Devoir Processus Miage1819

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UNIVERSITE Joseph Ki-Zerbo Année académique 2018-2019
IBAM
MIAGE M1
Examen de Processus stochastique
Durée : 3h
N.B : C’est dans le calme et la confiance que se trouve ta force
Exercice 1 :points
On dispose dans une maison individuelle de deux systèmes de chauffage, l’un de base et l’autre
d’appoint. On dira qu’on est dans l’état 1 si seul le chauffage de base fonctionne, dans l’état 2
si les deux systèmes fonctionnent.
Si un jour, on est dans l’état 1, on estime qu’on y reste avec probabilité 1
2; par contre, si on est
dans l’état 2, le lendemain, la maison est chaude et l’on passe à l’état 1 avec probabilité 3
4.
Soit Xnl’état du système au jour numero n; on admet que (Xn)n∈≥0est une chaîne de markov.
1. Déterminer la matrice de transition et son graphe ;
2. On pose pn=P(Xn= 1). Déterminer une relation de récurrence entre pnet pn+1, puis
exprimer pnen fonction de p0. Que vaut lim
n→∞ pn?
3. Sanchant qu’on est dans l’état 1 un dimanche, quelle est la probabilité d’être dans le
même état le dimanche suivant ?
4. Montrer que si un jour on se trouve dans l’état 1 avec probabilité 3
5, alors il en est de
même dans tous les jours qui suivent.
5. Chaque journée dans l’état 1 coûte 5 euros, dans l’état 2 coûte 10 euros, et chaque tran-
sition de l’état 1 à l’état 2 ou inversement coûte 2.5 euros. Calculer le coût moyen d’une
journée dans la situation précédente.
Exercice 2 :points
Un radar est placé sur une route o‘u il passe en moyenne 5 véhicules en excès de vitesse par
heure. On admet que ces véhicules forment un Processus de Poisson. Quelle est la probabilité
qu’au bout d’une demi-heure, une voiture exactement se soit arrêtée sachant que :
1. dans le premier quart d’heure, aucune voiture n’a été prise et dans la première heure,
deux voitures ont été prises ;
2. la première heure, deux voitures ont été prises et dans les deux premi
‘eres heures, trois voitures ont été prises ;
3. dans les dix premières minutes, aucune voiture n’a été prise et dans le premier quart
d’heure, une voiture a été prise.
UFR SEG-LIME LISE 3 / BURKINA FASO Dr. KONANE c 2018

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Exercice 3 :points
Soit la chaîne de Markov de matrice de transition :
P=
•1/3 0 0
3/4•0 0
1/4 1/4•1/4
0 0 0 •
On se propose d’étudier le comportement asymptotique de cette chaîne.
1. Complèter la matrice P.
2. Décrire la chaîne (graphe, classes, nature et périodicité).
3. Calculer les limn→∞ P(n)
ij pour tous les couples i, j.
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