les-suites-numeriques-corrige-serie-d-exercices-1

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 1
TD/ SUITES NUMERIQUES PROF: ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF
Avec Exercices d’applications et de réflexions avec solutions
Exercice1:soit
nn
u
la suite définie par :
23
n
un
1)Calculer : les quatres 1ere termes de la suite
nn
u
2) Calculer:
1nn
uu
Solution :1)
02 0 3 3u   
12 1 3 5u   
12 1 3 5u   
32 3 3 9u   
2)
12 1 3 2 3
nn
u u n n
12 2 3 2 3 2
nn
u u n n
Exercice2: soit
nn
u
la suite récurrente définie
par :
0
1
2
57
nn
u
uu
Calculer :
1 2 3
;;u u u
Solution :on a
157 nn
uu
Pour n=0 on a:
0 1 0
57uu
donc
15 2 7u  
Donc :
13u
Pour n=1 on a:
1 1 1
57uu
donc
25 3 7u  
Donc :
28u
Pour n=2 on a:
2 1 2
57uu
donc
35 8 7u  
Donc :
333u
Exercice3: Suites numériques du second ordre.
soit
nn
v
la suite récurrente définie par :
01
21
1; 1
23
n n n
vv
v v v
Calculer :
234
;;v v v
Solution :on a
21
23
n n n
v v v
Pour n=0 on a:
0 2 0 1 0
23v v v
donc
2 1 0
23v v v
Donc :
22 1 3 1 5v      
Pour n=1 on a:
1 2 1 1 1
23v v v
donc
3 2 1
23v v v
Donc :
32 5 3 1 7v     
Pour n=2 on a:
2 2 2 1 2
23v v v
donc
4 3 2
23v v v
Donc :
42 7 3 5 14 15 1v       
Exercice4:soit
nn
u
la suite définie par :
1
21
nn
un
Montrer que : :
11
2n
u
Solution :1)Montrons que :
1
n
u
??
2 1 1
1
1 1 0
2 1 2 1 2 1
nnn
nn
unnn
Donc
1
n
u
2)Montrons que :
1
2n
u
??
2 1 2 1
1 1 1 1 0
2 2 1 2 2 1 2 1
nnn
n
un n n
Donc
1
2n
u
Par suite : : :
11
2n
u
On dit que la suite
nn
u
est majorée par 1 car
1
n
u
On dit que la suite
nn
u
est minorée par
1
2
car
1
2n
u
On dit que la suite
nn
u
est bornée car : :
11
2n
u
Exercice5:soit
nn
u
la suite récurrente définie
par :
0
1
0
2
nn
u
uu
1- Calculer les 3 premiers termes.
2- Montrer par récurrence que : :
0n u
3- Montrer par récurrence que : :
2
n
u
Solution :1)on a
12 nn
uu
Pour n=0 on a:
10
2uu
donc
12u
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
LES SUITES NUMERIQUES

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 2
Pour n=1 on a:
21
2uu
donc
222u
Pour n=2 on a:
32
2uu
donc
3222u  
2) Montrons par récurrence que : :
0n
u
1étapes : l’initialisation :Pour n=0 nous avons
00u
donc
0
0u
.
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes : d’hérédité ou Hypothèse de récurrence :
Supposons que:
0n u
3étapes : Montrons alors que :
1
0n u
??
Or on a :
120
nn
uu
donc : :
0n
u
3) Montrons par récurrence que : :
2
n
u
1étapes : l’initialisation :Pour n=0 nous avons
00u
donc
02u
.
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes : d’hérédité ou Hypothèse de récurrence :
Supposons que:
2
n
u
3étapes : Montrons alors que :
12 n
u
??
on a :
2
n
u
donc
2 4 2 4
nn
uu    
12 n
u
donc : :
0n u
Par suite : : :
02
n
u
On dit que la suite
nn
u
est majorée par 0 car
2
n
u
On dit que la suite
nn
u
est minorée par 0car
0n u
On dit que la suite
nn
u
est bornée car : :
02
n
u
Exercice6:soit
1
nn
v
la suite définie par :
1
n
v n n  
n
1)Montrer que
1
nn
v
est minorée par 0
2)Montrer que
1
nn
v
est majorée par
1
2
3)Que peut-on déduire ?
Solution :1)Montrons que :
n
0n v
??
