Solution-TD1 Ondes et propagation

Corriger de la Série 1 : Chapitre 1 : Équations de Maxwell
Exercice1
Que représente 𝖨𝖨u⃗  v⃗ 𝖨𝖨 ?
On appelle produit vectoriel des vecteurs 𝐮⃗ 𝐞𝐭 𝐯⃗ :u⃗  v⃗ = 𝖨𝖨u⃗ 𝖨𝖨. 𝖨𝖨 v⃗𝖨𝖨sinθ, θ est l’angle
entre u⃗ et v⃗
u⃗
h

v⃗
u⃗  v⃗ = 𝖨𝖨u⃗ 𝖨𝖨. 𝖨𝖨 v⃗𝖨𝖨sinθ=
u⃗  v⃗ = h. 𝖨𝖨 v⃗𝖨𝖨
(𝖨𝖨u⃗ 𝖨𝖨. sinθ = h)
représente
la
surface
Le
parallélogramme constitué par les deux vecteursu⃗ et v⃗
Exercice2
Que représentew⃗( u⃗ v⃗ ) ?
w⃗( u⃗ v⃗ )=
u⃗ v⃗ = n⃗
n⃗
𝑤⃗

v⃗
h
u⃗
‖n⃗‖ = 𝑠, s est la surface Le parallélogramme constitué par les deux vecteursu⃗ et v⃗
w⃗( u⃗ v⃗ )= w⃗. n⃗= ‖w⃗‖. ‖n⃗‖cos = h. ‖n⃗‖ = h. s qui présente le volume de parallélépipède constitué
par w⃗, u⃗ et v⃗
Exercice3
Calculer le rotationnel du champ newtonienE⃗ =
𝐫𝐨𝐭⃗ 𝐀⃗ = (𝐮⃗ 𝐫
𝐫𝐨𝐭⃗ 𝐄⃗ = 𝐞⃗𝐫
e⃗
𝛛
𝟏 𝛛
𝟏
𝛛
+ 𝐮⃗ 𝛗
+
)(𝐀 𝐫 𝐮⃗ 𝐫 + 𝐀 𝛉 𝐮⃗ 𝛉 + 𝐀 𝛗 𝐮⃗ 𝛗 )
𝛛𝐫
𝐫 𝛛𝛗 𝐫𝐬𝐢𝐧𝐬𝛗 𝛛𝛉
𝛛
𝟏 𝛛
𝟏
𝛛
k
𝛛
k
+ 𝐞⃗𝛗
+ 𝐞⃗𝛉
 E⃗ = e⃗ = 𝐮⃗ 𝐫
 E⃗ = e⃗ = 0⃗
𝛛𝐫
𝐫 𝛛𝛗
𝐫𝐬𝐢𝐧𝐬𝛗 𝛛𝛉
r
𝛛𝐫
r
𝐞⃗𝐫
𝝏
= 𝝏𝒓
𝒌
𝒓𝟐
𝐞⃗𝛗
𝟏 𝝏
𝒓 𝝏𝝋
𝐞⃗𝛉
𝟎
𝟎
𝟏
𝝏
𝒓𝒔𝒊𝒏𝒔𝝋 𝝏𝜽
Ou bien on utilise les coordonnées cartésiennes (𝑟 =
= 0⃗
𝑥 +𝑦 +𝑧 )
Exercice4
Démonter que rot⃗ grad⃗U = 0⃗ et div rot⃗E⃗ = 0
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakhlef
1
Série 1 :
Chapitre 1 : Équations de Maxwell
rot⃗ grad⃗U =
Soit U fonction scalaire en fonction de x, y et z
En coordonnées cartésiennes :
dU
dU
dU
⃗ı +
ȷ⃗ +
k⃗
dx
dy
dz
grad⃗U = ∇⃗U =
⃗ı
ȷ⃗ k⃗
d
d d
rot⃗ grad⃗U = ∇⃗∇⃗U = rot⃗ V⃗ = dx dy dz
dU dU d ∂U
dx dy dz
= ⃗ı
d dU
d dU
d dU
d dU
d dU
d dU
−
− ⃗ȷ
−
+ k⃗
−
dz dy dy dz
dx dz dz dx
dx dy dz dy
= ⃗ı
d U
d U
d U
d U
d U
d U
−
− ⃗ȷ
−
+ k⃗
−
= ⃗ı 0 − ⃗ȷ 0 + k⃗ 0 = 0⃗
dzdy dydz
dxdz dzdx
dxdy dzdy
div rot⃗E⃗ =
ȷ⃗ k⃗
d
d
d d
= ⃗ı
E − E
dy
dz
dy dz
E E
⃗ı
d
rot⃗ E⃗ =
dx
E
− ⃗ȷ
d
d
E − E
dx
dz
d
d
E − E
dy
dz
− ⃗ȷ
d
d
E − E
dx
dz
=
d d
d
E − E
dx dy
dz
−
d d
d
E − E
dy dx
dz
=
d d
d d
E −
E
dx dy
dx dy
−
d d
d d
E −
E
dy dx
dy dz
=
d d
d d
E −
E
dx dy
dy dx
−
d d
d d
E − −
E
dx dy
dy dz
div rot⃗E⃗ = ∇⃗ ⃗ı
+ k⃗
+
d
d
E − E
dx
dy
+ k⃗
d
d
E − E
dx
dy
d d
d
E − E
dz dx
dy
+
d d
d d
E −
E
dz dx
dz dy
− −
d d
E
dz dz
−
d d
E
dz dy
=0
Exercice5
Démonter les formules suivantes :div λE⃗ = E⃗. grad⃗λ + λdivE⃗ et div E⃗F⃗ = F⃗ . rot⃗ E⃗ −
E⃗ . rot⃗ F⃗

