commelimk->oo (supxE[-c,c) lcpk(x) - cp'(x)I) = 0 (convergence uniforme), alors
(vp ~, cpk) converge vers (vp ~' cp). En conclusion, l'application proposée détermine une distribution sur lR et son ordre est ~ 1. Une autre méthode pour
montrer que vp ~ est une distribution, consiste à utiliser la proposition 1.2.2.
En effet, d'après la question a), on a (vp ~, cp) = f~c 'l/J(x)dx, et on sait que
l'l/J(x)I ~ supxE[-c,c) lcp'(x)I, donc
~ 2c sup lcp'(x)I,
l(vp .!,cp)I
X
xE[-c,c)
ce qui montre que vp ~ est une distribution d'ordre ~ 1.
Exercice 1.6.4 Soient f et g deux fonctions quelconques. Montrer que :
supp (fg) c supp f n supp g.
Solution : On considère les ensembles
A= {x: J(x) =/; O},
B = {x: g(x) =/; O},
An B = {x: (fg)(x) =/; O}.
Comme An B c A et An B c B, alors on a adh (An B) c adh A et
adh (An B) c adh B. Par conséquent, adh (An B) c adh An adh B, et le
résultat s'en déduit.
1.6. EXERCICES RÉSOLUS
35
Exercice 1.6.5 Soit f : ~ -----+ C, une fonction de classe C00 • Montrer que si
cp E 'D, alors f cp E 'D. Conclusion ?
Solution : Il est évident que fcp E C00 • En outre, on sait d'après l'exercice
précédent que supp (fcp) c supp f nsupp cp, donc supp (fcp) c supp cp, et par
conséquent fcp E 'D. L'espace 'D muni de la multiplication ordinaire est ainsi
un anneau.
Exercice 1.6.6 Montrer que seules les applications b) et d) déterminent des
distributions.
a) 'D 3 cp 1----+ (!, cp) =
fo lcp(x)ldx.
1
n
b) 'D 3cp1----+ (j,cp) = L'P(j)(O).
j=O
OO
c) 'D 3cp1----+ (f,cp) = L'P(i)(o).
j=O
OO
d) v 3 cp 1----+
u, cp) = L: cp(j) (j).
j=O
Solution : a) L'application en question ne détermine pas une distribution car
elle n'est pas linéaire.
b) L'application proposée est évidemment linéaire. Montrons qu'elle est
continue. Si la suite ('Pk) converge dans 'D vers cp, cela veut dire que tous
les supports des 'Pk sont contenus dans un même compact et que pour tout
j E N, la suite (cp~)) converge uniformément vers cp(j). Dès lors, la suite
(!, 'Pk) = Ej=o cp~) (0) converge vers Ej=o cp(j) (0) = (!, cp). Donc il s'agit bien
d'une distribution.
c) La série E~o cp(j)(O) peut ne pas converger puisque on ne sait rien sur
cp(j)(O). En effet, soit f E C00 telle que : f(O) i- 0 (par exemple f(x) = é 1}
D'après l'exemple 1.1.a (ou l'exercice 1.7.1), on peut toujours construire une
fonction 'ljJ E 'D telle que: 'l/J(x) = 1 surl'intervalle compact [-a, a]. La fonction
cp(x) = f(x)'ljJ(x) appartient à 'D et on a cp(i) = f(O) i- O. La série en question
diverge car la condition nécessaire de convergence n'est pas satisfaite. Par
conséquent, l'application proposée n'est pas une distribution.
d) Comme cp E 'D, on peut donc supposer que: supp cp c [-n, n]. Dans ce
cas, on a aussi su pp cp(j) C [-n, n]. Alors pour j <:J. [O, n] on a cp(j) (j) = 0 et par
conséquent (!, cp) = Ej=o cp(j) (j). Cette application est évidemment linéaire
et continue sur 'D. Donc elle détermine une distribution.
36
CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
Exercice 1.6.7 La fonction de Heaviside {dite échelon unité} est définie par
H(x) = { ~ si X> 0
si X< 0
et détermine une distribution notée H. Déterminer les intervalles de lR sur
lesquels les distributions H + ô et~ (peigne de Dirac} sont nulles.
Solution : Soit cp E V, on a
r+oo cp(x)dx + cp(O) = 0 sur] - oo, 0[.
(H + ô, cp) = (H, cp) + (ô, cp) = Jo
De même, on a
Exercice 1.6.8 Soit
1 sur {a}
f(x) = { 0 ailleurs,
la fonction caractéristique de {a} et soit f la distribution associée à cette fonction. Déterminer supp f(x) et supp f.
Solution: Il est évident que supp f(x) = {a}. Comme f est une distribution
régulière, on peut écrire
(!, cp) =
1
+00
_ 00 f(x)cp(x)dx.
En outre, f(x) est presque partout nulle et d'après Lebesgue (!, cp) = 0, donc
f = 0 et par conséquent supp f = 0.
Exercice 1.6.9 Soient cp EV et T une distribution. On suppose que les supports de Tet f sont disjoints. Montrer que : (T, cp) =O.
Solution : Soit n le plus grand ouvert où T = O. Son complémentaire ne est,
par définition, le support de T. Par hypothèse, supp T n supp cp = 0, donc
supp cp c n et dès lors (T, cp) = O.
Exercice 1.6.10 Démontrer que le support de la distribution vp ~ est JR.
1. 7. EXERCICES PROPOSÉS
37
Solution: Posons F = supp vp ~et désignons par pc le complémentaire de F.
Par définition, F est le plus petit fermé tel que : vp ~ est nulle dans pc. Cela
veut dire que : (vp ~' <p) = 0, pour toute fonction <p E 'D, ayant son support
dans Fe. Pour montrer que F =IR., on va raisonner par l'absurde. On suppose
que F n'est pas égal à IR. avec (vp ~' <p) = 0, pour toute fonction <p E 'D, ayant
son support dans pc # 0. On montre dans ce cas qu'on peut construire une
fonction 'l/J E 'D, ayant son support dans pc telle que (vp ~' 'l/J) = 0, ce qui
est absurde. En effet, on sait que pc # 0 et de plus pc est un ouvert de IR.,
donc tout élément a E pc est intérieur à Fe, c'es-à-dire il exister> 0 tel que :
[a-r,a+r] c Fe. En d'autres termes, pc est voisinage de a. Considérons une
fonction 'l/J E 'D, définie par 'l/J(x) = x<p(x) avec (voir exemple 1.1.3)
lx - al < r
lx - al 2 r
<p(x) = { e- r2-c!-aJ20 si
si
On a supp 'l/J = [a - r, a+ r] et
1 'l/J) = lim
(vp -,
X
e->O
1
lxl>e
'l/J(x)
d x = lim
X
e->O
1
lxl>e
<p(x)dx =
1a+r
a-r
<p(x)dx.
Puisque <p(x) > 0 sur ]a - r, a+ r[, alors (vp ~' 'l/J) est aussi > 0, ce qui est
contradictoire. Donc F = R
1. 7
Exercices proposés
Exercice 1. 7 .1 On considère les fonctions suivantes :
<p(x)={ e- 1 - "'2 silxl<l
0 si lxl 2 1
1
IT(x) = { 01 si lxl <
t
si lxl 2 2
La fonction IT(x) s'appelle ''fonction porte" (elle est couramment utilisée en
théorie du signal}. On sait, d'après l'exemple 1.1.3, que la fonction <p appartient
à V. Posons
<p(x)
<p(x)dx'
()- r~:
()X -
'l/Je(x) = ~() (~) ,
1) Exprimer <p(x) à l'aide de la fonction IT(x).
2) Etablir une relation simple entre 'l/Je(x) et IT(x).
3) Prouver que '!/Je EV et déterminer son support.
4) Calculer
j
+oo
-oo 'l/Je(x)dx.
é
> O.
CHAPITRE 1. DÉFINITIONS ET EXEMPLES
38
5) Soit f une fonction localement sommable à support borné. Montrer que
la fonction
Fë(x) =
j +oo f(x)'l/Je(x - y)dy,
-oo
appartient à V.
6) En déduire que si [a, b] est un compact quelconque de ~' alors il existe
une fonction <pe E 1) égale à 1 dans [a, b].
1
1
Réponse: On obtient 1) cp(x) = II(~)e-1-:1: 2 • 2) 1/Je(x) = ~Il(~)e-i-x 2 te 2 •
3) <p (~) E C00 et supp <p (~) = [-t:,t:], donc 1/Je(x) EV, supp 1/Je(x) = [-t:,é].
4) r~:: 1/Je(x)dx = 1.
Exercice 1.7.2 Déterminer le support de la distribution T de l'exercice 1.6.2,
ainsi que celui de la distribution S = a8a + f38b où a et /3 sont des constantes.
Réponse: supp T = {O, 1,
!, -!, ... }, supp S ={a, b}.
Exercice 1. 7.3 Pour toute fonction <p E V, on définit une application T sur
V, en posant
(T, cp) = lim (1-e f(x)cp(x) dx +
e-+0
-OO
X
1+00 f(x)cp(x) dx) '
e
X
où f est une fonction localement sommable. Prouver que T est une distribution.
Exercice 1.7.4 Montrer que la distribution de Dirac ne peut etre associée à
une fonction localement sommable.
Indication : Soit f(x) une fonction localement sommable et f la distribution
qui lui est associée. On peut raisonner par l'absurde en supposant que f = 8.
On construit une fonction <p E 1) de telle façon que : (8, cp) = cp(O) -j. 0 et
(!, cp) = J~;: f(x)cp(x)dx = 0, ce qui est absurde.
Exercice 1.7.5 Soit H la distribution d'Heaviside et Pf H~x) la distribution
définie par
(Pf H(x), cp) = lim
X
e-+0
(i+oo cp(x)cp(x) dx + cp(O) lnê) ,
e
X
où <p EV. Déterminer les supports des distributions H, H~x) et Pf H~x).
Réponse: Tous les supports sont égaux à [O, +oo[.
1. 7. EXERCICES PROPOSÉS
39
Exercice 1.7.6 Soit x =(xi, ... ,xn) E ~n, r = Jx~ + · · · + x~. On pose
_ { e - oe2°~'r 2
'Pa ( X) 0
si r < a
sir~a
et on désigne par C l'espace des fonctions continues à support borné.
1) Soit f E C. Montrer que la fonction
fa(X) = {
}JR.n
J(t)cpa(X - t)dt,
appartient à V.
2) En posant
9a(x) =
fa(x)
fixl~a 'Pa(x)dx
,
et en remarquant d'après la question précédente que 9a EV, montrer que toute
fonction de C, peut étre approchée uniformément par une fonction de V {théorème d'approximation de Weierstrass).
Exercice 1.7.7 Soient Ti et T2 deux distributions. Montrer que:
supp (Ti + T2) C supp Ti U supp T2.
Exercice 1.7.8 On considère l'application
r)() X
1
cp f----+ r(a) lo
a-i
(
)d
cp X X,
où cp E V, a E C, Re a > 0 et r(a) = f 000 e-tta-idt est la fonction gamma
d'Euler. Montrer que cette application détermine une distribution et calculer
sa valeur pour a= -k où k EN.
Réponse : ô(k).
Exercice 1. 7.9 a) On considère la fonction définie par
X0t = { X0t
+
0
si X > Ü
six~O
où a E C et Re a > -1. Montrer que cette fonction détermine une distribution
sur~.
b) On suppose maintenant que: -2 <a< -1. La fonction définie ci-dessus
n'étant pas intégrable sur [-1, 1], on lui associe une application notée Pf x+. en
posant
(Pj x+, cp) =-JO
xa+ilcp1(x)dx = lim ( {
X0tcp(x)dx + g0t+llcp(e)) .
e--+O Jlxl~e
a+
-oo a+
Montrer que cette application détermine une distribution.
Chapitre 2
Dérivation des distributions
Introduction
Dans ce chapitre on définit la dérivée au sens des distributions et on montre
que les distributions sont indéfiniment dérivables et que leurs dérivées successives sont aussi des distributions. L'un des avantages de la théorie des distributions est que (contrairement aux fonctions quelconques) toute distribution
peut être dérivée autant de fois qu'on le veut. C'est là un résultat essentiel des
distributions et c'est pour l'obtenir que nous avons exigé que les fonctions de
l'espace 1J soient elles mêmes indéfiniment dérivables. Nous avons montré dans
le chapitre précédent, que toute fonction localement sommable détermine une
distribution, on peut donc lui associer une dérivée au sens des distributions,
qui est aussi une distribution mais pas forcément une fonction. Les distributions sont utilisées un peu partout dans les disciplines faisant appel au calcul
différentiel car elles sont toujours dérivables alors que les dérivées au sens usuel
n'existent pas toujours. Ensuite on introduit la notion de primitive d'une distribution et on verra au chapitre 3, que toute disribution possède une infinité
de primitives ne différant que par une constante. La fonction d'Heaviside H(x)
nulle pour x < 0 et égale à 1 pour x ~ 0, a pour dérivée la mesure de ô de
Dirac. La discontinuité que présente H(x) à l'origine apparaît dans la dérivée
de la distribution associée, sous la forme d'une masse (+1) ponctuelle placée
à l'origine. Plus généralement, on montre que les sauts que subit une fonction
en ses points de discontinuités apparaîssent dans la distribution dérivée sous
forme de masses ponctuelles placées aux points de discontinuités. La dérivée de
la distribution de Dirac représente ce qu'on appelle en physique un "doublet".
De nombreux exercices importants sont étudiés : valeur principale de Cauchy, parties finies de Hadamard, opérateur de Laplace, opérateur des ondes,
opérateur de Cauchy-Riemann, Noyau de Gauss, équation de la chaleur, etc.
CHAPITRE 2. DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
42
2.1
Définition et propriétés
Soit f une fonction de classe C1 . En faisant une intégration par parties, on
obtient immédiatement
l
+oo
(!', cp) = _00 f'(x)cp(x)dx = -(!, cp'),
cp E 1J
car cp{±oo) =O. On est donc conduit à la définition générale suivante :
Définition 2.1.1 On appelle dérivée T' d'une distribution T, la fonctionnelle
définie par la relation
(T', cp) = -(T, cp'),
cp E 1J
Proposition 2.1.2 Toute distribution admet des dérivées de tout ordre qui
sont aussi des distributions.
Démonstration : Soient Tune distribution et cp E 7J. On a par définition,
(T',cp) = -(T,cp'),
(T",cp) = -(T',cp') = (T,cp"), ... (T(j),cp) = {-l)i(T,cp(j)),
où cp', cp", ... ,cpU) existent car cp E C00 • Montrons maintenant que T(j) est une
distribution. Elle est linéaire : soient <p1, <p2 E 1J et a, f3 E C, on a
(T(j), acp1 + f3cp2) = a(T(i), cp1) + f3(T(j), cp2).
Pour établir la continuité de T(j), on suppose que la suite (cpk) converge dans
1J vers cp. Alors, par définition, (cp~)) converge uniformément vers cp(j) et par
conséquent
converge vers
{-l)i(T,cp(j)) = (T(j) 1 cp),
ce qui achève la démonstration. D
Remarque 2.1.1 Soient TE 7J' et g E C00 • On montre (voir chapitre 3} que :
(gT)' = g'T + gT' et (voir chapitre 4) T(x+hz-r(x) tend vers T' lorsque h ---+ O.
Définition 2.1.3 On dit qu'une distribution Test primitive d'une distribution
S si et seulement si T' = S.
Remarque 2.1.2 On montrera au chapitre 3, que les seules solutions de l'équation différentielle T' = 0 sont les constantes. Ceci nous permettra d'en déduire
que toute distribution possède une infinité de primitives ne différant que par
une constante.
2.2. EXEMPLES
43
2.2
Exemples
2.2.1
Dérivée de la fonction d'Heaviside
Rappelons que la fonction d'Heaviside (dite échelon unité) est définie par
H(x) = { 0 s~ x < 0
1 s1x>O
et détermine une distribution notée H. Au sens des fonctions, la dérivée de
H(x) n'existe pas au point x = O. Mais au sens des distributions, on a pour
cp E 'D,
r+oo cp'(x)dx = cp(O) = (8, cp},
(H', cp} = -(H, cp'}, = - Jo
car cp( +oo) = O. Par conséquent, H' = 8, c'est-à-dire la distribution H a
pour dérivée la distribution de Dirac. La discontinuité que représente H(x) à
l'origine apparaît dans la dérivée de la distribution associée, sous la forme d'une
masse (+1) ponctuelle placée à l'origine. Remarquons qu'il n'est pas nécessaire
de préciser la valeur de H(x) pour x = 0, qui est un ensemble de mesure nulle.
Par réitérations, on obtient
H(m+l) = 8(m),
2.2.2
m E N.
Dérivée de la distribution de Dirac
On a
(8',cp} = -(8,cp'} = -cp'(O).
En général, on a
Soient -~ et ~ deux masses placées respectivement aux points a et a+ ë.
Lorsque ë --+ 0, on obtient un doublet. Il sera représenté par la dérivée de
la distribution de Dirac au point a. En effet, la distribution définie par cette
répartition est
et
k
k
k
k
cp( a + ë) - cp( a)
ê
ê
ê
ê
ê
(Te, cp} = -(8a+e 1 cp} - -(8a, cp = -cp(a + ë) - -cp(a) = k
.
44
CHAPITRE 2. DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
Si cp(x) = 1, on retrouve la masse totale, c'est-à-dire zéro. Si cp(x) = x 2 ,
on retrouve le moment d'inertie de cette distribution, c'est-à-dire k(c + 2a).
Lorsque c--+ 0, on a
. (T.g 1 cp ) -- k l'lm cp(a + c) - cp(a) -- k(i:ua, cp') -- -k(i:'
1lm
ua, cp ) ,
ê~O
2.2.3
ê~O
é
Dérivée d'une fonction discontinue
Soit f(x) une fonction de classe C1 pour X < 0 et X > 0, mais présentant
une discontinuité de première espèce en x = 0, c'est-à-dire les limites
f(o+) = lim f(x),
x~o+
f(o-) = lim f(x),
x~o-
existent et sont distinctes. Au point x = 0, la fonction f subit un saut ao,
c'est-à-dire ao = J(o+) - f(o-). On désigne par f la distribution associée à
f(x), par f' la dérivée de cette distribution et par {f'} la distribution associée
à la dérivée usuelle de f(x) pour x < 0 et x > 0 et qui n'est pas définie pour
x =O. On a
(!', cp) =
=
-(!, cp'),
-1-:
00
f(x)cp(x)dx,
=
-1-~ f(x)cp(x)dx - fo+oo J(x)cp(x)dx,
=
-
f(x)cp(x)l~oo + 1-~ J'(x)cp(x)dx
- f(x)cp(x)lri 00 +
fo+oo f'(x)cp(x)dx,
= (f(o+) - f(o-))cp(O) +
-
1:
00
f'(x)cp(x)dx,
ao(ô,cp) + ({f'},cp).
Par conséquent, on a
f' = {!'} + aoô.
Le saut ao de f apparaît, dans la distribution dérivée, sous forme d'une masse
ponctuelle ao au point de discontinuité. En prenant f = H, ao = 1, {!'} = 0,
on retrouve le résultat précédent, c'est-à-dire H' = ô.
2.3. EXTENSION AU CAS DE PLUSIEURS VARIABLES
45
Supposons que f(x) soit une fonction indéfiniment dérivable. En désignant
par u1, u2, ... , les sauts respectifs de f'(x), f"(x), ... , à l'origine, on aura en
dérivant à nouveau :
!"
{!"} + uoô' + u1 ô,
où j(m) désigne les dérivées successives de la distribution f et {f(m)} désigne
les distributions associées aux dérivées usuelles de f(x) pour x < 0 et x > 0
et qui ne sont pas définies pour x = O. Plus généralement, si f(x) admet des
discontinuités aux points ai, a2, ... , avec des sauts respectifs r1, r2, ... , on aura
J' = {J'} + L TkÔak •
k
2.3
Extension au cas de plusieurs variables
Dans le cas de plusieurs variables, on définit la dérivée ~ d'une distribution T, par
\;~,~) = -\T, ;~),
i = 1,2, ... ,m.
On a
où~ ( xi, x2, ... , Xm ) E COO , donc ~
axiax; = ~
ax;axi, et par conséquent
Plus généralement, on a
k
ak1 ak2
ôkm
ak1 +k2+ .. ·+km
D - - - - - ... - - - -~~--__,..- ôx~ 1 . ax;2 ôx~ - ôx~ 1 ax;2 ... ôx~m .
2.4
Exercices résolus
Exercice 2.4.1 Dériver au sens des distributions les fonctions suivantes :
a) sgn(x) = 1:1 (fonction signe)
b) f(x) = X[-!,!l(x) c'est-à-dire la fonction caractéristique de[-!, !Légale
à 1 si x E
et à 0 sinon.
[-!, ! ]
Solution: a) On a
-1
1
sgn(x) = {
si X< Ü
si X> Ü
Soit cp E 'D, on a
(sgn', cp)
-(sgn, cp'),
- I:oo sgn(x)cp'(x)dx,
- [~ cp'(x)dx - fo+oo cp'(x)dx,
=
=
2cp(O),
2(ô,cp),
d'où sgn' = 2ô. Une méthode rapide consiste à utiliser la formule établie dans
la section 2.3. En effet, la fonction sgn(x) subit un saut uo = 2 et sa dérivée
au sens des fonctions vaut O. Donc
sgn' = {sgn}' + uoô' = 2ô'.
b) On a
f(x) = {
Soit cp E 'D, on a
(!'' cp)
~
t
si !xi<
si lxl > 2
47
2.4. EXERCICES RÉSOLUS
d'où f' = c5_1 -c51 = ô(x+ ~)-ô(x- ~).Comme dans la question précédente,
2
2
on peut utiliser la formule établie dans la section 2.3. En effet, la fonction f(x)
admet deux discontinuités aux points - ~ et ~ avec des sauts respectifs r _ 1 = 1
2
et n = -1. Sa dérivée au sens des fonctions est nulle. Donc
2
f 1 = {J}' + T_1Ô_1
+ TlÔl
= Ô_l - Ô1.
2
2
2 2
2
2
Exercice 2.4.2 Soit vp ~ la distribution (voir exercice 1.6.3} définie par
(vp
.!., cp) = lim
X
e--+O
(1-e cp(x) dx +le cp(x) dx) , cp EV.
X
-OO
e
X
1) Calculer au sens des distributions
a) (vp l)'.
b) (vp
2) Pour tout cp EV, on pose
!Y'.
(Pf 12 , cp) = lim ( {
X
e--+0
Jlxl>e
(Pf 13 , cp) = lim ( {
X
e--+0
Jlxl>e
cp(~) dx - 2cp{O) dx) ,
ê
X
cp(~) dx - 2 c,o'{O) dx) ,
ê
X
Le symbole Pf · · · désigne la partie finie de · · ·
a) Chercher une relation simple entre Pf -J.x et ( vp ~ )' ainsi qu 'entre Pf -:S
et (vp ~)''.
b) Les applications Pf -J.x et Pf -:S sont-elles des distributions sur lR ?
Justifier la réponse.
Solution : 1) a) On a
1
({vp x)',c,o)
-(vp .!., c,o'),
X
=
- lim
e--+0
= - lim
e--+O
r cp'(x) dx
Jlxl>e
X
-OO
X
'
(1-e cp'(x) dx + 100 cp'(x) dx) '
e
X
En effectuant une intégration par parties, on obtient
({vp .!. )', cp) = - lim (- cp(-ê) + cp(ê) +
X
e--+0
ê
r cp(~) dx) .
Jlxl>e
X
Or d'après l'exercice 1.6.1, on a
d'où
lim cp(-t:) + cp(t:) = lim {2 cp(O) + t:(O(t:) + 0(-t:))} = 2 lim cp(O).
e-+0
e-+O
é
e-+0
é
é
Par conséquent,
f
((vp .!. )', cp) = lim (2 cp(O) e-+O
X
Jlxl>e
é
cp(~) dx) .
X
b) On a
((vp .!.y',cp) = -((vp .!.)',cp') = lim (-2cp'(O) + f
cp'(:) dx),
X
X
e-+O
é
ljxj>e X
d'après la question précédente. Puisque
f
cp'(x) dx Jlxl>e ~
-
1
-e cp'(x)
-oo
cp(~)
X
=
-
X
2-dx+
100 -cp'(x)-dx,
e
X
2
,-e + 2j-e cp~x) dx + cp(~) loo + 2foo cp(~) dx),
-OO
-OO
X
2
cp(-t:)-cp(t:)+21
é
2
lxl>e
e
X
e
X
cp(x)dx
X
3
'
alors
Or d'après l'exercice 1.6.1, on a
d'où
lim cp(-t:) + cp(t:) = lim {-2 cp(O) - t:(O(-t:) + O(t:))} = -2 lim cp'(O).
e-+0
t: 2
e-+0
é
e-+0
é
2.4. EXERCICES RÉSOLUS
49
Par conséquent,
((vp _! )'', cp) =
X
2 (-2 cp'(O) + {
lim
e--+O
Jlxl>e
ê
cp(~) dx) .
X
2) a) On déduit immédiatement de 1) que
1 = - (vp -1 )' ,
Pfx2
X
2Pf ~ = (vp _! )".
x3
X
b) Une distribution étant toujours dérivable, on déduit de a) que Pf ~et Pf ~
sont aussi des distributions.
Exercice 2.4.3 Exprimer les applications b) et d) de l'exercice 1.6.6 en fonction de la distribution de Dirac
Solution : Pour b), on a
n
n
n
(J,cp) = L'P(j)(o) = L(ô,cp(j)) = L(-1)i(ô(j),cp),
j=O
j=O
j=O
et par conséquent,
n
f = L(-1)iô(j).
j=O
De même, pour d), on a
OO
OO
OO
(J,cp) = L'P(j)(j) = L(ôj,cp(j)) = L(-1)i(ô)j),cp),
j=O
j=O
j=O
et donc
OO
f = L(-1)iô)i).
j=O
Exercice 2.4.4 Montrer que la fonction ln lxl détermine une distribution sur
lR et prouver qu'au sens des distributions
(ln lxl)' = vp .!.
X
Solution : La fonction ln lxl définit une distribution sur lR car elle est localement
sommable. En effet, la fonction ln lxl est continue sur JR*, donc localement
CHAPITRE 2. DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
50
sommable. En outre, dans un voisinage de 0 par exemple J - 1, 1[, l'intégrale
f ~ 1 l ln lxl ldx est convergente : on a
1
1
1
lim
lnxdx = -1,
lof 1nxdx = e-+O
e
donc J01 lnxdx existe. Même argument pour J~ 1 ln(-x)dx. (Une autre méthode : la fonction ln lxl, xi= 0, est localement sommable dans lR car dans un
voisinage de 0, on al ln lxll ::;
pour 0 <a< 1). La dérivée de ln lxl, au sens
des fonctions, n'est pas localement sommable. Mais au sens des distributions,
on a
JXf-,
((lnlxl)',<p)
<p E 1J
-(lnlxl,<p'),
-I:oo ln lxl<p'(x)dx,
-
- lim
ê-+0
(1-e
ln(-x)<p1(x)dx +
-OO
- lim (1n(-x)<p(x)C~
e-+0
l+oo lnx<p (x)dx),
-1-e00
<p(x) dx
_
+ lnx<p(x)l;-00 =
1
ê
X
l+oo <p~) dx),
lim(<p(ê) - <p(-ê)) lnê
e-+0
+ lim
e-+0
(1-e00
_
<p( x) dx + 1+00 <p( x) dx) .
X
e
X
Comme (voir exercice 1.6.1),
<p(ê) = <p(O) + ê<p1(0) + ê 2 0(ê),
alors lime-+O (<p(ê) - <p( -ê)) ln ê = 0, et par conséquent
((ln lxl)', <p) = (vp !, <p).
X
Exercice 2.4.5 Soit T(n) la dérivée nième d'une distribution arbitraire T.
Montrer que supp T(n) c supp T. La réciproque est-elle vraie? Justifier la
réponse.
Solution: Soient n le plus grand ouvert où T = 0 et W le plus grand ouvert où
=ne et supp T(n) = we. Puisque T = 0
sur 0, alors T(n) = 0 sur n. Dès lors, W :::>net par conséquent we c ne. La
réciproque est fausse. En effet, considérons la distribution T =constante. On
a supp T = lR alors que supp T(n) = 0.
T(n) =O. Par définition, on a supp T
51
2.4. EXERCICES RÉSOLUS
Exercice 2.4.6 Calculer au sens des distributions, les dérivées successives de
la fonction lxl.
Solution: Posons y= lxl. On a
si X> 0
six<O'
y={ -xX
Si X> 0
si X< 0
/ { -1
y=
1
Au point x = 0, la fonction y' est discontinue et subit un saut u1 = 2. On a
y"= {y"}+ uo8' + u18 = 28,
y( 3 ) = 281, ... , y(n) = 28(n- 2), n ~ 2
On obtient immédiatement ce résultat en utilisant la formule (voir section 2.3) :
Ici {y(n)} = 0, 0'1 = 2 et O"Q = 0'2 = 0"3 = ... = O'n =o.
Exercice 2.4.7 Soient H(x) la fonction d'Heaviside, a et w des constantes
réelles. Prouver, au sens des distributions, les relations suivantes :
a) (fx - a) H(x)eax = 8.
2) H(x)
d2 +
b) ( dX1
w
sinwx
w
= 8.
Solution : a) Soit cp E 7J. On a
\ (d~ - a) H(x)eax,cp)
=
\d~H(x)eax,cp ) - a(H(x)eax,cp),
1:
= -(H(x)eax, cp') - a(H(x)eax, cp},
=
-1-:
00
H(x)eaxcp'(x)dx - a
00
H(x)eaxcp(x)dx,
Or
donc
\ (d~ - a) H(x)eax,cp) = cp(O) = (8,cp),
52
CHAPITRE 2. DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
(d!: -
d'où
a) H(x)eax = ô. On peut retrouver le même résultat, en procédant
comme suit,
b) Soit cp EV. On a
)
2) H(x) sinwx
( ( .!___
,cp
d 2 +w
X
=(
W
H(x) sinwx
)
.
w
,cp" +w(H(x)smwx,cp),
00
sin wx
+ w 1+ sinwxcp(x)dx,
1+00 --cp"(x)dx
w
sinwx
l+oo - 1+00 coswxcp'(x)dx + w 1+00 sinwxcp(x)dx,
= --cp'(x)
=
0
0
w
0
0
0
r+oo
r+oo
= - Jo
coswxcp'(x)dx + w Jo
sinwxcp(x)dx,
r+oo
r+oo
= - coswxcp(x)lci00 - w Jo
sinwxcp(x)dx + w Jo
sinwxcp(x)dx,
= cp(O),
= (ô, cp),
d2
2 ) H(x) sinwx
d'où ( d 2 + w
= ô. On peut retrouver le même résultat, en
X
W
procédant comme suit,
2
( dd 2+w 2 ) H(x) sinwx
X
W
2
) .
=dd 2 (H(x) sinwx) +w H( xsmwx,
X
W
d (H'(x) sinwx
)
.
= dx
w
+H(x)coswx +wH(x)smwx,
=
d~ ( ô si:wx + H(x) coswx) + wH(x) sinwx,
=
d~ (H(x) coswx) + wH(x) sinwx,
= H'(x) coswx - wH(x) sinwx + wH(x) sinwx,
= ôcoswx,
=Ô.
2.4. EXERCICES RÉSOLUS
53
Exercice 2.4.8 Soit u(x, t) la fonction définie dans Il~.2 par
u(x, t) = { a si. t 2 - x 2 2: 0, t 2: 0,
0 ailleurs,
a) Montrer que u(x, t) définit une distribution dans IR. 2 et déterminer son
support.
.
l'expression
. ( Ft:I
a2 - &è1
a2 ) u, Ft:I
a2 - &è1
a2
. 'b utions,
b) Calculer, au sens des distri
étant l'opérateur des ondes.
c) Déterminer a de façon que u(x, t) soit solution de l'équation suivante :
où v est une constante positive et ô = ô(x, t) la distribution de Dirac.
Solution : a) La fonction u(x, t) définit une distribution dans IR. 2 car elle est
localement sommable. Le support de u(x, t) est le cône : t 2 - x 2 2: 0, t 2: O.
b) Soit cp E V(IR. 2 ), alors par définition
On a
j +oo j+oo u(x, t) â2cp
â dxdt,
( u, â2cp)
ât2
-OO
=
t
-OO
2
j +oo (l+oo a â2cp
â 2 dt ) dx,
lxl
t
+oo -âcp (x, t) +oo dx,
aj
-OO
1
-OO
8
t
lxl
+oo -âcp (x, lxl)dx,
= -a j
-OO
8t
-a
(1-~ ~~ (x, -x)dx + fo+oo ~~ (x, x)dx) ,
-a
r+oo âcp
)
(lar+oo âcp
ât (-x, x)dx +la
ât (x, x)dx .
CHAPITRE 2. DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
54
De même, on a
/ a2 )
\ u, âx~
=
=
j+oo j+oo
8
2cp
-oo -oo u(x, t) âx2
dxdt,
r+oo (lt-ta a2cp
)
Jo
âx2 dx dt,
r+oo âcp lt
a Jo
âx (x, t) x=-t dt,
( âcp
Ôcp
)
ajr+oo
âx(t,t)- 8 x(-t,t) dt.
0
Dès lors,
Or
dcp(x, t) =
dcp(-x, t) =
âcp
âcp
âx (x, t)dx + ât (x, t)dt,
Ôcp
Ôcp
- âx (-x, t)dx + ât (-x, t)dt,
et pour x = t = s, on a
dcp(s, s)
dcp(-s, s) =
âcp
âcp
âx (s, s)dx + ât (s, s)dt,
âcp
Ôcp
- âx (-s, s)dx + ât (-s, s)dt.
Donc
( ~:~ - ~:~, cp) = -a
=
fo+oo dcp(s, s) - a fo+oo dcp(-s, s),
2acp(O, 0),
2a(ô, cp},
et par conséquent
ô = ô(x, t).
2.4. EXERCICES RÉSOLUS
55
c) En remplaçant t par vt dans l'équation précédente, on obtient
1 â2u
â2 u
2aô(x, vt),
=
2a
= -ô(x,t).
V
Donc pour satisfaire à l'équation proposée, on doit avoir a= ~·
Exercice 2.4.9 Soit Pf ~C.:) la distribution définie par
\
Pf H(x), cp) = lim
xk
e-+O
{i+oo cp(x)
dx +A},
xk
ê
où
k-1 cp(i-1) (0)
1
cp(k-1) (0)
A = - ~ (i - 1) ! . (k - i)ck-i + (k - 1) ! ln c'
-
et H(x) est la fonction d'Heaviside, cp EV et k EN*. Etablir la relation
(Pf
~~))' = -kPf ~~; + (-l)kô~:).
Solution: Soit cp E 'D. On a
\ ( Pf
~~) )' , cp) = - \ Pf ~~) , cp x)) = - !~ {1+oo cp~~) dx + B} ,
1
(
où
-
k-1 cp(i) (0)
cp(k) (0)
1
B = - ~ (i - 1) ! . ( k - i ) é k - i. + (k - 1)'. lnc.
f=t.
En faisant une intégration par parties, on obtient
\ (
Pf H(x))', cp) = - lim {- cp(c) + k
xk
e-+O
ck
1+oo xk+
cp(x) dx + n}.
ê
1
En remplaçant cp par l'expression (voir exercice 1.6.1),
lim O(c) = cp
e-+0
(k) (0)
k!
,
un calcul direct montre que :
\ ( Pf
d'où le résultat.
~~) )', cp) = -k \ Pf ~~;, cp) + (-k~)k ( ô(k), cp) ,
CHAPITRE 2. DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
56
Exercice 2.4.10 Soit z = x + iy E C et ~ =
! ( fx + ify), l'opérateur de
Cauchy-Riemann. Calculer, au sens des distributions, l'expression~ (i).
i
Solution : La fonction = x~iy est une distribution sur R. 2 car elle est localement sommable. Soit cp(x, y) E V(R. 2 ). On a, par définition,
j â
\âz
(1)
) j 1 âcp) l+oo l+oo 1 1(âcp ,Ôcp)
; ,cp = -\;' âz = - _00 _00 x+iy'2 âx +i ây ·
Pour calculer cette intégrale double, on va utiliser le théorème du changement
de variables et par la suite le théorème de Fubini. En coordonnées polaires
x = rcosfJ, y= rsinO, 0 < r < +oo, 0 < (J < 271", on sait que les opérateurs:
-/y, et f0 sont liés par les équations
fx,
fr
â
â
l.
â
âx = cos (J âr - sm (J â(J,
r
â.
â
1
â
ây = sm (J âr + cos (J â(J .
r
Posons 'lfJ(r,O) = cp(rcosfJ,rsinfJ). L'intégrale précédente s'écrit (en tenant
compte du fait que le jacobien de la transformation est r) sous la forme
21f1+00 (â'-l/J + -i â'-l/J) drdfJ
--11
2
âr
râfJ
'
0
0
1121f 1+00 -drdfJâ'lfJ
1â'lfJ
-i 121f 1+00 --drdfJ
âr
2
râfJ
'
1 {21f
i r+oo 1
= "2Jo 'lfJ(O,fJ)dfJ-"2Jo
;:-('l/J(r,27r)-'l/J(r,O))dr,
1 {21f
=
=
=
-2 0
0
2 Jo
cp(O, O)dfJ,
0
0
7rcp(O, 0),
7r(ô,cp).
Finalement
:z (~)
= 11"0.
Exercice 2.4.11 Montrer qu'au sens des distributions,
(H(x) lnx)' = Pf H(x),
X
où H(x) est la fonction d'Heaviside et Pf H~x) la distribution définie par
(Pf H(x), cp) =
x
pour tout cp E V.
lim (l+oo
cp(x) dx + cp(O) lne) ,
e
x
e~o
2.4. EXERCICES RÉSOLUS
57
Solution : Soit r.p EV. On a
((H(x) lnx)', r.p) =
-(H(x) lnx, r.p'(x)),
-fo lnx.r.p'(x)dx,
00
- lim
f
00
lnx.r.p'(x)dx,
e-->O le
- lim {r.p(x) lnxl~ e-->O
f
lim {r.p(ê) lnê +
e-->O
00
f
00
r.p(x) dx}'
le
X
r.p(x) dx}.
le
X
Comme r.p EV, on a d'après l'exercice 1.6.1, r.p(ê) = r.p(O) +Er.p'(O) +E 2 0(ê), où
0 est continue sur R On pose 'l/J(ê) = r.p'(O) +êO(ê), d'où r.p(ê) = r.p(O) +ê'l/J(ê),
avec 'ljJ continue sur R On a
lim r.p(ê) ln ê = lim( r.p(O) + ê'l/J(ê)) ln ê = r.p(O) lim ln ê,
e-->0
e-->O
e-->O
et par conséquent
((H(x) ln x )', r.p) = lim {r.p(O) lnê +
e-->O
f
00
r.p(x) dx} = j Pf H(x), r.p) .
le
X
\
Exercice 2.4.12 Soient r.p EV et x ER On pose D =
(T, r.p) =
X
--fl.x + 4d~' et
a
r+oo
J_-oo
f(x)r.p(x)dx +la
g(x)r.p(x)dx,
où a est une constante, f et g sont deux fonctions de classe C2 vérifiant les
conditions: Df(x) = Dg(x) = 0, f(a) - g(a) = 1, f'(a) - g'(a) = 5. Montrer
qu'au sens des distributions DT = ô~ + Ôa.
Solution : Soit r.p EV. On a
(DT,r.p) = (-T" +4T',r.p) = (-T",r.p) +4(T',r.p).
En utilisant deux fois la formule d'intégration par parties, on obtient
(T, r.p")
1-:
f(x)r.p"(x)dx +
1
00
g(x)r.p"(x)dx,
(f(a) - g(a))r.p'(a) - (f'(a) - g'(a))r.p(a)
+
1-:
f"(x)r.p(x)dx +
1-:
g"(x)r.p(x)dx.
CHAPITRE 2. DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
58
De même, on a
(T, <p1 )
1_:
f(x)<p'(x)dx +
1
(!(a) - g(a))<p(a) -
=
00
g(x)<p'(x)dx,
1_:
J'(x)<p(x)dx
-1
00
g'(x)<p(x)dx.
D'où
(g(a) - f(a))(<p'(a) + 4<p(a)) +(!'(a) - g'(a))<p(a)
(DT, <p) =
+
1_:
Df(x)<p(x)dx +
1
00
Dg(x)<p(x)dx.
On a donc, en utilisant les conditions mentionnées dans l'énoncé,
(DT, <p) = -<p'(a) + <p(a) = -(8a, <p1) + (8a, <p) = (8~ + 8a, <p),
d'où le résultat.
Exercice 2.4.13 Soit <p E V, une fonction quelconque. On considére une
sphère S de centre 0, de rayon <p = r et un volume V de R 3 défini par
0 < <p < r < a < oo, où a est choisi assez grand pour que <p et ses dérivées partielles soient nulles pour r =a. Désignons par n la normale (positive)
à S dirigée vers l'intérieur de V, par dS un élément d'aire de S et par fn la
dérivée normale. Calculer dans R 3 , le laplacien de la distribution f associée à
la fonction f(x, y, z) = ~ où r = Jx 2 + y 2 + z 2 . Montrer que :
a) (!l.f, <p) = lim J J fr>p f Â<pdxdydz.
p-+O
lim-P1
b) p-+0
J fr=p ~dS =O.
c) lim -:1- J fr=p <pdS = 471" (8, <p).
p-+OP
d) Montrer qu'en appliquant la formule de Green :
!! Jf
p(r(a
(f!l.<p-<p!l.J) dV =
11
r=p
(<pa8f - f8a<p) dS,
n
n
il vient  ~ = -471"8.
Solution : Montrons tout d'abord qu'au sens des fonctions, on a sur R 3 \ {O},
Âf = O. En effet,
a21 a 21 a 21
8x 2 + 8y 2 + 8z 2 '
!l.f
( - rl3 + 3 :: ) + ( - :3 + 3
3
=
3
-3+
r
x2 + y2 + z2
= 0 sur R 3 \{0}.
r5
'
~:) + ( - rl3 + 3 ;: ) '
2.4. EXERCICES RÉSOLUS
59
a) Comme f = ~ est une fonction localement sommable, elle définit donc une
distribution. On a, au sens des distributions,
(b..f, cp) = (!, b..cp) =
b) On a
JJr f
}JR.3
b..cpdxdydz = lim
p-+0
1
JJ1 f
r>p
b..cpdxdydz.
1
acp dsj < ! f
lacpjds.
l!f
p
r=p ân
- p
r=p ân
Or ~ est bornée, donc il existe une constante M > 0 telle que : 1~ 1 ~ M, et
dès lors
M/1
!j1
f i ââcpdSI ~
l!
P
r=p n
P
Par conséquent,
lim
p-+O p
r=p
dB= M.47rp2=47rMp.
P
âcp dS = O.
r=p ân
c) Posons cp(x) = cp(O) + cp(x) - cp(O). D'où,
11
r=p
cpdS =
j i=p cp(O)dS + j i=p (cp(x) - cp(O))dS,
cp(0).47rp2 +
= 47rp2(8, cp) +
et
J
i=p (cp(x) - cp(O))dS,
j 1=/cp(x) - cp(O))dS,
j 1r=p cpdS = 47r(ô, cp) + p-+0
lim 12 j1 (cp(x) - cp(O))dS.
p
r=p
lim !
p-+O p
Par hypothèse, cp E C00 , donc cp est continue et puisque supp cp est compact
alors cp est uniformément continue (en vertu du théorème de Heine qui dit que
toute fonction contiue sur un compact est uniformément continue). Donc quel
que soit ë > 0, il existe A> 0 tel que l'inégalité lxl ~A entraîne lcp(x)-cp(O)I ~
ë, pour tout x E supp cp. Dès lors,
1
1
2
P
j1
r=p
(cp(x) - cp(o))dsj ~ ê2
P
et
lim !
p-+0 p
j1
r=p
j 1r=p cpdS = 47r(ô, cp).
ds = 47rë,
Finalement, en appliquant la formule de Green,
11 Jf
(ft:..cp- cpt:..J)dV =
p<r<a
11
r=p
(cpaâf - fâacp) dS,
n
n
et en tenant compte du fait que b..~ = 0, à l'extérieur de S, on obtient
111
1
-b..cpdV
p<r<a r
=
car la normale intérieure à V est intérieure à S
Ctn = ir). Par conséquent,
1
(b..-, cp) = -47r(ô, cp),
r
c'est-à-dire b..~ = -47rô, au sens des distributions.
Exercice 2.4.14 Soit f(x) une fonction de la variable x satisfaisant aux conditions suivantes :
{i) f(x) = 0 pour x < -1 et x > 1.
{ii} f est indéfiniment dérivable sur J -1,Ç[U]Ç, 1[, où Ç E] -1, 1[.
{iii} f(x) et ses dérivées possèdent des discontinuités de première espèce
aux points x = -1, x = Ç et x = 1.
1} Calculer au sens des distributions, l'expression : f" + w 2 f où w E R., en
fonction des dérivées usuelles de f(x).
2} Est-il possible de déterminer f et les constantes a et f3 pour que l'on ait
(2.4.1)
où Ôa désigne la distribution de Dirac au point a? Montrer que, sauf si w est de
la forme k~, où k est un entier relatif, le problème admet une solution unique.
Calculer alors f ainsi que les constantes a et f3.
3} Soit cp EV, une fonction inconnue, dont on sait qu'elle vérifie les relations
cp"+w 2 cp=W(x),
cp(-l)=L,
cp(+l)=M.
On suppose que la fonction 'l!(x) et les constantes L et M sont connues. Montrer que la formule (2.4.1) permet de calculer cp(Ç) pour tout Ç E] - 1, 1[, sauf
pour les valeurs exceptionnelles de w.
61
2.4. EXERCICES RÉSOLUS
Solution : 1) On applique la formule obtenue dans la section 2.2.3 (pour k =
0, 1, 2), avec un léger changement de notations. On a
!' = {!'} + ro(-1)8-1 + r1(Ç)ôç + r2(l)ô1,
où ro(-1) = f(-1+) est le saut de f au point -1, r1(Ç) = J(ç+) - f(ç-) est
le saut de f au point Ç et r2(l) = !(1-) est le saut de f au point 1. De même,
on a
!" = {!"} + ro(-1)6~ 1 + r1(Ç)6é + r2(l)6~ + ao(-1)8-1 + a1(Ç)6ç + a2(l)6i,
où ao(-1) = f'(-1+) est le saut de f' au point -1, a1(Ç) = f'(ç+) - f'(ç-)
est le saut de f' au point Ç et a2(l) = !'(1-) est le saut de f' au point 1. Dès
lors,
!" +w2 f = {!"} +w 2{!'} + (ao(-1) +w 2ro(-1)) 8-1
+ (a1(Ç) +w 2r1(Ç)) 6ç + (a2(l) +w 2r2(l)) 61(2.4.2)
ro(-1)6~ 1 + r1(Ç)6é + r2(l)6~.
2) En comparant les expressions (2.4.1) et (2.4.2), on doit avoir
ao(-1) + w2ro(-1) =a,
a1(Ç) + w2r1(Ç) = 1,
a2(l) + w2r2(l) = (3,
et ro(-1) = r1(Ç) = r2(l) =O. D'où,
a= ao(-1) = f'(-1 +),
(3 = a2(l) = !'(1-),
et a1(Ç) = 1, ro(-1) = r1(Ç) = r2(l) =O. Déterminons maintenant f. Notons
d'abord qu'au sens classique, on doit avoir
f 11 + w2f = 0,
XE] -1,Ç[UjÇ, 1[
et par conséquent
!(X) = { C1 coswx + C2 s1.·nwx, x E] (:- 1[1, Ç[
0 3 coswx + C4 smwx, x E ].,,,
(2.4.3)
La fonction f est continue aux points -1, Ç et 1 (car on a vu que les sauts
ro(-1), r1(Ç), r2(l) sont égales à 0), donc
lim f(x)
X-->-1
lim f(x) - lim f(x)
x--+Ç+
x--+Ç-
lim f(x)
x--+l
= f(-1) = ao(-1) = 0,
= f(ç+) - f(Ç-) = a1(Ç) = 0,
f(l) = a2(l) = 0,
CHAPITRE 2. DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
62
et explicitement,
C1 cosw + C2 sinw
C1coswÇ+C2sinwÇ =
C3 cosw + C4 sinw =
0,
C3coswÇ + C4sinwÇ,
(2.4.4)
o.
Par hypothêse, f' a des discontinuités aux points -1, Ç, 1 et on vient de voir
que les sauts correspondants à ces points sont respectivement a, 1, (3. Comme
J'(x) = { -C1wsinwx + C2wcoswx x E] -1,Ç[
-C3wsinwx+C4wcoswx x E]Ç,1[
alors
En rassemblant ces équations avec celles obtenues dans (2.4.4), on obtient
finalement le systême suivant :
AX=B,
où
A=
X= (C1
sinw
cosw
0
0
0
0
coswÇ
sinwÇ
-coswÇ -sinwÇ 0
0
cosw
sinw
0
0
0
0
-1 0
wsinw
wcosw
0
0
wsinwÇ -wcoswÇ -wsinwÇ wcoswÇ 0
0
-wsinw wcosw
0 -1
0
0
C2
C3
C4
a
f3?,
X= (0 0 0 0 1 O)T.
Le systême ci-dessus admet une solution unique (méthode de Cramer) si et
seulement si <let A =/:- O. On a
detA = -2w(coswsinw)(sin2 wÇ + cos2 wÇ) = -2w(coswsinw),
2.5. EXERCICES PROPOSÉS
63
et par conséquent <let A f:. 0 si w f:. \'Tr, k E Z. La résolution de ce système
dans ce cas ne pose aucun problème, on trouve
C1
=
C2
C3 =
C4 =
a =
f3 =
- cos wÇ sin w + cos w sin wÇ
sinw(Ç - 1)
=
2wcosw
2wcosw '
-coswÇsinw + coswsinwÇ
sinw(Ç - 1)
2wsinw
2wsinw '
cos wÇ sin w + cos w sin wÇ
sinw(Ç + 1)
2wcosw
2wcosw '
cos wÇ sin w + cos w sin wÇ
sinw(Ç + 1)
2w (sinw)
2wsinw '
-coswÇsinw + coswsinwÇ
sinw(Ç - 1)
2coswsinw
2coswsinw '
cos wÇ sin w + cos w sin wÇ
sinw(Ç + 1)
2coswsinw
2coswsinw
En remplaçant ces expressions dans {2.4.3), on obtient
f( ) X
-
{
sinw(Ç-1)
2wcosw COSWX
_ sinw(Ç+l)
2wcosw coswx
•
]
1 ë[
+ sinw(Ç-1)
2ws)nw smwx, XE '<,,
+ sinwlÇ+l)
·
X E]c, 1[
2wsinw sinwx,
..
3) Soit cp E 'D. On a
(!" + w2 f, cp)
= (ôç + a8-1 + {3ôi, cp) ,
= (ôç, cp) +a (Li, cp) + f3 (ôi, cp),
=
cp{Ç) + acp(-1) + f3cp(l),
cp(Ç) + aL + {3M.
Or(!" +w 2 f,cp) = (f,cp" +w 2cp) = (f,'l/J), donc
cp(Ç) = (!, 'l/J) - aL - {3M,
ou encore
1
cp(Ç) = [ 1 f(x)'lfJ(x)dx - a(Ç)L - f3(Ç)M.
2.5
Exercices proposés
Exercice 2.5.1 On considère, dans IR2 , la fonction lnr où r = Jx 2 + y 2 .
Montrer que cette fonction est localement sommable dans IR2 . Déterminer le
laplacien de le distribution associée à cette fonction.
Réponse : À ln r = 27rÔ.
CHAPITRE 2. DÉRIVATION DES DISTRIBUTIONS
64
Exercice 2.5.2 Dériver au sens des distributions la fonction
f(x)={ cosx
Ü
s~x>O
si X< Ü
et exprimer le résultat à l'aide de la fonction d'Heaviside H(x).
Réponse: f' = 8 - H(x) sinx.
Exercice 2.5.3 Soit cp E V et T une distribution.
a) Montrer que si cp(x) = cp'(x) = cp"(x) = · · · = 0 sur supp T, alors
(T, cp) =O.
b) Montrer à l'aide d'exemples que la condition cp(x) = 0 sur supp T, n'implique pas (T, cp) =O.
Réponse : b) cp(x) = 0 sur supp 8 = supp 8' = {O}. Pourtant (8, cp) = cp(O) = 0
et (8', cp) = -cp'(O) = -1.
Exercice 2.5.4 Calculer les dérivées secondes des distributions suivantes :
a) 1 - lxl si lxl < 1, 0 sinon.
b) e-3lxl.
c) 1sinxj.
Réponse: a) 81 - 28 + 8-1, b) 9e- 3lxl - 68, c) 2 E~-oo 8k11" -1 sinxj.
J;
Exercice 2.5.5 Soit f la fonction définie par f(x) =
g(t)dt, où g est une
fonction localement sommable. Montrer que f est continue et que dans V', on
a f' = g.
Exercice 2.5.6 Soit la fonction E(x, t) (appelée noyau de Gauss) définie dans
JR2 par
E(x, t) =
1
~2
. c;H(t)e-4t,
2y7rt
où H(t) est la fonction d'Heaviside.
a) Montrer que E(x, t) définit une distribution dans JR2 •
b) Montrer qu'au sens des distributions,
8E
82 E
8t - 8x2 = 8(x, y).
c) Déterminer la solution de l'équation de la chaleur
8E _ 8 2E = O
8t
8x 2
'
t>O
qui satisfait à la condition initiale : E(x, 0) = f(x), 0
s x s 1.
2.5. EXERCICES PROPOSÉS
65
Exercice 2.5.7 Soit vp ~la distribution définie dans l'exercice 1.6.3. Calculer
dans V', ( vp ~) (n).
Réponse: (-lrn!Pf xn1+1 où Pf ~ est la distribution définie par
1 )
.
( Pf-,cp =hm
xk
{1
e-+O
lxl2::e
cp(x)
--dx+
xk
k-1 (-l)(k-j) -
1 cp0-l)(O)}
~ (k - J.)é-J. . (J. - 1)!
,
cp EV.
e-;kr
Exercice 2.5.8 On considère, dans JR3 , la fonction
où r = J x 2 + y2 + z2
et k une constante. Soit f la distribution associée à cette fonction. Montrer que
f satisfait, quel que soit r, à l'équation
l:l.f + k2 f = -411"8,
où l:l.f est le laplacien de f.
Exercice 2.5.9 Soit E(x) la partie entière du réel x, c'est-à-dire l'unique entier tel que : E(x) ~ x < E(x) + 1. Dériver au sens des distributions E(x).
Réponse : E~-oo Ôk.
Exercice 2.5.10 Soient n un ouvert de C et T une distribution sur n. Soient
a2
, t eur de Lap lace dans .IN..
llll2 et ôZ
a = 2i ( ax
a + i.ay
a ), l'opera
, t eur
uA = ïJXI
+ µa2 l'opera
de Cauchy-°i/,iemann.
a) {Lemme de Weyl) : Montrer que si l:l.T = 0, alors T est une fonction de
classe C00 •
b) En déduire que si ~ = 0, alors T est une fonction holomorphe sur n.
Chapitre 3
Opérations élémentaires
Introduction
Il n'est pas possible de définir la multiplication de deux distributions dans
le cas général. Cependant, si g est une fonction indéfiniment dérivable et T une
distribution quelconque, on peut définir le produit gT de g par T en posant :
(gT, cp) = (T, gcp), cp E V. On en déduit quelques formules (exemple 3.1.1)
importantes en physique et souvent utilisées dans la suite. Ensuite on étudie le
problème de la division ainsi que quelques questions concernant la translation
d'une distribution et le changement d'échelle. Enfin, la résolution des équations
fera l'objet d'un nombre considérable d'exercices intéressants.
3.1
Multiplication des distributions
Le produit de deux distributions arbitraires n'est pas toujours défini. Si une
distribution est définie par une fonction localement sommable f(x), le produit
/2(x) n'est pas forcément sommable. Par exemple, la fonction f(x) = .)x est
localement sommable mais /2(x) = 1; 1 n'est pas sommable à l'origine. Dans ce
qui suit, nous allons définir le produit d'une distribution T par une fonction
g de classe C00 • Supposons tout d'abord que cette distribution soit associée à
une fonction f(x) localement sommable. On a, pour cp EV,
(gf, cp) =
1:
00
g(x)f(x)cp(x)dx. = (!, gcp).
Rappelons que gcp EV {voir exercice 1.6.5). On est ainsi conduit à la
Définition 3.1.1 Le produit d'une distribution quelconque T par une fonction
g de classe C00 est défini par
(gT,cp) = (T,gcp),
cp EV.
CHAPITRE 3. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES
68
On vérifie aisément que le produit ainsi défini est bien une distribution. En
effet, soient <pi, <p2 E 'D et a, /3 E C, on a
(gT, acp1 + /3cp2) = a(gT, cp1) + /3(gT, cp2),
donc gT est linéaire. Pour la continuité, on a par hypothèse 'Pk ~ cp. Donc
9'Pk ~ gcp et dès lors
lim (gT, 'Pk) = lim (T, 9'Pk) = (T, gcp) = (gT, cp).
k--+oo
k--+oo
Exemple 3.1.1 Si ô est la distribution de Dirac à l'origine et g E C1 , alors
gô = g(O)ô,
gô' = g(O)ô' - g' (O)ô.
En effet, soit cp E 'D, on a
(gô, cp) = (ô, gcp) = g(O)cp(O) = g(O) (ô, cp).
De m€me, on a
(gô',cp) = (ô',gcp) = -(ô,g'cp+gcp') = -(ô,g'cp)-(ô,gcp'),
d'où
(gô', cp) = -g' {O)cp{O) - g(O)cp' {O) = -g' {O) (ô, cp) + g(O) (ô', cp).
Remarque 3.1.1 Si dans l'exemple précédent, on choisit g(x) = x, alors on
aura en particulier g(O) = 0 et donc xô =O. On en déduit que le produit gT = 0
peut €tre nul sans que g ou T soit nulle.
Proposition 3.1.2 Les solutions de l'équation xT = 0 dans 'D', sont les distributions T = cô où c E C.
Démonstration : D'après la remarque précédente, on a xô = O. Réciproquement, supposons que xT =O. Alors, pour tout cp E 'D, on a
0= (xT,cp) = (T,xcp),
c'est-à-dire (T, 'If;) = 0 pour tout 'If; E 'D telle que 'lf;{O) = O. Une fonction 'If; E 'D
s'annule en 0, si et seulement si, elle s'écrit sous la forme 'If; = xcp. L'ensemble
E = {'lf;'D: 'lf;{O) = O}, est un sous-espace vectoriel de 'D. Soit 0 E 'D telle que:
0(0) = 1. Evidemment, 0 ~ E et toute fonction cp E 'D peut s'écrire de façon
unique sous la forme cp ='If;+ cp(O)O, 'If; E E. On a
(T, cp) = (T, 'If;) + cp(O)(T, 0) = ccp(O),
avec c = (T, 0). Comme cp{O) = (ô, cp), on en déduit que T = cô. 0
3.2. TRANSLATION D'UNE DISTRIBUTION
69
Remarque 3.1.2 La solution générale de l'équation : xT = S, où S est une
distribution donnée, est égale à la somme d'une solution particulière To de cette
équation et de la solution générale de l'équation homogène. On en déduit de la
proposition précédente, que cette solution s'écrit sous la forme : T = co + To,
c E C. En effet, si T et To sont solutions de xT = S, alors x(T-To) = 0, d'où
T-To = co, c E C.
3.2
Translation d'une distribution
Soit f(x) une fonction localement sommable et fla distribution qui lui est
associée. On veut déterminer la distribution associée à f(x - a) où a est une
constante. Posons par définition, (raf)(x) = f(x - a). On a, pour tout cp E 'D,
+oo
(raf, cp} = 1--oo (raf)(x)cp(x)dx =
1-+oo
-oo f(x - a)cp(x)dx.
En posant y = x - a, on obtient
+oo
(raf, cp} = 1--oo f(y)cp(y + a)dy =
1-+oo
-oo f(y)(racp)(y)dy = (!, Tacp}.
Et généralement, pour une distribution T, on a (raT, cp} = (T, Tacp}, soit explicitement, (T(x - a), cp(x)} = (T(x), cp(x +a)}.
Définition 3.2.1 La distribution TaT définie ci-dessus est dite translatée de
T par la translation a.
Exemple 3.2.1 La distribution de Dirac Ôa au point a, représente la translatée
de o par a,
(raô, cp} = (o, racp} = (o(x), cp(x +a)} = cp(a) = (ôa, cp}.
Ainsi TaO = Oa ou TaO(x) = o(x - a).
Exemple 3.2.2 La translatée de la distribution valeur principale de Cauchy
vp ~ par a est égale à vp x~a .
Définition 3.2.2 On dit qu'une distribution T est périodique de période a > 0,
si TaT = T ou T(x - a) = T(a), c'est-à-dire (raT, cp} = (T, cp}, soit explicitement,
(T(x - a), cp(x)} = (T(x), cp(x)},
(T(x), cp(x +a)} = (T(x), cp(x)},
ou encore
(T(x), cp(x +a) - cp(x)} =O.
CHAPITRE 3. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES
70
3.3
Changement d'échelle
On veut exprimer T(ax) en fonction de T(x) où a est une constante non
nulle. Pour une fonction localement sommable f(x), on a
(f(ax), <p(x)} =
1:
00
f(ax)<p(x)dx,
! 1-:
00
= 11
f(x)<p
(~) dx,
1!1 (t(x), <p (~)).
Dês lors,
Définition 3.3.1 La dilatée d'une distribution T est la distribution définie par
!
(T(ax), <p(x)} = 1 1 (r(x), <p (~)).
Exemple 3.3.1 Pour la distribution
o de Dirac, on a
1
o(ax) = ~o(x),
3.4
a -1= o.
Transposée et parité d'une distribution
V
Soit f une fonction localement sommable et soit f : x 1-------+ f(-x), sa
V
transposée. La distribution Tv associée à f est déterminée par
f
(T/'<p} =
j f(-x)<p(x)dx = j f(x)<p(-x)dx = (T,~},
où ~(x) = <p(-x).
V
Définition 3.4.1 La transposée d'une distribution T, notée T, est la distribution définie par
V
V
(T, <p} = (T, <p},
V<p EV
La notion de transposée d'une distribution permet de définir les distributions paires et impaires comme pour les fonctions.
3.5. EXERCICES RÉSOLUS
71
V
Définition 3.4.2 Une distribution T est dite paire si T = T, c'est-à-dire
V
(T, ep) = (T, ep),
\:lep EV
V
et elle est dite impaire si T = -T, c'est-à-dire
V
(T, ep) = -(T, ep),
\:lep EV
Exemple 3.4.1 Les distributions ô et vp ~ sont respectivement paire et impaire (voir exercice 3. 5.13).
3.5
Exercices résolus
Exercice 3.5.1 Soit g une fonction de classe C00 et T une distribution. Montrer que
(gT)' = g'T + gT'.
Application : Dériver au sens des distributions la fonction
f( X ) =X[-!!] (X ) .COS7rX,
2•2
, X[ 1 1] (X ) = { 1 sur[-!,
!J
.
-2·2
0 ailleurs
ou
Solution : Soit ep EV. On a
(gT',ep) = (T',gep) = -(T,g'ep+gep') = -(g'T,ep)- (gT,ep'),
ou
(gT', ep) = -(g'T, ep) + ((gT)', ep) = ((gT)' - g'T, ep).
En utilisant le résultat trouvé dans l'exercice 2.4.1, on obtient
f' = (ô_12 (x) - ô!2 (x )) cos 7rX - 7rX[-!2'2!] (x ). sin 7rX = -7rX[-!2'2!] (x ). sin 7rX.
Exercice 3.5.2 Soit vp ~ la distribution définie dans l'exercice 1. 6. 3 et soit
Pf x;,, la distribution définie sur V par
1
.
(Pf-,ep)=hm
xm
e---+O
(1
ep(x)
m-1(-l)(m-j)_l ep(j-l)(O))
-dx+
lxl2::e xm
~ (m - J.)ém-J. . (J. - 1)! ,
pour tout ep E V. Montrer que :
a) xvp ~ = 1.
b) xm Pf x;,, = 1.
ep EV,
CHAPITRE 3. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES
72
Solution : a) On a
1 cp) = (vp -,
1 xcp) = lim
(xvp -,
X
X
d'où
1
(xvp -,cp)
=
X
e-+O
-OO
1 cp) = (Pf m'
1 Xm<p) = lim
(xmPf m'
X
e
-OO
l+oo cp(x)dx = (1,cp).
b) On a
X
(1-e cp(x)dx + l+e cp(x)dx) ,
e-+0
1
lxl::?:e
cp(x)dx =
l+oo cp(x)dx = (1, cp).
-oo
Exercice 3.5.3 1°) Déterminer toutes les distributions solution de l'équation :
a) xT = 1.
b) (x - a)T = P(x) où a E ~ et P(x) un polynôme.
2°) Soit Pf ~ la distribution définie dans l'exercice 3.5.2 (avec m = 2). Calculer xPf ~30) Résoudre dans V' l'équation: xT = vp ~' où vp ~ est la distribution définie
dans l'exercice 1.6.3.
Solution : 1°) a) On peut être tenté de choisir la fonction ~ comme solution de
cette équation mais cette fonction n'est pas localement sommable et ne définit
pas une distribution régulière. La solution de l'équation xT = 1 est égale à la
somme d'une solution particulière de cette équation et de la solution générale
de l'équation homogène.
(*) Solution de l'équation homogène xT = 0: D'après la proposition 3.1.2,
on sait que : T = cô, c E C.
(*) Solution particulière To : D'après l'exercice 3.5.2, xvp ~ = 1, donc on
peut choisir To = vp ~- Par conséquent, la solution de l'équation proposée est
1
T = cô + vp -,
c E C.
X
b) Comme dans a), la solution de l'équation (x - a)T = P(x) est de la
forme : T = côa + To, où c E Cet To est une distribution particulière. D'après
l'exercice 3.5.2, on a (x - a)vp x~a = 1, d'où
1
(x - a)P(x)vp - - = P(x).
x-a
On peut donc choisir To = P(x)vp x~a· Par conséquent,
1
T = CÔa + P(x)vp - - ,
x-a
c E C.
3.5. EXERCICES RÉSOLUS
73
2°) Comme
(Pf
~, cp) = lim ( f
e->O
X
Jlxl>e
alors
1
.
= (Pf 21 ,xcp) =hm
(xPf 2,cp)
X
cp(~) dx - 2 cp(O)) ,
ê
X
1
e->O lxl>e
X
cp(x)
1
d x = (vp -,cp),
X
X
et par conséquent
1
1
X
X
xPf 2 =vp -.
3°) On procède comme dans la question 1°). La solution générale de xT = 0
est T = cô, c E C. Pour obtenir une solution particulière To de xT = vp ~,
il suffit (d'après la question 2°), de choisir To = Pf ~· Par conséquent, la
solution générale de l'équation proposée est
1
T = cô + Pf 2 ,
X
c E C.
Exercice 3.5.4 Soient f une fonction indéfiniment dérivable et T une distribution. Montrer que :
{x: f(x) i= O} n supp Tc supp (JT) c supp f n supp T.
Solution: Posons A= {x : f(x) -:/= O}, supp f = adh A= B, supp T = F et
supp (JT) = E. Par définition, quel que soit <p E 'D, on a
(T, cp) = 0,
supp <p C Fe,
(!T, cp) = 0,
supp <p C Ec.
et
(i) Montrons que An F c E. Pour cela, il suffit de montrer que si u ~A
et u ~ E alors u ~ F. Par hypothèse, il existe un voisinage de u, notée V(u),
tel que : V(u) c Ec, f(u) -:f= 0, (!T, cp) = 0, pour toute fonction <p E 'D, ayant
son support dans V(u). On sait que fcp E V (voir exercice 1.6.5) et dès lors
0 = (!T, cp) = (T, fcp). Par conséquent, V(u) C pc et donc u ~ F.
(ii) Montrons que E c B n F. Pour cela, il suffit de montrer que si u ~ B
ou u ~ F alors u ~ E. Soit u ~ B, alors f(u) = 0 et f(u)cp(u) = 0, quel que
soit <p E 'D. Dès lors, 0 = (T, fcp) = (!T, cp), et donc u ~ E. Rappelons que
u E F si et seulement si T n'est nulle sur aucun voisinage V(u) de u. Donc si
u ~ F, alors (T, cp) = 0, pour toute fonction cp E 'D, ayant son support dans
V(u). Dès lors, (T, fcp) = (!T, cp) = 0, et donc u ~ E.
74
CHAPITRE 3. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES
Exercice 3.5.5 On pose
1
Ta= cosax.vp -,
X
x E IR
où vp ~ est la distribution définie dans l'exercice 1.6.3.
a) Montrer que Ta définit une distribution sur R
b) Déterminer supp Ta.
Solution: a) Soit cp EV. On a
1
1
X
X
(Ta, cp) = (cos ax.vp -, cp) = (vp -, cos ax.cp(x)).
Comme cosax E C00 et cp E V, alors cosax.cp(x) E V, en vertu de l'exercice
1.6.5. En outre, on sait (voir exercice 1.6.3) que vp ~ définit une distribution
sur IR, donc il en ira de même pour Ta.
b) Posons
k1l"
A = {x E IR : cos ax =/:- 0} = { x E IR : x =/:- 2a + -;-, k E Z
11"
} .
D'après l'exercice 3.5.4, on peut écrire
1
1
X
X
A n su pp vp - c su pp Ta c supp cos ax n su pp vp - .
Comme supp vp ~ =IR (voir exercice 1.6.11) et supp cosax = adh A= IR,
alors A c supp Ta c IR. Dès lors, adh A c adh supp Ta C IR, c'est-à-dire
IR C supp Ta C IR, et par conséquent supp Ta = R
Exercice 3.5.6 Soit vp ~ la distribution définie dans l'exercice 1.6.3. Vérifier
que le produit s~ x vp ~, détermine une distribution sur IR et résoudre dans V'
l'équation :
1
xT=-h .
S
X
Solution: La vérification résulte immédiatement de la note (après la définition
3.1.1) car la fonction sfi-; est de classe C00 et vp ~ est une distribution sur R
La solution générale Je xT = 0 est T = co, c E C. Pour obtenir une solution
particulière To, on utilise (voir exercice 3.5.2) le fait que : xvp ~ = 1. Comme
$~ x vp ~a un sens, alors xs~ x vp ~ = s~ x' et dès lors To = s~ x vp ~-Donc
la solution de l'équation proposée est
1
1
T = co +--vp -,
sh X
X
c E C.
3.5. EXERCICES RÉSOLUS
75
Exercice 3.5. 7 Calculer la distribution : xmo(n), {m, n E N), où o(n) est la
dérivée nième de la mesure de Dirac sur JR.
Solution: Soit cp EV. On a
Rappelons que si f et g sont deux fonctions de classe C00 , alors la formule de
Leibniz fournit
='"'
t::o k!(nn.- k)!
1
n
(fg)(n)
J(k)(x)g<n-k)(x).
Dês lors,
L k!(nn.- k)! (xm)(k)cp(n-k)(x).
n
(xmcp)(n)(x) =
1
k=O
Pour m ::::; n, on décompose la formule ci-dessus comme suit :
m-1
L
1
n.
(xm)(k)cp(n-k)(x)
k=O k!(n - k)!
+
n!
(xm)(m)cp(n-m)(x)
m!{n-m)!
n
+ L
n!
(xm)(k)cp(n-k)(x).
k=m+l k!(n - k)!
Or
m(m-l)···(m-k+I)xm-k
(xm)(k) = {
sim>k
m! si m = k
0 sim<k
donc
ou encore
Par conséquent,
si m>n
si m::::; n
76
CHAPITRE 3. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES
Exercice 3.5.8 Soit l'équation: xmT = 0, m EN.
a) Montrer que les distributions vérifiant cette équation s'écrivent sous la
forme:
m-1
T =
L CkÔ(k), Ck E c.
k=O
b) En déduire l'expression générale des distributions T qui vérifient l'équation : xmT = 1, m E N.
c) Méme question pour l'équation : (x - a)mT = P(x), où m EN, a E lR
et P(x) un polyn(jme.
Solution : a) Si m = 1, alors xT = 0 et d'après la proposition 3.1.2, T = cô,
c E C. Si m = 2, alors x 2T = 0, c'est-à-dire x(xT) = 0 et de nouveau d'après
la proposition 3.1.2, xT = cô, c E C. Pour résoudre cette dernière équation, on
va procéder comme dans les exercices précédents :
- Solution générale de xT = 0 : T = coô, CO E C.
- Solution particulière To de xT = cô : D'après l'exercice 3.5.7, on a
xmô(n) = (-l)m
n!
ô(n-m)
(n-m)!
m < n.
-
On prend m = n = 1, d'où xô' = -ô, c'est-à-dire x(-cô') = cô. On peut donc
choisir To = -cô'. Par conséquent,
T = coô - cô' = coô + c1'5',
c1
=-c.
Supposons que la solution de l'équation xmT = 0, s'écrit
m-1
T = CQÔ + c1'5' + · · · + Cm-1Ô(m-l) =
L CkÔ(k), Ck E C
k=O
et montrons que la solution de xm+lT = 0, est T = E~o ckô(k), ck E C.
L'équation xm+lT = 0, s'écrit sous la forme x(xm)T = 0 et d'après la proposition 3.1.2, on a xmT = cô. On a supposé que la solution générale de xmT = 0
est T = E~::01 CkÔ(k), Ck E C. Pour obtenir une solution particulière de l'équation: xmT = cô, on note tout d'abord que d'après l'exercice 3.5.7, on a
On choisit m = n, d'où xmô(m) = (-l)mm!ô, c'est-à-dire
77
3.5. EXERCICES RÉSOLUS
On peut donc choisir To = emô(m), Cm=
T =
c(-;;,t. Par conséquent,
m-1
m
k=O
k=O
L CkÔ(k) + CmÔ(m) = L CkÔ(k), Ck E C
b) D'après la question a), la solution de l'équation homogène: xmT = 0 est
T = L:~,:01 ckô(k), Ck E C. Par ailleurs, on a déjà montré (exercice 3.5.2) que :
xmPf x~ = 1. Dès lors, une solution particulière de xmT = cô, est donnée par
To = Pf x~. Par conséquent, la solution générale de l'équation proposée est
l
m-1
T = Pf - + ~ CkÔ(k)'
xm
L...J
k=O
Ck E c.
c) Comme dans la question précédente, on a T = 2::~1 CkÔ(k) +To, Ck E C
où To est une solution particulière. Comme (x - a)m Pf (x-~)m = 1 (d'après
l'exercice 3.5.2), alors (x - a)m Pf (x-~)m = P(x), et on peut choisir comme
solution particulière To = Pf (x-~)m. Donc
m-1
1 ) +
T -- Pf (x-a
m
L CkÔa ,
(k)
k=O
Exercice 3.5.9 Trouver l'expression générale des distributions T qui vérifient
l'équation : (x 2 - a 2 ) T = 1, a ER*.
Solution : (*) Solution de l'équation homogène : (x 2 - a 2 ) T = O. On écrit
(x - a)(x + a)T = 0, et on sait que : (x - a)ôa = 0, (x + a)La = 0, d'où
T = CÔa + dLa, (c, d E C).
(**) Solution particulière To de l'équation : (x 2 - a 2 ) T = 1. On déduit
de l'exercice 3.5.2, que : (x - a) vpx~a = 1 et (x +a) vpx!a = 1, d'où
To = a vp x~a + b vp x!a, où a et b sont à déterminer. On a
(x - a)(x +a)
1 - + b vp1 - ) = 1,
(a vpx-a
x+a
c'est-à-dire (x + a)a + (x - a)b = 1, d'où a+ b = 0 et a - b = ~· Donc
To = __!__ ( vp-1- - vp-1- ) ,
2a
x-a
x+a
et par conséquent la solution générale de l'équation proposée s'écrit
1 - vp-1 ) + CÔa + dLa,
T = -21 ( vp-a
x-a
x+a
(c,d E C).
