Solution-TD1 Ondes et propagation

Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakhlef 1
Corriger de la Série 1 : Chapitre 1 : Équations de Maxwell
Exercice1
Que représente 𝖨𝖨u
⃗
 v
⃗
𝖨𝖨 ?
On appelle produit vectoriel des vecteurs 𝐮
⃗
𝐞𝐭 𝐯
⃗
:u
⃗
 v
⃗
= 𝖨𝖨u
⃗
𝖨𝖨.𝖨𝖨 v
⃗
𝖨𝖨sinθ, θ est l’angle
entre u
⃗
et v
⃗
u
⃗
 v
⃗
= 𝖨𝖨u
⃗
𝖨𝖨.𝖨𝖨 v
⃗
𝖨𝖨sinθ= u
⃗
 v
⃗
= h.𝖨𝖨 v
⃗
𝖨𝖨 (𝖨𝖨u
⃗
𝖨𝖨.sinθ=h) représente la surface Le
parallélogramme constitué par les deux vecteursu
⃗
et v
⃗
Exercice2
Que représentew
⃗
( u
⃗
 v
⃗
) ?
w
⃗
( u
⃗
 v
⃗
)=
u
⃗
 v
⃗
=n
⃗
‖n
⃗
‖=𝑠, s est la surface Le parallélogramme constitué par les deux vecteursu
⃗
et v
⃗
w
⃗
( u
⃗
 v
⃗
)= w
⃗
.n
⃗
= ‖w
⃗
‖.‖n
⃗
‖cos=h.‖n
⃗
‖=h.s qui présente le volume de parallélépipède constitué
par w
⃗
,u
⃗
et v
⃗
Exercice3
Calculer le rotationnel du champ newtonienE
⃗
=
e
⃗
𝐫𝐨𝐭
⃗
𝐀
⃗
=(𝐮
⃗
𝐫𝛛
𝛛𝐫+𝐮
⃗
𝛗𝟏
𝐫𝛛 𝛛𝛗+𝟏 𝐫𝐬𝐢𝐧𝐬𝛗𝛛 𝛛𝛉)(𝐀𝐫𝐮
⃗
𝐫+𝐀𝛉𝐮
⃗
𝛉+𝐀𝛗𝐮
⃗
𝛗)
𝐫𝐨𝐭
⃗
𝐄
⃗
=𝐞
⃗
𝐫𝛛
𝛛𝐫+𝐞
⃗
𝛗𝟏
𝐫𝛛 𝛛𝛗+𝐞
⃗
𝛉𝟏
𝐫𝐬𝐢𝐧𝐬𝛗𝛛 𝛛𝛉E
⃗
=k
re
⃗
=𝐮
⃗
𝐫𝛛
𝛛𝐫E
⃗
=k
re
⃗
=0
⃗
=
𝐞
⃗
𝐫 𝐞
⃗
𝛗 𝐞
⃗
𝛉
𝝏
𝝏𝒓 𝟏 𝒓𝝏 𝝏𝝋 𝟏 𝒓𝒔𝒊𝒏𝒔𝝋𝝏 𝝏𝜽
𝒌
𝒓𝟐 𝟎 𝟎
=0
⃗
Ou bien on utilise les coordonnées cartésiennes (𝑟=𝑥+𝑦+𝑧)
Exercice4
Démonter que rot
⃗
grad
⃗
U=0
⃗
et div rot
⃗
E
⃗
=0
v
⃗
u
⃗
h
u
⃗
v
⃗
h
𝑤
⃗
n
⃗