div λE⃗ = div E ⃗ı + E ⃗ȷ + E k⃗ = div E ⃗ı + E ⃗ȷ + E k⃗ =

E +E
+
E
 +E

div λE⃗ = (
E +E
+
E +E
=
E +
E +
E +
E +
E =
E +E
 +
d
d
d
d
d
d
E + E + E )+E
 +E
 +E
 = λdivE⃗ + E⃗. grad⃗λ
dx
dy
dz
dx
dy
dz
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef
2
Série 1 :

Chapitre 1 : Équations de Maxwell
⃗ı
div E⃗F⃗ = div E
F
k⃗
E = div
F
ȷ⃗
E
F
E F − E F k⃗ =
E F − E F ⃗ı − (E F − E F )ȷ⃗ +
E F −E F
−
F
E
+E
F −F
E −E
F
F
E +E
F −F
E
F =F
E −
E
−F
E −
E
+
F
E
−E
F −
F
+E
F −
F
=
−
d
E
dy
k⃗
ȷ⃗ + 
d
E
dx
−
E
− E
F −
F
− F
(E F ) −
=
(E F ) −
−E
(E F ) +
E F −E F
(E F ) −
−
(E F ) −
(E F − E F ) +
E +E
(E F ) =
F −F
E −E
F
+
F⃗ . rot⃗ E⃗ − E⃗ . rot⃗ F⃗
Exercice6
Transformer les vecteurs suivants : u⃗ = rot⃗ (λ E⃗) ; v⃗ = rot⃗ (rot⃗ E⃗)
Soit E⃗ = E ⃗ı + E ȷ⃗ + E k⃗
rot⃗ E⃗ =
d
d
E − E
dy
dz
= 
ı⃗ −
d
d
E − E
dx
dz
ȷ⃗ +
d
E
dx
d
d
d
d
E +E
− E −E
 ı⃗
dy
dy
dz
dz
d
d
d
d
E +E
− E −E
 ȷ⃗
dx
dx
dz
dz
d
d
d
d
+  E +E
− E −E
 k⃗
dx
dx
dy
dy
− 
= 
d
d
d
d
E +E
− E −E
 ı⃗
dy
dy
dz
dz
d
d
d
d
E +E
− E −E
 ȷ⃗
dx
dx
dz
dz
d
d
d
d
+  E +E
− E −E
 k⃗
dx
dx
dy
dy
− 
= 
d
d
E − E
dy
dz
+ E
d
d
d
d
d
d
−E
 ı⃗ − E
−E
 ȷ⃗ + E
−E
 k⃗
dy
dz
dx
dz
dx
dy
=
d
d
E − E
dy
dz
− E
d
d
d
d
d
d
−E
 ı⃗ + E
−E
 ȷ⃗ − E
−E
 k⃗
dz
dy
dz
dx
dy
dx
ı⃗ − 
ı⃗ −
d
d
E − E
dx
dz
d
d
E − E
dx
dz
ȷ⃗ +
d
E
dx
−
d
E
dy
d
E
dy
k⃗
k⃗
= rot⃗ E⃗ − E⃗grad⃗
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef
3
Série 1 :
Chapitre 1 : Équations de Maxwell
Exercice7
Soit w⃗ un vecteur constant, et soit v⃗ = w⃗OM⃗, Démontrer que w⃗ =
rot⃗ v⃗
w⃗ = w ⃗ı + w ȷ⃗ + w k⃗ et OM⃗ = xı⃗ + yȷ⃗ + z k⃗
⃗ı
v⃗ = w⃗OM⃗ = w
x
ȷ⃗
w
y
k⃗
w
z
= (w z − w y)ı⃗ − (w z − w x)ȷ⃗ + w y − w x k⃗
⃗ı
⃗ȷ
d
d
rot⃗ v⃗ =
dx
dy
(w z − w y) − (w z − w x)
k⃗
d
dz
w y−w x
=
d
d
d
d
(w z − w x) ⃗ı −
(w z − w y) ⃗ȷ
w y−w x −−
w y−w x −
dy
dz
dx
dz
d
d
−(w z − w x) − (w z − w y) k⃗
dx
dy
+
⃗ȷ + (w + w )k⃗ = 2 w ⃗ı + w ⃗ȷ + w