CHAPITRE 3. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES
78
Exercice 3.5.10 Résoudre dans V' les équations suivantes :
a) xmT = o, m E N.
p
b) xT = L:cko(k), ck E C.
k=O
Solution: a) (*)Solution de l'équation homogène: xmT =O. D'après l'exercice
3.5.8, cette équation possède la solution T = 2:~,:01 cko(k), ck E C.
(**) Solution particulière To de xmT =o. D'après l'exercice 3.5.7, on sait que
Posons m = n, d'où xm(-~m o(m) =o. On choisit To = (-~t o(m). Par conséquent, la solution de l'équation proposée est
T = (-l)m o(m) + ~ c o(k)
~ k
'
m.1
k=O
Ck E C.
b) (*) Solution de l'équation homogène xT = 0 : T = co, c E C.
(**) Solution particulière To de xT = 2:1=o cko(k). De nouveau (d'après l'exercice 3.5. 7), on a
Pour m = 1 et n = k + 1, on a xo(k+I) = -(k + l)o(k), d'où
p
On peut donc choisir T0 = -
L k Ck 1 o(k+I). Par conséquent, la solution cherk=O
chêe est
+
p
T = co - "" ~o(k+I)
~k+l
'
k=O
où c et ck sont des constantes.
Exercice 3.5.11 Soient g E C00 et Tune distribution. Montrer que si gT = 0,
alors g(x) = 0 sur supp T. Réciproque?
3.5. EXERCICES RÉSOLUS
79
Solution: Soit F = supp T. Par définition, on a T = 0 sur pc (complémentaire
de F). Pour montrer que g(x) = 0 sur F, il suffit de prouver que T = 0
sur l'ensemble {x E ~ : g(x) -1 O}. Soit cp E V à support contenu dans cet
ensemble. On a
(T,cp) = (T,g'.E.) = (gT, '.!:.) = 0,
9
9
car ~ E V et par hypothèse gT = O. La réciproque n'est pas nécessairement
vraie. En effet, d'après l'exemple 3.1.1, on sait que
gô' = -g'(O)ô + g(O)ô'.
Choisissons g(x) = x. On a g E C00 et g(x) = 0 sur supp ô' = {O} et pourtant
gô' = xô' = -ô.
Exercice 3.5.12 Soit TE V'.
a) Montrer que les seules solutions de l'équation différentielle : T' = 0 sont
les constantes.
b) Résoudre l'équation différentielle : xT' + T =O.
Solution : a) Toute constante est évidemment solution de l'équation T' = O.
Réciproquement, supposons que T' =O. Alors pour tout cp EV, on a
0 = (T', cp) = -(T, cp').
L'ensemble E = {,,P E V : ,,P (x) = cp' (x) où cp E V}, est un sous-espace vectoriel
de V. Montrons qu'une condition nécessaire et suffisante pour que ,,P E E est
J~;: ,,P(x)dx = 0, ,,P EV. En effet, si ,,P(x) = cp'(x), alors
r+oo ,,P(x)dx = cp(x)I~: = 0,
}_
00
car supp cp est borné. Inversement, soit cp(x) = J~00 ,,P(x)dx. On vérifie que cp
est de classe C00 (en effet ,,P E C00 et supp ,,P est borné car J~;: ,,P(x)dx = 0).
On fixe 0 E V telle que : J~;: O(x)dx = 1. Evidemment, 0 (j. E et toute
fonction cp EV peut s'écrire de façon unique sous la forme
cp = ,,P +
(L:oo cp(x)dx) 0, ,,P E.
E
On a
(T, cp) = (T, ,,P) +
(L:oo cp(x)dx) (T, 0) = (L:oo cp(x)dx) (T, 0),
CHAPITRE 3. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES
80
car (T, 'If;) = O. En posant (T, 0) = C, on obtient
1
+00
(T, cp) = C
-oo
cp(x)dx = (C, cp),
donc T = C.
b) L'équation proposée s'écrit (xT)' = 0, et d'après a), xT = C, où C
est une constante. La solution de cette équation s'écrit T = aô + To, a E C
où To est une solution particulière de xT = C. On la détermine de la façon
suivante : D'après l'exercice 3.5.2, on sait que x vp~ = 1, d'où x(Cvp ~) = C
et To = Cvp ~. Par conséquent,
1
T= aô+Cvp -.
X
Exercice 3.5.13 a) T étant une distribution, étudier la parité des distributions U, V définies par
'D 3cp1---+ (U,cp) = (T,cp) + (r,~),
'D 3 cp 1---+ (V, cp) = (T, cp) - ( T, ~) .
b) En déduire que toute distribution T est la somme d'une distribution paire et
d'une distribution impaire.
c) Etudier la parité des distributions ô et vp _.!:..
X
Solution: a) La distribution U est paire car
V
V
V
V
V
V
V
V
(U, cp) = (T, cp) + (T, cp) = (T, cp) + (T, cp) = (U, cp).
La distribution V est impaire car
V
V
(V, cp) = (T, cp) - (T, cp) = (T, cp) - (T, cp) = -(V, cp).
b) Il suffit de remarquer que
(T
V
V
) = (T, cp) + (T, cp) + (T, cp) - (T, cp) = (U, cp) + (V, cp)
,cp
2
2
2
2 .
On montre (par exemple en raisonnant par l'absurde) que cette décomposition
est unique.
81
3.6. EXERCICES PROPOSÉS
c) La distribution ô est paire car
V
(ô(x), cp(x)) = (ô(x), cp(-x)) = cp(O) = (ô(x), cp(x)),
c'est-à-dire, (ô, ~) = (ô, cp). La distribution vp ..!_ est impaire car
X
1
1 V
(vp ~, cp(-x)),
(vp -, cp(x))
X
(1-E cp( -x) dx + 1+00 cp( -x) dx) ,
- lim (1+oo cp(x) dx + 1-E cp(x) dx) ,
00
lim
E-->Ü
X
_ 00
E-->Ü
X
E
X
E
_
X
1
-(vp -, cp(x)),
X
' t -a' d'Ire, (vp x'<p
1 V) -- - ( vp x'<p.
1
)
ces
3.6
Exercices proposés
Exercice 3.6.1 Soient <p EV etc> 0 tels que : supp <p c [-c, c]. On définit
une application T sur V en posant,
(T, cp) = lim
E-->Ü
(1
E
00
cp(x) dx + cp(O) ln.s) .
X
a) Montrer que :
(T, cp) =
t cp(x) + cp(O) dx + cp(O) lnc.
lo
X
b) Prouver que T est une distribution sur lR et déterminer son ordre ainsi
que son support.
c) Calculer au sens des distributions xT' + T.
d) Trouver une primitive de T.
Exercice 3.6.2 Soient T E V' et a E R On dit que T est homogène de degré
a si, pour tout À E lR'.i- et tout x E JR, T(Àx) = À°'T(x).
a) Montrer que les distributions ô, ô', vp ~' T(n) (où Test une distribution
d'ordre a), sont homogènes et déterminer leur degré d'homogéneité.
b) Soit <p E V et posons
<p>. = cp(Àx),
f(À) = (T, <p>.)·
82
CHAPITRE 3. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES
Montrer que f est une fonction dérivable (au sens usuel} et que sa dérivée est
donnée par
c) En déduire la formule d'Euler:
n
L
XkT(k) = aT.
k=l
Exercice 3.6.3 Résoudre dans V' l'équation : (sin 11'x).T = S, où S est une
distribution connue.
Réponse : T = I:t~ 00 CkÔk + To où Ck E C et To une solution particulière de
l'équation proposée.
Exercice 3.6.4 Soit I = [a, b] un intervalle borné. On dit qu'une fonction f
est à variation bornée sur I, s'il existe une constante C 2 0 telle que pour
toute subdivision de I; a= ao < a.1 < · · · < Œk = b, on ait
k-1
L lf(ai+l - f(ai)I ~ C.
i=O
Soit T E V'. Montrer que T a pour dérivée une mesure si et seulement si T
est une fonction à variation bornée sur I.
Exercice 3.6.5 Rappelons qu'une distribution T est une primitive d'une distribution S si T' = S. Montrer que toute distribution admet une infinité de
primitives ne différant que par une constante.
Indication : Quel que soit cp E V, on a
(T',cp) = -(T,cp') = (S,cp).
Il suffit dès lors d'utiliser la décomposition
de l'exercice 3.5.12.
3.6. EXERCICES PROPOSÉS
83
Exercice 3.6.6 Soient g une fonction de classe C00 , S une distribution connue
et T une distribution inconnue.
a) On suppose que g(a) = 0 et g'(a) f:. 0, a E IR.. Résoudre dans V' l'équation : g(x)T =O.
b) On suppose que g(x) f:. 0, quel que soit x E IR.. Résoudre dans V' l'équation: g(x)T =S.
c) Méme question que dans b) lorsque g(x) a une infinité de zéros multiples.
Réponse : a) T = côa, c E C, b) T = gfx), c) une infinité de solutions.
Exercice 3.6.7 On considère l'équation différentielle linéaire :
Po(x)T(n) + P1(x)T(n-l) + · · · + Pn(x)T = Q(x),
où les coefficients Po, P1, ... , Pn et le second membre Q sont des fonctions de
la variable réelle x. On suppose que Po, Pi, ... , Pn, Q sont de classe C00 et que
Po(x) ne s'annule pas dans IR.. Montrer que les seules solutions dans V' de
l'équation ci-dessus, sont les solutions usuelles de cette équation.
Exercice 3.6.8 Soit TE V'. Déterminer la solution générale de l'équation:
Exercice 3.6.9 Soient g E C00 et T E V'. Etablir la formule de Leibniz :
(gT)(n) =
'°' n. 9(k)r(n-k).
L.J k!(n - k)!
n
1
k=O
Exercice 3.6.10 Résoudre dans V' l'équation différentielle :
xT' +T = Pf H(x),
X
où H(x) est la fonction d'Heaviside et Pf H~x) est la partie finie définie dans
l'exercice 2.4.9.
Réponse : En utilisant l'exercice 3.5.12, on trouve
~
T = Pf H(x) lnx + C 1vp -1 + 0 2u,
X
où C1 et C2 sont des constantes.
X
Chapitre 4
Convergence des distributions
Introduction
Dans ce chapitre, on introduit la notion de convergence au sens des distributions. Comme la dérivation est une opération continue dans 'D', on en déduit
que la limite d'une dérivée dans 'D' est la dérivée de la limite. En outre, une
série convergeant dans 'D' peut être dérivée terme à terme autant de fois que
l'on veut. Ce sont là des différences fondamentales que présentent les suites
(ou séries) de distributions avec les suites (ou séries) de fonctions. Plusieurs
suites (ou séries) divergentes au sens des fonctions, convergent au sens des
distributions. Par exemple le suite (cos kx) diverge au sens des fonctions mais
nous verrons qu'elle converge au sens des distributions vers O. Divers exercices
concernant la fonction logarithmique, l'identité de Sokhotski, la suite de Dirac,
etc., sont traités en détail.
4.1
Définitions et propriétés
Définition 4.1.1 a) On dit qu'une suite de distributions (Tk) converge dans
V' vers une distribution T si pour tout cp E 'D, la suite numérique (Tk, cp)
converge dans C vers le nombre (T, cp).
b) On dit qu'une série de distributions L: Tk converge dans V' et a pour
somme la distribution T, si pour tout cp E 'D, la série numérique L:(Tk, cp)
converge dans C et a pour somme le nombre (T, cp).
Il s'agit de la convergence simple (dans l'espace des distributions 'D').
Notation : On écrit parfois Tk ~ T (resp. L: Tk ~ T) pour dire que
(Tk) (resp. L: Tk) converge dans 'D' vers T.
CHAPITRE 4. CONVERGENCE DES DISTRIBUTIONS
86
V'
Exemple 4.1.1 Montrons que : Ôk -----+ O. En effet, on a (ôk, cp) = cp(k) et
puisque <p est à support borné, alors
lim (ôk, cp) = lim cp(k) =O.
k-+oo
k-+oo
Proposition 4.1.2 Soit (Jk(x)) une suite de fonctions localement sommables
et supposons qu'elle converge uniformément vers une fonction f {x). Alors la
fonction f(x) est localement sommable et la suite des distributions (Jk) associées aux fonctions fk(x) converge vers la distribution f associée à f(x).
Démonstration : On a
11-:
1-:
00
l(fk, cp) - (!, cp)I
<
00
(Jk(x) - f(x))cp(x)dxl,
lfk(x) - f(x)llcp(x)ldx,
< sup lfk(x) - f(x)I. (j+oo lcp(x)ldx) .
xEIR
-oo
Comme
lim (sup lfk(x) - f(x)I) = 0,
k-+oo
xEIR
(convergence uniforme) et que J~;: lcp(x)ldx est finie (cp est à support borné),
alors (fk, cp) converge vers (!, cp). La fonction f(x) est évidemment localement
sommable; il suffit de remarquer que
[
lf(x)ldx :'.S [
l!k(x)ldx + [
l!k(x) - f(x)ldx,
où K est un compact. D
Proposition 4.1.3 Soit (fk(x)) une suite de fonctions localement sommables.
Supposons que :
{i) la suite (fk(x)) converge simplement presque partout vers une fonction
f(x).
{ii) il existe une fonction localement sommable g(x) telle que : lfk(x)I :::;
g(x).
Alors la fonction f(x) est localement sommable et la suite des distributions
(fk) associées aux fonctions fk(x) converge vers la distribution f associée à
f(x).
4.1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
87
Démonstration : Les hypothèses du théorème de convergence dominée de Lebesgue étant satisfaites, la fonction f(x) est localement sommable et pour toute
fonction cp EV, on a
1_:
fk(x)cp(x)dx,
1_: kl!__.~
fk(x)cp(x)dx,
kl!__.~ (/k, cp) = kl!__.~
=
00
00
1_:
00
=
f(x)cp(x)dx,
(!, cp),
ce qui achève la démonstration. D
Proposition 4.1.4 a) Si une suite de distributions (Tk) converge vers une
distribution T, alors les distributions dérivées (TD convergent vers T'.
b) Toute série de distributions convergente, est dérivable terme à terme.
Démonstration : Il suffit de démontrer a). On a
lim (T~, cp) = - lim (Tk, cp') = -(T, cp') = (T', cp),
k->oo
k->oo
d'où limk_,oo T~ = T'. D
Exemple 4.1.2 La suite de fonctions fk (x) = sinkkx, k E N*, converge vers
f(x) = limk->oo fk(x) =O. Etudions la convergence de la suite dérivée fHx) =
cos kx. Au sens classique, la suite (!~ (x)) diverge. Au sens des distributions,
la suite Uü converge vers 0, en vertu de la proposition précédente. En effet,
soit cp E V avec supp cp = [a, b]. On a
(!Lep)= -(fk,cp') = -~
1_:
00
sinkx.cp'(x)dx,
d'où
l(f~,cp)I :S ~ (1blsinkxldx).
sup lcp'(x)I = b~a· sup lcp'(x)I,
a
xE[a,b)
xE[a,b)
et par conséquent limk_, 00 (!~, cp) =O.
Proposition 4.1.5 Si (/k(x)) est une suite de fonctions telles que :
(i) fk(x) ~ 0 pour lxl :SC, C > 0 fixé.
(ii) fk(x) converge vers 0 uniformément dans tout intervalle ne contenant
pas l'origine.
(iii) quel que soit a> 0 (fixé}, limk->oo f~a fk(x)dx = 1.
Alors la suite (/k) converge vers la distribution ô de Dirac.
CHAPITRE 4. CONVERGENCE DES DISTRIBUTIONS
88
Démonstration : Soit <p EV. Montrons que : limk--+oo(fk, cp) = (8, cp). On a
1:
00
(fk, cp) - (8, cp)
fk(x)cp(x)dx - cp(O),
{
fk(x)cp(x)dx + {
fk(x)cp(x)dx - cp(O),
Jlxl5:a
Jlxl>a
=
{
fk(x)(cp(x) - cp(O) + cp(O))dx
Jlxl5:a
+ {
fk(x)cp(x)dx - cp(O),
Jlxl>a
{
fk(x)(cp(x) - cp(O))dx + {
fk(x)cp(x)dx
Jlxl5:a
Jlxl>a
+cp(O) ( {
Jlxl5:a
fk(x)dx -
1) .
D'où,
l(fk, cp) - (8, cp)I
<
{
fk(x)lcp(x) - cp(O)ldx +
Jlxl5:a
{
fk(x)cp(x)dx
Jlxl>a
+lcp(O)I
fk(x)dx - 1 .
{
Jlxl5:a
- La continuité de <p montre que pour tout ê > 0, on peut choisir 0 < a
que l'inégalité lxl sa entraîne lcp(x) - cp(O)I ê. Dès lors,
s
s k tel
{
fk(x)lcp(x) - cp(O)ldx s ê {
fk(x)dx.
Jlxl5:a
Jlxl5:a
Or d'après l'hypothèse (iii), limk--+oo fixl5:a fk(x)dx = 1, donc il existe une
constante M > 0 telle que : fixl5:a fk(x)dx M. Par conséquent,
s
{
fk(x)lcp(x) - cp(O)ldx s êM.
Jlxl5:a
D'après l'hypothèse (ii), il existe Ni > 0 tel que l'inégalité k ~ Ni entraîne
lfixl>a fk(x)cp(x)dxl S ê. D'après l'hypothèse (iii), on peut choisir a > 0 et
N2 > 0 tel que l'inégalité k ~ N2 entraîne lfixl5:afk(x)dx-11 S ê. On déduit
de ce qui précéde, que pour k ~ max( Ni, N2), l(fk, cp) - (8, cp)I
ê, ce qui
achève la démonstration. D
s
89
4.2. EXERCICES RÉSOLUS
Définition 4.1.6 On dit qu'une suite de fonctions localement sommables (fk)
converge dans [,1 vers f si limk--.oo J lfk - fldx = O. On dit aussi que (fk)
converge en moyenne vers f.
Proposition 4.1. 7 Soit (fk) une suite de fonctions localement sommables. Si
cette suite converge dans C 1 vers f, alors elle converge dans 'D' vers f.
Démonstration : Soit c.p E 'D avec supp c.p c [a, b] c R On a
IUk - f, c.p)J =
11+ Uk - J)(x)c.p(x)dxl :::; lafb lfk(x) - f(x)Jdx. sup Jc.p(x)I,
00
-oo
xE[a,b]
d'où le résultat. D
4.2
Exercices résolus
Exercice 4.2.1 On considère une fonction c.p E 'D, de support [a, b].
1°) Montrer que les intégrales
I =
1b sinkx.c.p(x)dx,
J =
1b coskx.c.p(x)dx,
tendent vers 0 quand k ~ oo. {En fait un lemme de Riemann-Lebesgue montre
que ce résultat reste valable si on suppose seulement que c.p est borné et intégrable).
2°) En déduire que la distribution si~;x converge vers la distribution 8 de
Dirac.
Solution : 1°) On a
I
=
1b sinkx.c.p(x)dx,
11b k X.c.p'(X)dX,
kb.c.p(b)
+ k11b k X.<.p '( X)dX,
lb + k
= - cos kx.c.p(x)
k
a
cos ka.c.p(a) - cos
k
COS
a
COS
a
et
III :::; Jc.p(a)I ~ Jc.p(b)I + ~
1b Jc.p'(x)Jdx.
D'où I tend vers 0 quand k ~ oo. On montre de la même façon que J tend
aussi vers 0 lorsque k ~ oo.
90
CHAPITRE 4. CONVERGENCE DES DISTRIBUTIONS
2°) On a
=
r+oo sinkx ~(x)dx,
1-oo 7rX
r+ sinkx
l-oo ---;:x(~(O) + ~(x) - ~(O))dx,
-
~(O)
sin kxdx + - j+oo -
(si::x,~)
00
11+
7r
où
X
-OO
7r
'l/;(x) = ~(x) - ~(O), x-/= 0,
00
• k
.i.(x )dx,
sm
x.'f'
-OO
'l/;(O) = ~'(O).
X
On sait que f -OO
+00 sinXkx dx = 7r l et que
+oo
lim j
k-+oo
sin kx.'l/;(x)dx = 0,
(d'après 1°))
-OO
donc
.
hm
k-+oo
(sinkx
--,~ ) = ~(O) = (ô,~),
7rX
c'est-à-dire
1.
sinkx
1.
Ôa - La
x
lffi --=u.
k-+oo
7rX
Exercice 4.2.2 Calculer
a-+O
lffi
2a '
où Ôa est la distribution de Dirac au point a.
Solution: Soit ~EV. On a
(
Ôa -La
2a
'~
1
)
2a ( (ôa, ~) - (La,~)),
2~ (~(a) - ~(-a)),
! (~(a) - ~(O) +~(-a) - ~(O))
=
a-0
2
et
Par conséquent,
.
1lffi
a+-0
Ôa - Ô-a
2a
xi
= -u.
-a-0
'
91
4.2. EXERCICES RÉSOLUS
Exercice 4.2.3 Calculer au sens des distributions
1
.
1im
cosax.vp -,
a--+O
X
où vp ~ est la distribution définie dans l'exercice 1. 6. 3.
Solution : Nous avons montré dans l'exercice 3.5.5, que cos ax.vp ~ définit une
distribution sur~. Dès lors
lim (cosax.vp .!.,cp) = (vp .!., lim cosax.cp(x)) = (vp .!.,cp(x)),
a--+O
X
X
a--+0
X
en vertu de l'exercice 3.5.5. Donc lim cos ax.vp .!_ = vp .!..
a--+O
X
X
Exercice 4.2.4 Soient z = x + iy un nombre complexe non nul, r > 0 son
module et() E [-71", 7r[ son argument. On définit la détermination principale de
la fonction logarithmique par la formule
ln z = ln r + iO = ln
v'x 2 + y2 + i arctan 1!..
X
Montrer que cette fonction détermine une distribution et calculer sa limite dans
V' lorsque x --+ O.
Solution: La fonction ln(x+iy) est localement sommable, donc détermine une
distribution. Dans 'D', on a
lim ln(x + iy) = {
x--+O+
où
ln y +
ii 71" >
si y
0
ln(-y) - i- si y< 0
2
sgn(y) = l~I = { -~
=ln IYI + i~
2 sgn(y),
si y> 0
si y< 0
De même, on montre que
1im ln(x + iy) =ln IYI - i~
2 sgn(y).
x--+O-
Exercice 4.2.5 On définit pour k;:::: 1, trois suites de fonctions par
1
fk(x) = - - . ,
x+ik
1
9k(x) = - - i ,
x-k
X
hk(x) =
X
2
1 .
+p
Etudier la convergence des distributions associées à ces fonctions.
92
CHAPITRE 4. CONVERGENCE DES DISTRIBUTIONS
Solution : Les fonctions fk(x), 9k(x) et hk(x) définissent des distributions car
elles sont localement sommables. Examinons tout d'abord la convergence de la
distribution associée à fk(x). On a
lim - 1 -. = ~.
k-+oo X+~
X
Or la fonction ~ n'est pas localement sommable et en outre ne définit pas une
distribution, donc il faut chercher une autre limite. On vérifie aisément qu'au
sens des distributions,
~ln
(x+ i)
dx
k
(voir exercice 4.2.4),
=
x+f
La dérivation étant continue dans V', il en résulte que
lim - 1 -. = lim dd ln
k-+oo x
+~
k-+oo
X
(x + _ki) = dd ( lim ln (x + _ki ) ) .
k-+oo
X
Comme (voir exercice 4.2.4),
ln ( x +
J
~) = ln x 2 + : 2 + i arctan k~,
alors
lim ln (x +
k-+oo
i)k = { ln(-x) +ln.x six>
O =ln !xi+ i7rH(-x),
si <
x
t7r
où
H(-x) = {
~
0
si X> Ü
Si X< Ü
Dès lors,
i~.~ (x + ~) = d~ ((ln !xi)+ i1l'H(-x)).
Or d~ (ln !xi) = vp~ (voir exercice 2.4.4) et fxH(-x) = -ô, donc
.
1
1 . ~
1im
- - . = vp- - t7ru.
k-+oo X+~
X
4.2. EXERCICES RÉSOLUS
93
De même, on montre que
.
1
1 . ~
1lm
- - . = vp- +?:Tru.
~
k-+oo X -
X
Enfin, pour étudier la convergence de la distribution associée à la fonction
hk (x), remarquons que
1 ( -1 i + -1 i) .
hk(x) = 2
x+;ç x-;ç
Comme
.
1
. ~
1
1lm - - . = vp- =f ?:Tru,
k-+oo X±~
X
alors
.
1lm
1
X
k-+oo x2
+b
= vp-.
1
. ~
x
Note : L'expression
1
--i
X±;ç
= vp- =f ?:Tru,
X
est connue sous le nom d'identité de Sokhotski.
Exercice 4.2.6 Prouver, au sens des distributions, la relation
Solution: La fonction
( 2 a 2 ) étant localement sommable, définit une dis7r X +a
tribution. On a
a
i (
1
1 )
7r(x 2 + a 2 ) = 27r x + ia - x - ia '
et comme dans l'exercice 4.2.5,
.
1lm
a-+O+ 7r(x2
a
+ a2)
=
-i
=
-
=
27r
( l'l m -1- - - l'lm - 1 -)
a-+O+ x
+ ia
i(l ·~
27r
ô.
a-+O+ x -
ia
·~) ,
vp- - 't1fu - vp-1 - 't1fu
X
X
'
94
CHAPITRE 4. CONVERGENCE DES DISTRIBUTIONS
Exercice 4.2. 7 On considère les deux suites de fonctions réelles définies par
fk(x) = Yk
1:
9k(x) = V'ke-kx 2 •
e-kt 2 dt,
On désigne par fk et 9k les distributions associées à ces fonctions.
1°) Déterminer la limite, dans 'D', de la suite (Jk) lorsque k ---+ oo.
2°) En déduire que, dans 'D', la suite (gk) converge vers cô où c est une
constante à déterminer.
Solution : 1°) On a clairement
lfk(x)I S Yk
1:
00
e-kt 2 dt,
puisque e-kt 2 est positive. Or J~;: e-kt 2 dt= JI, donc lfk(x)I S .Ji. Posons
u =../kt. D'où
lim fk(x) = { V'ff0
k-+oo
si x > 0
.
Sl
X< Ü
= y'Tr
'-H( )
X '
où H(x) est la fonction d'Heaviside. Les hypothèses de la proposition 4.1.3
étant satisfaites, on en déduit que dans 'D', fk converge vers ..JffH.
2°) Comme
fk(x) = V'ke-kx 2 = 9k(x),
alors
lim 9k = lim fk = .fiiH' = ../iiô,
k-+oo
k-+oo
en vertu de la proposition 4.1.4.
Exercice 4.2.8 Soit T une distribution quelconque. Montrer qu'au sens des
distributions
lim T(x + h) -T(x) = T'.
h-+0
h
Solution : Remarquons que :
T(x + h) - T(x)
h
où 7-hT est la translatée de T par -h. Pour tout cp E 'D, on a
(7-h~-T,cp) = ~(7-hT,cp)- ~(T,cp),
=
( T, Th<ph- cp)'
_ fr cp(x-h)-cp(x))
\ '
(T, <Ph),
h
'
4.2. EXERCICES RÉSOLUS
95
où 'Ph= <p(x-hz-<p(x) E 'D. Le problème consiste à prouver que, pour tout cp E
'D, limh_.o(T, 'Ph) = (T, -cp'). Comme Test continue sur 'D, il suffit de montrer
que 'Ph tend vers -cp' au sens de la convergence sur 'D. Notons tout d'abord
que tous les supports des 'Ph sont contenus dans un même compact. Montrons
que pour tout j EN, la suite des dérivées ( 'P~)) converge uniformément vers
-cp(j+l). En effet, on a
et
j'P~)(x) + cp(j+l)(x)j ~ fo 1 lcp(j+l)(x) - cp(i+l)(x - ht)j dt.
Les hypothèses du théorème des accroissements finis étant satisfaites, alors il
existe Ç E]x - ht, x[ tel que :
Dès lors,
où M est une borne supérieure de lcpCi+ 2)1· Donc 'P~) tend uniformément vers
-cp(i+I) quand h --+ O. Par conséquent,
lim ( Lh:- T, cp) = lim (T, 'Ph) = (T, -cp') = (T', cp),
h->O
h->O
d'où le résultat.
Exercice 4.2.9 Soit e > O. On note fe la distribution associée à la fonction
localement sommable fe(x) définie par
fe(x) = {
l
oê
si x E [0, ë]
sinon
Montrer que, dans 'D', lim fe = ô.
e->0
Solution : Soit cp E 'D. On a
lim(fe, cp) = lim ~
e->O
r cp(x)dx.
e->O ê } 0
96
CHAPITRE 4. CONVERGENCE DES DISTRIBUTIONS
D'après le théorème de la moyenne (si une fonction f est continue sur un
intervalle [a, b], alors il existe Ç E]a, b[ tel que :
f(x)dx = (b - a)f(Ç)), on
peut écrire
J:
foe cp(x)dx = ecp(Ç), Ç E]O, e[,
et dès lors
lim(fe, cp) = lim cp(e) = cp(O) = (8, cp).
e--+O
e--+O
Exercice 4.2.10 Soient f(x) une fonction sommable telle que son intégrale
sur~ vaut 1 et fk(x) = kf(kx), la suite {de Dirac) associée à cette fonction.
Soit cp E 'D. Vérifier que la suite de fonctions définie par 9k(u) = f(u)cp('!D,
où u = kx, satisfait aux hypothèses du théorème de convergence dominée de
Lebesgue. Calculer, au sens des distributions, la limite de fk lorsque k ---+ oo.
Solution : Pour tout u E R, la suite (gk) converge simplement vers une fonction
sommable limk--+oo 9k(u) = cp(O)f(u). En outre, pour tout k EN* et tout u E ~.
il existe une fonction sommable qui majore l9k(u)I,
l9k(u)I S lf(u)I. sup lcp(u)I.
lR
On a
/!.~. (fk, cp) = kl!._.~ 1 : fk(x)cp(x)dx,
00
k~
=
1:
00
kf(kx)cp(x)dx,
kl!._.~1:00 f(u)cp (~)du,
avec u = kx. Les hypothèses du théorème de convergence dominée de Lebesgue
étant satisfaites, on peut donc permuter limite et intégrale,
kl!._.~ (fk, cp) = 1 : kl!._.~ f(u)cp (~)du,
00
cp(O)
=
Par conséquent, limk--+oo fk = 8.
1:
00
f(u)du,
cp(O) par hypothèse,
(8, cp).
4.2. EXERCICES RÉSOLUS
97
Exercice 4.2.11 Soit (fk) la suite de fonctions définie sur lR par
fk(x) = kv'kxe-kx 2 ,
k EN*.
Etudier la convergence, dans V', de (fk) en utilisant :
a) le théorème de convergence dominée de Lebesgue.
b) la méthode des développements de Taylor.
Solution : Notons tout d'abord que les fonctions fk(x) déterminent des distributions sur lR car elles sont localement sommables.
a) Soit <p E V. On a
(/k, cp) =
1+00 kv'kxe-kx cp(x)dx = v'k 1+00 te-t <p v'kt ) dt,
2
-oo
2
-oo
(
où t = ./kx. On fait une intégration par parties, en posant :
dv =te
-t2
dt,
D'où
-1
Y /l;
t2
t
1
- -ri:
e - <p ( - ) +oo +
2
./k -OO 2
11+
00
t ) dt,
2 -OO e-t2 <p' ( ./k
et
+ OO e- t2 <pI ( - t ) dt
-OO
./k
'
(car supp <p est borné),
11+
00
t ) dt.
kl~1! (/k, <p) = 2 -OO e-t 2 <pl ( ./k
Posons 9k(t) = e-t2 <p1 ( ~). Pour tout t E JR, on a
lim 9k(t) = cp'(O)e-t2 •
k-+oo
En outre, pour k E N* et tout t E JR, l9k(t)I ~ e-t2 supIR jcp'(t)j. Ainsi les
hypothèses du théorème de convergence dominée de Lebesgue sont satisfaites
98
CHAPITRE 4. CONVERGENCE DES DISTRIBUTIONS
et on peut donc permuter limite et intégrale,
1:l+oo
kl~~ (fk, cp) = ~
00
e-t 2cp'
cp'(O)
2
-
V:
e
(~)dt,
-t2dt
,
-OO
cp'(O),
V'ff (ô,cp,
')
2
-v:
=
(ô', cp).
b) Soit cp E 'D. On a
(fk, cp) =
1
+00
2
_00 kVkxe-kx cp(x)dx.
On a (d'après l'exercice 1.6.1, avec n = 1),
cp(x) = cp(O) + xcp'(O) + x 20(x),
où 0 est continue sur R. et suplR IO(x)I ~ AsuplR lcp"(x)I, avec A > 0 une
constante. Dès lors,
(fk, cp)
=
kVk ( cp(O)
1:
00
xe-kx 2dx + cp1(0)
+
l:oo
1:
00
x 2 e-kx 2dx
x3e-kx20(x)dx).
Pour la première intégrale, on a J~;: xe-kx 2dx = 0, car xe-kx 2 est impaire.
La seconde intégrale s'écrit J~;: x 2 e-kx 2dx = 2 0+00 x 2 e-kx 2dx. On fait une
intégration par parties, en posant
J
u = x,
du = dx,
dv = xe-kx 2dx,
v=-
2~ e-kx2.
D'où
1o+ x e-kx2dx = - 2k e-kx dx o+ + 2k1 1+o e -kx2dx = 4k1 fik,
r+oo e-kx dx = 2.V
1 fi
car cp est à support borné et Jo
k' Dès lors,
00
2
X
00
00
2
1
2
1
+00 2 -kx 2
1
o x e
dx = 2k
fik"
7r
7r
99
4.2. EXERCICES RÉSOLUS
Par conséquent,
lim (fk, cp) = ~
2 cp'(O) + lim kVk
k-+oo
k-+oo
l
+oo
_00
x 3 e-kx 2 e(x)dx.
Posons supp cp = [-c, c]. On a
lkVk
1_:
00
x 3 e-kx 2 e(x)dxl < kVk
l
e
2
c3 e-kc .A sup lcp"(x)ldx,
-c
xE(-c,c]
2kVkc4e-kc2 .A sup
lep" (x) ldx,
xE[-c,c]
et cette dernière expression tend vers 0 lorsque k---+ oo. Finalement,
Exercice 4.2.12 Déterminer la limite, quand a---+ 0, de la distribution définie
par
Ta = 21 (vp-1- - vp-l-) ,
a
x-a
x+a
où vp ~ est la distribution définie dans l'exercice 1. 6. 3.
Solution : Soit cp E 'JJ. On a
/ ]___ (vp-l - vp-l ) , cp) ,
\2a
x-a
x+a
]___ / vp-l , cp)- ]___ / vp-l , cp) .
2a \ x - a
2a \ x + a
Or la distribution vp
(Ta, cp)
xla est la translatée de vp~ par la translation :i=a, donc
= ]___ j vp.!, cp(x +a))- ]___ j vp.!, cp(x - a)),
2a \
2a \ x
j 1 cp(x +a) - cp(x - a))
= \vp;,
2a
'
=
(
x
vp~, cI>a),
où cI>a = cp(x +a) ~ cp(x - a) E 'JJ. On a pour tout x E ~,
2
. .m.
1lffi
':l'a
a-+O
. 1 (cp(x +a) - cp(x) cp(x - a) - cp(x))
1lffi
= a-+O
-2
+
= cp'( X ),
a
-a
\
CHAPITRE 4. CONVERGENCE DES DISTRIBUTIONS
100
et on montre comme dans l'exercice 4.2.8, que cI>a tend vers c.p' au sens de la
convergence sur V. Comme vp~ est continue sur V, alors
lim (Ta, c.p)
a~o
lim (vp.!., cI>a) ,
=
X
a~O
vp~,c.p')'
=
(
=
- ( (
=
( P f : 2 , c.p),
vp~ )' 'c.p) '
Par conséquent,
(vp-1)'
lim Ta= -
X
a~O
(voir exercice 2.4.2).
1
= Pf2·
X
Exercice 4.2.13 Soit ê > O. On note X[-e,ej(x) la fonction caratéristique de
[-ê, E], égale à 1 sur [-ê, ê] et à 0 ailleurs. Posons
1
fe(x) = ên+lX[-e,ej(x).
Montrer qu'au sens des distributions,
. .f! 1Im
Je -
e~o
2(-l)n i'(n)
(n + 1)!
u
•
Solution: La fonction fe(x) détermine une distribution car elle est localement
sommable. Par définition, on a
1 r
lim(fe, c.p) = lim ~
c.p(x)dx,
e~o
e~o ên 1-e
c.p EV.
On a d'après l'exercice 1.6.1.,
n
c.p(x) =
k
L: %, c.p(k>(o) + xn+le(x),
k=O
e
où est continue sur lR et SUPxE[-c,c] IO(x)I ~ AsupxE[-c,c] lc.p(n+l)(x)I, avec
A > 0, c > ê des constantes. Dès lors,
4.3. EXERCICES PROPOSÉS
101
Or
ek+l _ (-e)k+l = {
0 si k = 2p+ 1
2e2P+l si k = 2p
donc
J
e
cp(x)dx = 2
-e
n/2
2p+l
Je
L::
e
,cp< 2P>(o) +
xn+lo(x)dx,
(2p + 1).
-e
p=O
et
1. ( .r
) - 2 cp(n)(Q)
1·
1 Je n+ltJ( )d
(n + l)'. + e--+O
lm -----+I
x x.
en
-e x
lm Je, cp e--+O
Comme
l-en~-1 1-: xn+lo(x)dxl < en~l
<
e
1-:
lxn+lllO(x)ldx,
n~l (Je lxn+lldx) A sup lcp(n+l)(x)I,
xE(-c,c)
-e
r
n~ri ( lxn+lldx) A sup lcp(n+l)(x)I,
e Jo
xE[-c,c)
~! 2 A sup lcp(n+l)(x)I,
e
xE(-c,c)
alors
1
lim -+1
e--+O en
JE: xn+lo(x)dx = 0,
-e
et par conséquent
. (
)-
cp(n)(O) (
hm fe,cp - 2( n + l)I. ô,cp
e--+O
4.3
2(-l)n ( (n) )
- (n + l)I. Ô ,cp ·
(n)) -
Exercices proposés
Exercice 4.3.1 Montrer que la suite de fonctions
converge dans V' vers une limite que l'on précisera.
Réponse: 1.
CHAPITRE 4. CONVERGENCE DES DISTRIBUTIONS
102
Exercice 4.3.2 Calculer dans l'espace des distributions sur R, les limites suivantes:
sin~
a) lim--e.
e-+O 1rX
b) lim sin kx.
k-+oo
Réponse : a) ô (voir exercice 4.2.1), b) O.
Exercice 4.3.3 Soit f la fonction définie par f(x) = 2~ L:~=-n eikx. Montrer que cette fonction détermine une distribution et qu'elle converge vers une
distribution à déterminer.
Réponse : La fonction f(x) est localement sommable et la distribution qui lui
est associée converge vers I:~-oo ô21rk.
Exercice 4.3.4 On définit pour k 2: 1, une suite de fonctions réelles par
1
+00
a) Soit cp EV. Déterminer lim
k-+oo
fk(x)cp(x)dx.
-OO
b) Calculer au sens des distributions lim fk·
k-+oo
Réponse : a) cp(O), b) ...foô.
Exercice 4.3.5 Déterminer la limite pour a ---+ 0 de ôa+ô~l- 28 , où Ôa est la
distribution de Dirac au point a.
Réponse : ô".
Exercice 4.3.6 Calculer au sens des distributions limk-+oo
! I:J=o f ( ~) Ô1/k•
où f est une fonction continue par morceaux sur l'intervalle [O, 1].
Réponse : La limite est égale à la distribution associée à la fonction f.
Exercice 4.3. 7 On considère les fonction définies par
f(x)
~ 1 +
{
+00 e-xt
--dt
0
1 t2
0
si X 2: Ü
si X< Ü
4.3. EXERCICES PROPOSÉS
103
et
f.x(x) = H(x)
1
>.
0
-xt
-1e 2 dt,
+t
où À> 0 et H(x) est la fonction d'Heaviside. On désigne par f>. la distribution
régulière associée à la fonction f.x(x) et par f celle associée à f(x).
1} Calculer pour tout xi= 0, l'expression : f"(x) + f(x).
2} Calculer Jf + f.x.
3) Montrer que :
{1 <p(x) - <p(O) dx + {+oo <p(x) dx = (Pf H(x), <p),
lo
11
X
X
X
où <p EV et Pf Hix) est la partie finie définie dans l'exercice 2.4.9 et que l'on
peut l'écrire aussi sous la forme : Pf H~x) = lime-+O ( H(:-e) + ô(x) lnc).
4) En déduire que dans V',
lim
~oo
(l -
e->.x H(x) - ôlnÀ) = Pf H(x) + Cô,
X
X
où C est une constante.
5} En utilisant les résultats obtenus dans les questions 2} et 4), calculer
l'expression : f" + f.
6} Montrer que : C = - f0+00 e-x lnxdx (constante d'Euler).
Réponse : On obtient 1) H~x), 2) 1 -~-.x., H(x) +arctan À.Ô1 - ~ ln(l + À2 )ô et
5) Pf H~x) + Cô + ~ô'.
Exercice 4.3.8 Pour tout k E N*, on considère la suite définie par
fk(x) = {
-k si !xi < .l
. 1
2k
1
2k si 2 k < !xi < k
0 si !xi>
Calculer au sens des distributions lim fk.
k-+oo
Réponse: ô.
k
Chapitre 5
Convolution
Introduction
Ce chapitre est consacré à l'étude du produit de convolution des distributions. Il commence par une étude détaillée et systématique du produit tensoriel. Après un rapide exposé sur le produit de convolution des fonctions, nous
passons alors à l'étude proprement dite du produit de convolution des distributions. Nous accordons une attention particulière aux algèbres de convolution,
aux équations de convolution et à leurs applications à la recherche de l'inverse
des opérateurs différentiels ainsi qu'à la résolution des équations différentielles.
Le produit de convolution intervient souvent dans l'analyse des systèmes linéaires et homogènes. Le reste du chapitre comporte des exercices résolus ainsi
que des exercices proposés.
5.1
Produit tensoriel
Soient f(x) et g(y) deux fonctions localement sommables respectivement
sur Rm et sur Rn.
Définition 5.1.1 Le produit tensoriel (ou direct) de f et g est une application,
notée f ® g, définie par
f ® g: Rm X Rn~ R,
(x, y)~(!® g)(x, y)= f(x)g(y).
On montre aisément que f ® g est localement sommable sur Rm x Rn. En
effet, soit Kun borné de Rm x Rn. On a
[ l(f ® g)(x, Y)ldxdy ~ ( [ lf(x)ldx) . ( [ lf(y)ldy) < +oo.
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
106
Donc f ® g détermine une distribution et on a, pour tout <p E V(JRm x JRn),
X E JRm, y E ]Rn,
(! ® g, <p)
r
r
(f ® g)(x, y)<p(x, y)dxdy,
}JR.mxJR.n
}JR.mxJR_n
J(x)g(y)<p(x, y)dxdy,
r f(x)dx }JR.nr g(y)<p(x, y)dy,
r g(y)dy }JR.m
r f(x)<p(x, y)dx,
}JR.n
}JR.m
en vertu du théorème de Fubini. Ces relations s'écrivent encore sous la forme
(! ® g, <p) = (J(x), (g(y), <p(x, y)))= (g(y), (J(x), <p(x, y))).
En particulier, si <p(x, y) est de la forme <p(x, y) = u(x)v(y), avec u E V(JRm)
et v E V(JRn), alors
(! ® g,u ®v)
r J(x)g(y)u(x)v(y)dxdy,
(Lm f(x)u(x)dx) . (Ln g(y)v(y)dy) ,
}JR.mxJR.n
(!, u) (g, v).
Exemple 5.1.1 Le produit tensoriel des fonctions
f(x) = { ~
si X> Ü
si X< Ü
'
g(y) = { 01 si y > 0
si y< 0
est donné par
(f ® g)(x, y)= f(x)g(y) = { ~
six> 0 et y> 0
six< 0 et y< 0
Considérons deux distributions S = Bx E V'(JRm) et T = Ty E V'(JRn).
Proposition 5.1.2 Il existe une distribution unique W E V'(JRm x JRn) telle
que :
i) pour tout u E V(JRm) et tout v E V(JRn), (W, u ® v) = (S, u)(T, v).
ii) pour <p E V(JRm X iRn), (W, <p) = (Sx, (Ty, <p(x, y))) = (Ty, (Sx, <p(x, y))).
La démonstration de cette proposition utilise les deux lemmes suivants :
5.1. PRODUIT TENSORIEL
107
Lemme 5.1.3 Soient TE V'{Rn) et cp E V{Rm x Rn). Considérons l'applica-
tion
x ~ O(x) = (Ty, cp(x, y)).
Alors,
a) la fonction O(x) appartient à l'espace V(Rm) et ses dérivées successives
s'obtiennent par dérivation sous le signe distribution :
D~O(x) = (Ty, D~cp(x, y)),
où D~ désigne une dérivation d'ordre a en x.
.
b} si 'Pk
V(RmxRn)
V(Rm)
,
--+
cp, alors Ok --+ 0 {ou Ok(x)
= (Ty,cpk(x,y))).
Démonstration : Voir exercice 5.6.11.
Démonstration : Voir exercice 5.6.12.
Démonstration de la proposition 5.1.2 : Pour l'existence, considérons une
application W sur V{Rm x Rn), définie par
(W, cp) = (Sx, (Ty, cp(x, y))),
où cp E V{Rm x Rn). Cette application a bien un sens car d'après le lemme
5.1.3, a), la fonction définie par O(x) = (Ty, cp(x, y)) appartient à V{Rm).
L'application en question est linéaire. Montrons qu'elle est continue. Autrement dit, montrons que si la suite (cpk) converge dans V{Rm x Rn) vers
cp, alors (W,cpk) converge vers (W,cp). Posons Ok(x) = (Ty,cpk(x,y))). On a
(W, 'Pk) = (Sx, Ok(x)). Or d'après le lemme 5.1.3, b), la suite (Ok) converge
dans V{Rm) vers 0, donc (W, cpk) converge vers (Sx, Ok(x)) = (W, cp). Par
conséquent, l'application W détermine une distribution. Si cp(x, y) est de la
forme cp(x, y) = u(x)v(y) avec u E V{Rm) et v E V{Rn), alors
(W,u®v)
(Sx,(Ty,u(x)v(y))),
= (Sx, u(x)(Ty, v(y)) ),
(Sx, u(x))(Ty, v(y)),
= (S,u)(T,v).
=
On obtient le même résultat en choisissant la distribution définie par
(W, cp) = (Ty, (Sx, cp(x, y))).
Enfin, l'unicité de W résulte immédiatement du lemme 5.1.4 de densité. D
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
108
Définition 5.1.5 La distribution W définie dans la proposition précédente,
s'appelle le produit tensoriel (ou direct) des distributions S et T. Elle est notée
W=S®T.
Exemple 5.1.2 Soit a, b E R On a Oa ®Ob = O(a,b). En effet, on a pour cp E 'D,
(oa ®Ob, cp} = (oa.,, (obyi cp(x, y)}}= (oa., 1 cp(x, b)} = cp(a, b) = (O(a,b)i cp}.
Proposition 5.1.6 (Distributivité par rapport à l'addition) : Soit S, Ti, T2 E
'D'. On a
Démonstration : En effet, cette propriété résulte immédiatement de la définition
du produit tensoriel. D
Proposition 5.1.7 (Associativité} : Soient RE 'D'(Rl), SE 'D'(Rm) et TE
'D' (Rn). Alors
(R® S) ®T = R® (S®T).
Démonstration : En effet, soit u E 'D(Rl), v E 'D(Rm), w E 'D(Rn). On a
((R®S)®T,u®v®w}
=
=
(R®S,u®v}(T,w},
(R,u}(S,v}(T,w},
(R® (S ®T),u®v ®w},
d'où le résultat. D
On écrit R ® S ® T = (R ® S) ® T = R ® (S ® T). Cette distribution
appartient à l'espace 'D'(Rl x Rm x Rn).
Proposition 5.1.8 (Support du produit tensoriel} : Soient S E 'D'(Rm) et
T E 'D' (Rn). Alors
supp( S ® T) = suppS x suppT.
Démonstration : En effet, montrons tout d'abord que
suppS x suppT c supp(S ® T).
Autrement dit si (x, y) E suppS x suppT, la distribution S ® T n'est nulle sur
aucun voisinage de (x, y). Désignons par V(x) un voisinage de x dans Rm, V(y)
un voisinage de y dans Rn et V(x) x V(y) un voisinage de (x, y) dans Rm x Rn.
Puisque x E suppS, alors il existe une fonction u E 'D(V(x)) telle que: (S, u} =/:
O. De même, comme y E suppT, alors il existe une fonction v E 'D(V(y)) telle
5.1. PRODUIT TENSORIEL
109
que : (T, v) =/=O. Donc on peut trouver une fonction u ® v E V(V(x)V(y)) telle
que: (S ® T, u ® v) = (S, u)(T, v) =/=O. Montrons maintenant que
supp(S ® T) c suppS x suppT.
Autrement dit si (x, y) fi. suppSxsuppT, alors (x, y) fi. supp(S®T). Supposons
par exemple que x fi. suppS. Il existe alors un voisinage V(x) de x tel que :
pour toute fonction 0 E V(V(x)), (S, 0) = O. Soit V(y) un voisinage de y et
considérons une fonction <p E V(V(x) x V(y)). Dès lors, O(x) = {Ty, <p(x, y)) E
V(V(x)) et (S ® T, <p) = (S, 0) = 0, ce qui achève la démonstration. D
Proposition 5.1.9 Soit S E V'(~m), T E V'(~n), f E &(~m), g E &(~n).
On a
(f ® g)(S ® T) = (f S) ® (gT).
Démonstration : En effet, soit u E V(~m), v E V(~n). On a
((! ® g)(S ® T), u ® v)
(S © T, (f ® g)(u ® v)),
(S ® T, (fu) © (gv)),
(S, fu) (T, gv),
= (JS, u)(gT, v),
=
((f S) © (gT), u ® v),
d'où le résultat. D
Proposition 5.1.10 {Dérivation du produit tensoriel} : Soient S E V'(~m)
et T E V' (~n). Alors
D~D~(S®T) = D~S®D~T,
où D~ désigne une dérivation d'ordre a en X et
en y. En particulier, on a
ne
une dérivation d'ordre f3
et
Démonstration : En effet, pour tout <p E V(~m x ~n),
(D~D~(S ® T), <p)
= (-1r+/3(s ® T, D~D~<p),
(-1r+f3(Dx, (Ty, D~D~<p(x, y))),
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
110
et
((D~S)x, ((DeT)y, rp(x, y))),
(-1)13 ((D';:S)x, (Ty, Derp(x, y))),
(-l)'l!+/3 (Sx, D~(Ty, Derp(x, y))),
(-1r+/3 (sx, (Ty, D~Derp(x, y))),
en vertu du lemme 5.1.3, a). D
Proposition 5.1.11 (Continuité du produit tensoriel} : Soient (Sa) et (Ta)
deux familles de distributions dépendant d'un paramètre a telles que :
lim Ta= T,
lim Sa= S,
a-+>.
a-+>.
où À est fini ou non. Alors
lim(Sa ®Ta)= S @T.
a-+>.
Nous admettrons ce résultat (voir [10) p.110 ou [12) p.211).
5.2
Convolution des fonctions
Définition 5.2.1 On définit le produit de convolution (quand il existe) de deux
fonctions f et g par
(! * g)(x) =
1_:
00
f(t)g(x - t)dt =
1_:
00
f(x - t)g(t)dt,
x E lR
On dit aussi que f * g est la convolée de f et g.
On notera que le produit de convolution est commutatif : si f * g existe, le
produit Y*f existe aussi et on a f *9 = 9*f. En effet, en faisant le changement
de variable u = x - t, on aura
j +oo
j+oo
f * g = _00 f(t)g(x - t)dt = _00 g(u)f(x - u)du = g * f.
On notera aussi que le produit de convolution est distributif par rapport à
l'addition : si f * g et f * h existent, alors f * (ag + {3h) existe aussi et on a
f * (ag + {3h) =a(!* g) + {3(! * h).
Cela résulte de la linéarité de l'intégrale.
5.2. CONVOLUTION DES FONCTIONS
111
Proposition 5.2.2 Soit f, g E .ci (JR). Alors,
a) f * g existe presque partout, f * g E .ci(JR).
b} Il!* Ylli :::; llflli·llYlh·
c) (! * g) * h = f * (g * h) où h E .ci(JR).
Démonstration : a) En effectuant le changement de variables : u = t, v = x - t,
dont le jacobien est égal à 1, on obtient immédiatement
1: 1: lf(t)llg(x - t)ldxdt = 1: lf(u)ldu.1: lg(v)ldv < +oo,
00
00
00
00
pour tout f, g E .ci (JR). Dès lors, la fonction J~;: f (t) g( x - t )dx existe presque
partout et f * g E .ci(JR), en vertu du théorème de Fubini.
b) On a
Il!* Ylli
=
<
1: l(f * g)(x)ldx,
00
1: 1:
00
00
lf(t)llg(x - t)ldtdx,
=
1: lf(u)ldu.1: lg(v)ldv,
=
llflh-llYlh,
d'après ce qui précède.
c) On a
(! * g)(x) =
((! * g) * h)(y) =
00
1:
1: 1:
1:
1: 1:
00
(g * h)(z) =
((! * (g * h))(y) =
=
f(t)g(x - t)dt,
x E lR
1: (! * g)(x).h(y - x)dx,
00
00
et
00
00
00
y E lR
f(t)g(x - t)h(y - x)dtdx,
g(s)h(z - s)ds,
z E lR
1: f(r)(g * h)(y - r)dr,
00
00
00
f(r)g(s)h(y- r - s)drds.
En posant r = t, et s = x - t, on obtient le résultat cherché. D
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
112
Proposition 5.2.3 Soit f, 9 E .C2 (R). Alors, la fonction f * 9 existe et on a
If* 9loo ~ llfll2-ll9ll2·
Démonstration : En posant Tt9(x) = 9(x - t), on obtient
1-: lrt9(x)l 2dt=1-: l9(x - t)l 2dt, =
00
00
1-+: l9(s)l 2ds < +oo,
où s = x - t et dès lors 7t9 E .C2 (R). L'inégalité de Schwarz entraîne que
If* 9l 2 (x)
11-:
00
f(t)rt9(x)dtl
2
< 1-:00 lf(t)l 2dt. [ : lrt9(x)l2dt,
00
llfll~-11911~·
Donc f * 9 est bien définie et If* 9loo ~ llfll2·ll9ll2- D
Remarque 5.2.1 Nous avons montré dans la proposition 5.2.2, que si f,9 E
.C 1 (R), alors f *9 E .C 1 (R). Par contre, si f,9 E .C2 (R), alors f *9 existe mais
peut ne pas appartenir à .C2 (R).
Définition 5.2.4 Une fonction f est dite causale si f(t) = 0, t < O.
On peut également la définir par la relation f(t) = 2fp(t) = 2/i(t), t > 0 où
fp(t) = f(t) +2f(-t)'
fi(t) = f(t) -2f(-t)
car pour t > 0, on a f(-t) =O.
Proposition 5.2.5 Soient f et 9 deux fonctions continues et causales. Alors,
a) la fonction f * 9 existe. Elle est causale et on a
(f * 9)(x)
=fox f(t)9(x - t)dt =fox 9(t)f(x - t)dt.
b) On a (f * 9) * h = f * (9 * h), où h est causale. En outre ces fonctions
sont causales.
Démonstration : C'est une conséquence immédiate des définitions. D
Il existe bien d'autres conditions suffisantes pour l'existence de f * 9. Par
exemple, si supp f et supp 9 sont bornés à gauche (resp. à droite), c'est-à-dire
supp f C [a, +oo[ (resp. ] - oo, a]) et supp 9 C [b, +oo[ (resp. ] - oo, b]), alors
f * 9 existe et supp (f * 9) est borné à gauche (resp. à droite). Signalons aussi
que si f et 9 sont continues et si supp f et supp 9 sont bornés, alors f * 9
existe et supp (f * 9) est borné. Enfin, d'autres cas dans lesquels le produit de
convolution existe seront énoncés à titre d'exercice.
5.3. CONVOLUTION DES DISTRIBUTIONS
5.3
113
Convolution des distributions
Soient f et g deux fonctions de .C 1 (JR). On a, pour tout cp E 'D,
l +oo
(! * g, cp) = _00 (! * g)(x)cp(x)dx =
l+oo l+oo f(t)g(x - t)cp(x)dtdx.
-oo
-oo
En posant u = t, v = x - t, on obtient
(! * g, cp) =
1+001+00 f(u)g(v)cp(u + v)dudv,
-oo
_
00
ce qui nous conduit à écrire cette expression sous la forme
(f *g,cp) = (f ®g,cp(u+v)),
cp E 'D
où f ® g est le produit tensoriel de f et g. Cette expression fait intervenir la
fonction
(u, v) 1----7 'l/J(u, v) = cp(u + v),
(u, v E JR)
à laquelle il s'agit d'appliquer le produit f ® g. Or si cp E 'D(JR), la fonction 'l/J
est indéfiniment dérivable mais n'appartient pas à 'D(JR2 ) car son support n'est
pas borné. En effet, si supp cp = [a, b], alors (u, v) E supp 'l/J si et seulement si
u + v E supp cp, et supp 'l/J = {(u, v) E JR 2 : a :S u + v :S b}, c'est-à-dire une
bande de JR 2 délimitée par les droites d'équations u + v =a et u + v = b.
Soient Set T deux distributions. S'inspirant de de ce qui vient d'être fait,
on va définir le produit de convolution de S et T et essayer de trouver des
conditions d'existence de ce produit. La difficulté vient du fait que 'l/J n'appartient pas à 'D(JR2 ) et celle-ci sera surmontée moyennant l'utilisation d'une
extension de S * T (voir ci-dessous) à l'espace de ces fonctions 'l/J (espace plus
large que 'D) comme cela a été fait dans la section 1.5 du chapitre 1.
Définition 5.3.1 On définit le produit de convolution (quand il existe) de deux
distributions S et T par
(S * T, cp) = (Sx ® Ty, cp(x +y)),
Vcp E 'D
où Bx ® Ty est le produit tensoriel de S et T.
Pour que cette définition ait un sens, il faut que S * T existe. On a déjà vu
que si cp E 'D(JR), alors 'l/J E C00 (JR2 ) et supp 'l/J n'est pas borné. Supposons que
supp 'l/J n supp (Sx ® Ty) soit borné. En procédant comme dans la section 1.5
du chapitre 1, on définit une extension de S * T à l'espace des fonctions 'l/J, en
posant
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
114
avec a E 1J valant 1 sur un voisinage de supp 'if; n supp (Sx@ Ty). D'après
la proposition 5.1.8, supp (Sx @ Ty) = supp S x supp T. On arrive ainsi à la
condition suffisante suivante :
{
Le produit de convolution S * T aura un sens si
supp 'if; n (supp S x supp T)
est borné
Cette condition est satisfaite par exemple lorsque :
(i) supp Sou supp Test borné : En effet, supposons par exemple supp S
borné, alors pour tout (x, y) E supp 'if; n supp S x supp T, on a x E supp S,
y E supp T et x + y E supp <p. Donc x et x + y sont bornés. Comme y =
(x +y) - x, on en déduit que y est aussi borné. Même raisonnement pour le
cas où supp Test borné.
(ii) supp Set supp T sont bornés d'un même côté : En effet, supposons
que supp Set supp T soient bornés à gauche, c'est-à-dire supp Sc [c1, +oo[
et supp T c [c2, +oo[. Pour tout (x, y) E supp 'if; n (supp S x supp T), on a
x ~ c1 et y ~ c2. Comme x +y E supp cp, alors il existe une constante c telle
que : x + y :::; c. Dès lors, c1 :::; x :::; c - y :::; c - c2 et c2 :::; y :::; c - x :::; c - c1.
Donc x et y sont bornés. Même raisonnement pour le cas où supp S et supp T
sont bornés à droite.
Proposition 5.3.2 (Commutativité} : Soit S, TE 1J'. Si S * T existe, alors
Démonstration : En effet, pour tout cp E 1J,
(S * T, cp)
= (Bx ® Ty, cp(x +y)),
=
(Sx,(Ty,cp(x+y))),
(Sy, (Tx, cp(y + x)) ),
(Tx@ Sy, cp(x +y)),
(T * S, cp),
d'où le résultat. D
Proposition 5.3.3 (Distributivité par rapport à l'addition) : Soit S, T1, T2 E
D'. Si S * T1 et S * T2 existent, alors
Démonstration : En effet, il suffit d'utiliser la distributivité du produit tensoriel
(voir proposition 5.1.6) et la linéarité des distributions. D
5.3. CONVOLUTION DES DISTRIBUTIONS
115
Proposition 5.3.4 (Associativité) : Soit R, S, T E V'. On a
(R * S) * T = R * (S * T),
si deux au moins de ces distributions sont à supports bornés ou si toutes ces
distributions ont leurs supports bornés d'un méme côté.
Démonstration : En effet, pour tout c.p E V,
((R * S) * T, c.p)
=
((R * S)x ® Tz, c.p(x + z)),
=
((R*S)x,(Tz,c.p(x+z))),
-
(Rx ® Sy, (Tz, c.p(x +y+ z)) ),
=
(Rx ® Sy ® Tz, c.p(x +y+ z)).
On montre de même que,
et la démonstration s'achève. D
Il faut bien noter qu'en général (R* S) *T f= R* (S *T), voir exercice 5.6.4.
Proposition 5.3.5 (Support d'une convolution) : Soit S, T E V' et supposons
que S * T existe. Alors
supp(S * T) c suppS + suppT.
Démonstration : En effet, posons F = suppS + suppT. L'ensemble Fest un
fermé puisque suppS et suppT sont des fermés et supp,,P n (suppS x suppT)
est borné, ,,P(x, y) = c.p(x +y). Soit c.p EV telle que : suppc.p c pc et montrons
que (S * T, c.p) = O. Par définition, (S * T, c.p) = (Sx ® Ty, c.p(x +y)). On sait
(proposition 5.1.8) que: suppSx®Ty = suppSx xsuppTy, et que (x, y) E supp,,P
si et seulement si x+y E suppc.p, supp,,P = {(x, y) : x+y E suppc.p}. Si x E suppS
et y E suppT, alors x +y E suppS + suppT. Or suppcp n F = 0, on en déduit
que supp,,P n suppSx ® Ty = 0. D'où, (Sx ® Ty, cp(x +y)) = 0, c'est-à-dire
(S * T, cp) = 0 et la démonstration est complète. D
Proposition 5.3.6 Pour tout TE V', on a T * ô = ô * T = T. En outre,
T * ô(k} = T(k},
kEN
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
116
Démonstration : En effet, T * ô existe puisque suppô = {O} est borné (voir
exemple 1.4.3) et d'après la proposition 5.3.2, T * ô = ô * T. D'où, pour tout
<p E 'D, on a
(Tx ® Ôy, <p(x +y)),
(Tx, (ôy, cp(x +y))),
(Tx, cp(x)),
(T, <p).
De même, on a
(Tx ® oik), <p(x +y)),
(Tx, (ôik), <p(x +y))),
(Tx, (-ll(ôy, <p(k)(x +y))),
(-l)k(Tx, <p(k)(x)),
(T(k), <p),
ce qui achève la démonstration. 0
Proposition 5.3. 7 {Dérivation d'une convolution) : Soit S, T E 'D'. Si S * T
existe, alors
(S * T)' = S' * T = S * T',
et plus généralement
où D°' désigne une dérivation d'ordre a.
Démonstration : En effet, pour tout <p E 'D, on a
-(S * T, <p1 ),
-(Sx ® Ty, <p1 (x +y))),
-(Sx, (Ty, <p 1 (x +y))),
(Sx, -(Ty, <p1 (x +y))),
(Sx, (T;, <p(x +y))),
(Sx ®
<p(x +y)),
(S * T', <p),
r;,
d'où (S*T)' = S*T'. En tenant compte de la commutativité, on obtient aussi
(S * T)' = S' * T, ce quit achève la démonstration. 0
117
5.3. CONVOLUTION DES DISTRIBUTIONS
Proposition 5.3.8 (Translation d'une convolution) : Soit S, T E 'D'. Si S *T
existe, alors
Ta(S * T) = S * (raT) = (raS) * T.
En particulier, Ôa * T = TaT, soit explicitement, ô(x - a)* T(x) = T(x - a).
Démonstration : En effet, pour tout cp E 'D, on a
(ra(S * T), cp) =
=
(S * T, T-a'P),
(Sx®Ty,T-acp(x+y))),
(Sx,(Ty,T-acp(x+y))),
(Sx, (raTy, cp(x +y))),
(Sx ® (raTy), cp(x +y)),
(S * (TaT), cp),
d'où Ta(S*T) = s* (raT). On montre de même que Ta(S*T) = (raS) *T. En
particulier, si S = ô, alors
D'après la proposition 5.3.6, on a ô * T = ô. Donc raT = Ôa * T. D
Proposition 5.3.9 (Continuité de la convolution) : Soient (Sa) et (Ta) deux
familles de distributions dépendantes d'un paramètre a telles que : lim Sa = S,
a-+À
lim Ta = T (>..fini ou non). Posons 'l/J(x, y) = cp(x +y), cp E V et supposons
a-+À
que supp Sa et supp Ta soient contenus dans deux ensembles fermés fixes A et
B tels que : supp 'l/J n (A x B) soit borné. Alors,
lim (Sa *Ta) = S * T.
a--+À
Cas particulier: soient Ta, T des distributions comme ci-dessus et S une distribution quelconque. Si l'une des conditions suivantes est vérifiée,
(i) supp Ta est contenu dans un ensemble fermé fixe.
(ii) supp S est borné.
{iii) supp Ta et supp S sont contenus dans le demi-espace x ~ O.
Alors
lim (S *Ta) = S * T.
a--+À
Démonstration : En effet, ce résultat résulte de celui que nous avons admis
(proposition 5.1.11) sur la continuité du produit tensoriel. D
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
118
Proposition 5.3.10 {Régularisation des distributions) : Soient T une distribution et f une fonction de classe C00 • Si T * f existe, alors c'est une fonction
de classe C00 , donnée par
T * f(t) = (Tx, f(t - x)) = g(t),
tE~
Démonstration : Soit <p E V. On a
(T*f,<p)
= (Tx©f(t),cp(x+t))),
= (Tx,(f(t),cp(x+t))),
\ Tx,
\ Tx,
=
1:
00
l+:
f(t)cp(x + t)dt),
J(t - x)cp(t)dt),
(Tx, (cp(t), J(t - x)) ),
(cp(t), (Tx, f(t - x))),
((Tx, J(t - x)), cp(t)),
(g(t), cp(t)),
où g(t) = (Tx, f(t - x)). On a
g' (t)
=
lim g(t + h~ - g(t),
h-+O
.
1
= h-+O
lm
=
.
1lm
h-+O
(Tx,J(t+h-x)-(Tx,f(t-x)))
h
'
\T
Xl
f(t+h-x)-f(t-x))
h
l
et on montre, comme dans l'exercice 4.2.8, que g'(t) = (Tx, f'(t - x)). On procède de même pour les dérivées successives et on obtient finalement l'expression
g(k)(t) = (Tx, j(k)(t - x)). La démonstration s'achève. D
Remarque 5.3.1 Dans la proposition précédente, si f EV et TE V' alors le
produit de convolution T * f existe car supp f est borné. De m€me, si f E E =
C00 et T E E' alors supp T est borné et T * f existe.
5.4
Algèbre de convolution
Définition 5.4.1 Une algèbre de convolution A est un sous-espace vectoriel de
V' tel que : (i) quels que soient S et T dans A, le produit de convolution S * T
existe et appartient à A. (ii} le produit de convolution, dans A, est associatif
et ô E A.
5.5. ÉQUATION DE CONVOLUTION
119
Dans une algèbre de convolution A, le produit de convolution joue le rôle
de la multiplication et est commutatif. Dans A, la distribution ô de Dirac joue
le rôle d'élément neutre.
Exemple 5.4.1 L'ensemble t:' des distributions à support borné est une algèbre de convolution.
Exemple 5.4.2 L'ensemble V~ des distributions sur lR à support dans lR+ est
une algèbre de convolution.
5.5
Équation de convolution
5.5.1
Définitions et propriétés
Soient A et B deux distributions données appartenant à une algèbre de
convolution A.
Définition 5.5.1 a) On appelle équation de convolution, toute équation de la
forme A * X = B, où X est une distribution inconnue appartenant à A.
b} On appelle inverse A- 1 de A dans A, toute solution X de l'équation
A* X= 8, où ô est la distribution de Dirac. On dit que A- 1 est une solution
élémentaire de l'équation A *X = B.
Le problème consiste à étudier l'existence et l'unicité de la solution X dans
l'algèbre de convolution A.
Proposition 5.5.2 Si A possède un inverse A- 1 dans une algèbre de convolution A, alors cet inverse est unique et l'équation A* X = B, B E A, a une
solution unique donnée par X= A- 1 *B.
Démonstration : En effet, A admet un inverse unique car si A* X = ô avait
une autre solution Y dans A, on aurait A * Y = ô ou, compte tenu de la
commutativité, Y* A= ô. Dès lors,
Y = Y* ô = Y* (A* X) = (Y* A) *X = ô *X = X.
On déduit par convolution des deux membres de l'équation A* X = B par
A- 1 que: A- 1 *A* X= A- 1 * B, c'est-à-dire X= A- 1 *B. D
Remarques 5.5.1 a) Nous venons de voir que si, dans A, l'inverse A- 1
existe, alors l'équation A* X= B admet une solution unique. Or A- 1 peut ne
pas exister comme le montre l'exemple suivant : soient A une fonction de V et
X une distribution quelconque. On sait alors (remarque 5.3.1) que le produit
120
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
de convolution A * X existe et que (proposition 5. 3.10) c'est une fonction de
classe C00 • Celle-ci ne peut étre égale à 8 et donc A- 1 n'existe pas.
b} Si l'inverse A- 1 n'existe pas, alors l'équation A *X = B n'a pas de
solution pour B = 8, mais peut avoir plusieurs solutions (pour certaines valeurs
de B}, ou au contraire n'avoir aucune solution. Signalons que l'unicité de la
solution est encore assurée dans le cas où A est une algèbre de convolution sans
diviseurs de zéros (c'est-à-dire quels que soient S et T dans A, S * T = 0 si et
seulement si S = 0 ou T = 0), c 'est le cas par exemple des algèbres E' et 'D~.
c) Il se peut que l'équation A* X= B où A, BE A, possède une solution
dans l'algèbre de convolution A et une autre solution n'appartenant pas à A.
Par exemple, l'équation
(8' - c2 8) *X= 8,
c 'f. 0
possède dans 'D~ la solution ~H(x)sh(cx) et une autre solution ;/-clxl qui
n'appartient pas à 'D~.
Exemple 5.5.1 Soient S, TE 'D~ et s- 1 , r- 1 leurs inverses respectifs. Alors
(S * r)- 1 = s- 1 * r- 1 .
En effet, comme S et T sont à support bornés, le produit de convolution S * T
existe, il est commutatif (proposition 5.3.2} et associatif (proposition 5.3.4).
Dès lors,
Exemple 5.5.2 Montrons que :
où c E C et H(t) est la fonction de Heaviside. En effet, on a
(8' - c8)- 1 * H(t)ét
=
8' * H(t)ect - c8 * H(t)ét,
(H(t)ét)' - cH(t)ét,
=
H'(t)ét,
8ét
=
ô.
'
121
5.5. ÉQUATION DE CONVOLUTION
5.5.2
Opérateurs différentiels à coefficients constants
Soit D un opérateur différentiel d'ordre m, à coefficients constants :
dm
dm-1
d
D = dtm +ai dtm-1 + ... + am-1 dt +am.
On a
Dô = 5(m) + aiô(m-l) + · · · + am-1Ô1 + amÔ,
où 5(m) est la dérivée mième de la distribution ô de Dirac. On veut déterminer
l'inverse de convolution de Dô.
Proposition 5.5.3 Dans D~, l'inverse de Dô est donné par
(Dô)- 1 = H(t)Z(t),
où H(t) est la fonction de Heaviside et Z est la solution de l'équation: DZ = 0,
vérifiant les conditions initiales suivantes :
Z(O) = Z'(O) = · · · = z(m- 2)(0) = 0,
z(m-l)(o) =
1.
Démonstration : Il suffit de vérifier que X = (Dô)- 1 = H(t)Z(t), est bien
solution de l'équation : Dô *X= ô. Cette dernière s'écrit
(o(m) + aiô(m-l) + · · · + am-1ô' + amô) *X= ô,
c'est-à-dire
ou, en tenant compte de la proposition 5.3.6,
x(m) + aiX(m-l) + · · · + am-1X' + amX = ô,
ou encore, sous forme condensée DX = ô. Comme X= HZ, alors
X'
ô' * H'Z +HZ'= ôZ(O) +HZ',
X" =
ô'Z(O) + H'Z' +HZ"= ô'Z(O) + ôZ'(O) +HZ",
x(m-1)
5(m- 2) Z(O) + · · · + 5z(m- 2)(0) + Hz(m-I),
x(m)
5(m-l) Z(O) + · · · + 5z(m-I)(O) + Hz(m).
En tenant compte des conditions initiales, on obtient
X= HZ,
X'= HZ', ... ,x(m-l) = Hz(m-I),
x(m) = ô
+ Hz(m).
122
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
On a donc
DX =
=
=
=
ô + Hz(m) + alHz(m-l) + · · · + llm-1HZ1 + amHZ,
ô + H(z(m) + alz(m-l) + · · · + am-1Z' + amZ),
ô+H.DZ,
ô.
car DZ=O par hypothèse et la proposition est démontrée. D
Nous allons déterminer, dans V~, les inverses de convolution de quelques
opérateurs couramment utilisés.
Exemple 5.5.3 L'inverse de convolution de l'opérateur
D=.!!:_-À
dt
,
ÀEC
est
(Dô)- 1 = H(t)e>.t,
où H(t) est la fonction de Heaviside. En effet, d'après la proposition précédente,
on a (Dô)- 1 = H(t)Z(t), où Z(t) est solution de l'équation DZ = 0 avec
Z(O) = 1. On a
DZ = (
! -). ) =
Z
Z' - >..Z = 0,
donc Z(t) = Ce>.t. Comme Z(O) = C = 1, alors Z(t) = e>-t et par conséquent
(Dô)- 1 = H(t)e>.t.
Exemple 5.5.4 L'inverse de convolution de l'opérateur
D --~+
dt 2 w2 ,
w E lR
est
(Dô)_ 1 = H(t) sinwt 1
w
où H(t) est la fonction de Heaviside. En effet, comme dans l'exemple précédent,
on a (Dô)- 1 = H(t)Z(t), où Z(t) est solution de l'équation DZ = 0 avec
Z(O) = 0 et Z'(O) = 1. On a
DZ =
(!: +w
2)
Z = Z" +w 2Z =o.
Cette équation possède la solution Z(t) = C1e-iwt + C2eiwt. Comme
123
5.5. ÉQUATION DE CONVOLUTION
alors Ci = 2~ et C2 = - 2~. Donc
Z( t ) -_ _i_ (e -iwt +eiwt) -_ sinwt ,
2w
w
et par conséquent (Do)-i = H(t)si:wt.
Exemple 5.5.5 Soit l'opérateur différentiel
dm
dm-i
d
D = dtm +ai dtm-i + ... + am-i dt + am,
où ai, ... ,am sont des constantes. L'inverse de convolution de D est
(Do)-i = H(t)erit * H(t)er 2t * · · · * H(t)ermt,
où H(t) est la fonction de Heaviside et ri, r2, ... , rm sont les racines de l'équation:
rm + airm-i + · · · + am-ir +am= O.
En effet, on sait (proposition 5.5.3) que (Do)-i = H(t)Z(t), où Z est solution
de l'équation DZ = 0 avec
Z(O) = Z'(O) = · · · = z(m- 2)(0) = 0,
z<m-i) (0) = 1.