Série 1 : Chapitre 1 : Équations de Maxwell
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef 2
rot
⃗
grad
⃗
U=
Soit U fonction scalaire en fonction de x, y et z
En coordonnées cartésiennes : grad
⃗
U=∇
⃗
U=dU
dxı⃗+dU dyȷ 
⃗
+dU
dzk
⃗
rot
⃗
grad
⃗
U=∇
⃗
∇
⃗
U=rot
⃗
V
⃗
=
ı⃗ ȷ 
⃗
k
⃗
d
dx d dy d dz
dU
dx dU dy d∂U dz
=ı⃗  d
dzdU dy− d dydU dz− ȷ⃗  d dxdU dz− d dzdU dx+k
⃗
 d
dxdU dy− d dzdU dy
=ı⃗  dU
dzdy−dU dydz − ȷ⃗  dU dxdz−dU dzdx+k
⃗
 dU
dxdy−dU dzdy=ı⃗ 0 − ȷ⃗ 0 + k
⃗
0=0
⃗
div rot
⃗
E
⃗
=
rot
⃗
E
⃗
=
ı⃗ ȷ 
⃗
k
⃗
d
dx d dy d dz
E E E
=ı⃗  d
dyE− d dzE − ȷ⃗  d dxE− d dzE+k
⃗
 d
dxE− d dyE
div rot
⃗
E
⃗
=∇
⃗
ı⃗  d
dyE− d dzE − ȷ⃗  d dxE− d dzE+k
⃗
 d
dxE− d dyE
=d
dx d dyE− d dzE−d dy  d dxE− d dzE+d dz  d dxE− d dyE
=d
dx d dyE−d dx d dyE − d dy d dxE−d dy d dzE + d dz d dxE−d dz d dyE
=d
dx d dyE−d dy d dxE−d dx d dyE− −d dy d dzE − −d dz d dzE−d dz d dyE
=0
Exercice5
Démonter les formules suivantes :div λE
⃗
=E
⃗
.grad
⃗
λ+λdivE
⃗
et div E
⃗
F
⃗
=F
⃗
.rot
⃗
E
⃗
−
E
⃗
.rot
⃗
F
⃗
 div λE
⃗
=divEı⃗+Eȷ⃗ + Ek
⃗
=divEı⃗+Eȷ⃗ + Ek
⃗
=
E+ E + E=
E+E + E + E + E + E = E+ E+ E+E  +
E
 + E
div λE
⃗
=(d
dxE+d dyE+d dzE)+Ed dx + Ed dy + Ed dz=λdivE
⃗
+E
⃗
.grad
⃗
λ

Série 1 : Chapitre 1 : Équations de Maxwell
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef 3
 div E
⃗
F
⃗
=divı⃗ ȷ 
⃗
k
⃗
E E E
F F F=divE F−E Fı⃗ − (E F−E F)ȷ 
⃗
+
E F−E Fk
⃗
=
E F−E F− (E F−E F)+ E F−E F=
(E F)− (E F)− (E F)− (E F)+ (E F)− (E F)=
F
E +E  F−F E −E  F−F E +E  F−F E −E  F+
F
E +E  F−F E −E  F=F E − E −F E − E +
F
E − E −E  F− F−E  F− F+E  F− F=
F
⃗
.rot
⃗
E
⃗
− E
⃗
.rot
⃗
F
⃗
Exercice6
Transformer les vecteurs suivants : u
⃗
=rot
⃗
(λ E
⃗
) ; v
⃗
=rot
⃗
(rot
⃗
E
⃗
)
Soit E
⃗
=E ı⃗+E ȷ 
⃗
+ E k
⃗
rot
⃗
E
⃗
=d
dyE −d dzE ı 
⃗
−d
dxE −d dzE ȷ 
⃗
+d
dxE −d dyE k
⃗
=d
dyE +E d dy−d dzE −E d dzı 
⃗
−d
dxE +E d dx−d dzE −E d dzȷ 
⃗
+d
dxE +E d dx−d dyE −E d dyk
⃗
=d
dyE +E d dy−d dzE −E d dzı 
⃗
−d
dxE +E d dx−d dzE −E d dzȷ 
⃗
+d
dxE +E d dx−d dyE −E d dyk
⃗
=d
dyE −d dzE ı 
⃗
−d
dxE −d dzE ȷ 
⃗
+d
dxE −d dyE k
⃗
+E d
dy−E d dzı 
⃗
−E d
dx−E d dzȷ 
⃗
+E d
dx−E d dyk
⃗
=d
dyE −d dzE ı 
⃗
−d
dxE −d dzE ȷ 
⃗
+d
dxE −d dyE k
⃗
−E d
dz−E d dyı 
⃗
+E d
dz−E d dxȷ 
⃗
−E d
dy−E d dxk
⃗
=rot
⃗
E
⃗
−E
⃗
grad
⃗

