exe prob

Prof : Omar BACHAIN
Niveau : PC & SVT
Ann´ ee scolaire : 2023-2024
Probabilit´ es
Exercices et probl emes
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Omar BACHAIN MathsBachain
Prof : Omar BACHAIN
Niveau : PC & SVT
Ann´ ee scolaire : 2023-2024
Probabilit´ es
Exercices et probl emes
Exercice 1
Soit Aet Bdeux ´ ev´ enements associ´ es  a une
mˆ eme exp´ erience al´ eatoire. Les questions 1, 2
et 3 sont ind´ ependantes.
1On suppose dans cette question que :
p(A) = 0:7 et p(B) = 0:85 et
p(A∪B)= 0:9
aCalculer : p(A∩B),pA,pBet
pA∪B
bCalculer pA∩B,pA∩B,
pB(A)et pA(B)
cLes ´ ev´ enements Aet Bsont-ils
ind´ ependants? justier
2On suppose dans cette question que :
pA= 0:36 et pB= 0:74
et pA∪B= 0:27
aCalculer p(A∩B),pB(A)et pA(B)
bpA∩B,pA∪B,pA∩Bet
pA∪B
cCalculer pA(B), pB(A) et pBA
dLes ´ ev´ enements Aet Bsont-ils
ind´ ependants? justier
3On suppose dans cette question que :
p(A∩B)= 0:3, pB= 0:58 et
pA(B) = 6
13
aCalculer pA∩B
bCalculer p(A) e pB(A)
cCalculer p(A∪B)
Exercice 2
Soit Aet Bdeux ´ ev´ enement associ´ es  a une
exp´ erience al´ eatoire. On consid ere l'arbre
suivante :
A
B
B
4
5
A
B
B
2
3
1Calculer p(A) e pA(B)
2Compl´ eter l'arbre par les probabilit´ es
manquantes sachant que :
pA∩B=1
20
3Calculer p(B)
4Les ´ ev´ enements Aet Bsont-ils
ind´ ependants?

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Omar BACHAIN MathsBachain
Exercice 3
Une maladie atteint 1% d'une population
donn´ ee. Un teste de d´ epistage donne les
r´ esultats suivants :
•chez les individus malades, 99% des
testes sont positifs
•chez les individus non malades, 98% des
testes sont n´ egatifs
On choisit au hasard un individu de cette pop-
ulation. On consid ere les ´ ev´ enements suivants
T: ”Le teste est positif” et
M: ”L'individu choisit est malade”
1Construire un arbre pond´ er´ e, et calculer
pM,pMTet pM(T)
2Calculer p(T∩M)et pM∩Tet en
d´ eduire p(T)
3Sachant que le test est positif, qu'elle
est la probabilit´ e que cet individu soit
malade ?
Exercice 4
Un sac S1contient 5 boules rouges et 3 boules
noires. Un sac S2contient 2 boules rouges et
une boule noire.
Toutes les boules sont indiscernables au
toucher.
On choisit au hasard l'un des sacs, puis on en
tire au hasard une boule. (il ya ´ equiprobabilit´ e
dans le choix des sacs).
On consid ere les ´ ev´ enements :
Si: ”choisir une boule rouge” o ui∈f1; 2g
R: ”obtenir une boule rouge”
N: ”obtenir une boule noire”
Le sac S1Le sac S2
1Construire un arbre pond´ er´ e
2Calculer la probabilit´ e de choisir le sac
S2et obtenir une boule rouge
3Calculer la probabilit´ e d'obtenir une
boule rouge
4Sachant que la boule tir´ ee est noire,
quelle est la probabilit´ e qu'elle soit tir´ ee
du sac S1
Exercice 5
Une usine d'horlogerie fabrique des montres
et tr es grande s´ erie.
Ces montres peuvent pr´ esenter,  a l'issue de la
fabrication deux d´ efauts ind´ ependants D1et
D2.
Une ´ etude statistique a permis d'´ etablir que,
pour une montre sortant de l'usine, le d´ efaut
D1apparait avec une probabilit´ e de 0:02; alors
que la probabilit´ e d'apparition du d´ efaut D2
est 0:1.
On pr´ el eve au hasard une montre  a l'issue de
la fabrication. On consid ere les ´ ev´ enements
suivants :
D1: ”La montre pr´ esente le d´ efaut D1”
D2: ”La montre pr´ esente le d´ efaut D2”
A: ”La montre ne pr´ esente aucun d´ efaut”
B: ”La montre pr´ esente un seul d´ efaut”
1Quelle est la probabilit´ e pour que la mon-
tre choisis pr´ esente les deux d´ efauts
2 a Exprimer l'´ ev´ enement Aen fonction
des ´ ev´ enements D1et D2
bMontrer que p(A) = 0:882
(on rappelle que E∩F=E∪F)
3 a Exprimer l'´ ev´ enement Ben fonction
des ´ ev´ enements D1et D2
bCalculer pD1∩D2et pD1∩D2
cEn d´ eduire que : p(B) = 0:116
4Calculer p(B) d'une autre fac¸on