L'équation DZ = 0 s'écrit sous la forme
z(m) + aiz<m-i) + · · · + am-iZ +am = 0,
et son polynôme caractéristique est
P(r) = rm + airm-i + · · · am-ir +am= (r - ri)(r - r2) · · · (r - rm),
où ri, r2, ... , rm sont les racines de P(r) =O. On a de méme,
dm
dm-i
d
dtm +ai dtm-i + ... + am-i dt + am,
D
(! - ! ri) (
r2) · · · (
!-
rm) .
On sait qu'on peut associer à la formule rm. rn = rm+n, la relation suivante :
o(m) * o<n) = o<m+n) (voir exercice 5.6.5). En fait l'ensemble des polynômes
P(r) ci-dessus, muni de la multiplication ordinaire est isomorphe à celui des
polynômes différentiels Do ci-dessus, muni du produit de convolution. On a
Do= (o' - rio)* (o' - r2o) * · · · * (o' - rmo),
et d'après les exemples 5.5.1 et 5.5.2,
(Do)-i
= (o' - rio)-i * (o' - r2o)-i * ··· * (o' - rmo)-i,
=
H(t)er1t * H(t)er2t * ... * H(t)ermt.
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
124
5.5.3
Équations différentielles linéaires à coefficients constants
Considérons, dans V~, l'équation différentielle
DX=B,
où
~
dm-1
d
D = dtm +ai dtm-1 + ... + am-1 dt +am,
et B une distribution connue. Comme
X= o*X,
dX _ /
dm X _ (m)
dt - o * X, ... , dtm - o
* X,
l'équation précédente s'écrit
(o(m) + aio(m-l) + · · · + am-101 + amo) *X= B,
c'est-à-dire Do* X= B, et admet la solution unique X= (Do)- 1 * B (proposition 5.5.2), avec (voir exemple 5.5.5)
(o' - r10)- 1 * (o' - r20)- 1 * · · · * (o' - Tm0)- 1,
H(t)er1t * H(t)er2t * ... * H(t)ermt'
où r1, r2, ... ,Tm sont les racines de l'équation :
Exemple 5.5.6 Soit l'équation : DX = B, où D = ~ + w2 , w E lR et B
une distribution donnée. Cette équation s'écrit sous la forme Do* X= B, où
Do= o" +w 2 o. On a
(Do)- 1 =
(o' - iwo)- 1 * (o' + iwo)- 1,
H(t)eiwt * H(t)e-iwt'
- L:oo H(x)eiwx(t- x)e-iw(t-x)dx,
=
H(t) sinwt,
w
c'est ce que nous avons obtenu dans l'exemple 41. Comme H(t)sir:.,wt E V~,
l'équation en question a une solution unique donnée par
X= (Do)- 1 * B = H(t) sinwt *B.
w
125
5.5. ÉQUATION DE CONVOLUTION
Considérons l'équation différentielle
dmy
dm-ly
dy
dtm +ai dtm-1 + ... + am-1 dt +am= f(t),
où f(t) est une fonction connue. On veut déterminer la solution y(t) sur [O, +oo[
satisfaisant aux conditions initiales suivantes :
/ ···,Y (m-1) (O) = Yo(m-1) ·
Y(0) = Yo, Y'(O) = Yo,
L'équation ci-dessus s'écrit Dy= f, où
dm
dm-1
d
D = dtm +a1dtm-I + ... +am-Idt +am.
On pose X = H y et on calcule, comme dans la démonstration de la proposition
5.5.3, les dérivées X', X", ... , x<m). On obtient
m-1
DX = HDy +
L CkÔ[k),
k=O
où
(m-k-1)
(m-k-2)
Ck = Yo
+ aiYo
+ ... + am-k-IYO·
En posant (Do)- 1 = H(t)Z(t), la solution cherchée s'écrit
d'où, pour t ;?: 0,
y(t) =HZ* Hf+
L CkHZ * o(k) = 1Z(t)f(t - x)dx + L ckz(k)(t).
m-1
t
m-1
k=O
O
k=O
Exemple 5.5.7 Soit l'équation: Dy= t 2 e- 2t, où D =
minons la solution de cette équation avec
'+ +
1
y(O) = Yo = 12 ,
D'après ce qui précède, on a pour t;?: 0,
1
t
y(t) =
Z(x)f(t - x)dx +
O
m-1
L ckz(k)(t).
k=O
4-ft 4. Déter-
126
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
Ici f(t - x) = (t - x) 2 e- 2 (t-x), m = 2, co = Yh + aiyo =
c1 = Yo = 2 . Déterminons Z (t). L'équation caractéristique
l
-l2 + 4.l2 = :Î et
r 2 + 4r + 4 = (r + 2) 2 ,
possède une racine double ri = r2 = 2. D'où
HZ =
=
=
(Dô)- 1 ,
H(t)e- 2t * H(t)e- 2t,
i+:
H(x)e- 2xH(t - x)e- 2(t-x)dx,
= H(t) lot e- 2tdx,
-
H(t)te- 2t.
et dès lors Z(t) = te- 2t. Donc, pour t :2:: 0,
y(t)
y'(O)
lot xe- 2 x(t - x) 2 e- 2 (t-x)dx + coZ(t) + c1Z'(t),
~t
1
1
= e- 2t Jo (x 3 - 2tx 2 + t 2 x)dx + 4te- 2t + 12 e- 2t(l - 2t),
-2t
(t4+t+l)e12.
Remarque 5.5.2 Une autre méthode intitulée calcul symbolique (voir chapitres 7 et 8) permet d'étudier de manière simple ces questions.
5.6
Exercices résolus
Exercice 5.6.1 Calculer au sens des distributions l'expression :
an H(xi, ... , Xn)
âx1 ... ÔXn
où H(x1, ... ,xn) = H(x1) ® · · · ® H(xn) est le produit den fonctions de Heaviside.
Solution : D'après la proposition 5.1.10, on a
en vertu de l'exemple 5.1.2.
127
5.6. EXERCICES RÉSOLUS
Exercice 5.6.2 Dans JR, on considère la fonction
1
.,2
G (x) = --e-2c;"2"
u
(J'
...;'2ir
u>0
'
Cette fonction joue un rôle important aussi bien en théorie des probabilités
qu'en analyse statistique. Elle représente la densité normale (ou gaussienne
ou encore de Gauss-Laplace). Le nombre u > 0 est l'écart-type. Prouver la
relation :
Solution : Soit x E R On a
Gu* G 7 (x) =
1+00 Gu(t)G (x - t)dt = -2 -1 1+00 e-~
7
7r<J'7
-OO
t2 +<:i:-J)2
;;"2"
.,.
-OO
dt
'
Un calcul direct montre que
t2
-+
u2
(x _ t)2
72
u2 + 7 2 (
u2
)2
+ 72 + u272 t - u2 + 72 X ,
x2
=
u2
et dès lors
Gu* GT(x) =
1
tn=e
.,2
2(u2+.,.2)
<J'y 27r
1+00 e
t- u2~.,.2 X
u .,.
2
dt.
-OO
Posons
u= 02+? (t -
Or l =
+
f_;:
e-Tdu = ...fiif (en effet, on a
UT
2
1 u2:f..22
-2
u2
u2+T2
x) d'où
'
,.2
12 =
1+00 e- du 1+00 e- dv = 1+001+00 e- ~ dudv.
2
2
U2
V2
-OO
-OO
U 2V
-OO
-OO
On applique la formule de changement de variables : u = r cos(}, v = r sin(} et
r le jacobien. On obtient
12 =
fo (fo+oo e- . ;. rdr) d(} =
2
7r
27r,
d'où l = ...fiif). D'où
G *G (x) = u
T
1
1
...;'2ir ..Ju2 + 72
"' 2
e- 2 cu 2 +.,. 2 > =G~(x).
v u-+7-
128
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
Exercice 5.6.3 Soit T une distribution à support borné.
a) Montrer que T * 1 est une constante.
b} Montrer que T * P est un polynôme où P est un polynôme de degré n.
Solution: Comme supp Test borné, alors T * 1 et T * P existent et d'aprês la
proposition 5.3.10, ce sont des fonctions de classe C00 • Pour a), T * 1 = (T, 1)
est une constante. Pour b), on a
T * P(y) = (Tx, P(y - x)) = (Tx,
n
k
n
k
L ~! p(k)(-x)) = L ~! (Tx, p(k)(-x)),
k=O
k=O
d'où le résultat.
Exercice 5.6.4 Soient R, T et S des distributions quelconques. Donner un
exemple montrant que (R * S) * T et R * (S * T) sont bien définis mais non
égaux.
Solution: Il suffit de choisir R = 1, S = ô' et T = H (distribution d'Heaviside).
On a
De même, on a
Exercice 5.6.5 Calculer les produits de convolution suivants :
a) Ôa * Ôb.
b) o(m) * o(n)
Solution: a) Soit cp E 'D, on a
(ôa * Ôb, cp) =
=
=
=
D'où Ôa * Ôb = Ôa+b·
(ôa(x) ® Ôb(y), cp(x +y)),
(ôa(x), (ôb(y), cp(x +y))),
(ôa(x), cp(x +y)),
cp(x +y),
(ôa+b, cp).
129
5.6. EXERCICES RÉSOLUS
b) Soit cp EV, on a
(o(m) * o(n), cp) =
(o1m) * oin), cp(x +y)),
=
(o1m), (oin), cp(x +y)),
=
(o1m),(-1r(oy,cp(n)(x+y))),
(o1m), (-1rcp(n)(x)),
(-l)m+n(ôx, cp(m+n)(x)),
(-l)m+ncp(m+n)(x),
(o(m+n), cp).
=
=
=
=
D'où o(m) * o(n) = o(m+n).
Exercice 5.6.6 Calculer le produit de convolution : H (x) *(x 2 H (x)), où H (x)
est la fonction de Heaviside.
Solution: Soit cp EV, on a
(H(x) * (x 2 H(x)), cp) = (H(x) ® (y 2 H(y)), cp(x +y)),
= (H(x), (y2 H(y), cp(x +y))),
= ( H(x), 00 y 2cp(x + y)dy
fo
J,
= fooo fooo y2cp(x + y)dydx,
=
fooo (fooo cp(x + y)dx) y2dy.
Posons 'lfJ(y) = J000 cp(x + y)dx, d'où
(H(x) * (x2 H(x)), cp) =
fo 00 'lfJ(y)y 2dy,
100
1
roo
=
~ 'lfJ(y) o - 3 lo y3'1/J'(y)dy,
=
-3 lo
3
1
roo Y3'1/J'(y)dy.
Or 'lfJ(y) = fy00 cp(u)du, u = x +y, donc 'l/J'(y) = -cp(y) et
1
roo y3cp(y)dy = 1 Joroo x 3cp(x)dx = ( x3 H(x), cp \/.
(H(x) * (x 2 H(x)), cp) = 3 Jo
3
3
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
130
Par conséquent,
x3
H(x) * (x 2 H(x)) = 3H(x).
Une autre méthode est proposée dans l'exercice 5.6.8.
Exercice 5.6. 7 Calculer le produit de convolution
(H(x) cos x) * (ô'(x) + H(x)),
où H(x) est la fonction de Heaviside.
Solution : On a
(H(x) cosx) * (ô'(x) + H(x))
= (H(x) cosx) * ô'(x) + (H(x) cos x) * H(x)),
= (H(x) cos x)' + H(x) * (H(x) cosx),
= H'(x) cosx - H(x) sinx + H(x) * (H(x) cosx),
= ô cosx - H(x) sinx + H(x) * (H(x) cosx),
= ô cosx - H(x) sinx + H(x) * (H(x) cosx).
Calculons H(x) * (H(x) cosx). Comme dans l'exercice précédent, on a pour
r.p E 1J,
(H(x) * (H(x) cosx), r.p)
(H(x) ® (H(x) cosx), r.p(x +y)),
(H(x), (H(y) cos y, r.p(x +y))),
=
\ H(x),
fo cosyr.p(x + y)dy),
00
fo fo cosyr.p(x + y)dydx,
= fo (fo r.p(x + y)dx) cosydy.
=
00
00
00
00
Posons 'ljJ(y) = J000 r.p(x + y)dx, d'où
fo 'ljJ(y) cosydy,
'l/J(y)sinylg"- fo siny'ljJ'(y)dy,
= - fo siny'ljJ'(y)dy.
(H(x) * (H(x) cosy), r.p) =
00
00
=
00
5.6. EXERCICES RÉSOLUS
Or 'lf;(y) =
1
00
131
ip(u)du, u = x +y, donc 'lf;'(y) = -ip(y) et dès lors
(H(x)*(H(x)cosy),ip) = 1
00
00
sinyip(y)dy=1 sinxip(x)dx = (sinxH(x),ip).
Donc H(x) * (H(x) cosy)= sinxH(x) et par conséquent
(H(x) cosx) * (o'(x) + H(x)) =o.
Exercice 5.6.8 Soient f et g deux fonctions localement sommables. Montrer
que
(H(x - a)f(x)) * (H(x - b)g(x)) = H(x - a - b)
1x-b f(t)g(x - t)dt,
où H(x) est la fonction de Heaviside. Application: calculer le produit de convolution proposée dans l'exercice 5.6.6.
Solution: Notons que supp H(x - a) et supp H(x - b) sont inclus respectivement dans [a, +oo[ et [b, +oo[. En outre, on sait d'après l'exercice 1.6.4 que :
supp H(x - a)f(x) c supp H(x - a) n supp f(x),
supp H(x - b)g(x) c supp H(x - b) n supp g(x).
Donc supp Hf et supp Hg sont bornés d'un même côté et par conséquent le
produit Hf * Hg existe. On a
(H(x - a)f(x)) * (H(x - b)g(x))
1
+00
=
_00 H(t - a)f(t)H(x - t - b)g(x - t)dt,
a
t > x - b, c'est - - direx > a + b
={ J:-bt f<(t)g(x
- t)dt x > a+ b
r-b f(t)g(x - t)dt.
H(x - a - b) la
0 si
ou
si
=
Application : ici a= b = 0, f(x) = 1 et g(x) = x 2 . Les fonctions f et g étant
sommables, on a d'après ce qui précède
rx
x3
H(x) * (x 2 H(x)) = H(x) Jo (x - t) 2 dt = H(x) 3 .
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
132
Exercice 5.6.9 On considère, dans JR3 , l'équation suivante : Âu = -4nJ, où
 = ~ +
+ ~ est le laplacien et f(x, y, z) une fonction donnée. Posons
i?r
r = Jx 2 + y 2 + z 2 et supposons que supp f est borné. Montrer que la fonction
~ * f est solution de l'équation ci-dessus et déterminer la solution générale de
l'équation de convolution :
!:l.o * u = -471" f.
Solution : Pour f = o, l'équation proposée s'écrit Âu = -47rO. Notons que ~
est solution de cette dernière. En effet, d'après l'exercice 2.4.13, le laplacien de
la fonction ~ où r = Jx 2 + y 2 + z 2 est donné par Â~ = -47rô. Par hypothèse,
f est à support borné. Dès lors, la fonction ~ * f est solution de l'équation en
question. La solution générale de l'équation : ÂÔ * u = -47r f, est ~ * f + cp,
où cp (appelée fonction harmonique) est une solution de l'équation homogène
Âu = O. En effet, en tenant compte de l'exercice 2.4.13, on obtient
ÂU
= Â ( ~ * f + <p) = Â ( ~ * f) + Â<p = Â ( ~) * f = -471"0 * f = -471" f.
Exercice 5.6.10 Calculer les inverses, dans V~, des distributions suivantes :
a) H,
b} o',
c) o' + H.
Solution : a) Par définition, l'inverse de H dans V~ s'obtient en résolvant
l'équation : H *X = o. On a {H *X)' = o', d'où H' *X = o, c'est-à-dire
o *X= o' et par conséquent, X= o'.
b) Résolvons l'équation: o' *X= o. On a (o *X)'= o, d'où X'= o et par
conséquent, X = H.
c) Comme précédemment, on cherche X dans V~ tel que: (o' +H)*X =o.
On a
((o' + H) * x)' = o',
d'où
(o' + H)' *X
o' ,
(o" + o) * x = o' ,
X = (o" + 0)- 1 * o'.
D'après l'exemple 5.5.4 ou 5.5.6, on sait que : (o" + o)- 1 = H(t) sin t, donc
X= H sin ho'= (H sin t*o)' = (H sin t)' = H' sin t+H cos t = o sin t+H cos t,
et par conséquenr X= H(t)cost.
5.6. EXERCICES RÉSOLUS
133
Exercice 5.6.11 Soit T E V'(!Rn), cp E V(!Rm x !Rn). Considérons l'application
x ~ O(x) = (Ty, cp(x, y)).
a) Montrer que la fonction O(x) appartient à l'espace V(!Rm) et ses dérivées
successives s'obtiennent par dérivation sous le signe distribution :
D~O(x) = (Ty, D~cp(x, y)),
où D<; désigne une dérivation d'ordre a en x.
.
b} Montrer que si 'Pk
V(IR.mxlR.n)
~
cp, alors Ok
V(IR.m)
'
~ 0 ou Ok(x)
= (Ty, 'Pk(x, y)).
Solution : a) Soit x E !Rm, y E !Rn. Notons tout d'abord que la fonction O(x)
est bien définie. En effet, comme cp E V(!Rm x !Rn) alors cp E V(!Rn) pour
tout x E !Rm car cp E C00 par rapport à y et en outre supp cp est borné. Donc
O(x) existe pour tout x. Dans la suite, on peut sans restreindre la généralité,
supposer que m = n = 1. Désignons par fh (resp. fh), la projection de supp cp
sur l'axe des x (resp. y). Montrons que le support de 0 est borné. En effet,
si x fj 01, alors (x, y) fj supp cp, d'où cp(x, y) = 0 pour tout y et dès lors
supp 0 c 01. Montrons que la fonction 0 est continue partout. En effet, pour
tout xo E IR, on a
O(x) - O(xo) = (Ty, cp(x, y) - cp(xo, y)).
Pour tout x E IR, cp E V(02). Dès lors, cp(x, y) et D~cp(x, y) sont uniformément continues. Donc lorsque x ~ xo, cp(x, y) et D~cp(x, y) tendent uniformément en y dans 02 vers cp(xo, y) et D~cp(xo, y) respectivement. Par conséquent,
V{!12)
lorsque x ~ xo, cp(x, y) ~ cp(xo, y) et
(Ty, cp(x, y) - cp(xo, y)) ~ 0,
c'est-à-dire O(x) ~ O(xo). Montrons que O'(x) = (Ty, Dxcp(x, y)). En effet,
soit xo ER On a
O(xo + h) - O(xo) _ ('I'. ·'· ( ))
h
-
y, 'f/h y
'
où
1fah(Y) =
cp(xo + h, y) - cp(xo, y)
h ,
h
= Dxcp(xo, y)+ 2,Dxcp(xo +Oh, y),
avec 0 < 0 < 1. Lorsque h ~ 0, 1fah(Y) tend uniformément vers Dxcp(xo, y).
Et pour tout h, 1fah(y)-Dxcp(xo, y) E V(02). De même, pour tout multi-indice
a, lorsque h ~ 0, D~1fah(Y) tend uniformément vers Dx(D~cp)(xo, y) dans 02.
134
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
V{IRmxlRn)
b) Par hypothèse 'Pk
---+
cp, donc il existe un compact K tel que, pour
tout k, supp cp C K et supp 'Pk c K. Dès lors, supp () c 01 et supp ()k c 01.
Pour tout multi-indice a et tout multi-indice (3, D~Decpk(x, y) tend uniformément vers D~Decp(x,y) dans supp cp et donc
{3
(
{3 (
)
Dx'Pk
x, y ) V{fh)
---+ Dxcp X, y .
Il s'ensuit que l'expression Deek(x) = (Ty, Decpk(x, y)), tend uniformément
vers (Ty, Decp(x, y)) = De()(x), dans 01 et par conséquent ()k(X, y) V~)().
Exercice 5.6.12 Démontrer que: V(JRm)©V(JRn) est dense dans V(JRmxlRn).
Solution : Soit cp E V{JRm x JRn). D'après le théorème d'approximation de
Weierstrass, il existe une suite de polynômes (Pk(x, y)) telle que, pour tout
multi-indice a, la suite (Da Pk(x, y)) converge uniformément sur tout compact,
vers Dacp(x, y). Il ne s'agit pas de la convergence dans V{JRm x JRn). Dès lors,
au lieu de Pk(x, y), on considère la suite définie par
où 'l/J1 E V{JRm), 'l/J2 E V{JRn) avec 'l/J1 = 1 et 'l/J2 = 1 sur le support de cp.
Plus précisément, 'l/J1 = 1 sur la première projection du support de cp tandis
que 'l/J2 = 1 dans le voisinage de la seconde projection du support de cp. On a
fk E V{JRm) ©V(JRn) et chacune des suites Da fk(x, y) tend uniformément vers
Exercice 5.6.13 Soit (x, y, z) E JR 3 . Le potentiel électrique V(x, y, z) produit
par une distribution de charge p( x, y, z) est donné par V = p * 47r;or, où r est la
distance des charges électriques et eo est la permitivité du vide. Montrer que :
ÂV = _..!!....
eo
(équation de Laplace)
où Â V est le laplacien de V.
Solution : On a
-Â(!).
1
1
ÂV=Â(p*47reor ) =p*47reo
Au sens des distributions, on a Â
quent, ÂV
=-fa.
r
a) = -4m5 (voir exercice 2.4.13). Par consé-
5.6. EXERCICES RÉSOLUS
135
Exercice 5.6.14 On rappelle que la fonction gamma d'Euler r(x), est définie
par l'intégrale
et la fonction Mta d'Euler par
B(p, q) ==
fo
1
xP- 1 (1 -
p > 0, q > 0
x)q-Idx,
a) Etablir la formule : B(p, q) = rrÎi~~)).
b) Calculer l'expression :
(a, /3 E JR*) où H(x) est la fonction de Heaviside.
Solution : a) Pour p > 0 et q > 0, on a
r(p)r(q) =
4
fooo fooo e-(u2+v2)u2p-Iv2q-Idudv,
-
4
J. (!.~
00
cos2p-l sin2•- 1
oc10) e-•' r'(p+q)-ldr,
avec u = rcosO et v = rsinO. Comme
où x = sin2 0 et
alors
r(p)r(q) = B(p, q)r(p + q).
136
CHAPITRE 5. CONVOLUTION
b) D'après l'exercice 5.6.8, on a pour x > 0,
p-1
)
( H(x) ;(p) eax
= H(x)
l
(
q-1
* H(x) ;(q) eax
)
x tp-1
{
t)q-1
--eax X ea(x-t)dt,
f{p)
0
rx
O!:Z:
f{q)
= H(x)r~)r(q) lo tP- 1(x - t)q- 1dt,
= H(x)
eax
f{p)f{q)
xP+q-l
11
uP- 1 (1- u)q- 1du,
0
t
U=X
O!:Z:
- H( )
-
X
= H(x)
e
f(p)f(q) X
eax
r(p+ q)
p+q-lB(
)
p, q '
xP+q-l,
en vertu de la question a).
5. 7
Exercices proposés
Exercice 5.7.1 Soit f la fonction numérique définie dans IR par
f(x) = { 1 s~ x E] - 1, 1[
0 sinon
a) Calculer les produits de convolution f * f et f' * f' où f' désigne la
dérivée de f(x) au sens des ditributions.
b) Trouver une relation entre f' * f' et f * f.
Exercice 5.7.2 Dans IR, on considère la fonction {de Cauchy},
a>O
Déterminer Fa* Fb.
Réponse: Fa* Fb = Fa+b·
Exercice 5. 7.3 Calculer les produits de convolution suivants :
a)
b}
H(x)ex * H(x) sinh 2x,
où H (x) est la fonction de Heaviside.
137
5. 7. EXERCICES PROPOSÉS
Exercice 5. 7.4 Calculer les produits de convolution suivants :
a)
OO
OO
L8n* L8n.
n=O
b)
n=O
H(x)e°'x * H(x)ef3x,
où H(x) est la fonction de Heaviside et a#- (3.
Exercice 5. 7.5 Calculer les inverses dans V~ des distributions suivantes :
a) 8 + 28' + 4811 + 88 111 •
b) 8 + 4H (t) cos 2t où H (t) est la fonction de Heaviside.
Réponse: a) i(e-! - cos~+ sin ~)H(t), b) 8 + 4H(x)(2t - l)e- 2t.
Exercice 5.7.6 Résoudre dans V~ l'équation suivante:
DT= 281,
da
ou'D = (ii'd
-
d2
2~
TE V'+
+ dtd - 2.
Réponse : T = ~{2e 2 t - 2 cos t +sin t)H(t).
Exercice 5.7.7 Soient f E C 1 {1~) et g E C2 (R). Montrer que f * g existe,
f * g E C2 {R) et
Il/* Yll2 :S ll/llillgJJ2.
Deuxième partie
ANALYSE DE FOURIER
Chapitre 6
Séries de Fourier
Introduction
On expose dans ce chapitre les concepts théoriques et pratiques des séries
de Fourier. Comme nous l'avons évoqué dans l'introduction de cet ouvrage,
l'étude des séries de Fourier fut capitale dans l'histoire des mathématiques :
elle obligea les mathématiciens à formaliser des notions telles que la continuité, la dérivabilité et la convergence selon divers modes et elle est à la base
de plusieurs théories fondamentales. L'exposé s'ouvre par une introduction à
la théorie des séries trigonométriques et aborde ensuite l'étude des séries de
Fourier proprement dites. On démontre le théorème de Dirichlet donnant des
conditions suffisantes pour qu'une fonction soit représentable par une série de
Fourier. On aborde aussi quelques notions liées à la convergence en moyenne
quadratique, l'égalité de Parseval et l'inégalité de Bessel. On étudie en détail
d'autres résultats intéressants sous formes de théorèmes ou d'exercices liés à
la question du développement d'une fonction en série de Fourier. On aborde
en particulier la convergence des séries de Fourier au sens de Cesaro ainsi que
les théorèmes de Fejér, de Jordan et d'approximation de Weierstrass. La série de Fourier d'une distribution périodique quelconque converge toujours vers
cette distribution. Le reste du chapitre comporte de nombreux exercices résolus ainsi que des exercices proposés avec éventuellement des réponses ou des
indications. Citons à titre d'exemple, une condition de Dini sur la convergence,
les problèmes de dérivation et d'intégration, le curieux phénomène de Gibbs
qui concerne l'étude du développement en série de Fourier au voisinage d'un
point de discontinuité, les polynômes de Bernoulli, la projection orthogonale,
l'équation de la chaleur et celle de la corde vibrante, le filtre RC, l'inégalité
isopérimétrique, etc.
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
142
6.1
Séries trigonométriques
Définition 6.1.1 On appelle série trigonométrique, une série de la forme
OO
~o + L(ak cos kx + bk sin kx),
x E lR
(6.1.1)
k=l
où les ak et bk sont des nombres réels ou complexes.
Remarque 6.1.1 En fait une série trigonométrique s'écrit sous la forme
OO
L(ak cos kx + bk sin kx),
x E lR
k=O
Mais comme sinO = 0, on peut sans restreindre la généralité, poser bo =O. En
outre, nous avons désigné par~ le terme d'indice 0 (contrairement à ce qui a
été fait dans l'exercice 6.6.24). Ceci provient du fait que ao est choisi de façon
à se calculer par la méme formule (voir plus loin) que les autres ak.
Proposition 6.1.2 Si les séries numériques L: ak et L: bk convergent absolument, alors la série trigonométrique {6.1.1) converge normalement dans JR. En
outre, sa somme est une fonction continue sur JR.
Démonstration : Notons que
Par hypothèse, les séries numériques L: lakl et L: lbkl convergent, donc la série
L:(lakl + bkl) converge aussi et d'après le critère de Weierstrass la série (6.1.1)
converge normalement dans JR. En outre, comme ak cos kx + bk sin kx est continue sur JR, on déduit du théorème de continuité que la somme de la série (6.1.1)
est continue sur lR et la démonstration s'achève. D
Exemple 6.1.1 Les deux séries L: co:Jcx et L: si~:x, convergent normalement
surR
Proposition 6.1.3 Si (ak) et (bk) sont des suites réelles positives, décroissantes et tendant vers zéro, alors la série trigonométrique (6.1.1) converge
simplement pour tout x =/= 2l7r, l E Z et uniformément sur tout intervalle de
la forme [a, 27r - a] pour tout l E Z et a E]O, 7r[. En outre, sa somme est une
fonction continue sur ]2l7r, 2(l + l)7r[, l E Z.
143
6.1. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Démonstration : En effet, on a
.. k ) Ln ikx 1- cos(k + l)x - isin(k + l)x
Ln (cos k x + ism
x =
e =
. .
.
1 - cosx - ismx
k
k=O
=0
En utilisant les formules élémentaires suivantes :
• 2 (k + l)x
. 2X
2 sm
1- cosx
,
2, 1- cos(k + l)x = 2sm
2
.
. (k + l)x
(k + l)x
sinx
sm( k + 1)x = 2 sm
cos
,
2
2
on obtient immédiatement
n
·
(k+l)x
. . k x ) = sm . x2
L( cos k x+ism
sm-2
k=O
.
e
i(k+l)œ
2
•
_
iœ
-
(k+l)x
(
kx +ism. . kx) .
2
cos2
2
sin~
2
sm
----
e2
Dès lors,
n
~
L..,, COS kX =
k=O
. ~+1~
sm2-
. X
sm2
kx
COS - 2 l
. (k+l)x
k
sm-2- . x
L..,,smkx =
. x sm-.
k=O
sm2
2
n
~··
On en déduit les inégalités
n
1
Lcoskx :S -1 . xi'
k=O
sm2
n
1
L sin kx :S -1sm-.-x-I2 '
k=O
ce qui montre que les deux sommes sont majorées pour x '# 2l7r, l E Z. Par hypothèse (ak) et (bk) sont deux suites réelles positives, décroissantes et de limite
nulle. D'après le critère d'Abel-Dirichlet, les séries l: ak cos kx et l: bk sin kx
convergent simplement pour tout x '# 2l7r, l E Z. Pour ceux qui ne veulent
pas se contenter de vérifier les hypothèses du critère d'Abel-Dirichlet et d'en
déduire le résultat, nous allons voir comment on peut le redémontrer en détail
pour ces séries particulières. Posons Sn (x) = l:~=O sin kx. On va effectuer une
transformation d'Abel,
n
L
bk sin kx =
k=m+I
bm+l sin(m + l)x + bm+2 sin(m + 2)x + · · · + bn sin nx,
=
bm+l(Sm+l - Sm)+ bm+2(Sm+2 - Sm+l)
+ · · · + bn(Sn - Sn-1),
-bm+lSm + (bm+l - bm+2)Sm+l + (bm+2 - bm+a)Sm+2
+ · · · + (bn-I - bn)Sn-I + bnSn,
=
n
= bnSn - bm+lSm + L
k=m+I
(bk - bk+l)Sk,
144
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
quels que soient m, n dans N* avec m < n. Par hypothèse (bk) est positive et
1
décroissante. Par ailleurs, on a montré ci-dessus que ISnl S -1 . x I' d'où
sm 2
n
n
k=m+I
k=m+I
L bksinkx < bnlSnl - bm+IISml + L (bk - bk+I)ISkl,
2bm+l
< -
lsin~I'
X#- 2l11',l E Z
Soit e > O. Comme limk-+oo bk = 0, alors il existe N tel que : I ~b~ I S e. Dès
sm 2
lors, pour m, n avec N S m < n, on a
n
2bN
"""' bk sin kx < - - < e
L.!
- lsin~2I - '
k=m+I
et la série E bk sin kx converge simplement pour tout x i- 2l71', l E Z, en
vertu du critère de Cauchy. Pour x = 2l71', l E Z, cette série est nulle et par
conséquent elle converge simplement sur lR. On montre de même que la série
E ak cos kx converge simplement pour tout x i- 2l71', l E Z. Par conséquent,
la série (6.1.1) converge simplement pour tout x i- 2l11', l E Z. Par ailleurs, si
a E]O, 11'[ alors pour tout x E [a, 271' - a], on a sin~ ~sin~ > 0 et dès lors
n
L bk sin kx < 2bm+l < 2bm+l <
k=m+l
-
lsin~I - lsin~I ~N
ê.
.
Comme ci-dessus, il existe N tel que : I . a I S e et on a pour m, n vérifiant
sm 2
Nsm<n,
n
L bksinkx Se,
k=m+I
d'où la convergence uniforme de la série E bk sin kx sur [a, 271' - a] d'après le
critère de Cauchy. On obtient la même conclusion pour la série E ak cos kx
sauf pour k = 0 où sa nature dépend de celle de la série numérique E ak.
La conclusion concernant la série (6.1.1) en découle. On notera que JO, 211'[ est
inclus dans l'intervalle [a, 271' - a], a E]O, 11'[ et que la somme de la série (6.1.1)
est continue sur ]2l71', 2(l + 1)11'[, l E Z. La démonstration est complète. 0
Exemple 6.1.2 Les séries E co~kx, E sinkkx convergent pour tout x i- 2l11',
l E Z et leur sommes sont des fonctions continues en tout point x i- 2l11',
l E Z.
145
6.1. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES
Propriété 6.1.4 Si la série trigonométrique {6.1.1} converge vers f(x) sur
[-7r,7rj, alors f(x) est 211"-périodique, c'est-à-dire f(x + 27r) = f(x), x ER
Pour plus de précisions concernant la propriété ci-dessus, supposons que la
série (6.1.1) converge en un point x E ~vers f(x);
OO
f(x) = ~o + L(akcoskx + bksinkx).
k=l
Pour tout l E Z, on a cos(k(x+2l7r)) =cos kx, sin(k(x+2l7r)) =sin kx, donc la
série (6.1.1) converge en tout point x + 2l7r, l E Z et f(x) = f(x + 2l7r), c'està-dire f est une fonction périodique. Par conséquent, l'étude des fonctions
27r-périodiques sur ~' peut se faire tout d'abord sur [-7r, 7r] (ou sur [O, 27r])
que l'on prolongera ensuite sur ~ via la relation f(x) = f(x + 2l7r), l E Z,
x E] - 7r, 7r[. Notons que si f(-7r) = f(7r), alors on posera f(7r) = f(7r + 2l7r).
Mais cette dernière égalité n'est plus valable si f(-7r) f. f(7r) et il suffit dans
ce cas de donner une valeur quelconque à f tout en sachant que ce choix ne
modifie pas la série (6.1.1).
Propriété 6.1.5 Soit f une fonction définie, intégrable sur [-7r, 7r] et développable en série trigonométrique
OO
f(x) = ~o + L(akcoskx + bksinkx).
k=l
Si cette série est intégrable terme à terme, ce développement est unique (ceci
est vérifié par exemple lorsque la série converge uniformément sur [-7r, 7r]}.
Démonstration : En effet, on a
OO
~o + L(ak cos kx + bk sin kx),
f(x)
k=l
OO
f(x)coslx
= ~0 coslx+ L(akcoskxcoslx+bksinkxcoslx),
k=l
OO
f(x)sinlx
=
~0 sinlx+ L(akcoskxsinlx+bksinkxsinlx).
k=l
Par hypothèse, on peut intégrer ces expressions terme à terme. Donc
[
f(x)th = ~ [th+~ ( ak [cos kxth +bk [
sinkxth) .
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
146
De même, on a
l:
f(x) cos lxdx
ao /_11"
2 -71" cos lxdx
+
Or
l:
t.
cos kx cos lxdx + bk
(a, [
L:
sin kx cos lxdx) .
1 /_71"
2
-71" (cos(k + l)x + cos(k - l)x)dx,
[sin(k+l)x + sin(k-l)x] 11" si k -t. l
cos kx cos lxdx
= _21 {
k~
k~
[ sin~':0l)x
~
+ X J:71" si k = l
= { 0 sik;j=l
7r
sik=l'
et J:.11"sinkxcoslxdx = 0, alors J:.11"J(x)coslxdx = at7r d'où
al= -1 /_71" f(x) coslxdx.
7r
-71"
On obtient de façon analogue,
bt = -1 /_71" f(x) sinlxdx,
7r
-71"
ce qui achève la démonstration. D
Série trigonométrique associée à une série entière : Soit
OO
f(z) = L akzk,
k=O
une série entière de rayon de convergence r > O. Posons
z = peix = p(cosx + isinx),
0 < p < r,
x ER
On a zk = l (cos kx + i sin kx) et par conséquent
OO
r
OO
f(peix) = Lakleikx = Lakl(coskx+isinkx).
k=O
k=O
6.2. SÉRIES DE FOURIER, THÉORÈME DE DIRICHLET
147
Cette série converge normalement sur lR en vertu du critère de Weierstrass
puisque lakpk(coskx + isinkx)I ~ lak!Pk et 2:: lak!Pk converge car d'après le
critère de la racine de Cauchy, on a
limsup ~laklPk = plimsup tlfa;J = !!. < 1.
k--+oo
k--+oo
r
Si la fonction f est à valeurs réelles, ak et bk sont nécessairement réels. On a
OO
Re f (peikx) =
L akl cos kx,
OO
lm f (peikx) =
k=O
6.2
L akl sin kx.
k=O
Séries de Fourier, Théorème de Dirichlet
Définition 6.2.1 Soit f une fonction définie et intégrable sur l'intervalle [-7r, 7r].
Les nombres ak et bk définis par
:117r
; : -7r f(x) cos kxdx, k ~ 0,
-117r f(x)sinkxdx, k ~ 1,
7r -7r
(6.2.1)
s'appellent coefficients de Fourier de f et la série trigonométrique
~o +
OO
L (ak cos kx + bk sin kx),
(6.2.2)
k=l
est dite série de Fourier de f.
Remarque 6.2.1 On écrit
OO
f(x)"' ~0 + I:(ak coskx + bk sinkx),
k=l
pour dire que la série {6.2.2} est la série de Fourier associée à la fonction f.
Le fait que les intégrales {6.2.1} existent, n'impliquent pas que la série {6.2.2}
converge et, meme si elle converge, sa somme n'est pas nécessairement égale à
la fonction f (x).
Remarque 6.2.2 Au lieu de considérer l'intervalle [-7r, 7r], on peut considérer
tout autre intervalle d 'amplitude.27r, par exemple [O, 27r].
148
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
Propriété 6.2.2 Pour une fonction f, 2L-périodique, définie et intégrable sur
un intervalle [-L, L] d'amplitude quelconque finie, la série de Fourier associée
à la fonction f est donnée par
ao
k7rx
. k7rx )
2 + ~ akCOSL +bksm--yOO
(
,
où
ak =
k7rx
L11L
-L f(x) cos --y-dx,
11L
. k7rx
L -L f(x)sm--y-dx,
(6.2.3)
k 2:: 1
Démonstration : En effet, on a -L::; x::; L d'où -7r::; L ::; 7r, ce qui suggère
le changement de variable suivant : t = 1rL, c'est-à-dire x = ~t. Posons
f(x) = f ( ~t) = g(t).
La fonction g étant 27r-périodique, sa série de Fourier s'écrit
OO
g(t),..., ~0 + L(ak cos kt+ bk sin kt),
k=l
où
bk =
117r g(t) cos ktdt, k 2:: 0,
117r g(t) sin ktdt,
;
-?r
;
-?r
(6.2.4)
Dès lors,
où
17r g(t) cosktdt = L1 1L f(x) cos --y-dx,
k7rx
k 2:: 0 (6.2.5)
7r
-L
1 1L f(x) sin --y-dx,
k7rX
-1 17r g(t) sinktdt = L
k 2:: 1
ak = -1
-?r
7r
-?r
ce qui achève la démonstration. D
-L
6.2. SÉRIES DE FOURIER, THÉORÈME DE DIRICHLET
149
Remarque 6.2.3 Soit f une fonction 2L-périodique, définie et intégrable sur
un intervalle [-L, L]. Au lieu de développer f(x) en série de Fourier sur
[-L, L], on peut la développer, moyannant le changement de variable t = L,
sur l'intervalle [-11', 11'].
Propriété 6.2.3 Pour une fonction f, 2L-périodique, définie et intégrable sur
un intervalle [a, a+ 2L] où a est une constante arbitraire, on a
1Lf(x)dx = 1a+2L
°'
f(x)dx.
-L
Démonstration : En effet, on a
1a+2L f(x)dx = 1-L f(x)dx+ 1L f(x)dx+ 1a+2L f(x)dx.
a
a
Or
{°'+2L f(x)dx =
JL
-L
1:
L
f(t + 2L)dt,
t = x-2L,
-1-L f(t)dt car f est 21-périodique,
-1-L f(x)dx,
=
d'où le résultat. D
D'après la propriété précédente, on peut donc remplacer l'intervalle [-L, L]
par [a, a+ 2L] et les coefficients de Fourier deviennent :
1a+2L f(x) cos ydx,
1 1a+2L
bk = L °'
f(x) sin ydx,
ak
1
L °'
k11'X
k11'X
Propriété 6.2.4 Si f est paire, alors
2171" f(x) cos kxdx,
ak = -
71'
0
et
ao
OO
~
f(x)"' 2 + ~akcoskx.
k=l
(série cosinus).
(6.2.6)
150
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
Si f est impaire, alors
217r f(x)sinkxdx,
bk=7f 0
ak = 0,
et
OO
f(x) rv L:bksinkx.
k=l
(série sinus).
Démonstration : En effet, la preuve résulte immédiatement du fait que si f est
paire (resp. impaire), alors f(x) cos kx est paire (resp. impaire) et f(x) sin kx
est impaire (resp. paire). D
Remarque 6.2.4 Soit f une fonction 2L-périodique, définie sur l'intervalle
[O, L]. On peut lui faire correspondre soit une fonction paire, soit une fonction
impaire, définie sur [-L,L]. On procède comme suit: On prolonge f(x) sur
[-L,O] de telle façon qu'on ait pour x E [-L,O], f(x) = f(-x) ou f(x) =
- f (-x). Dans le premier cas, la fonction f sera paire sur [-L, L], d'où ak =
0L f(x) coskxdx et bk =O. Dans le second cas, f sera impaire sur [-L, L],
d'où ak = 0 et bk = Je{' f(x)sinkxdx.
fJ
f
Exemple 6.2.1 Considérons sur [-n, n], la fonction f(x) = x. Cette fonction
étant impaire, on a
2 f'Tr
(-l)k+l
bk=;Jo xsinkxdx=2
k
.
ak=O,
Par conséquent, la série de Fourier associée à f est
L (-l)k+l
k
sinkx,
OO
f(x) rv 2
XE [-n,n].
k=l
Exemple 6.2.2 Considérons sur [-n, n], la fonction f(x) = x 2 . Cette fonction étant paire, on a
217r 2
27f2
a0 = x dx = 7f 0
3
et
2 f'Tr
( 1)k
ak =; Jo x 2 coskxdx = 4 ~ 2 .
D'où,
2
f(x) rv ~ + 4
L ~2l)k cos kx,
OO
k=l
(
XE [-n, n].
6.2. SÉRIES DE FOURIER, THÉORÈME DE DIRICHLET
151
Proposition 6.2.5 En notation complexe, la série de Fourier d'une fonction
27r-périodique f s'écrit sous la forme
où
k EZ.
Démonstration : En effet, on a
;o + L (ak cos kx + bk sin kx)
OO
k=l
00
_ ao
- 2 +L
(
ak
(eikx + e-ikx)
(eikx _ e-ikx))
2
+ bk
2i
,
k=l
~ ((ak -2 ibk) eikx + (ak +
ibk) -ikx)
2i
e
·
= ao
2 + L..!
k=l
c _ ak-ibk
c _ ak+ibk
D'au'
On Pose C0 -_ !!O.
2 , k 2
, -k 2
.
;o + L(ak cos kx + bk sin kx)
OO
OO
=
co + L
k=l
( ckeikx + c_ke-ikx) ,
k=l
OO
Ckeikx, k E z.
L
k=-oo
Exprimons ck et c_k au moyen d'intégrales. On a
Ck
~(ak - ibk),
1'/r f(x) cos kxdx - -i 1'/r f(x) sin kxdx) ,
1 1'/r f(x)(coskx - sinkx)dx,
.
= -1 1'/r f(x)e-ikxdx.
-21 ( -1
7r
2 7r
-n
27r
-'Ir
De même, on obtient
-'Ir
7r
-'Ir
152
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
Finalement,
kE Z,
ce qui achève la démonstration. D
Remarque 6.2.5 On déduit de ce qui précède que si f est 2L-périodique, sa
série de Fourier s'écrit en notation complexe sous la forme
où
k EZ.
Exemple 6.2.3 Soit f la fonction 27r-périodique, définie sur ] - 7r, 7r[ par
f(x) =ex, -'Ir< x < 7r. La valeur de f pour x = 7r est arbitraire. On a
_ 1 111" x _ e11" - e-11" _ sinh 7r
co - e dx - --,
27r -11"
7r
7r
et
- __!__ 111"
x -ikxd
2
e e
7r -11"
Ck -
x -
sinh 7r {-l)k
.1
"k .
7r
-i
r>n = !!li. C = ak-ibk
C
= ak+ibk
d'ou'
Or "V
2 ' k
2
' -k
2
'
ak
=
sinh7r
- 22co-,
7r
sinh 7r {-l)k
Ck + C-k = 2-7r-" 1 + k2'
bk
=
i(ck - C-k) = -2-7r-. l
ao =
sinh7r (-l)kk
+ k2 .
.
Par conséquent,
sinh 7r
sinh 7r ~ (-l)k
.
f(x) rv - - + 2 - - L . . . J - 1
k2(coskx-ksmkx).
7r
7r
k=l
+
Plusieurs questions se posent : La série de Fourier associée à une fonction
f est-elle convergente? En cas de convergence, peut-on dire que la somme de
cette série coïncide avec f et de quel type est la convergence? Tout d'abord,
on déduit de ce qui précéde que si la série de Fourier associée à une fonction
6.2. SÉRIES DE FOURIER, THÉORÈME DE DIRICHLET
153
continue converge uniformément, alors elle converge vers cette fonction. Pour
une fonction f localement sommable, sa série de Fourier existe et ses coefficients
de Fourier tendent vers zéro quand k---+ oo mais le problème qui se pose: cette
série converge-t-elle? et sa somme est-t-elle égale à f(x)? Après un rappel sur
les fonctions réglées et une nouvelle notion de dérivée à droite et à gauche
adaptée à l'étude des séries de Fourier, on aborde le théorème de Dirichlet
donnant des conditions suffisantes pour qu'une fonction soit représentable par
une série de Fourier. D'autres questions et réponses seront évoquées plus loin.
Proposition 6.2.6 Si la série de Fourier associée à une fonction continue f
converge uniformément, alors elle converge vers f.
Démonstration : La preuve de cette proposition résulte immédiatement de la
propriété 6.1.5. D
Soient f: [a, b] ~IR.( ou C) et x E [a, b]. Nous noterons f(x+O) et f(x-0)
les limites à droite et à gauche de f en x, c'est-à-dire
f(x + 0) = lim f(x + h),
h-+O
h>O
f(x - 0) = lim f(x - h).
h-+O
h>O
Aux extrémités a et b, la limite n'est définie que d'un côté.
On dit que la fonction f possède une discontinuité de première espèce au
point x E [a, b] si f n'est pas continue en x et si les limites f(x + 0) et f(x - 0)
existent et sont distinctes.
Définition 6.2. 7 Une fonction f définie sur un intervalle [a, b], est dite réglée
si elle admet une limite à droite en tout point de [a, b[ et une limite à gauche
en tout point de ]a, b].
Les points de discontinuité des fonctions réglées sont toujours de première
espèce. On montre aisément que toute fonction réglée est bornée et intégrable
au sens de Riemann.
Exemples importants de fonctions réglées :
1) Toute fonction continue est réglée.
2) Toute fonction continue par morceaux est réglée. Une fonction f est
dite continue par morceaux sur un intervalle [a, b], si ce dernier admet une
subdivision par un nombre fini de points : a = ao < 0:1 < · · · < Œk = b, telle
que dans chaque intervalle ]aii Œi+I [, 0 :::; i :::; k - 1, f soit continue et possède
une limite finie aux extrémités droite et gauche. (Certains auteurs appellent
de telles fonctions, des fonctions réglées continues par morceaux).
154
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
3) Toute fonction en escalier est réglée. Une fonction f définie sur un intervalle [a, b], est dite en escalier s'il existe une subdivision de [a, b] : a = ao <
al < · · · < ak = b, telle que f soit constante dans chacun des intervalles ouverts ]ai, aH1[, 0 ::; i ::; k - 1. Une fonction f est réglée si et seulement si f
est limite d'une suite uniformément convergente de fonctions en escalier.
4) Toute fonction numérique monotone est réglée.
5) Toute fonction à variation bornée est réglée. Une fonction f est dite à
variation bornée sur [a, b], s'il existe une constante C ~ 0 telle que pour toute
subdivision de [a, b] : a = ao < al < · · · < ak = b, on ait
k-1
L lf(ai+l) - f(aï)I ::; C.
i=O
On montre que toute fonction f, différence de deux fonctions bornées et non
décroissante, est à variation bornée. Toute fonction monotone est à variation
bornée. Toute fonction admettant une dérivée à droite et à gauche en chaque
point est à variation bornée. Mais une fonction continue n'est pas toujours à
variation bornée.
Définition 6.2.8 On appelle dérivée à droite de f au point x, la limite (si elle
existe) suivante :
. f (x + h) - f (x + 0)
1lm
h
.
h-+O
h>O
De meme, on appelle dérivée à gauche de f au point x, la limite (si elle existe)
suivante :
.
hm
h-+O
f(x - 0) - f(x - h)
h
.
h>O
Le résultat suivant (appelé lemme ou théorème de Riemann-Lebesgue),
obtenu par Riemann a été généralisé par la suite par Lebesgue (voir aussi
proposition 7.1.2 du chapitre transformée de Fourier).
Lemme 6.2.9 Si f est une fonction bornée et intégrable sur [a, b], alors
lim
À-+oo
lb
a
f(x)cos>..xdx = 0,
lim
À-+oo
lb
a
f(x)sin>..xdx =O.
Démonstration : Soit c > O. Par hypothèse la fonction f est bornée et intégrable
au sens de Riemann, il existe donc une subdivision de [a, b] ; a = ao < al <
· · · < ak = b telle que :
t(
i=l
sup
(ai-1,ai]
f-
inf
(ai-li°'i)
1)
(ai - ai-1) < :..
2
155
6.2. SÉRIES DE FOURIER, THÉORÈME DE DIRICHLET
On a
lb
t 1eri
f(x) cos >-.xdx =
i=l
f(x)cos>-.xdx,
eri-1
k
Lf(ai-1)
i=l
k
+L
i=l
1 er·• cos>-.xdx
eri-1
er·• (f(x) - f(ai-1))cos>-.xdx.
1
eri-1
En désignant par M la borne de f, on obtient
11b f(x) cos>-.xdxl
S t lf(Œi-1)1
t
1eri cos>-.xdx + 1eri lf(x) - f(Œi-1)11 cos>-.xldx,
eri-1
i=l
i=l
~ M 1sm
. ).. Œi - sm
. ).. Œi-1 1
k
S L.....J
i=l
S
fk 1er·• (
+~
L.....J
sup
)..
L M.-l>-.I2 + L
k
k
i=l
i=l
eri-1
i=l
(
f -
sup
eri-1
(eri-i.eri]
inf
(eri-i.eri]
· f f ) dx,
m
(eri-i.eri]
f ) (ai - Œi-1),
(eri-i.eri]
2kM é
<~+2·
Dês lors, pour 1>-.1 > 4keM, on a
limÀ--+oo
1: f(x) cos>-.xdx
11: f (x) cos >-.xdx < et par conséquent, on a
1
é
=O. On montre de même que
lim
À--+oo
rb f(x) sin>-.xdx = 0,
la
et le lemme est démontré. D
Théorème 6.2.10 (Dirichlet). Soit f une fonction 27r-périodique sur "JW.., réglée
et dérivable à droite et à gauche sur R Alors la série de Fourier de f converge
simplement en tout point x vers
f (x + 0) + f (x - 0)
2
(régularisée de !) .
En particulier, si f est continue au point x, sa série de Fourier converge vers
la fonction f(x).
156
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
Démonstration : Posons
n
Sn(x) = ~o + L(ak cos kx + bk sin kx),
k=l
et étudions la convergence de cette suite. On a
Sn(x)
=
1 111"
271" -'Ir f(t)dt
+
t, [(L
f (t) cos
ktdt) cos kx + (L f (t) sin ktdt) sin kx] ,
l
[1
1111" f(t) 2 + ~(cosktcoskx
n
+ sinktsinkx) dt,
;;:
=
-'Ir
1111"
;;:
-'lrf(t)
(12
n
)
+~cosk(t-x)
dt.
(6.2.7)
La suite de la preuve va se faire en plusieurs étapes :
i} Montrons que pour tout r E IR. et tout n EN,
1
Dn(r) = 2 +
n
L coskr =
k=l
{
!)
sin (n + 7
2sin;
n+
!
si r =/= 2l7r, l E Z
(6.2.8)
sinon
Dn(r) s'appelle noyau de Dirichlet. En effet, si sin; f. 0, c'est-à-dire r =I= 2l7r,
l E Z, alors
n ( ikr
-ikr )
1
D ( ) = _+~ e +e
nT
2 L....J
2
1
2n
ikr = _ -inr ~ ipr
2 L....Je
2e
L....Je '
n
= _1 ~
k=l
k=-n
1 . (1-
d'où
D n (T ) = -2e -inr
e(2n+l)ir)
1 _ eir
.
p=O
'
où eir =I= 1 car r =I= 2l7r, l E Z. En multipliant le numérateur et le dénominateur
de cette expression par e-i~, on obtient
~
n
_ ~ (e-i(n+~)r _ ei(n+~)r) _ sin (n + !) 7
+
cos
kr
.r
·
.r
. r
2 k=l
2
2 sm
e-i2 - ei2
2
L
Si sin; = 0, c'est-à-dire r = 2l7r, l E Z, alors en ce point la fonction sinJ:~!)r
!
n'est pas définie mais comme dans ce cas + L:~=l coskr = n +
suffit de la prolonger continûment en ce point par n +
!·
2
!, alors il
6.2. SÉRIES DE FOURIER, THÉORÈME DE DIRICHLET
157
ii} En remplaçant (6.2.8) dans (6.2.7) avec r = t - x, on obtient
_ 1171" ( )sin (n + !) (t - x)
Jt
. (t-x)
dt,
7r -71"
2sm-2 -
Sn (X ) -
(intégrale de Dirichlet).
(6.2.9)
La fonction sous le signe intégrale est 27r-périodique, donc d'après la propriété
6.2.3, on a
11°+271" <p(t) sin(n+l)(t-x)
2
Sn(x) = dt,
7r 0
t-x
où a ER, x E]a, a+ 27r[ et <p(t) = f(t)
.t-~.
2sm
2
iii} Montrons que la fonction <p est dérivable à droite et à gauche sur R En
effet, pour t - x =f. 0, c'est évident puisque .
est une fonction de classe
t-g
2sm
2
C00 et f est dérivable à droite et à gauche sur R (par hypothèse). Lorsque t
tend vers x, on procède comme suit : on a
.
<p(x + h) - <p(x + 0)
h~o
h>O
h
hm
.
f(x + h) 2s: !! - <p(x + 0)
h~o
h>O
h
=hm
Or
lim <p(t) = lim f(t)
t~x
t>:i:
t~x
t>:i:
2
t -~ = f(x + 0),
2 Sln
· -x
2
d'où
. <p(x + h) - <p(x + 0)
1lm---'----'----'----'=
h~o
h
h>O
f(x+h)~ -f(x+O)
lim
smh2
'
h~o
h>O
. f(x + h) - f(x + 0)
1i
m------h~o
h
h>O
2 sm~ 2 -1)
. f(x + h)(~
1
+lm
h
,
h~o
h>O
=
lim f (X + h) - f (X + 0)
h
h~o
h>O
. h
-h -sm2
. + f (X + 0) lim
. h2 ,
h~o hsm2
h>O
1.
lm
h~o
h>O
f(x + h) - f(x + 0)
h
'
158
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
et cette limite existe car par hypothèse f est dérivable à droite et à gauche.
De même, on a
.
~
h~o
cp(x - 0) - cp(x + h)
.
=~
h~o
h
h>O
f(x - O) - f(x - h)2s~~
h
,
h>O
car
lim cp(t) = lim f(t)
t~x
t~x
t>œ
t<œ
t -(tx ) = f(x - 0).
2 Sln
· -2
-x
-
Comme ci-dessus, on obtient
. cp(x - 0) - cp(x + h)
1I
m------- =
h~O
h
.
hm
h~o
h>O
f(x - 0) - f(x - h)
h
h>O
.
hm
h~o
f(x - 0) - f(x - h)
h
h>O
. h
-h -sm2
+ f(x - 0) lim
• h2 ,
h~o hsm2
h>O
.
hm
h~o
f(x - 0) - f(x - h)
h
,
h>O
Cette limite existe par hypothèse puisque f est supposée dérivable à gauche.
Finalement, la fonction cp est dérivable à droite et à gauche sur R
iv} Déterminons maintenant limn~oo Sn {x). On a
1
lim Sn(x) = - lim
n~oo
7r n~oo
1°+
2'/r
a
cp(t)
sin(n+l)(t-x)
2
t- X
dt.
Notons que
1a+
27r
a
=
cp(t)
l
a
x
sin (n + ! ) (t - x)
cp(t)
2
t-x
dt
sin(n+l)(t-x)
2
t-x
dt+
1a+
x
27r
cp(t)
sin(n+l)(t-x)
2
t-x
dt,
159
6.2. SÉRIES DE FOURIER, THÉORÈME DE DIRICHLET
où x E]a, a+ 27r[. En posant u = x - t, on obtient
l
x
a
( )sin(n+ ~) (t-x)
<pt
dt
t-x
L
x-a
cp(x - u)
sin (n + l) u
2
du,
u
x-a sin (n + l) u
2
= cp(x + 0)
du,
0
u
x-a
sin (n + l) u
2
=
cp(x - u)
du,
0
u
x-a
sin (n + l) u
2
=
cp(x - u)
du,
0
u
. (
d
+ x-a cp(x - u) - cp(x + 0) sm
n+-2 u u.
=
0
L
L
L
1)
L
u
0
De même, en posant u
1
a+21T
X
cp(t)
=t - x, on obtient
sin (n + l) (t - x)
2
t-X
L
a+21T-x
=
cp(x+v)
0
= cp(x - 0)
+
dt
sin (n + l) v
2
V
L
a+ 21T-x sin (n +
0
L
a+ 21T-x cp(x -
dv,
l) v
2
dv
V
0) - cp(x + v) . (
0
1)
sm n+ -2 vdv.
V
Dès lors,
1
a+21T
a
cp(t)
sin (n + l) (t - x)
2
t-x
= cp(x + 0)
dt
L (n l) u
l)
L
x-a sin
+
du
2
u
0
a+ 21T-x sin (n +
+cp(x - 0)
0
V
2
v
dv
r-a cp(x - u) -u cp(x + 0) sin ( n + 21) udu
cp(x - 0) - cp(x + v) . (
1)
+L
sm n + -2 vdv.
+ Jo
a+ 21T-x
0
V
160
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
En posant r
=(n + ~) u, on obtient
lim ip(x + 0)
n--+oo
1
(n + .!2 ) u
x-a sin
U
0
= n--+oo
lim ip(x + 0)
1
du
(n+!)(x-a) sinr
-dr,
r
0
7r
= 2ip(x + 0),
car J000 si~r dr = ~· On obtient de même, en posant s = (n + ~) v,
lim ip(x - 0)
n--+oo
1
°+ 211"-x sin (n + .! ) v
2
V
0
1
= lim ip(x - 0)
n--+oo
0
7r
dv
(n+!)(a+27r-x) sins
-ds,
s
= 2ip(x - 0).
Nous avons montré dans iii) que la fonction <p est dérivable à droite et à gauche
sur lR. Donc lirn-u--+O 'f'(x-u)~'f'(x+o) et limu--+O 'f'(x-O)~'f'(x+v) existent et puisque
<p est réglée, on en déduit que les fonctions 'f'(x-u)~'f'(x+o) et 'f'(x-O)~'f'(x+v)
sont aussi réglées respectivement sur [O, x - a] et [O, a+ 27r - x]. Ces fonctions
sont donc bornées et intégrables respectivement sur ces intervalles et d'après
le lemme 6.2.9,
lim ip(x + 0)
n--+oo
1
x-a ip(x -
U
0
= lim ip(x + 0)
n--+oo
1) udu
ip(x + v)
(
+ -1)
u) - ip(x + 0)
1
x-a ip(x -
0) V
0
(
sin n + 2
sin n
2
vdv =O.
Par conséquent
( 0) + -7r ip (X . sn (X ) -- -1 (7r
1lm
- ip X+
n--+oo
Or ip(t) = f(t)
7r
2
2
o)) - ip(x + 0) + ip(x - 0)
-
2
•
.t-~, donc
2sm
2
) _ f (x + 0) + f(x - 0)
1I. mSn( X
,
n--+oo
2
et par conséJiuent la série de Fourier de f converge simplement en tout point
vers f(x+o)! (x-O). En particulier, si f est continue en x, c'est-à-dire
f(x + 0) = f(x - 0) = f(x),
alors sa série de Fourier converge vers f(x). Le théorème est démontré. D
6.2. SÉRIES DE FOURIER, THÉORÈME DE DIRICHLET
161
Remarque 6.2.6 Le théorème que l'on vient de prouver se généralise évidemment aux séries de Fourier de fonctions 2L-périodique, définie et intégrable sur
un intervalle [-L, L] d'amplitude quelconque finie.
Remarque 6.2. 7 Soulignons que la convergence de la série de Fourier au
point x, ne dépend que du comportement de f(x) au voisinage de x. Par conséquent, si on modifie la valeur de f en un seul point, sa série de Fourier n'est
pas modifiée, puisque les coefficients sont définis par des intégrales.
Remarque 6.2.8 Si la fonction f est définie seulement sur [-7r, 7r], on peut
la prolonger par périodicité en une fonction sur .IR, sauf aux points ±7r {et généralement aux points 7r + 2k7r) lorsque f (7r) i= f ( -7r). Le théorème de Dirichlet
s'applique à la fonction ainsi prolongée. Dès lors, si f satisfait aux hypothèses
du théorème de Dirichlet, la série de Fourier converge vers
f (x + 0) + f (x - 0)
2
en tout point intérieur au segment où les dérivées à droite et à gauche existent.
Cependant, aux extrémités x = ±7r (et généralement aux points 7r + 2k7r), la
série converge vers
f(7r - 0) + f(-1r + 0)
2
pourvu que f possède une dérivée à droite en x = -7r et une dérivée à gauche
en x = 7r, car J(-7r -0) = f(7r -0) et f(7r + 0) = J(-7r + 0) {et généralement,
f(7r + 2k7r - 0) = f(7r - 0), f(7r + 2k7r + 0) = f(-1r + 0)).
Exemple 6.2.4 Soit fla fonction 27r-périodique, définie dans l'intervalle [-7r, 7r]
par f (x) = lxl. La fonction f est continue sur lR et dérivable à droite et à
gauche sur R Comme elle est paire, on a donc bk = 0, Vk 2: 1 et
ao
ak
=
=
217f xdx 7r,
-
7r
~
=
0
1·
0
xcoskxdx = {
7r( 2p~l) 2
si k = 2p
si k = 2p + 1
On obtient ainsi la série :
~ _ ±_
2
f
cos(2p + l)x
7r p=O (2p + 1)2 '
-7r ::; x ::; 7r.
D'après le théorème de Dirichlet, cette série converge et sa somme est égale à
f(x), Vx ER En particulier, pour x = 0,
1f
4 OO
f(O) = 0 = 2 - ;
1
L (2p + 1)2'
p=O
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
162
donc
00
I:
p=O
1
7f2
(2p+ 1)2 =
s·
Notons enfin que
OO
1
OO
I: k2 = I:
k=l
p=O
1
(2p + 1)2 +
OO
I:
p=l
1
7f2
1 OO 1
(2p)2 =
+ 4
k2,
s
I:
k=l
d'où la somme d'Euler
Exemple 6.2.5 Reprenons l'exemple 6.2.3 de la fonction f, 27r-périodique,
définie sur l'intervalle] - 7f, 7r] par f(x) =ex, -?r < x < 1r. La valeur de f en
x = 7f est quelconque. Nous avons montré précédemment que
sinh 7f
sinh 7f ~ (-l)k
f(x) rv - - + 2--L.J -k2 (coskx - ksinkx).
7f
7f
1+
k=l
La fonction f est réglée et dérivable à droite et à gauche sur R D'après le
théorème de Dirichlet, en tout point où f est continue, c'est-à-dire pour tout
x #- (2l + l)7r, l E Z, on a
e
x
sinh 7f 2 sinh 7f ~ ( -1) k (
k
k . k )
=--+
--L.J--cos
x- sm x.
7f
7f
1 + k2
k=l
Au point de discontinuité x = 7f, on a
e-n +en
- - - = cosh 7f,
2
et par conséquent,
sinh 7f
sinh 7f ~ 1
cos h 7f = - - + 2 - - L . J - - - .
7f
7f
1 + k2
k=l
Le théorème que l'on vient de démontrer peut être considéré comme un
cas particulier d'un résultat plus général (voir exercice 6.6.9). On a prouvé que
pour une fonction 27r-périodique, si ses discontinuités (si elles existent) sont de
première espèce et sont en nombre fini dans tout intervalle fini et si en outre,
6.2. SÉRIES DE FOURIER, THÉORÈME DE DIRICHLET
163
cette fonction admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche
alors sa série de Fourier converge et on a :
a
oo
{ f (x+O)+ f (x-0)
2 f(x)
+
{;(akcoskx+bksinkx)
=
2
°
si f est discontinue en x
si f est continue en x
De plus la convergence est uniforme sur tout intervalle où la fonction f est
continue. Par ailleurs, le théorème de Dirichlet permet de calculer la somme
de certaines séries numériques.
Rappelons qu'une fonction f est dite de classe ci par morceaux sur un
intervalle [a, b], si ce dernier admet une subdivision par un nombre fini de
points : a = ao < ai < · · · < ak = b, telle que dans chaque intervalle
]ai,ai+i[, 0
k-1, f soit la restriction d'une fonction de ci([aiiai+i]).
Une fonction 27r-périodique est de classe ci par morceaux sur lR si elle l'est
sur [O, 27r]. On démontre que si f est une fonction 27r-périodique de classe
ci par morceaux et continue sur JR, alors sa série de Fçmrier converge vers f
normalement sur R On peut considérer le théorème de convergence uniforme
de Dirichlet comme étant une version globale de celui de convergence simple.
Pour une fonction périodique et continûment dérivable au voisinage de tout
point d'un intervalle, la série de Fourier de f converge uniformément vers f sur
cet intervalle. Evidemment si la fonction f possède des points de discontinuité,
la convergence n'est pas uniforme sur R
Par ailleurs, la raison qui empèche une fonction à ne pas admettre un
développement en série de Fourier, n'a rien à voir avec la discontinuité de cette
fonction. En effet, on peut construire une fonction continue mais dont la série
de Fourier diverge. Ces questions seront étudiées en détail dans la section 6.3
ainsi que dans les sections consacrées aux exercices.
sis
Théorème 6.2.11 Soit f une fonction 27r-périodique, continue sur lR et de
classe C1 par morceaux. Alors la série de Fourier de f converge normalement
(et par suite absolument et uniformément) vers f sur R
Démonstration : Voir exercice 6.6.20.
Remarque 6.2.9 Une question se pose : que se passe-t-il exactement au voisinage d'un point de discontinuité de la fonction f? Lorsqu'on limite le développement de Fourier de f(x) à un certain nombre n fixé {méme très grand) de
termes, on obtient une valeur approchée de f(x). La courbe approchée obtenue
dans ce cas, présente des oscillations de part et d'autre de la courbe d'équation
y= f(x) et plus précisément, c'est àu voisinage du point de discontinuité que la
courbe approchée s'écarte le plus de la courbe exacte. D'après le théorème de Dirichlet, lorsqu'on augmente le nombre de termes, la série de Fourier approxime
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
164
de mieux en mieux la fonction en dehors de ses points de discontinuités, mais
on constate qu'elle va au-delà de la valeur de la discontinuité.
Nous avons démontré que la série de Fourier de f(x) converge simplement
en tout point x vers f(x+o)~ f(x-O), mais cela ne signifie pas que le graphe de
la somme partielle
n
Sn(x) =
;o + z)ak cos kx + bk sinkx),
k=l
converge vers celui de f(x) lorsque n --+ oo. La position du maximum ou minimum tend vers le point de discontinuité, mais la valeur à ce maximum ou
minimum ne tend pas vers la valeur de f(x±O). Ce phénomène, s'appelle "phénomène de Gibbs", et fera l'objet d'une étude détaillée dans l'exercice 6.6.21.
Ce phénomène fut pour la première fois expliqué du point de vue mathématique
par J. W. Gibbs en 1899 et porte depuis lors son nom. Il se traduit par des
oscillations du graphe de la somme partielle Sn autour des points de discontinuité. Cette singularité provient du non convergence uniforme de la série de
Fourier au voisinage du point de discontinuité. Contrairement à ce que l 'intuition pourrait suggérer, une augmentation de n ne réduira pas l'amplitude
de l'oscillation. Au contraire, l'écart reste supérieur à une valeur seuil, aussi
grand soit l'entier n. Par ailleurs, on remarque que l'oscillation s'effectuera
sur des intervalles de plus en plus petits.
6.3
Cesaro, Fejér, Jordan et Weierstrass
Nous avons vu précédemment certaines conditions suffisantes de convergence pour une série de Fourier. Ils en existent d'autres. Une question se pose:
est-ce que la série de Fourier associée à une fonction continue converge toujours? La réponse est non. En effet, Fejér (1910) a montré que la série de
Fourier d'une fonction continue pouvait diverger. Il a par contre démontré
qu'elle converge vers f au sens de Cesaro. Le premier exemple de fonction
continue périodique dont la série de Fourier diverge en un point a été fourni en
1873 par du Bois-Reymond (il a considéré une fonction oscillant indéfiniment
autour de 0). Par ailleurs, ce n'est que plus tard qu'on a pu montrer (Kahane
et Katznelson 1966, Hunt 1967) que pour chaque ensemble de mesure nulle,
il existe au moins une fonction continue telle que sa série de Fourier diverge
sur cet ensemble. Réciproquement, Carleson a montré en 1966 que pour toute
fonction continue périodique la série de Fourier converge sauf éventuellemnt sur
un ensemble de mesure nulle (autrement dit, la série de Fourier d'une fonction
de carré sommable converge presque partout vers cette fonction). On notera
6.3. CESARO, FEJÉR, JORDAN ET WEIERSTRASS
165
aussi (Kolmogorov 1926) qu'il existe des fonctions périodiques localement sommables dont la série de fourier diverge partout sur R. Pour toutes ces questions
voir, entre autres, les exercices 6.7.14, 6.7.15 et 6.7.16.
Définition 6.3.1 Soit E~ 1 ak une série et (Sn) la suite de ses sommes partielles. Posons
On dit que la série E ak converge au sens de Cesaro (ou en moyenne) et a
pour somme u si et seulement si la suite (un) converge vers u.
On montre que si la série E ak converge au sens usuel et a pour somme S,
alors elle converge au sens de Cesaro vers la même somme. Inversement, une
série peut converger au sens de Cesaro et diverger au sens usuel. Par exemple
la série 1 - 1 + 1 - 1 + · · · diverge au sens usuel mais converge au sens de
Cesaro vers
!.
Théorème 6.3.2 (Fejér}. Soit f une fonction 27r-périodique et continue sur
R. Alors, la série de Four~er de f converge au sens de Cesaro vers f(x), uniformément sur R
Démonstration : Soit Sn (x) = ~ + E~=l (ak cos kx + bk sin kx), la somme
partielle de la série de Fourier de f. On a montré (voir (6.2.9)) que
Sn(x)
=
=
=
1 111"
-
7r -11"
( ) sin (n + ! ) (t - x)
. ~
dt,
f t
2sm
2
1111"-x
sin (n + !) u
f (x + u) 2 . u du,
7r -11"-x
sm 2
1 111" (
f X + U ) sin 2(n .+u! ) u du,
7r -11"
sm 2
-
en vertu de la propriété 6.2.3, car la fonction sous le signe intégral est 27rpériodique en u. Considérons la suite un(x) = ~ E~:J Sk(x), et montrons
que (un(x)) converge uniformément vers f(x) sur R. La preuve peut se faire
avec une méthode analogue à celle employée précédemment, comme on peut
raisonner autrement. On a
O"n(x)
=
=
_!_
~
_!_ 111" !(
)sin (k + !) ud
. u
L.....J
X +U
U,
n k=O 7r -11"
;1111"
-11" f(x + u)~n(u)du,
2
sm 2
(intégrale de Fejér)
166
,
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
iF...
(
ou 'J:'n u
sin(k+~)u N
= ""n-1
L.Jk=O 2nsin :it • otons que
2
)
_
d'où
{f?
n (u) --
n-1
1
"' 1 - einu
1
lm Lei~ · (eiu)k -2
lm ei2. 1
. ,
·
u
·
u
2nsm-2
nsm-2
- eiu
k=O
ou
1
1 - einu
1
einu - 1
.,,
.,, = 2 . u lm 2 .. u,
. u lm
nsm 2
e-i2 - ei2
nsm 2
ism 2
{f?n(u) = 2
ou encore
{f?
1
(1-cosnu) _ _!_(sinn~) 2
n(u) - 2nsin '.!!: · 2sin '.!!:
- 2n sin'.!!:
'
_
2
2
(noyau de Fejér).
2
Notons aussi que {f?n est paire, {f?n(u) ~ 0 et J~'/I' {f?n(u)du = 1 (en effet, en
posant f(x) = 1 dans l'intégrale de Fejér, on obtient O'n(x) = ~ J~'/I' {f?n(u)du.
En outre, on a dans ce cas
!)
1 171' n-l sin ( k + u
1 n-l 1 171' ( 1
k
. )
L
2 + L COSJU du= 1).
. '.!!: du= 2
7r -71' k
n sm 2
7r k
n -11'
.1
O'n(x) = -
=0
2:=0
J=
On a
O'n(x) - f(x)
;1171'
-71' (!(x + u) - f(x)){f?n(u)du,
~
(1-:
(f(x + u) - f(x)){f?n(u)du
+ 111' (!(x + u) - f(x)){f?n(u)du) ,
:;.1 Jor ((f(x - u) - f(x)){f?n(-u)du
+(/(x + u) - f(x)){f?n(u)du),
-1171' (!(x + u) + f(x - u) - 2/(x)){f?n(u)du,
7r
0
car {f?n est paire. Soit ê > O. Par hypothèse la fonction f est continue en x
et périodique, donc elle est bornée et elle est uniformément continue sur R
6.3. CESARO, FEJÉR, JORDAN ET WEIERSTRASS
167
Dès lors, il existe ô E]O, 7r[ tel que : pour tous xi, x2, lx1 - x2l S ô entraîne
lf(x1) - f(x2)I S î et pour tout u E [O, ô], on a
é
lf(x + u) + f(x - u) - 2/(x)I S lf(x + u) - f(x)I + lf(x - u) - f(x)I S 2·
Donc,
<
lun(x) - f(x)I
.! f 0 lf(x + u) + f(x - u) - 2f(x)lq>n(u)du
11" lo
+-1171" lf(x + u) + f(x - u) - 2f(x)lq>n(u)du,
11"
0
car q>n ~ O. On a d'une part,
~ fo 0 lf(x + u) + f(x - u) - 2f(x)Jq>n(u)du < 2: fo 0 q>n(u)du,
< 2: 171" q>n(u)du,
-
car J07r q>n(u)du =
47r'
! J::.11" q>n(u)du = !· D'autre part, puisque
2
q> (u) = -1 (sinn'.!!)
_ _2 < -1
n
2n
sin '2.!!