= (w + w )ı⃗ + w + w
Donc: w⃗ =
k⃗ = 2w⃗
⃗
Exercice8
Soit R > 0 et a > 0. Calculer l’intégrale de surface I = ∬ f(M)ds où f(M) = f(x, y, z) = √z , et s
est la demi-sphère d’équation :x + y + z = R , z ≥ 0.
x + y + z = R , z ≥ 0. Equation d’une demi-sphère donc on préfère les coordonnées sphériques
(S)
f(x, y, z) = √z = √rcos
n⃗
dS
x + y + z = R , z ≥ 0. : r = R, 0    /2 et 0    2
+
(C)
I=
f(M)ds =
√rcosds =
r (cosθ)
/
ds
dS = r sinθdθd (r=cte) voir chapitre 1
=∫
∫ r (cosθ)
2𝜋𝑟 (𝑠𝑖𝑛𝜃)
/
/
π
π
r sinθdθdφ = r ∫ ∫ (cosθ) / sinθdθdφ = 2πr ∫ (cosθ) / sinθdθdφ =
/
= 2𝜋𝑟 r=R, Donc :I =
2πR
Exercice9
Soit R > 0 et a > 0. Calculer l’intégrale de surface I = ∬ f(M)ds où f(M) = f(x, y, z) =
, et
s est le cylindre d’équation :x + y = R , 0 ≤ z ≤ a.
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef
4
Série 1 :
Chapitre 1 : Équations de Maxwell
I=
f(M)ds
x + y = R , 0 ≤ z ≤ a équation d’un cylindre donc on préfère les coordonnées cylindrique.
f(x, y, z) =
, f(r, φ, z) =
ds ⊥ u⃗ , ds= rddz donc :I = ∬ f(M)ds = ∬
z
rddz = ∫
∫
dzdφ =
∫ dz =
= a
Exercice10
Soit R > 0 et h > 0. Soit Σ la portion de cylindre d’équation Calculer l’intégrale de surface
d’équation :x + y = R , 0 ≤ z ≤ h. 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0. Déterminer le flux du champ de Vecteurs E⃗ =
zı⃗ + xȷ⃗ − 3y zk⃗ à travers Σ (on précisera l’orientation choisie).
Z
I = ∬ ds
M n⃗
z
La surface est cylindrique, donc on préfère les coordonnées
k
i
O j
Cylindriques :
y
Y
x
ds ⊥ u⃗ , ds= Rddz
X
Donc :I = ∬ ds = ∬ Rddz = R ∫
∫ dzdφ = 2πR ∫ dz = 2πRh
Flux élémentaire : dΦ = E⃗. ds⃗ = E⃗. n⃗ ds
n⃗ = u⃗ = cosı⃗ + sinȷ⃗, E⃗. n⃗ = zı⃗ + xȷ⃗ − 3y zk⃗ . (cosı⃗ + sinȷ⃗) = zcos + xsin,
dΦ = E⃗. ds⃗ = E⃗. n⃗ ds = (zcos + xsin)Rddz = (zcos + Rcossin)Rddz
dΦ = (zcos + Rcossin)Rdθdz
Φ = ∫ ∫ (zcos + Rcossin)Rdθdz = R ∫
hRcos sin  dθ = R( sin  + hR
(
)
)