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Exercice 6
Un sac S1contient 2 jetons portant le num´ ero
1 et 4 jetons portant le num´ ero 2
Un sac S2contient 3 boules rouges et 4 boules
vertes.
Toutes les boules sont indiscernables au
toucher.
Le sac S1
2 2 2 2
1 1
Le sac S2
1On tire au hasard un jeton de S1
Calculer la probabilit´ e de chacun des
´
ev´ enements suivants :
A: ”Le jeton tir´ e porte le num´ ero 1”
B: ”Le jeton tir´ e porte le num´ ero 2”
2On consid ere l'exp´ erience al´ eatoire suiv-
ants :
On tire au hasard un jeton de S1et on
note son num´ ero :
•Si ce num´ ero est 1, on tire au hasard
une boule de S2
•Si ce num´ ero est 2, on tire au hasard
et simultan´ ement deux boules de S2
Soit Enl'´ ev´ enement : ”obtenir exacte-
ment nboules rouges” o un∈f1; 2g
aMontrer que :
p(E1)=11
21 et p(E2)=2 21
bSachant qu'on obtenue une seule
boule rouge, calculer la probabilit´ e
pour que le jeton tir´ e de S1porte le
num´ ero 1
Exercice 7
On consid ere un d´ e cubique ´ equilibr´ e dont les
faces sont num´ erot´ ees de 1  a 6
Un sac contient 4 boules rouges et 3 boules
vertes. Toutes les boules sont indiscernables
au toucher.
Le sac
Le d´ e
On tire au hasard et simultan´ ement deux
boules du sac puis on lance le d´ e.
Calculer la probabilit´ e de chacun des
´
ev´ enements suivants :
A: ”obtenir deux boules rouges et le n°5”
B: ”obtenir deux boules vertes et un num´ ero
pair”
C: ”obtenir deux boules de couleurs
diff´ erentes et un multiple de 3”
Exercice 8
Une urne U1contient 5 boules rouges et trois
boules noires
Une urne U2contient 4 boules rouges, 2 boules
vertes et une boule noire
Toutes les boules sont indiscernables au
toucher.
On tire au hasard deux boules de l'urne U1et
une boule de l'urne U2
L'urne U1L'urne U2
Calculer la probabilit´ e de chacun des
´
ev´ enements suivants :
A: ”obtenir 3 boules de mˆ eme couleur”
B: ”obtenir 2 boules rouges exactement”
C: ”obtenir une boule de chaque couleur”