1--
- 2n. (sm
. 0) 2 ,
2
sur [o, 71"], alors
-1171" lf(x + u) + f(x - u) - 2f(x)lq>n(u)du
11"
0
S
1
171" lf(x + u) + f(x - u) - 2f(x)ldu,
2
2n7r (sin~) o
1
171" (lf(x + u) - f(x)I + lf(x - u) - f(x)l)du,
2
2n7r (sin~) o
1
S
2 .4M(7r - ô), où M = sup{lf(x)I : x E ~},
2n7r (sin~)
2M
S
2 -----+ 0 lorsque n -----+ oo
n (sin~)
S
Il existe donc no tel que : pour n ~no et ô donné, on ait
1 {71"
é
; la lf(x + u) + f(x - u) - 2f(x)lq>n(u)du S 2.
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
168
Finalement, on obtient Jan(x)- f(x)J :::; ~ + ~ =€,c'est-à-dire la suite (an(x))
converge uniformément vers f(x) sur R et la démonstration du théorème est
complète. D
De la condition suffisante de convergence des (ak), on peut passer à des
conditions suffisantes de convergence pour des (Sk)· Il en résulte notamment
le théorème suivant qui contient en fait le théorème 6.2.10.
Théorème 6.3.3 (Jordan). Si f est périodique et à variation bornée sur un
intervalle d'une période, sa série de Fourier converge pour tous les x vers
f(x+O)~f(x-O). De plus, la convergence vers f(x) est uniforme sur tout intervalle où f est continue.
Démonstration : Il suffit d'utiliser une méthode similaire à celle utilisée précédemment (pour le détail voir exercice 6.6.13). D
Comme application du théorème de Fejér, on a le résultat suivant :
Théorème 6.3.4 (d'approximation de Weierstrass) . Soit f une fonction conti-
nue sur un intervalle [a, b]. Quel que soit € > 0, il existe un polynôme P tel
que, pour tout x E [a, b], on ait Jf(x) - P(x)J :::; €.
Démonstration : Soit f : [a, b] ----+ R, une fonction continue et soit g le prolongement de f sur l'intervalle [2a-b, b] de façon paire. Autrement dit g(x) = f(x)
si x E [a, b] et g(x) = f(2a - b) si x E [2a - b, a[. La fonction g est continue,
g(2a - b) = g(b) et on peut donc la prolonger sur R en une fonction h. Cette
dernière est une fonction continue et 2(b-a)-périodique. Soit€> O. D'après le
théorème de Fejér, la suite (an(x)) converge uniformément dans R vers h(x),
c'est-à-dire il existe un entier N(ê) tel que, pour tout n 2:: N(ê) et tout x ER,
€
Jh(x) - lin(x)J :::; 2'
(6.3.1)
Par ailleurs,
an(x) =
L
n-1 (
k1r
O:k cos b _a x
.
k7r
+ /3k sm b- a x
)
,
k=O
est développable en série entière (puisque les fonctions cos et sin le sont sur
R) et celle-ci converge uniformément sur [a, b] (un compact). Dans ce qui suit,
P désigne la somme partielle de le série entière de an(x). Pest un polynôme
vérifiant pour tout x E [a, b],
€
Jan(x) - P(x)J :::; 2'
(6.3.2)
6.4. ÉGALITÉ DE PARSEVAL ET INÉGALITÉ DE BESSEL
169
Puisque h(x) = f(x), x E [a, b], on déduit des relations (6.3.1) et (6.3.2),
ê
ê
lf(x) - P(x)I ~ lf(x) - O"n(x)I + lun(x) - P(x)I ~ 2 + 2 = ê,
pour tout x E [a, b] et le théorème est démontré. D
6.4
Égalité de Parseval et inégalité de Bessel
Soit f une fonction 27r-périodique et supposons pour le moment que sa série
de Fourier converge uniformément vers f(x);
;o + ~)ak cos kx + bk sin kx).
OO
f(x) =
k=l
En multipliant les deux membres de l'égalité ci-dessus par f(x) et en intégrant
terme à terme sur [-7r, 7r], on obtient l'égalité suivante, dite égalité de Parseval:
117r f 2 (x)dx.
7r -7r
ao + L (a~+ b~) = 2
OO
2
k=l
Cette égalité est satisfaite pour une fonction 27r-périodique réglée ou plus
généralement de carré intégrable (c'est-à-dire J~'Tr lf(x)l 2 dx < oo) sur une période (voir plus loin). Physiquement, l'égalité de Parseval signifie que l'énergie
totale d'un phénomène périodique est égale à la somme des énergies associées
aux différents harmoniques.
Définition 6.4.1 Soit f une fonction 211"-périodique. On dit que le polynôme
trigonométrique
n
Tn(x) = ~o + L(ak cos kx +.Bk sin kx),
k=l
approche f (x) en moyenne quadratique si les coefficients ak et .Bk sont tels
que :
soit minimum.
Proposition 6.4.2 Parmi tous les polynômes trigonométriques d'ordre n, c'est
le polynôme dont les coefficients ak, .Bk sont les coefficients de Fourier de la
fonction f, c'est-à-dire
117r f(x) coskxdx, .Bk= bk = -117r f(x) sinkxdx,
-7r
7r -7r
ak = ak = -
7r
170
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
qui réalise la meilleure approximation en moyenne quadratique de cette fonction. Autrement dit, pour tout n, on a
Démonstration : On a
1_:
(f(x) -Tn(x)) 2 dx =
1_:
f 2 (x)dx -
21_:
f(x)Tn(x)dx +
1_: T~(x)dx.
Calculons séparément chaque expression. On a
1_:
f(x)Tn(x)dx
=
~o
1_:
f(x)dx
+
<»
t, ( L
cos kxdx + /3k
L
sin kxdx) ,
Par ailleurs, un calcul direct montre que :
1_: T~(x)dx
2
n (
111"
111" sin kxdx )
= 0.4°111" dx + ao ~
O.k -11" cos kxdx + f3k
-71"
-71"
n
111"
n
171"
+~a~ -11" cos 2 kxdx + 2 k~l O.kO.j
coskxcosjxdx
-71"
k#j
+2
k~l <»/3;
J:.
coskxsinjxdx,
k#j
2
ao7r
n
~
2
2)
= -2- + 7r L.,.(ak + {3k .
k=l
6.4. ÉGALITÉ DE PARSEVAL ET INÉGALITÉ DE BESSEL
171
Donc
n
+ 7l' I)a~ - 2akak) + (/3i - 2f3kbk)),
k=l
=
111" f 2 (x)dx + ~(ao - ao) 2 - a~1!'
-11"
2
2
+
7l'
n
n
L((ak - ak) 2 + (f3k - bk) 2 ) - 7l' L(a~ + b~),
k=l
k=l
A-B,
=
où
A
B
=
~(ao -
n
ao) 2
+ 7l' L((ak - ak) 2 + (f3k - bk) 2 ).
k=l
Comme A est indépendante de ak, f3k et que Best positive, alors le minimum
sera atteint quand O!k = ak et f3k = bk. Il s'en suit que
{ . U(x) - s.(x)fdx = [
t'(x)dx-
i" _,, t,(al +
bD 2'. o,
et par conséquent
11"
2
7l'
2
1-71" (f(x) - Sn(x)) dx + 2(ao - ao)
n
+71' L((ak - ak) 2 + (f3k - bk) 2 ).
k=l
La démonstration s'achève. 0
(6.4.1)
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
172
Corollaire 6.4.3 On a l'inégalité de Bessel
2
117T f 2(x)dx.
-7T
ao +:~::)a~+ b~) ::::; 2
7r
k=l
OO
Démonstration : Il suffit d'utiliser la relation (6.4.1). D
Définition 6.4.4 Si limn-+oo J~1T(J(x) - Sn(x)) 2dx = 0, on dit alors que la
série
~o +
OO
L (ak cos kx + bk sin kx),
k=l
converge en moyenne quadratique vers f(x).
Proposition 6.4.5 Soit f une fonction 27r-périodique et réglée. Alors
a) Il existe une suite de fonctions continues convergeant vers f en moyenne
quadratique.
b) La série de Fourier de f converge en moyenne quadratique vers f.
Démonstration : a) Soit f : [-7r, 7r] --+ R, une fonction réglée et soit ê > O.
On peut construire une fonction en escalier Be : [-7r, 7r] --+ IR. telle que l'on
ait llf - 9elloo :=::; 2~, d'où llf - 9ell2 :=::; V21fllf - Yelloo ::::; ê. Notons c1 < C2 <
· · · <Cm les points de discontinuités de ge. En modifiant Be dans les voisinages
[cj-Ô, ci+o] avec ô suffisamment petit, on peut construire une fonction continue
h : [-7r, 7r] --+ R, telle que : llYe - hll2 ::::; ê. Plus précisément, on définit par
exemple la fonction continue h sur [-7r,7r] comme suit: on pose h(x) = f(x)
pour X (j_ [c1 - O, CI + Oj LJ .•• LJ [Cm - O, Cm+ Oj et On choisit h affine pour
XE [cj - o, Cj + o], 1 ::::; j ::::; m. On aura donc
llYe - hll~ =
1
1T
-?T
m1c·+6
ci~ (ge(x) - h(x)) dx <
(ge(x) - h(x)) 2dx = ~
6
2
ê.
b) Soit ê >O. D'après a), on peut construire une fonction continue h telle
que l'on ait 11! - hl 12 ::::; ê. Pour la suite, on peut utiliser le théorème d'approximation de Weierstrass trigonométrique, comme on peut procéder autrement.
En effet, d'après ce qui précéde et l'inégalité de Minkowski, on a
(6.4.2)
Soit (un) la suite des sommes de Cesaro construite pour la fonction 47r-périodique,
continue et égale à f(x) pour x E [-7r, 7r] et à f(-27r- x) pour x E [-37r, -7r[.
6.5. SÉRIES DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS
173
D'après la proposition 6.4.2, on a llh - Bn(h)ll~ :::; llh - anll~, où ici Bn(h) désigne la somme partielle de la série de Fourier de h. La suite (an) des polynômes
trigonométriques converge uniformément vers h sur [-11', 11'], donc
lim 111" (h(x) - an(x)) 2dx = 111" lim (h(x) - an(x)) 2dx = 0,
n--+oo -7r
n--+oo
-7r
et par conséquent liIDn--+oo llh-Sn(h)ll~ =O. Autrement dit, il existe un entier
no tel que pour tout n ~no, llh - Bn(h)ll2:::; c. Par ailleurs, on a
(d'après (6.4.1))
2c
< ..fi'
(d'après (6.4.2))
En regroupant ces différentes expressions, on obtient
2c
llJ - Bn(f)ll2:::; llf - hll2 + llh - Bn(h)ll2 + llBn(h - fll2:::; 2c + é + ..fi'
Autrement dit, on a limn--+oo Il! - Bn(f)ll~ = 0, ce qu'il fallait démontrer. D
Corollaire 6.4.6 Soit f : [-11', 11'] ---t IR, une fonction réglée. On a l'égalité de
Parseval
1171"
ao + L:)a~ + b~) = f 2(x)dx.
2
11' -11"
k=l
2
OO
Démonstration : Il suffit d'utiliser la relation (6.4.1) ainsi que la proposition
précédente. D
6.5
Séries de Fourier des distributions
Définition 6.5.1 On dit qu'une distribution TE V'(IR) est périodique de période a (en abrégé : a-périodique) si TaT = T, où TaT est la translatée de T
para.
Pour tout cp E V, cette définition signifie que
(raT, cp) = (T, Lacp) = (T, cp),
c'est-à-dire
(Tx, cp(x +a)) = (Tx, cp(x)).
L'ensemble des périodes forme un sous-groupe {discret) et le plus petit des
nombres a s'appelle période fondamentale. On obtient des notions similaires
pour le cas de distributions TE V'{!Rn).
174
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
Exemple 6.5.1 Si f est une fonction localement sommable et a-périodique,
alors la distribution régulière qui lui est associée est aussi a-périodique.
Exemple 6.5.2 Le peigne de Dirac (voir section 1.3.2) défini par
~(x) =
OO
OO
k=-oo
k=-oo
L ôk(x) = L ô(x - k), k E Z
est une distribution 1-périodique.
Exemple 6.5.3 Si T est une distribution a-périodique, alors sa dérivée T' est
aussi a-périodique.
Considérons l'intervalle [a, a+ 27r] c lR où a est arbitraire. On peut identifier cet intervalle au groupe quotient JR/2kZ de lR par un sous groupe discret
(réseau). Autrement dit, l'identification peut se faire à un cercler de centre 0
et de longueur 27r. On fixe une origine et une orientation sur r. A tout point
de cet intervalle correspond dans lR sa classe d'équivalence ou ce qui revient au
même, à tout point d'abscisse curvilignes der correspond un élément d'abscisse X de R Ceci permet d'associer biunivoquement à toute fonction f sur r
une fonction f sur lR de période 27r telle que : f(x) = f(s). On désigne par
V(r) l'ensemble des fonctions indéfiniment différentiables sur le cercler. Notons que pour les fonctions cp E V(r), on n'est plus obligé de supposer qu'elles
sont à support borné. En fait, r est borné et l'exigence de périodicité remplace
celle de support borné. La fonction ép associée à cp E V(r) est 27r-périodique
sur lR et n'appartient pas à V(JR).
Définition 6.5.2 On dit qu'une suite de fonctions ('Pk) E V(r) converge dans
V(r) vers une fonction cp E V(r) si pour tout j E N, la suite des dérivées (cp~))
converge uniformément vers cp(i) sur r.
Définition 6.5.3 On appelle distribution T sur le cercler, toute fonctionnelle
linéaire continue sur V(r). La continuité signifie que si une suite ('Pk) converge
dans V(JR) vers cp, alors (T, 'Pk) converge vers (T, cp).
On désigne par V'(r) l'ensemble des distributions sur le cercler, cet ensemble
est un espace vectoriel. Toute fonction localement sommable sur r détermine
une distribution régulière que l'on note encore f et telle que pour tout cp E
V(r),
r
(!, cp) = lr f(s)cp(s)ds =
1a+21r f(x)ép(x)dx, a = constante.
a
6.5. SÉRIES DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS
175
Soit cp E V(JR) et considérons la fonction ~(x) = L:~-oo cp(x + 2k7r).
Notons que le support de cp est borné et <Pest bien définie. La fonction <Pest 27rpériodique, indéfiniment dérivable et il lui correspond une fon~ion <P E V(r). A
une distribution T sur le cercler, on associe la disttribution T sur lR telle que :
(T, cp) = (T, <P). On vérifie aisément que Test une distribution 27r-périodique:
(Tx, cp(x + 27r)) = (Tx, cp(x)). En effet, on a
(-r27rf, cp) =
(T, 7-27r'P) = (Tx, cp(x + 27r)) = (T, <P) = (T, cp),
car si l'on remplace cp(x) par cp(x + 27r), alors ~ et <P ne change pas.
Dans le cas d'une distribution régulière f, on a
(f, cp) =
1:
f(x)cp(x)dx,
00
{2(k+l)7r
k~oo J2k7r
f(x)cp(x)dx,
f 1
2
7r f(x)cp(x
k=-oo O
+ 2k7r)dx,
fo f(x)~(x)dx,
2
7r
[ f(s)<P(s)ds,
= (!, <P).
Par conséquent, on a
Proposition 6.5.4 A toute distributio:!f 27r-périodique T sur le cercle, correspond biunivoquement une distribution T sur JR.
On définit comme dans le chapitre 5, le produit de convolution de deux
distributions Set T sur le cercle par
(S * T, cp) = (Ss ®Tt, cp(s + t)),
\icp E V(r)
où s, t Er. Il faut bien noter que toute distribution sur le cercler est à support
borné. Dès lors, le produit de convolution ci-dessus est toujours défini car si
cp E V(r) et 'lfJ(s, t) = cp(s + t), alors 'ljJ E Vs,t(I'). Notons aussi que pour tout
TE V'(r), on a T * ô = ô * T = T, et T * ô(k) = T(k), k E N où T(k) est la
dérivée kième par rapport à s. L'ensemble V'(r) est une algèbre de convolution
et la distribution ô de Dirac joue le rôle d'élément neutre. En cas de besoin,
on peut se référer au chapitre 5 pour d'autres propriétés.
176
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
Définition 6.5.5 On appelle coefficients de Fourier d'une distribution T E
'D' (r), les nombres
et série de Fourier de T la série
OO
2: Ck(T)eik8.
k=-oo
Remarques 6.5.1 a) La série ci-dessus peut évidemment s'écrire en introduisant comme dans les sections précédentes, les coefficients ak et bk.
b) Lorsque la distribution T est définie par une fonction intégrable f, alors
Ck = 2~ J:+ 27r f(s)e-ik 8ds, k E Z où a est quelconque. Dans la définition cidessus, lorsque T est a-périodique, alors ses coefficients de Fourier s'écrivent
27riks }
) 27riks
Ck =a1 ( T81 e--a' k E z et sa série de Fourier est "'OO
L....,k=-oo Ck ( Te-a-.
c) Comme pour les fonctions, la série de Fourier d'une distribution paire
(resp. impaire} n'a que des termes en cosinus (resp. sinus). En effet, il suffit
d'adapter les définitions et notations utilisées dans la section 3.4 du chapitre
V
3. De la formule (T1 ~) = (T 1 cp), cp E 'D, on tire la relation suivante :
c_k = 2171' (T.81 eik8) = 2171' (TV81 e-ik8) ·
V
Si la distribution T est paire, alors par définition T = T, d'où
c_k = 2171' (T.81 eik8} = 2171' (T.81 e-ik8} = Ck1
ce qui implique
V
et ak = 2ck, bk =O. De méme, si Test impaire, c'est-à-dire T = -T, on aura
d'où
Ck = -C-k =
2~ (T8, sin ks),
et ak = 0, bk = 2ick.
d} En tenant compte de la formule (remarque 1.2.1, c) du chapitre 1),
(T, cp) = (T, ëp) 1
cp E 'D(JR) 1
6.5. SÉRIES DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS
177
définissant la distribution complexe conjuguée T d'une distribution T, on obtient
1 (T
211'
s, e
-iks) _
-
1 -(rri-.,..,...ik-s) _ -
211' .L s, e
-
c_k,
où Ck est le coefficient de Fourier de T. Dès lors, si T est réelle alors c_k = ëk.
E:,_
Rappelons qu'une série de la forme
00 ak est dite convergente si la
série
1 ( ak + a_k) converge et on pose dans ce cas
E:,
OO
L
ak
k=-oo
OO
= ao + L(ak + a_k)·
k=l
E:,_
Considérons la série trigonométrique
00 ckeiks où Ck sont des constantes.
Supposons que lckl S Àlkla, k E N où À, a sont des constantes (c'est-à-dire
la suite (ck) est à croissance lente). Dês lors, jck (iz;~~2 j =
1
a~ 2 j S ffe, et
puisque ffe est le terme général d'une série convergente, alors la série de dis.
'\'OO
eiks
·i:
é
Ü r '\'OO
iks
tri'butions
L..Jk=-oo Ck (ik)a+2 converge um1orm ment.
L..Jk=-oo Cke
est 1a
dérivée (a+ 2)iême de cette série. Ainsi, si lckl S Àlkla alors la série de distributions E:,_ 00 ckeiks converge. On peut montrer que cette condition est
aussi nécessaire. En définitive, on a
E:,_
Proposition 6.5.6 Une série trigonométrique
00 ckeiks converge vers
une distribution sur le cercle r, si et seulement si, la suite des ick 1 est majorée par une puissance de k quand k tend vers l'infini.
En théorie des distributions et contrairement à l'analyse classique, la distinction entre séries trigonométriques et séries de Fourier n'est plus nécessaire.
En effet, au sens des distributions, toute série trigonométrique convergente représente le développement d'une distribution périodique. En outre, si au sens
classique une série trigonométrique représente le développement d'une fonction périodique, alors elle la représente aussi au sens des distributions. Toute
distribution périodique a une série de Fourier, qui converge vers cette distribution. Toute série trigonométrique dont les coefficients sont à croissance lente
converge vers une distribution périodique dont elle est la série de Fourier. Nous
allons voir tout cela en détail.
Proposition 6.5. 7 La série de Fourier de la distribution ô de Dirac sur le
cercle r, converge dans V' (r) vers ô.
Démonstration : En effet, on a Ck = l'Tr (ô 8 , e-iks) = 2~. Nous allons montrer
que : 2~ E:,_ 00 eiks = ô. Cette série de distributions converge dans V'(r).
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
178
Pour montrer que sa somme, notée T, est égale à ô, on procède comme suit,
on a pour tout cp E V(r),
L (eiks,cpeis) = 271'1 L Jo{21r cp(s)ei(k+l)sds = (T,cp),
1
(T,cpeis) = 27!'
OO
OO
k=-oo
k=-oo O
donc (T, (eis - l)cp) = O. On pose 'lfJ(s) = (eis - l)cp, d'où pour cp E V(r),
'l/J E V(r) et 'l/J(O) = O. Réciproquement, soit 'l/J E V(r) telle que : 'l/J(O) = 0, on
a
cp s = ~(s) =
'lfJ(s)
='l/J s coss-1-isins
() ei8 - l
coss-l+isins
() 2(1-coss)'
ou
-
( )-2sin 2 ~-2isin~cos~ _ () e-i~
. 28
'l/J s 2' . s.
4sm 2
ism 2
cp (s ) - 'l/J s
Notons que cp E V(r), cp est 27r-périodique et cp E C00 • Pour toute fonction
'l/J E V(r) telle que 'l/J(O) = 0, on a (T, 'l/J) = O. En s'inspirant de ce qui a été
fait dans le chapitre 3 (proposition 3.1.2), on montre que Test proportionnelle
à ô. En effet, soit cp E V(r) et posons 'lfJ(s) = cp(s) - cp(O). On a
(T, cp) = (T, 'l/J + cp(O)) = (T, 'l/J) + (T, cp(O)) = Ccp(O),
avec
l
C = (T, 1) = -2
. = - 1 1a+27r ds = 1.
Loo 1a+27r eiksds
2
7l' k=-oo
a
7l'
a
Par conséquent, (T, cp) = cp(O) = (ô, cp) et ô = 2~ 2:~-oo eiks, ce qui achève la
démonstration. D
Proposition 6.5.8 La série de Fourier d'une distribution T sur le cercle r,
converge dans V' (r) vers T. Autrement dit, toute distribution sur r est développable en une série de Fourier et est identique à la somme de cette série.
Démonstration : Pour tout TE V'(r), on a T = T * ô. D'après la proposition
5.3.9, on a pour tout TE V'(r),
En tenant compte de la proposition 5.3.10, on obtient
T = 2_
~ (T:t1 eik(s-t)) = 2_
~ eiks(T.t1 e-ikt) = ~
c eiks
271' ~
~ k
'
27!' ~
k=-oo
k=-oo
où Ck = 2~ (Tt, e-ikt) et la proposition est démontrée. D
k=-oo
6.5. SÉRIES DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS
179
Proposition 6.5.9 Soient T et S deux distributions sur le cercle, 27r-périodiques
et soient ck(T) et ck(S) les coefficients de Fourier de leurs séries de Fourier
respectives. Alors
et
OO
T * S = 27f
L ck(T)ck(S)eiks.
k=-oo
Démonstration : Voir exercice 6.6.29 D
On considère dans V'(r), l'équation de convolution A* X= B, où A et B
sont deux distributions données sur le cercle r et X une distribution inconnue.
Si X est une solution, elle est donc la somme de la série de Fourier
bk iks
X _ -1 ~
L...J -e
- 27f k=-oo ak
'
où ak, bk sont les coefficients de Fourier de A, B respectivement. Ces deux coefficients sont liés au coefficient Xk de X par la formule (proposition précédente),
21fakXk = bk. Réciproquement, supposons qu'il existe Xk telles que les formules
ci-dessus soient satisfaites. Si la série l'lr L:~-oo ~eiks converge alors elle représente la solution cherchée. Nous avons vu précédemment que la convergence
de cette série est assurée si la condition (nécessaire et suffisante) suivante est
satisfaite : lxkl ::; >.ikl°' où À > 0 et a> O. Notons que si parmi les coefficients
ak, ils y en a qui sont nuls (disons ap = 0) alors de deux choses l'une : si les
coefficients bp correspondants sont tous nuls, alors l'équation A* X = B admet
une infinité de solutions si la condition de convergence ci-dessus est satisfaite.
Si par contre, les coefficients bp ne sont pas tous nuls, alors dans ce cas l'équation A* X= B n'admet pas de solution. Par ailleurs, l'algèbre de convolution
V'(r) a des diviseurs de zéro (rappelons que A est diviseur de zéro dans V'(r),
s'il existe X E V'(r), X# 0 tel que A* X= 0). Ainsi l'équation A* X= 0,
A# 0, n'entraîne pas X =O. Ceci est vérifié si et seulement s'ils existent des
Xk non tous nuls tels que : pour tout k, akXk = 0 ou ce qui revient au même si
et seulement si certains ak sont nuls. Dès lors, les diviseurs de zéro dans V' (f)
sont les distributions dont certains coefficients de Fourier sont nuls. Pour que
l'équation de convolution A* X= B, admet une solution unique pour tout B,
il faut que A ne soit pas diviseur de zéro. Aussi, l'existence d'un inverse de A
n'est pas assurée si A est diviseur de zéro.
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
180
6.6
Exercices résolus
Exercice 6.6.1 Déterminer les séries de Fourier associées aux fonctions 271'périodiques suivantes :
a)
b}
g(x) =ex six E (-71', 7r].
Solution : a) On a ao = ~ J~1J(x)dx = 38, et la méthode d'intégration par
parties fournit
1 {'Ir
1 (
k71'
)
ak = ; } _'Ir f (x) cos kxdx = k2 71' cos 2' - 1 ,
et
117r f(x)sinkxdx = - 12-sink71'
(-l)k
- --.
bk = 71'
k 71'
-'Ir
2
2k
D'où f(x) rv ~ + L:k:: 1 (ak cos kx + bk sin kx), c'est-à-dire
tr
k;
k;
00
371'
((cos
-1)
(sin
(-l)k) .
)
f(x) rv 16 +
k2 71'
coskx +
k2 71' - 2k smkx .
b) De même, on a ao = ~ J~'lr exdx = e,,.-;_,,., et la méthode d'intégration
par parties fournit
1 {'Ir
x
_
(-l)k
; } _'Ir e cos kxdx - 1 + k 2
ak
(e7r -71' e-7r) ,
Par conséquent g(x) rv ~ + L:k:: 1 (akcoskx+bksinkx), c'est-à-dire
7r
ex rv e - e
71'
-'Ir
(
'12 + L 1- 1k)k2 (cos kx - k sin kx) ) .
OO
k=l
(
+
Exercice 6.6.2 Soit f la fonction de période 271' qui vaut (71' 2 - x 2 ) 2 quand x E
[-7r,7r]. Trouver le développement en série de Fourier de f. Peut-on calculer
la série de Fourier de f' en dérivant terme à terme celle de f ?
181
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
Solution : La fonction f est 27r-périodique, elle est continue et dérivable sur
R Elle est donc développable en série de Fourier en vertu du théorème de
Dirichlet, c'est-à-dire on a pour tout x E ~'
OO
f(x) = ~o + 2)akcoskx+bksinkx),
k=l
où ak = ~ J~1r f(x) cos kxdx, k 2: 0 et bk = ~ J~1r f(x) sin kxdx, k 2: 1. Puisque
la fonction f est paire, alors ao = ~ 01r (71" 2 - x 2 ) 2 dx = 1 ~~ 4 et bk = 0, k 2: 1.
La méthode d'intégration par parties fournit
J
r
2
2
48(-1)k
ak =; Jo (7r 2 - x 2 ) coskxdx = k4 •
D'où,
87!"4
OO (
l)k
f(x) = 15 -48L ~ 4 coskx.
k=l
La série dérivée a pour terme général : 48 (k3l)k sin kx. Or
1
48(-l)k .
1
48
k3
smkx ~ k3'
et puisque E ~ converge, alors d'après le critère de Weierstrass la série de
fonctions E 48 (k3l)k sin kx converge normalement (donc absolument et uniformément) sur R Les hypothèses du théorème de dérivation étant satisfaites, il
en résulte que la fonction f est dérivable et on a
L 48(-l)k
k
sinkx.
OO
f'(x) =
3
k=l
Exercice 6.6.3 Soit f la fonction définie par
f(x) = sup{sinx,O},
x ER
a) Montrer que cette fonction est développable en série de Fourier. Déterminer cette série ainsi que le domaine de convergence uniforme.
00
(-l)k
b) En déduire la valeur de
4k 2 _ 1 .
L
k=l
c) Développer en série de Fourier la fonction g définie par
g(x) = 1sin xi,
x ER
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
182
Solution : a) Notons tout d'abord que
sin~
f(x) = {
sisinx20
sinon
La fonction f est 211'-périodique, elle est continue et admet une dérivée à droite
et une dérivée à gauche. D'après le théorème de Dirichlet cette fonction est
développable en série de Fourier. Plus précisément, on a pour tout x ER,
OO
f(x) = ~o + L(ak coskx + bk sinkx),
k=l
où ak = ~ J:.11"J(x)coskxdx, k 2 0 et bk = ~ J:.71"J(x)sinkxdx, k 21. On a
2
ao = -1171" sinxdx = -,
11' -71"
11'
11+(-l)k
.!_ 111" sin x cos kxdx = {
11' -71"
bk
7r
1-k2
0
si k =/: 1
si k = 1
=/: 1
= .!_ 111" sin x sin kxdx = { ? sisi kk =
1
11'
-71"
~
On obtient ainsi la série
ao
~
.
1
sinx
~ 1 (1 + (-l)k)
2 + L.)akcoskx + bksmkx) =; +-2- + L...,;;
l -k 2
coskx.
k=2
k=l
D'après le théorème de Dirichlet, la somme de cette série est égale à f(x),
\fx ER Or
1 + (-l)k = { 1-~l2 si k = 2l
1-k2
0 si k = 2l + 1
donc
!( ) = .!_
X
11'
+
sinx 3_ ~ cos2lx
2 + 11' L...,; 1 - 4l 2 .
l=l
Le domaine de convergence uniforme de cette série est R (cette série converge
normalement sur R en vertu du critère de Weierstrass car 1~o~~ff1 :S 41 l_ 1 ,
l_
\fx ER et E 4 1 converge).
b) Pour x = ~, on a
183
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
d'où
(-1) 1
OO
1
11"
L: 4l2 - 1 = 2 - 4·
l=l
c) La fonction g est paire, 7r-périodique, continue sur lR et de classe C1 par
morceaux. Elle est donc développable en série de Fourier et celle-ci converge
vers g(x) en tout point x E JR. Notons que f(x) = !(sinx+g(x)). On a montré
dans a) que pour 0 < x < 11", on a
.
_ .!_
smx-11"+
sinx ~ ~ cos2lx
2 +7r~l-4l2'
l=l
d'où
.
_ ~ ~ ~ cos 2lx
sm x - 11" + 11" ~ 1 - 4l2 .
l=l
Cette série est 7r-périodique et représente le développement de g(x) sur R
Exercice 6.6.4 Soit a E lR \ Z et considérons la fonction définie par
f(x) = cosax,
x E [-11", 7r].
a) Montrer que f est développable en série de Fourier et déterminer cette
série.
b} Etudier la convergence de la série obtenue dans a).
c) En déduire les relations :
11"
sina7r
1
OO
(-l)k
a- + 2a L: a2 - k2,
=
k=l
1
OO
- +2a
7r cot a7r =
1
L: a 2 - k2'
a
k=l
OO
1
L: (a-k)2·
k=-oo
Solution: a) La fonction f est 211"-périodique. En outre, elle est continue et admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche, donc le théorème de Dirichlet
s'applique; c'est-à-dire on a pour tout x,
OO
f(x) = ~o + L(akcoskx+bksinkx),
k=l
184
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
où ak = ~ J:.1r f(x) cos kxdx, k 2: 0 et bk = ~ J:.1r f(x) sin kxdx, k 2: 1. Notons
que f est paire, d'où bk = 0 et
211r
2 sin a7!'
cosaxdx =
,
7l' o
a7r
ao
ak
=
-211r cos ax cos kxdx,
0
7l'
=
-l 11r (cos( a+ k)x - cos( a - k)x)dx,
0
7l'
(-l)ksina7r (
7l'
=
1
1 )
a+k + a-k '
2(-l)ka sin a7r
a2-k2
D'après le théorème de Dirichlet, on a pour tout x E [-7r, 7r],
sina7!'
cos ax = -7!'-
(1a+ ~
(-l)k
)
2a L.J a2 - k2 cos kx .
k=l
(6.6.1)
b) La série en question converge normalement (donc absolument et uniformément) sur lR en vertu du critère de Weierstrass car
(-l)k
1
1
k2 cos kx ~ k2 - a2 ,
1 a2 -
pour k > lai et L: k2~a2 converge.
c) Divisons les deux membres de l'expression (6.6.1) par sina7r (on peut le
faire car sina7r '# 0 pour a~ Z). On obtient pour tout x E [-7r, 71'],
cosax = _!__ + 2a ~ (-l)k coskx.
sin a7!'
a1!'
7l' L.J a2 - k2
k=l
En posant successivement x = 0 et x = 7r dans cette égalité, on obtient
1
7l'
OO
(-l)k
2
k2'
sin a7!' = -+2aL
a
k=I a -
1
7l' cot a1!'
=
-
a
1
OO
+ 2a L
k=I a
2
-
k2.
(6.6.2)
Pour obtenir la dernière relation, il suffit de remarquer que compte tenu de
l'identité de Parseval,
117r f 2(x)dx,
ao + L (a~+ b~) = 7l'
2
k=l
2
OO
-?r
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
185
on a
2 sin2 a7!' ~ sin2 a7!' (-1- _1_) 2 _ ]:_
2 2 + L.J
2
k +
k
-
a 11'
k=I
a+
11'
a-
11'
11r cos2 axdx.
-?r
En utilisant la relation (6.6.2), on obtient
sin2 a7l' ( 2
~( 1
1 ) 2 11'
1)
sin2a7l'
2
2+L...J --k+--k +-cota7!'-2 =1+ 2
'
11'
a
k=I
a+
a-
a
a
a11'
ou
sin a7!' cos a1!'
sin2 a7l' ( 1
Loo ( -1- + -1- ) 2 + 11' cos a1!') -_ 1 +
-+
---2
7!'2
a
a+ k a - k
asina1!'
a1!'
'
k=I
ou encore
sin2 a7!' ( -+
1
Loo ( - 1- + -1- ) 2) -1
2
2
71'
a
k=I a + k
a- k
- ·
D'où l'expression
2
1
1
1 )
71'
-+
+
=
2
a
~ a + k a - k sin2 a7!' '
OO
(
que l'on peut encore écrire sous la forme
Exercice 6.6.5 Soit f une fonction 211'-périodique sur ~ et intégrable sur
[-11',11']. On suppose qu'il existe M ~ 0 tel que pour tout (xi,x2) E ~ 2 ,
pour lx1 - x2I ~ ô, ô > 0 et 0 < a ~ 1. Etudier la convergence de la série de
Fourier de f.
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
186
Solution: Soit Sn(x) la somme partielle de la série de Fourier de f. On a
n
Sn (x) = ;o + :~:::) ak cos kx + bk sin kx),
k=l
1-7T (1
- 111" f(t)
=
7r
n
) dt,
-+L::cosk(t-x)
2
(voir (6.2.7))
k=l
! {1T f(t) sin (n + !~ (t - x) dt, (voir (6.2.9))
7r J_7T
2 sin ( ;x)
sin (n + !) u
1 j1T-x
= f (x + u)
du,
. u
=
7r
2
-7T-x
sm 2
. u
-lj7T f (X + U )sin(n+!)u
du,
2 sm
7r -7T
2
en vertu de la proprièté 6.2.3, car la fonction sous le signe intégral est 27rpériodique en u. En posant f(x) 1 dans l'expression ci-dessus, on obtient
=
1 111" sin (n + !) u _
. u
du -1.
7r -7T
2sm 2
-
(En effet,
1 /7T sin (n + l) u
. J du = -1 111" ( -1 + n cos ku) du = 1).
7r -7T
2sm 2
7r
2 k=l
L
Sn( x) = -
-1["
Dès lors,
Sn(x) - f(x)
1
7r
j7T (f (X + U) - f (X)) sin (n .+ u! ) u du,
2 sm
-7T
2
1 111" ( )sin (n + ! ) u
gu
du,
. u
2 sm
7r o
2
(6.6.3)
-
=
f(x + u) + f(x - u) - 2f(x). Soit ë > O. Par hypothèse, il existe
où g(u)
M 2: 0 tel que pour tout (xi, x2) E 1R2, lf(x1) - f(x2)I ::; Mlx1 - x2lc\ pour
lx1 - x2I ::; ô, ô > 0 et 0 < a ::; 1. Dès lors,
lg(u)I ::; lf(x + u) - f(x)I + lf(x - u) - f(x)I ::; 2Mlulc\
et il existe ôo : 0 < ôo < inf(ô, 7r) tel que pour tout n,
-1
7r
1
80
o
g(u) sin 2(n .+ :fl) u du ::; -1
sm2
1
80
7r o
u
Muo.- 1 .--;----;u:du.
sm2
187
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
L'expression dans le second membre ci-dessus est une intégrale convergente
puisque a E]O, 1], d'où
1
-
1
60
o
7r
La fonction u i------+
g(u)
!)
sin (n + u
e
2 . u
du ~ -2.
sm 2
(6.6.4)
29sm~u)u2 étant intégrable sur [ôo, 7rj, on a d'après le lemme
6.2.9,
1
1)
17r - g(.u)usm
. ( n+.
1im2 sm
2
60
2
n-+oo 7r
d
0
uu=.
Il existe donc no tel que : pour n ~ no et ô donné, on ait
-1
7r
117r -g(u)
. ( n + -1) udu 1~ -.
e
. - u sm
60
2sm2
2
2
(6.6.5)
D'après (6.6.3), (6.6.4) et (6.6.5), on a
e e
ISn(x) - f(x)I ~ 2 + 2 = e,
c'est-à-dire la série de Fourier de f converge en x vers f(x).
Exercice 6.6.6 Soit la fonction périodique de période 27r définie par
f(x) = lsin3 xi,
x E [-7r, 7r]
a) Déterminer la série de Fourier associée à cette fonction.
b) Etudier la convergence uniforme de la série obtenue dans a) ainsi que
celle de ses séries dérivées première et seconde. En déduire que la somme de
cette série est deux fois dérivable sur :IR. Cette somme admet-elle une dérivée
troisième ? Justifier la réponse.
c) Montrer que la fonction f est développable en série de Fourier et montrer
qu'elle coincide avec la somme obtenue précédemment.
Solution : a) Soit
OO
~o + L(ak cos kx + bk sinkx),
k=l
la série de Fourier associée à la fonction f où ak = ~ f::,7r f(x) cos kxdx, k ~ 0
et bk = ~ f::,7r f(x) sinkxdx, k ~ 1. Notons que la fonction f est paire. D'où
bk = 0, k ~ 1,
_ 217r . 3 d _ 217r 3 sin x - sin 3x d _ 8
ao - sm x x - x - -,
7r 0
7r 0
4
37r
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
188
et
-2111" sin3 xcoskxdx,
=
=
=
7r 0
3
27r
Jor sin x cos kxdx - 217r Jor sin 3x cos kxdx,
4~ 111" (sin(x + l)x - sin(k - l)x)dx
- 4~ 111" (sin(x + 3)x - sin(k - 3)x)dx,
~ [- cos(x + l)x + cos(k- l)x]7r
k
k+l
k-1
0
_I_ [- cos(x + 3)x + cos(k - 3)x]1r
47r
=
k+ 3
k- 3
0 '
12((-l)k + 1)
7r(k 2 - l)(k 2 - 9).
Or
si k = 2l + 1
si k = 2l
donc
24
ak
= 7r(4l 2 - 1)(4l 2 - 9) ·
Par conséquent,
4
24 ~
cos2lx
37r +-:; L.J (4l 2 - 1)(4l2 - 9)'
l=l
est la série de Fourier associée à f
b) On a pour tout x E IR, l ~ 2,
1<
1
1)(4l2 - 9) - (4l2 - 1)(4l2 - 9).
cos2lx
1 (4l2 -
Puisque la série L: (4l2-I)1(4l2-g) converge, alors d'après le critère de Weierstrass
la série L: ( 412 _:~)~~- 9 ) converge normalement (et par suite uniformément) sur
R Dérivons formellement cette série,
48 ~
lsin2lx
--:; L.J (4l2 - 1)(4l2 - 9).
l=l
Comme ci-dessus, on a pour tout x E IR, l ~ 2,
l sin 2lx
1 (4l2 -
1<
l
1)(4l2 - 9) - (4l 2 - 1)(4l2 - 9)'
189
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
la série E (4l2-I)l( 4l2-g) converge et d'après le critère de Weierstrass la série
E ( 4l2~~)(~l]_ 9 ) converge normalement {donc uniformément) sur R La dérivation est donc justifiée en vertu du théorème de dérivation. De même, on dérive
formellement la nouvelle série obtenue,
96 ~
l 2 cos 2lx
--;- L..J {4l2 - 1){4l2 - 9).
l=l
On a
1
l2 cos 2lx
1
l2
{4l2 - 1){4l2 - 9) ~ {4l2 - 1){4l2 - 9)'
et puisque la série E ( 4 l2-i)~ 4 l2-g) converge, alors la convergence normale {et
2 cos2lx
·c
) sur .11'.
lll>de 1a sene
, · L.,,k=l (4l2l-l)(
, lt d
't' dur·
done un11orme
4 l 2_ 9 ) resu e u cri ere e vveierstrass et ici aussi la dérivation est justifiée. Par conséquent, la somme de la série
en question est deux fois dérivable sur R De nouveau, dérivons formellement
la dernière série obtenue,
'°'oo
192 ~
l3 sin 2lx
---;- L..J (4l2 - 1){4l2 - 9).
l=l
Pour l'étude de la convergence uniforme de cette série, on ne peut plus utiliser le
critère de Weierstrass, par contre on peut utiliser le critère d'Abel-Dirichlet. En
effet, la suite ( ( 4 l2-i)~ 4l2-g)) décroît vers 0 lorsque l ---+ oo et (voir l'inégalité
obtenue dans la preuve de la proposition 6.1.3) :
OO
1
Lsin2lx ~ -1 -.- 1 ,
l=l
smx
x =I= k1r, k E Z
D'après le critère d'Abel-Dirichlet, la série E ( 4lJ~~i)(~fL 9 ) converge uniformément dans tout intervalle ne contenant pas de points d'abscisse k7r, k E Z.
Pour x = k7r, cette série converge évidemment. En conclusion, la somme de la
série initiale admet une dérivée troisième en tout point x =I= k7r, k E Z.
c) La fonction f est 27r-périodique, elle est continue et dérivable sur R.
D'après le théorème de Dirichlet f est développable en série de Fourier, c'està-dire on a pour tout x E R,
. 3
4
24 ~
cos 2lx
f(x) = jsm xi = 37r +-;- L..J (4l2 - 1){4l2 - 9) ·
!=1
190
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
Exercice 6.6. 7 Soit f une fonction 211'-périodique. On suppose que la dérivée
f' (x) est continue et qu'il existe une constante M telle que : 1f' (x) 1 ~ M,
pour tout x E JR. Montrer que les coefficients de Fourier ak et bk satisfont aux
inégalités suivantes :
Solution : On a
117f
-7f f(x) cos kxdx,
1f(x)sinkx 17f - -k1 17f f'(x)sinkxdx,
= -k
11'
-7f 11' -7f
1 17f J'(x) sinkxdx,
--k
11' -7f
ak =
;
117f f(x)sinkxdx,
-7f
1f (x) cos kx 17f + k11'1 17f f' (x) cos kxdx,
= - k11'
11'
-1f
1
k11'
-1f
17f f' (x) cos kxdx,
-1f
d'où lbkl ~ k~ J~1f Mdx = 2~.
Exercice 6.6.8 Soit f la fonction définie de lR dans lR par
f(x) =
1
,
cosx +cosha
où a est un nombre réel strictement supérieur à O. Montrer que cette fonction
est développable en série de Fourier et déterminer cette série.
Solution: Rappelons que la fonction cosh est une application de lR dans [1, +oo[
définie par cosh x = e"'ie-"' , strictement croissante sur JR+. Pour un nombre
réel a > 0, on a cosh a > 0 et cos x + cosh a > O. La fonction f est 211'périodique, elle est continue et dérivable sur R. Elle est donc développable en
série de Fourier en vertu du théorème de Dirichlet, c'est-à-dire on a pour tout
XE JR,
OO
f(x) = ~o + :~:)ak cos kx + bk sinkx),
k=l
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
191
où ak = ~ J::'lr f(x) cos kxdx, k ~ 0 et bk = ~ J::'lr f(x) sin kxdx, k ~ 1. Puisque
la fonction f est paire, alors bk = 0, k ~ 1, et
ak = ~
71'
r
cos kx
Jo cos x + cosh a
dx = ~
71'
r
Jo
cos kx
d
+ cosh a x,
ei"'+e-i"'
2
d'où
ou
ou encore
ak =
Or
71'
17r ( . e - eix. e-+ e-0t coskxdx.
smh a o eix + e0t
0
.2
0
)
Ot
1
OO
- ""'( l)n -nOt inx
e
e ,
eix + e0t - 1 + ei"' - L.J e"
n=O
e
ei:i:1 = e"1 < 1 et
car 1e<>
=
1
e-a:'
+ er:c
-Ot OO
~ ""(-l)ne-noe-inx
e-ix L.J
'
n=O
=
OO
L(-lre-(ntl)oe-i(n±l)x,
n=O
OO
_
_ L(-l)ne-n0te-inx 1
n=l
donc
=
=
.2 h
71' sm
a
17r coskxdx +
0
.4 h
71' sm
17r L(-lre-n°cosnxcoskxdx.
OO
a o n=l
192
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
Comme 1(-l)ne-n°'cosnx)coskxl ~ e-na et l:e-na, a> 0, converge, alors
d'après le critère de Weierstrass la série 2:(-lre-n°'cosnxcoskx converge
normalement (donc absolument et uniformément) sur R Les hypothèses du
théorème d'intégration étant satisfaites, il en résulte que l'on peut permuter
les deux signes et par conséquent
ak =
r coskxdx+ sm.4h a f)-1re-na Jor cosnxcoskxdx.
.2h
a }0
71" sm
n=l
71"
En tenant compte du fait que J071" cos kxdx = 0 et
fo'/I" cos nx cos kxdx = ~ fo'/I" (cos( n + k )x + cos( n - k )x )dx = {
~
0
sin=k
sin#k
on obtient finalement
2 ( -1 )k e -ka ,
ak = -.-hsm a
Par conséquent, la série de Fourier de la fonction f s'écrit
f(x) =
+
sm a
(1+2 I)-l)ke-k°'coskx).
k=l
Exercice 6.6.9 Soit f une fonction 211"-périodique sur ~ et intégrable sur
[-71", 71"). On suppose que les limites à droite et à gauche de f en x existent.
a) (Dini). Montrer que si l'intégrale
{li f(x + u) + f(x - u) - f(x + 0) - f(x - 0) du,
lo
u
converge absolument, alors la série de Fourier associée à la fonction f converge
au point x vers f(x+o); f(x-O) . Que peut-on dire si la fonction f est continue
au point x?
b) Montrer que si f admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche au
point x, alors l'intégrale ci-dessus converge absolument.
Solution : a) Il suffit de reprendre la solution proposée dans l'exercice 6.6.5.
On a
S n (X ) _ f(x + 0) - f(x - 0) = .!_ 171" g (U )sin (n .+ u~) udU,
2
2 sm 2
71" o
où g(u) = f(x+u) + f(x-u) + f(x+O)- f(x-0). Soit ê >O. Par hypothèse,
l'intégrale
lg~)I du converge. Dès lors, il existe ôo : 0 < ôo < inf (ô, 71") tel que
pour tout n,
J;
.!. {lia g(u) sin (n.+ j) u du ~ .!. {lia lg(u)I .. u u du~ ~.
71"
}0
2 sm 2
71" } 0
u
sm 2
2
193
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
29sm~u)u2 est intégrable sur [ôo,
La fonction u i----+
on a
7r] et d'après le lemme 6.2.9,
.!. r 2g~u)u
sin (n + -21 ) udu =o.
sin 2
Il existe donc no tel que : pour n ~ no et odonné, on ait
lim
n--+oo 7r } lio
1
1)
g(u) sm
. ( n+- udu 1~ -.
ë
- 1111" -.-u
7r
lio 2sm 2
2
2
Par conséquent,
l
sn (X ) - f(x + 0) -2 f (x - 0) 1 <- ~2 + ~2 = ë,
la série de Fourier de f converge en x vers 1(x+o); 1(x-O). En outre, si f est
continue en x, alors la série de Fourier de f converge au point x vers f(x).
b) Notons tout d'abord que
{li 1f (X + U) + f (X - U) - f (X + 0) - f (X - 0) 1du
lo
u
~ {li lf(x + u) - f(x + O)I du+ {li lf(x - 0) - f(x - u)I du.
lo
u
lo
u
Dire que f admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche au point x, cela
signifie que les limites
. f(x + u) - f(x + 0) ,
! '( x+ O) =_ 1im
u--+0
u>O
f'(x-O)
=lim f(x - 0) -u f(x - u),
h--+O
U
u>O
existent. Dès lors, les fonctions
g(u) = { l/(x+u)~/(x+O)I si u E]O, o]
f'(x + 0) si u = 0
et
h(u) =
{
si u E]O, o]
/(x - 0) si u = 0
lf(x-0)-f(x-u)I
sont bornées sur [O, o] et donc intégrables sur tout intervalle de la forme [é:, o]
où 0 < ë <o. Par conséquent, les fonctions g et h sont intégrables sur [O, o] et
{li lf(x + u) + f(x - u) - f (x + 0) - f (x - O)I du,
Jo
est une intégrale convergente.
u
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
194
Exercice 6.6.10 Soit f une fonction 27r-périodique, continue et développable
en une série de Fourier dont les coefficients de Fourier sont ak = f,;, Vk E N
et bk = 0, Vk EN*. Déterminer explicitement cette fonction.
Solution : On a
=
1
2
-+Re
2
5 - 3cosx
Exercice 6.6.11 Soit f la fonction périodique de période 27r définie sur l'intervalle [O, 27r] par
x i------t f(x) = cosh(x - 7r).
1} Déterminer la série de Fourier associée à la fonction f.
2} Montrer que la série obtenue converge uniformément vers f.
L -1 1k et L -1(-l)kk
OO
3) En déduire les valeurs des sommes
k=O
00
+
2
k=O
+
2•
OO
4) Montrer que la série
L e-lx+ l1rl converge uniformément sur [O, 27r]
2
l=-oo
vers une fonction continue g.
5) Montrer que g est développable en série de Fourier et préciser cette série.
6) Calculer explicitement g(x) et en déduire les résultats obtenus dans les
questions 1} et 2}.
Solution : 1) On a
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
195
Par hypothèse, f est 27r-périodique, d'où
f(-x) = f(-x + 27r) = ch(-x + 7r) =
e-X+'lr + eX-'Tr
= f(x).
2
Donc la fonction f est paire et par conséquent bk = 0, k 2 1 et
217r cosh(x - 7r) cos kxdx,
7r
0
= ~ la'Tr ( ex-'Tr ~ e-x+'Tr) ( eikx ~ e-ikx) dx,
=
=
r
(cosh((ik + l)x - 7r) + (cosh((ik - l)x + 7r)))dx,
7r lo
_!_ (sinh((ik + l)x - 7r)
(sinh((ik - l)x + 7r))) l'Tr
7r
ik + 1
+
ik - 1
0 '
2 sinh 7r
7r(l + k2 ).
_!_
Dès lors,
sinh 7r 2 sinh 7r ~ cos kx
f( X ) "' - +
L.J--.
7r
7r
k=l 1 + k2
2) On a pour tout x, 1~~Zf1 ~ 1;k2. Puisque la série L: 1;k2 converge,
alors d'après le critère de Weierstrass la série L: ~0~Zf converge normalement,
donc elle converge absolument et uniformément. Par conséquent
sinh 7r 2 sinh 7r ~ cos kx
f( X ) = COS h( X - 7r ) = -+
L.J ~k2'
7r
7r
k=l
x E [0, 27r]
+
3) Pour x = 0, on obtient (d'après 2)),
_
h( ) _ sinh 7r 2 sinh 7r ~ 1
cosh( -7!" ) - cos 7r - - - +
L...J-1
k2'
7r
7r
k=l +
et on en déduit immédiatement ,
1
1
7r
L:-1
k2 = -2 +-2 coth7r.
k=O +
OO
De même, avec x = 7r, on obtient
cos
h(o) = 1 = sinh 7r 2sinh 7r ~ (-l)k
+
L.J 1 k2'
7r
7r
k=l +
196
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
d'où,
OO
(-l)k
1
11'
L
1 + k2 = 2 + 2 sinh
k=O
11' •
4) Pour tout x E [O, 211'], on a
-1
OO
2:
e-1x+217r1 =
l=-oo
2:
ex+2l7r
OO
OO
OO
1=0
l=l
1=0
+ 2: e-x-2l7r = 2: ex-211r + 2: e-x-2l7r.
l=-oo
Comme ex- 217r =ex (e- 271") 1 :S e 271" (e- 271") 1, et que E~ 1 (e- 271") 1 converge, alors
d'après le critère de Weierstrass la série E~ 1 ex- 21 71" converge normalement
(donc absolument et uniformément) sur [O, 211']. On obtient la même conclusion pour la série E~ 0 e-x- 217r puisque e-x- 211r = e-x (e- 271") 1 :S (e- 271") 1, et
E~ 1 (e- 271") 1 converge. Par conséquent, la série E~-oo e-lx+217rl converge uniformément sur [O, 211'] vers une fonction continue g, en vertu du théorème de
continuité (en fait, on montre que g est continue sur R).
5) La fonction g est 27!'-périodique, c'est-à-dire
OO
L e-lx+2(1+1)7rl = g(x).
g(x + 211') =
l=-oo
D'après 4), on sait que g est continue. Pour pouvoir appliquer le théorème
de Dirichlet, il faut montrer que cette fonction admet une dérivée à droite et
une dérivée à gauche (en fait, la dérivabilité de g résulte immédiatement du
théorème de dérivation car toutes les hypothèses sont satisfaites y compris la
convergence uniforme des séries dérivées de E ex- 21 71" et E e-x- 2171"; il suffit
d'utiliser le même type de raisonnement fait dans 4). Dès lors,
OO
g(x) = ~o + L(ak cos kx + bk sinkx),
k=l
où ak = ~ J~'ll" g(x)coskxdx et bk = ~ J~'ll" g(x)sinkxdx. On a
1 [271" (
ak =; Jo
1 00
l
[271"
~ e-lx+217rl cos kxdx =; ~ Jo
OO
)
OO
e-lx+ 21 7rl coskxdx,
car la série converge uniformément d'après 4). En posant y = x + 2l7l', on
obtient
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
197
Cette intégrale converge absolument, donc la fonction sous le signe intégral est
intégrable au sens de Lebesgue. De même, on obtient
bk =
1-:
e-IYI sinkydy.
Or la fonction e-IYI sin ky est impaire, d'où bk = 0 et par conséquent
g(x) = _!_
271"
100
f (1
e-IYldy + ~
7r k=l
-OO
00
e-IYI cos kydy) cos kx.
-OO
6) La fonction e-IYI cos xy étant paire, on a
1-:
e-IYI cosxydy =
2
fo e-Y cosxydy,
00
roo -y (eixy + e-ixy)
Jo e
dy,
2
100 (e-y+ixy + e-y-ixy) dy,
2
=
=
[
e-y-ixy] y=oo
e-y+ixy
. + 1 .
,
- 1 + ix
- - ix y=O
2
1 +x 2 "
On a donc d'après 5),
g(x) = -1
271"
100
~
e- 1Y1dy+-1 L,;
-OO
7r k=l
(1 e- Y
00
1 1 cos kydy )
1 2L
~,cos
cos kx = -+; -kx
2.
7r 7r k =1 1 + k
OO
OO
-OO
De même, on a d'après 4),
OO
g(x) = L e-lx+2l1TI = Lex-2l1T + L:e-x-217T 1
l=-oo
l=l
l=O
ou
ou encore
g(x)-
exe- 21T + e-x
exe-1T + e-xe1T
coth(x - 7r)
---1 - e- 27T e?T - e-?T
sinh 7r ·
En tenant compte des résultats obtenus ci-dessus, on obtient finalement
h(
) _ sinh 7r
2 sinh 7r ~ cos kx
cot x - 7r - - - +
L,; -1 k 2 ,
7r
7r
k=l +
x E [0, 27r]
198
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
Exercice 6.6.12 Démontrer que :
4 00 sin k7r
arcsin(sinx) =; L
sinkx,
---;zf-
x ER
k=l
Solution : La fonction f : R ----+ R, x ~ arcsin(sinx), est 27r-périodique,
continue et dérivable à droite et à gauche sur R D'après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de cette fonction converge vers f, c'est-à-dire
OO
f(x) = ~o + L(ak coskx + bksinkx).
k=l
Notons que la fonction f est impaire, donc ak = 0, \;/k EN et
1111"
bk = f(x)sinkxdx = -2111" f(x)sinkxdx.
7r -11"
7r 0
Or f(x) est égale à x six E [O, ~] et à 7r - x six E [~, 7rj, donc
bk =
2
-
f
7r.lo
~
2 11"
f(x)sinkxdx+-:;r f f(x)sinkxdx,
2.lo
2 ( 7r
k1r
1 . k1r)
2 ( 7r
k1r
1 . k1r)
; -2k cos2 + k2 sm2 +; 2k cos2 + k2 sm2 '
=
4 . k1r
nk2 sm2,
et le résultat en découle.
Exercice 6.6.13 Soit f une fonction 2n-périodique sur R, intégrable sur [-n, 7r]
et à variation bornée sur un intervalle d'une période. Montrer que la série de
Fourier de f converge pour tous les x vers f (x+o)~ f(x-O).
Solution : On utilise une méthode similaire à celle utilisée dans la preuve du
théorème 6.2.10. D'après (6.2.9), on a
ao ~
1 111"
sin (n + l) (t - x)
Sn(x) = 2 + L.,.(ak cos kx + bk sin kx) = J(t)
. ~t-x)
dt.
k=l
7r -11"
2 sm - 2 En posant u = t - x, on obtient
1 111"-x
sin (n + l) u
1 111"
sin (n + l) u
Sn (x) = f (x + u)
. ;f du = f (x + u)
. ;f du,
7r -11"-x
2 sm 2
7r -11"
2 sm 2
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
199
en vertu de la propriété 6.2.3. Dès lors,
1 jo
f(x + u)
Sn(x) = -
7r
-71"
sin (n + ~) u
1 171"
sin (n + ~) u
. u
du+ f(x + u) 2 . u du,
2 sm
7r 0
sm 2
2
ou
sin (n + ~) u
du,
. u
2 sm
7r o
2
avec cp(u) = f(x + u) + f(x - u) ou encore
1 171"
Sn(x) == -
116
Sn(x) = -
cp(u)
7ro
cp(u)
sin (n + ~) u
1 171"
sin (n + ~) u _
cp(u) 2 . u du= I + J.
. u du+ 2 sm2
7r6
sm2
Notons tout d'abord que d'après le lemme 6.2.9, l'intégrale J tend vers 0 lorsque
n tend vers +oo. Concernant l'intégrale I, on procède comme suit : On a
I -_ _!_
1
6
7ro
cp ( u ) . ~ u sin (n + ~) u du.
sm 2
u
Par hypothèse la fonction f est à variation bornée, il en est donc de même
u
pour cp. Or la fonction u ~ si! _y, est croissante sur l'intervalle [O, 8], on
2
u
en déduit que la fonction x ~ cp(u)siJ.Y, est aussi à variation bornée sur
2
[O, 8]. Rappelons que toute fonction à variation bornée est différence de deux
fonctions monotones. Dès lors, en ajoutant et retranchant de cp(u) la valeur
cp(O + 0), on obtient
où
1 (0 + 0)
li = -cp
7r
et
1
h = -
1
6 sin (n
1
7r
6
0
+ ~) u du,
u
0
(cp(u) - cp(O + 0))
sin (n + !2 ) u
du.
u
Notons que /1 = ~cp(O + 0) J0(n+~) 6 si~tdt où t = (n + ~) u et
1 cp(O+0).
lim li = _!_cp(O + 0).~ = -2
n-+co
2
7r
Soit E > O. Pour x E]O, 8[, on a 0 ::::; cp(u) - cp(O + 0) < E et d'après le second
théorème de la moyenne,
h
1
1
sin (n + !2 ) u
du,
= -(cp(8)-cp(O+O))
7r
a
U
6
1
-(cp(8) - cp(O + 0))
7r
J(n+~) 6 sin t
-dt,
(n+~)a
t
a E [O, 8]
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
200
Dès lors,
ê 1(n+~)ô sint
êM
- d t :S - ,
7r
(n+~)a
t
7r
II2I :S -
(n+l)ô · t
car la fonction t t------t J( n+l)a 51 ~ dt, est bornée puisque
-1
1N
.
sin-tdt1im
N --++oo o
t
0
00
sin-tdt_ -.
7r
t
2
Par conséquent, lorsque n tend vers +oo, l'intégrale I (et donc Sn) tend vers
!<p(O + 0) = !U(x + 0) + f(x - 0).
Exercice 6.6.14 On considère la série de fonctions
Loo sink!kx ' x E lR
3
k=l
a) Montrer que cette série converge uniformément sur R et désignons par
S la somme de cette série. Montrer que S est de classe C00 sur R.
b) Montrer que S est développable en série de Fourier et déterminer explicitement S.
ir,
ir
Solution: a) Posons fk(x) = sin:,kx. On a lfk(x)I :S
\lx ER et E converge
(il suffit d'utiliser le critère du quotient de d'Alembert), donc la série E fk
converge normalement (et par suite uniformément) sur R en vertu du critère
de Weierstrass. D'après le théorème de continuité, la somme S de cette série est
une fonction continue sur R. On a fk(x) = ~~ sin2 kxcoskx, et lfHx)I :S
\lx E R Comme ci-dessus, la série dérivée E fk converge normalement (et donc
uniformément) sur R et d'après le théorème de dérivation, S est dérivable sur R
On montre aisément que la dérivée nième de fk(x) satisfait à lf~n)(x)I :S c:in,
i1,
C = constante, \lx E R Evidemment, la série E c~n converge (d'après le
critère du quotient de d'Alembert car limk--+oo ~~~~)~
.:! 0 < 1) et la série
=
E ft) converge normalement (et donc uniformément) sur R On en déduit
comme ci-dessus que S est de classe C00 sur R.
b) Notons que
_ ~ sinkx _ ~ sin3kx _
(~ eikx _ ~ e3ikx)
fk(x) - 4 k!
4 k!
- lm 4 k!
4 k!
·
201
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
Les séries L: e~"' et L: es;~"' convergent normalement (et donc uniformément)
sur lR et on a
= ~ (eix)k = ei"' - 1
~
k!
OO
( e3iX) k
k=l
2:
k!
e
'
e3iz
=e
-i.
k=l
Dès lors,
S(x) =
f
fk(x) = ~éosx sin(sinx) - ~éos 3x sin(sin3x),
k=l
et de la convergence uniforme, on déduit que ce développement représente la
série de Fourier de la fonction S.
Exercice 6.6.15 Soit f une fonction intégrable sur l'intervalle [-7r, 7r] et différentiable au point xo. Montrer que la série de Fourier de f converge vers
f(xo).
Solution: Par hypothèse, f est différentiable au point xo, donc
. f(x) - f(xo)
f'( Xo,
)
1lm
=
x--+xo
x - xo
existe. Soit cp le prolongement continu en xo de f(x2=~~xo). Autrement dit (caratérisation de Carathéodory), on a f(x) = f(xo) + (x - xo)cp(x). Sans restreindre la généralité, on peut supposer que xo = 0 et f(xo) = 0 (il suffit de
faire respectivement une translation horizontale et une translation verticale).
Donc f(x) = xcp(x), où cp est continue. La fonction 'lf;(x)
e!J~1 , est évidemment continue en O. En notation complexe, la série de Fourier de f s'écrit
(proposition 6.2.5), sous la forme
=
OO
""' c eikx
~ k
k=-oo
D'où
'
k EZ.
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
202
où dk désignent les coefficients de Fourier de la fonction 'l/J. On a
Sn(x) =
et
n
n
k=-n
k=-n
L Ckeikx = L (dk-1 - dk)eikx,
n
Sn(O) =
L (dk-1 - dk) = d-n-1 - dn, (série téléscopique).
k=-n
En appliquant le lemme 6.2.9, à la fonction 'l/J et aux coefficients dn, on obtient
lim Sn(O) = lim (d-n-1 - dn) = 0 = f(O).
n->oo
n->oo
Exercice 6.6.16 Développer en série de Fourier les fonctions suivantes :
x f---+ é 08 x sin(sin x).
x f---+ éosx cos(sinx),
Solution: On a
éosx cos(sinx) + iéosx sin(sinx)
D'après le critère de Weierstrass, les séries L: co~tx et L: siA:fx convergent normalement (et donc uniformément) sur ~- Dès lors, les développements
. '"°' coskx
ecosx cos(smx)
OO
= L.J ~·
k=O
et
ecosx sin(sinx) =
t si~~x'
k=O
représentent les séries de Fourier cherchées.
Exercice 6.6.17 Montrer que la série
~ sinkx
kO. '
L.J
k=l
1
O<a<-2
n'est pas une série de Fourier {d'une fonction intégrable f ).
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
203
Solution: La série en question converge pour tout x, en vertu du critère d'AbelDirichlet (voir la preuve de la proposition 6.1.3). On raisonne par l'absurde.
Supposons que cette série soit la série de Fourier d'une fonction intégrable f.
D'après l'inégalité de Bessel (voir section 6.4), c'est-à-dire
117r f (x)dx,
~o + t;(a~ + b~) s ;
2
OO
on a
-?r
2
1 117r-7r f (x)dx.
OO
[; k 2a S ;
2
Or f:,1f /2(x)dx est fini, d'où la série L: ;çk converge ce qui est absurde car
cette série diverge si 0 <as !·Par conséquent, la série proposée n'est la série
de Fourier d'aucune fonction.
Exercice 6.6.18 1} Soit (a, b) E ~ 2 avec a < b et soit f et g deux fonctions
bornées intégrables. On suppose que dans l'intervalle [a, b] les dérivées f' et g'
existent sauf en un nombre fini de points. Montrer que si f' et g' sont réglées,
alors
1b
f'(x)g(x)dx =
f(x)g(x)I~
-1b
f(x)g'(x)dx.
(Autrement dit, la formule d'intégration par parties est encore valable dans ce
cas).
2} Soit f une fonction continue sur [-7r, 7r] avec f(-7r) = f(7r). On suppose
que la dérivée f 1( x) est une fonction réglée et admet une dérivée à droite et une
droite à gauche. Montrer qu'en tout point x où f'(x) est continue, si
OO
f(x) = ~o + ~)ak cos kx + bk sin kx),
k=l
est la série de Fourier de f, alors on peut la dériver terme à terme et on a
OO
f'(x) = Lk(-aksinkx+bkcoskx).
k=l
(Notons que la convergence uniforme de la série dérivée n'est pas exigée}.
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
204
Solution : 1) On a
lb
1c
1
f'(x)g(x)dx =
J'(x)g(x)dx +
a
1c
2
J'(x)g(x)dx
lb
ci
1
Cn
+ · · · + Cn-l J'(x)g(x)dx + en f'(x)g(x)dx,
f(c1)g(c1) - f(a)g(a)
=
-1c
-1c
1
J(x)g'(x)dx
+f(c2)g(c2) - f(c1)g(c1)
2
J(x)g'(x)dx
c1
+f(en)g(en) - f(Cn-1)g(en-1) +f(b)g(b) - f(en)g(en)
-1:
1cn f(x)g'(x)dx
Cn-1
f(x)g'(x)dx.
D'où
lb
J'(x)g(x)dx
= f(b)g(b) - f(a)g(a)
-(lei f(x)g'(x)dx + 1: f(x)g'(x)dx + ···l f(x)g'(x)dx),
2
= f(x)g(x)I~ -
lb
f(x)g'(x)dx.
2) Par hypothèse f' est réglée et admet une dérivée à droite et à gauche,
donc {théorème 6.2.10) la série de Fourier de f' converge simplement en tout
point x vers !U'(x + 0) + f'(x - 0)). En outre, en tout point x où f' est
continue, sa série de Fourier converge vers f'(x), c'est-à-dire
OO
J'(x) = ~o + L(ak cos kx +,Bk sin kx),
k=l
où ak = ~ J::.1J' (x) cos kxdx et ,Bk = ~ J::.'lr f' (x) sin kxdx sont les coefficients
de Fourier de f'. Puisque J{-7r) = f(7r), alors
117r f'(x)dx 1
ao = -
1f
= -{!(7r) - f(-7r)) = 0,
-'Ir
1f
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
205
et d'après 1), on a
1111" f'(x)coskxdx,
-
7r
-11"
1
k111" f(x)sinkxdx,
= -f(x)coskxl~11"+7r
7r
-1!"
où bk est le coefficient de Fourier de f. De même, on a
!A= ~111" f'(x)sinkxdx = -kak,
7r
-1!"
où ak est le coefficient de Fourier de f.
Exercice 6.6.19 Soit f une fonction continue par morceaux sur [-7r,7r].
a) Montrer qu'on peut intégrer terme à terme la série de Fourier de f,
c'est-à-dire
j f(x)dx = ~0 x + t ~(aksinkx -bkcoskx) +constante.
k=I
(Notons que la convergence de la série de Fourier de f n'est pas exigée et on
peut affirmer que la série intégrée converge vers une primitive de f).
b) En déduire que
Solution : a) La fonction définie par F(x) = J~11" f(t)dt - ~7r, est continue et
sa dérivée F'(x) = f(x)- ~'est continue par morceaux. Notons que F admet
en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. On a F( -7r) = ~7r
et
La fonction F admet un prolongement continue périodique et possède en tout
point une dérivée à droite et une dérivée à gauche. D'après le théorème 6.2.10,
on a
OO
F(x) = ~o + L(akcoskx+,Bksinkx),
k=I
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
206
où ak = ~ 1:_11' F(x) cos kxdx et f3k = ~ 1:_11' F(x) sin kxdx. En utilisant la
méthode de l'intégration par parties tout en tenant compte de l'expression de
F'(x) ci-dessus, on obtient
=
Œk
=
1111'
F(x)coskxdx,
7r -11'
(i(x) - ; 0 ) sinkxdx,
kl7r F(x)sinkxl~11' - kl7r 111'
-11'
bk
-k.
De même, on obtient f3k = 1'-· D'où
J
f(x)dx =
=
ao
C = constante
2 x + F(x) + C,
;ox +
f ~(-bkcoskx +
aksinkx) + K,
k=l
ao
K=C+2
Exercice 6.6.20 Soit f une fonction 27r-périodique, continue sur lR et de
classe C1 par morceaux. Montrer que la série de Fourier de f converge normalement (et par suite absolument et uniformément) vers f sur IR.
Solution: D'après le théorème de Dirichlet, on sait qu'il y a convergence simple
vers f, puisque l'hypothèse de continuité implique que f(x) coïncide avec sa
régularisée f(x+o)~f(x-O) pour tout x. Soient ak, bk les coefficients de Fourier
de f et Ak, Bk ceux de f'. En tous points x E [ü, 211"), x f: ai (points de
discontinuités), la dérivée existe et admet en ai une limite à droite et une limite
à gauche. En ai, on prolonge la fonction f' de telle façon qu'elle coïncide avec sa
régularisée. Dès lors, on considère f' comme étant une fonction 27r-périodique et
continue par morceaux (donc réglée). Pour déterminer les coefficients de Fourier
Ak et Bk, on procède comme dans l'exercice 6.6.18. On obtient Ak = kbk,
Bk = -kak, Vk E N* (la convergence de la série de f' n'est pas exigée).
D'après l'inégalité de Schwarz, on a lak cos kx + bk sin kxl :::;
'ïlk E N*. On va montrer que la série numérique E
n
Sn
Ja~ + b~,
'ïlx E IR,
Ja~ + b~ converge. On a
n
B2
<
=LVa~ + b~ L A2k2 + k,2
k
=
k=l
k
k=l
en vertu de l'inégalité de Schwarz dans !Rn (le produit scalaire est inférieur ou
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
207
égal au produit des normes). Dès lors,
On sait que E
b est une série convergente. En tenant compte de l'égalité de
J
Parseval (ou de l'inégalité de Bessel), la série E A~+ B~ converge aussi. La
suite des sommes partielles (Sn) est donc majorée par une constante indépen-
J
dante de n et puisque la série E a~ + b~ est à termes positifs, on en déduit
qu'elle converge. Par conséquent, la série E( ak cos kx + bk sin kx) converge
normalement (critère de Weierstrass) et par suite absolument et uniformément
sur :IR.. Montrons que la limite est la fonction f. D'après le théorème de continuité, la somme (disons S) de la série .l:(ak cos kx + bk sin kx) est une fonction
continue. Puisque cette série converge uniformément vers S, elle converge en
moyenne quadratique vers S. De l'unicité de la limite, Set f sont égales pour
la norme de la moyenne quadratique et
{21r
Jo (f(x) - S(x)) 2 dx =O.
La fonction f - S étant continue, on en déduit que pour tout x, f(x) = S(x).
Exercice 6.6.21 {Phénomène de Gibbs). Soit f une fonction 27r-périodique,
impaire et définie par
f(x) = 1 si 0 < x < 7r
f(7r) = 0
{ f(O) =
a) Montrer que f est développable en série de Fourier et déterminer cette
série.
b) On désigne par Sn(x) la somme partielle
S ( ) = i ~ sin(2k + l)x
n X
7r L..J
2k + 1 '
Vn EN*, Vx E :IR.
k=O
Montrer que la suite (Sn) ne converge pas uniformément sur :IR..
c) Montrer que
n-1
· 2
smnx
L.t sm(2k + l)x =
.
,
k=O
smx
~·
208
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
et désignons cette expression par Tn (x). En déduire que
1
ITn(x)I::; -.- ,
Slllê
'tin EN*, Vx E [ê,7r- ê]
où ê est un nombre réel E JO,~[.
d} Montrer que
4.
lf(x)-Sn(x)I::;
n7rSlllê
,
'tin EN*, Vx E [ê,7r-ê],ê E
]o, ?:2 [
En déduire que la suite (Sn) converge uniformément vers f sur tout compact
de JO, 7r[.
e) Montrer que
S' (x) = 2si~2nx'
n
Vx E
1rSlllX
Jo, ?:2 [
et en déduire que Sn admet un premier maximum en an = 2: .
f) Montrer que
Sn (X ) -_ ~
7r
lx
0
sin 2nt d
•
t,
smt
et qu'en outre
217r sinx
lim Sn(an) = --dx,
7r o
X
n-oo
où an= 2: (voire)).
g) Montrer que la suite (Sn(x)) ne converge pas uniformément vers f(x)
sur]O,~[.
Solution : a) La fonction f est réglée et admet une dérivée à droite et une
dérivée à gauche. D'après le théorème de Dirichleti elle est développable en
série de Fourier et cette dernière converge vers f (x+o ~ f (x-O) pour toute valeur
x où f est discontinue et vers f(x) pour toute valeur de x où f est continue.
Plus précisément, la série de Fourier de f converge simplement vers
f(x + 0) + f (x - 0) _ 1 - 1 _ 0
_
- - 2 - - , pour x - 0 ou 7r,
2
et vers f(x) pour 0 < x < 7r. Or en chaque point de discontinuité xo = 0 ou 7r,
on a
!( ) _ f (xo + 0) + f(xo - 0)
Xo 2
'
209
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
car f(O) = /(7r) = 0, donc dans tous les cas la somme de la série de Fourier de
f coïncide avec f. Déterminons explicitement la série de Fourier en question.