11
11
n
n n n n
v n n nn
(Le conjugué)
22
111
0
1 1 1
n
nn
nn
vn n n n n n
Donc :
0n
v
n
Donc :
1
nn
v
est minorée par 0
2)Montrons que :
1
2
n
v
??
n
21
1 1 1
22
11
n
nn
vn n n n
On a :
1n
et
12n
donc
1n
et
12n
Donc :
1 1 2nn   
donc
1 1 2nn     
donc
2 1 1 2nn    
et puisque :
1 2 0
Donc
10
2
n
v
n
Donc
1
2
n
v
n
Donc la suite
1
nn
v
est majorée par
1
2
3)Donc la suite
1
nn
v
est bornée car :
n
:
1
02
n
v
Exercice7:Soit la suite récurrente
nn
u
définie par :
2
1
0
22
1
n n n
u u u
u
Calculer
1
u
et montrer que
nn
u
est minorée par 1
Solutions :
2
2
0 1 0 0
2 2 1 2 1 2 1 2 2 1u u u
2
22
1 2 2 1 2 1 1 0
n n n n n n
u u u u u u          
Donc :
1n u
Donc :
nn
u
est minorée par 1
Exercice8:Soit la suite récurrente
nn
u
définie par :
0
1
1
7
21
n
nn
u
u
uu
Montrer que
nn
u
est minorée par 1 et majorée par 3.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 3
Solutions : Montrons par récurrence que : :
03
n
u
1étapes : n=0 on a :
0
03u
car
013
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes : d’hérédité ou Hypothèse de récurrence :
Supposons que:
03
n
u
3étapes : Montrons alors que :
1
03
n
u
??
On a :
0n
u
donc
0 2 1
n
u
et
07
n
u
Donc
1
0n
u
1
Et on a :
17 3 2 1
7
33
2 1 2 1
nn
n
nnn
uu
u
uuu
13
321
n
nn
u
uu
et puisque on a :
03
n
u
on a donc :
30
n
u
et
0 2 1
n
u
Donc
130
n
u
Donc
13
n
u
2
De
1
et
2
en déduit que :
1
03
n
u
D’où :
03
n
u
Exercice9:Soit la suite récurrente
nn
u
définie par :
2
3 6 4
n
u n n  
Montrer que
nn
u
est minorée
Solutions :Soit
n
on a :
2
22
3 6 4 3 2 4 3 1 1 4
n
u n n n n n         
2
3 1 7
n
un  
on a :
2
10n
donc :
2
3 1 0n
donc
2
1 7 7n   
donc :
7
n
u
par suite
nn
u
est minorée par -7
Exercice10:Soit la suite récurrente
nn
u
définie
par :
2 cos
3 sin
nn
un
Montrer que
nn
u
est bornée
Solutions :Soit
n
on a :
1 cos 1n  
et
1 sin 1n  
donc :
1 2 cos 3n  
et
1 sin 1n   
donc :
1 2 cos 3n  
et
2 3 sin 4n  
donc :
1 2 cos 3n  
et
1
11
42
3 sin n
donc :
2 cos 3
142
3 sin
n
n
cad :
3
142
n
u
donc :
nn
u
est bornée
Exercice11:Soit la suite récurrente
nn
u
définie
par :
1 sin
n
n
un
Montrer que
nn
u
est bornée
Solutions :Soit
n
on a :
1 sin 1 sin sin 1
nn
n
u n n n     
donc
1
n
u
donc :
nn
u
est bornée
Exercice12:Soit la suite récurrente
nn
u
définie
par :
2
nn
un
Montrer que :
10
nn
uu
Solutions :Soit
n
on a :
111
1 2 2 3 2
nn nn n n
uu n n n n
11 2 3 20
3 2 3 2
nn n n n n
uu n n n n
Donc :
10 nn
uu
donc
1nn
uu
On dira que la suite
nn
u
est décroissante
Exercice13:soit
nn
u
la suite récurrente définie
par :
0
1
1
2
nn
u
uu
Montrer par récurrence que
1nn
uu
Solutions :1étapes :on a
10
22uu  
Pour n=0 nous avons
01u
donc
01
uu
.
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes :Supposons que:
1nn
uu
3étapes : Montrons alors que :
12nn
uu
??
on a :
1nn
uu
donc
1
22
nn
uu
donc :
1
22
nn
uu
donc
12nn
uu
Par suite : : :
1nn
uu
On dit que la suite
nn
u
est croissante
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 http:// abcmaths.e-monsite.com 4
Exercice14::soit
nn
u
la suite récurrente définie
par : :
01
21
1; 1
22
n n n
uu
u u u
Montrer que suite :
nnI
u
est croissante.
Solutions :montrons par récurrence que
1nn
uu
1étapes :on a
10
uu
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes :Supposons que:
1nn
uu
3étapes : Montrons alors que :
21nn
uu
??