cos + zRcossin dθ = R ∫

cos  +
=0
Voir un autre exemple :
https://www.youtube.com/watch?v=B3BxUZr06lo
Exercice11
Soit R > 0, et soit S la demi-sphère d’équation : x + y + z = R , z ≥ 0.
On considère le champ de vecteurs 𝐸⃗ = y ⃗ı + x(1 − 2z) ⃗ȷ − xy k⃗ .
1) Calculer rot⃗ E⃗ . En déduire le flux de rot⃗ E⃗ à travers S (on précisera l’orientation choisie).
2) Retrouver ce résultat en utilisant la formule de Stokes.
3) Retrouver ce résultat en fermant la surface S par le disque de centre O de rayon R situé dans le
plan Oxy, et en utilisant la formule d’Ostrogradski.
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef
5
Série 1 :
Chapitre 1 : Équations de Maxwell
⃗ı
d
rot⃗ E⃗ =
dx
E
ȷ⃗ k⃗
d
d
d
d
d d
= ⃗ı
E − E − ⃗ȷ
E − E
dy
dz
dx
dz
dy dz
E E
E⃗ = y ⃗ı + x(1 − 2z) ⃗ȷ − xy k⃗
+ k⃗
d
d
E − E
dx
dy
rot⃗ E⃗ = (−x + 2x)ı⃗ − (−y − 0)ȷ⃗ + (1 − 2z − 1)k⃗ = xı⃗ + yȷ⃗ − 2zk⃗
Exercice12
Ecrire les équations de Maxwell dans un milieu quelconque, dans le vide, dans un milieu isolant et
dans un milieu conducteur.
Dans un milieu quelconque
∇⃗E⃗ =
, équation de Maxwell–Gauss (MG)
(1)
∇⃗ B⃗ = 0, équation de Maxwell–Flux ( M  ) (2)
∇⃗ ∧ E⃗ = −
⃗
∇⃗ ∧ B⃗ = μ μ
, équation de Maxwell–Faraday (MF) (3)
⃗
⃗J + ε ε
, équation de Maxwell–Ampère (MA)
(4)
Equations de Maxwell dans le vide
On savait que dans le vide avec une densité de charge ρ et une densité de courant J (lois déduites de
l’électrostatique et de la magnétostatique) : (dans le vide sans charges ni courant)
∇⃗E⃗ = 0, équation de Maxwell–Gauss (MG) (1)
∇⃗B⃗ = 0, équation de Maxwell–Flux ( M  ) (2)
∇⃗ ∧ E⃗ = −
∇⃗ ∧ B⃗ = μ ε
⃗
, équation de Maxwell–Faraday (MF) (3)
⃗
, équation de Maxwell–Ampère (MA)
(4)
Dans un isolant ce sont les mêmes que dans le vide
Equations de Maxwell dans un conducteur
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef
6
Série 1 :
Chapitre 1 : Équations de Maxwell
𝛁⃗𝐄⃗ = 𝟎, équation de Maxwell–Gauss (MG) (1)
𝛁⃗𝐁⃗ = 𝟎 équation de Maxwell–Flux ( M  )
(2)
⃗
𝛛𝐁
𝛁⃗ ∧ 𝐄⃗ = − 𝛛𝐭 , équation de Maxwell–Faraday (MF) (3)
𝛁⃗ ∧ 𝐁⃗ = 𝛍𝟎 𝐉⃗, équation de Maxwell–Ampère (MA) (4)
Exercice13
Montrer que les équations de Maxwell contiennent l’équation de conservation de la Charge.
div(∇⃗ ∧ B⃗) = div(μ μ
DdivJ⃗ + ε ε div
⃗
ε ε div
⃗
= 0iv(rot⃗v⃗) = 0,div μ μ
 divJ⃗ + ε ε div
: divJ⃗ + ε ε
donc
⃗
⃗J + ε ε
⃗J + ε ε
⃗
∂E⃗
)
∂t
divJ⃗ +
=0=μ μ
= 0, comme x, y, z et sont séparés(indépendants :dx(y ou z)/dt=0)
divE⃗ = 0divJ⃗ + ε ε
= 0, divJ⃗ +
=0
c’est
l’équation
de
conservation de la charge.
Exercice14
Etablir l’équation de relaxation de la charge dans un milieu conducteur de conductivité γ. Discuter
suivant les valeurs de γ.
Un milieu conducteur vérifie (sauf indication contraire) la loi d’Ohm locale ⃗ȷ = γE⃗ si on remplace
dans l’équation de conservation de la charge et en utilisant MG il vient
ρ+
= 0 qui
représente l’équation de relaxation de la charge – Elle fait intervenir une constante de temps τ =
et εo ~ 10
usiet dans un métal γ ~ 10 usi soit τ ~ 10
Si on intègre l’équation différentielle il vient𝜌(𝑀, 𝑡) = 𝜌(𝑀, 0)𝑒
s
/
la charge s’annule sur une durée
de l’ordre de la constante de temps c'est-à-dire instantanément à notre échelle (la durée caractéristique
du régime transitoire pour la loi d’Ohm locale est d’environ 10-14 s). Un conducteur est toujours
globalement neutre.
Exercice15
Etablir l’équation de propagation du champ électromagnétique dans le vide.
On a ∇⃗ ∧ E⃗ = −
⃗
et ∇⃗ ∧ B⃗ = μ
⃗J + ε
⃗
et
∇⃗ ∧ ∇⃗ ∧ E⃗ = grad⃗divE⃗-∆⃗ E⃗