Comme f est impaire, alors ak = 0, Vk EN et
1171"
2171"
2(1 - (-l)k) 171"
bk = f(x)sinkxdx = sinkxdx =
k
sinkxdx,
7r -'Il"
7r 0
7r
0
ou
bk = {
0
4
(2p+l)7r
si k = 2p
si k = 2p+ 1
b) Il suffit d'utiliser le théorème de continuité. En effet, les fonctions Sn
sont continues sur lR mais la fonction f est discontinue. Donc il ne peut y avoir
convergence uniforme sur R
c) Montrons que
sinx.Tn(x) = sin2 nx,
Vn EN*, Vx E IR\7rZ
On a
""'°' . . (
""'°'
n-1
n-1
(
)
•
x = sm
. 2 nx.
smX
.rrr
.Ln ( x ) = L..,,smxsm 2k + l) x = L..,, cos2kx - cos2k+1
2
k=O
k=O
En outre, Vx E [ê, 7r - E], ê E ] 0, ~ [; c'est-à-dire 0 < ê :S x :S 7r - ê < 7r, la
fonction sinx est positive et on déduit de l'égalité ci-dessus,
T.
sin2 nx
1
1 n(x)I :S sinx
:S sinê'
VxE [ê,7r-ê],êE
]o,i[
d) Soient n,p EN* et x E [ê,7r-ê], E E ]o, ~[.On a
n+p-1
i
""'°' sin(2k
+ 1 )x _ i ""'°' sin(2k + 1)x
Sn+p(x) - Sn(x) = 7r L..,,
2k + 1
7r L..,,
2k + 1 '
n-1
k=O
k=O
n+p-1 .
sm(2k + l)x
7r k=n
2k + 1 '
n+p-1
Tk+l(x) -Tk(x)
(d'après c))
7r k=n
2k + 1
'
=
i
L
=
i
L
=
=
4 n+p Tk(x)
4 n+p-l Tk(x)
;:
2k - 1 - ;:
2k + 1 ,
k=n+l
k=n
n+p-1
Tn+p(x) _
Tn(x) + ~
Tk(x)
7r 2(n + p) - 1 7r 2n + 1 7r k L..,, 4k 2 - 1 ·
I:
i
I:
i
""'°'
=n+l
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
210
Dès lors,
n+p-1
ITn+p(x)I + _± ITn(x)I + ~ ""' ITk(x)I
7r 2 (n + p) - 1 7r 2n + 1 7r L.J 4k 2 - 1 '
< _i
k=n+l
4
4
< 7r(2(n+p)- l)sinc + 7r(2n+ !)sine
n+p-1
8
+ 7r sin c
1
L 4k2 - 1'
k=n+l
en vertu de c). En faisant tendre p vers +oo, on obtient
4
n+p-l
8
lf(x) - Sn(x)I S 7r(2n + 1) sine+ 7rsinc
L 4k
k=n+l
1
2 -
1'
puisque la série de terme général 4kL 1 est une série convergente. Le reste
d'ordre n de cette série tend vers 0 et l'inégalité ci-dessus est valable 'Vn E N*.
Le résultat en découle. Par ailleurs, le second membre de l'inégalité que l'on
vient de démontrer, tend vers 0 indépendamment de x sur tout compact de
JO, 7r[. Par conséquent, la suite (Sn) converge uniformément vers f sur tout
compact de JO, 7r[.
e) On peut raisonner comme dans c), comme on peut le faire autrement.
En effet, on a
n-l
4
1
i 2nx
4
S' (x) = - Re""' ei( 2k+l)x = - Re eix. - e.
n
7r
L.J
7r
1 - ei 2x
2 sin 2nx
7r sin x .
k=O
:n
où x E )0, ~). Dès lors, le premier point où S~(x) = 0 est an =
(ce point
est un maximum puisque pour 0 S x S 2: , c'est-à-dire 0 S 2nx S 71", on a
cette fonction change de signe).
sin 2nx 2 0 et au passage par
f) La première égalité résulte immédiatement de e) puisque S(O) =O. Pour
le calcul de la limite de Sn(an), on procède comme suit : on a
:n,
~
7r
1°'n sinsmt
. 2nt dt,
0
{rr ~in ~ du,
n7r Jo sm 2n
__!___
7r
2n
lln=-
u= 2nt
forr cpn(u)du,
où
sinu
cpn(u) = n7rsin.!!..'
2n
'Vn E N*,'Vu EJ0,7rJ
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
211
Notons que 'Pn est continue sur JO, 7r[ et
sin u
2 sin u 1.
2 sin u
2~
. u lm . u =
n-+oo n7r Sln 2n
7rU n-+oo Sln 2n
7rU
.
( )
.
1lm
'Pn u = 1lm
n-+oo
La suite (cpn) converge simplement sur ]0,7r] vers la fonction cp(x) = 2 ~:u.
Cette dernière est continue et intégrable sur ]O, 7r]. Par ailleurs, pour tout n E
N* et tout u E]O, 7r[, on a 2~ E )0, ~)et sin 2~ ~ n~ (en général, pour 0 E [O, U,
on a sinO ~ ~),ce qui implique la double inégalité: 0 ~ 'Pn(u) ~ si:u. Les
hypothèses du théorème de convergence dominée étant satisfaites, on en déduit
que
lim Sn(an) = lim
n-+oo
n-+oo
1
217T --du~
sin u
1, 179.
1T 'Pn(u) = 11T lim 'Pn(u) = 7r
0
0 n-+oo
U
0
(Pour montrer que J01T si:udu ~ 1, 8519, plusieurs méthodes sont possibles. On
va utiliser la théorie des séries entières ainsi que le critère des séries alternées
de Leibniz sur les séries numériques. On a
sin u =
2
'L.J
"°' (2k(-l)k
+ 1)! u k+l '
00
k=O
d'où
sinu _ ~ (-l)k 2k
u (2k + l)!u '
6
u :f: O.
Le rayon de cette série entière est égal à l'infini et la fonction ci-dessus admet
un prolongemnt par continuité en O. Une série entière converge uniformément
sur tout compact inclus dans l'intervalle ouvert de convergence. Ici la série
converge sur ~ et on peut choisir en particulier l'intervalle qui nous intéresse
[O, 7r]. Dès lors, on peut intégrer sur cette intervalle cette série terme à terme
r sinudu
= r (f (-l)k u2k+l) du
u
lo
}0
(2k)!
-1 )k {1T 2k
{;(2k+l)!}o u du,
OO
=
k=O
OO
(
(-l)k7r2k+l
{; (2k + 1)!(2k + 1)'
OO
'
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
212
où
71'2k+l
ak = (2k + 1)!(2k + 1) ·
Notons que (ak) est une suite décroissante de nombres positifs convergeant
vers zéro. La série L:(-l)kak est une série alternée et satisfait au critère de
Leibniz, donc elle converge et on a
OO
A2n+I :::; 'L)-l)kak:::; A2n,
k=O
où Ap désigne la somme partielle d'ordre p de cette série. On a en particulier
5
(-1 )k11'2k+l
1, 85190 ~ {; (2k + 1)!(2k + 1)
r sinu du,
<
lo
u
6
( -1 )k11'2k+l
< {; (2k + 1)!(2k + 1) ~ l, 85193 '
et par conséquent J07r si~udu ~ 1, 8519).
g) Pour montrer que
lim ( sup ISn(x) - J(x)I) i: 0,
n--+oo xE]O,~[
il suffit de trouver une suite numérique (an) telle que Sn(an) - f(an) ne tend
pas vers zéro. Or ISn(an) - f(an)I = ISn(an) - li, et d'après la question précédente, la limite de cette expression vaut Il, 179 - li= 0, 179. Cette dernière
est strictement supérieure à 0, d'où limn--+oo sup(ISn(an) - f(an)I) i: O. Par
conséquent (Sn(x)) ne converge pas uniformément vers f(x) sur JO,~[.
Exercice 6.6.22 On dit qu'une suite (Bn) de polynômes est une suite de polynômes de Bernoulli si les conditions suivantes sont satisfaites :
1
x- "2'
B1(x)
B~(x)
=
Bn-1(x),
Vn E N*\{1}
fo Bn(x)dx = 0, Vn EN*
1
a) Etablir l'existence et l'unicité de cette suite.
b} Calculer B2(x), ... , B6(x).
c) Montrer que pour n E N*\{1}, Bn(O) = Bn(l). Cette relation est-elle
valable si n = 1 ?
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
213
d) Pour tout n E N*, soit fn la fonction périodique de période 1, qui coincide
avec Bn pour x E]O, 1[ et est égale à !(Bn(O) + Bn(l)) pour x =O. Déterminer
la série de Fourier de cette fonction et préciser sa convergence.
e) On rappelle que la fonction Zêta de Riemann est définie par
OO
((x) =
1
L kx' Vx > 1
k=l
Exprimer, pour tout entier k ~ 1, ((2n) en fonction des polynt1mes de Bernoulli. En déduire les sommes des séries : 2:~ 1
2:~ 1
et 2:~ 1 ~.
b,
b
Solution : a) On utilise un raisonnement par récurrence. Pour n = 1, on a
B1(x) = x Pour n ~ 2, on suppose que l'on a construit Bn-1(x) et on
détermine Bn(x). De la relation B~(x) = Bn-1(x), 'tin E N*\{1}, on tire
!·
où C est une constante. D'où
fo Bn(x)dx = fo (fox Bn-1(t)dt) dx + C.
1
1
Or J01 Bn(x)dx = 0, 'tin EN*, donc C = - f01 (J0x Bn-1(t)dt) dx et par conséquent
Bn(x)
=fox Bn-1(t)dt - fo (fox Bn-1(t)dt) dx.
1
Ainsi Bn(x) existe et est unique.
b) En remplaçant dans la formule ci-dessus, on obtient immédiatement
x3
x2
x
B 3 =6-4+12'
x4
x3
x2
1
B 4 = 24 - 12 + 24 - 720'
x5
x4 x3
x
Bs = 120 - 48 + 72 - 720'
B6
x6
x5
x4
x2
1
= 720 - 240 + 288 - 1440 + 30240.
214
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
c) Pour n 2:: 2, on a
Bn(l) - Bn(O) =
fo B~(x)dx = fo Bn-1(x)dx = 0,
1
1
d'où Bn(l) = Bn(O). Cette relation n'est pas valable pour n = 1 car pour ce
cas on a B1{l) # B1{0).
d) Les hypothèses du théorème de Dirichlet étant satisfaites, on en déduit
que la fonction fn est développable en série de Fourier. Nous allons utiliser
la forme complexe :L~-oo ck(Jn)ei21rkx, où ck(fn) = f01 fn(x)e-i 27rkxdx. Pour
n 2:: 2, k E Z*, on a
Pour n = 1, k E Z*, on a
1
- i27rk.
Dês lors,
n2::2
et par récurrence, on obtient finalement
215
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
La série de Fourier de f n est
L
OO
-1 ei27rkx
k=-oo (i27rk)n
k#O
=
t
-l
((-l)ne-i27rkx+ei27rkx)
k=l (i27rk)n
'
=~
-1 ((-l)ne-i27rkx + ei27rkx)
L...J (i27rk)n
'
k=l
=
t (i2~~)n
(((-lt + 1) cos27rkx - i((-lt - 1) sin27rkx).
k=l
La fonction fn, n 2: 2, est continue alors que fi est discontinue. Comme fn
satisfait pour tout n E N* aux hypothèses du théorème de Dirichlet, alors
on en déduit que la série de Fourier ci-dessus converge simplement vers fi
et uniformément vers fn, n 2: 2. On peut écrire la série ci-dessus autrement.
Comme
2 si X= 2p
(- l
r + l = { Ü Si = 2p + 1 '
X
(-1r-1 = {
2p
-~ siSi X=
X= 2p+ 1 '
alors pour n = 2p, la série ci-dessus s'écrit sous la forme 2 ~;;~;; 1 2:~ 1 co~~;kx
r
2(-l)P+l "°'oo sin27rkx
et pour n = 2p + 1, sous 1a iorme (27r)2P+i L..Jk=l k2P+1 .
e) Pour p 2: 1, on a
f ( ) = 2(-l)P+l ~ cos27rkx
2p X
(27r)2P L...J
k=l
k2P
Vx E IR
'
Dès lors,
tr
2(-l)P+l oo 1
2(-l)P+l
/2p(O) = (27r)2P
k2P = (27r)2P (( 2p),
d'où
216
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
On a
1
I:k2
OO
71"2
= ((2) = 271" 2B2(0) = (f'
k=l
OO
4
((4) = -23 7r4B4(0) = ; 0 ,
1
L:k4
k=l
OO
1
L:ka
6
=
7r .
((6) = 257r6 Ba ( 0) = 945
k=l
Exercice 6.6.23 Soient f et g deux fonctions 27r-périodiques, intégrables, bornées et soit (J * g)(x) = J:.1J(t)g(x- t)dt, le produit de convolution de f et g.
On désigne par ck, dk, ak les coefficients de Fourier complexes de f, g, f * g
respectivement. Montrer que : ckdk = ak.
l7r
Solution : On a
1
271"
17r (J * g)(x)e-ikxdx,
.
-'Ir
2~ 1-: (1-: f (t)g(x - t)dt) e-ikxdx,
= 2_ 11r (11r g(x - t)e-i(k-t)dx) f(t)e-iktdt,
271"
=
-'Ir
-'Ir
2_ 11r (17r-t g(u)e-iudx) J(t)e-iktdt,
-7r-t
17r (11r g(u)e-iudx
. ) f(t)e-iktdt,
.
=
27!"
= 2171" 17r (27rdk)f (t)e-iktdt,
271"
-1
u =x - t
-'Ir
-'Ir
(g(u)e-iu est 27r-pêriodique)
-'Ir
-'Ir
=
27rdkck.
Exercice 6.6.24 On considère l'espace C([-7r, 7rj, IR) des fonctions continues
sur [-7r, 71"], muni du produit scalaire (!, g) =
f(x)g(x)dx. Soit S le sousespace de C([-7r, 7r], IR) engendré par les fonctions cpo, cpi, ... , 'P2n où
J:.1r
cpo(x) = ~'
'P2k-1(x) = )rrsinkx,
'P2k(x) = )rrcoskx,
k 2: 1.
a) Montrer que les fonctions 'Pk sont orthonormées.
b} Soit f E C([-7r, 7r], IR). Déterminer la projection orthogonale p de f sur
2n
l'espace S. Montrer que : p =
L Ck'Pk, où ck = (!, 'Pk), 0 :S k :S 2n.
k=O
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
217
Solution : a) En effet, un simple calcul basé sur des formules classiques de
trigonométrie montre que : J~'lr cos kx cos lxdx = J~'lr sin kx sin lxdx = 7r si
k = l, 0 si k =/:- l et J~'lr cos kx sin lxdx = J~'lr cos kxdx = J~'lr sin kxdx = O.
b) L'espace S est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires des fonctions cpo, cp1, ... , 'P2n· Notons que dimS = 2n + 1 car (cpo, cp1, ... , 'P2n) est une
base de l'espace S. Soit f E C([-7r, 7r], IR) et soit p la projection orthogonale
de f sur S. Cette projection est définie par les conditions suivantes : p E S
et f - p E 81-, ce qui donne les conditions d'orthogonalité (! - p, 'Pk) = 0,
k = 0, 1, ... , 2n où (., .) désigne le produit scalaire. Rappelons que p est la
meilleure approximation de f dans S, en ce sens que p est la fonction dans
1
l'espace S pour laquelle la norme définie par 11 f - Pl 1 = ( J~'lr (f (x) - p( x) ) 2 ) 2
est minimale. On a p = L:~".!, 0 Ck'Pk, où les coefficients Ck se calculent à partir
des conditions d'orthogonalité (! - p, 'Pk) = 0, k = 0, 1, ... , 2n. En effet, on a
(! - L:~".!: 0 Ck'Pk, 'Pk) = 0, d'où (!, 'Pk) - L:~".!: 0 ck('Pk, 'Pl) =O. Or les fonctions
cpo, cp1, ... , 'P2n sont orthogonales et normées, d'où (cpk, 'Pl) = Ôkl (symbole de
Kronecker) et dês lors (!, 'Pk) = ck, k = 0, 1, ... , 2n. Par conséquent
17r f(x)dx,
(!, 'P2k-1) = 1 17r f(x) sin kxdx,
y7r
1 17r f(x)coskxdx.
c2k = (J,cp2k) = ./i
Co
1
(!,'Po) = ...fii
-'Ir
r;;;
-'Ir
-'Ir
On a
2n
L Ck'Pk(x),
p(x)
k=O
1
27r
17r f(x)dx + ..!:.7r (17r sinxdx) sinx + ..!:.7r (17r cosxdx) cosx
-'Ir
-'Ir
-'Ir
+ · · · + ~ (/_:sin nxdx) sin nx + ~ (/_:cos nxdx) cos nx,
=
t,
2~ L J(x)dx + ~ (L cosnxdx) coskx
+
t ~ (17r
k=l
n
=
ao +
sin nxdx) sin kx,
-'Ir
L (ak cos kx + bk sin kx)
k=l
(6.6.6)
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
218
avec
ao = -
1111" f(x)dx,ak = -1111" f(x)coskxdx,bk = -1111" f(x)sinkxdx,k ~ 1
271"
-'Il"
7r
7r
-'Il"
-'Il"
L'expression (6.6.6) s'appelle polynôme trigonométrique d'ordre n. Les nombres
ak, bk sont appelés coefficients de Fourier de f (nous avons signalé dans laremarque 6.1.1, que contrairement à ce qui a été fait ici, ao a été choisi dans ce
chapitre de façon à se calculer par la même formule (6.2.1) que les autres ak).
Exercice 6.6.25 1) Expliquer brièvement comment les séries de Fourier peuvent
etre utilisées pour résoudre certaines équations différentielles. On pourra considérer par exemple l'équation différentielle linéaire
ay" + by' + cy = f(x),
à coefficients constants et où f est une fonction périodique connue.
2) On considère l'équation différentielle
Y1 + Ày = f (x),
À E C \ iZ
où f: lR - - t C, est une fonction continue et 211"-périodique.
a) Déterminer la solution sous forme intégrale de l'équation différentielle
ci-dessus et montrer qu'elle est 211"-périodique si et seulement si y(O) = y(27r).
b} Montrer que l'équation différentielle ci-dessus admet une solution unique
développable en série de Fourier et déterminer cette série sous forme complexe.
Solution: 1) On procède comme suit : on calcule formellement le coefficient de
Fourier ck(Y) associé à la solution y. On a ck(ay" + by' + cy) = ck(f), d'où
En tenant compte du fait qu'en général (on procède par intégration par parties), ck(Y(n)) = (ik)nck(y), Vn EN, on obtient
-ak2 ck(Y) + ibkck(Y) + cck(Y) = ck(f),
et dès lors, ck(Y) = c+~tJ~~k 2 • On détermine ensuite ck(f) à l'aide de la proposition 6.2.5 et on montre que la série de Fourier y(x) = L::,_ 00 ck(y)eikx,
est la solution cherchée.
2) a) La solution générale de l'équation différentielle en question est la
somme de l'équation générale de l'équation homogène y'+ >.y = 0 et d'une
solution particulière de l'équation y'+ >.y = f(x). La solution de l'équation
homogène est évidemment de la forme y = Ce->.x où C est une constante. Pour
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
219
déterminer une solution particulière de l'équation non homogène, on utilise la
méthode de la variation de la constante. On pose y(x) = C(x)e->.x où C(x) est
variable et on résout la nouvelle équation obtenue en C(x). En remplaçant cette
expression dans l'équation y'+ >.y = f(x) et après simplification, on obtient
C'(x) = e>-x f(x), d'où C(x) =
f(t)e>.tdt + K où K est une constante. La
solution générale de l'équation différentielle proposée est donc
J;
y(x) = Ke->.x + e->.x fox f(t)e>.tdt,
avec K = y(O). Supposons que y(O) = y(27r) et soit ((x) = y(x+27r) la solution
de l'équation différentielle en question. On a ((0) = y(27r) = y(O), d'où (=y.
Si réciproquement, y est 27r-périodique, alors évidemment y(O) = y(27r). Dès
lors, la solution y est 27r-périodique si et seulement si y(O) = y(27r). Cette
dernière condition s'écrit explicitement sous la forme
y(O) = y(27r) = y(O)e- 27r>. + e->.x
fo f(t)e>.tdt,
2
7r
d'où y(O)(e 2û - 1) = J;1r f(t)e>.tdt, où e2û f:. 1 puisque a E C \ iZ.
b) D'après ce qui précède, l'équation différentielle en question admet une
solution unique (qui s'écrit sous la forme
1
e2?r>. -
{27r
1 lo
f(t)e>.tdt,
a E C \ iZ.
Cette solution étant 27r-périodique et de classe C1 , elle est donc développable
en série de Fourier. Elle s'écrit en notation complexe sous la forme
OO
((x) =
L ck(()eikx,
k=-00
où ck(() = ~kJ{i, s'obtient en procédant comme dans 1).
Exercice 6.6.26 {Equation de la chaleur). Soit une plaque carrée dont les côtés ont la longueur 7r et telle que : ses faces sont isolées, trois de ses côtés sont
maintenus à la température zéro, le quatrième côté est maintenu à la température To. La température au point (x, y) E [O, 7r] x [O, 7r] et à l'instant t 2: 0 est
représentée par une fonction u(x,y) satisfaisant {dans J0,7r[x]0,7r[x]O,oo[J à
l'équation de la chaleur
2
2
au=
u)
at c (8âx2u + 8
8y2 ,
220
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
où C i 0 est une constante. Notre problème consiste à déterminer la température d'état stationnaire (~ = 0) en tout point de la plaque. Dans ce cas,
l'équation aux dérivées partielles précédente devient
â 2u â 2u
âx2 + ây2 =O.
(6.6.7)
Cette équation s'appelle équation de Laplace en deux variables. Les conditions
aux limites s'expriment par
u(O, y) = u(x, 0) = u(7r, y) = 0,
u(x, 7r) = To.
Résoudre l'équation (6.6. 7), par la méthode de séparation des variables et les
séries de Fourier.
Solution: On cherche des solutions particulières de (6.6.7) sous la forme :
u(x, y) = f(x)g(y),
c'est-à-dire sous forme d'un produit de deux fonctions dépendant chacune d'une
seule variable. En substituant cette expression dans (6.6.7), on obtient
f"(x)
g"(y)
f(x) - - g(y) .
Le membre de gauche de cette égalité est une fonction de x et celui de droite
est une fonction de y. Comme ils sont égaux, ils ne dépendent ni de x ni de y
et sont donc égaux à une constante que l'on désigne par -À2 . On obtient donc
deux équations : J"(x) + A2 f(x) = 0 et g"(x) - A2g(x) =O. En résolvant ces
équations, on trouve f(x) = acosAx+bsinÀx et g(x) = ccothAy+dsinhAy.
D'où
u(x, y)= (a cos Àx + bsinAx)(ccothÀy + dsinhAy).
Les conditions aux limites u(O, y) = 0 et u(x, 0) = 0 entrainent respectivement
a= 0 etc= 0, et la condition u(7r,y) = 0 donne bdsinÀ7rsinhÀy =O. Pour
obtenir une solution non triviale, c'est-à-dire b i 0 et d i 0, il faut choisir
À= k où k = 1, 2, ... Dès lors uk(x, y) = Ak sin kx. sinh ky. Pour satisfaire à la
dernière condition: u(x, 7r) = To, on utilise d'abord le principe de superposition
pour obtenir la solution générale :
OO
OO
u(x,y) = Luk(x,y) = LAksinkx.sinhky.
k=l
(6.6.8)
k=l
Puis en se basant sur la condition aux limites
OO
u(x,11") = LAksinhk7rsinkx = T0 ,
k=l
(6.6.9)
221
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
on détermine les coefficients Ak de la manière suivante : l'équation (6.6.9)
représente le développement en série de Fourier de la constante T 0 dans l 'intervalle [O, 7r[. En posant u(x, 7r) = -To pour x E [-7r, O[, la fonction u(x, 7r)
est définie dans l'intervalle [-7r, 7r[, et comme il s'agit d'une fonction impaire,
on a pour son développement en série de Fourier :
OO
u(x, 7r) =
L bk sin kx = To,
(6.6.10)
k=l
où
. k X dX = -2To 111" Sin
. k X dX = 2To (1 - kcos k?r) .
bk = -2111" u (X' 7r ) Sin
7r
0
7r
0
7r
En comparant (6.6.9) et (6.6.10), on obtient Ak = 2 T~k1s~nc~~!7r). Finalement,
en portant ces valeurs dans (6.6.8), on obtient la solution :
2To ~ (1- cos k?r) .
.
u(x,y)=-L.J k. hk smkx.smhky.
7r k=l 7r sm 7r
Exercice 6.6.27 (Filtre RC). Considérons un circuit électrique composé d'un
condensateur de capacité C, d'une résistance R, d'une source de tension continue (variable avec le temps) V(t) et d'un interrupteur. La différence de potentiel (ou tension) aux bornes de la résistance est donnée par VR =Ri. Désignons
par Ve la tension aux bornes du condensateur.
a) Montrer que
(6:6.11)
b) Pour que l'équation ci-dessus possède une solution unique, il faut fournir
une condition initiale. Supposons que l'interrupteur se ferme pour t =O. Avant
cet instant, il ne pouvait y avoir de courant dans le circuit, mais le condensateur
pouvait avoir une certaine charge que l'on désigne par Qo. Que vaut dans ce
cas Vc(O)?
c) Supposons que la tension V soit donnée par un train d'impulsion périodiques. Qu 'elle est la représentation en série de Fourier complexe de V ?
d} On sait que la solution de l'équation différentielle {6.6.11} est la somme
de la solution générale de l'équation homogène associée et d'une solution particulière de l'équation complète. On suppose que la solution particulière soit
périodique ayant la méme période T que V(t). Déterminer la solution de l'équation {6.6.11}.
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
222
Solution : a) La loi de Kirchoff exprime que la somme des différences de potentiel le long d'une boucle de circuit doit être nulle, on en déduit que :
V = VR +V - C = Ri+ V - C, d'où i =
Par définition de la ca=
c'est une équation différentielle
pacité, on a i = cd~ç, donc d~ç +
du premier ordre linéaire à coefficients constants et avec second membre.
itb Xe,
b) Comme i = Cd~c, on en déduit Ve =
VJic.
t (J~ i(r)dr + Q
0 ). On a donc,
pour t = 0, Ve(O) = 9cJ.
c) Comme V est décrite par une fonction T-périodique, la représentation
en série de Fourier complexe de V est donnée par 2:~-oo ckeiwkt, Wk = 2'fk,
où
c'est-à-dire
(6.6.12)
itlJ
d) L'équation homogène : d~c +
= 0, admet évidemment la solution:
t
ae- Re, a =constante. Cette solution s'appelle réponse transitoire du circuit
car elle disparait avec le temps. Par hypothèse, la solution particulière, est supposée T-périodique. Elle s'écrit donc sous la forme 2:~-oo ckeiwkt, et s'appelle
réponse permanente ou forcée du circuit. Par conséquent,
OO
Ve = ae- iic +
2: ckeiwkt.
k=-oo
6.6. EXERCICES RÉSOLUS
223
L'équation différentielle (6.6.11) devient V = RCd~c +Ve, d'où
OO
+ae- ifc +
L ckeiwkt,
k=-oo
OO
OO
k=-oo
k=-oo
= RC L iwkckeiwkt + L ckeiwkt
Puisque les fonctions eiwkt sont linéairement indépendantes, alors on en déduit
que : Ck = RCiwkck + ck, où ck = l+i~~RC' et pour Ck voir (6.6.12). La fonction F(iw) = l+i<~RC' s'appelle réponse de fréquence du circuit. Son module
IF(iw)I = v'l+JR202 , s'appelle réponse d'amplitude du circuit, tandis que son
argument argF(iw) = -argtan(wRC), est appelé réponse de phase du circuit.
Exercice 6.6.28 Soit f la distribution associée à la fonction 27r-périodique
définie par f(x) = x, -1f <X< 7f, et soit r le cercle de longueur 27f. Montrer
qu'en tout point d'abscisse curvilignes der,
f =
L2 (-l)k+l
k
sinks.
00
k=l
Solution : D'après la section 2.2.3 du chapitre 2, la dérivée f' au sens des
distributions de cette fonction est f' = 1 - 2m)71". Comme
1 ((J:) -iks)
1 -ik71"
(-l)k
J:)
Ck (u11" = 27r u11" 8 ,e
= 27re
= ~'
on déduit immédiatement de la proposition 6.5.7, que
811"
= _..!:.._
f
(-l)keiks.
27f k=-oo
Dês lors, f' = 1- ~~_ 00 (-l)keiks. Par ailleurs, on sait que
OO
f' =
L ikck(f)eiks,
k=-oo
{ _ l)k.;
donc ck (!) = ~. Dês lors,
f =
.
.
(-l)k+l
L ck(f)eiks = L (-l)ki
k (eiks - e-iks) = 2 L
k
sinks.
OO
k=-oo
•
OO
OO
k=l
k=l
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
224
Exercice 6.6.29 Soient T et S deux distributions sur le cercle, 27r-périodiques
et soit ck(T) et ck(S) les coefficients de Fourier de leurs séries de Fourier
respectives. Montrer que : ck(T * S) = 27rck(T)ck(S), et
OO
L ck(T)ck(S)eiks.
T * S = 27r
k=-oo
Solution : On a
Ck(T * S)
-
;7r ((T * 8) 8 , e-iks),
_!_(T. '°' S e-ik(s+t))
27r
8 \()/
t,
'
_!_(T. e-ike)(S e-ik'TJ)
e'
27r
1'/'
'
27rck(T)ck(S).
On a montré dans la proposition 6.5.7 que la série de Fourier d'une distribution
T sur le cercle r converge toujours dans V' (r) vers T, donc
OO
L ck(T)ck(S)eiks.
T * S = 27r
k=-oo
6. 7
Exercices proposés
Exercice 6.7.1 Montrer que la fonction
x 1----? f(x) = arcsin(cosx),
est développable en série de Fourier, déterminer cette série et préciser sa convergence.
Réponse : Il suffit de remarquer que : arcsin(cosx) = arcsin(sin(~ - x)), et
d'utiliser l'exercice 6.6.12. La convergence est normale (et par suite absolue et
uniforme).
Exercice 6.7.2 Soit f une fonction 27r-périodique, définie par
f(x) = { x 2 - 7r s~ x E]O, 7r]
0
six=O
a) Tracer le graphe de f.
b) Déterminer la série de Fourier associée à f.
c) Etudier la convergence de la série obtenue dans b}.
(-l)k
L ~.
00
d} En déduire la somme de la série
k=l
+
225
6. 7. EXERCICES PROPOSÉS
Exercice 6. 7.3 Soit f une fonction 211'-périodique, impaire, définie par
x E [O, 11']
f(x) = x(7r - x),
Montrer que f est développable en série de Fourier et déterminer cette série.
Réponse: Par hypothèse la fonction f est impaire. On prolonge (voir remarque
6.2.4) la fonction f sur [-11', O] de telle façon qu'on ait pour x E [-11', O], f(x) =
-f(-x). On a
f(x) = { x(7r + x) si x E [-11', O]
x(7r - x) six E [O, 11']
La fonction f est continue et satisfait à toutes les conditions du théorème de
Dirichlet. Dès lors, elle est développable en série de Fourier. En outre, f étant
impaire, on a \;/k EN, ak = 0 et \;/k EN*,
2 {1T
4 (1-(-l)k)
bk=;Jo x(7r-x)sinkxdx=;
k3
={
0 si k = 2p
sik=2p+l'
8
7T(2p+l)3
On obtient l'expression
L:-41-(-l)k
k
sinkx = L
OO
f(x) =
k=l 11'
8
OO
3
p=O 11' (2p + 1)
3 sin(2p+ l)x,
\;/x E lR
Exercice 6. 7.4 Soit g la fonction définie par
g(x)=sup{cosx,O},
xER
Montrer que cette fonction est développable en série de Fourier et préciser cette
série
Réponse : Il suffit de noter que g(x) = f(x + ~) où f est la fonction définie
dans l'exercice 6.6.3 et d'utiliser les résultats obtenus dans cet exercice.
Exercice 6.7.5 Soit f une fonction 211'-périodique, paire et définie sur lR par
f(x) = { ~(2a - x)
0
s~ x E [O, 2a]
si x E [2a, 11']
oùaE]O,~[.
a) Quelle est la série de Fourier associée à f ?
c) Etudier la convergence uniforme de la série obtenue dans a), en utilisant
deux méthodes : une étude directe et le théorème de Dirichlet.
· les sommes d es series
, · : "'oo
sin 2 ka t "'oo (-l)k sin 2 ka
d'1l E n d e'duire
L,,k=I -,;re L,,k=I
k2
·
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
226
Réponse: a)
2 ~ 1 - cos 2ka
4 ~ sin2 ka
f(x) rv 2 + a 2 L...J
k2
coskx = 2 + a 2 L...J k 2 coskx.
k=l
k=l
b) Une méthode directe consiste à utiliser le critère de Weierstrass et on
obtient la convergence uniforme sur R Le même résultat s'obtient en utilisant
le théorème de Dirichlet puisque f est continue et toutes les autres hypothèses
sont satisfaites.
00 sin 2 ka = a(?r-a) De même avec x = 1f on
c) Avec x = 0 ' on obtient "L,,k=l
-;cr2
.
'
'
2
. t"oo (-l)ksin ka_ a2
obtien L.,,k=l
k2
- -2·
Exercice 6. 7.6 Déterminer la série de Fourier associée à la fonction
X!----+
J(x) =X - E(x),
où E(x) désigne la partie entière de x.
Réponse : La fonction f est périodique de période 1 et la série de Fourier en
·
sin(2k7r:z:)
quest10n
est 21 - ;:1 "oo
L,,k=I
k
.
Exercice 6. 7. 7 Soit f la fonction 27r-périodique, définie par
f(x) =
(;:x)2n
-
1f ::; x ::; 1f, n E N
a) Montrer que f est développable en série de Fourier.
b) Calculer les coefficients de Fourier de f. (Indication : considérer l 'intégrale In = 01T x 2n cos kxdx et prouver la relation de récurrence suivante :
J
puis en déduire In)· Ecrire la série de Fourier de f.
c) Déduire de ce qui précède les sommes des séries
OO
1
Lk2'
k=l
00
{-l)k
00
{-l)k
LTT·
Lll2'
k=l
k=l
Réponse: a) f est continue en tout point, admet une dérivée à droite et une dérivée à gauche. D'après le théorème de Dirichlet cette fonction est développable
en série de Fourier.
6. 7. EXERCICES PROPOSÉS
227
b) f est paire, d'où bk = 0 Vk 2: 0 et
ao
-2111" f(x)dx = -2 2 1 ,
7r o
n+
=
~ 111" f(x)coskxdx-2(
- - 1) k+l (2n).L...-(
1~
k) .( ( -1 )i •
7r o
j=l
7r
2
J
) ,n;2:1
2n - 2J + 1 .1
D'où, pour -7r ~ x ~ 7r,
OO
f(x)
=
~o + L(ak cos kx + bk sin kx),
k=l
2n
~ 1 + ~ (2(-1)'+ (2n)! (t, (.-k)'i(;:~;2j+ l)!) coskx) .
1
c) En particulier, pour x = 7r, n = 1, on obtient E~ 1 b = ~2 • Pour
x = 7r, n = 2, on trouve E~ 1 -;}r = ~~. Pour x = 0, n = 1, on obtient
"OO
(-l)k _
11"2
_
_
"OO
(-l)k _
711"4
L.,,k=l ~ - - 12 et pour x - 0, n - 2, on a L.,,k=l ---;21 - - 720 .
Exercice 6. 7.8 Soit f une fonction 27r-périodique, définie par
f(x) = { ex
0
si X Ej - 7r, 7r[
si X= 7r
où C est une constante.
a) Tracer le graphe de f.
b) Calculer les coefficients de Fourier de f et en déduire la série de Fourier
associée à f.
c) Déterminer la constante C pour que la série obtenue en b) converge
simplement en tout point x.
. la somme de la sene
, . : L.,,k=l
" 00 (-l)k
d1'l E n de'duire
l+k2 .
Réponse : b) On a
ao
1 111"
e1r - e-11" = 2 sinh 7r ,
exdx =
7r
7r
-1!"
_!_111" x
7r
e COS
-1!"
k d _ e7r-e-7r (-l)k _ 2sinh7r (-l)k
X X k k2 ,
7r
1+ 2
7r
1+
_!_ 111" x . k d __ e7r -
7r
-1!"
7r
e sm x x -
e-11" (-l)k k __ 2sinh7r (-l)k k
k k2 '
7r
1+ 2
7r
1+
228
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
et par conséquent, la série de Fourier associée à f s'écrit
sinh7r 2sinh7r Loo (-l)k ( k
k . k )
--+
- - c o s x - smx.
2
1f
1f
1+k
k=i
c) Les hypothèses du théorème de Dirichlet étant satisfaites, on en déduit
que la série de Fourier ci-dessus converge simplement en tout point de discontinuité x vers f(x+O)~f(x-O) et en tout point de continuité x vers f(x). Ici, on
a au point de discontinuité x = 1f,
f(7r + 0) + f(7r - 0)
2
e'/I" + e-11"
- - -2- - = cosh 1f,
et en tout point de continuité x (c'est-à-dire xi- ±7r, ±37r, ±57r, ... ),
x _
e -
sinh 1f
1f
~ ( -1) k ( k _ k . k )
+ 2 sinh 1f L...J
sm x .
1 k2 cos x
1f
k=i +
Lorsque C = cosh 1f, la série ci-dessus converge simplement en tout point x.
d) Il suffit de remplacer x = 0 dans l'expression ci-dessus, on obtient
~ (-l)k = 1f- sinh7r.
2 sinh 1f
L...J 1 + k2
k=i
Exercice 6.7.9 Soit f: lR---+ C, une fonction 27r-périodique, continue et de
ci
classe
par morceaux. Montrer que la série de Fourier associée à f converge
normalement sur lR vers f.
Exercice 6. 7.10 Montrer que la somme de la série
~ sinkx
L...J lnk '
k=2
est une fonction continue sur un ensemble à préciser. Montrer que cette série
ne peut etre une série de Fourier (d'une fonction intégrable f).
Réponse : La série proposée converge simplement sur lR et converge uniformément sur [a, 27r - a], a E]O, 7r[, vers une fonction continue sur JR\27rZ. Pour le
reste, il suffit d'utiliser un raisonnement par l'absurde comme dans l'exercice
6.6.17.
Exercice 6. 7.11 Soit f (xi, ... , xn) une fonction 27r-périodique en xi, ... , Xn et
supposons qu'elle est de classe
fonction.
ci. Déterminer la série de Fourier de cette
6. 7. EXERCICES PROPOSÉS
229
Réponse : On trouve
OO
J(xi, ... , Xn) =
ki, ... ,kn=-oo
où
Exercice 6.7.12 On considère l'équation aux dérivées partielles {équation de
la corde vibrante) :
â2u - 2â2u
ât2 - c âx2 '
t>0
où u(x, t) est l'amplitude des mouvements transversaux de la corde etc> 0 est
une constante (vitesse de la proppagation} connue. On suppose que la corde est
homogène et tendue entre ses extrémités fixes 0 et l. Déterminer la solution de
cette équation qui satisfait aux conditions suivantes :
u( x, 0) = f (x) (déformation initiale de la corde en t = 0),
{ ~(x,O) =0, O<x<l,
u(O, t) = u(l, t) = 0, t > O.
0 <X< l,
Réponse : Il suffit d'utiliser un raisonnement similaire à celui de l'exercice
6.6.26, en posant (méthode de séparation des variables) : u(x, t) = f(x)g(t).
On obtient uk(x, t) = Ak sin kt x cos k7[ct, et via le principe de superposition,
~
~
. k7r
k1fC
u(x, t = L...J uk(x, t) = L...J Ak sm - 1-x cos - 1-t.
k=l
k=l
En se basant sur la condition aux limites
u(x, 0) = f(x) =
f
Ak sin
kt x,
k=l
on détermine les coefficients Ak à l'aide de la méthode des séries de Fourier et
on obtient finalement la solution
u(x,t) = L...J
(2 [
k=l
0
~ y Jo 00 f(x)sm•
k1f
) . k1f
k1fC
1 xdx sm1 xcos-l-t.
230
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
Exercice 6.7.13 On considère l'équation de la chaleur:
âu â 2u
ât - âx 2 '
t>O
où u : [O, L] x [O, +oo[~ R, (x, t) 1--t u(x, t) est une fonction continue sur
[O, L] x [O, +oo[ et de classe C00 sur ]O, L[ x JO, +oo[. On suppose satisfaites les
conditions aux limites : u(x, t) = u(L, t) = 0, L > 0, ainsi que les conditions
initiales : u(x, 0) = cp(x), où cp : [O, L] ~ R est une fonction 2L-périodique,
impaire et de classe C4 . Déterminer u(x, t), 0 ~ x ~ L, à l'aide des séries de
Fourier.
Indication: Comme dans l'exercice 6.6.26, on utilise la méthode de séparation
des variables en posant : u(x, t) = f(x)g(t), on détermine f, g et on applique
le principe de superposition. Ensuite, on prolonge la fonction cp sur [-L, O] de
manière impaire et on la décompose en série de Fourier.
Exercice 6. 7.14 {Exemple de Féjer). On considère la fonction f : R ~ R,
paire, 27r-périodique définie par
f (x) =
f:
2 sin ( 2k
3
+ 1) ~.
k=l
Montrer que f est continue et que sa série de Fourier diverge en O.
Exercice 6. 7.15 On considère une variante de l'exercice précédent. Soit
9
(x) = {
f(x)
f(-x)
six E]O, 7r[
six E] - 7r,0[
où la fonction f est définie dans l'exercice 6.1.14. Soit Sn la somme partielle
de la série de Fourier (associée à g) en x =O. Montrer que :
En déduire que la série de Fourier de g en x = 0 diverge.
Réponse : La série de Fourier en question converge normalement (donc uniformément) sur R vers une fonction continue f (théorème de continuité). En
posant n = 213 - 1, l'inégalité en résulte. Pour l assez grand, ln(2 13 + 1) est
équivalent à 13 ln 2, d'où 8 21 3 _ 1 > 1~2 et la suite (Sn) diverge.
231
6. 7. EXERCICES PROPOSÉS
Exercice 6. 7.16 (Exemple de Kolmogorov). Soit (pk) une suite de polynômes
trigonométriques satisfaisant aux conditions : deg Pi < deg Pi, i < j, Pk (x) ~ 0,
l1r J~1r Pk(x)dx = 1, pour tout x et pour tout k. Soit nk E {1, ... , deg Pk} un
entier tendant vers l'infini et soit nk c ~:ni c nj,i < j, uknk =]0,27r[.
On suppose que pour tout X E nk, il existe lx E {nk, ... , deg Pk} tel que :
Z:7=i Pl (x) ~ Wk, où Wk tend vers l'infini. On associe à chaque polynôme Pk
l'entier nk défini ci-dessus. Montrer que la série de Fourier de la fonction
f(x) =
f
Pk1 (x),
l=i .,jWk;
ne converge nulle part où (kz) est une suite tendant suffisamment vite vers
l'infini.
Exercice 6. 7.17 a) Soit f : ~ ----t C une fonction 27r-périodique, de classe ci
par morceaux, continue sur~· et de moyenne nulle sur une période (c'est-à-dire
satisfaisant à f021r f(x)dx = 0). Montrer que
f 21r
f 21r
lo lf(x)l 2dx :S Jo lf'(x)l 2dx,
(inégalité de Wirtinger)
Montrer que l'égalité a lieu si et seulement si f(x) = ae-ix + beix, pour tout
x E ~' a et b sont des constantes.
b) Soit C une courbe de classe ci, régulière, fermée, sans point double et
de longueur L. Montrer que l'aire (noté A) du compact dont C est la frontière,
satisfait à A :S ~; (inégalité isopérimétrique). Montrer que l'égalité n'a lieu
que pour le cercle. Interpréter géométriquement ce résultat.
Indication : a) Appliquer l'égalité de Parseval aux fonctions f et f'. b) La
preuve peut se faire à l'aide de l'inégalité de Wirtinger.
Exercice 6. 7.18 (Formule sommatoire de Poisson). Soit f : ~ ----t C, une
fonction de classe ci telle que : X 1--t (1 + x 2 )1f(x)I et X 1--t (1 + x 2 )1f'(x)I
soient bornées.
a) Montrer que la fonction cp: X 1-----t l:~-oo f(x + 2k7r), est de classe ci
et 27r-périodique.
b} Montrer que la fonction Î: x t-----t J~00 f(t)e-itxdt, est bien définie sur
~' puis, en utilisant le développement en série de Fourier de cp, que
OO
OO
k=-oo
k=-oo
L: Î(k) = 27!" L: f(2k7r).
232
CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER
Exercice 6.7.19 Soient f et g deux fonctions périodiques, localement sommables. On suppose que le produit f g est localement sommable. Exprimer le
coefficient de Fourier de f g en fonction de ceux de f et g.
Réponse : Soient ck (!), Ck (g) et Ck (! g), les coefficients de Fourier de f, g, et
f g respectivement. Alors ck(f g) = L:~-oo Ck-j(f)cj(g).
Exercice 6. 7.20 On considère la distribution périodique T définie par
T = x 2 IT(x) * Li(x),
où IT(x) est la fonction porte (voir exercice 1. 7.1, chapitre 1) et Li(x) est le
peigne de Dirac (voir section 1.3.2, chapitre 1).
a) Ecrire le développement en série de Fourier de la distribution T.
b) Déterminer au sens des distributions T" ainsi que sa série de Fourier.
c) En déduire le développement en série de Fourier de Li(x).
Indication : a) La fonction !-périodique x f----t x 2 II(x) * Li(x) étant paire,
sa série de Fourier n'a que des termes en cosinus. b) Utiliser le fait que la
dérivation terme à terme d'une série de Fourier de distributions de V'(r) est
une opération légitime. Trouver une relation liant les coefficients de Fourier de
T" à ceux de T. c) Utiliser les expressions de T" trouvées précédemment. On
trouve Li(x) = L:~-oo e27rikx.
Exercice 6. 7.21 On considère la distribution a-périodique
1
T= vp -.--,
smwx
27!'
w=a
Déterminer les coefficients de Fourier de T
Réponse: D'après la définition de la valeur principale de Cauchy, on peut écrire
Ck =
1
- 2ae e-i'k wx
- (
-.--dx +
(6,e)-+(O,O) a [a(1;6> smwx
lim
~
e-i'kwx
2
/T
)
-.--dx .
smwx
On considère tout d'abord le cas k > O. On pose z = e-ikwx, le problème se
ramène au calcul de l'intégrale d'une fonction d'une variable complexe de la
k
forme zLi. Cette dernière a deux pôles simples: -1, 1 et de résidus respectifs
(-ir+i, !· Le reste découle du théorème des résidus et on obtient l'expression
ck = -i l-(~l)k, k ~ 0 et puisque sin wx est réelle, il en résulte que Ck =
. I-(-I)k k
Ü
'/,
2
'
< .
6. 7. EXERCICES PROPOSÉS
233
Exercice 6.7.22 Déterminer le développement en série de Fourier de la distribution définie par T = ln 1sin xi.
Réponse : T est une distribution 7T'-périodique, régulière et paire. Sa série de
Fourier n'a que des termes en cosinus. On trouve T = - ln 2 - L::, 1 cosfkx.
Exercice 6.7.23 Ecrire la série de Fourier de la distribution: T = vp cotx.
Réponse: Test une distribution 7T'-périodique, impaire et sa série de Fourier n'a
que des termes en sinus. On obtient T = 2 L::, 1 sin2kx, par calcul direct ou
en montrant que cette distribution est la dérivée de celle définie dans l'exercice
précédent.
Chapitre 7
Thansformée de Fourier
Introduction
Nous allons d'abord étudier la transformée de Fourier
C1 ~Co,
f 1---+ Î(w) =
1-:
f(x)e- 27riwxdx,
w E lR
dans le cadre de l'espace C, 1 = C, 1 (JR). Ici Co désigne l'ensemble des fonctions
continues qui tendent vers 0 en +oo. On démontre qu'effectivement Î est une
fonction continue qui tend vers 0 à l'infini. Une telle fonction est une injection
non surjective de C, 1 sur Co. Le fait que Î n'est pas intégrable, le problème
d'inversion de la transformée de Fourier va se poser. Pour le résoudre, on
suppose que la transformée de Fourier elle-même est dans C, 1 . Plus précisément,
on établit la formule sommatoire de Poisson de laquelle on déduira la formule
d'inversion de Fourier qui permet de retrouver f à partir de Î lorsque cette
dernière est intégrable. Ensuite, on considère un nouvel espace fonctionnel
appelé espace de Schwartz, dénoté S, et constitué des fonctions indéfiniment
dérivables à décroissance rapide. Pour cet espace, la transformée de Fourier
,.....
s~s,
V
J1-------tf=f,
est un isomorphisme topologique dont l'inversion (la transformée de Fourier
de la transformée de Fourier) redonne la fonction de départ. Ici la fonction
V
f désigne f(-x). On étudie aussi la transformée de Fourier des distributions
tempérées (des fonctionnelles T linéaires continues sur l'espace S et à valeurs
dans q,
(T, cp) = (T, rp), cp E S.
L'isomorphisme entre Set S peut se transposer dans le cas de ces distributions
et il y a conservation de la norme C,2 . Enfin, on étudie la transformée de Fourier
236
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
f
sur l'espace de Hilbert c,2. Comme C, 2 i. C, 1 , la définition de donnée pour
f E C, 1 ne s'applique pas pour un élément de C, 2 . Cependant, l'espace S étant
dense dans C,2 alors la transformée de Fourier se prolonge continûment à tout
C, 2 . On montre que tout élément de C, 2 est limite au sens de la topologie de C, 2
(autrement dit, il s'agit de la convergence en moyenne quadratique) d'une suite
d'éléments de l'espace S. Pour l'espace C, 2 , on a à nouveau un isomorphisme
topologique
f ~ Î(w) = lim (dans C,2 ) /_.>. f(x)e- 21riwxdx,
À--+00
w E lR
-À
mais la transformée de Fourier devient une transformée définie par une limite
en moyenne. On donnera aussi un aperçu sur la transformation de Fourier à
plusieurs variables et dont les propriétés sont similaires à celles étudiées pour
le cas d'une variable. Comme dans les autres chapitres, le reste de celui-ci
comporte de nombreux exercices complètement résolus ainsi que des exercices
proposés avec éventuellement des réponses ou des indications.
7.1
Transformée de Fourier dans ,C, 1
Définition 7.1.1 Soit f: lR---+ IR(ou C) une fonction appartenant à C, 1 (JR).
On appelle transformée de Fourier de f, la fonction
lR ---+ C définie par
Î(w) =
l:
f:
f(x)e- 21riwxdx,
w E lR
Cette intégrale est bien définie puisque lf(x)e- 27riwx1 = lf(x)I et f E C, 1 (1R).
On écrira symboliquement : = Ff ou Î(w) = F{f(x)}. D'autres notations
existent dans la littérature.
f
Remarque 7.1.1 Nous verrons plus loin que sous certaines conditions (! E
C, 1 et f E C, 1 , exercice 7.6.24 ou encore proposition 7.3.9), on peut obtenir
f (x) à partir de Î( w) par la transformation inverse (dite formule d'inversion
de Fourier)
f(x) =
l:
Î(w)e27riwxdw,
et nous écrirons f = FÎ = ;:- 1 j ou f(x) = F{Î(w)} = ;:- 1 {f(w)}. On dira
transformée de Fourier de f (ou cotransformée}. Et plus généralement, si f
n'est pas continue en x, on a
l:
Î(w)e27riwxdw = f(x + 0); f(x - 0),
7.1. TRANSFORMÉE DE FOURIER DANS C1
237
où f(x+O) et f(x-0) sont les limites à droite et à gauche de f(x). Soulignons
aussi que certains auteurs adoptent d'autres définitions et le lecteur est censé
en tenir compte. Citons par exemple les formules
Î(w) =
1-:
f(x)e-?riwxdx,
f(x) = -1
211"
100......f(w)e?riwx<M,
.
-OO
ou
...
1
f(w)
= rrc
y27r
100 f(x)e-mwxdx,
.
-OO
f(x) = - 1
.j'i$
100......f(w)emwx<M,
.
-OO
et il en existe d'autres. Au point de vue des mathématiques, les paires de formules ci-dessus sont équivalentes et aussi conventionnelles les unes que les
autres. Il va de soi que la théorie mathématique de l'intégrale de Fourier ne
dépend en rien du choix particulier de dimensions pour les variables.
Remarque 7.1.2 Il faut noter que la transformée de Fourier n'existe pas toujours. Par exemple, la fonction f(x) = x 2 n'admet pas de transformée de Fourier car l'intégrale J~00 x 2e- 27riwxdx n'existe pour aucune valeur de w.
Nous allons voir que si f E C1 (IR), alors Î est une fonction continue qui
tend vers 0 à l'infini. Ce résultat souvent utilisé est connu sous le nom de
lemme ou théorème de Riemann-Lebesgue (voir aussi lemme 6.2.9 du chapitre
précédent).
Proposition 7.1.2 Si f E C1 (IR), alors Î est continue, bornée, Î(w) tend vers
0 quand w----? ±oo et llJiloo::::; 11/111.
Démonstration : On a
Î(w) =
1-:
f(x)e- 27riwxdx,
w E IR
La fonction sous le signe intégrale est continue pour presque tout x E IR et est
mesurable pour tout w E IR. En outre, on a
lf(x)e-27riwxl = lf(x)I,
'Vw E IR
Le second membre appartient à C1 (IR) et d'après le théorème de continuité
pour les fonctions définies par une intégrale, la fonction Î est continue. Par
ailleurs, on a
IÎ(w)I::::;
1-:
lf(x)ldx = li/Ili,
'Vw E IR
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
238
ce qui montre que Î est bornée. De plus,
1
llJiloo = sup IÎ(w)I ~ 00 lf(x)ldx = 11/111·
wEIR.
-OO
Montrons maintenant que Î(w) tend vers 0 quand w -----+ ±oo. En effet, l'espace des fonctions continues par morceaux à support borné sur ~ ou celui des
fonctions en escalier est dense dans .C 1 (~). Toute fonction f E .C 1 (~) peut être
approchée au sens de la norme de .C 1 (~) par une suite de fonctions en escalier
à support borné. On peut donc trouver une fonction en escalier cp ; cela signifie
qu'il existe des intervalles bornés [Œk-1, ak] et des valeurs c1, ... , Cn tels que :
n
cp = LCkl[ak-i.ak]'
k=l
où l[°'k-i.ak] désigne la fonction caractéristique de [ak-1' ak], c'est-à-dire égale
à 1 six E [ak-1' ak] et à 0 sinon. Donc cp s'écrit comme combinaison linéaire finie de fonctions caractéristiques d'intervalles et on peut calculer sa transformée
de Fourier ép par linéarité. Plus précisément, on a
ép(w) =
100
-OO
=
t
(t
Ck 1°'k
k=l
=
Ckl[°'k-Ii°'k]) e-211'iwxdx,
k=l
e-211'iwxdx,
°'k-1
n
.
~ ick
(e-211'iwak _ e-211'iwak-l).
L...J 27l'W
k=l
Dès lors
1 (
lép(w)I ~ ;
n
1
~
lckl ) îWÏ'
et pour w-----+ ±oo, on a lép(w)I ~ ~· Par conséquent,
IÎ(w)I ~ IÎ(w) - ép(w)I + lép(w)I ~ ê,
et la démonstration s'achève. D
On montre (voir exercice 7.6.27) que si f,g E .C 1 et si Î(w) = g(w) alors
f = 9.i.. pour presque tout point de R En particulier, si f et g sont continues
et si f et g sont égales alors f et g le sont aussi.
Nous allons étudier ci-dessous un certain nombre de propriétés élmentaires
sur les transformées de Fourier.
239
7.1. TRANSFORMÉE DE FOURIER DANS C1
Propriété 7.1.3 {Linéarité). Soient f, g E C1 (1R) et a, {3 E <C. Alors
F{af(x) + {3g(x)} = aF{f(x)} + {3F{g(x)}.
Démonstration : La preuve résulte de la linéarité de l'intégrale. D
Propriété 7.1.4 {Translation). Soient f E C1 (JR) etc E JR. Alors
F{f(x - c)} = e-2?riwcj(w).
Démonstration : On a
F{f(x- c)}
=
L:
L:
f(x - c)e-27riwxdx,
f(u)e-27riw(u+c)du,
1:
=
e-27riwc
=
e-2?riwc J(w),
u =X - c
f(u)e-27riwudu,
ce qui achève la démonstration. D
Propriété 7.1.5 {Modulation). Soient f E C1 (JR) et wo ER Alors
F{e2?riwox f(x)} = J(w - wo).
Démonstration : On a
F{e27riw0 x f(x)}
=
=
L:
L:
e27riw0 x f(x)e-27riwxdx,
f(x)e-27ri(w-wo)xdx,
J(w-wo),
et achève la démonstration. D
Propriété 7.1.6 {Changement d'échelle). Soient f E C1 (JR) etc E JR*. Alors
"'(W)
c.
1
F{f(cx)} = îCÏf
En outre, la transformée de Fourier d'une fonction paire (resp. impaire) est
paire {resp. impaire).
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
240
Démonstration : On a
=
1_:
l~I 1_:
=
1~1 1 (~).
f(cx)e- 21fiwxdx,
F{f(cx)}
f(u)e -2:,iwu du,
u =ex
En particulier, on a F{f(-x)} = J(-w) et le résultat en découle. D
Propriété 7.1.7 (Conjugaison complexe). Soit f E .C 1 (1R). Alors
F{f(x)} = f(-w).
Démonstration : On a
=
1_:
1_:
=
f(-w),
F{f(x)} =
f(x)e-21fiwxdx,
f(x)e21fiwxdx,
et la démonstration s'achève. D
Nous allons maintenant étudier la transformée de Fourier d'une dérivée.
Proposition 7.1.8 Soit f E .C 1 (JR). Supposons que f est dérivable et que
f' E .C 1 (1R). Alors
F{f'(x)} = 211'iwF{f(x)} = 211'iwÎ(w).
Si en outre, f admet des dérivées jusqu'à l'ordre n qui sont dans .C 1 (1R), alors
Démonstration : En effet, on a
1_:
F{J'(x)}
=
f 1(x)e- 21fiwxdx,
f(x)e-27fiwxl:ioo + 211'iW
1_:
f(x)e-21fiwxdx.
7.1. TRANSFORMÉE DE FOURIER DANS .C 1
241
On sait que si une fonction intégrable admet une limite, alors cette dernière est
nulle. Par hypothèse, f E .C 1 (JR) et il suffit de montrer que lim f(x) existe.
:z:--+±oo
Notons que
f(x) = /(0) +fox f(t)dt.
Comme f' est intégrable, alors f(x) a une limite finie pour x -----+ ±oo. Cette
limite ne peut être que zéro car sinon f ne serait pas intégrable. Dès lors,
.F{!'(x)} = 27riw
1_:
f(x)e- 27riwxdx = 211'iwf(w).
Plus généralement, puisque f admet des dérivées jusqu'à l'ordre n alors en
répétant le processus ci-dessus, on obtient
ce qui achève la démonstration. D
Le résultat suivant montre que plus la fonction f est dérivable, à dérivées
dans .C 1 (JR), plus sa transformée de Fourier Î décroît rapidement à l'infini.
Proposition 7.1.9 Si f admet des dérivées jusqu'à l'ordre n qui sont dans
.C 1 (JR), alors
.-
c
l/(w)I ::; lwln'
C = constante
ce qui montre que plus n est grand, plus Î décroît rapidement à l'infini.
Démonstration : En effet, de la formule {voir proposition précédente)
.ru<n)(x)} = (27riwrf(w),
on déduit immédiatement
.-
1
roo
(n)
c
l/(w)I ::; {27rlwl)n J_oo If (x)ldx::; lwln'
où C
=d;: J~00 lf(n)(x)ldx. La démonstration s'achève. D
Proposition 7.1.10 Soit f E .C 1 (JR). Si xf(x) E .C 1 (1R), alors Î est dérivable
et l'on a
df(w) = .F{-27rixf(x)}.
dw
Si en outre, xnf(x) E .C 1 {1~) alors
242
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Démonstration : On a
df(w) = _i_
dw
dw
1
00
f(x)e-27riwxdx.
-OO
Comme
1- 211'ixf(x)e- 27riwxl = 27rlxf(x)I,
et que par hypothèse xf(x) E .C 1 (R), alors d'après le théorème de dérivation
sous le signe intégrale,
df(w) =
dw
1
00
-211'ixf(x)e- 27riwxdx = F{-211'ixf(x)}.
-OO
Plus généralement, si xn f(x) E .C1 (R), on obtient en répétant le processus
ci-dessus la formule
et la démonstration s'achève. D
Proposition 7.1.11 Sous les hypothèses de la proposition précédente, on a
ce qui signifie que plus f décroU rapidement à l'infini, plus n est grand (c'està-dire plus est dérivable et ses dérivées sont bornées).
f
Démonstration : Il suffit d'utiliser la proposition précédente. D
Proposition 7.1.12 Soit f, g E .C 1 (R). Alors f * g E .C 1 (R) et
F{(J * g)(x)} = F{f(x)}F{g(x)}.
Autrement dit, la transformée de Fourier d'un produit de convolution est égale
au produit ordinaire des transformées de Fourier de chaque facteur.
Démonstration : On a
f * g(x) =
1-:
f(t)g(x - t)dt,
x ER
7.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER DANS S
D'où
F{(f * g)(x)}
1_: *
1_: 1_:
1_: 1_:
243
(f g)(x)e-21fiwxdx,
=
f(t)g(x - t)e- 21fiwxdtdx,
f(t)e-21fiwtg(x - t)e-21fiw(x-t)dtdx.
Posons u = t et v = x - t. D'après le théorème du changement de variables
dans les intégrales multiples, on a
F{(f * g)(x)} =
avec
J = <let
1_: 1_:
f(u)e-21fiwug(v)e-21fiwv1Jldudv,
( ~~at ~~at) = <let ( 11 01 ) = 1.
Dès lors,
F{(f * g)(x)} =
1_:
f(u)e- 21fiwudu
1_:
g(v)e- 21fiwvdv = F{f(x)}F{g(x)},
ce qui achève la démonstration. D
7.2
Transformée de Fourier dans S
Dans la section 7.3, nous serons amenés à définir la transformée de Fourier
(notée FT) d'une distribution T en posant (FT, cp) = (T, Fcp) où
Fcp = éjJ(w) =
1_:
cp(x)e- 21fiwxdx,
w E lR
désigne la transformée de Fourier de cp. Or cp E V n'implique pas éjJ E V. En
effet, si le support de cp est borné, on peut prolonger éjJ dans C en une fonction
entière et donc pour cp =/:- 0, le support de rp n'est pas borné. Pour résoudre
ce problème, Schwartz lui-même a eu l'idée de substituer à V un espace noté
S qui porte son nom. Nous verrons que l'un des avantages de l'utilisation de
l'espace S est que si cp ES alors rp ES. Rappelons la définition de cet espace
que nous avons déjà évoqué dans la section 1.5 (chapitre 1).
Définition 7.2.1 L'espace de Schwartz des fonctions indéfiniment dérivables
à décroissance rapide est défini par
S = {cp E C00 : Vm,n E N,sup lxmcp(n)(x)I < oo}.
xEIR
244
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Autrement dit,
S = { c,o E C00 : Vm, n EN, 111im lxmc,o(n)(x)I = O},
X -+OO
ou ce qui revient au méme, S est l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables telle que c,o et toutes ses dérivées décroissent plus rapidement que toute
puissance de fxr quand lxl ~ oo.
Notons que S est un espace vectoriel sur C (si <pi, C,02 E Set a, f3 E C, alors
a.c,o1 + f3c,o2 ES). Il est clair que : V c Sc&. L'espace S est une algèbre pour
la convolution : si f, g E S alors f g E S.
*
Exemple 7.2.1 La fonction e-x 2 est indéfiniment dérivable et
lim xme-x 2 = 0,
JxJ--+oo
elle est à décroissance rapide et donc e-x 2 ES.
Exemple 7.2.2 La fonction e-lxl est à décroissance rapide mais n'est pas de
classe C00 , donc e-lxl fj. S.
;x est de classe C mais n'est pas à décrois-
Exemple 7.2.3 La fonction 1
sance rapide, donc 1;x2 fj. S.
00
2
Définition 7.2.2 On dit qu'une suite de fonctions (C,Ok) de S converge dans
S vers c,o si pour tout m,n EN, la suite (xmc,or>(x)) converge uniformément
vers xmc,o(n)(x) sur JR.
Remarque 7.2.1 Toute fonction c,o ES est évidemment bornée et sommable.
Il s'agit de conséquences immédiates des définitions. En outre, si c,o E S alors
xmc,o(n) et (xmc,o)(n) appartiennent à S, pour tout m, n EN.
Notons que si c,o E S alors c,o E C1 , donc rp existe et on a
îp(w) =
1:
c,o(x)e- 21Tiwxdx,
w E JR
Proposition 7.2.3 L'espace S est inclus dans C 1 (JR) n C 2 [JR).
Démonstration : Soit c,o E S et montrons que pour tout m, n E N, alors
xmc,o(n) E C2 (JR). En effet, posons
max lxmc,o(n)(x)I
,,P(x) = { xE[-1,1]
si lxl ~ 1
~ si lxl > 1
7.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER DANS S
245
où C = suplR lxm+ 2 c,o(n)(x)I < oo. Notons que 'l/J E C 1 et lxmcp(n)(x)I S 7/J(x).
La fonction xmcp(n) est continue, donc elle est mesurable et appartient à C1 .
De même, on a 'ljJ 2 E C1 , lxmcp(n)(x)l 2 S 7/J 2 (x) et dès lors xmcp(n) E C2 , ce qui
achève la démonstration. D
Proposition 7.2.4 Soit c,o ES. Alors (jJ E C00 et on a
-
c,o(m)(w) =
(27riw)m(jJ(w).
Démonstration : Pour n = 0, la première relation est vraie. Supposons qu'elle
soit vraie au rang n et montrons qu'elle est vraie au rang n + 1. D'après la
proposition 7.1.10, on a
rp(n>(w)
=
=
=
F{(-27rixrc,o(x)},
1_:
1_:
(-27rixrc,o(x)e- 27riwxdx,
u(x,w)dx,
où u(x,w) désigne la fonction sous le signe intégral. Notons que u E C00 (JR 2 )
et pour tout w E IR, on a
En utilisant la formule de Leibniz, on obtient que rp(n) est dérivable et
Concernant la seconde relation, il est clair qu'elle est vraie pour m = O. Supposons qu'elle soit vraie au rang met montrons qu'elle est vraie au rang m+ 1.
En utilisant la proposition 7.1.10 (ou une intégration par parties), on obtient
immédiatement
1_:
F>(w)
=
La démonstration s'achève. D
C,O(m+l)(x)e-27riwxdx,
F{c,o(m+l)(x)},
(27riW )(m+l) ({J( W).
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
246
Proposition 7.2.5 Si cp ES, alors rp ES. Autrement dit, l'espace S est stable
par transformée de Fourier.
Démonstration : En effet, d'après la proposition précédente, rp E C00 et
rp(n)(w) = (-211'i)n~(w),
où 'lfJ(x) = xncp(x). Dès lors, pour tout m, n EN,
---
.....
(211'iw)mrp(n)(w) = (211'iw)m(-211'ir'l/J(w)
= (-211'i)n1fJ(m)(w).
En utilisant la proposition 7.1.2, on obtient
---
sup lwmrp(n)(w)I = (211'r-m sup 11/J(m)(w)I < oo,
wER
wER
ce qui achève la démonstration. D
Proposition 7.2.6 Si une suite (cpk) converge dans S vers une fonction cp,
alors 'Pk converge dans S vers rp.
Démonstration: Il suffit de montrer que si 'Pk(x) -----+ 0 dans S, alors ipk(w) -----+
0 dans S. Pour tout m, n EN, la suite (xncpkm) (x)) converge uniformément vers
O. En raisonnant comme dans la proposition précédente, on montre que wmrp(n)
converge uniformément vers O. En effet, on a
(211'iw)mipk(n)(w) = F{((-211'i)cpk(x))(m)},
d'où
lwmipi(m)(w)I S (211')(n-m)ll(xncpk(x))(m)lli·
Le second membre de l'inégalité ci-dessus est une combinaison linéaire de
termes de la forme J~00 lx°'cpi;'3)(x)ldx, 0 S a S n, 0 S {3 S m. On pose
comme dans la proposition 7.2.3,
max lx°'cp(.B)(x)I si lxl S 1
'lfJ(x) = { xE[-1,1)
où C
~ si lxl > 1
=supR lx°'+2cpC )(x)I < oo. La fonction 'l/J .C et on a lx°'+ cpC )(x)I S
8
E
1
2
8
'lfJ(x). Notons que pour c > 0 arbitraire et k assez grand, J~ 1 lx°'cpi;'3)(x)ldx S 2e
car lx°'cpi;'3)(x)I Sc. De même, on a
11
-OO
lx°'+ 2 cpi;'3)(x)ldx + f 00 lx°'+ 2 cpi;8)(x)ldx s 2 f 00 €2dx = 2c.
11
La démonstration s'achève. D
On déduit de ce qui précède, le résultat suivant :
11
X
7.2. TRANSFORMÉE DE FOURIER DANS S
247
Proposition 7.2. 7 La transformée de Fourier est une application linéaire continue de l'espace S dans lui-méme.
Proposition 7.2.8 {Formule de Plancherel). Si cp, 'l/J ES, alors
l:
l:
cp(x)'l/J(x)dx =
l:
l:
{j5(w);f(w)dw.
Démonstration : Montrons d'abord que si f, g ES, alors
f(x)g(x)dx =
Î(w)g(w)dw.
La fonction f g E C1 et d'après le théorème de Fubini, on a
l:
l: (l:
l: (l:
f(x)g(x)dx =
=
l:
f(x)
g(x)e- 27riwxdw) dx,
g(w)
J(x)e- 27riwxdx) dw,
g(w)Î(w)dw.
On pose dans cette formule, cp = f et 'l/J = g. D'après la formule d'inversion de
Fourier, on a
g(w)
=
=
l:
l:
l:
g(x)e27riwxdx,
"ijj(x)e27riwxdx,
'l/J(x)e-27riwxdx,
= ~(w),
et d'après la formule ci-dessus, on obtient finalement
l:
cp(x)"ijj(x)dx =
l:
{j5(x)~(w)dw,
ce qui achève la démonstration. D
Remarque 7.2.2 Pour une preuve de la formule de Plancherel où cette fois
on suppose que cp E C1 et 'l/J ES, voir exercice 7.6.25.
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
248
7 .3
Transformée de Fourier des distributions
Définition 7.3.1 On appelle distribution tempérée, toute fonctionnelle linéaire
continue définie sur S et à valeurs dans C.
Les distributions tempérées forment un espace vectoriel que l'on note S'
(espace dual de S). On vérifie que : S' C 1J'. Comme dans la proposition
1.2.2 (chapitre 1), on a une caractérisation des distributions tempérées : une
fonctionnelle linéaire T sur S est une distribution tempérée si et seulement s'il
existe C > 0 et n E N tels que, pour tout c.p E S, on ait
Exemple 7.3.1 Si f est localement sommable, alors la distribution qui lui est
associée n'est en général pas tempérée (voir exercice 1.6.15}.
Définition 7.3.2 Une fonction f est dite à croissance lente si pour lxl grand,
lf(x)I ~ Alxlk, k EN où A est une constante.
Par exemple, une constante, un polynôme sont à croissance lente. En revanche,
la fonction ex n'est pas à croissance lente.
Exemple 7.3.2 Toute fonction localement sommable et à croissance lente,
détermine une distribution tempérée (voir exercice 1.6.16}.
Exemple 7.3.3 Si f est localement sommable et si elle est de carré sommable,
alors elle détermine une distribution tempérée (voir exercice 1. 6.11).
Exemple 7.3.4 Si f est sommable, alors elle détermine une distribution tempérée (voir exercice 1.6.18).
Exemple 7.3.5
o et vp ~ sont des distributions tempérées.
Exemple 7.3.6 Toute distribution à support borné est tempérée.
Exemple 7 .3. 7 Si une distribution est tempérée, alors ses dérivées le sont
aussi (voir exercice 1. 6.19).
Exemple 7.3.8 Si une distribution T est tempérée et si a est une fonction de
classe C00 à croissance lente ainsi que ses dérivées (en particulier un polynôme},
alors aT est tempérée (voir exercice 1.6.20}.
7.3. TRANSFORMÉE DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS
249
Soit f E C1 ou C2 . On a vu que la distribution associée à cette fonction est
tempérée. Dès lors, pour tout <p E S, on a
(Ff, cp) =
l:
l: (l:
l:l:
J(w)cp(w)dw,
f(x)e- 21riwxdx) cp(w)d!JJ,
f(x)cp(w)e-21riwxdxd!JJ.
=
Notons que lf(x)cp(w)e- 21riwx1 = lf(x)llcp(w)I. Puisque fcp est une fonction
sommable, alors l'intégrale ci-dessus converge et la permutation des deux intégrales ci-dessus est légitime. Donc
(Ff, <p) =
=
l: (l:
l:
f(x)
cp(x)e- 21riwxd!JJ) dx,
f(x)ij5(x)dx,
(f,Fcp).
En général, pour une distribution tempérée T, on a
Définition 7.3.3 La transformée de Fourier d'une distribution tempérée Test
la distribution FT (que l'on note aussi T) définie par
(FT, cp) = (T, Fcp),
<p ES
Proposition 7 .3.4 Si T E S', alors FT E S'.
Démonstration : Notons que le second membre de la relation
(FT,cp) = (T,Fcp),
<p ES
est bien définie car <p E S implique F <p E S. La fonctionnelle FT est évidemment linéaire sur S. Elle est continue car si une suite (cpk) converge vers
<p dans S, alors Fcpk converge vers Fcp dans S (voir proposition 7.2.6). Dès
lors, puisque Test continue, on en déduit que (T, Fcpk) converge vers (T, Fcp);
autrement dit vers (FT, cp). Donc FT est bien une distribution tempérée et la
démonstration s'achève. 0
Remarque 7.3.1 De même, on définit la transformée de Fourier (conjugué}
F de F en posant
(FT,cp) = (T,Fcp),
250
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
pour tout cp ES et TES' avec :Fcp = J~00 cp(x)e 2?riwxdx. Par ailleurs, si cp ES
et TES', alors
(:FT, cp) = (T, :Fcp) = (T, :Fïp) = (T, :Fïp) = (:FT, ëp) = (:FT, cp),
d'où FT = :FT.
En s'inspirant des propositions 7.1.8 et 7.1.10, on obtient
Proposition 7.3.5 Si T est une distribution tempérée, alors sa dérivée T' est
aussi tempérée et on a
:FT' = 27riw:FT,
c'est-à-dire
T' = 27riwT.
Plus généralement, pour la dérivée d'ordre n, on a
c'est-à-dire ~ = (27riw)nf.
:FT(n) = (27riwr:FT,
Démonstration : En effet, par hypothèse cp ES, donc cp' ES et on a
(:FT', cp)
= (T', :Fcp),
= (T, -(:Fcp)'),
= (T, :F(27rixcp)),
= (:FT, 27rixcp),
= (27rix:FT, cp).
D'où :FT' = 27riw:FT; produit d'une distribution par une fonction de classe
C00 • En répétant le processus ci-dessus, on obtient :FT(n) = (27riw)n:FT, ce qui
achève la démonstration. D
Proposition 7.3.6 Si T est une distribution tempérée, alors
(:FT)' = :F(-27rixT),
et plus généralement, on a
(:FT)(n) = :F ((-27rix)(n)r).
Démonstration : En effet, on raisonne comme dans la proposition précédente.
On a
((:FT)', cp)
=
-
(:FT, -cp'),
(T, -:Fcp'),
(T, -27rix:Fcp),
(-27rixT, :Fcp),
(:F(-27rixT), cp),
7.3. TRANSFORMÉE DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS
251
d'où le résultat. Même raisonnement pour (:FT)(n) = :F((-27rix)<n>T) et la
démonstration s'achève. D
De même, on montre comme précédemment que
:F(T(x - c)) =
e- 211'iwcf(w),
c ER
:F(T(cx)) =
J~J T (~),
c ER*
(7.3.1)
Proposition 7.3. 7 Si T est une distribution à support borné, sa transformée
de Fourier :FT est une fonction g telle que :
g(w) = (Tx, e-211'iwx).