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Exercice 9
Un urne contient 3 boules rouges et 4 boule
blanches. Les boules sont indiscernables au
toucher
On tire au hasard une boule de l'urne, on note
sa couleur, puis on la remet dans l'urne; on
r´ ep ete cette ´ epreuve 9 fois de suite. (Tirage
successif avec remise de 9 boules)
L'urne
1Calculer la probabilit´ e d'obtenir une
boule rouge deux fois exactement
2Calculer la probabilit´ e d'obtenir une
boule rouge 6 fois exactement
3Calculer la probabilit´ e d'obtenir une
boule rouge au moins fois
Exercice 10
Pour passer un examen, Ali doit r´ epondre  a 5
questions 2  a 2 ind´ ependantes.
Pour chaque question, Ali doit choisir une seule
r´ eponse parmi les quatre r´ eponses propos´ ees.
Une seule r´ eponse parmi les quatre propos´ ees
est exacte.
Ali n'a pas bien pr´ epar´ e cet examen, et
commence  a r´ epondre au hasard (il ya
´
equiprobabilit´ e dans le choix des r´ eponses de
Ali )
1Montrer que la probabilit´ e que Ali ait
obtenu une seule bonne r´ eponse pour les
cinq questions est 405
1024
2Calculer la probabilit´ e que Ali ait obtenu
3 bonnes r´ eponse exactement
3Calculer la probabilit´ e que Ali ait obtenu
au moins une bonne r´ eponse
4Pour r´ eussir cet examen, il faut au moins
3 bonnes r´ eponses
Quelle est la probabilit´ e que Ali
r´ eussisse cet examen ?
Exercice 11
Un urne contient 3 boules rouges, 2 boule
blanches et une boule noire.
Toutes les boules sont indiscernables au
toucher.
L'urne
1On tire au hasard successivement et
avec remise 3 boules de l'urne.
Calculer la probabilit´ e de chacun des
´
ev´ enements suivants :
A: ”obtenir 3 boules de couleur deux
a deux distincts (une boule de chaque
couleur)
B: ”obtenir 3 boules de mˆ eme couleur ”
C: ”obtenir 2 couleur exactement”
D: ”obtenir 2 boules rouges exacte-
ment”
2On tire maintenant au hasard succes-
sivement et sans remise 3 boules de
l'urne.
Calculer la probabilit´ e de chacun des
´
ev´ enements A,B,Cet D
3On tire maintenant au hasard simul-
tan´ ement 3 boules de l'urne.
aCalculer la probabilit´ e de chacun
des ´ ev´ enements A,B,Cet D
bSoit Xla variable al´ eatoire qui  a
chaque tirage associe le nombre de

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boules rouges restantes dans l'urne
apr es le tirage des 3 boules
D´ eterminer la loi de probabilit´ e de
X
4On consid ere l'´ epreuve E: ”On tire au
hasard simultan´ ement 3 boules de l'urne,
on note leur couleur, puis on les remet
dans l'urne”
On r´ ep ete 4 fois de suite l'´ epreuve E
dans les mˆ emes conditions. Les ´ epreuves
sont deux  a deux ind´ ependantes
Soit Yla variable al´ eatoire ´ egale au nom-
bre de fois qu'on obtient 3 boules de
mˆ eme couleur
aD´ eterminer la loi de probabilit´ e de
Y
bCalculer E(Y), V(Y) et (Y)
cCalculer la probabilit´ e d'obtenir 3
boules de mˆ eme couleur 3 fois ex-
actement
Exercice 12
Un sac contient :
•3 jetons blancs num´ erot´ es : 1; 1; 2
•4 jetons rouges num´ erot´ es : 1; 1; 2; 2
•5 jetons verts num´ erot´ es : 1; 2; 2; 2; 3
Toutes les jetons sont indiscernables
au toucher.
Le sac
B1B1B2
R1R1R2
R2V1V2
V2V2V3
1On tire au hasard successivement et
avec remise 4 jetons du sac
aCalculer la probabilit´ e d'obtenir 4
jetons de mˆ eme couleur
bCalculer la probabilit´ e d'obtenir un
seul jeton blanc
cCalculer la probabilit´ e d'obtenir 4
jetons portant le mˆ eme num´ ero
dCalculer la probabilit´ e d'obtenir un
seul jeton vert et un seul nombre
pair
2On tire au hasard successivement et
sans remise 4 jetons du sac
aCalculer la probabilit´ e de chacun
des ´ ev´ enements suivants :
A: ”obtenir 4 jetons de mˆ eme
couleur”
B: ”obtenir un seul jeton rouge”
C: ”obtenir exactement deux je-
tons verts num´ erot´ es 2”
D: ”obtenir 4 jetons portant le
mˆ eme num´ ero”
E: ”obtenir un seul jeton rouge et
un seul nombre impair”
bSoit Xla variable al´ eatoire qui  a
chaque tirage de 4 jetons associe le
nombre de jetons verts qui portent
un nombre impair
D´ eterminer la loi de probabilit´ e de
X
3On tire maintenant au hasard simul-
tan´ ement 4 jetons du sac
Calculer la probabilit´ e de chacun des
´
ev´ enements A,B,C,Det E
4On consid ere le jeu suivant :
On tire au hasard successivement et
sans remise deux jetons du sac. On
gagne si on obtient deux jetons verts
portant le num´ ero 2.