Pour E :
∇⃗ ∧ ∇⃗ ∧ E⃗ = ∇⃗ ∧ −
⃗
∇⃗ ∧ ∇⃗ ∧ E⃗ = ∇⃗ ∧ −
=−
∇⃗ ∧ B⃗ car : dx(y ou z)/dt=0)
∂B⃗
∂
∂
=−
∇⃗ ∧ B⃗ = − μ
∂t
∂t
∂t
⃗J + ε
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef
∂E⃗
= −μ
∂t
∂
∂ E⃗
⃗J + ε
∂t
∂t
7
Série 1 :
Chapitre 1 : Équations de Maxwell
On a ∇⃗ ∧ ∇⃗ ∧ E⃗ = −μ
⃗
⃗J + ε
et d’autre part : ∇⃗ ∧ ∇⃗ ∧ E⃗ = grad⃗divE⃗-∆⃗ E⃗
ρ
∇⃗ ∧ ∇⃗ ∧ E⃗ = grad⃗divE⃗-∆⃗ E⃗ = ∇⃗E⃗ = grad⃗ ε ε − ∆⃗ E⃗ =
⃗
∆⃗ E⃗ − μ ε
=
Donc : ∇⃗ E⃗ − μ ε
⃗
=
⃗
:,
= ∇⃗ −
⃗
= ε ε gradρ⃗ − ∆⃗ E⃗  ∆⃗ E⃗ − μ ε
grad⃗ρ +
⃗
∇
Soit : E⃗ = + μ
Rappel :
⃗
⃗J + ε
Donc: −μ
gradρ⃗ − ∆⃗ E⃗
∇⃗
=
grad⃗ρ +
⃗J
⃗J équation de propagation pour le champ électrique
+μ
⃗
, ⃗ opérateur d’alembertien
avec ε μ c = 1
Ainsi, dans le vide  = 0, ⃗J = 0⃗
E⃗ = 0⃗ ; on reconnaît l’équation d’onde classique avec une célérité c =
Donc
.
Dans un milieu, on n’a plus l’équation d’onde classique : la propagation est perturbée par la matière

Pour B :
On trouve de la même manière B⃗ = −μ ∇⃗ ∧ ⃗J
B⃗ = 0⃗
Dans le vide :
On obtient ainsi une onde électromagnétique se déplaçant dans le vide avec une célérité c =
Exercice 16
Ecrire les équations de Maxwell pour une OPP et pour une OPPH.
L'onde progressive dans la direction des x > 0 est une fonction de ∝= t −
⃗.
⃗
=t−
Soit f(α) cette fonction, elle représente soit une onde scalaire soit une composante d'une onde
vectorielle. Pour écrire les équations de Maxwell on doit calculer les dérivées de cette fonction par
rapport à x, y, z ou à t.
=
=−
de même
=
=
et donc
=−
On peut alors exprimer l'opérateur ∇⃗ par la relation suivante :
∇⃗= −
u ∂
u ∂
u ∂
u⃗ ∂
e⃗ + −
e⃗ + −
e⃗ = −
c ∂t
c ∂t
c ∂t
c ∂t
Et donc les équations de Maxwell pour l’OPP :
⃗
⃗
⃗
⃗
∇⃗E⃗ = 0,