La fonction g est indéfiniment dérivable qui se prolonge en une fonction holomorphe entière dans le plan complexe.
Démonstration : En effet, nous avons déjà montré que T étant à support borné
alors, (Tx, e- 211'iwx) existe et c'est une fonction indéfiniment dérivable qui se
prolonge en une fonction holomorphe entière dans le plan complexe (voir lemme
5.1.3 et exercice 5.1.6 du chapitre convolution). On a
(:FT, cp)
(T, :Fcp),
1-:
=
\rx,
=
(Tx, (cp(w), e-211'iwx) ),
(Tx.cp(w), e-211'iwx),
(cp(w), (Tx, e-211'iwx) ),
1-:
1-:
cp(w)e-211'iwxdw),
cp(w)(Tx, e-211'iwx)dw,
cp(w)g(w)dw,
(g, cp)'
ce qui achève la démonstration. D
Exemple 7.3.9 La transformée de Fourier de la distribution ô de Dirac est
:Fô = 1. En effet le support de ô étant {O} (exemple 1.4.3 du chapitre 1), on
peut donc appliquer la proposition précédente. On a immédiatement
:Fô = g(w) = (ôx, e-271'iwx) = 1.
Exemple 7 .3.10 La transformée de Fourier de la dérivée nième de la distribution ô de Dirac est :Fô(n) = (27riwr (voir exercice 7.6.21).
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
252
Proposition 7.3.8 {Formule sommatoire de Poisson) . Si cp ES, alors
OO
OO
k=-oo
k=-oo
L: cp(k) = L: ij)(k).
Démonstration: Notons d'abord que ces séries convergent absolument. En effet,
posons C = max{Ci,C2,Ca} où
C1 = sup lx 2cp(x)I,
C2 = sup lx2cp'(x)I,
xEIR
xEIR
Ca= sup lw 2i{5(w)I.
wEIR
On a C < +oo et la convergence des séries ci-dessus découle des inégalités
(proposition 7.1.9),
c
li{5(k)I :::; ~'
lcp(k)I :::; k2,
k E Z*
puisque ~ est le terme général d'une série absolument convergente. Considérons la distribution (peigne de Dirac),
OO
OO
k=-oo
k=-oo
L ôk(x) = L ô(x - k), k E Z
Celle-ci est tempérée car l'application
est linéaire et continue de S sur :IR.. Nous allons voir que I:~-oo ôk(x) est
invariant par la transformée de Fourier F. Cette dernière étant une opération
continue, alors
OO
F ( k~oo ôk(x)
)
OO
OO
= k~oo Fôk(x) = k~oo e-21fiwk = T(w),
en vertu de la proposition 7.3.7. Cette distribution est tempérée et elle est
périodique de période 1. Pour déterminer T(w), on va utiliser un raisonnement
similaire à celui qui a été fait dans la proposition 6.5.7 (chapitre précédent),
tout en tenant compte des constantes intervenant dans le problème. On a
e21fiwT(w) = e27fiw
L e.:.._21fiwk = L e-27fiw(k-1) = T(w),
OO
OO
k=-oo
k=-oo
7.3. TRANSFORMÉE DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS
253
d'où g(w)T = 0 où g(w) = e2'11"iw - 1. La fonction g est indéfiniment différentiable et en outre g(w) = 0 si et seulement si w E N avec g'(w) i= O. Dês lors
(voir chapitre 3),
OO
L ckôk(w).
T(w) =
k=-oo
Les coefficients Ck sont tous égaux à une même constante c. En effet, la distribution Tétant 1-périodique, cela signifie que r1T = T où la distribution r1T
est la translatée de T par la translation 1. Donc
OO
L ôk(w).
T(w) = c
k=-oo
On vérifie aisément que c = 1. En effet, si II{w) est la fonction porte définie
dans l'exercice 1.7.1, alors
(T(w), II(w)) = (
c,f;,= O•(w),
1 L
e-2'11"iwkdw =
Or
(T(w), II(w)) =
1/2
00
-1/2 k=-oo
car
JI(w)) = cII(O) = c.
1
1/2 e-2'11"iwkdw
-1/2
L 1 e-2'11"iwkdw = 1,
00
1/2
k=-oo
-1/2
= { 1 s~ k = 0
0 Sl k i= 0
~
donc c = 1. Une autre méthode consiste à noter que puisque f = T, alors
c2 = 1, c'est-à-dire c = ±1. Le seul cas valable est c = 1 car les fonctions de S
sont positives ainsi que leurs transformées. Dês lors,
OO
T(w) =
L ôk(w).
k=-oo
Autrement dit,
F
(f;,=
O•(x)) =
.f;,=
O•(w).
Comme (:FT, c.p) = (T, :Fc.p), c.p ES, ce résultat est équivalent à
OO
OO
k=-oo
k=-oo
L cp(k) = L ép(k), <p Es
et la démonstration est complète. D
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
254
Remarque 7.3.2 Considérons la distribution tempérée L:~-oo Ôak(x), a E
R'.f-. On obtient évidemment
:F
(.t= o..(x)) .t=•..
=
a ER*
(w),
+
et pour toute fonction cp ES, la formule sommatoire de Poisson s'écrit
al I: cp (k)
a = I: ?(ka).
OO
OO
k=-oo
k=-oo
Remarque 7.3.3 On peut trouver d'autres conditions suffisantes pour que la
formule sommatoire de Poisson soit valable (voir par exemple exercice 7. 7.8).
Pour une autre preuve de la proposition ci-dessus, voir exercice 7.6.23.
l:
Proposition 7.3.9 (Formule d'inversion de Fourier). Si cp ES, alors
cp(x) =
ép(w)e27riwxdw.
Démonstration : Soit 'lfJ(x) = e27ritxcp(x), t E R. La formule sommatoire de
Poisson (proposition 7.3.8), s'écrit
OO
OO
OO
k=-oo
k=-00
k=-oo
~
I: 'lfJ(k) = I: ;f(k) = I: ;f(k),
et d'après (7.3.1),
OO
OO
OO
~-OO
~-OO
~-OO
L e21ritkcp(k) = L ép(k - t) = L $(k)e-21ritk.
Ces séries convergent absolument et uniformément sur [O, 1] (en effet, il suffit
de noter que le 21ritkcp(k)I :S lcp(k)I et L: lcp(k)I converge, voir proposition 7.3.8).
L'intégra~ terme à terme en t sur [O, 1] est donc légitime. On obtient alors
cp(O) = cp(O). Considérons maintenant la fonction ((x) = cp(x + t), t E R.
Nous avons déjà vu que : ((w) = ép(w)e 27riwt, ((x) = ép(x - t), et d'après
ce qui précède, on a cp(t) = ((0) = $(0) = $(-t). Autrement dit, cp(x) =
J~00 ép(w)e 27riwxdw, et la démonstration s'achève. D
Remarque 7.3.4 Concernant la formule d'inversion de Fourier, on montre
(voir exercice 7.6.24) que si f E .ci telle que : Î E .ci, alors
f(x) =
presque partout en x E R
l:
Î(w)e27riwxdw,
7.3. TRANSFORMÉE DE FOURIER DES DISTRIBUTIONS
255
Proposition 7.3.10 Si S est muni du produit scalaire canonique
1:
(cpl'l/J) =
cp(x)"if(x)dx,
alors la transformation de Fourier
:F : s - - t s'
<p 1-------+ rp = :F<p'
est un isomorphisme et on a l'égalité de Plancherel
1:
lcp(x)l 2 dx =
1:
l({J(w)l 2 dw.
Démonstration : L'espace S étant inclus dans C1 , alors d'après la formule de
Plancherel (proposition 7.2.7), le produit scalaire ci-dessus est conservé. Soit
<p ES et posons 'l/J = ({J. La formule d'inversion de Fourier (proposition 7.3.9)
donne <p = :P. Dès lors, la transformation de Fourier est surjective et comme
elle est évidemment linéaire, le résultat en découle. D
Proposition 7.3.11 Pour tout <p ES, on a
:F(:Fcp) = <p,
:F(:Fcp) =<p.
Autrement dit, dans l'espace S les transformées :F et :F sont inverses l'une de
l'autre.
Démonstration : Posons :F<p = U et :FU = V. On a U E S, V E S et
V(w) =
=
=
=
=
=
1:
1: (l:
1:1:
1:1:
(lx, 1:
U(x)e 27riwxdx,
cp(t)e-27rixtdt) e27riwxdx,
cp(t)e-27rix(t-w)dxdt,
cp(>. + w)e- 27rix>.dxd>.,
À= t -w
cp(À + w)e- 27rix>.dÀ),
(1,:FcI>w),
où :FcI>w = J~00 cI>w(À)e- 27rix>.dÀ et cI>w(À)
=cp(À + w). Dès lors,
V(w) = (:Fl, cI>w) = (8, cI>w) = cI>w(O) = cp(w).
D'où V= <p, ce qui achève la démonstration. D
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
256
Remarque 7.3.5 Les formules de réciprocité de Fourier (voir proposition 7.3.9),
peuvent être notées sous la forme : :F(:F- 1cp) = cp, :F- 1(:Fcp) = cp.
Proposition 7.3.12 Pour tout TES', on a
:F(:FT) = T,
:F(:FT) = T.
Autrement dit, dans l'espace S les transformées :F et :F sont inverses l'une de
l'autre.
Démonstration : Soient cp E S et T E S'. On a :FT E S' et :F E S'. Dès lors,
(:F(:FT), cp} = (:FT, :Fcp} = (T, :F(:Fcp)} = (T, cp},
et
(:F(:FT), cp} = (:FT, :Fcp} = (T, :F(:Fcp)) = (T, cp}.
La démonstration s'achève. D
Remarque 7.3.6 Ici aussi, on peut remplacer dans les formules de réciprocité
de Fourier ci-dessus, :F par la notation :F- 1 .
Exemple 7.3.11 La transformée de Fourier de la distribution tempérée associée à la fonction constante 1 est égale à la distribution ô de Dirac. En effet,
on a
(1, :Fcp},
(:Fl, cp
1_:
1_:
=
=
(:Fcp)(x)dMJ,
(:Fcp)(x)e21riw0dw,
:F-1(:Fcp)(O),
cp(O)
(ô, cp}'
d'où :Fl = ô. Pour une autre preuve de ce résultat, voir exercice 7.6.26.
Proposition 7.3.13 Soient S et T deux distributions à supports bornés. Alors,
le support du produit de convolution S * T est borné et on a
:F(S * T) = (:FS).(:FT)
7.4. TRANSFORMÉE DE FOURIER DANS C2
257
Démonstration : Rappelons {chapitre 5) que le produit de convolution de deux
distributions Set T existe si l'une des supports supp Sou supp Test borné.
Dans ce cas supp (S*T) est aussi borné car il est inclus dans l'adhérence de la
somme du support de Set du support de T (voir proposition 5.3.5). Dès lors,
en vertu de la proposition 7.3.7, :F(S * T) est une fonction définie par
:F(S*T) =
=
=
=
(S*T,e- 27riwx}, (proposition 7.3.7)
(Sx ® Ty, e-27riw(x+y)},
(Sx, e- 27riwx}(Ty, e- 27riwx}, (proposition 5.1.2)
(:FS).(:FT), (proposition 7.3.7)
et la démonstration s'achève. D
Remarque 7.3. 7 Le résultat ci-dessus est valable dans des hypothèses plus
générales. Par ailleurs, le produit (:FS).(:FT) ne peut étre défini en toute généralité. Si S est une distribution à support borné et T une distribution tempérée
quelconque, dans ce cas le produit (:FS).(:FT) doit étre interprété comme le produit d'une distribution par une fonction de classe C00 • Notons aussi que si S et
T sont des distributions tempérées et ont des supports bornés inférieurement,
alors (chapitre 5) le produit S * T est bien défini mais le produit (:FS).(:FT)
n'est en général pas défini. Pour s'en convaincre, il suffit de considérer le cas
de la distribution de Heaviside.
Réciproquement, en posant :FS = U et :FT = V, on sait d'après les formules de réciprocités de Fourier que
:FU= :F(:FS) = S,
:FV = :F(:FT) = T,
et on aura
:F(ST) = :FS * :FT.
7.4
Transformée de Fourier dans C2
Considérons l'ensemble C2 (IR) (que l'on note simplement C2 ) des fonctions
f(x) à valeurs complexes, de carré intégrable au sens de Lebesgue. Rappelons
que l'on définit sur C,2 un produit scalaire
(!Jg) =
1:
f(x)g(x)dx,
une norme notée
ll/112 = v'fM =
(l:
1
Jf(x)J 2 dx <
oo)
2
,
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
258
ainsi qu'une distance
Il/ - Yll2 =
(l:
1
lf(x) 9 (x)l 2 dx <
oo)
2
·
L'espace C2 est complet pour la topologie métrique définie par la distance
ci-dessus et c'est un espace de Hilbert.
On aimerait définir la transformation de Fourier d'une fonction f E C2 .
Notons d'abord qu'il n'existe pas de relation d'inclusion entre C} et C2 • Pour
- 2
s'en convaincre, il suffit de considérer les fonctions suivantes : f(x) = e~ ,
g(x) = v'l~x 2 et h(x) = e-x 2 • On vérifie aisément que f E C1 mais f fj. C2 ,
g E C2 mais g fj. C1 , h E C1 n C2. Dès lors, puisque C2 </:. C1 , on ne peut
pas utiliser en général les formules des transformées de Fourier relatives aux
espaces C1 et S, introduites dans les sections précédentes.
Nous verrons que lorsque À-----+
l'intégrale f~>. f(x)e- 21riwxdx converge
en moyenne quadratique (c'est-à-dire pour la norme 11·112 ou si on veut au
sens de la topologie de C2 ) vers une fonction Î dite transformée de FourierPlancherel ou simplement transformée de Fourier de f. La fonction Î appartient
à C2 et la formule d'inversion de Fourier est satisfaite. L'idée est la suivante :
on montre que la transformée de Fourier envoie l'espace de Schwartz S dans
C2 et que c'est une isométrie pour la norme de C2 • En tenant compte de la
densité de l'espace S dans C2 , on peut utiliser le prolongement par continuité
de la transformée de Fourier vue comme application linéaire de S dans S. La
transformée de Fourier (Plancherel) d'une fonction de C2 est définie comme
une limite de transformées de Fourier de fonctions de C1 n C2 .
oo,
Proposition 7.4.1 Les espaces 'D et S sont denses dans C2 .
Démonstration : Montrons d'abord que Sc C2 . En effet, si 'Pk -----+ 0 dans S,
alors 'Pk(x) -----+ 0 uniformément dans JR. Pour lxl ~ C, on a l'Pk(x)J 2 ~ ~ où
C et K sont des constantes. Dès lors,
l:
l'Pk(x)l 2 dx =
I:
l'Pk(x)J 2 dx +
fc
00
l'Pk(x)i2dx +
I:
l'Pk(x)J 2 dx,
et cette expression tend vers 0, en vertu du théorème de Lebesgue. Montrons
maintenant que 'D est dense dans C2 . L'adhérence adh 'D dans C2 est un sousespace vectoriel fermé de C2 . L'espace de Hilbert C2 étant complet, on déduit 1
que: C2 = adh 'DE9 (adh 'D).l. Soit cp E adh v.i, alors pour tout 'l/; E 'D, on a
0 = (cpl'l/J) =
l:
cp(x)°ifi(x)dx.
1 En général, si H est un espace de Hilbert et si U est un sous-espace vectoriel fermé de
H, alors H = U œUJ..
7.4. TRANSFORMÉE DE FOURIER DANS C, 2
259
D'après l'exercice 7.7.11, on a cp(x) = 0 presque partout sur R Autrement dit,
cp = 0 dans C,2 et dès lors (adh V)-1 = {O} et C, 2 = adh V. Montrons enfin que
S est dense dans C, 2 • Notons que V c S, puisque les fonctions sont à support
compact. Dès lors, V c Sc C,2 et le résultat résulte immédiatement de ce qui
précède, ce qui achève la démonstration. D
Soit f E C,2 . Comme S est dense dans C,2 , il existe une suite Un) de S telle
que: fn ~ f dans C, 2 . La proposition 7.3.10, donne
=
=
=
-
llJn - fn+mll2,
llfn - fn+mll2,
llfn - fll2 + llJ - fn+mll2,
et pour n ~ oo, cette expression tend uniformément (en m) vers O. Dès lors,
(În) est une suite de Cauchy dans l'espace C,2 . Ce dernier étant complet, on en
déduit qu'il existe une limite notée :Ff E C, 2 telle que: llÎn-:F/112 ~O. Par
ailleurs, on vérifie aisément que :Ff ne dépend pas de la suite Un). En effet, si
(gn) est une suite de S telle que : llYn - fll2 ~ 0, alors
~
-
llûn - fnll2 = llYn - fnll2 = llYn - fnll2 = llYn - fll2 + llJ - fnll2,
et cette expression tend vers 0 lorsque n ~ O. Par conséquent, lorsque n ~ 0,
on a llûn -:Ffll2 ~O.
En particulier, si f E S, alors :Ff =
Il est à noter que pour une fonction quelconque f E C2 , l'intégrale J~00 f(x)e- 27riwxdx n'a pas de sens; elle a
seulement un sens si f E C,1 n C, 2 .
D'après la proposition 7.3.10, la transformée de Fourier dans l'espace S est
linéaire et conserve le produit scalaire. En passant à la limite, on montre qu'il
en est de même dans C,2 •
~
On a vu ci-d~ssus que În ~ :Ff dans C2 . Dès lors, În ~ :F(:Ff) dans
f
C2 . Si Yn(x) = În(-x) et g(x) = :F(:Ff)(-x), alors 9n ~ g dans C2 . En
tenant compte~ la formule d'inversion de Fourier, on déduit que pour tout
x E JR, fn(x) = În(-x) = Yn(x), et donc f(x) = g(x) = :F(:Ff)(-x), presque
partout sur R
En posant g = :F(:F(:Ff)) dans cette expression, on obtient f = :Fg et la
transformée de Fourier est surjective.
Soit g E S. En tenant compte de la formule de Plancherel et de ce qui
précède, on obtient
260
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
f-
En prenant <p
F f et g = J; où 'ljJ E S est quelconque, on obtient
f ~00 <p""ijj = O. étant continue et F f E C2 , alors la fonction <p restreinte
à l'intervalle ] - k, k[ appartient à C, 1 (] - k, k[) pour tout k E N*. D'après
l'exercice 7.7.11, f(x) = 0 presque partout sur R
En rassemblant tous ces résultas, on obtient le théorème suivant :
f
Théorème 7.4.2 La transformation de Fourier C 2 ~ C 2 , f 1--------t Ff, est
un isomorphisme et en particulier, on a l'égalité de Plancherel llfll2 = llÎll2.
De plus, l'inverse de cette transformation est donné par ;::- 1 f(x) = Ff(-x),
presque partout sur R Si f E C, 1 n C2 , alors Ff = f presque partout sur R
Remarque 7.4.1 On peut reformuler ce qui précède en disant que C, 1 n C, 2
est dense dans C 2 et que si f E C, 1 n C, 2 , alors f E C, 2 . La transformation
de Fourier C 1 n C 2 ~ C, 2 , f 1--------t f, se prolonge de manière unique en une
application linéaire continue F : C, 2 ~ C, 2 , f 1--------t F f. En outre, F est une
isométrie c'est-à-dire
1-:
lf(x)l 2 dx =
1-:
IF{f(x)}ldw,
'if E C 2
et elle est bijective. Autrement dit, F est unitaire; elle est inversible d'inverse
F que l'on note aussi ;::- 1 avec FFf = f, 'if E C 2 , elle conserve le produit
scalaire (FflFg) = (fig), Vf, g E C2 et en particulier llÎll2 = llfll2. Pour toute
fonction f E C 1 n C, 2 , on a
F{f(x)} = lim 1>. f(x)e- 21l"iwxdx =
À->00
-À
1
00
f(x)e- 21l"iwxdx = f(w).
-OO
On utilise dans d'autres ouvrages la notation suivante :
f(w) = l.i.m.1>. f(x)e- 21l"iwxdx,
À->00
-À
avec des points entre les lettres l, i, et m. Il faut bien noter que la limite cidessus n'est pas une limite au sens ponctuelle du terme mais une limite en
moyenne; c'est une limite au sens de la norme de l'espace de Hilbert C, 2 . On
trouvera aussi la notation suivante :
f(w) = lim C 2 1>. f(x)e- 21l"iwxdx.
À->oo
-À
Proposition 7.4.3 Si f, g E C2 , alors Jg = f * g.
7.5. TRANSFORMÉE DE FOURIER A PLUSIEURS VARIABLES
261
Démonstration : Notons d'abord que le produit de convolution
f * g(x) =
l:
f(t)g(x - t)dt,
x ER
est bien défini car si Ux(t) = g(x - t), alors Ux E C2 et f * g(x) = (flux)·
Puisque f~00 fg =(fig), on en déduit que fg E C1 . Par ailleurs, la fonction
h(t) = g(x)e 2?ritx et
fg(x) =
l:
l:
l:
l:
l:
f(t)g(t)e- 2?ritxdt =
J(t)g(t)e 2?ritxdt =
l:
Î(w)h(w)dw,
en vertu de la conservation du produit scalaire. Dês lors, en tenant compte de
l'exercice 7.6.28, on obtient
fg(x)
=
Î(w)~(w - x)dw,
Î(w)~(x -w)dw,
=
J(w)g(x -w)dw,
1*Y(x),
ce qui achève la démonstration. D
7.5
Transformée de Fourier à plusieurs variables
En général, les définitions et propriétés étudiées précédemment pour la
transformée de Fourier d'une fonction à une variable se généralisent immédiatement à la dimension arbitraire n. Nous allons ici nous contenter de citer
quelques-unes. Rappelons que pour les propriétés de dérivations, on utilise les
notations suivantes : si a = (a1, ... ,an) E Nn est un multi-indice, on note 8°'
(ou D°') l'opérateur
et pour x = (xi, ... , Xn) E Rn, x°' = xf 1 ••• x~n.
Soient x = (xi, ... ,xn) E Rn, w = (wi, ... ,wn) E Rn et (wlx) = E~=lWkXk,
le produit scalaire dans Rn. Soit f E C1 (Rn). On appelle transformée de Fourier
de f, la fonction à valeurs complexes définie par
Î(w) =
r f(x)e-2?ri(wlx)dx,
}JR_n
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
262
c'est-à-dire
,....
f(wi,
... , Wn) = 1 00 ... 100 f(x1, ... , Xn)e -21Ti(w1x1 +·+WnXn) dx1 ... dxn.
-OO
-OO
Si la transformée de Fourier de f appartient elle-même à .C 1 (Rn), on a alors la
formule d'inversion
f(x) = { Î(w)e21Ti(wlx)dw.
J~n
Dans le cas où la fonction f(x) se factorise, f(x) = fi(x1)f2(x2) ... fn(xn)
où Ji, ... , fn E .C 1 (R), alors sa transformée de Fourier se factorise aussi
Î(w) = fi(w1)f2(w2) ... fn(wn)·
Il suffit d'utiliser le théorème de Fubini.
Lorsque la fonction f(x) de plusieurs variables xi, ... , Xn est radiale c'està-dire elle dépend seulement de llxll2 = Jx~ + · · · + x~ et s'écrit donc sous
la forme f(x) = fo(llxll2), alors sa transformée de Fourier est aussi radiale.
Voyons par exemple avec plus de détail le cas d'une fonction radiale sur IR. 2 ,
f(x) = fo(llxll2). Soit x1 = rcosO, x2 = rsinO, r E JR.+, 0 E [O, 27r[. De même,
soit w1 = pcoscl'., w2 = psina, p E JR.+, a E [0,27r[. On a
Î(w) = 100 121T fo(r)e-21Tiprcos(B-a)rdrd0,
=
100 rfo(r) (121T e-21Tiprcos(B-a)de) dr,
=
100 r fo(r)
(1-:
e21TiprsinÀdÀ) dr,
À= e -
a-
i
car la fonction dépendant de À est 27r-périodique. En général, l'expression cidessus ne s'exprime pas à l'aide de fonctions élémentaires mais on voit bien
qu'elle est indépendante de a. Par ailleurs, en introduisant la fonction Jo de
Bessel2 d'ordre 0, c'est-à-dire
Jo(x) = _..!._ 11T e 21TiprsinÀd).. = ~ {~ cos(xsin>.)dÀ,
271' -1T
7r lo
2 Pour information, la fonction Jo admet un développement en série entière au voisinage
de l'origine,
x2
x4
x6
~ {-l)k
Jo(x) = l - 22 + 22.d2 - 22.42.62 + · · · = L...J {k!)2
x 2k
2
·
k=O
En effet, on vérifie aisément que les conditions d'utilisation du théorème de Fubini sont
satisfaites. On développe le fonction cos(xsinx) en puissances de x, on intégre terme à
terme l'expression obtenue et on intégre f0~ sin2 k )..d).. plusieurs fois par parties. On obtient
finalement la série entière ci-dessus dont le rayon de convergence est infini. On vérifie aussi
que la fonction Jo est solution de l'équation différentielle de Bessel : xy" + y' + xy = O.
7.5. TRANSFORMÉE DE FOURIER A PLUSIEURS VARIABLES
on obtient
J(w) = 271"
263
fo rfo(r)Jo(27rpr)dr.
00
L'espace S de Schwartz est l'espace des fonctions cp de classe C00 sur Rn à
décroissance rapide, c'est-à-dire telles que pour tous a, f3 E Nn, on ait
lim lxaâ.Bcp(x)I =O.
lxl-+oo
On montre comme dans le cas d'une variable que la transformation de Fourier :F
est une application linéaire continue de S dans lui-même et que celle-ci coïncide
avec celle habituelle sur C1 . Comme nous l'avons déjà signalé, les propriétés
que nous avons démontré se généralisent sans aucune difficulté. Citons à titre
d'exemple les formules,
la transformée de Fourier inverse, la formule de réciprocité pour cp E S reste
la même (1/J = :Fcp {::::::::} cp = :F- 11/J), etc.
Soit S' l'espace des distributions tempérées sur Rn, c'est-à-dire l'espace des
fonctionnelles linéaires continues sur S. On montre comme précédemment que
les distributions associées à des fonctions localement sommables et à croissance
lente appartiennent à l'espace S'. Celui-ci contient évidemment les distributions
associées aux fonctions qui sont localement sommables et de carré sommable
ainsi que les distributions ayant un support borné. Par ailleurs, la transformée
de Fourier est une application linéaire continue de S' dans lui-même,
VT E S',Vcp ES,
(:FT,cp) = (T,:Fcp),
(c'est-à-dire (T,cp) = (T,ép)).
Toutes les propriétés vues avant se généralisent aisément. Par exemple,
:Fô = 1,
La transformation de Fourier d'une distribution à support compact peut-être
prolongée en une fonction analytique sur en tout entier. Plus précisément, le
théorème de Paley-Wiener classique (voir [10], [12, tome 2, p.41], [11, p.305])
s'énonce comme suit : soient f une fonction définie sur Rn et a > O. Alors f
est l'image de Fourier d'une fonction cp E 'D à support inclus dans la boule
{x E Rn : llxll < a} si et seulement si f est prolongeable en une fonction g
holomorphe sur en et vérifiant une majoration du type
lg(z)I ~ Ck(l + llzll)-kealllm zll,
z E en, ck > 0, k EN
llim zll 2 = Ej= 1 llim Zjll 2 , z = (zi, ... , Zn) et lm Zj =partie imaginaire de Zj·
La transformée de Fourier à plusieurs variables est très utilisée dans l'étude
des équations aux dérivées partielles (voir les différents exercices proposés plus
loin).
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
264
7.6
Exercices résolus
Exercice 7.6.1 Calculer la transformée de Fourier de la fonction définie par
2
f(x) = e-11'x .
Solution : On a f E S et f(w) = J~00 e-11'x 2 e- 211'iwxdx. D'après la proposition
7.2.4, on a
(Î(w))' =
où g(x) = xf(x),
-27ri
g(x)e- 211'iwxdx,
-27ri
=
1:
-211'ig(w)
100 xe-11'x2 e-211'iwxdx.
-OO
En faisant une intégration par parties, on obtient
(Î(w))' =
-27ri (- __!_e-11'x2 e-211'iwxloo - iw
271'
-OO
100 e-11'x2 e-211'iwxdx) ,
-OO
-27rwf(w).
La solution de cette équation différentielle est immédiate, f(w) = Ce- 211'iw2 où
C est une constante. Pour déterminer cette dernière, on procède comme suit :
~ =C=
f(O)
1
00
00
1
V1i
e-11'x 2 dx = - 1
-OO
1
et 2 dt = -.j:rr
= 1,
V1i
-OO
~
2
où t = ...fiX. Par conséquent, f(w) = e-11'w . Une autre méthode pour déterminer la constante C, consiste à utiliser la formule sommatoire de Poisson. En
effet, on a
OO
OO
k=-oo
k=-oo
L:: f(k) = L:: f(k),
c'est-à-dire
OO
L::
k=-oo
d'où C = 1.
Exercice 7.6.2 Soit f E C1 .
a) Montrer que la transformée de Fourier (cosinus et sinus) peut s'écrire
sous la forme
F{f(x)} = 21
00
f paire(x) cos 27rwxdx - 2i 1
00
Îimpaire(x) sin 211'wxdx,
265
7.6. EXERCICES RÉSOLUS
où !paire désigne une fonction paire et !impaire une fonction impaire.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la transformée
de Fourier d'une fonction réelle soit réelle.
c) Montrer que si f est paire, alors F {! (x)} = 2 J000 f (x) cos 211'wxdx et si
f est impaire, alors F {! (x)} = 2 J000 f sin 211'wxdx.
Solution : a) On utilise le fait que
f(x) = fpaire(x) + fimpaire(x),
· (x) = f(x)+f(-x)
est une fonction paire et J·impaire
· (x) -- f(x)-1(-x)
où f paue
2
2
est une fonction impaire. D'où
F{f(x)} =
l:
f(x)e-21Tiwxdx,
00
21 fpaire(x)cos211'wxdx-2i1
00
fimpaire(x)sin27l'wxdx.
b) On déduit de la question précédente que si f est réelle alors sa transformée de Fourier est réelle si et seulement si f est paire.
c) Si f est paire, alors f(x)cos211'wx est paire et f(x)sin27l'wx est impaire.
Dès lors,
2
roo f (X)
lo
et
COS 211'WXdX =
l:
loo f (X)
COS 211'WXdX,
-OO
f(x) sin211'wxdx =O.
Dans ce cas,
F{f(x)} = 21
00
f(x) cos 211'wxdx.
Si f est impaire, alors f (x) cos 211'WX est impaire et f (x) sin 27l'WX est paire.
D'où,
l:
et
f(x)cos27rwxdx = 0,
l oo f (X) sin 27rWXdX = 2 .Ioroo f (X) sin 211'WXdX.
-OO
Dès lors,
F{f(x)} = -2i
1
00
f(x)sin211'wxdx.
266
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Exercice 7.6.3 a) Calculer la transformée de Fourier de la fonction porte
II(x) = { 1
0
s~ lxl <
t
si lxl ~ 2
b} Meme question pour la fonction triangle
6 (x) = { 1- lxl si lxl < 1
0 si lxl ~ 1
c) Exprimer 6'(x) à l'aide de II(x).
d} En utilisant la relation obtenue dans c), retrouver le résultat de b}.
e) Déterminer le produit de convolution II *II et en déduire le résultat
obtenu dans la question b).
Solution: a) On a
.. =
II(w)
F{II(x)}
=1
00
12
1
.
II(x)e- 21l'iwxdx
=2
sinnw.
cos2nwxdx = -
0
-OO
1fW
b) Notons que la fonction 6 est paire. D'après l'exercice précédent, on a
pour w =/= 0,
fo 6(x) cos 2nwxdx,
- 2 fo (1- x) cos2nwxdx,
.6.(w) = F{6(x)} =
2
00
1
(1 - x) sin2nw 11
+ -1
27r 2W 2
0
1fW
1
1 .
sm2nwxdx,
0
1- cos2nw
=
?r2w2
sin2 nw
7r2w2 ·
Pour w = 0, on a .6.(0) = 1.
c) On vérifie aisément que: 6'(x) = II(x +
d) On a
!) - II(x - !).
1
1
6 1 = F{6'(x)} =
F{II(x + 2n - F{II(x - 2)},
=
e1l'iw.r{II(x)} - e-1l'iw.r{II(x)}
2i sin nwF{II(x)},
• 2
2ism ?rW
1fW
(d'après a)).
(propriété 7.1.4),
7.6. EXERCICES RÉSOLUS
267
Or F{6'(x)} = 27riw.F{6(x)} (proposition 7.1.8), donc
. 2
F{6(x)} = sm2 ~w.
7r w
e) On a
l:
l:
1x-
TI(t)TI(x - t)dt,
x E~
1
II(x - t)dt,
2
=
1
2 II(s)ds,
x+~
s=x- t
l+x si -1 <x<O
{ 1-x siO<x<l
0 si lxl 2: 1
6(x),
XE~
Or, d'aprês la proposition 7.1.12, on sait que :
F{TI * TI(x)} = F{TI(x)}F{TI(x)},
donc
• 2
F{6(x)} = sm2 ~w.
7r w
Exercice 7.6.4 Montrer que la fonction theta de Jacobi
OO
O(s) = I::e-7rsk2'
s> 0
-OO
vérifie l'équation fonctionnelle suivante :
e (~)- Jse(s) =o.
Solution: Nous avons montré dans l'exercice 7.6.1, que la transformée de Fourier de la fonction e-7rx 2 E S est
OO
k=-oo
.
e-7rx2 e- 27riwx
dx.
268
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
En posant u = .../Sx, v = )sw dans cette relation, on obtient
Dès lors,
~
T{ e-'Tr-}
.r
s =
100 e-'Tr-~s e- 'TrtwXdx = v/':se -'TrBW ,
2'
2
-OO
et la formule sommatoire de Poisson s'écrit
OO
OO
2: e_'Trks = 2: vse-'Trsk2.
2
k=-oo
k=-oo
On en déduit que
(~) = ysO(s),
()
où O(s) = E~-oo e-"Trsk 2.
Exercice 7.6.5 a) Déterminer la transformée de Fourier de la fonction
1
f(x) = - 12·
+x
b) En déduire la transformée de Fourier de la fonction
f(x) = (1
+x2)2.
X
Solution : a) A l'aide de la méthode des résidus, on trouve
1
+x2
F {-1
}
=
100 e-2"Triwx dx = 7re- 7rlwl.
_00 1 +x2
2
b) On a
F{{l+xx2)2}
F{-~ (l:x2)'},
- -~F{ (l:x2)'},
-1l'iwF { 1 : x 2 },
=
7rlwl,
-7!' 2iwe- 2
(proposition 7.1.8)
(d'après a))
269
7.6. EXERCICES RÉSOLUS
Exercice 7.6.6 En utilisant la transformée de Fourier, déterminer la solution
u(x, t) de l'équation de la chaleur
8u
8 2u
8t = a8x2'
a>O
avec la condition initiale : u(x, 0) = cp(x) où cp(x) est la température à l'instant
t =o.
Solution : Pour résoudre l'équation ci-dessus, on considère la transformée de
Fourier par rapport à la variable x seulement. On a
8u
.
100 -82u (x, t)e- 27riwxdx,
.
t)e- 2mwxdx =a
1 00 -(x,
8t
8X
2
-OO
-OO
et
F{u(x, t)}û(w, t) =
1-:
u(x, t)e- 21riwxdx.
En tenant compte de la proposition 7.1.8, on obtient
8u
F{ 8 x (x, t)}
82 u
F { 8x2 (x, t)}
100
) -21riwxdx = 27riwu
. ~(w,t,
)
= au(
-8W w,t)= _ -8u(
8 X x,t e
00
8
2 u(
)
8W 2 w, t =
100 882u(x, t )e
00
_
X
2
-27riwx dx
= -47!" 2w2~(
u w, t ) ,
Dès lors, l'équation précédente s'écrit sous la forme
8û
2 2~
8 t (w, t) = -4a7r w u(w, t).
En intégrant cette équation en l'inconnue û(w, t) de la variable t, on obtient
Or
û(w, 0) = C =
1-:
u(x, O)e- 21riwxdx =
donc
û(w, t) = e-4a7r2w2t
c'est-à-dire
1-:
1-:
cp(x)e- 21riwxdx,
cp(x)e-21riwxdx = e-4a1r2w2t<f)(w),
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
270
Comme F{f * g} = F{f}F{g}, on peut poser u(x, t) = f * g, avec f = cp(x)
donnée et g telle que: F{g} = g(w) = e- 4a7r 2 w2 t. D'après l'exercice 7.6.1, on a
Finalement, on obtient la solution
Exercice 7.6. 7 En utilisant la transformée de Fourier, résoudre l'équation
intégrale suivante :
f(x) = g(x) +
1-:
k(x - y)f(y)dy,
où g et k sont des fonctions connues ainsi que leurs transformées de Fourier
respectivement G et K.
Solution : On a
F{f(x)} = Î(w) =
1-:
1-:
1-:
f(x)e- 27riwxdx,
(g(x) +
1-:
k(x - y)f(y)dy) e- 27riwxdx,
g(x)e-27riwxdx
+
1-: 1-:
1-: 1-:
1-:
1-:
f(y)dy
k(x - y)e- 27riwxdx,
k(z)e- 27riw(y+z)dz, z = x -y
=
g(w) +
f(y)dy
=
g(w) +
f(y)e- 27riwydy
=
g(w) + Î(w)k(w).
k(z)e- 27riwzdz,
D'où Î(w) = 1 ~~~) et d'après la formule d'inversion de Fourier, on a
f (X) = /_OO
g(~) e27riwX dw.
-OO 1- k(w)
7.6. EXERCICES RÉSOLUS
271
Exercice 7.6.8 On considère l'équation fonctionnelle suivante :
f(x) + A(f(x - 1) + f(x + 1)) = u(x),
où u(x) est une fonction connue, absolument intégrable sur lR et A une constante.
Supposons que la transformée de Fourier de la fonction f et son inverse existent.
Déterminer f(x) sous forme intégrale. Quelle condition doit vérifier A?
Solution: En tenant compte des propriétés 7.1.3 et 7.1.4, on obtient
F{f(x)} + A(F{f(x - 1)} + F{f(x + 1)}) = F{ u(x)},
et
J(w) + A(e211"iw J(w) + e- 211"iw J(w)) = û(w).
D'où
(1+2Acos27rw)Î(w) = û(w),
ce qui implique
Î
û(w)
(w) = 1 + 2A cos 27rw .
La formule d'inversion de Fourier s'écrit dans ce cas
f(x) =
r)()
û(w)
} _ 00
e211"iwxdw.
1 + 2A cos 27rw
On doit avoir 1+2Acos27rw '# 0, c'est-à-dire IAI < ~·
Exercice 7.6.9 Soient f et g deux fonctions absolument et de carré intégrable
sur R La fonction de corrélation 'Pfg(x) de f(x) et g(x) est définie par
<.p19 (x) =
1-:
f(y)g(x + y)dy.
a) Montrer que :
'Pfg(x) =
1-:
f(w)g(w)e211"iwxdw.
b) En déduire l'identité de Parseval :
c) Calculer l'intégrale: J~00 si~tdt.
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
272
Solution: a) On a
cp19 (x) =
=
=
1_:
1_: (/_:
1_:
J(y) (/_: g(x)e 21riw(x+y)dw) dx,
J(y)e21riwydy) g(w)e27riwxdx,
J(w)g(w)e 21riwxdw,
car f est à valeurs réelles.
b) Pour x = 0, la formule ci-dessus s'écrit
<p19 (0) =
1_:
f(y)g(y)dy =
1_:
/(w)g(w)dw.
Et si en particulier f(x) = g(x), on obtient
<pJg(x) =
1_:
J(w)g(w)e21riwxdw.
c) La transformée de Fourier de la fonction
f(x) = { 1 s~ lxl ::; 1
0 s1 lxl > 1
est
-11
!~(W ) -
e -21riwxd X-- sin 271'W •
-1
11'W
En remplaçant ces fonctions dans l'identité de Parseval, on obtient
1 1
1
1
dx =
-1
d'où
00
-OO
00
-OO
sin2 27rw dw,
2 2
11' W
sin2 t
-2-dt = 11'.
t
Exercice 7.6.10 a) Montrer qu'il n'existe pas d'unité sur l'espace C 1 pour la
convolution.
b} Montrer que la transformation de Fourier C1 -----+ Co, f 1------t Î, est une
injection non surjective.
7.6. EXERCICES RÉSOLUS
273
Solution: a) On raisonne par l'absurde. On suppose qu'il existe ( E C-1 tel que
pour toute fonction f E C.1, on ait f * ( = f. D'après la proposition 7.1.12,
...............
on a f * ( = f(
= f. Dès lors, f(( - 1) = O. On a montré dans l'exercice
7.6.1, que la transformée de Fourier de la fonction e-1rx 2 est égale à e-11"w 2 • En
choisissant, f(x) = e-11"x 2 , on obtient e-1rw\((w) - 1) =O. D'où ((w) = 1, ce
qui est contradictoire car d'après la proposition 7.1.2, la transformée de Fourier
de ( doit tendre vers 0 à l'infini. Par conséquent, l'espace C. 1 est sans unité
pour la convolution.
b) Supposons que Î = O. Comme f E C. 1 , alors f = 0 presque partout
et l'application en question est injective (voir aussi l'exercice 7.6.24, c)). Pour
montrer qu'elle n'est pas surjective, on utilise le fait qu'une application linéaire continue surjective entre deux espaces vectoriels normés complets est
ouverte (théorème de Banach-Schauder ou théorème de l'application ouverte).
Cons~ons les fonctions indicatrices: ((x) = 1[-k,k]• 17(x) = 1[-l,l] et posons
---
-
f = ( * 17. On a
((w) =
100
--
((x)e-21riwxdx =
T/(w) =
f(w)
lk
e-21riwxdx = sin27rkw,
-k
-OO
7rW
sin27rw
7rW
-;( )~( ) = sin 27rw sin 27rkw
.,,w17w
22
.
7r w
Notons que f E C. 1 alors que ( ~ C. 1 . On déduit de l'application ouverte cidessus, l'existence d'une constante M > 0 telle que la norme de f pour C 1
est majorée par M supwER 1Î( w) I · Or la norme de f pour Co est uniformément
bornée, donc llflh :::; MllÎllco· Le membre à gauche tend vers l'infini pour
k ---+ oo, tandis que celui à droite est majorée par une constante, ce qui est
absurde.
Exercice 7.6.11 Montrer que la transformée de Fourier d'une distribution
paire est une distribution paire et que celle d'une distribution impaire est aussi
impaire.
Solution : Soit T E S' une distribution paire. Autrement dit (définition 3.4.2,
chapitre 3),
On a
T= T, c'est-à-dire (T, ~) = (T, cp), Vcp E S, où ~ : x
(:FT, ~) = (T, :F~) = (T,
1-:
cp(-x)e- 21riwxdx) = (T,
1-:
1-----+
cp(-x).
cp(x)e21riwxdx),
ou
V
.
V
(:FT, cp)
= (T, 100
-oo cp(-x)e- 21ri(-w)xdx) = (T, :Fcp(-w)) = (T, :Fcp).
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
274
On a montré dans la proposition 7.2.5, que si <p E S alors la transformée de
Fourier ép = :F<p de <p appartient aussi à S. Dès lors, puisque par hypothèse T
V
est paire alors la dernière relation s'écrit (T,:Fcp) = (T,:Fcp) = (:FT,cp). Par
conséquent, (:FT, ~) = (:FT, cp), et :FT est paire. Supposons maintenant que la
V
distribution T est impaire (définition 3.4.2, chapitre 3), c'est-à-dire T = -T
V
V
V
V
ou (T, cp) = -(T, cp), Vcp ES, avec cp(x) = cp(-x). On a (:FT, cp) = (T, :Fcp), et
en raisonnant comme ci-dessus, on obtient
.
V
V
(:FT, cp) = (T, :Fcp) = -(T, :Fcp) = -(:FT, cp),
et :FT est impaire.
Exercice 7.6.12 Déterminer les transformées de Fourier :F(vp~) et :F(vp~)
où vp~ est la valeur principale de Cauchy.
Solution : D'après l'exercice 3.5.2, on a xvp ~ = 1. D'où, :F(xvp ~) = :Fl.
Or :Fl = ô = LH(w) où H est la distribution de Heaviside et par ailleurs
:F(xvp ~) = - 2!.iL:F(vp ~)(proposition 7.1.10), donc
1 d
1
d
--.-:F(vp -) = -H(w),
2m dw
X
dw
c'est-à-dire :F(vp ~) = -27riH(w) + C, où C est une constante à déterminer.
La distribution vp ~ étant impaire car
f
cp(-x)dx = -
Jlxl?:.e
f
cp(x)dx,
Jlxl?:.e
alors sa transformée de Fourier est aussi impaire (exercice précédent). Dès lors,
-27ri + C = -C d'où C ='Tri. Finalement
1
{ -'Tri si w > 0
:F(vp ;) = -27riH(w) +'Tri=
'Tri si w < 0
On montre de même que
:F(vp .!_) = 27riH(w) - 'Tri.
X
Exercice 7.6.13 Déterminer les transformées de Fourier :FH et :FH de la
distribution de Heaviside.
7.6. EXERCICES RÉSOLUS
275
Solution: La fonction H(x) n'est pas sommable et n'a pas une transformée de
Fourier au sens des fonctions. Or cette fonction est à croissance lente à l'infini
(car elle est bornée), donc elle détermine une distribution tempérée et comme
on le sait cette dernière a une transformée de Fourier. On a H' = ô, d'où
Îi' = 8 = 1. Or Îi' = 21fiwH, donc 21fiwH = 1. On peut être tenté de choisir
2,;iw comme solution de cette équation. Or cette fonction n'est pas localement
sommable et l'équation ci-dessus n'a pas de solution unique. On va procéder
autrement. On a montré dans l'exercice 7.6.12, que: F(vp
= -27riH(w)+7ri.
En appliquant F à cette équation, on obtient FF(vp
= -21fiFH(w) +1fiô,
car Fl = ô. D'où FH = ~ - 2~iFF(vp
La distribution vp est paire et
d'après l'exercice précédent,
i)
i)
i).
i
F(vp ! ) = 21fiH(w) - 7ri = -F(vp ! ).
X
D'où
X
1
1
1
FF(vp -) = -FF(vp -) = -vp -,
X
X
X
en vertu de la proposition 7.3.12. Finalement, on a
ô
1
1
FH = -+-vp -.
2 27ri
X
De même, en appliquant F à l'égalité mentionnée au début de la solution, on
= -21fiFH + 1fiô, car Fl = ô. D'où
obtient FF(vp
i)
-
ô
l1
ô
1
1
FH = - - -FF(vp -) = - - -vp 2 27fi
X
2 27fi
X'
en vertu de la proposition 7.3.12.
Exercice 7.6.14 a) Déterminer une relation simple entre lxl et la fonction
H(x) de Heaviside.
b} Calculer la transformée de Fourier de la fonction lxl.
c) En déduire la transformée de Fourier de la distribution partie finie P f ~.
Solution : a) Rappelons que la fonction H(x) de Heaviside est égale à 1 si
x > 0, 0 six <O. Dês lors, lxl = xH(x) - xH(-x), car pour x > 0 les deux
membres sont égales à x et pour x < 0 à -x.
b) D'après la question précédente, on peut écrire
F{lxl}
F{xH(x)} - F{xH(-x)}, (propriété 7.1.3)
1 d
1 d
- - . -FH(w) + -. -FH(-w), (proposition 7.1.10)
27ridw
27ridw
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
276
D'après l'exercice 7.6.13, on sait que : :FH = ~ + 2~i vp ~· Déterminons
:FH(-w). On a
V
V
V
(:FH(-w),cp) = (:FH,cp) = (H,:Fcp) = (H,:Fcp),
cp ES
Or
V
:Fcp(w)
= :Fcp(-w) = 100
-oo cp(x)e 21fiwxdx = :Fcp(w),
donc (:FH(-w), cp) = (H, :Fcp) = (:FH, cp), d'où
-
ô
1
1
:FH(w) = :FH = - - -. vp -,
2 271'i
w
(exercice 7.6.13)
Finalement,
:F{lxl}
-
2~i ! (~ + 2~i vp ~) + 2~i d~ ( ~ - 2~i vp ~) '
1
1)
d (
271'2 dw vp ~ '
1
1
--Pf (exercice 2.4.2, chapitre 2)
271'2
w2
D'après b), on a :F{lxl} = -~Pf ~·D'où :F:F{lxl} = -~:F(Pf ~).Or
:F:F{lxl} = lxl, donc
Exercice 7.6.15 Montrer que si f est localement sommable, alors la distribution qui lui est associée n'est en général pas tempérée.
Solution: Il suffit de considérer la fonction J(x) =ex avec cp(x) = co;hx' On
aura
(j, cp) =
1
00
ex
-h-dx = OO.
_ 00 COS
X
Exercice 7.6.16 Montrer que toute fonction localement sommable et à croissance lente, détermine une distribution tempérée.
Solution : Soit f une fonction à croissance lente, c'est-à-dire pour lxl grand,
lf(x)I :'.S Alxlk, k EN où A est une constante. Si cp ES, il existe une constante
B telle que : lcp(x)I :'.S lxii1+ 2 , pour lxl ---+ oo. Dès lors, lf(x)cp(x)I :'.S ~' pour
lxl ---+ oo, et par conséquent (!, cp) = J~00 f(x)cp(x)dx, existe. Elle est linéaire
et on vérifie aisément qu'elle est continue dans S.
7.6. EXERCICES RÉSOLUS
277
Exercice 7.6.17 Montrer que si f est localement sommable et si elle est de
carré sommable, alors elle détermine une ditribution tempérée.
Solution : En effet, d'après l'inégalité de Schwarz, on a
(j f(x)(cpk(x) - cp(x))) ~ j f 2(x)dx j (cpk(x) - cp(x)) 2dx.
2
Or (cpk - cp) E C2,
=
100 (cpk - cp)2(x\(1
+ x2) dx,
1 +X
_ 00
< 7rsup l(cpk - cp)(x).(I + x 2 )1,
xElR
et puisque 'Pk tend vers cp dans S, alors
lim (sup l('Pk - cp)(x).(I + x 2)1) = 0,
k-+oo xElR
et le résultat en découle.
Exercice 7.6.18 Montrer que si f est sommable, alors elle détermine une
ditribution tempérée.
Solution : En effet, à l'infini la sommabilité de f implique celle de J2. La
distribution associée à f est à croissance lente à l'infini puisqu'elle ne croît pas
à l'infini.
Exercice 7.6.19 Montrer que si une distribution est tempérée, alors ses dérivées le sont aussi.
Solution: On a (T', cp) = -(T, cp'). Si cp ES, on a aussi cp' ES et donc (T, cp')
a un sens, d'où le résultat.
Exercice 7.6.20 Montrer que si une distribution Test tempérée et si a est une
fonction de classe C00 à croissance lente ainsi que ses dérivées (en particulier
un polynôme), alors aT est tempérée.
Solution: On a (aT, cp) = (T, acp) et si cp ES, alors on a aussi acp ES.
Exercice 7.6.21 Déterminer la transformée de Fourier de la dérivée nième
de la distribution ô de Dirac.
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
278
Solution: En tenant compte de la proposition 7.3.5 et de l'exemple précédent,
on obtient
On peut aussi appliquer directement la proposition 7.3.6 puisque en général, le
support de la dérivée nième d'une distribution arbitraire est inclus dans celui
de la distribution (exercice 2.4.5, chapitre 2).
Exercice 7.6.22 Nous avons montré dans la proposition 7.3. 7 que si T est
une distribution à support borné, sa transformée de Fourier est une fonction
indéfiniment dérivable qui se prolonge en une fonction holomorphe entière dans
le plan complexe. Que se passe-t-il si la distribution T n'est plus à support
borné?
Solution : Nous allons voir que si T n'est plus à support borné, alors la fonction en question peut se transformer en une distribution singulière. Pour s'en
convaincre, il suffit de considérer la distribution tempérée T = 1. En remplaçant T = 1 dans la relation FT' = 27riwFT, on obtient wFl = O. D'après
la proposition 3.1.2 (chapitre 3), la solution de cette équation est Fl = cô
où c est une constante à déterminer. Posons T = 1 et cp(x) = e-?rx 2 dans la
définition (FT, cp) = (T, Fcp). On obtient
(Fl, cp) = (1, Fcp) =
Or
1
00
-OO
2
e-?rx dx
= 1r,;;
y7r
1-:
1
00
Fcp(x)dx =
1-:
e-?rx 2 dx.
é 2 dt= . 1r,;;..fi = 1, t = ..JiX
y7r
-OO
donc (Fl, cp) = 1. Par ailleurs, puisque (Fl, cp) = (cô, cp) = ccp(O) = c, alors
c = 1. Par conséquent Fl = 8 (distribution singulière). Notons que la fonction
1 n'appartient ni à C 1 , ni à C 2 et sa transformée de Fourier au sens des fonctions
n'existe pas.
Exercice 7.6.23 Donner une nouvelle démonstration de la proposition 7.3.8
(formule sommatoire de Poisson) : si cp ES, alors
OO
OO
k=-oo
k=-oo
L cp(k) = L ~(k).
Solution : On a déjà vu au début de la preuve de la proposition 7.3.8 que
les séries ci-dessus convergent absolument. Considérons maintenant la fonction
définie par 'l{J(x) = I:~=-oo cp(x + n). En utilisant le même raisonnement et
7.6. EXERCICES RÉSOLUS
279
-S
en tenant compte du fait que pour x E [O, 1], max lcp(x + n)I :::;
si n ~ 1
et max lcp(x + n)I :::; (n..fi)2 si n :::; -2, alors on montre que cette série ainsi
que la série dérivée converge normalement (donc absolument et uniformément)
sur R et en particulier sur le compact [O, 1] vers la fonction 'l/J. Cette dernière
est continûment dérivable (en vertu du théorème de dérivation des séries) et
elle est 1-périodique. D'après la proposition 6.2.6 (chapitre 6), si une série
de Fourier associée à une fonction continue converge uniformément alors elle
converge vers cette fonction. Donc notre fonction 'l/J admet pour tout x E R,
un développement en série de Fourier sous la forme
OO
'l/J(x) =
L Cke2?rikx.
k=-oo
On adopte ici la notation complexe (voir proposition 6.2.5, chapitre 6), tout
en tenant compte de la modification du coefficient 271". Calculons le coefficient
Ck d'indice k. On a
Ck =
1
i
'tfJ(x)e-27rikxdx =
1L
i
OO
cp(x + n)e-2?rikxdx.
0 n=-oo
0
La convergence de la série étant uniforme sur le compact [O, 1], on peut donc
intervertir les deux signes. D'où
Ck =
L Jori cp(x + n)e-2?rikxdx = L lnrn+l cp(t)e-27riktdt,
00
00
n=-oo 0
n=-oo n
ou
Par conséquent,
OO
'l/J(x) =
L ép(k)e2?rikx,
k=-oo
et pour x = 0, on obtient le résultat annoncé.
Exercice 7.6.24 a) (Formule d'inversion de Fourier). Montrer que si f E ci
et Î E ci, alors
f(x) =
1-:
Î(w)e2?riwxdw,
presque partout en x ER (voir aussi proposition 7.3.9).
b} Montrer que si en outre la fonction f est continue alors la formule cidessus est valable pour tout x E R.
c) Montrer que la transformée de Fourier est injective sur ci.
280
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Solution : a) On considère une fonction auxilière (approximation de l'identité
dans .C 1 ) : 90 (x) = e-?folxl, a> O. La transformée de Fourier de 90 E .C 1 se
calcule aisément et on obtient
Ya(w)
100 e-1falxle-21fiwxdx,
=
-OO
1Q e1fQX-21fiWXdX + { 00 e-1fQX-21fiWXdX,
=
lo
-OO
1
1
.
+
2 . '
2
7f0! 1fZW
7f0! + 1fZW
2a
7r(a2 + 4w 2 '
=
Soit f E .C 1 . On a
1:
f * Ya(x)
=
1:
f(x - t)ga(t)dt,
J(x - t)
(l:
XE lR
9a(s)e- 21fitsds) dt,
et d'après le théorème de Fubini, on peut permuter les deux signes intégrales,
f * Ya(x) =
car
1: (l:
9a(s)
f(x - t)e- 21fitsdt) ds,
1:1:
1:1:
1: 1:
j90 (s)f(x - t)e- 21fits 1 dtds
l9a(s)f(x - t)I dtds,
=
=
IYa(s)lds
lf(x - t)ldt < +oo
En posant y = x - t, on obtient
f * Ya(x) =
1: (l:
1:
9a(s)
J(y)e- 21fi(x-y)sdt) ds,
9a(s)J(s)e21fixsds.
(7.6.1)
On va faire tendre a vers 0 des deux côtés de la formule ci-dessus. Pour le
membre de droite, notons que : l90 (s)f(s)e21fixsl ~ IJ(s)I, et par hypothèse
281
7.6. EXERCICES RÉSOLUS
Î E C1 , donc l'utilisation du théorème de convergence dominée est légitime et
on a
lim
a--+O
rXJ 9a(s)Î(s)e27rixsds = roo Î(s)e27rixsds.
1-oo
1-oo
Passons maintenant au calcul de lima--+O f * Ba (x). On montre que la fonction
f *Ba(x) tend vers f dans C1 lorsque a~ O. Autrement dit Il/ *Ba - /111 tend
vers 0 lorsque a ~ 0 ou encore f *Ba tend vers f en moyenne. Notons que
pour tout a> 0, Ba(w) ~ 0 et J~00 B(w)dw = 1. Dès lors,
f * Ba(x) - f(x) =
=
1_:
1_:
1_:
f(x - t)Ba(t)dt - f(x),
XE~
(f(x - t) - f(x))Ba(t)dt,
(-rd - f)(x)Ba(t)dt,
D'où,
Il/* Ba - /111 S
1_:
-rtf(x) = f(x - t)
11-rtf - fll1Ba(t)dt.
Or d'après la propriété 7.1.6, on sait que : Ba(t) = ~B (~), donc en posant
t = au, on obtient
Il/* Ba - /111 S
1_:
llTauf - fll1B(u)du.
La fonction ai----+ 11-rau!- /111 est continue et tend vers 0 lorsque a~ O. Cette
fonction est bornée 11-rau! - /111 S 211/lli, car le membre de gauche est majoré
par la norme de chacun des termes et de plus la norme est invariante par
translation. D'où 11-rau! - fll1B(u) S 2ll/ll1B(u), et puisque BE C1, on peut
donc appliquer le théorème de convergence dominée. En conclusion, lorsque
a~ 0; le membre de gauche de (7.6.1) tend vers f dans C, 1 et celui de droite
tend vers J~00 Î(s)e 27rixsds et la démonstration s'achève.
b) Soit n un sous-ensemble négligeable de R Les fonctions f et celle définie par I~oo J(w)e 27riwxdw sont égales sur le complémentaire ne de n. Donc
elles sont égales sur un ensemble dense et il résulte de ce qui précède que ces
fonctions _ç:oincident your tout x E R
c) Si f(w) = 0, f E C1 alors f(x) = 0 pour presque tout x E ~d'après la
question a). Donc f = 0 dans C1 .
Exercice 7.6.25 (Formule de Plancherel}. Soient c.p E C, 1 et'!/; ES. Montrer
(voir aussi proposition 7.2.8} que :
1_:
c.p(x)îfi(x)dx =
1_:
ép(x)"J(w)dw.
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
282
Solution : On vérifie aisément que c.p?jj E C, 1 et rp-:p E C, 1 . Puisque 'I/; E S, alors
d'après la proposition 7.3.9, on a
l:
c.p(x)?jj(x)dx =
l: (l: ~(w)e-21riwxcfu;)
l: ~(w) (l:
c.p(x)
dx,
c.p(x)e-21riwxdx) cfuJ,
=
l:-:P(w)épcfuJ,
en vertu du théorème de convergence dominée car
l: l: lc.p(x)~(w)e-21riwx'
cfuJdx =
l: l: lc.p(x)~(w)I
l: l:
l:
jc.p(x)jdx
Dès lors,
l:
c.p(x)'l/;(x)dx =
cfuJdx,
17ii(w)lcfuJ < +oo
~(w)ép(w)cfuJ.
Exercice 7.6.26 Donner une autre preuve du résultat .1'1 = ô.
Solution : On a
(.1'1, c.p) = (1, .Fc.p) = (1, <P) =
l:
<P(w)cfuJ,
où <P(w) = J~00 c.p(x)e- 21riwxdx. D'après la formule d'inversion de Fourier, on
sait que : c.p(x) = J~00 <P(w)e21riwxcfuJ, d'où c.p(O) = J~00 <P(w)dw et par conséquant (.1'1, c.p) = c.p(O) = (ô, c.p). Donc, .1'1 = ô (distribution singulière).
Exercice 7.6.27 Soient f E C, 1 et g E C, 1 . On suppose que Î(w) = g(w),
w E ~. Montrer que f et g sont égales presque partout.
Solution : Posons <p = f - g. On a <p E C, 1 et ép(w) = O. D'après le théorème
d'inversion de Fourier (exercice 7.6.24), la fonction <p est presque nulle ou ce
qui revient au même les fonctions f et g sont égales presque partout.
Exercice 7.6.28 Soient f E C,2 etc E ~. Montrer que si
g(x) = e27ricx f(x),
h(x) = f(x - c),
alors presque partout sur ~'
g(w) = Î(w - c),
h(w) = e21riwcÎ(w),
f
f(w) = (-w).
7.6. EXERCICES RÉSOLUS
283
Solution: Soit fn) une suite dans S telle que llfn - /112 --+O. En posant
9n(x) = e27riwcxfn(x),
et
hn(x) = fn(X + c),
on montre que ll9n - 9112 --+ 0 et llhn - hll2 --+O. D'après la propriété 7.1.5
(modulation), on agn(w) = În(w-c), et d'après la propriété 7.1.4 (translation),
on a hn(w) = e27riwcÎn(w). Or ll9n - 9112--+ 0 et llhn - hll2--+ 0 (en effet, il
suffit d'utiliser un raisonnement similaire à celui qui a été fait au début de la
section transformée de Fourier dans t-2). On en déduit que g(w) = Î(w - c) et
h(w) = e27riwc Î(w). Pour la dernière relation, notons que puisque llfn - /112 --+
0, alors 117n - 7112 --+ O. Par ailleurs, on a
~t donc llÎn - fll2 --+ 0 et 11.gn -911~--+ 0 où 9n(w) = f (-w). Par conséquent,
Î = 9 dans C2 , c'est-à-dire Î(w) = 1(-w).
Exercice 7.6.29 Montrer que si f, 9 E C2 , alors f * 9 est continue et bornée
sur IR. et en outre f * 9 = 9 * f.
Solution : Pour prouver la continuité de f *9, on ne peut pas utiliser le théorème
de continuité des fonctions définies par une intégrale car celui-ci ne s'applique
pas. On va procéder autrement. La transformée de Fourier étant surjective dans
C 2 , il existe donc u, v E C2 tels que : f = û et 9 = v. Nous avons déjà montré
(proposition 7.4.3) que pour f,9 E C 2 , alors fg = Î * g presque partout. Dès
lors,
f *9 = Û*v= ûv = Vù = v*û= 9*f.
Par ailleurs, puisque uv E C 1 , alors ûv est continue et bornée sur IR. en vertu
de la proposition 7.1.2. Dès lors, f * 9 = ûv est continue et bornée sur IR..
Exercice 7 .6.30 Soit f une fonction de classe c=. Montrer que si supp f est
compact alors Î E C1 et
Vx E IR.,
J(x) =
I:
Î(w)e 27riwxdw.
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
284
Solution : Par hypothèse supp f est compact e~ f' est con~nue. D'aJ?rês le
théorème 7.4.2 (voir aussi remarque 7.4.1), on a f' E C 2 • Or f' = 27rixf, donc
x Î E C 2 . Par ailleurs,
f
IÎ(x)ldx = f
Jlxl2::1
Jlxl2::1
xÎ(x)
X
dx '5:.
1
dx
2
lxl2::1 X
1
lxl2::1
~ 2 dx < oo,
lxf(x)l
en vertu de l'inégalité de Schwarz. En outre, comme la fonction f est continue
alors elle est intégrable sur [-1, 1] et dês lors J~00 IÎ(x)ldx < oo. Autrement
dit, Î E C 1 et le résultat en découle (voir exercice 7.6.24).
7. 7
Exercices proposés
Exercice 7. 7 .1 Calculer la transformée de Fourier de la fonction définie par
f(x) = H(x)e-ax où H(x) est la fonction de Heaviside.
Réponse: Î(w) = a+i1Tiw' a> O.
Exercice 7. 7.2 Calculer la transformée de Fourier de la fonction définie par
f(x) = co~hx ·
Réponse : En appliquant la méthode des résidus à la fonction f(z) = e~:s,,.~:z
où 0 $_lm z '5:. 7r, on trouve Î(w) = cosi77r2w·
Exercice 7. 7 .3 Soit f E C1 . Montrer que si f E C00 et si Î ~ 0, alors Î E C1 .
Exercice 7. 7.4 Déterminer la transformée de Fourier de la fonction de C2
suivante : f(x) = si°xax. M€me question pour la fonction g(x) = sinaxxsinf3x.
Réponse:
f~(w) = { 7rlal si lwl < ~
0 si lwl > 2~ '
~(
) -
gw -
{
- 1Ti si (3-a < w < a+f3
2
271"
271"
1Ti si - a+f3 < w < a-(3
2
271"
271"
Exercice 7. 7.5 Montrer que la transformée de Fourier d'une fonction f réelle,
satisfait à la relation : Î( w) = Î( -w).
Exercice 7. 7.6 Montrer que la transformée de Fourier d'une fonction f telle
que : f(x) = f(-x), est réelle.
7. 7. EXERCICES PROPOSÉS
285
Exercice 7. 7. 7 Déterminer les transformées de Fourier des distributions suivantes :
T1 = sgn x,
T2 = x 2nsgn x, (n entier),
T3 = sgn (sinax).
Réponse: On obtient,
~
1~ )
(2n)!
~( )
T1(w) = -.-,T2(w = (2 . ) 2 +1 ,T3 w =
7!"1,W
11"1.W
n
Loo
sgn a
(k
k=-oo 7ri 2
~
+ 1)u
(w _2k + 1,.,,)
-.. ·
271"
Exercice 7. 7.8 Soit f : lR ---t <C une fonction telle qu'il existe M > 0 et a > 1
avec lf(x) ~ (1+%D" pour tout x E JR. Montrer que si E~-oo IJ(k)I < oo,
alors
OO
OO
I: f(k) = I: f(k).
k=-oo
k=-oo
Indication: Voir proposition 7.3.8 et exercice 7.6.23.
Exercice 7. 7.9 En utilisant la formule sommatoire de Poisson, déterminer la
, · "'OO (-l)k
somme de la serze : L..Jk=O ~.
,
11"3
R eponse:
32 •
Exercice 7. 7.10 Utiliser la formule de Parseval-Plancherel pour calculer l'intégrale J~00 (1+~2)2 .
Réponse:~·
Exercice 7.7.11 Soit f : lR ---t <C, x ~ f(x), une fonction telle que la
restriction de f à l'intervalle ] - k, k[ appartient à .C 1 (] - k, k[), pour tout
k E N*. Montrer que si pour tout g E 1J,
l:
f(x)g(x)dx = 0,
alors f(x) = 0 presque partout sur JR.
Indication : Montrer d'abord que l'intégrale J~00 f(x)g(x)dx a bien un sens.
Considérer ensuite la suite de fonctions 9n(x) = cp(x)ei11"nk"' E 1J où <p est une
1
fonction de 1J définie par cp(x) = ex2-k 2 si !xi < k et cp(x) = 0 si lxl ;:::: k. On a
0=
l:
f(x)gn(x)dx =
l:
f(x)cp(x)ex 2 ~k 2 dx.
On en déduit que f(x) = 0 presque partout sur ] - k, k[ et ensuite f(x) = 0
presque partout sur JR.
CHAPITRE 7. TRANSFORMÉE DE FOURIER
286
Exercice 7. 7.12 Soit f une fonction localement sommable telle que l'intégrale
converge. Montrer que cette fonction détermine une distribution tempérée.
Exercice 7. 7.13 Soient (Tk) une suite de distributions tempérées et ('.h) une
suite de transformées de Fourier. Montrer que si (Tk) converge vers T, alors
(Tk) converge vers T. Trouver un exemple montrant que ce résultat n'est pas
valable dans le cas des fonctions.
Exercice 7.7.14 En utilisant la transformée de Fourier, déterminer la solution u(x, t) de l'équation aux dérivées partielles
â 2u
â 2u
V(x, y) E lR x JR+
âx 2 + ây 2 = 0,
avec la condition: u(x,O) = <p(x) (fonction connue) et Iimu(x,y) =O. {On
y-+O
suppose évidemment que u et f satisfont aux conditions d'utilisation des transformées de Fourier).
Réponse : En utilisant un raisonnement similaire à celui de l'exercice 7.6.6, on
obtient la solution u(x, y) = ~ J~00 (x-tf2+y2 <p(t)dt.
Exercice 7. 7 .15 M éme question que l'exercice précédent pour l'équation des
cordes vibrantes :
XE IR, t E / IR+
avec les conditions :
âu
ât (x, 0) = 'l/;(x),
u(x, 0) = <p(x),
où <p et 'l/J sont des fonctions connues.
Réponse : u(x, t) = cp(x+at)~cp(x-at) + 2~ J:~;/ 'l/;(s)ds.
Exercice 7. 7.16 Soit f une fonction telle que : Î(w) = 0, Vw E [-c, c], où
c > O. Montrer que Î(w) étant à support borné, sa transformée inverse est de
classe C00 et f(x) = ;:- 1 (FJ)(x), Vx ER En outre, on a
f(x) =
~ f (~) sin 7r(2cx - k) .
.L....J
k=-00
2c
7r(2cx-k)
287
7. 7. EXERCICES PROPOSÉS
Exercice 7. 7.17 Soient f E C1 et (ak) une suite numérique positive telle que:
limk-+oo ak =O. On pose
'Pk(x) =
1-:
e-aklwlÎ(w)e-27riwxdw,
w E lR
Montrer que la suite de fonctions (cpk) converge dans C1 vers la fonction f.
Indication: Utiliser un raisonnement similaire à celui fait dans l'exercice 7.6.24,
en choisissant comme fonction auxiliêre : 9k(x) = e-aklwl et considérer la fonction
'Pk(x) =
1-:
9k(x)Î(w)e- 21riwxdw,
w ER On montre par la suite que ll'Pk - fll1 tend vers 0 lorsque k---+ O.
Exercice 7. 7 .18 Déterminer la transformée de Fourier de la fonction radiale
f(x) = - 1-e>-llxll
llxll
'
(potentiel de Yukawa)
où À est une constante strictement positive.
Troisième partie
TRANSFORMATION DE
.LAPLACE
Chapitre 8
Transformée de Laplace
Introduction
Ce chapitre est consacré à l'étude d'une transformation intégrale d'un usage
fréquent : la transformée de Laplace. C'est en gros la généralisation de la
transformée de Fourier. La classe des fonctions admettant une transformée de
Laplace est plus vaste que celle des fonctions pour lesquelles la transformée
de Fourier est définie. La transformée de Laplace F(p) est une fonction de
la variable complexe p. Néanmoins, dans beaucoup d'applications, l'utilisation
des transformées de Laplace se résume à des manipulations algébriques et à
la consultation d'un dictionnaire de transformées. Nous allons d'abord étudier
la transformée de Laplace d'une fonction f(x) localement sommable définie
sur R+ {fonction causale, c'est-à-dire f(x) = 0 pour x < 0). On étudie le
problème d'inversion de la transformée de Laplace qui consiste à déterminer
une fonction f(x) dont F(p) soit la transformée de Laplace. Ensuite on étudie
la transformée de Laplace des distributions. La transformée de Laplace est
un outil très efficace pour résoudre des équations différentielles ordinaires ou
aux dérivées partielles ainsi que des équations fonctionnelles ou intégrales. Le
reste du chapitre comporte de nombreux exercices importants complètement
résolus ainsi que des exercices proposés avec éventuellement des réponses ou
des indications.
8.1
Transformée de Laplace des fonctions
Définition 8.1.1 Soit f : R+ -----+ R (ou C}, une fonction localement sommable. On appelle transformée de Laplace de f(x) la fonction notée .C{f(x)}
292
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
ou F(p) de la variable complexe p = a + iw définie par
C{f(x)} = F(p) =
fo f(x)e-pxdx.
00
(8.1.1)
La fonction f est appelée original de F et F l'image de f.
Les notations de la transformée de Laplace sont très variées. Citons à titre
d'exemple: F(p) = C{f(x)}, C(f)(p), f, f(x) r-- F(p), f(x) :::J F(p).
Remarques 8.1.1 a) Il faut noter que F(p) n'existe pas toujours. Pour s'en
convaincre, il suffit de choisir l'exemple f(x) = ex 2 • Pour cette fonction l'intégrale ci-dessus n'est pas définie.
b) Les valeurs de f pour x < 0, n'interviennent pas dans la définition
ci-dessus. Une fonction f telle que : f(x) = 0 pour x < 0 est dite causale. Evidemment, on peut rendre une fonction causale en la multipliant par la fonction
de Heaviside.
c) Si f: IR--+ IR (ou C) est une fonction localement sommable, on définit
la transformée de Laplace bilatérale par
C{f(x)} = F(p) =
1-:
J(x)e-pxdx.
Notons que la transformée de Laplace de f définie par (8.1.1) coincide avec
la transformée de Laplace bilatérale de H(x)f(x) où H(x) est la fonction de
Heaviside.
d) Soit f une fonction définie sur IR+ et possédant une transformée de
Laplace j. Soit p =a+ iw E C. Pour a= 0, l'expression
F(iw) =
J_oo J(x)e-iwxdx = Î( 2w),
7r
f
00
détermine un lien entre transformées de Laplace et de Fourier. La transformée de Laplace peut-€tre considérée comme une extension de la transformée de
Fourier. Par ailleurs, pour a quelconque fixé, on a
F(a + iw) =
1-:
e-ux f(x)e-iwxdx,
c'est-à-dire F(a + iw) est la transformée de Fourier de la fonction f(x)e-ux
.
w
prise en 211".
e) On verra dans l'exercice 8.4.1 que si f est une fonction définie sur IR,
nulle pour tout x < 0, continue par morceaux sur [O, +oo[ et si en outre ils
existent des constantes M > 0 et ao telles que : lf(x)I ::; Meuox, Vx ~ xo,
(la fonction f est dite de type exponentielle à l'infini), alors la transformée de
Laplace existe pour tout a > ao.
293
8.1. TRANSFORMÉE DE LAPLACE DES FONCTIONS
Proposition 8.1.2 Si l'intégrale (8.1.1} converge pour Re p = uo, alors il en
est de méme pour tout p tel que : Re p ~ uo.
Démonstration : En effet, on a
Puisque J~00 lf(x)le-uoxdx existe, on en déduit que J~00 lf(x)e-pxldx existe
aussi. Par conséquent, la transformée de Laplace F(p) existe dans le demi-plan
défini par {p E C : Re p ~ uo}, ce qui achève la démonstration. D
Corollaire 8.1.3 Si l'intégrale (8.1.1} diverge pour Re p = uo, alors elle diverge pour Re p < uo.
Définition 8.1.4 Soit f E .C1 0 c([O, +oo[). Le nombre
uo = inf{u E ~: f(x)eux E .C1 0 c([O, +oo[)},
s'appelle abscisse de sommabilité ou abscisse de convergence absolue de la fonction f. Le demi-plan de convergence {p = u + iw : Re p = u > uo} est le
domaine de sommabilité sur lequel F(p) est défini.
Exemple 8.1.1 La transformée de Laplace de la fonction d'Heaviside H(x)
égale à 1 si x ~ 0, 0 si x ~ 0, est
.C{H(x)} =
1
00
e-pxdx = lim
Q
U-->00
1- ePU
p
1
= -,
p
pourvu que Re p > 0, c'est-à-dire l'abscisse de sommabilité est uo =O.