Série 1 : Chapitre 1 : Équations de Maxwell
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef 4
Exercice7
Soit w
⃗
un vecteur constant, et soit v
⃗
= w
⃗
OM
⃗
, Démontrer que w
⃗
= 
 rot
⃗
v
⃗
w
⃗
=w ı⃗+w ȷ 
⃗
+ w k
⃗
et OM
⃗
=xı⃗+ yȷ 
⃗
+ z k
⃗
v
⃗
=w
⃗
OM
⃗
= ı⃗ ȷ 
⃗
k
⃗
w w w
x y z =(w z−w y)ı⃗ − (w z−w x)ȷ 
⃗
+w y−w xk
⃗
rot
⃗
v
⃗
=
ı⃗ ȷ⃗ k
⃗
d
dx d dy d dz
(w z−w y) −(w z−w x) w y−w x
=
d
dyw y−w x−− d dz (w z−w x)ı⃗−d dxw y−w x − d dz(w z−w y)ȷ⃗
+d
dx−(w z−w x)−d dy(w z−w y)k
⃗
=(w +w )ı⃗+w +w ȷ⃗+(w +w )k
⃗
=2w ı⃗+w ȷ⃗+w k
⃗
=2w
⃗
Donc: w
⃗
=
⃗
Exercice8
Soit R > 0 et a > 0. Calculer l’intégrale de surface I=∬f(M)ds
 où f(M) =f(x,y,z) =√z , et s
est la demi-sphère d’équation :x+y+ z=R,z≥0.
x+y+ z=R,z≥0. Equation d’une demi-sphère donc on préfère les coordonnées sphériques
f(x,y,z)=√z=√rcos
x+y+ z=R,z≥0. : r=R, 0    /2 et 0    2
I= f(M)ds
= √rcosds =r
(cosθ)/ds
dS= rsinθdθd (r=cte) voir chapitre 1
=∫ ∫ r
(cosθ)/rsinθdθdφ =r
∫ ∫(cosθ)/sinθdθdφ
π
π
=2πr
∫(cosθ)/sinθdθdφ
=
2𝜋𝑟
(𝑠𝑖𝑛𝜃)/
/=
2𝜋𝑟
 r=R, Donc :I= 
2πR
Exercice9
Soit R > 0 et a > 0. Calculer l’intégrale de surface I=∬f(M)ds
 où f(M) =f(x,y,z) = 
 , et
s est le cylindre d’équation :x+y=R,0≤z≤a.
dS
(
S
)
(C)
n
⃗
+

Série 1 : Chapitre 1 : Équations de Maxwell
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef 5
I= f(M)ds
x+y=R,0≤z≤a équation d’un cylindre donc on préfère les coordonnées cylindrique.
f(x,y,z)=
 , f(r,φ,z)=
ds⊥u
⃗
, ds= rddz donc :I=∬f(M)ds
=∬
rddz
=∫ ∫ dzdφ =
∫dz
=
z
=
a
Exercice10
Soit R > 0 et h > 0. Soit Σ la portion de cylindre d’équation Calculer l’intégrale de surface
d’équation :x+y=R,0≤z≤h.𝑥≥0,𝑦≥0. Déterminer le flux du champ de Vecteurs E
⃗
=
zı⃗+xȷ⃗−3yzk
⃗
à travers Σ (on précisera l’orientation choisie).
I=∬ds
La surface est cylindrique, donc on préfère les coordonnées
Cylindriques :
ds⊥u
⃗
, ds= Rddz
Donc :I=∬ds
=∬Rddz =R∫ ∫ dzdφ =2πR∫dz =2πRh
Flux élémentaire : dΦ=E
⃗
.ds
⃗
=E
⃗
.n
⃗
ds
n
⃗
=u
⃗
=cosı⃗+sinȷ⃗, E
⃗
.n
⃗
=zı⃗+xȷ⃗−3yzk
⃗
.(cosı⃗+sinȷ⃗)=zcos+xsin,
dΦ=E
⃗
.ds
⃗
=E
⃗
.n
⃗
ds=(zcos+xsin)Rddz=(zcos+Rcossin)Rddz
dΦ=(zcos+Rcossin)Rdθdz
Φ=∫ ∫ (zcos+Rcossin)Rdθdz
=R∫
cos+zRcossin
dθ=R∫
cos+
hRcossindθ=R(
sin+ hR() )
=0
Voir un autre exemple :
https://www.youtube.com/watch?v=B3BxUZr06lo
Exercice11
Soit R > 0, et soit S la demi-sphère d’équation : x+y+ z=R,z≥0.
On considère le champ de vecteurs 𝐸
⃗
= y ı⃗ + x(1 − 2z) ȷ⃗ − xy k
⃗
.
1) Calculer rot
⃗
E
⃗
. En déduire le flux de rot
⃗
E
⃗
à travers S (on précisera l’orientation choisie).
2) Retrouver ce résultat en utilisant la formule de Stokes.
3) Retrouver ce résultat en fermant la surface S par le disque de centre O de rayon R situé dans le
plan Oxy, et en utilisant la formule d’Ostrogradski.
O
z
Y
x
i
j
k
X
M
y
Z
n
⃗