on a :
2 1 1 1
22
n n n n n
u u u u u
donc
2 1 1 2
n n n n
u u u u
et on a :
10
nn
uu
donc :
120 nn
uu
donc
21
0
nn
uu
Par suite : : :
1nn
uu
Donc la suite
nn
u
est décroissante
Exercice15:soit
nn
u
la suite définie par :
1
2k
n
nk
uk
n
Etudier la monotonie de la suite
nn
u
Solutions :
1
1
11 1 1 1
2 2 2 2 2
1
k k k n k
n n n n
nn
k k k k
uu k k k n k
1
120
1
n
nn
uu
n
Donc :
1nn
uu
n
donc la suite
nn
u
est strictement croissante
Exercice16:soit
nn
u
la suite définie par :
1
1
n
nk
unk
n
Etudier la monotonie de la suite
nn
u
Solutions :
1
111
11
1
nn
nn
kk
uu n k n k
Et on a :
12
12
11
1
nn
kk
n k n k
on pose
1kk
Et puisque
k
est un variable on peut l’appeler
k
1 2 2
1 2 2
1 1 1
1
n n n
k k k
n k n k n k
Donc :
2
121
1 1 1 1 1
2 1 2 2 1
nn
nn
kk
uu n k n k n n n
110
2 1 2 1
nn
uu nn
n
1
120
1
n
nn
uu
n
n
donc la suite
nn
u
est strictement croissante
Exercice117:soit
nn
u
la suite récurrente définie
par :
1
0
81
2
3
n
nn
u
uu
u
n
1) Montrer que
nn
u
est minorée par 2
2) Montrer que
nn
u
est majorée par 4
3)Etudier la monotonie de la suite
nn
u
Solutions :1) Montrons que
2n
u
n
؟؟؟؟
1étapes : n=0 on a :
0
2u
car
23
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes : Hypothèse de récurrence :
Supposons que:
2n
u
3étapes : Montrons alors que :
1
2n u
??
18 1 8 1 2 2 6 12
22
2 2 2
n n n n
nn n n
u u u u
uu u u
162
22
n
nn
u
uu
et puisque on a :
2n u
Donc :
20
n
u
et
20
n
u
Donc :
120 n
u
donc
2n u
n
2) Montrons que
4
n
u
n
؟؟؟؟
1étapes : n=0 on a :
04u
car
34
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes : Hypothèse de récurrence :
Supposons que:
4
n
u
3étapes : Montrons alors que :
14 n
u
??
18 1 4 2 8 1 4 16
442 2 2
n n n n
nn n n
u u u u
uu u u
14 4 4 4
422
nn
nnn
uu
uuu
et puisque on a :
4
n
u
n
n

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 5
Donc :
40
n
u
et
20
n
u
Donc
14
n
u
par suite
4
n
u
n
3)
2
18 1 8 1 2 68
2 2 2
n n n n nn
n n n
n n n
u u u u uu
u u u
u u u
On va factoriser
268
nn
uu  
:
36 32 4 0    
162 2
2
x
et
262 4
2
x
donc :
26 8 2 4
n n n n
u u u u      
Donc :
124
2
nn
nn n
uu
uu u
Or on a :
2
n
u
et
4
n
u
Donc :
124
0
2
nn
nn n
uu
uu u
donc la suite
nn
u
est strictement croissante
Exercice18:soit
nn
u
la suite définie par :
38
n
un
1nn
uu
Calculer
Solution :
13 1 8 3 8 nn
u u n n
13 3 8 3 8 3 tan nn
u u n n cons te
On dit que la suite
nnI
u
est une suite arithmétique
Exercice19: soient Les suites
nn
u
et
nn
v
définies par :
13 nn
uu
et
02u
²2
n
vn
1)La suite
nn
u
est arithmétique de raison 𝑟 = −3
et de premier terme
02u
2)
0 1 2
2; 3; 6v v v  
Ainsi :
10
1vv
et
21
3vv
La suite
nn
v
n’est donc pas arithmétique
Exercice20: Déterminer le réel 𝑥 pour que les
nombres (3𝑥 − 1) ;(1 − 4𝑥) et (𝑥 − 5) soient les termes
consécutifs d’une suite Arithmétique pour laquelle il
faut déterminer la raison.
Solution : (3𝑥 − 1) ;(1 − 4𝑥) et (𝑥 − 5) soient les
Termes consécutifs d’une suite Arithmétique
Ssi
2 1 4 3 1 5x x x    
2
8 2 4 6 12 8 3 x x x x         
Donc les termes de la suite sont :
2
3 1 1
3
et
25
1433
et
2 13
5
33
Donc :
58
1
33
r    
Exercice21:Soit
nn
u
une suite arithmétique tel que
13u
et
59u
1) Déterminer sa raison 𝑟
2) Déterminer son premier terme
0
u
.
3) écrire
n
u
en fonction de n
Solutions : 1) la raison 𝑟 ??
on a :
;²np
np
u u n p r  
Pour n= 5 et p=1 on a :
51
51u u r  
Donc :
3
9 3 4 4 6 2 r r r     
2) le terme
0
u
??
1 0 0 0
3 3 3
1 0 3 3
2 2 2
u u r u u         
3)
n
u
en fonction de n ?
133
1 3 1
22
nn
u u n u n      
33
22
n
un
Exercice22:soit
nn
u
la suite récurrente définie
par :
1
0
21
2
n
nn
u
uu
u
n
et on considère la suite
nn
v
définie par :
11
nn
vu
n
1) Montrer que
nn
u
est une suite arithmétique
2) écrire
n
u
en fonction de n
Solution :
1)
1nn
vv
1
11
11
nn
uu
11
21 1
1
nn
n
uu
u
111
11
n
nn
nn
u
vv
uu
Donc
nn
v
est une suite arithmétique de raison
1r
et de premier terme
00
11
1
1 2 1
vu
n
n
n
n