Nous allons étudier ci-dessous un certain nombre de propriétés élmentaires
sur les transformées de Laplace.
Propriété 8.1.5 (Linéarité}. La transformée de Laplace est une application
linéaire. Plus précisément, Pour tout a, f3 E C, pour toutes fonctions f, g,
d'abscisses de sommabilité respectives uo, ço, alors
.C{af(x + f3g(x))} = a.C{f (x)} + {3.C{g(x)} = aF(p) + f3G(p),
où Re p > max{uo,ço}.
Démonstration : En effet, si les fonctions f et g admettent des transformées
de Laplace:
.C{f(x)} = F(p) =
1
00
f(x)e-pxdx,
.C{g(x)} = G(p) =
1
00
g(x)e-pxdx,
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
294
alors
.C{ af(x) + ,Bg(x)}
fo 00 (af(x) + ,Bg(x))e-pxdx,
=
a fo 00 f(x)e-pxdx + ,B fo 00 g(x)e-pxdx,
-
a.C{f(x)} + ,B.C{g(x)},
aF(p) + ,BG(p),
où a et ,B sont des constantes. Si les abscisses de sommabilité de f et g sont
respectivement uo et ço, alors le domaine de sommabilité sur lequel af + ,Bg
est défini est {p E C : Re p > max{ uo, ço}}. D
Propriété 8.1.6 (Translation). Si .C{f(x)} = F(p), alors
Re p > uo.
.C{f(x - c)} = e-cp F(p),
Démonstration : Posons
g(x) = { j(x - c0) Si X> C
si X< Ü
On a
fo 00 g(x)e-pxdx,
.C{g(x)}
foc g(x)e-pxdx +
1
00
1
00
g(x)e-pxdx,
f(x - c)e-pxdx,
=
e-pc fo 00 J(t)e-ptdt,
=
e-pcF(p),
t =X - c
ce qui achève la démonstration. D
Propriété 8.1.7 Si .C{f(x)} = F(p), alors
.C{f(x)e-ax} = F(p +a),
Démonstration : On a évidemment
d'au le résultat. D
Re(p +a) > O'Q.
295
8.1. TRANSFORMÉE DE LAPLACE DES FONCTIONS
Propriété 8.1.8 (Changement d'échelle}. Si .C{f(x)} = F(p), alors
.C{f(cx)} = ~F (~),
Démonstration : On a
.C{f(cx)} =
1
00
0
11
f(cx)e-pxdx = c
c >O.
1(!?.),
f(t)e-~tdt = -F
00
c
0
c
où t = ex, ce qui achève la démonstration. D
Propriété 8.1.9 (Conjugaison complexe). Si .C{f(x)} = F(p), alors
.C{f(x)} = F(p).
Démonstration : On a
.C{f(x)} =
1
00
f(x)e-pxdx =
1
00
f(x)e-lixdx = F(p)
et la démonstration s'achève. D
Exemple 8.1.2 Les transformées de Laplace des fonctions exponentielle et
trigonométriques sont
.C{e-ax} =
.C{coswx}
f e-(a+p)xdx = - 1 -,
lo
a+p
00
= .C { eiwx ~ e-iwx } '
=
=
1
.
1
.
2.c{eiwx} + 2.c{e-iwx},
(propriété 8.1.5)
~ (-iw1+ p) + ~ Cw ~ p) '
p
= p2 +w2'
et
Re p >-Re a
Rep> 0
.C{ sin wx} = .C { eiwx ~ .e-iwx } =
i
2 w 2'
p +w
Re p >O.
Proposition 8.1.10 La transformée de Laplace d'une/onction localement sommable f, est une fonction holomorphe dans le domaine de sommabilité {p E
C: Re p > uo} et on a la formule
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
296
Démonstration : Soient F(p) = f000 f(x)e-pxdx, la transformation de Laplace
de f et uo l'abscisse de sommabilité de f. En dérivant formellement les deux
membres, on obtient successivement,
Montrons que l'abscisse de sommabilité de (-x)n f(x) est encore uo. En effet,
par hypothèse f est localement sommable, donc on ne tiendra pas compte des
grandes valeurs de x. Or à l'infini, les fonctions f(x)e-px et (-xr f(x)e-px ont
même comportement, donc elles ont le même abscisse de sommabilité. Pour
établir la formule de dérivation ci-dessus, il suffit de vérifier les conditions
d'application du théorème de dérivation sous le signe somme. Notons que pour
tout p = u + iw avec u > uo, on a
La fonction xnlf(x)le-uox est sommable et on en déduit que (-x)n f(x)e-px
est sommable aussi et qu'il est donc légitime de dériver sous le signe somme
tant que u > uo. La démonstration s'achève. D
Exemple 8.1.3 Déterminons la transformée de Laplace de xn. D'après la
proposition précédente, on a .C{xnf(x)} = (-1rp(n)(p). Ici f(x) = 1 et
F(p) = ~' d'où
Explicitement, on a
1
.C{x} = 2'
p
2
2
.C{x } = 31
p
'
.c{ n}
X
n!
= pn+l'
Le résultat suivant joue un rôle important dans la résolution des équations
intégrales.
Propriété 8.1.11 Si .C{f (x)} = F(p) et .C{g(x)} = G(p), alors
.C{(f * g)(x)} = F(p)G(p),
Re p > max{uo, ço}
où uo et Ço sont les indices de sommabilité de f et g respectivement
Démonstration : On a
297
8.1. TRANSFORMÉE DE LAPLACE DES FONCTIONS
Notons que: 0 St S x, 0 S x < oo ou 0 St< oo, t S x < oo. Pour pouvoir
utiliser le théorème de Fubini, il faut s'assurer que l'intégrale double :
converge. En effet, en posant r = x - t et en tenant compte du fait que le
jacobien est égal à 1, cette intégrale se ramène à
1 00 f(t)e-ptdt1 00 g(r)e-pr dr.
Cette dernière existe car par hypothèse .C{f(x)} et .C{g(x)} existent. Dès lors,
.C{(f * g)(x)} = .C{f(x)}.C{g(x)} = F(p)G(p),
ce qui achève la démonstration. D
Le résultat suivant et sa généralisation (voir ci-dessous) concerne le lien
entre la transformée de Laplace d'une fonction et de ses dérivées, il est particulièrement utile en pratique.
Proposition 8.1.12 Soit f une fonction localement sommable. On suppose
que pour tout x > 0, f est continue, sa dérivée f'(x) existe et est continue par
morceaux. S'il existe des constantes M > 0 et uo telles que : Jf (x) J S M euox,
pour tout x 2 xo, alors
.C{f'(x)} = p.C{f(x)} - f(o+) = pF(p) - J(o+),
Re p > uo
Démonstration : On a pour tout p E C tel que: Re p > uo,
En faisant une intégration par parties, on obtient
lu J'(x)e-pxdx = J(u)e-pu - f(e)e-pe +plu J(x)e-pxdx.
Comme Jf(u)J S Meuou, alors
f(u)e-pu S MeuouJe-puJ = Me(uo-u)u,
p = O" + iw.
Cette dernière expression tend vers 0 lorsque u ---+ +oo car Re p = u > uo.
Dès lors,
lim f 00 !'(x)e-pxdx = lim (p ru f(x)e-pxdx - f(e)e-pe) '
e--+0 le
e--+0
le
298
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
et cette limite existe si et seulement si J(o+) = lime-+O f(c) existe. D'où,
ce qui achève la démonstration. D
En général, si f(x) est discontinue aux points x1, ... , Xn, alors
n
.C{f'(x)} = p.C{f(x)} - J(o+) -
L e-Pxk(f(xt) - f(x/;)).
k=l
Notons aussi que les expressions ci-dessus se généralisent par récurrence pour
les dérivées d'ordres supérieures. Par exemple pour l'expression obtenue dans la
proposition précédente, supposons que f est localement sommable, f est continue pour tout x > 0, les dérivées f'(x), ... , j(n-l)(x) existent et sont continues
par morceaux, il existe des constantes M > 0 et uo telles que: lf(x)I :S Meuox
pour tout x 2'.: xo, alors
En effet, pour n = 1, on vient de prouver que
.C{f'(x)} = p.C{f(x)} - f(o+).
Supposons la formule en question vraie jusqu'au rang net montrons qu'elle est
vraie au rang n + 1. On a
p.C{f(n)(x)} - j(n)(o+),
= p(pn F(p) _ Pn-1 J(o+) _ Pn-2 j'(o+) _ ...
-pf(n-2)(0+) - j(n-1)(0+)) - f(n)(o+),
Pn+I F(p) _ Pn J(o+) _ Pn-1 !' (o+) _ ...
-pf(n-l)(o+) - f(n)(o+).
.C{f(n+l)(x)} =
Proposition 8.1.13 Si .C{f (x)} = F(p), alors
.C
{fox f(t)dt} = F~), Re p > max(O, uo).
Démonstration : Posons g(x) =
on a
J; f(t)dt. D'après la proposition précédente,
.C{g'(x)} = p.C{g(x)} - g(O) = p.C{g(x)},
8.1. TRANSFORMÉE DE LAPLACE DES FONCTIONS
299
car g(O) = O. Or g'(x) = f(x), d'où .C{g'(x)} = .C{f(x)}. On en déduit que
p.C{g(x)} = .C{f(x)}, c'est-à-dire
.c {fox f(t)dt} = .c{f;x)} = F;p),
ce qu'il fallait démontrer. D
Proposition 8.1.14 (comportement à l'infini). Si f est une fonction ayant
un abscisse de sommabilité ao, alors pour Re p > ao, on a limp-+oo F(p) =O.
Démonstration : Soit F(p) = J000 f(x)e-pxdx. Posons p = ao + iw = ao + rei9 .
Pour - ~ < (} < ~, on a cos(} > 0 et
lim lf(x)e-pxl
p-+oo
= lim lf(x)le-uoxe-rcosOx = 0,
p-+oo
et il suffit d'utiliser le théorème de convergence dominée pour avoir le résultat.
Pour (} = ~, on a p = ao + ir et
F(p) =
fo J(x)e-uoxe-irxdx = F{f(x)e-uox}, (F: transformée de Fourier)
00
Le résultat découle du lemme ou théorème de Riemann-Lebesgue. D
Proposition 8.1.15 (théorème de la valeur initiale ). Soit f une fonction
ayant une transformée de Laplace et telle que J(o+) existe. Alors,
lim pF(p) = J(o+).
p-+oo
Démonstration : On a
.C{f'(x)} =
fo f'(x)e-pxdx = pF(p) - J(o+), (proposition 8.1.12)
00
D'après la proposition précédente, toute transformée de Laplace tend vers 0
quand p -+ oo. Par conséquent
lim (pF(p - J(o+)) = o,
p-+oo
ce qui achève la preuve. D
Proposition 8.1.16 (théorème de la valeur finale). Soit f une fonction ayant
une transformée de Laplace et telle que limx-++oo f (x) = f (+oo) existe et est
finie. Alors,
limpF(p) = f(+oo).
p-+0
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
300
Démonstration : D'après le théorème de convergence dominée, on a
lim · {''° f'(x)e-pxdx = {''° J'(x)dx = /(+oo) - f(o+).
p-->O
lo
lo
Or d'après la proposition 8.1.12, on sait que :
.C{f'(x)} = pF(p) - J(o+).
En comparant avec ce qui précède, on obtient
lim(pF(p) - f(o+)) = f( +oo) - J(o+),
p-->0
et le résultat en découle. 0
Considérons l'intégrale
où F(p) est la transformée de Laplace de f. En posant p =a+ iw, dp = i<h.ù,
l'intégrale ci-dessus s'écrit
Notons que lorsqu'on peut appliquer le théorème d'inversion de Fourier (chapitre précédent), alors la limite de l'expression ci-dessus lorsque À --+ oo, est
égale à f(x) si x > 0 et à 0 si x < O. Voyons avec un peu plus de détail la
question d'inversion d'une transformée de Laplace.
Proposition 8.1.17 Soit F(p) = F(a + iw) une fonction holomorphe dans
le demi-plan {p E C : Re p > ao}. On suppose que limlPl--++oo IF(pl = 0 pour
Re p > ao et pour tout a> ao, la fonction
w E lR ~ F(a+iw),
est sommable sur lR (c'est-à-dire F est une fonction sommable en w, pour tout
a> ao). Alors l'original f de F est donné par la formule de Bromwich- Wagner
suivante :
1
f(x) = -2 .
71'?,
1u+ioo F(p)ePxdp,
u-ioo
O"
> ao
(8.1.2)
8.1. TRANSFORMÉE DE LAPLACE DES FONCTIONS
301
Démonstration : Soit
F(p) = fooc f(x)e-pxdx,
p = u + iw, Re p > uo
la transformée de Laplace de f. Soit Po fixé tel que : Re Po > u. On a
L'interversion de l'ordre des intégrations est ici légitime car si p = u + iw,
dp = idw, alors
et l'intégrale f~oc IF(u+iw)ë7 xldw converge car par hypothèse la fonction Fest
sommable pour tout u > uo. Dès lors, puisque Re p = u <Re Po; c'est-à-dire
Re (p - Po) < 0 et x > 0, alors
rooc f(x)e-POXdx =
Jo
=
~ 1u+ioc ( roc e(P-Po)xdx) F(p)dp,
27ri
u-ioc
Jo
- ~ 1u+ioc F(p) dp.
2m
u-ioc
P - Po
Pour calculer cette intégrale, il suffit d'utiliser la méthode habituelle des résidus. En effet, considérons le contour de Bromwich :
C = -yU]u - iw, u + iw[,
où
'Y= {p E C; IPI = r, Re p > u },
est l'arc de cercle de rayon r et de centre O. On a
roc f(x)e-POXdx = ~ 1u+iw F(p) dp = ~ r F(p) dp.
Jo
2m u-iw P - Po
2m Je P - Po
Sur -y, on a
dpi ~ 7r~ I sup IF(p)I.
11 PF(p)
- Po
r - Po
pE-y
7
Le second membre tend vers 0 lorsque r---+ oo, donc
lim
1
F(p) dp =O.
r-+oc 'Y P - Po
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
302
Par ailleurs, sur C la fonction :i~~ possède un pôle simple en p = PO· En
appliquant le théorème des résidus, on obtient
rXJ f(x)e-P Xdx = 21 .21l'i Rés ( F(p) ,po) = F(po),
0
lo
m
p- Po
ce qui achève la démonstration. D
Dans l'intégrale (8.1.2) de Bromwich-Wagner, l'intégration de la fonction
d'une variable complexe se fait le long d'une droite parallèle à l'axe imaginaire d'abscisse a > ao, située dans le domaine de convergence et parcourue
de bas en haut. Toutes les singularités de F(p) sont à gauche de cette droite,
puisque celle-ci est située à droite de l'abscisse de sommabilité ao. Dans certains cas, il est nécessaire de calculer cette intégrale, en utilisant les techniques
d'intégration d'une fonction d'une variable complexe, notamment la méthode
habituelle des résidus 1 . Pour des exemples d'utilisation de la formule de Bromwich, voir exercices 8.4.11, 8.4.13, 8.4.14, 8.4.32. Cependant, dans la plupart
des applications courantes, l'image F(p) est une fraction rationnelle et il est
plus simple d'effectuer une décomposition en éléments simples de la fonction
plutôt que d'utiliser la formule de Bromwich-Wagner. Pour faciliter l'utilisation des transformées de Laplace usuelles, nous groupons quelques unes dans
le tableau suivant :
1 Rappelons que d'après le théorème de Cauchy, si f(z) est une fonction holomorphe
dans un domaine simplement connexe n c C et si 'Y est un chemin fermé contenu dans
n, alors J"'I f(z)dz = O. De même, si f(z) est une fonction holomorphe dans un domaine
simplement connexe n c C, sauf en z1, z2, ... , Zk, si 'Y est un chemin fermé contenu dans
n entourant tous ces points et si 'Yi (1 $ j $ k) est un chemin fermé contenu dans
le domaine intérieur à 'Y entourant z; et n'entourant pas les autres z1 (l =/= j), alors
J"'I f(z)dz = E;=l J"'lj f(z)dz. Par ailleurs, d'après le théorème des résidus, si n c c est
un domaine, z1, Z2, ... , Zk E 0 et f : 0\ {z1, Z2, ... , Zk} ---+ C, est une fonction holomorphe,
alors J"'I f(z)dz = 27ri
1 Rêsf(z, zo), où 'Y est un chemin fermé contenu dans n à l'intérieur duquel sont contenus tous les z;. Pour le calcul des résidus, on utilise souvent
les formules suivantes : lorsque zo est un pôle d'ordre m de f(z), alors Résf(z, zo) =
(m:_l)! }!.~0 d~';;,"~\ ((z - zor f(z)). Lorsque zo est un pôle simple de f(z) =
avec
L:;=
Gffi,
P(zo) f:. 0 et Q(zo) = 0, alors Rêsf(z, zo) = ;,\:~) si Q'(zo) f:. O. Lorsque zo est un point
singulier essentiel de f (z), le résidu s'obtient en développant f (z) en série de Laurent autour
de zo. Dans les résultats (lemmes de Jordan) qui suivent 71 (resp. 7 2) désignera le demicercle de centre 0 et de rayon r (resp. e). Si lf(z)I $~pour z = rei 9 , où k > 1 et M sont
des constantes, alors limr-+oo f"'/ 1 f(z)dz =O. Si lf(z)I $ ~ pour z = rei 9 , où k > 0 et M
sont des constantes, alors limr-+oo J"'Il f(z)eimzdz = O. Si z = 0 est u pôle simple de f(z),
alors limr-+oo f"'/ 2 f(z)dz = -1riRésf(z, 0). D'autres versions de ces lemmes existent dans la
littérature. Pour les intégrales faisant appel à des "fonctions" multiformes, le principe de
la méthode est le même, à ceci près que les intégrants multiformes doivent être uniformisés
au moyen d'une coupure adéquate. Les contours d'intégration ne pouvant pas traverser ces
coupures, l'intégrant sera déterminé univoquement par une de ses déterminations le long de
ces contours.
8.2. TRANSFORMÉE DE LAPLACE DES DISTRIBUTIONS
f (x)
1
eax
F(p) = .C{f(x)} = f0ou f(x)e-Pxdx
.!
'/)
_!_
v-a
n!
xn
_ fln+lJ
:vn+I -
:vn+I
~
:11'
xa, a> 1
e0 x sinax
a
rv-al2+a2
p-b
èxcosax
e0xsinhax
(v-a)2+a2
a
(p-a)2-a2
ebx coshax
rv-al2-a2
p-b
-..:ap
xsinax
(p2+a2
f:!
'f!,_"-a"
xcosax
xne-ax
lnx
303
eV- +a212
n!
rv+ain+I
-~ , C = 0.57721..., (constante d'Euler)
'/)
Dans ce tableau, r(a) = f 000 e-tta- 1dt, Rea > 0, désigne la fonction
gamma d'Euler. On montre aisément que cette intégrale converge absolument
sur le demi-plan complexe où Re a > O. Une intégration par parties montre
que: r(a + 1) = ar(a) et en particulier, on a r(n + 1) = n! pour tout n EN.
8.2
Transformée de Laplace des distributions
Définition 8.2.1 Soit Tune distribution de 'D~ (c'est-à-dire à support borné
à gauche). Supposons qu'il existe ao E lR tel que pour a > ao, la distribution
e-uxT soit tempérée. Alors, la transformée de Laplace de T est la fonction de
C dans C définie par
.CT(p) = (T, e-px),
Re p =a > ao.
Comme pour les fonctions, ici aussi la borne inférieure des ao s'appelle
abscisse de sommabilité. Il n'est pas difficile de montrer que l'expression cidessus a bien un sens. En effet, soit a(x) une fonction définie sur IR, de classe
C00 à support limité à gauche et égale à 1 sur un voisinage de IR+. Pour Re p =
a > ao,. il existe a1 E lR tel que : ao < a1 < a. Dès lors, e-uixr E S',
a(x)e-(p-ui)xT ES' et l'expression (e-u 1 xT, a(x)e-(p-ui)x) a un sens. Cette
définition ne dépend ni du choix de a1 ni celui de a(x). Pour a1, c'est évident.
Pour a(x), soit f3(x) une autre fonction satisfaisant aux mêmes hypothèses que
a(x). Alors, la fonction a(x) - f3(x) est nulle sur un voisinage de supp T et
par conséquent l'expression (e-u 1 xT, (a - f3)(x)e-(p-ui)x) est nulle.
304
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
On peut définir la transformée de Laplace d'une distribution dans d'autres
cas. Mais il faut bien noter que si Test une distribution quelconque, la fonction
.CT(p) n'est pas définie puisque la fonction e-px est de classe C00 mais n'est
pas à support borné, donc e-px </. 'D. Par contre si T ES', .CT(p) est définie
(sur Re p > 0) pour tout p tel que e-px soit à décroissance rapide en tant que
fonction de x.
Exemple 8.2.1 La transformée de Laplace de la distribution ô de Dirac est
.Cô = 1. En effet, on a .Cô = (ô, e-Px) = 1.
Exemple 8.2.2 La transformée de Laplace de la dérivée nième de la distribution ô de Dirac est .C ( oCn)) = pn. En effet, on a
(-1r
(o, (e-px)(n)l,
(-1r (o, (-pre-px),
(-l)n(-pr,
pn.
Remarque 8.2.1 Lorsque T est associée à une fonction localement sommable
f de IR+ dans lR (ou C), on aura
On retrouve ainsi la définition de la transformée de Laplace au sens des fonctions.
Comme pour les fonctions, la transformée de Laplace des distributions
est évidemment linéaire. Si T E 'D~ admet une transformée de Laplace pour
Re p > o-o et si S E 'D~ admet une transformée de Laplace pour Re p > ço,
alors on a pour Re p > max(o-o,ço), .C(aT + /38) = a(.CT + /3(.CS), où a et /3
sont des constantes.
Proposition 8.2.2 Dans son demi-plan de définition {p E C : Re p > o-o}, la
fonction .CT(p) est holomorphe et on a
8.2. TRANSFORMÉE DE LAPLACE DES DISTRIBUTIONS
305
Démonstration : En effet, soient p E C et h assez petit tels que : Re p > cro et
Re (p + h) > cro. Posons F(p) = CT(p). D'où
l~ F(p + h~ - F(p)
-(p+h):i:
-
l~ ~ ((T, e-(p+h)x) - (T, e-px)) '
=
lim ( T,
e-(p+h)x _ e-px)
h
h-+O
.
-px
Quand h ----+ 0, e
h -e
tend vers -xe-px, au sens de la convergence
dans S. Dès lors, T étant continue, on a
F'(p) = lim F(p + h~ - F(p) = (T, -xe-px),
h-+O
et généralement,
d'où le résultat. D
v+
Proposition 8.2.3 Soient T, S E
et possédant des transformées de Laplace CT et CS. Alors
C(T * S) = (CT)(CS).
v+,
Démonstration : En effet, par hypothèse T, SE
donc T *Sexiste. Si CT
(resp. CS) est définie pour Re p > cro (resp. Re p > ço), alors
C(T * S)(p) =
=
=
(T * S, e-px),
(Tu® Sv, e-p(u+v)),
(Tu, e-pu).(Sv, e-pv),
(CT) (p ).(CS)(p),
pour Re p > max(cro, ço), ce qui achève la démonstration. D
Exemple 8.2.3 En posant S = 8 dans la formule ci-dessus, on retrouve le
résultat obtenu dans l'exemple 8.2.1. En effet, on a dans ce cas
C(T * 8) = (CT)(Cô).
Or T * 8 = T, d'où CT = (CT)(Cô) et par conséquent Cô = 1.
Proposition 8.2.4 Si T E
v+ et admet une transformée de Laplace CT, alors
306
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
Démonstration : En effet, puisque T(n) = c)(n) * T, alors
ce qui achève la démonstration. D
Exemple 8.2.4 La transformée de Laplace de la dérivée nième de la distribution ô de Dirac est .C ( c)(n)) = pn(.Cô) = pn. On retrouve ainsi le résultat
obtenu dans l'exemple 8.2.2.
Remarque 8.2.2 Il faut bien prendre garde que les dérivées dans la proposition précédente sont envisagées au sens des distributions. Si H(x) est la fonction de Heaviside et si f : ~+ ~ ~ (ou <C), est une fonction localement
sommable ayant une transformée de Laplace .C{f (x)}, alors on peut écrire
.C{f(x)} = F(p)
=
=
1:
1:
H(x)f(x)e-pxdx,
f*(x)e-pxdx,
(f*(x), e-px),
.C{f*(x)},
où f*(x) est une fonction à support dans x ~ 0 et f* est la distribution qui lui
est associée. Dans le cas où f(x) n'est pas à support dans x ~ 0, la formule
établie dans la proposition 8.2.4 n'est pas définie pour f(x) mais on peut l'appliquer évidemment à la fonction H(x)f(x). Par exemple pour la fonction eax,
on a
.C{eax} = - 1- ,
Re p >Re a,
p-a
et pour pouvoir appliquer la proposition 8.2.4, on considère la fonction H(x )eax.
Au point x = 0, cette dernière fonction subit un saut
On désigne par Heax la distribution associée à H(x)eax, par (Heaxy la dérivée de cette distribution et par { (H eaxy} la distribution associée à la dérivée
usuelle de H(x)eax pour x < 0 et x > 0 et qui n'est pas définie pour x = O.
On a (voir section 2.2.3, chapitre 2},
(HeOiX)' = {(HeOiX)'} + uoô = aH(x)eOiX + ô.
D'après la proposition 8.2.4, on a
.C{aH(x)eax + ô} = p.C{H(x)eax}.
8.3. APPLICATIONS
307
Or d'après l'exercice 8.5.1, on a
1
.C{H(x)eax} = - - ,
p-a
donc
Re p >Re a,
.C{aH(x)eax + ô} = _P_,
p-a
et on vérifie que l'on a bien
a
p
--+1=--.
p-a
p-a
Pour la transformée inverse de Laplace, on a le résultat suivant (voir par
exemple (9, p.249-252)) :
Proposition 8.2.5 Une fonction holomorphe F(p) est la transformée de Laplace d'une distribution T E V~ si et seulement s'il existe un demi-plan
{p E <C : Re p > uo, uo E IR},
dans lequel on IF(p)I ~ P(IPI), où P(lpl) est un polynôme en IPI·
8.3
Applications
L'utilisation de la transformée de Laplace dans la résolution des équations
différentielles ou intégrales porte le nom de calcul symbolique. Cette méthode
a été introduite sans justification par Heaviside et elle est à l'origine de la
découverte des transformées de Laplace.
8.3.1
Équations différentielles
Soit l'équation différentielle linéaire d'ordre n à coefficients constants
dnx
~-lx
dx
ao dtn +ai dtn-l + · · · + an-1 dt + aox = y(t),
avec les conditions initiales
x(O) = xo,
x'(O) = xo,
... ,
X
(n-1) (O) _
(n-1)
-Xo
.
Pour déterminer la solution x = x(t), t 2: 0, de cette équation vérifiant les
conditions initiales ci-dessus, on procède comme suit : on désigne par X (p) et
Y(p) les transformées de Laplace de x(t) et y(t) respectivement. En prenant la
transformée de Laplace des deux membres de l'équation différentielle ci-dessus,
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
308
tout en tenant compte de la propriété 8.1.5 de linéarité et la propriété 8.1.12
de la dérivation (ainsi que sa généralisation), on obtient
ao (Pn X(p) - pn-lX(O) - Pn-2 X'(O) - ... - x(n-1)(0))
+a1 (Pn-1 X(p) - pn-2 X(O) - pn-3 X'(O) - ... - x(n-2)(0))
+ · · · + an-1 (pX(p) - X(O)) + anX(p) = Y(p).
Dès lors,
X(p) =
Y(p)
où
U(p) = ao (Pn-1 X(O) + Pn-2 X'(O) + ... + x(n-1)(0))
+a1 (Pn-2 X(O) + pn-3 X'(O) + ... + x(n-2)(0))
+ · · · + an-1X(O).
La solution x(t) (c'est-à-dire l'original de X(p)) s'obtient par la transformée
de Laplace inverse. Notons que puisque U(p) est un polynôme, alors si Y(p)
est une fraction rationnelle, X (p) sera aussi une fraction rationnelle.
Exemple 8.3.1 Considérons l'équation différentielle :
x"' - 3x" + 3x1 - x = t 2et,
avec les conditions initiales : x(O) = 1, x'(O) = 0, x"(O) = 2. Posons X(p) =
.C{x(t)}. D'où
.C{x"'(t)} - 3.C{x"(t)} + 3.C{x'(t)} - .C{x(t)} = .C{t 2 et},
p 3 X(p - p2x(O) - px'(O) - x"(O) - 3 (p2 X(p) - px(O) - x'(O))
2
+3 (pX(p) - x(O)) - X(p) = (p _ l) 3 .
En tenant compte des conditions initiales, on obtient
2
(p3 - 3p2 + 3p - 1) X (p) - p 2 + 3p - 1 = (p _ l )3 .
309
8.3. APPLICATIONS
D'où
X(p) =
p 2 -3p+l
2
1
1
1
2
(p- 1)3 + (p- 1)6 = P - 1 - (p - 1)2 - (p- 1)3 + (p- 1)6.
La solution x(t) cherchée est
x(t) = .C
-1 {
1 }
-1 {
1
}
-1 {
1
}
-1 {
1
}
p -1 -.C
(p- 1)2 -.C
(p- 1)3 +2.C
(p- 1)6 .
Or
C { tn-1 e -Olt
(n - 1)!
}
1 - -- (p + a)n'
donc en prenant successivement n = 1, n = 2, n = 3, n = 6 avec a= -1, on
obtient finalement
La méthode de Laplace peut s'appliquer à l'étude de certaines équations
différentielles à coefficients variables. Considérons à titre d'exemple l'équation
suivante:
Exemple 8.3.2 Déterminons la solution de l'équation différentielle :
tx" + (1 - 2t)x' - 2x = 0,
satisfaisant aux conditions initiales : x(O) = 1, x'(O) = 2. On a
.C{tx"} + .C{ (1 - 2t)x'} - 2.C{ x} = O.
Soit X(p) = .C{x(t)}, la transformée de Laplace de x(t). En tenant compte de
la proposition 8.1.10, la proposition 8.1.12 et sa généralisation, on obtient
.C{tx"(t)} = - ~.C{x"(t)} = - ~ (p 2 X(p)-px(O)-x'(O)),
d'où
.C{tx"(t)} = -p2 X'(p) - 2pX(p) + x(O),
De même, on a
.C{(l - 2t)x'} = .C{x'(t)} - 2.C{tx'(t)},
=
.
d
pX(p) - x(O) + 2 dp.C{x'(t)},
d
pX(p) - x(O) + 2 dp (pX(p - x(O)),
=
pX(p) - x(O) + 2X(p) + 2pX'(p),
2pX'(p) + (p + 2)X(p) - x(O).
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
310
L'équation précédente s'écrit donc sous la forme
(p - 2)X'(p) + X(p) = 0,
c'est-à-dire
dX(p) + _!E__ = O,
X(p)
p-2
d'où lnX(p) + ln(p - 2) =constante, et par conséquent X(p) = P?._2, où C est
une constante à déterminer. Dès lors,
x(t) = .c- 1 {X(p)} = c.c- 1 { __!_2 } = Ce 2t.
pOr par hypothèse x(O) = 1, donc C = 1 et finalement x(t) = e2t est la solution
de l'équation différentielle en question.
La méthode de la transformée de Laplace peut être utilisé pour résoudre
certaines équations aux dérivées partielles comme le montre l'exemple suivant:
Exemple 8.3.3 Déterminons la solution u(x, t) de l'équation aux dérivées partielles :
âu
ât
satisfaisant aux conditions :
u(x,O) = sinx,
u(O,t) = 0 = u(7r,t) = 0,
0 < x < 1,
t >O.
Soit U(x,p) = .C{u(x, t)} la transformée de Laplace de u(x, t). On a
.C { âu } = .C { â 2u } .
ât
âx 2
Or
roo âu
-ptdt
ât e
'
lo
lim {8 âu e-ptdt,
ât
s-+oo } 0
=
lim (u(x, t)e-ptl~ + p f8 u(x, t)e-ptdt) ,
S-+00
= p
lo
fo u(x, t)e-ptdt - u(x, 0),
00
pU(x,p) - u(x, 0),
8.3. APPLICATIONS
311
et
C { ô2u}
ôx2
=
c{~~}, v =ôxôu
100 ôv e-pt dt
ôx
'
d 100 v (x, te
) -ptdt,
dx
d 100 ôu -ptd
d
ae
t,
d2 100
dx
u(x, t)e-ptdt,
0
0
0
X
2
=
X
0
d2 U(x,p)
dx 2
donc
pU(x,p) - u(x, 0) =
d2U(x,p)
dx 2 ,
c'est-à-dire
d2 U(x,p)
(
)
.
dx 2
- pU x,p = smx.
La solution de cette équation est égale la somme de la solution générale de
l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation non homogène.
La solution générale de l'équation homogène est évidemment égale à
où C1 et C2 sont des constantes. Pour obtenir une solution particulière de
l'équation avec second membre, il suffit de la chercher sous la forme Csinx,
on obtient rapidement C = et donc - ~~~ est une solution particulière.
La solution de l'équation ci-dessus est par conséquent égale à
v!i
r.;
r.;
sin x
U(x,p) = C1ev,.,x + C2e-vPX - p + 1 .
Pour déterminer les constantes C1 et C2, on procède comme suit : on a
Par hypothèse, on a
U(O,p)
C{u(O,t)}=
U(7r,p)
= C{u(7r, t)} =
100
100
u(O,t)e-ptdt=O,
u(7r, t)e-ptdt = O,
312
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
donc C1 + C2 = 0, C1eVP7r + C2e-.JP7r = 0, ce qui implique : C1 = C2 = 0 et
sinx
_
U( X p ) ---.
,
p+l
Finalement, la solution de l'équation proposée est
u(x, t) = .c-1 {U(x,p)} = -e-t sinx.
8.3.2
Résolution des équations de convolution
On considère l'équation de convolution
a(t) * x(t) = b(t),
où l'inconnue est la distribution x et a, b sont des distributions données. Cette
équation admet dans 'D~ une solution si a possède dans 'D~ un inverse de
convolution noté a- 1 . Dans ce cas la solution unique x est donnée par
x(t) = a- 1 * b(t).
Soit A(p) la transformée de Laplace de a(t) et B(p) celle de b(t). Si le module
du complexe Atp) est majoré par un polynôme en la variable p, alors Atp)
est la transformée de Laplace de a- 1 . Dès lors, si ~~;~ est majoré en module
par un polynôme en la variable p, alors ~f;~ est la transformée de Laplace
de la solution x(t) de l'équation de convolution ci-dessus. Dans le cas où ~~;~
n'est pas une transformée de Laplace, alors il se peut que la solution x(t) de
l'équation ci-dessus existe mais n'admet pas de transformée de Laplace.
Exemple 8.3.4 Soit
Dô(t) * x(t) = b(t),
une équation de convolution où D est un opérateur différentiel à coefficients
constants. Alors .C(Dô(t)) est un polynôme P(p) de la variable p et la transformée de Laplace de l'inverse de convolution (Dô(t))- 1 de Dô(t) est donnée
par Ptp) . En utilisant une décomposition en éléments simples, on obtient
1
'""'
ak
P(p) = L.J (p - Pk) 0 k '
k
et par conséquent
tak-1
(Dô(t))- 1 = H(t) ~ ake-Pkt (ak _ l)!,
où H(t) est la fonction de Heaviside.
313
8.3. APPLICATIONS
8.3.3
Résolution des équations intégrales
La transformée de Laplace permet d'étudier un grand nombre d'équations
intégrales. La propriété relative au produit de convolution joue un rôle cruciale.
C'est pour résoudre ce genre d'équations que Schwartz a inventé les distributions.
Une équation intégrale de Volterra de seconde espèce est une équation de
la forme
f(x) = g(x)
+fox k(x, t)f(t)dt,
où g, k sont des fonctions connues et f une fonction inconnue. La fonction k est
le noyau de cette équation. On considère le cas où le noyau dépend seulement
de la différence x - t, c'est-à-dire k(x, t) = k(x - t) avec k à support dans
~+· Soient F, G et K les transformées de Laplace respectives de f, g et k.
En appliquant aux deux membres de l'équation ci-dessus la transformée de
Laplace, on obtient
.C{f(x)} = .C{g(x)} + .C
{fox k(x - t)f(t)dt}.
D'après la définition du produit de convolution et la propriété 8.1.11, on a
.C
{fox k(x - t)f(t)dt} = .C{(k * f)(x)} = K(p)F(p),
d'où F(p) = G(p) + K(p)F(p). Par conséquent
G(p)
F(p) = l _ K(p),
K(p) =/: 1
L'original f(x) de F(p) est solution de l'équation intégrale en question.
Exemple 8.3.5 Déterminons la solution de l'équation intégrale suivante :
f(x) = x 2
+fox sin(x - t)f(t)dt.
En utilisant la transformée de Laplace comme ci-dessus, on écrit
f(x) = x 2 + sinx * f(x),
d'où
Dès lors,
x~0
.C{f(x)} = .C{x 2 } + .C{sinx * f(x)}.
2
1
F(p) = p3+p2+1 F(p),
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
314
et
2
2
F(p) = 5 + 3 ,
p
p
Re p > 0
Par conséquent,
x4
f(x) = _c-I{F(p)} = 12 + x2.
Le même procédé permet de résoudre des équations intégrales (non-linéaires)
de Volterra du type
f(x) = g(x)
+fox f(x - t)f(t)dt.
En effet, si F(p) est la transformée de Laplace de f(x) et G(p) celle de g(x),
alors
.C{f(x)} = .C{g(x)} + .C
{fox f(x - t)f(t)dt},
d'où F(p) = G(p) + F 2 (p) et pa conséquent F(p) = ~(1 + y'l - 4G(p)). Si
l'original f(x) de F(p) existe, il détermine la solution de l'équation en question.
Pour un exemple d'application, voir l'exercice 8.4.21.
La méthode des transformées de Laplace peut s'appliquer aussi à la résolution des systèmes d'équations intégrales de Volterra du type
fi(x)
= 91(x)
+fox ku(x - t)fi(t)dt +···+fox kin(x - t)fn(t)dt,
fn(x)
=
9n(x)
+fox kn1(x - t)fi(t)dt +···+fox knn(X - t)fn(t)dt,
où kij(x) et 9i(x), (1 ~ i,j ~ n), sont des fonctions connues et admettant des
transformées de Laplace Kij(P) et Gi(P) respectivement. Pour déterminer la
solution fi(x) 1 ~ i ~ n, de ce système, on raisonne comme précédemment et
on obtient le système d'équations algébrique suivant :
Fn(P) = Gn(P) + Kn1(p)Fi(p) + · · · + Knn(p)Fn(P),
où F1 (p), ... , Fn (p) sont les transformées de Laplace de fi (x), ... , f n(x). En résolvant ce système, on obtient Fi(P), 1 ~ i ~ n, et par la suite les originaux
fi(x), 1 ~ i ~ n. Voir l'exercice 8.4.24, pour un exemple d'application.
8.3. APPLICATIONS
315
La méthode décrite précédemment peut-être utilisée pour résoudre des
équations de la forme
f(n)(x) + aif(n-l)(x) + · · · + anf(x) +
f
lx kj(X - t)f(j)(t)dt = g(x),
j=a a
où ka(x), ... , km(x), g(x) sont des fonctions connues et ai, ... , an sont des constantes.
On cherche la solution f (x) satisfaisant aux conditions initiales :
f(O) =fa, ... , f(n-i)(o) = Jan-i).
On désigne par Ka(p), ... ,Km(P), G(p) les transformées de Laplace des fonctions
ka(x), ... ,km(x), g(x) respectivement. Appliquons la transformée de Laplace aux
deux membres de l'équation ci-dessus et utilisons les propriétés relatives à la
dérivée et au produit de convolution. On obtient
.C{f(n)(x)} + ai.C{f(n-l)(x)} + · · · + an.C{f(x)}
+
t.c {[
k;(x - t)f(;l(t)dt} = C{g(x)),
d'où
( Pn + aipn-l +···+an+
fJ=a pi
Kj(P)) F(p) = <I>(p),
où F(p) est la transformée de Laplace de f(x) et <I>(p) est une fonction connue.
On détermine donc F(p) et ensuite la solution f(x) = .c- 1 {F(p)} vérifiant les
conditions initiales ci-dessus (voir l'exercice 8.4.25, pour un exemple d'application).
Une équation intégrale de Volterra de première espèce est une équation de
la forme
g(x) =fox k(x, t)f(t)dt, g(O) = 0
(8.3.1)
où g, k sont des fonctions connues et f une fonction inconnue. Supposons que
les fonctions g, g', k et g~ soient continues pour x E [O, 8], t E [O, x]. En dérivant
terme à terme l'équation ci-dessus, on obtient
r 8k(x,
t)
ax f(t)dt.
g'(x) = k(x,x)f(x) +la
(8.3.2)
Toute solution f(x) continue sur [ü, 8] de l'équation (8.3.1) est aussi solution
de l'équation (8.3.2) et réciproquement. Supposons que k(x, x) #- 0, pour tout
x E [ü, 8]. On déduit de l'équation (8.3.2),
/( )
rx 8k(x,t)
f(x) = k~x~x) - la
~)f(t)dt.
316
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
On obtient ainsi une équation de Volterra de seconde espèce et on peut utiliser
les méthodes décrites précédemment pour l'étudier. Dans le cas où k(x, x) = 0,
on dérive l'équation (8.3.2) par rapport à x autant de fois que c'est nécessaire.
Exemple 8.3.6 Déterminons la solution de l'équation intégrale
sinx =fox ex-tf(t)dt.
Ici g(x) = sinx et k(x, t) = ex-t. On a g(O) = 0 et g, g', k, g~ sont continues.
En dérivant l'équation ci-dessus par rapport à x, on obtient
cosx = e0 f(x) - fox ex-tf(t)dt.
D'où
f(x) = cosx - fox ex-t f(t)dt = cosx - ex* f(x).
Soit F(p) = .C{f (x)} la transformée de Laplace de f(x). On a
.C{f(x)} = .C{cosx} - .C{ex}.C{f(x)},
d'où
p
1
F(p) = - - - -F(p).
2
p +1 p-1
Donc
p
1
F(p) = p2+1 - p2+1'
et par conséquent
f(x) = cosx - sinx.
8.3.4
Etude de la stabilité de quelques systèmes non-linaires
On considère le système d'équations différentielles non-linéaires du premier
ordre suivant :
{ x(t) = f(x, y),
(8.3.3)
y(t) = g(x, y).
On suppose que f et g sont des fonctions continûment différentiables. Un point
(xo, Yo) est dit point d'équilibre (ou point stationnaire) du système ci-dessus
si et seulement si f(xo, yo) = g(xo, Yo) = O. Nous allons utiliser la méthode
de Laplace pour étudier la stabilité du système ci-dessus et décrire quelques
critères nécessaires et suffisants de stabilité. Posons Lix = x-xo et Liy = y-yo.
D'où
Lix(t) = f(x + Lix, y+ Liy),
317
8.3. APPLICATIONS
t:.y(t) = 9(x + t:.x, y+ t:.y).
En utilisant la formule de Taylor à l'ordre 1, on obtient
.
8f
8f
.
89
89
t:.x(t) = f(xo, Yo) + 8 x t:.x + 8 y t:.y,
t:.y(t) = 9(xo, Yo) + 8 x t:.x + 8 y t:.y.
Or f(xo, Yo) = 9(xo, Yo) = 0, donc le système ci-dessus s'écrit sous forme
matricielle
(
~~ ) = ( f~ f~ )
(xo,yo)
( ~: ).
Soient t:.X(p) = .C{t:.x(t)} et t:.Y(p) = .C{t:.y(t)} les transformées de Laplace
de t:.x(t) et t:.y(t) respectivement. En appliquant la transformée de Laplace aux
deux membres des équations ci-dessus tout en tenant compte de la proposition
8.1.12, on obtient
t:.X(p)
t:.x(O) _
ax
8y
g_i
g_i)
( t:.X(p) )
(
)
(
)
(
p t:.Y(p) D.y(O) ~ ~ (xo,yo) t:.Y(p) '
d'où
)
( P - g_i _g_i
( t:.X(p)
t:.Y(p)
=
-~x P _a~
8x
)-l (
8y
t:.xo )
t:.yo .
(8.3.4)
(xo,yo)
Si toutes les valeurs propres de la matrice
(p _g_i
8x
_flfl.
8x
_g_i)
8y_
p-!!JJ.
8y
(xo,yo)
'
(8.3.5)
se trouvent dans le demi-plan gauche : Re p < 0, alors les trajectoires correspondant au système (8.3.3) dans le plan des x, y, s'approchent du point
d'équilibre (xo, Yo) lorsque t tend vers l'infini. On dit dans ce cas que le système
(ou la solution, ou encore la position d'équilibre (xo, yo)) est asymtotiquement
stable. Si au moins une valeur propre possède une partie réelle positive, le système (8.3.3) est instable au point (xo, Yo). En cas de nullité des parties réelles
la stabilité dépend des termes de la série de Taylor de degré supérieur à 1 ; il
n'existe pas dans ce cas de critère exhaustif de stabilité (on parle d'équilibre
indifférent).
En général la solution du système non-linéaire (8.3.3) ne s'exprime pas à
l'aide de fonctions élémentaires. Pour l'étude de la stabilité (asymptotique) de
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
318
ce système on développe, lorsque ceci est possible, les fonctions f et g en série
de Taylor2 au voisinage du point (xo, Yo). Comme précédemment, on ne retient
que les termes linéaires et l'analyse de la stabilité se réduit à la détermination
du signe des parties réelles des valeurs propres, c'est-à-dire des racines du
polynôme caratéristique lié au système.
Il est possible de faire cette analyse sans calculer explicitement les racines
du polynôme caractéristique considéré. Supposons par exemple que le polynôme caractéristique s'écrit sous la forme
·
où les ai, sont des coefficients réels. Alors une condition nécessaire pour que
toutes les parties réelles des racines de l'équation P(>.) = 0, soient négatives
est que tous les ai > O. Cette condition n'est suffisante que pour n ~ 2. Pour
obtenir des conditions qui sont à la fois nécessaires et suffisantes, on utilise le
critère suivant que l'on appelle critère de Routh ou de Routh-Hurwitz : pour
que toutes les racines de l'équation P(>.) = 0 aient des parties réelles négatives,
il faut et il suffit que tous les mineurs principaux de la matrice de Hurwitz
ai ao 0 0 0 0
a3 a2 ai ao 0 0
as a4 a3 a2 ai ao
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
soient strictement positifs. Les mineurs principaux de cette matrice sont
ao 0
a3 a2 ai
as a4 a3
0
0
0
ai
Lii = ai, Li2 = 1
ao
a3 a2
ai
J , ...
,Lin=
0
0
0
0
an
La condition nécessaire et suffisante de Routh-Hurwitz signifie que :
Lii > 0,
Li2 > 0,
Lin> O.
Or Lin= Lin-i·an, donc on peut remplacer Lin> 0 par an> O.
2 Rappelons que si Fest une fonction définie sur un ouvert n de IR" à valeurs dans JRP et
si Fest de classe C2 sur n, alors on a la formule de Taylor d'ordre 2 :
F(a + h) = F(a)
8F
1
8 F
+La-:
(a)hi + 2 L 8x-8 . (a)hihj + o(llhll
n
i=l
Xi
n
2
i,j=l
'
X3
2 ),
aEn
319
8.3. APPLICATIONS
Par ailleurs Liénard et Chipart ont formulé d'autres conditions nécessaires
et suffisantes de stabilité contenant moins d'inégalités sur les mineurs di que
ci-dessus. Plus précisément, pour que l'équation P(>..) = 0 ait toutes ses racines
à parties réelles négatives, il faut et il suffit que tous les ai > 0 et que
dn-1
> 0,
dn-3 > 0,
dn-5 > 0, ...
où les di sont les mêmes que ci-dessus.
D'autres conditions nécessaires et suffisantes de stabilité ont été obtenu par
Mikhaïlov. Son critère s'énonce comme suit : on pose>..= iw, d'où
P(>..) = P(iw) = u(w) + iv(w),
où
u(w) = an - an-2w 2 + an-4W 4 - · · ·
v(w) = an-1W - an-3w3 + an-sw 5 - · · ·
Étant donné le paramètre w, la grandeur P(iw) peut être représentée sur le
plan uov sous la forme d'un vecteur. Alors pour que le système en question
soit stable, il faut et il suffit que : lorsque w varie de 0 à +oo, le vecteur
f(iw) tourne d'un angle n27r dans le sens positif et ne passe pas par l'origine
des coordonnées. Une autre façon de formuler le critère de Mikhaïlov est le
suivant : le système en question est stable si et seulement si anan-1 > 0 et
que les racines des polynômes u(w) = 0, v(w) = 0, soient toutes positives ,
distinctes et alternantes (c'est-à-dire qu'entre deux racines arbitraires de l'une
de ces équations, on trouve une racine de l'autre équation).
Enfin et comme nous l'avons déjà signalé, en cas de nullité des parties
réelles c'est-à-dire lorsque les racines de l'équation caractéristique sont situées
sur l'axe imaginaire, le problème de la stabilité de la solution du système à
étudier se complique alors considérablement.
Exemple 8.3. 7 Déterminons les positions d'équilibre du système ci-dessous
et étudions sa stabilité :
2
{ x(t) = ln(y - x),
y(t) = X - y - 1.
Ici, on a f(x, y) = ln(y 2 - x) et g(x, y) = x - y - 1. Les points d'équilibre
(xo, Yo) sont déterminés par les équations
x(t) = ln(y2 - x) = 0,
y(t) =X - y - 1 = 0,
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
320
c'est-à-dire ln(x 2 - 3x + 1) = 0, y= x - 1 d'où (xo, Yo) = (3, 2) et (xo, Yo) =
(0, -1). Pour (xo, Yo) = (3, 2), la matrice (8.3.5) devient
( p-//x
- ~
-~ )
p-
~
= ( P+ y2~x
-Y'f~x)
p +1
- l
(3,2)
= ( P+ 1 p~3
- l
(3,2)
1 ).
Les racines de l'équation caractéristique : p 2 + 2p - 2 = 0, sont -1 ± v'3
et puisque l'une des parties réelles de ces racines est positive, on en déduit
que le point d'équilibre (3, 2) du système proposé est instable. De méme pour
(xo, Yo) = (0, -1), la matrice (8.3.5} s'écrit
-~)
( p-~
- ~
p- ~
-(p+l
-1
(3,2) -
2 )
p+1
.
Les racines de l'équation caractéristique : p 2 + 2p + 3 = 0, sont -1 ± i./2 et
puisque les parties réelles de ces racines sont négatives, on en déduit que le
point d'équilibre (3, 2) du système proposé est asymptotiquement stable.
Exemple 8.3.8 Le pendule simple est constitué par un point matériel suspendu à l'extrémité d'un fil (ou une tige théoriquement sans masse) astreint à
se mouvoir sans frottement sur un cercle vertical. On désigne par l la longueur
du fil (c'est-à-dire le rayon du cercle), g l'accélération de la pesanteur et x
l'angle instantané du fil avec la verticale. L'équation du mouvement est
.. g .
0
cp+ysmcp=.
(8.3.6)
Appliquons la méthode de Laplace à l'étude du mouvement du pendule simple
décrit par l'équation différentielle non-linéaire du seconde ordre ci-dessus. En
posant w2 = !f, x = cp(t) et y= cp(t), l'équation différentielle (8.3.6) se ramène
au système suivant
x(t) =
y(t)
cp =y= f(x, y),
cp = -w 2 sinx = g(x,y).
Pour déterminer les points d'équilibre (xo, Yo) du système, il suffit de résoudre
les équations f(x, y) = 0, g(x, y) =O. Les points d'équilibre sont donc donnés
par (xo, Yo) = ( k7r, 0) où k E Z. La fonction sin x étant périodique, il suffit d'examiner la nature des points (0,0) et (7r,O). Pour (xo,Yo) = (0,0), la
matrice (8.3.5) devient
(
p- ~
-~
-~
p-8~
8x
8y
)
(
(0,0)
=
p
w2 cosx
-1)
p
( -1)
p
(O,O) =
w2
p
.
321
8.3. APPLICATIONS
Les racines de l'équation caractéristique : p 2 + w2 = 0, sont p = ±iw. Comme
ces racines se trouvent sur l'axe imaginaire Re p = 0, on en déduit que l'équilibre est indifférent. Explicitement le système (8.3.4) s'écrit
)
( p
( LiX(p)
LiY(p)
=
w2
-1
p
)-l (
Lixo )
Liyo
1
= p2 + w2
(
p
1 ) ( Lixo ) .
-w2 p
Liyo
D'où
LiX(p)
p
1
2Lixo + 2
2Liyo,
p +w
p +w
w2
p
2
2Lixo + 2
2LÎY0,
p +w
p +w
2
LiY(p)
=
Lix(t)
= Lixo cos wt + Liyo--,
Liy(t)
=
et par conséquent
sinwt
w
-Lixowsinwt+Liyocoswt.
On montre aisément que la trajectoire du système en question dans le plan
(x,y) est une ellipse centrée à l'origine. Cette trajectoire ne s'approche ni ne
s'éloigne de l'origine lorsque t --+ 0. L 'origine est un point d'équilibre ni stable
ni instable; on dit qu'il est un centre. Pour (xo,Yo) = (7r,0), la matrice (8.3.5)
devient
_!li_ )
- !li
( p _!!.flaa8x
P _a~a
X
y
(11",0)
=
(
p
w2 cosx
-1 )
( p
P
( o) =
-w2
-1 )
P
.
71",
Les racines de l'équation caractéristique : p 2 - w 2 = 0, sont p = ±w. Une de
ces racines se trouve dans le demi-plan droite Re p > 0, donc le système en
question est instable au point (7r, 0). Explicitement le système (8.3.4) s'écrit
( LiX (p) ) = ( p 2
LiY(p)
-w
-1 -1 ( Lixo )
1
p 1 ) ( Lixo ) .
(
)
P
Liyo
= p2 - w2
w2 p
Liyo
D'où
LiX(p)
LiY(p)
=
et par conséquent
Lix(t)
Liy(t) =
sinhwt
,
w
Lixow sinh wt + Liyo cosh wt.
Lixo cosh wt + Liyo
322
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
On montre que la trajectoire du système en question dans le plan (x, y) est une
Hyperbole. Ce qui explique que le point d'équilibre (11", 0) est instable car la trajectoire s'éloigne de ce point lorsque t------+ O. Dans ce problème, on peut distinguer trois types de trajectoires : celles qui correspondent aux petites oscillations,
celles {les séparatrices) qui joignent deux cols et enfin celles qui correspondent
à une rotation complète autour du point de suspension du pendule.
8.4
Exercices résolus
Exercice 8.4.1 Soit f une fonction définie sur R et telle que :
{i) f(x) = 0, Vx <O.
{ii) f est continue par morceaux sur [O, +oo[.
{iii) il existe des constantes M > 0 et ao telles que :
Montrer que la transformée de Laplace existe pour tout u > uo.
Solution: On a
J;
L'intégrale 0 f(x)e-Pxdx existe car f est continue par morceaux. Concernant
l'autre intégrale, notons que
lf(x)e-pxl = lf(x)e-(u+iw}xl :S lf(x)le-ux :S Me-(u-uo)x,
(d'après (iii))
Or fx': Me-(u-uo)xdx converge car u > ao, donc d'après le critère de comparaison des intégrales généralisées, l'intégrale fx': lf(x)e-pxldx converge aussi, ce
qui entraine que fx00 f(x)e-pxdx existe. Par conséquent f000 f(x)e-Pxdx existe
dans le demi-plan {p E R : Re p > ao}.
Exercice 8.4.2 Déterminer les transformées de Laplace des fonctions :
a) x 1----+ sin y'X.
b} X !----+ co':;x..fi .
Solution: a) Au voisinage de 0, on a
3
5
7
9
x2
x2
x2
x2
sin./X=x2 - -+- - -+- - ...
3!
5!
7!
9!
1
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
323
Or .C{x 0 j = r;~tl), où I'(a) = f000 e-tt°'- 1 dt, Re a> 0, est la fonction gamma
d'Euler, donc
r(! + 1) r(~ + 1) r(~ + 1) r(~ + 1) r(~ + 1)
. r=}
.C { SIIlyX =
3
5
+
7
9
+
11
p2
3!p2
5!p2
7!p2
9!p2
Une intégration par parties montre que: I'(a + 1) = aI'(a), d'où
r(~+1) = ~r(~),
r (~ + 1)
2
=
~r
(~)
= ~}r (~)
2
2
22
2'
r (~ + 1)
2
=
~r
(~)
= ~.~}r (~)
2
2
222
2'
r (~ + 1)
2
=
~r
(~)
= ~.~.~}r (~)
2
2
2222
2'
r
(~ + 1) = ~r (~) = ~·~·~·~·~r (~).
En remplaçant ces expressions dans l'équation ci-dessus, on obtient
.
r(!) ( 1- ( - 1 ) +1 ( - 1 ) 2-1 ( - 1 ) 3 +··· ) ,
.C{sm../X}=2p~
22p
2! 22p
3! 22p
d'où
~ (-~
kl
. . r=} _ r(!)
.c{SIIlyX
- -3 L.J
2p2 k=O
t _ -~
r(!)
- -3 e
2p2
•
P.
Or
1)
[
r (2
= lo
00
e-tr2dt = 2 la
1
[
00
donc
.
2
e-s ds =..,fi,
1
.C{sm ./X}=
..,fiie- 4.,..
3
2p2
•
b) On a
=
=
=
2.C{f'(x)}, où f(x) = sinyx
2(.C{f(x)} - f(O)), (proposition 8.1.12)
2(.C{sin ./X} - 0),
..,fiie- 4.,..1
VP ,
(d'après a)).
•••
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
324
Exercice 8.4.3 Soient f une fonction périodique de période T > 0 et F(p) =
.C{f(x)} sa transformée de Laplace. Montrer que
F(p) =
1 T 1T f(x)e-pxdx.
1- e P
0
Solution : On a
F(p) =
fo f(x)e-pxdx,
00
{T J(x)e-pxdx + f 2T f(x)e-pxdx + f 3T J(x)e-pxdx + · · ·
lo
=
L
oo
jT
1(k+l)T
l2T
J(x)e-pxdx,
k=O kT
=
L 1T f(u + kT)e-p(u+kT)du, u = x - kT
OO
k=O O
(car f est périodique)
Exercice 8.4.4 Calculer l'intégrale
avec la méthode de Laplace.
Solution : On a
.C{xcosx} =
fo xcosxe-pxdx.
00
Or
d
d (
.C{xcosx} = - dp.C{cosx} = - dp
p
p2 + 1
il suffit donc de remplacer p par 2 et on obtient
Joroo xe- 2x cosxdx = 253 .
)
p 2 -1
= (p2 + l)2'
325
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
Exercice 8.4.5 a) Soient H(x) la fonction de Heaviside et H(x)f(x) une
fonction dont la transformée de Laplace est connue ainsi que son abscisse de
sommabilité a. Déterminer la transformée de Fourier de H(x)f(x)e-ux, a> a.
b} En déduire la transformée de Fourier de la fonction H(x)e-ux, a> O.
Solution : a) Pour tout a > a, la fonction H(x)f(x)cux est sommable en x.
Désignons par Fw{H(x)f(x)} et F(p) = .Cp{H(x)f(x)} les transformées de
Fourier et de Laplace de la fonction H(x)f(x) respectivement. On a
Fw{H(x)f(x)} =
j H(x)f(x)e- 21Tiwdx = lafXJ H(x)f(x)e- 21Tiwdx, w IR
00
E
-OO
et
.Cp{H(x)f(x)} =
fo H(x)f(x)e-pxdx,
00
Re p =a> a
En posant p = a+ 27riw, on obtient
F(a + 27riw) =
.Cu+2?Tiw{H(x)f(x)},
fooo H(x )f (x )e-uxe-21Tiw dx,
=
Fw{H(x)f(x)e-ux}.
Donc si on connaît la transformée de Laplace de la fonction H (x) f (x) d'abscisse
de sommabilité a, alors on peut obtenir les transformées de Fourier de toutes
les fonctions H(x)f(x)e-ux, a> a.
b) D'après la question précédente, on a
car .Cp{H(x)} = f 000 H(x)e-Pxdx =~'Re p >O.
Exercice 8.4.6 a) Soient H(x) la fonction de Heaviside et H(x)f(x) une
fonction dont la transformée de Laplace .Cp{H(x)f(x)} est nulle sur un demiplan {p E C : Re p = a > ao}. Montrer que H(x)f(x) est presque partout
nulle.
b) En déduire que si F est une fonction holomorphe sur un demi-plan de
la forme {p E C : Re p > a}, alors celle-ci ne peut possèder qu'un original au
plus qui soit une fonction continue.
Solution: a) D'après l'exercice précédent, on a pour tout Re p =a> ao où ao
peut toujours être supposé supérieur à l'abscisse de sommabilité,
Fw{H(x)f(x)e-ux} = .Cp{H(x)f(x)} =O.
326
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
La distribution associée à la fonction sommable H(x)f(x)e-ax, a > 0, est
tempérée. Dès lors,
en vertu de la formule de réciprocité. Donc H(x)f(x)e-ax est nulle en tant que
distribution et elle est presque partout nulle en tant que fonction, ce qui est le
cas aussi pour H(x)f(x).
b) D'après la question précédente, si les fonctions H(x)f(x) et H(x)g(x)
ont même transformée de Laplace sur un demi-plan {p E C: Re p >a}, alors
elles sont égales presque partout. En outre, si ces fonctions sont continues alors
elles sont identiques.
Exercice 8.4. 7 Etant donné une fonction F(p) holomorphe sur un demi-plan
{p E C : Re p > a}, on suppose qu'une fonction continue H (x) f (x) existe et
qu'elle est à support contenu dans~+ (H(x) étant la fonction de Heaviside).
Montrer que si F(ao + 27riw), ao 2:: a, est sommable en w, alors
H(x)f(x) = -21 . f F(p)ePxdp,
7rZ }6cro
où 6.a0 est la droite définie par Re p = ao parcourue dans le sens des ordonnées
croissantes.
Solution : Par hypothèse tous les points singuliers de F sont à gauche de la
droite définie par Re p = a = a. En appliquant la transformée de Fourier
inverse, il vient en tout point x où f est continue,
H(x)f(x)e-aox =
Ceci entraîne,
H(x)f(x) =
l:
l:
F(ao + 27riw)e 211"iwdw.
F(ao + 27riw)ea0 xe 211"iwdw.
en posant p = ao + 27riw, on obtient le résultat annoncé.
Exercice 8.4.8 Montrer que si F(p) est la transformée de Laplace d'une fonction f, alors IF(p)I est borné sur un demi-plan {p E C: Re p > ao}.
Solution: Si Re p >a où a est l'abscisse de sommabilité de f, alors
F(p) = .Cp{H(x)f(x)} =
l:
H(x)f(x)e-pxdx.
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
327
Pour tout ao >a, la fonction H(x)f(x)e-px est sommable et on a
où M est une constante et a= Re p ~ ao.
Exercice 8.4.9 Soit F(p) une fonction holomorphe sur le demi-plan défini
par {p E C : Re p ~ a > 0} et telle que IP2 F(p)1 soit borné dans ce demiplan. Montrer que F est la transformée de Laplace d'une fonction continue f,
à support dans {x E IR: x ~ O} et
f(x) = ..J:--: f F(p)ePxdp,
7r't } b.uo
où l::,.uo est la droite du plan complexe d'abscisse Re p = ao >a.
Solution : Par hypothèse, il existe une constante M telle que :
M
IF(p)I ~ IPl 2 '
Re p ~a> 0
Dès lors, pour tout ao > a, on a
IF(ao+27riw)I ~ 2 ~ 2 2 < 2 ~ 2 2 ,
a0 + 7r w
a + 7r w
a>O
d'où F(ao + 27riw) est sommable en w. Notons que pour a< ao < a1, on a
Le second membre de cette inégalité tend vers 0 lorsque lwl ---+ +oo et la
fonction H(x)f(x) ne dépend pas du choix de ao sur la demi-droite a> a. La
continuité de la fonction H(x)f(x) est une conséquence immédiate du théorème de continuité des fonctions définies par des intégrales dépendant d'un
paramètre. Montrons que cette fonction est nulle pour x < O. On a
11:
IH(x)f(xl
< exuo
<
=
F(ao + 27riw)exu0 e27riwdwl,
l:
M xuo
e
IF(ao + 27riw)ldw,
100 a2 +dw47r2w2 '
-oo
a> O.
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
328
Pour x < 0, cette dernière expression tend vers 0 lorsque ao ~ +oo. Or
H(x)f(x) ne dépend pas de ao, donc cette fonction est nulle pour x <O. Montrons maintenant que F(p) est bien la transformée de Laplace de la fonction
H(x)f(x). En effet, pour tout a> a, on a a< ao <a et
IH(x)f(x)e-uxl = e<uo-u)xlH(x)f(x)e-uoxl ::;
M e<uo-u)x
H(x).
2a
Comme ao - a < 0, alors cette fonction est sommable en x. Dès lors,
H(x)f(x)e-ux =
1-:
F(a + 2triw)e2-rriwxdw = F; 1{F(a + 2triw)}.
L'inversion de cette fonction est légitime car H(x)f(x)e-ux est sommable en
x et F(a + 2triw) est continue en w. Donc, pour tout a> a, on a
F(a + 2triw) =
1-:
Fw{H(x)f(x)e-ux},
=
=
H(x)f(x)e-uxe-2-rriwxdx,
fooo H(x)f(x)e-(u+2-rriw)xdx,
c'est-à-dire
F(p) =
fo H(x)f(x)e-pxdx = .Cp{H(x)f(x)}.
00
Exercice 8.4.10 Déterminer la transformée de Laplace inverse de la fonction
p
F(p) = (p2 + 1)2,
en utilisant deux méthodes différentes.
Solution : 1ère méthode : notons que
_ 1 )' --2
p
( p2+1
(p2+1)2,
d'où
.c-l { (p2: 1)2} =
-
-~.c-l { (p2~1)'},
~.c- 1 {p2 ~ 1 }, (proposition 8.1.10)
xsinx
2
(
1
car.C{sinx}=p2 +l
)
329
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
2ème méthode : on a
c- 1 {P2:1·p2~1}'
c- 1 {(p2: 1)2}
{p
l} *
=
c-l
=
cosx * sinx,
2:
{p ~
2
(propriété 8.1.11)
l},
fox costsin(x - t)dt,
fox cost(sinxcost - cosxsint)dt,
r
sinx
cosx
r.
= - 2 - Jo (1 +cos 2t)dt - - 2- Jo sin2t)dt,
=
xsinx
2
Exercice 8.4.11 Meme question pour la fonction
1
F(p) = (p2 + 1)2.
Solution : 1 ère méthode : on a
C 1 { (p2+1)2
1
} =
c-1 {FP(p)}'
= fox f(t)dt,
où F(p) = (p2: 1)2
où f(t) = c- 1 {F(p)}
en vertu de la proposition 8.1.13. D'après l'exercice précédent, f(t) = ts~nt,
donc
l'-1 {
1
}- ~
d - sinx-xcosx
/.,,
(p2+1)2
r .
- 2 Jo tsmt t -
2
.
2ème méthode : on utilise la formule de Bromwich-Wagner (voir proposition
8.1.17),
1 1u+ioo F(p)ePXdp = -2
1.
c- 1 {F(p)} = f(x) = -.
27ri
u-ioo
11"'/,
i
F(p)ePXdp,
C
où C est le contour de Bromwich. La fonction F(p )ePx possède deux singularités : p = -i, p = i; ce sont deux pôles d'ordre 2. Calculons les résidus de
F(p )ePx en ces pôles. On a
Rés (F(p)ePx, -i) = lim. dd ((p + i) 2 F(p)ePx) = (i - x) e-4ix,
p--+-i
p
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
330
et
d
ix
Rés (F(p)ePx, i) = liID: -d ((p - i) 2 F(p)ePx) = -(i + x) e4 .
p~i
p
D'après le théorème des résidus, on a
sinx - xcosx
.
.
f(x) =Rés(F(p)ePX,-i)+Rés(F(p)ePX,i) =
2
.
Exercice 8.4.12 Déterminer la transformée de Laplace inverse des fonctions
suivantes :
2
a) P 1 - t (p21+ 1)2.
3
b} p 1 - t (p21+1)2.
Solution : a) On a
e,-1 {
P2
(p2+1)2
e,-1 {
} =
p
p
p2+1·p2+1
}
,
-
e,-l {p2: 1 } * {p2: 1 },
=
cosx * cosx,
=
fox cos t cos(x - t)dt,
(propriété 8.1.11)
sinx + xcosx
2
b) Notons que
p3
p2+1-1
p
p
(p2 + 1)2 = p (p2 + 1)2 = p2 + 1 - (p2 + 1)2.
En tenant compte des résultats obtenus précédemment, on obtient
C
-1
3} =C {p2+1 }-C {(p2+1)2 }=cosx--2-.
.
{(p2+1)2
P
-1
P
-1
p
xsmx
Exercice 8.4.13 Déterminer la transformée de Laplace inverse de la fonction
1
F(p) = (p+l)(p-2)'
en utilisant la formule de Bromwich- Wagner.
331
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
Solution : Notons d'abord que les conditions d'application de la proposition
8.1.17, sont satisfaites. Dès lors,
f(x) = .c- 1 {F(p)} = -21 . 1u+ioo F(p)ePxdp = -21 .
7r't
u-ioo
1r't
i
F(p)ePxdp,
C
où C est le contour de Bromwich. La fonction F(p )ePx possède deux singularités : p = -1 un pôle simple et p = 2 un pôle d'ordre 2. Calculons les résidus
de F(p )ePx en ces points. On a
Rés(F(p)ePx,-1) = lim (p+ l)F(p)ePx = e-gx'
p-+-1
et
d
1 e2x
Rés (F(p)ePx, 2) = lim - ((p - 2) 2 F(p)ePx) = (x - -)-.
p-+2 dp
3 3
D'après le théorème des résidus, on a
Exercice 8.4.14 Déterminer la fonction réelle causale f(x) dont la transformée de Laplace est
1
F(p)= .;p'
Rep>O
Solution : On utilise la formule de Bromwich-Wagner :
1 1u+i1
f(x) = -2 .
F(p)ePxdp.
7r't u-i1
La fonction sous le signe intégral possède un point de branchement en p = O.
Pour uniformiser F(p)ePx, on considère comme coupure la partie de l'axe réel
définie par x ~O. On va calculer l'intégrale
Ici le contour de Bromwich C est définie par C = C1 U C2 U C3 U C4 u C5 U C6 où
C1 est le bord supérieur de la coupure, C3 est le bord inférieur de la coupure,
C2 est l'arc de cercle de centre 0 et de rayon e; rejoignant les deux bords de la
coupure, C4 et C6 sont deux arcs de cercles de centre 0 et de rayon R et enfin
C5 est une partie finie du domaine d'intégration (en fait une droite p = u). La
332
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
fonction F(p)ePx est uniforme sur C et elle est holomorphe à l'intérieur de ce
contour. D'après le théorème de Cauchy, on a
6
0=
1 F(p)ePXdp = L r F(p)ePXdp.
lc
k=I lck
Sur Ci, on a p = (e7ri, .JP = -/ë,e~, e::; (::; R, d'où
1
1
{
1R
R
F(p)ePxdp = -i
C1
-(x
_e-d(.
e
-/(,
-(x
lca F(p)ePxdp = -i e e-/(, d(.
Sur C2, on a p = eei9 , ()variant de -7r à 7r, d'où
Sur C4, on a p = Rei9 , ()variant de 7r à 27r - eo, d'où
Sur C5, on a p = Rei9 , ()variant de eo à 7r, d'où
Sur Cs, on a
1
1
a+i'y ePx
F(p)ePxdp =
Cs
.
a-i1
r.ndp.
vP
Calculons maintenant les limites de ces intégrales lorsque 'Y --+ oo (et donc R)
et e --+ O. Sur C1 et Cs, on a
lim
L
00 c 1
~
e-+0
F(p)ePxdp = lim
1
00 c3
~
e-+O
F(p)ePxdp = -i
1
00
o
-~
e-/(, d(.
'':t
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
333
r
lim r F(p)ePXdp = lim
F(p)ePXdp = 0,
R-+oo lc4
R-+oo les
en vertu du lemme de Jordan (en effet, prenons par exemple le cas de C6 et
soit (Ji tel que : ~ <(Ji < rr. On a
r F(p)ePXdpl ~ r81 eRx:s(J dO + r eRx:s(J dO.
les
1
leo
101
vR
vR
On va faire tendre 01 vers ~ quand R --+ oo. Autrement dit, on choisit un
abscisse a1 > 0, par exemple a1 = V'R, n ~ 2, telle que : cos01 = -]t où
a1 > 0 et limR-+oo ]t =O. Posons 0 = arccos ~, d'où
L
91 eRx cos 9
Bo
1 lu
---dO = VE,
R
et
l
11'
et.x
-u1
1
d( < -
a +a1
JR _ Ç - R JR _
max~,u1)
eux'
eRx cos 9
7f _ o1
---dO < --e-u1x.
91
VE,
-
VE,
En remplaçant, a1 = V'R, n ~ 2, dans ces expressions, on obtient
Pour limR-+oo fc 4 F(p)ePxdp = 0, on raisonne de manière similaire). Sur Cs, on
a
lim
F(p)ePXdp = 1u+ioo e: = 2rrif(x).
-y-+oo 1Cs
u-ioo V P
Par conséquent, on a
r
1
l
00
0 = lim
F(p)ePxdp = -2i
R-+oo
C
0
e-+O
-(.x
e 17 d( + 2rrif(x),
y(
d'où
f(x) = ..!:. roo e-r.x d( = ~ roo e-<11vx)2 d'f/,
rr lo ../(
rr lo
En posant t = 'f/yX, on obtient finalement
f(x) =
2r;:;
7fyX
1
00
O
1
e-t 2 dt= ;;;;:;;·
y7fX
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
334
Exercice 8.4.15 a) Montrer que
kl~1! fok ( 1 - ~) k ln xdx = fo e-x ln xdx = -C,
00
où
C= limk--+oo ( L:J=l Jdt - ln k) = 0, 57721..., est la constante d'Euler.
b) Déterminer la transformée de Laplace de la distribution associée à la
fonction H(x) lnx où H(x) est la fonction de Heaviside.
Solution : a) On a (1 - ~)k = ekln(l-î). Or
ln(1-~) ::;e-x, O<x<k,
d'où (1 - ~)k:::; e-x. Dès lors
J (
1 - ~)ln x.l[o::;x::;k] J :::; e-xl ln xi.
La fonction e-x1 lnxl est sommable et d'après le théorème de convergence dominée de Lebesgue, on a
kl~1!1k (1- ~rlnxdx = fok kl~1! (1- ~rlnxdx = fo e-x1nxdx.
00
On a
fok ( 1 -
~r lnxdx = k fo 1 tk ln(1 - t)dt,
=
t = 1-
~
fo tkdt + fo tk ln(l - t)dt) ,
k : 1 (ln k + Io tk; ~ t 1 dt) '
k (1n k
1
1
1
=
_ k (lnk- {l ttidt),
k +1
lo j=O
=
_ k (lnk- t
{l tidt),
k +1
j=O lo
~
_k_ (ln k - 1-dt)
k+l
~j+l
'
~~dt) .
_k_ (lnk k +1
j=l J
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
335
Par conséquent,
1
00
e-x1nxdx =
=
kl!._.~1k (i - ~rlnxdx,
_k_
(ln k- ~ ~dt -+
j
+
lim
lim (lnk -
k-+oo
=
~
1
k-+oo k
k
3=1
1- )
1 '
t ;dt) ,
j=l
J
-C,
où C est la constante d'Euler.
b) La distribution associée à H(x) lnx appartient à V~, elle est tempérée,
sa transformée de Laplace est une fonction holomorphe pour Re p > 0 et on a
.C(H(x)lnx)(p) = (H(x)lnx,e-px) = 1
00
lnxe-pxdx.
