1 UNIVERSITE Joseph Ki-Zerbo Année académique 2018-2019 IBAM MIAGE M1 Examen de Processus stochastique Durée : 3h N.B : C’est dans le calme et la confiance que se trouve ta force Exercice 1 : points On dispose dans une maison individuelle de deux systèmes de chauffage, l’un de base et l’autre d’appoint. On dira qu’on est dans l’état 1 si seul le chauffage de base fonctionne, dans l’état 2 si les deux systèmes fonctionnent. Si un jour, on est dans l’état 1, on estime qu’on y reste avec probabilité 21 ; par contre, si on est dans l’état 2, le lendemain, la maison est chaude et l’on passe à l’état 1 avec probabilité 34 . Soit Xn l’état du système au jour numero n ; on admet que (Xn )n∈≥0 est une chaîne de markov. 1. Déterminer la matrice de transition et son graphe ; 2. On pose pn = P (Xn = 1). Déterminer une relation de récurrence entre pn et pn+1 , puis exprimer pn en fonction de p0 . Que vaut lim pn ? n→∞ 3. Sanchant qu’on est dans l’état 1 un dimanche, quelle est la probabilité d’être dans le même état le dimanche suivant ? 4. Montrer que si un jour on se trouve dans l’état 1 avec probabilité 35 , alors il en est de même dans tous les jours qui suivent. 5. Chaque journée dans l’état 1 coûte 5 euros, dans l’état 2 coûte 10 euros, et chaque transition de l’état 1 à l’état 2 ou inversement coûte 2.5 euros. Calculer le coût moyen d’une journée dans la situation précédente. Exercice 2 : points Un radar est placé sur une route o‘u il passe en moyenne 5 véhicules en excès de vitesse par heure. On admet que ces véhicules forment un Processus de Poisson. Quelle est la probabilité qu’au bout d’une demi-heure, une voiture exactement se soit arrêtée sachant que : 1. dans le premier quart d’heure, aucune voiture n’a été prise et dans la première heure, deux voitures ont été prises ; 2. la première heure, deux voitures ont été prises et dans les deux premi ‘eres heures, trois voitures ont été prises ; 3. dans les dix premières minutes, aucune voiture n’a été prise et dans le premier quart d’heure, une voiture a été prise. UFR SEG-LIME LISE 3 / BURKINA FASO Dr. KONANE c 2018 2 Exercice 3 : points Soit la chaîne de Markov de matrice de transition • 1/3 3/4 • P = 1/4 1/4 0 0 : 0 0 • 1/4 0 • 0 0 On se propose d’étudier le comportement asymptotique de cette chaîne. 1. Complèter la matrice P . 2. Décrire la chaîne (graphe, classes, nature et périodicité). (n) 3. Calculer les limn→∞ Pij pour tous les couples i, j. UFR SEG-LIME LISE 3 / BURKINA FASO Dr. KONANE c 2018