− .
∇⃗B⃗ = 0 ,

− .
=0
équation de Maxwell–Gauss (MG)
(1)
=0
équation de Maxwell–Flux (M)
(2)
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef
8
Série 1 :
Chapitre 1 : Équations de Maxwell
∇⃗ ∧ E⃗ = −
⃗
,

− ∧
∇⃗ ∧ B⃗ =
⃗

- ∧
,
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
=−
=
⃗
équation de Maxwell–Faraday (MF)
(3)
équation de Maxwell–Ampère (MA)
(4)
On peut intégrer les équations par rapport au temps, les constantes d'intégration représentent des
champs statiques (constants) qui ne participent pas à la propagation. Donc en annulant ces
constantes il vient :
∇⃗E⃗ = 0,

u⃗. E⃗ = 0
équation de Maxwell–Gauss (MG)
(1)
∇⃗B⃗ = 0 ,

u⃗. B⃗ = 0
équation de Maxwell–Flux (M)
(2)
,

équation de Maxwell–Faraday (MF)
(3)
,
 u⃗ ∧ B⃗ =
équation de Maxwell–Ampère (MA)
(4)
∇⃗ ∧ E⃗ = −
⃗
∇⃗ ∧ B⃗ =
⃗
⃗
u⃗ ∧ = B⃗
⃗
Si l’onde est progressive plane est de plus harmonique, on peut passer en complexe :
Si on reprend l'écriture de l'opérateur ∇⃗ pour une OPP quelconque on a∇⃗= − ⃗ . En notation
complexe la dérivation par rapport au temps revient à une multiplication par iω donc ∇⃗ peut
s'écrire : ∇⃗= −i ⃗ . Les équations de Maxwell prennent alors une forme simple :
∇⃗E⃗ = 0,

−i . E⃗ = 0
⃗

k⃗. E⃗ = 0
∇⃗B⃗ = 0 ,

−i . B⃗ = 0

k⃗. B⃗ = 0
∇⃗ ∧ E⃗ = −
⃗
⃗
∇⃗ ∧ B⃗ =
⃗
⃗
,  −i ∧ E⃗ = −iB⃗
,
⃗
 − i ∧ B⃗ = i
de Maxwell–Gauss (MG)
de Maxwell–Flux (M
 k⃗ ∧ E⃗ = B⃗
E⃗
(1)
(2)
Maxwell–Faraday (MF)(3)

 k⃗ ∧ B⃗ = − E⃗ Maxwell–Ampère (MA)(4)
k⃗ =
ω
u⃗
c
Exercice17
Etablir l’équation de dispersion pour une OPPH dans le vide.
En utilisant la notation complexe avec k⃗ =
u⃗ MF s’écrit : k⃗ ∧ E⃗ = ωB⃗ et MA k⃗ ∧ B⃗ =
E⃗ si
Bien que si on remplace l’expression de B de MF dans MA il vient : k² = ω²/c².
Exercice 18
Etablir l’équation de dispersion pour une OPPH dans le sens des x croissants dans un milieu
conducteur de conductivité γ. En déduire l’expression du vecteur d’onde k et du champ
Électromagnétique et discuter.
Dans un milieu conducteur les courants de déplacement sont négligeables par rapport aux courants
de conduction si bien que MA se met sous la forme rot⃗B⃗ = µ ⃗ȷ = µ γE⃗ (on tient compte de la loi
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef
9
Série 1 :
Chapitre 1 : Équations de Maxwell
d’Ohm locale). On peut alors écrire MA en complexe : k⃗ ∧ B⃗ = iµ γE⃗ et MF k⃗ ∧ E⃗ = ωB⃗ On exprime
B dans MF et on remplace dans MA :k⃗ ∧ i( k⃗ ∧ E⃗) = iµ γE⃗ en développant le double produit vectoriel
il vient i.k² = µo.γ.ω ce qui permet de calculer k :k =
d’une longueur on pose δ =
:E⃗ = E⃗ e (
E⃗ = E⃗ e
(
µ
µ
(1-i) Comme k est homogène à l’inverse
(en mètre) et en passant en complexe le champ électrique s’écrit
)
enfin en remplaçant k par son expression :
)
qui représente un champ électrique qui s’amortit sur une distance de l’ordre de δ
(épaisseur de peau) elle est d’autant plus petite que γ est grand.
∇⃗B⃗ = μ ⃗J = ∇⃗ ∇⃗B⃗ = 0 = μ ∇⃗. ⃗J
=0
Onde et propagation3ième Licence Télécom (U BBA) Par Mme N.Lakjlef
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