L'abscisse de sommabilité est ici égal à 0 car pour Re p > 0 l'intégrale ci-dessus
converge et pour Re p < 0, l'intégrale en question diverge. Supposons d'abord
que p soit un réel positif et posons y= px. On a
1
= t (1
00
0
=
d
ln~e-Y~,
p
p
00
e-Ylnydy- lnp 1
t(-c -
lnp 1
00
00
e-Ydy),
e-Ydy) , (d'après a))
C+lnp
p
où C est la constante d'Euler. Par ailleurs, puisque .C(H(x) lnx)(p) est holomorphe pour Re p > 0 et que la fonction obtenue _ c+~np (où lnp désigne
la détermination principale du logarithme complexe, c'est-à-dire celle qui est
réelle sur le demi-axe réel positif) est holomorphe pour Re p > 0 alors (résultat
obtenu par prolongement analytique) ces fonctions qui coïncident sur l'axe réel
positif, coïncident partout. Par conséquent, pour Re p > 0, on a
.C(H(x) lnx)(p) = - C + lnp.
p
Exercice 8.4.16 Déterminer la transformée de Laplace .C ( Pf ~(ff)) de la distribution Pf ~<:> définie dans l'exercice 2.4.9 du chapitre 2.
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
336
Solution : Une des méthodes pour déterminer .C ( Pf
HJ:)) nécessite un calcul
des dérivées successives de la distribution Pf ~~) Or il est plus facile d'utiliser
les résultats obtenus dans les exercices 2.4.9 et 2.4.11 du chapitre 2, c'est-à-dire
= -kPf H(x) (-l)k&(k)
( Pf H(x))'
k
k+l +
k' '
X
X
.
et
(H(x) lnx)' = Pf H(x).
X
Donc en utilisant ces relations, on établit par récurrence que
Pf H(x) = (-l)k ((H(x) lnx)(k+I) +
xk+ 1
kl
(~
~) &(k)) .
~J
3=l
On en déduit que:
Or
.C ((H(x)lnx)(k+I))
=
pk+IJ:,(H(x)lnx), (proposition 8.2.4)
=
-pk+ 1 (C + lnp), (exercice précédent)
où C est la constante d'Euler et .C (&(k)) = pk (exemple 8.2.2) donc
.c((H(x)lnx)(k+I)) =
(-~)kpk (t~-C-lnp).
k
j=l J
Exercice 8.4.17 Résoudre l'équation différentielle
d3 x
dt3 + x(t) = 0,
avec les conditions initiales : x(O) = 1, x'(O) = 3, x"(O) = 8, en utilisant la
méthode de Laplace.
Solution: Soit X(p) = .C{x(t)}, la transformée de Laplace de x(t). On a
d3x}
.C { dt3
+ .C{x(t)} =O.
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
337
Dès lors
p2X(p) - p2x(O) - px'(O) - x"(O) + X(p) = 0,
p2X(p) - p2 - 3p - 8 + X(p) = 0,
d'où
X(p) = P2 + 3p + 8
p3+1
Décomposons X(p) en éléments simples. On a
X(p) =
=
p2 + 3p+8
(p+l)(p2 -p+l)'
2
6-p
2
(p + 1) + p - p + 1'
1
2
11
p- 2
(p + 1) - (p - ! )2 +
/3
V4
(/if + J3 (p - !) + (If)
2
2'
et par conséquent
Exercice 8.4.18 Résoudre, par la méthode de Laplace, l'équation différentielle
d2x
dt2 + x(t) = y(t),
avec les conditions initiales : x(O) = x'(O) = 0 où y(t) est une fonction connue
ayant une transformée de Laplace Y(p) = .C{y(t)}.
Solution: Soit X(p) = .C{x(t)}, la transformée de Laplace de x(t). On a
.C { d2x}
dt2 + .C{x(t)} = .C{y(t)},
d'où
p2X(p) + X(p) = Y(p),
car x(O) = x'(O) = 0 et donc
1
X(p = ~1 Y(p).
p
Or
+
.C{(J * g)(t)} = .C{!(t)}.C{g(t)} = F(p)G(p).
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
338
Ici F(p) = P2 ~ 1 , d'où f(t) = .c- 1{F(p)} =sin t et G(p) = Y(p), d'où g(t) =
y(t). Par conséquent,
x(t) = (! * g)(t)
=lot f(r)g(t - r)dr =lot y(r) sin rdr.
Exercice 8.4.19 On considère l'équation différentielle
d2x
dx
m dt2 + c dt + kx = 0,
avec les conditions initiales : x(O) = xo, x'(O) = vo. Cette équation décrit le
mouvement d'une particule de masse m qui se déplace le long d'une trajectoire
rectiligne et se trouve attirée vers l'origine par une force kx où x est le déplacement et k >O. L'expression c~~, (c > O}, désigne une autre force qui intervient
dans le problème. Etudier le mouvement de cette particule par la méthode de
Laplace.
Solution : Afin de ne pas alourdir les notations, on pose : -;fi;, = 2À,
l'équation ci-dessus s'écrit sous la forme
! = w et
d2x
dx
2
dt2 + 2À dt + W X = 0.
Soit X(p) = .C{x(t)}, la transformée de Laplace de x(t). On a
.C {
~:~} + 2À.C { ~;} + w2.C{ X} = 0,
d'où
p 2 X(p) - px(O) - x'(O) + 2w(pX(p) - x(O)) + w2X(p) = 0,
ou
p 2 X(p) - px0 - v0 + 2ÀpX(p) - 2Àxo + w2X(p) = 0,
ou encore
(p2 + 2Àp + w2)X(p) = pxo + 2Àp + vo.
Par conséquent
X(p)
=
pxo +2Àp+vo
p2 + 2Àp+w 2 '
(p + À)xo + (Àxo + vo)
(p+ À)2 +w2 -À2 '
p+À
1
xo (p + À)2 + w2 - À2 + (Àxo + vo) (p + À)2 + w2 - À2.
2
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
339
Nous allons distinguer différents cas :
a) Si w2 - >i. 2 > 0, alors
X
(>i.x 0 + vo)
p +À
Jw2 _ )i.2
(p) = xo (p + >i.)2 + (Jw2 _ >i.2)2 + Jw2 _ )i.2 (p + >i.)2 + (Jw2 _ >i.2)2'
d'où
b) Si w2 - À. 2 = 0, alors
1
1
X(p) = xo P +À + (>i.xo + vo) (p + >i.) 2 ,
d'où
x(t) = xoe->.t + (>i.xo + vo)te->.t.
c) Si w2 - >i. 2 < 0, alors
X
d'où
p +À
(>i.x 0 + vo)
J>i.2 _ w2
(p) = xo (p + >i.)2 _ ( J>i.2 _ w2)2 + J>i.2 _ w2 (p + >i.)2 _ ( J>i.2 _ w2)2'
V 2 - w2t + À.xo +vo smh>i.
. V 2 - w2 t.
x(t) = x 0 cosh>i.
J>i.2 _ w2
Exercice 8.4.20 On considère le système d'équations différentielles
k = 1,2, ... ,n
avec les conditions initiales suivantes : xo(t) = 1, Xk(O) = 0, k = 1, 2, ... , n
a) Calculer explicitement la transformée de Laplace de la fonction : e-attk.
b) Déterminer la transformée de Laplace Xk(P) = .C{xk(t)} de Xk(t).
c) En déduire la solution du système ci-dessus.
Solution: a) D'après la propriété 8.1.7, si .C{f(t)} = F(p), alors
.C{f(t)e-at} = F(p +a),
Ici f(t) = tk et F(p) = .C{tk} = p
.C{e
Re(p +a) > uo.
fl Donc
1•
k!
-at k}
t = (p+a )k+l .
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
340
b) On a
C { dx~t(t)} + aC{xo(t)}
0,
C { dx;t(t)} + aC{xk(t)} =
aC{xk-1(t)},
k = 1, 2, ... , n
pXo(p) - xo(O) + aXo(p) = O,
pXk(P) - xk(O) + aXk(P) = aXk-1(p),
k = 1, 2, ... , n
d'où
En tenant compte des conditions initiales, on obtient
1
p+a'
a
-Xk-1(p),
p+a
k = 1,2, ... ,n
ou explicitement
On montre aisément que
ak
Xk(p)= (p+a)k+l'
k=O,l,2, ... ,n
c) On a
k=O,l,2, ... ,n
(p + a)k+l'
ak
k!
= k! · (p + a)k+ 1 '
k
= ak! "{ e -attk} '
.1.,
d'après la question précédente. Par conséquent,
(at)ke-at
Xk(t) =
k!
·
Exercice 8.4.21 Résoudre l'équation intégrale
f(x) = sinx + 2
fox cos(x - t)f(t)dt.
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
341
Solution : L'équation ci-dessus s'écrit sous la forme
f (X) = sin X + 2 cos X * f (X).
En appliquant sur les deux membres de cette équation la transformée de Laplace, on obtient
.C{f(x)} = .C{sinx} + 2.C{cosx}.C{f(x)},
ou
1
p
F(p) = p2 + 1 + 2 p2 + 1 F(p).
Dès lors, F(p) = (p~l) 2 , et par conséquent f(x) = xex.
Exercice 8.4.22 Résoudre l'équation intégrale non-linéaire suivante :
x 3 - 6 lax f(x - t)f(t)dt =O.
Solution: Soit F(p) = .C{f(x)} la transformée de Laplace de f(x). On a
.C{x 3 } - 6.C {fox f(x - t)f(t)dt} = 0,
ou "fo - 6F 2 (p) = O. D'où F(p) =
l'équation proposée.
±-?, et f(x) = ±x sont deux solutions de
Exercice 8.4.23 Soit F(p) = .C{f(x)} la transformée de Laplace de f(x). On
considère l'équation intégrale
xf' (x) + 2 fox f (t) sin(x - t)dt = sin t,
t>0
avec la condition initiale : f (0) = 1.
a) Montrer que F(p) vérifie une équation différentielle linéaire de premier
ordre et à coefficients variables.
b} Déterminer F(p).
c) En déduire la solution f(x) de l'équation intégrale ci-dessus.
Solution : a) On a
X!' (X) + 2f (X) * sin X = sin X'
d'où
.C{ xf' (x)} + 2.C{f (x) *sin x} = .C{ sin x }.
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
342
Or
d
d
.C{xf'(x)} = - dp.C{f'(x)} = - dp.C{pF(p) - f(O)} = -F(p) - pF'(p),
et
+1
.C{f(x) * sinx} = .C{f(x)}.C{sinx} = F(p).~ ,
p
donc
-F(p)-pF'(p) +2;~)l'
ou encore
-p(p2 + l)F' + {1- p2)F = 1.
b) La solution de l'équation ci-dessus est égale à la somme de la solution
générale de l'équation homogène et d'une solution particulière de l'équation en
question. La solution générale de l'équation homogène
-p(p2 + l)F' + {1 - p2)F = 0,
s'obtient aisément : on a
F'
p 2 -1
F
p(p2 + 1)
=
1
2p
p - p2 + 1'
et donc F(p) = C P 27!,_ 1 . Pour déterminer une solution particulière de l'équation
non-homogène, on va utiliser la méthode de la variation de la constante. On a
F,
=
c'
P
c1-p2
p2 + 1 + (p2+1)2'
et l'équation en question devient
-?,
c'est-à-?ire C' =
ce qui implique C = ~ + K, où K est une constante à
détermmer. On a donc
1
Kp
F(p)=p2+1 +p2+1·
Or 1 = f(O) = limp-+ooPF(p) = K, et par conséquent
1
p
F(p) = p2+1 + p2+1·
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
343
c) On a
c-1{P2~1} + c-1{P2:1}'
f(x) =
d'où
f(x) = sinx + cosx,
x >0
ou encore
f(x) = (sinx + cosx)H(x),
où H(x) est la fonction de Heaviside.
Exercice 8.4.24 Résoudre le système d'équations intégrales suivant :
+fox h(t)dt,
h(x) = 1 - cosx - fox fi(t)dt.
fi(x)
sinx
Solution : Soient F1(P) = C{f1(x)} et F2(p) = C{h(x)} les transformées de
Laplace des fonctions fi(x) et h(x) respectivement. On a
{fox h(t)dt},
C{h(x)} = C{l - cosx} - C {fox fi(t)dt},
C{f1(x)} =
C{sinx} + C
ou
En résolvant ce système, on obtient
=
p2
2
p2+1 - (p2 + 1)2
p3
p
p2+ 1 - (p2+1)2
1
(p2+1)2"
D'où
fi(x)
=
h(x) =
2c-1{P2~1 }- c-1 { (p2 ~ 1)2 }- c-1 { (p2: 1)2},
c-1
{-P
}-c-1 {
P3 }-c-1 {
P}
p2+1
(p2+1)2
(p2+1)2 .
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
344
En utilisant par exemple la table des transformées de Laplace, c'est-à-dire
.
.c -1 { p 2 1+ 1 } = smx,
1
e,-l {
(p2+1)2
e,-l {
p2
.c-1{p2:1} = cosx,
.c-1 {
} = sinx - xcosx
2
'
} = sinx
(p2 + 1)2
+ xcosx
2
.c
'
_1 {
p
} = xsinx
(p2 + 1)2
2 '
}
p3
xsinx
(p2+1)2 = cosx - -2-,
on obtient finalement la solution fi(x) = sinx, h(x) =O.
Exercice 8.4.25 Déterminer la solution de l'équation intégrale
f"(x)
+fox e2(x-t) f'(t)dt = e2x,
satisfaisant aux conditions initiales : f(O) = 0, f'(O) = 1.
Solution: Soit F(p) = .C{f(x)} la transformée de Laplace de f(x). On a
.C{f"(x)} + .C
{fox e2(x-t) J'(t)dt} = .C{e2x}.
Or
.C{f"(x)} = p2 F(p) - pf(O) - f'(O) = p 2 F(p) - 1,
et
.C
{fox e2(x-t) J'(t)dt} = .C{e2x * J'(t)},
.C{ e2x}.C{f'(t)},
= P ~ 2 (pF(p) - f(O)),
donc
2
p
=
-2F(p),
p-
p
1
p F(p)-1+ p- 2 F(p)= p- 2 .
D'où F(p) = p(p~l), et par conséquent f(x) = .c-1{F(p)}
=ex -1.
Exercice 8.4.26 Déterminer la solution de l'équation intégrale
x=
fox cos(x - t)f(t)dt.
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
345
Solution : Ici g(x) = x et k(x, t) = cos(x - t). On a g(O) = 0 et g, g', k, ~
sont continues. En dérivant l'équation ci-dessus par rapport à x, on obtient
fox sin(x - t)f(t)dt.
1 = cosO.f(x) -
D'où
f(x) = 1
+fox sin(x - t)f(t)dt = 1 + sinx * f(x).
Soit F(p) = .C{f(x)} la transformée de Laplace de f(x). On a
.C{f(x)} = .C{l} - .C{sinx}.C{f(x)},
d'où
1
1
F(p) = P- p2 + 1 F(p).
Donc F(p) = ~ +
"is' et par conséquent f(x) = 1 + x2
2
•
Exercice 8.4.27 On considère l'équation intégrale d'Abel définie par
r y(t) dt= f(x), 0 <a< 1
Jo (x - t)a
où f(x) est une fonction connue. Le problème de l'inversion d'Abel consiste à
déterminer y à partir de f.
1) On suppose que : a=~a) Supposons que f et y sont des fonctions continues et possédent des transformées de Laplace F(p) = .C{f(x)} et Y(p) = .C{y(x)}. Déterminer y.
b} Supposons maintenant qu'en outre f est dérivable. Déterminer y.
c) Résoudre l'équation intégrale
r
y(t) dt = x 2 +X+ 1.
lo Jx-t
2) On suppose que : 0 <a< 1.
a) Supposons que f(O) =O. Déterminer y.
b) Résoudre l'équation intégrale
r y(t) dt= x(x + 1).
1
lo (x - t)3
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
346
Solution: 1) a) On a
r y(t) dt= f(x),
lo ~
ou
1
y(x) *./X= f(x).
Dès lors,
C { y(x) *
)x} = C{!(x)},
d'où
C{y(x)}C {
et
)x} C{f(x)},
=
Y(p).~ = F(p),
Re p > 0
Par conséquent,
~F(p).
Y(p) =
D'après la proposition 8.1.14, la transformée de Laplace d'une fonction doit
tendre à l'infini vers O. Or y'P ne tend pas vers 0 quand p --+ +oo, donc
elle ne peut être la transformée d'une fonction. Pour remédier à cela, divisons
l'équation précédente par p. On obtient
Y(p)
p
Or d'après la proposition 8.1.13, on a
Y~) = C {fox y(t)dt},
donc
C
et
{fox y(t)dt} = ~C { )x * f(x)} = ~C {fox Jbdt},
r y(t)dt = lor }ibdt.
x- t
lo
_!_
7r
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
347
En dérivant les deux membres de cette équation par rapport à x, on obtient
r
y(x) = .!_!!_
f(t) dt.
7r dx } 0 .Jx - t
b) En intégrant par parties, on obtient
r ~dt=
2f(o)vx + 2 r rx=:tf'(t)dt.
x- t
lo
lo
Dès lors
r
r
f(t) dt= f(O) + 2 lim .Jx - tf'(t) +
f'(t) dt.
dx Jo Jx - t
.JX t-+x
lo Jx - t
!!_
L'expression de y obtenue dans a), s'écrit sous la forme
y= f(O) + .!_
7r
.JX
7r
r f'(t) dt.
J0 ...;x=t,
c) Ici f(x) = x 2 +x+1, donc
y
Lx
1
1
2t + 1 d
= +
t
7r .JX
7r 0 ...;x=t,
'
2
- 1-
=
(4x + 3)) ,
7r../X + .!_7r ( .JX
3
__!__ ( 8x 2 + 6x +
37r
.JX
3) .
2) a) En raisonnant de manière analogue, on obtient
y(x) = sin cm
7r
r f'(t)(x - qx-ldt.
lo
b) Ici f(x) = x(x + 1) et f(O) =O. D'après la question précédente, on a
sin 1!:
y(x) = - 3
7r
Lx + l)(x (2t
0
2
3../3
t)(-3)dt = 4 -~(3x + 2).
7r
Exercice 8.4.28 On considère l'équation différentielle de Bessel
x 2 y" +xy' + (x 2 -n2 )y = 0,
n EN
où y désigne la fonction inconnue.
a) En effectuant le changement de fonction : y = xnu, déterminer l'équation
(*) que satisfait u considérée comme fonction de x.
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
348
b) On appelle fonction de Bessel de première espèce d'ordre n la fonction
Jn définie par
x)n 1
x 1----+ Jn(x) = ( 2 n! u(x),
où u est solution de l'équation (*). Déterminer les transformées de Laplace
des fonctions de Bessel suivantes : Jo(x), Jo(ax) où a ER*, J1(x) et Jn(x).
Indication : on pourra utiliser sans démonstration les résultats suivants,
x)2
1 (x)4
(-1r (x)2n
Jo(x) = 1- ( 2 + (2!)2 2 + ... + (n!)2 2
+ ... '
Jn(x) =
~! (i) n ( 1 - 2(2:~ 2) + 2.4.(2n +~;.(2n + 4) + ... ) '
Jn(x) = _!._ 111" ei(n9-xsin9)d(J,
27!"
-7!"
xn .
d (Jn(x))
VX E R *'Jn+l (X ) = -X n dx
Solution: a) On obtient immédiatement l'équation(*),
xu" + (2n + l)u' + xu =O.
b) La fonction Jo(x) vérifie l'équation différentielle
xJ3(x) + J6(x) + xJo(x) =O.
d'où,
.C{xJ3(x)} + .C{J6(x)} + .C{xJo(x)} =O.
Soit X(p) = .C{Jo(x)}, la transformée de Laplace de Jo(x). Dês lors,
- ~ (p 2X(p) - pJo(O) - J6(x)) + pX(p) - Jo(O) - ~ X(p) =O.
Or Jo(O) = 1 et Jb(O) = 0, donc
d
(p 2 + 1) dp X(p) + pX(p) = 0,
et par conséquent
X()-
C
p - VP2+1'
où C est une constante. D'aprês la proposition 8.1.15, on a
lim pX(p) = Jo(O),
p-+00
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
349
ce qui montre que C = 1 et finalement
1
X(p) = .C{Jo(x)} = JP2+1"
p2+1
De même, on a pour a f:. 0,
.C{Jo(ax)} =
fo Jo(ax)e-pxdx,
=
! f Jo(u)e-7 du,
alo
=
lx(~),
00
00
d'où
1
1
.C{Jo(ax)} = ---;:==
(~)2 + 1
aJ
u = ax
VP2 + a2
Déterminons maintenant .C{J1(x)}. Puisque J1(x) = -Jb(x), alors
.C{J1(x)} = -.C{J~(x)} = -(pX(p) - Jo(O)) = -
b
yp2+ 1
+ 1,
et par conséquent
.C{J1(x)} = JP2+1- P.
VP2+1
En raisonnant de manière similaire aux cas précédents, on montre que
Une autre méthode pour obtenir ce résultat consiste à utiliser le théorème
des résidus. En effet, notons tout d'abord que pour Re p > 0, l'intégrale
.C{Jn(x)} = J000 Jn(x)e-pxdx converge et
ei(n9-xsine)e-PXd(J converge uniformément. On a
Jt
00
.C{Jn(x)} = }:__ { ( {'Ir ei(n9-xsin9)d(J) e-pxdx,
211" lo
1-'Tr
}:__ {'Ir ( { 00 e-i(p+isin9)dx) ein9d(J,
=
=
211" 1-'Tr
1
17r
lo
ein9
211"
-7r
-
! j f(z)dz,
11"
~
..
p + ismO
dB,
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
350
où
zn
f(z) = z 2 + 2pz - 1'
et 'Y est le cercle de centre 0 et de rayon 1. La fonction f(z) admet deux pôles
z1 = -p+ Jp 2 + 1 et z2 = -p-Jp2 + 1. Le seul pôle qui se trouve à l'intérieur
de 'Y étant z1, alors d'après le théorème des résidus, on a
.C{Jn(x)} = _!. J f(z)dz = _!.27ri Rés(f(z), z1) = (~p)n,
71"~
71"
p2+1
Rep> 0
Exercice 8.4.29 Déterminer la solution u(x, t) de l'équation de la chaleur
âu
2 8 2u
ât =a âx 2 '
qui satisfait aux conditions suivantes : pour x = 0, on a
u(O, t) = {
f(t~
si t:::; 0
sit>O'
âu
{
0
âx (O, t) = g(t)
si t:::; 0
si t > 0
où f et g sont deux fonctions données, définies pour t >O. On pourra admettre
la légitimité des calculs. On représentera u par une intégrale de la forme
u(x, t) =
l:
(A(w) coswx + B(w) sinwx)e-a2w2tdw,
où A(w) est une fonction paire et B(w) est une fonction impaire et l'on se
ramène à un problème de transformée de Laplace en posant p = a 2w2 .
Solution : On a
âu (x, t) =
-8
X
1
00
•
(-wA(w) smwx
+ wB(w) coswx)e-a2 w2t dw,
-oc
et
u(O, t) =
âu
âx (0, t)
l:
l:
A(w)e-a2w2tdw = f(t),
t>O
wB(w)e-a2w2tdw = g(t),
t>O
Par hypothèse, A(w) est une fonction paire et B(w) est une fonction impaire,
donc A(w)e-a2w2t et B(w)e-a2w2t sont des fonctions paires. Dès lors,
f(t)
g(t)
=
fooo A(w)e-a2w2tdw,
2 fooo wB(w)e-a2w2tdw.
2
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
351
En posant p = a 2 w2 , on obtient
f(t)
g(t)
tXJ A ( 1!) e-ptdp = C {A ( 1!) } ,
=
lo
=
f
lo
ayp
00
ayp
1!) e-ptdp = C { B ( 1!)
}.
2
B (
a2
a
D'où
A
(1!)
c- 1{/(t)} = F(p),
ayp
B
(1!)
c- 1{g(t)} =: G(p),
a2
c'est-à-dire
= a2 wF(a 2 w 2 ),
B(w) = a 2C- 1{g(t)} = G(a2w2),
A(w)
et par conséquent
Exercice 8.4.30 Déterminer la solution u(x, t) de l'équation aux dérivées partielles (des ondes ou des cordes vibrantes) :
ô2u
ô2u
ôt 2 = ôx 2 '
satisfaisant aux conditions : u(x, 0) = ~~(x, 0) = 0, u(O, t) = sinx, x, t > O.
On suppose qu'il existe une constante M > 0 tel que: l(u(x,t)I ::'.SM.
Solution: Soit U(x,p) = C{ u(x, t)} la transformée de Laplace de u(x, t). On a
On a montré dans l'exemple 8.3.3, que
âu} -- Jo[ 00 âu
-pt
ôte dt - pU(x,p) - u(x, 0).
C { ôt
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
352
De même, on a
C{
~:~} = C { ~~ }
1
V
= ~;
=
pC{v(x, t)} - v(x, 0),
=
pc{~;}- ~;(x,O),
_
âu
p(pU(x,p) - u(x, 0)) - ât (x, 0),
p2 U(x,p) - pu ( x, 0) ) - âu
ât (x, 0).
et
u}
C { 82
= d2U(x,p),
2
dx 2
âx
(d'après l'exemple 8.3.3)
Dès lors, l'équation précédente s'écrit sous la forme
2
âu
d2U(x,p)
dx 2
p U(x,p) - pu(x, 0)) - ât (x, 0) =
Par hypothèse, u(x, 0) = ~(x, 0) = 0, d'où
d2U(x,p) _ 2 U( ) = 0
dx2
p x,p
'
donc
U(x,p) = C1epx + C2e-px,
où C1 et C2 sont des constantes. Puisque l(u(x, t)I :S M, on en déduit que
C1 = 0 et U(x,p) = C2e-Px. Pour déterminer C2, notons que : U(O,p) = C2
et par hypothèse
U(O,p) = C{u(O,t)} = C{sint} = ~l'
p
donc C2 = P2 ~ 1 et par conséquent
e-px
U(x,p)=~
1.
p +
Finalement, la solution de l'équation proposée est
u(x, t) = { sin(t - xb
si t >X
si t <X
+
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
353
Exercice 8.4.31 Soit f(x, y) une fonction de deux variables x, y et supposons
qu'elle satisfait aux conditions suivantes : ·
{i) pour x < 0, on a f(x, y)= O.
{ii) pour x > 0, f satisfait à l'équation aux dérivées partielles
2â2 f
a2 f
22
a âx 2 - ây 2 +a b f = 0,
(a
2
2
> 0, b > 0)
(iii) pour x = 0, on a f(O, y)= ~(O, y)= O.
{iv) f est bornée lorsque y -----+ +oo.
(v) pour y = 0, on a U(x, 0) = -u(x) où u(x) est une fonction connue
ayant une transformée de Laplace U(p) = .C{u(x)}.
En utilisant la méthode de Laplace, déterminer f(x, 0).
Solution: On pose F(p, y) = .C{f(x, y)}. D'après (ii), on a
2
f} .C f} + b .C{J} = 0,
a 2.C {a
âx2
-
2
{a
ây2
a2 2
d'où
2
a 2 ( p 2 F(p, y) - pf(O, y) - âf
âx (0, y) ) - ÔâyF2 (p, y)+ a 2 b2 F(p, y)= O.
En tenant compte de la condition (iii), on obtient
a2 F
2
ây 2 (p,y) - a (p
2
+ b2) F(p,y) =O.
La solution générale de cette équation est
F(p, y)= Ae-aylp2+b2y + BeaJp2+b2y.
D'après (iv), f est bornée lorsque y-----+ +oo, donc B =O. Dès lors
F(p, y)= Ae-ayfp2+b2y'
et F(p, 0) = A. Pour déterminer la constante A, on procède comme suit : on a
et
âF
ây (p,O) = -AaJp2 + b2 = -.C{u(x)} = -U(p),
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
354
en vertu de (v). Donc
F(p 0) =A=
U(p) ,
'
aJp2+b2
ou
1
.C{f(x, O)} = aJp2 + b2 U(p).
D'après l'exercice précédent, ~
a pour original
2
a
p +b
et U(p) a pour original .c- 1{U(p)} = u(x). Dês lors, grâce au produit de
convolution on a
f(x, 0) = .c- 1 {
et finalement
1
aJp2 +b2
U(p)} = !Jo(bx) * u(x),
a
11:1:
f(x, 0) = u(x - r)Jo(br)dr.
a o
Exercice 8.4.32 Déterminer la solution u(x, t) de l'équation aux dérivées partielles :
satisfaisant aux conditions :
âu
8 2u
u(x, 0) = ât (x, 0) = âx 2 (0, t) = 0,
u(O, t) = 1,
x, t > O.
On suppose que : l(u(x, t)I :::; M où M > 0 est une constante.
Solution: Soit U(x,p) = .C{u(x, t)} la transformée de Laplace de u(x, t). On a
On a montré précédemment, que
âu}
.C { ât
= Jo('° âu
ât e-ptdt = pU(x,p) - u(x, 0).
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
355
En raisonnant comme dans l'exemple 8.3.3, on obtient
C, { â 4u} = d4U(x,p).
âx4
dx 4
En remplaçant ces expressions dans l'équation ci-dessus tout en tenant compte
des conditions
âu
u(x, 0) = ât (x, 0) = 0,
on obtient
d4U(x,p) 4 2u( ) = o
dx4
+ p x,p
.
Cette équation admet la solution suivante :
U(x,p)
c1e(l+i)y'Px + c2e(l-i)y'Px + c3e(-l+i)y'Px + C4e-(l+i)y'Px,
ev'Px(acos ..;px+ bsin ..;px)+ e-v'Px(ccos ..;px+ dsin ..;px),
où
a=c1+c2,
b=i(c1-c2),
c=c3+c4,
d=i(c3-c4),
sont des constantes à déterminer. Par hypothèse il existe une constante M > 0
tel que : l(u(x, t)I ~ M, donc U(x,p) est bornée ce qui implique : a= b =O.
En outre,
1
U(O,p) = c = -,
p
et
d2U(O,p) = -2 . r.;:.d = 0
dx2
PvP
'
d'où d =O. Dès lors
e-v'Px
U(x,p) = --cos..;px.
p
Pour déterminer u(x, t) = e,- 1 {U(x,p)}, on va utiliser la formule de BromwichWagner:
1 1a+i'Y
u(x, t) = -2 .
U(x,p)ePtdp.
1l"'t a-i')'
La fonction
U(x,p)ePt =
e-v'Px+pt
p
cos ..;px,
possède un point de branchement en p = O. Pour uniformiser U(x,p)ePt, on
utilise comme coupure la partie de l'axe réel définie par x ~ O. Calculons
l'intégrale
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
356
Ici le contour de Bromwich C est définie par
où C1 est le bord supérieur de la coupure, C3 est le bord inférieur de la coupure,
C2 est l'arc de cercle de centre 0 et de rayon ê ; rejoignant les deux bords de la
coupure, C4 et C6 sont deux arcs de cercles de centre 0 et de rayon R et enfin
Cs est une partie finie du domaine d'intégration (en fait une droite p =a). La
fonction U(x,p)ePt est uniforme sur Cet elle est holomorphe à l'intérieur de ce
contour. D'après le théorème de Cauchy, on a
Sur C1, on a p = Çe'lri, ..;p = ..j(e!!,f, e ~ Ç ~ R, d'où
r
r
r
r Ç cosiy/çxdÇ = JRr Ç cosh y/çxdÇ.
lei U(x,p)ePtdp = JR e
Jc U(x,p)ePtdp = JR
3
-iy'Çx-Çt
Ç
r
cosiy/çxdÇ = JR e
eiy'Çx-Çt
Sur C2, on a p = êei9 , (}variant de -7r à 7r, d'où
Sur C4, on a p = Rei9 , (}variant de 7r à 27r - Oo, d'où
Sur C6, on a p = Rei9 , (}variant de Oo à 7r, d'où
Sur Cs, on a
-iy'Çx-Çt
Ç
eiy'Çx-Çt
cosh y/çxdÇ.
8.4. EXERCICES RÉSOLUS
357
Calculons maintenant les limites de ces intégrales lorsque 'Y --+ oo (et donc R)
et ê--+ O. Sur C1 et C3, on a
{
rXJ -i.,/Çx-(t
C1
0
Ji_.~ le U(x,p)eptdp = - lo e (
e-+o
cosh y'çxd(,
et
{
roo ei.,/Çx-(t
~
0
J~ le U(x,p)ePtdp = lo
e-+0
(
cosh y'çxd(.
lim f U(x,p)ePtdp = -211'i.
e-+Dlc2
lim
f U(x,p)ePtdp = lim f U(x,p)eptdp = 0,
1
1
R-+oo C4
R-+oo Cs
en vertu du lemme de Jordan (il suffit d'utiliser un raisonnement similaire à
celui fait dans l'exercice 8.4.14). Sur C5, on a
1
u+ioo e-.JPx+pt
=
=
cos .,JPxdp,
P
u-ioo
211'iu(x, t).
Par conséquent, on a
0 =
lim
f U(x,p)ePtdp,
R.:~<t' le
{oo e-i.,/Çx-(t
=
lo
-
(
{oo ei.,/Çx-(t
cosh J(xd( + lo
(
cosh J(xd(
-211'i + 211'iu(x, t),
=
( 00
lo
2ie-(t sin ..,/Çx cosh ..,/Çxdr
(
d'où
_
u (x,t ) - 1
_ !_
11'
2 .
1
00
0
2 . (
)
11'Z + 11'ZU X, t ,
'o -
e-Ct sin ..,/Çx cosh ..,/Çxdr
r
..
.,,.
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
358
8.5
Exercices proposés
Exercice 8.5.1 Soit H(x) la fonction de Heaviside. Déterminer les transformées de Laplace des fonctions suivantes :
a) H(x)e-ax.
b} H(x) coswx.
c) H(x) sinwx.
d} H(x)~~.
Réponse: a) p~a' b) P2!w2, c) w2~p2, d) pn~i ·
Exercice 8.5.2 Soient f une fonction localement sommable, d'abscisse de
sommabilité <70 et F sa transformée de Laplace. Montrer qu'en tout point de
continuité de f, on a la formule d'inversion suivante :
1
f(x) = -.
271'2
1u+ioo F(p)ePxdp, (} >
O'Q
u-ioo
Exercice 8.5.3 Déterminer la transformée de Laplace de L:~o ô(x - k).
,
1
R eponse
: l-e-P.
Exercice 8.5.4 Déterminer les transformées de Laplace des fonctions suivantes :
a) f(x) =
c°Jt.
b} g(x) = s}xx.
Réponse:
.C{f(x)} =
E.2 p+ JP2+i
V2
VP
2 +1'
.C{g(x)} =
~ -p+JP2+i
VP2 +1
où Re p >O.
Exercice 8.5.5 Soient f(x) une fonction localement sommable et f la distribution associée ayant une transformée de Laplace F(p) = .C{f(x)} avec une
abscisse de sommabilité <7.
a) Montrer que si <7 > 0, alors f n'est pas tempérée et n'a donc pas de
transformée de Fourier.
b} Montrer que si <7 < 0, alors f admet une transformée de Fourier avec
Î(w) = F(27riw).
f
8.5. EXERCICES PROPOSÉS
359
c) Montrer que si u = 0, alors
où G(p) = .C{g(x)} est holomorphe pour Re p ~ 0 et iwk sont les pôles de
F(p) = .C{f(x)} pour Re p =O.
d) En déduire par transformation de Laplace inverse que
où H(x) est la fonction de Heaviside.
e) En posant Wk = 27riÀk, montrer que les transformées de Fourier de f et
de g sont liées par les formules
où Pf est la distribution partie fine (voir par exemple l'exercice 3.5.2, du chapitre 3).
f) Utiliser la formule ci-dessus pour montrer que la transformée de Fourier
de la fonction de Heaviside H(x) est
~
1
ô
H(w)=vp. +271"'/,W
2,
où vp est la distribution valeur principale de Cauchy (voir par exemple l'exercice
1. 6. 3, du chapitre 1).
x°'-1
Exercice 8.5.6 Déterminer la transformée de Laplace de la distribution Pf r(a)
(voir exercice 1. 7.9 du chapitre 1 pour les notations) où
est la fonction gamma d'Euler.
Réponse : .C ( Pf
;~:;) (p) = P~ •
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
360
Exercice 8.5. 7 Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) x" - tx' + x = 1, où x(O) = 1 et x'(O) = 2.
b} tx" + 2x' + tx = 0, où x(O) = 1 et x('rr) =O.
Réponse: a) x(t) = 2t + 1, b) x(t) = si~t.
Exercice 8.5.8 Déterminer la solution de l'équation au dérivées partielles
au= 3[J2u
at
ax 2 '
telle que : u(x, 0) = 20 cos 3x - 5 cos 9x, u(~, t) = g~(O, t) =O.
Réponse : u(x, t) = 20e- 27t cos 3x - 5e- 243t cos 9x.
Exercice 8.5.9 Résoudre l'équation au dérivées partielles
au
a2u
at + 4u - 8x2 = 0,
avec les conditions : u(x, 0) = 6sinx - 4cos 2x, u(O, t) = u(7r, t) =O.
Réponse : u(x, t) = 6e- 5t sin x - 4e-Bt sin 2x.
Exercice 8.5.10 Déterminer la solution de l'équation au dérivées partielles
au au
x- + - + xe-Y = 0,
8x
ay
u(x, 0) = x,
0 < x < 1, y > O.
Réponse: u(x, y)= x(l + y)e-Y.
Exercice 8.5.11 Déterminer la solution u(x, y, t) de l'équation aux dérivées
partielles :
satisfaisant aux conditions :
u(O, y, t) = u(7r, y, t) = u(x, y, 0) = 0,
1
u(x, 0, t) = 4,
où 0 < x < 7r, y, t > 0. On suppose qu'il existe une constante M > 0 tel que :
l(u(x, y, t)I ~M.
361
8.5. EXERCICES PROPOSÉS
Réponse: Soit U(x,y,p) = .C{u(x,y,t)}. On trouve
U(
x,y,p
) = _..!:._ ~ (1 - cos k7r )e-Y\l'k2+P sin kx
2 L.J
k
·
7r k=l
p
Comme
2
où 'f/2 = ~, on obtient
__
1_ ~ (1- cosk7r) sinkx
. r.:;; L.J
k
u ( x, y, t ) -
7ry 7r
k=l
1= -(
-1L..
e
2 2
71 2+k4 '1!-J )d
11
'f/·
2v't
Exercice 8.5.12 Résoudre les équations intégrales suivantes :
a) f(x) = cosx - J;(x - t) cos(x - t)f(t)dt.
b} f(x) = sinhx - J; coth(x - t)f(t)dt.
Réponse : a) f(x) = 1(2 cos v'3x + 1), b) f(x) = }s sinh ~xe-~.
Exercice 8.5.13 Résoudre le système d'équations intégrales suivant :
+X+ fox fg(t)dt,
h(x) = -x - fox (x - t)fi(t)dt,
fg(x)
-1 + cosx +fox fi(t)dt.
fi(x) =
1
Réponse : fi(x) = si~x + (x + 2)co;x, h(x) = 1 - x + si~x - (x + 2)co;x et
fa(x) = -1 + cosx - (x + 2) 5i~x.
Exercice 8.5.14 Déterminer la solution de l'équation intégrale
J"(x) + f(x)
+fox sinh(x - t)J(t)dt +fox cosh(x - t)J'(t)dt = coshx,
satisfaisant aux conditions initiales: f(O) = -1, f'(O) = 1.
Réponse: f(x) = 1- x + 2sinx - 2cosx.
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
362
Exercice 8.5.15 On considère l'équation intégrale
r+oo k(x - t)f(t)dt,
f(x) = g(x) +lx
et on désigne par F(p) et G(p) les transformées de Laplace des fonctions f(x)
et g(x) respectivement. On pose K(-p) = Jtxi k(-x)ePxdx.
a) Montrer que : fx+oo k(x - t)f(t)dt = K(-p)F(p).
b} En utilisant la transformée de Laplace, montrer que : F(p) = l-~f~P)'
où K (-p) i= 1 et en déduire que
f(x) = ~ 1u+ioo
G(p)
ePxdp,
27ri u-ioo 1 - K(-p)
est une solution particulière de l'équation proposée. Trouver des conditions nécessaires pour que la solution ci-dessus ait un sens.
c) Appliquer le résultat ci-dessus au cas où g(x) = x et k(x) = e 2x.
Réponse : c) f(x) = 2x + 1 +Gex où C est une constante arbitraire.
Exercice 8.5.16 Déterminer la solution de ['équations intégrale :
y'(x) =fox y(t) cos(x - t)dt,
satisfaisant à la condition initiale : y(O) = 1.
Réponse : y = 1 + ~2 •
Exercice 8.5.17 Déterminer la transformée de Laplace de la fonction de Bessel modifiée de première espèce d'ordre n définie par
11rr
In(x) = -
11"
Réponse: .C{In(x)} = yPL1
p2-1
excosO cosnOdO,
XE .iR
0
1 yPL1 n, Re p
P+
p2-1
> 1.
Exercice 8.5.18 Résoudre l'équations intégrale :
2f(x) =fox f(x - t) cos(x - t)f(t)dt - sinhx.
Réponse : f ( x) = - li (x) où li désigne une fonction de Bessel modifiée de
première espèce (voir exercice précédent).
8.5. EXERCICES PROPOSÉS
363
Exercice 8.5.19 Résoudre l'équation intégrale :
r y(t) dt= .;x.
lo Jx-t
Réponse : En utilisant le résultat obtenu dans l'exercice 8.4.27, on obtient
1
y(x) = -2
7r
1x
1
1
.jt..rx=f,dt = -2 .
o t x-t
Exercice 8.5.20 Reprendre l'exercice 8.4.27, en supposant que f(O) =/:O.
Indication: Considérer par exemple l'équation
r y(t) dt= X+ 1.
lo Jx-t
Exercice 8.5.21 Soient F(p) = .C{f(x)} la transformée de Laplace de f(x)
et supposons qu'il existe une fonction u(x, r) telle que :
où U(p) et >.(p) sont des fonctions analytiques. Posons
g(x) =
fo f(r)u(x, r)dr.
00
a) Déterminer la transformée G(p) de g(x) {théorème d'Efros).
b) Etudier le cas particulier où u s'écrit sous la forme u( x, r) = u( x - r).
c) Méme question si U(p) = .)p et >.(p) = ..;p.
d} En déduire la solution de l'équation intégrale
Jot'° f (t)e- dt = .../ii.
t2
4x
Réponse: a) G(p) = J000 g(x)e-Pxdx = U(p) f 000 f(r)e-r>-.(p)dr = U(p)F(>.(p)).
Pour la question b), si u(x, r) = u(x-r), alors >.(p) =pet on obtient la formule
sur le produit de convolution : .C {J000 f(r)u(x - r)drdr} = F(p)U(p). Pour
c) on a .C {f000 f(r)u(x, r)drdr} =
où F(p) = .C{f(x)} et u(x, r) =
F<j/),
Jrxe-4x. Pour d), on obtient f(x) = 1.
T2
CHAPITRE 8. TRANSFORMÉE DE LAPLACE
364
Exercice 8.5.22 a) Déterminer la transformée de Laplace inverse de la Jonction
e-..JP
F(p)=-,
p
en utilisant la formule de Bromwich- Wagner.
b) En déduire la transformée de Laplace inverse de la fonction
1
,
) 1 - Vir
2 [2,fië -t2dt b) 1 -~ _ _.!_
R eponse:
a
Jo e , 211"x 2e 4.,.
Exercice 8.5.23 Déterminer la transformée de Laplace inverse de la fonction
Réponse : 2 (l-~osœ).
Chapitre 9
Appendice
On a rassemblé dans cet appendice quelques notions sommaires sur la topologie dans JR.n, la théorie de la mesure et l'intégrale de Lebesgue. Les propriétés
annoncées sont données sans démonstration et il est préférable de les passer en
première lecture et de se borner à les consulter au moment de l'usage.
9.1
Éléments de topologie
On désigne par JR.n (n 2". 1 étant un entier) le produit cartésien
n-facteurs
Donc JR.n est l'ensemble de n-uplets ordonnés (xi, ... , Xn) de nombres réels. En
définissant l'addition et la multiplication par un réel,
:IR.n X :IR.n --+ :IR.n , (x, y) 1-----+ X+ y= (x1 +Yb ... , Xn + Yn),
:IR. x !Rn --+!Rn , (>., x) 1-----+ Àx = (Àx1, ... , ÀXn),
on munit !Rn d'une structure d'espace vectoriel sur R Il est de dimension net
a pour base canonique les n vecteurs (1, 0, ... , 0), (0, 1, 0, ... , 0), ... ,(0, ... , 0, 1).
Définition 9.1.1 On appelle norme sur un espace vectoriel E sur JK. = lR ou
C, une application 11-11 : E--+ IR, x 1-----+ llxll, vérifiant les conditions suivantes:
(i) Vx E E, llxll 2". 0 et llxll = 0 ~ x = O.
(ii} Vx E E, Va E JK., llaxll = lal.llxll.
(iii} Vx, y E E, llx + Yll ~ llxll + llYll (inégalité de Minkowski}.
Un espace vectoriel muni d'une norme est dit espace vectoriel normé.
365
CHAPITRE 9. APPENDICE
366
Exemple 9.1.1 Soit x =(xi, ... , Xn) E JRn. On pose
llxll1 =
lx1I + · · · + lxnl·
llxll2 = Jx~ + · · · + x~.
llxlloo = max (lx1I, ... , lxnl).
Les applications llxlli, llxll2, llxlloo: ]Rn----+ lR+, sont des normes sur lRn.
Définition 9.1.2 Deux normes 11·11 et li.li' sont dites équivalentes s'il existe
deux nombres réels a > 0 et f3 > 0 tels que :
allxll ::; llxll'::; /3llxll,
\lx E E.
Exercice 9.1.1 Montrer que \;/x E lRn, llxlloo::; llxll2::; llxll1 ::; nllxlloo·
Les trois normes li.Ili, 11·112 et ll·lloo sont équivalentes sur JRn. Lorsque le
choix de ces normes est arbitraire, on utilise tout simplement la notation li· li·
Définition 9.1.3 On appelle distance de deux vecteurs x, y E E, le nombre
réel d( x, y) = Il x - y Il· Autrement dit, une distance sur E est une application
d : E x E ----+ JR, satisfaisant aux conditions suivantes :
{i) Vx, y E E, d(x, y) ~ 0 et d(x, y) = 0 <===> x =y.
{ii} \;/x, y E E, d(x, y) = d(y, x) (symétrie}.
{iii} \;/x,y,z E E, d(x,z)::; d(x,y) + d(y,z) {inégalité triangulaire).
Un ensemble muni d'une distance est dit espace métrique.
Proposition 9.1.4 \;/x, y E E, \;/a E JR, d(ax, ay) = lald(x, y) {homogénéité}.
Exemple 9.1.2 Soit E un ensemble non vide et soit d: Ex E----+ lR+ définie
par
d(x
,y
)={ 1
0
s~ x =/= y
six=y
L'application d est une distance sur E dite distance discrète.
Exemple 9.1.3 Soit A un ensemble non vide quelconque et soit E = B(A,JR)
l'ensemble des applications bornées sur A. L'application d définie par
V(f,g) E Ex E,
d(f,g) = sup{lf(x) - g(x)l,x E A},
est une distance sur E, appelée distance de la convergence uniforme sur A.
9.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE
367
Exercice 9.1.2 Montrer que les applications suivantes de Rn x Rn dans R+
sont bien des distances: 'r:/x =(xi, ... , Xn) E Rn, 'r:fy = (y1, ... , Yn) E Rn,
n
(x,y)
1------+
di(x,y) =
L lxi -Yil·
i=l
n
(x, y)
1------+
d2(x, y) =
L lxi - Yil
2·
i=l
(x, y)
1------+
doo(x, y) = max lxi - Yil, 1 :Si :Sn.
Exemple 9.1.4 Soit E = C0 ([a, b], R) l'ensemble des fonctions continues sur
[a, b]. L'application d définie sur E x E par
'r:f(f,g) E EX E,
d(f,g) =lb jf(x) - g(x)jdx,
est une distance sur E, dite distance de la convergence en moyenne.
Exemple 9.1.5 Soient P et Q deux parties non vides de E. On appelle distance de P et de Q, et on note d(P, Q) la borne inférieure des distances des
points de P et de Q :
d(P, Q) = inf d(x, y).
xEP,yEQ
Lorsque Pest réduit à un élément x, la distance de P et de Q s'appelle distance
de x à Q et se note d(x, Q). Mais, l'application
'P(E) X 'P(E) ~ R+, (P, Q) 1------+ d(P, Q),
n'est pas une distance sur l'ensemble 'P(E) des parties de E.
Remarque 9.1.1 Comme pour les normes, on dit que deux distances d et d'
sont équivalentes sur E, s'il existe a, f3 > 0 tels que :
ad(x,y):::; d'(x,y):::; f3d(x,y),
'r:/x,y E E.
Exercice 9.1.3 Montrer que les distances di, d2 et d00 sont équivalentes.
Définition 9.1.5 On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r, l'ensemble B(a,r) = {x E E: d(x,a) < r}. Lorsque d(x,a) :Sr, on dira que la
boule est fermée et on note B[a, r] ou B(a, r).
Exemple 9.1.6 S(a,r) = {x E E: d(x,a) = r} est une sphère de centre a et
de rayon r.
CHAPITRE 9. APPENDICE
368
Exercice 9.1.4 Montrer que si a E JR.n et r > 0, alors
B 00 [a,~] C Bi[a, r] C B2[a, r] C B 00 [a, r],
où Bj [,] désigne la boule fermée relative à la norme Il. llj. Dans :IR. 2 , illustrer ce
résultat sur une figure.
Définition 9.1.6 On appelle voisinage d'un point a E E, tout ensemble V(a)
qui contient une boule ouverte B( a, r).
Définition 9.1. 7 Soit A une partie de E et soit a E E. On dit que a est
intérieur à A si A est un voisinage de a, c'est -à-dire s'il existe r > 0 tel que :
0
B(a, r) CA. L'intérieur de A, noté int A ou A, est l'ensemble
int A= {a E E: a est intérieur à A}= {a E E: A est voisinage de a}.
On a évidemment int A c A et
int [a, b] = int ]a, b[= int ]a, b] = int [a, b[=]a, b[.
Proposition 9.1.8 Soient A 1 et A2 deux parties de E. Alors
int A1 u int A2 ç int (A1 u A2),
int A1 n int A2 = int (A1 n A2).
Définition 9.1.9 On dit qu'un point a E E est adhérent à A si tout voisinage
de a coupe A. Cela revient à dire que : \Ir > 0, B(a, r) n A ~ 0. L'adhérence
(ou la fermeture) de A, notée adh A ou A, est l'ensemble
adh A= {a E E: a est adhérent à A}.
On a adh A :J A et
adh [a, b] = adh ]a, b[= adh ]a, b] = adh [a, b[= [a, b].
Lorsque adh A = E, on dira que A est dense dans E.
Exercice 9.1.5 Montrer que int A= (adh Ac)c et adh A= (int Ac)c.
9.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE
369
Proposition 9.1.10 Soient A1 et A2 deux parties de E. Alors
adh A1 u adh A2 = adh (A1 u A2),
adh A1 n adh A2 2 adh (A1 n A2).
Exemple 9.1.7 adh Qn =Rn.
Définition 9.1.11 La frontière de A est l'ensemble fr A= adh A\ int A.
Notons que fr A est un fermé.
Définition 9.1.12 Soit Ac E. On dit qu'un point a E E est un point d'accumulation de A si tout voisinage de a contient un point de A autre que a
(c'est-à-dire si a E adh (A\{a})). Le point a est dit isolé s'il existe un voisinage de a ne contenant aucun point de A autre que a.
Remarque 9.1.2 Un point isolé de A est un point de A qui n'est pas un point
d'accumulation de A. Si C est l'ensemble des points d'accumulation de A et I
celui des points isolés de A, alors I c Ac adh A, InC = 0 et IUC = adh A.
Définition 9.1.13 Soit Ac E. On dit que A est ouvert si A= 0 ou
Va E A,3r > 0: B(a,r) c A.
Autrement dit, A est ouvert si int A= A.
Exemple 9.1.8 0, Rn sont des ouverts.
Proposition 9.1.14 Une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert et une
intersection finie d'ouverts est un ouvert.
Exercice 9.1.6 Montrer que toute boule sans bord est un ouvert. En déduire
que l'intersection d'une famille infinie d'ouverts n'est pas en général un ouvert.
Proposition 9.1.15 L'intérieur de A est le plus grand ouvert contenu dans
A.
Remarque 9.1.3 L'intérieur de A est la réunion de tous les ouverts contenus
dans A.
Définition 9.1.16 On dit que A est fermé si adh A = A. Autrement dit, A
est fermé si son complémentaire est un ouvert.
CHAPITRE 9. APPENDICE
370
Exemple 9.1.9 0, Rn sont des fermés.
Proposition 9.1.17 Une réunion finie de fermés est un fermé et une intersection quelconque de fermés est un fermé.
Exercice 9.1. 7 Montrer que la réunion infinie de fermés n'est pas en général
un fermé.
Proposition 9.1.18 L'adhérence de A est le plus petit fermé contenant A.
Remarque 9.1.4 L'intérieur de A est l'intersection de tous les fermés contenant A.
Définition 9.1.19 Un espace métrique E est dit connexe s'il satisfait à l'une
des conditions équivalentes suivantes :
(i) E et 0 sont les seules parties ouvertes et fermés.
(ii} Il n'existe pas deux ouverts A1 et A2 tels que l'on ait A1 n A2 = 0 et
A1 UA2 = E.
(iii} E n'est pas égal à la réunion de deux fermés disjoints.
Définition 9.1.20 Soit A C E et I un ensemble (d'indices) quelconque. Une
famille (Ak)keI de parties de E constitue un recouvrement de A lorsque la
réunion UkeI Ak contient A. Un recouvrement est dit ouvert si \::/k E I, Ak est
un ouvert de E et il est dit fini si I est un ensemble fini.
Définition 9.1.21 On dit que Ac E est borné s'il existe a E E et r > 0 tel
que: Ac B[a,r].
Définition 9.1.22 On dit que A C E est compact si de tout recouvrement
ouvert, on peut en extraire un recouvrement fini.
Exemple 9.1.10 R n'est pas compact, R = [-oo, oo] est compact, les intervalles fermés bornés de R sont compacts.
Théorème 9.1.23 Soit A c E. Alors A est compact si et seulement si de
toute suite d'éléments de A, on peut en extraire une sous-suite qui converge
vers un élément de A.
Rappelons qu'une suite (fk) est une suite de Cauchy si
\::Je > 0, 3N > 0 : k > l 2: N ===} d(/k, f1) ~ e.
Toute suite convergente est de Cauchy mais la réciproque n'est pas toujours
vraie.
9.2. MESURE ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
371
Définition 9.1.24 Un espace métrique est dit complet si toute suite de Cauchy
converge vers un élément de cet espace. Un espace de Banach est un espace
vectoriel normé complet.
Exemple 9.1.11 (~n, ll·lli), i = 1, 2, oo, sont des espaces de Banach.
9.2
Mesure et intégrale de Lebesgue
Définition 9.2.1 Soit n un ensemble. Une classe A de parties de n est dite
une tribu (ou u-algèbre de Boole} sur n si
i) 0 E A.
ii) V A E A, Ac E A.
iii) si Ai, A2, ... est une infinité dénombrable de parties de A, alors LJ~ 1 Ai E
A.
Exemple 9.2.1 {0,0} est une tribu {dite triviale) de O.
Exemple 9.2.2 L'ensemble des parties de 0, noté P(O), est une tribu (dite
grossière) de n.
Exemple 9.2.3 {0, N, {1, 2}, {3, 4, ... }} est une tribu sur N.
Exemple 9.2.4 A = {A : A Ç N et A fini} n'est pas une tribu sur N car
N~ A.
Définition 9.2.2 Soient n un ensemble et B Ç P(O) un ensemble de parties
de O. On appelle tribu r(B) engendrée par B, la plus petite tribu contenant B,
c'est-à-dire r(B) est une tribu telle que :
i) B ç r(B).
ii) pour toute autre tribu A contenant B, r(B) ÇA.
Exemple 9.2.5 Soient A et B deux sous-ensembles de O. On a
r({A}) = {0, n, A, Ac},
et
Définition 9.2.3 Soit n = ~ et B la tribu de parties de ~ engendrée par les
intervalles de la forme ] - oo, a], a E R On dit que B est la tribu borélienne
(ou tribu de Borel} de ~ et ses éléments sont appelés les boréliens de R
372
CHAPITRE 9. APPENDICE
Remarque 9.2.1 La tribu borélienne de lR contient tous les intervalles et tous
les points de IR. La tribu borélienne de !Rn est la tribu engendrée par les parties
de !Rn de la forme J - oo, ai] x · · · x] - oo, anJ, où ai, ... , an ER
Définition 9.2.4 a) Soit n un ensemble muni d'une tribu B. On dit qu'une
fonction µ : B ~ lR est une mesure définie sur B si
i) 3B E B tel que : µ(B) < oo.
ii) si B1, B2, ... est une infinité dénombrable de parties disjointes de
B, alors
c'est-à-dire µ est dénombrablement ou complètement additive.
b) Un ensemble E C n est dit mesurable lorsque E E B.
e) Une mesure définie sur B est dite positive si, VB E B, µ(B) ;:::: O.
Exemple 9.2.6 µ(0) = O.
Exemple 9.2. 7 Mesure de Lesbegue : µ(]a, b]) = b - a= longueur de ]a, b].
Exemple 9.2.8 µ(]a, b] x Je, d]) = (b - a) (d - e)=aire de ]a, b] x Je, d].
Exemple 9.2.9 Mesure de Dirac au point a : µ(A) = {
~ :: : ~
1
Définition 9.2.5 Soient 01 et 02 deux ensembles munis respectivement des
tribus B1 et B2. On dit qu'une fonction f : 01 ~ 02 est mesurable si,
Notes concernant les définitions : On trouvera dans la littérature
d'autres définitions,
a) Une partie E Ç lR est dite de mesure nulle si pour tout é > 0, il existe
une suite (Ik) d'intervalles de longueur lk telle que :
OO
EÇ
LJh,
k=O
b) La locution "presque partout" (en abrégé p.p.) signifie sauf sur un ensemble de mesure nulle.
e) Soit I un intervalle de IR. Une fonction f: I ~ lR est dite mesurable s'il
existe une suite ('Pk) de fonctions en escalier sur I qui converge simplement
presque partout vers f sur I.
9.2. MESURE ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
373
Remarque 9.2.2 Toutes les fonctions que l'on rencontre en pratique sont mesurables.
Avant de définir l'intégrale au sens de Lesbegue, rappelons briévement ce
qu'est l'intégrale au sens de Riemann. Soit f une fonction réelle bornée définie sur un intervalle [a, b]. Pour définir l'intégrale au sens de Riemann, notée
f(x)dx, on considère une subdivision de [a, b] en un nombre fini de points
tels que : a = ao < a1 < ... < ak = b, et on écrit
J:
lb
k
f(x)dx
klim
--+OO
L (ai+l - ai) f(Çi), ai Çi ai+i,
:'.S:
:'.S:
i=l
aire comprise entre le graphe de f et l'axe ox.
Pour qu'une fonction bornée soit intégrable au sens de Riemann, il faut et
il suffit que l'ensemble des points de discontinuités de f soit de mesure nulle.
En ce qui concerne l'intégrale de Lesbegue, l'idée principale de sa construction réside dans le fait de considérer une subdivision du domaine des valeurs
de f (et non du domaine [a, b] de f, comme dans le cas de Riemann). Soit f(x)
une fonction mesurable réelle et positive. Soit [m, M] un intervalle sur l'axe oy
tel que : Imf c [c, d] et considérons une subdivision de [c, d] en un nombre fini
de valeurs distinctes Yk. Posons
et
µ(Ei)
=
mesure de Ei,
longueur usuelle de Ei si Ei est un intervalle
ou une réunion finie d'intervalles disjoints.
Définition 9.2.6 a) L'intégrale de Lesbegue J fdµ (µétant la mesure de Lesbegue) est la limite commune des sommes E:=l Yiµ (Ei) et E:=l Yi+lµ (Ei)·
Autrement dit, l'expression E:=l f/iµ(Ei), Vf/i E [Yi1Yi+1[, représente une approximation de l'aire comprise entre le graphe de f et l'axe ox.
b) On dit qu'une fonction f est intégrable au sens de Lesbegue ou sommable
si et seulement si f est mesurable et J lfldµ est fini.
Définitions et propriétés diverses : Une autre façon de définir l'intégrale au sens de Lesbegue, consiste à introduire la notion de fonction positivement intégrable. Soient I un intervalle de IR et f : I ---+ IR une fonction.
CHAPITRE 9. APPENDICE
374
a) On dit que f est positivement intégrable, s'il existe une suite croissante
(cpk) de fonctions en escalier sur I qui converge simplement vers f presque
partout sur I et telle que lim J1 cpk existe.
k-+oo
b) La fonction f est dite intégrable au sens de Lesbegue ou sommable sur
I, si elle est la différence de deux fonctions fi et f2 positivement intégrables
c'est-à-dire si f = fi - f2.
c) L'intégrale de Lesbegue de f sur I est f1 f = f1 fi - f1 f2.
d) Si f = fi - h = 91 - 92 avec fi, h, 91, 92 positivement intégrables
sur I, alors J1 fi - f1 h = f1 91 - f1 92· Autrement dit, l'intégrale f1 f est
indépendante du mode de représentation de la fonction f par une différence
de fonctions positivement intégrables.
e) Si deux suites croissantes (cpk) et (1/Jk) de fonctions en escalier vérifient les
conditions de la définition précédente (voir fonction positivement intégrable)
pour une même fonction f, alors lim f1 cpk = lim f 1 1/Jk· Autrement dit, la
k-+oo
k-+oo
limite lim f1 cpk qui intervient dans la définition de fonction positivement ink-+oo
tégrable, ne dépend pas du choix de la suite (cpk)·
f) Le nombre lim f1 cpk, est appelé l'intégrale de Lesbegue de f sur I et
est noté f1 f.
k-+oo
Remarque 9.2.3 Toute fonction intégrable au sens de Riemann est intégrable
au sens de Lesbegue et les deux intégrales sont égales. L'intégrale de Lesbegue
généralise celle de Riemann puisqu'elle permet d'intégrer des fonctions qui ne
sont pas intégrables au sens de Riemann dès que les discontinuités ne forment
pas un ensemble de mesure nulle.
Exemple 9.2.10 La fonction de Dirichlet
f(x) = { 1 s~ x est rationnel
0 sinon
n'est pas intégrable au sens de Riemann (elle est discontinue en tout point),
par contre, elle est intégrable au sens de Lesbegue et son intégrale est nulle.
Dans la suite, les intégrales seront des intégrales au sens de Lesbegue et on
utilisera souvent l'appellation "sommable".
Remarques importantes pour les applications : a) Une condition
suffisante, très utilisée, pour montrer qu'une fonction est sommable est la suivante : une fonction f n'ayant qu'un nombre fini de points de discontinuité est
sommable si et seulement si lfl est intégrable au sens de Riemann.
b) Soit [a, b] un intervalle quelconque, a ou b pouvant être fini ou non.
Pour montrer que f est sommable sur [a, b], il faut et il suffit de vérifier que
9.2. MESURE ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
375
J:finition de laconverge.
Pour traiter cette question, on pourra donc utiliser la déconvergence absolue ou (lorsque l'intégrale est difficile calculer)
lf(x)jdx
à
utiliser les critères de comparaison, d'équivalence, etc.
Exemple 9.2.11 La fonction définie par
f(x) = sin°'x,
X
a E lR*+
est sommable sur [O, 1] pour 0 <a< 2 et sur [1, oo[ pour a> 1. En effet,
(*) J01 1s~no:x1 dx converge si a < 2 et diverge si a 2'. 2 car
sin x 1 sin x
1
- pour X ---+ Ü
1-X°'- = -X°'- rv xa-l
et f01 x~:. 1 converge si a - 1 < 1 et diverge si a - 1 2'. 1.
(**)
1s~n°'x1 dx converge pour a > 1 car
Ji°°
sinx'
1
- <X°'
- X°'
1
'
et Jt:i ~ converge pour a> 1. Pour 0 <a~ 1, cette intégrale diverge car
sinx1 > sin2 x = 1- cos 2x
1 X°' - X°'
1
2X°'
et
Ji°° 1 -~; 2xdx diverge pour 0 <a~ 1.
Définition 9.2. 7 Soit n un ouvert de Rn. On note C} (0) ou plus simplement
C}, l'espace vectoriel (sur lR ou C) des fonctions sommables sur n. L'espace
L 1 (0) ou L 1 est, par définition, le quotient de C1 par la relation d'équivalence
"égalité presque partout".
Remarques 9.2.4 a) Pour montrer que f E C 1 , il suffit de vérifier que
l'intégrale fn lf(x)jdx existe. De méme, pour montrer que f E C2 , il suffit de
vérifier que fn lf(x)l2dx existe. Rappelons que si f est réelle, lf(x)l2 = J2(x)
et si f est complexe, lf(x)l 2 = f(x)f(x).
b) Deux fonctions égales presque partout seront considérées comme égales.
Et conformément à l'usage, on confondra d'une part C, 1 et L 1 et de l'autre C, 2
et L 2 .
Exemple 9.2.12 La fonction
f :JO, 1] - - ? lR,
1
X 1-------+ yX '
CHAPITRE 9. APPENDICE
376
appartient à L 1 mais pas à L 2 . Par contre la fonction
g :]1, oo[--+ JR,
1
X 1-------+ -
x'
appartient à L 2 mais pas à L 1 .
Propriétés : 1) Si f, g E L 1 , a, f3 E C, alors af + f3g E L 1 et
j (af+f3g)dx=a j fdx+f3 j gdx.
2) Pour qu'une fonction f E L 1 , il faut et il suffit que Ill E L 1 . En outre
If
fdxl :S
j lfldx.
3) Si f est mesurable et s'il existe une fonction positive g E L 1 telle que :
lf(x)I :S g(x) presque partout, alors f E L 1 .
4) Si f(x) 2: 0 est mesurable, alors J fdx = 0 si et seulement si f = 0
presque partout.
5) Si f E L 1 et f = g presque partout, alors g E L 1 et J fdx = J gdx.
6) La quantité
11111 =ln lf(x)ldx,
est une norme sur L 1 (n).
6) La quantité
11111 =
ln lf(x)l 2 dx,
est une norme sur L 2 (n).
7) Inégalité de Schwarz : Si f, g E L 2 , alors
Théorème 9.2.8 (de convergence dominée de Lebesgue) : Soit (fk) une suite
de fonctions sommables. Si (fk) converge simplement presque partout vers une
fonction f et s'il existe une fonction sommable g telle que : lfk(x)I :S g(x)
presque partout, alors f (x) est sommable et
lim
k-+oo
j fk(x)dx = j lim fk(x)dx = j f(x)dx.
k-+oo
9.2. MESURE ET INTÉGRALE DE LEBESGUE
377
Théorème 9.2.9 (de Fubini-Lebesgue) : Si f (x, y) est sommable, alors les
fonctions x i----+ J f(x, y)dy et y i----+ J f (x, y)dx sont définies presque partout
et sont sommables. En outre
j (! f(x,y)dy) dx = j (J f(x,y)dx) dy.
Remarques 9.2.5 a) On peut par convention, utiliser la notation J dx J f(x, y)dy
pour J (J f(x, y)dy) dx et J dy J f(x, y)dx pour J (J f(x, y)dx) dy.
b) Le simple fait que f(x, y) soit sommable, n'implique pas que la fonction
x i----+ f(x, y) soit sommable pour tout y ni que y i----+ f(x, y) soit sommable
pour tout x.
Considérons l'application g : n-----+ Rn, y 1----t g(y) = x, où n est un ouvert
de Rn. On a
On suppose que les dérivées partielles ~(y), 1 ~ i, j ~ n, existent pour tout
y E n. Par définition, le jacobien de g est
_e
d t ( 8gi (y ))
_ 8(xi, ... , Xn) det J9 ( y
).
8(y1, ... , Yn)
8yj
I~i,j~n
Théorème 9.2.10 {de changement de variable} : Soient n un ouvert de Rn,
g:
n-----+ Rn,
y 1----t g(y) = x,
une bijection de classe C1 telle que : det J9 (y) #- 0, \;/y E f2 et
f: D-----+ R,
xi----+ f(x),
une fonction sommable où D c g(O). Alors (fog) ldet J9 (y)I est sommable sur
g- 1 (D) et
{ f = {
ln
(fog) lddet J9 (y)I,
}y-l(D)
c'est-à-dire
JJ···l
=
f(x1, ... , Xn)dx1 ... dxn
JI 1 ( )(
···
8(x1, ... ,xn)I
fog YI, ... , Yn )1 a(
) dy1 ... dyn.
Yb ... , Yn
9 -1(D)
Bibliographie
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Ellipses, 1984.
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[14] Zygmund, A. : Trigonometric series. Cambridge university press, 1979,
1988, Fefferman, 2003.
Index
dilatée d'une distribution, 70
distribution, 18
distribution complexe conjuguée, 20
distribution d'ordre m, 20
distribution de Dirac, 24
distribution homogène, 81
distribution impaire, 71
distribution nulle, 25
distribution paire, 71
distribution périodique, 69, 173
distribution réelle, 20
distribution sur le cercle r, 174
distribution tempérée, 248
domaine de sommabilité, 293
abscisse de convergence absolue, 293
abscisse de sommabilité, 293
algèbre de convolution, 118
associativité du produit de convolution, 115
associativité du produit tensoriel, 108
calcul symbolique, 126
changement d'échelle, 70
coefficients de Fourier, 147, 218
coefficients de Fourier d'une distribution, 176
commutativité du produit de convolution, 114
continuité du produit de convolution, 117
continuité du produit tensoriel, 110
convergence au sens de Cesaro, 165
convergence dans V, 18
convergence dans 'D', 85
convergence dans 'D(r), 174
convergence dans vm, 20
convergence dans C1 , 89
convergence en moyenne, 89, 165
convergence en moyenne quadratique,
égalité de Parseval, 169, 173
égalité de Plancherel, 255
équation de Bessel, 347
équation de convolution, 119
équation de la chaleur, 64, 219, 230,
269, 286, 350
équation de la corde vibrante, 229
équation de Laplace, 134
équation des cordes vibrantes, 351
équation des cordes vibrantes, 286
équation des ondes, 351
équation intégrale d'Abel, 345
équation intégrale de Volterra, 313,
315
équilibre indifférent, 317
espace de base, 16
espace de Schwartz, 29, 243, 263
exemple de Féjer, 230
172
critère de Liénard et Chipart, 319
critère de Mikhaïlov, 319
critère de Routh-Hurwitz, 318
dérivation du produit de convolution, 116
dérivation du produit tensoriel, 109
dérivée d'une distribution, 42
381
INDEX
382
exemple de Kolmogorov, 231
filtre RC, 221
fonction à croissance lente, 248
fonction bêta d'Euler, 135
fonction causale, 112, 292
fonction de Bessel, 262, 348, 362
fonction de Cauchy, 136
fonction de corrélation, 271
fonction de Heaviside, 36
fonction de type exponentielle à l'infini, 292
fonction gamma d'Euler, 135
fonction localement intégrable, 20
fonction localement sommable, 20
fonction porte, 37
fonction radiale, 262
fonction thêta de Jacobi, 267
fonction triangle, 266
fonction Zêta de Riemann, 213
fonctions de base, 16
fonctions tests, 16
formule d'Euler, 82
formule d'inversion de Fourier, 236,
254, 279
formule de Bromwich-Wagner, 300
formule de Leibniz, 83
formule de Plancherel, 247, 281
formule sommatoire de Poisson, 231,
252, 278
gaussienne, 127
identité de Parseval, 271
identité de Sokhotski, 93
image, 292
inégalité de Bessel, 172
inégalité de Wirtinger, 231
inégalité isopérimétrique, 231
intégrale de Dirichlet, 157
intégrale de Fejér, 165
inverse de convolution, 121
laplacien, 132, 134
laplacien de 1/r, 58
lemme d'Urysohn, 17
lemme de Riemann-Lebesgue, 154,
237
lemme de Weyl, 65
loi de Kirchoff, 222
matrice de Hurwitz, 318
mesure, 25
multiplication (des distributions), 67
noyau de Dirichlet, 156
noyau de Fejér, 166
noyau de Gauss, 64
opérateur de Cauchy-Riemann, 56,
65
opérateur de Laplace, 65
opérateur des ondes, 53
original, 292
partie finie, 47
peigne de Dirac, 25
période fondamentale, 173
phénomène de Gibbs, 164
phénomène de Gibbs, 207
point d'équilibre, 316
point stationnaire, 316
polynôme trigonométrique, 218
potentiel de Yukawa, 287
primitive d'une distribution, 42
problème de l'inversion d'Abel, 345
produit de convolution, 110, 113
produit tensoriel ou direct, 105, 108
projection orthogonale, 216
régularisée, 155
régularisation d'une distribution, 118
série de Fourier, 147
série de Fourier d'une distribution,
176
INDEX
série trigonométrique, 142
solution élémentaire, 119
suite de polynômes de Bernoulli, 212
support d'une convolution, 115
support d'une distribution, 27
support d'une fonction, 16
support du produit tensoriel, 108
système asymtotiquement stable, 317
théorème d'approximation de Weierstrass, 168
théorème de Fejér, 165
théorème de Jordan, 168
théorème d'approximation de Weierstrass, 39
théorème d'Efros, 363
théorème de Dini, 192
théorème de Dirichlet, 155
théorème de la valeur finale, 299
théorème de la valeur initiale, 299
théorème de Paley-Wiener, 263
théorème de recollement par morceaux, 26
théorème de Riemann-Lebesgue, 154,
237
transformée de Fourier, 236, 249, 257,
261
transformée de Laplace, 291, 303
translatée d'une distribution, 69
translation d'une convolution, 117
transposée d'une distribution, 70
valeur principale, 33
383
AUBIN IMPRIMEUR
Achevé d'imprimer en octobre 2012
N° d'impression 1210.0227
Dépôt légal, octobre 2012
Imprimé en France
Distributions, analyse de Fourier
et transformation de Laplace
Ce livre a pour but d 'exposer de la manière la plus simple, mais rigoureuse sur le plan mathématique, une théorie fondamentale aussi bien
en mathématique qu 'en physique. L'ouvrage s'organise en trois grandes parties, respectivement intitulées : Distributions, Analyse de Fourier
et Transformée de Laplace, ainsi qu'un appendice. On trouvera une
description détaillée de toutes ces notions dans lintroduction propre
à chaque chapitre. Chacun commence par un exposé clair et précis
de la théorie (définitions, propositions, remarques, etc.). En général, les
démonstrations sont complètes, détaillées et accessibles à un large
public. Par ailleurs, le souci de rendre les notations aussi simples que
possible a conduit à raisonner souvent dans le cas d'une variable avec
des indications sur les quelques changements que demande le cas de
plusieurs variables.
De nombreux exemples se trouvent disséminés dans le texte. En outre,
comme il s'adresse principalement à tous les étudiants scientifiques
entrant dans un établissement d'enseignement supérieur, chaque
chapitre comporte de nombreux exercices de difficulté variée complètement résolus ainsi que des exercices proposés avec éventuellement
des réponses ou des indications. Certains exercices ont fait l'objet de
questions d'examen au cours des dernières années. Par ailleurs parmi
ces exercices il y en a des classiques, que l'on retrouvera cert9inement
ailleurs, et d'autres qui sont vraisemblablement originaux.
Cet ouvrage est destiné aux étudiants de licence ou master de mathématiques (L2, L3, M 1) ainsi qu'aux élèves des grandes écoles scientifiques
et techniques. Il peut également être utile aux enseignants.
L'auteur, titulaire d 'un doctorat d'état en sciences mathématiques, est professeur de l'enseignement supérieur à /'université Chouaib Doukkali, faculté des
sciences, département de mathématiques, El Jadida, Maroc.
www.editions-ellipses.fr