les-suites-numeriques-corrige-serie-d-exercices-1

PROF: ATMANI NAJIB
1BAC SM BIOF
Avec Exercices d’applications et de réflexions avec solutions
TD/ SUITES NUMERIQUES
LES SUITES NUMERIQUES
 un  n
Exercice1:soit
la suite définie par :
Exercice4:soit
un  2n  3 n 
1)Calculer : les quatres 1ere termes de la suite
Solution :1) u0  2  0  3  3 u1  2 1  3  5
u1  2 1  3  5
u3  2  3  3  9
2) un1  un  2  n  1  3   2n  3
un 1  un  2n  2  3  2n  3  2
Donc
Exercice2: soit

 un n
la suite récurrente définie
u0  2
n 
un 1  5un  7
Calculer : u1 ; u2 ; u3
Donc
un  1
n 
Par suite : : n 
On dit que la suite
Pour n=1 on a: u11  5u1  7 donc u2  5  3  7
un  1
Pour n=2 on a: u21  5u2  7 donc u3  5  8  7
Donc : u3  33
Exercice3: Suites numériques du second ordre.
soit
 vn n
la suite récurrente définie par :
v0  1; v1  1

vn  2  2vn 1  3vn
n 
Pour n=0 on a: v0 2  2v01  3v0 donc v2  2v1  3v0
Donc : v2  2   1  3 1  5
1
 un  1
2
 un n
est majorée par 1 car
 un n
est minorée par
1
 un n 
2
On dit que la suite
 un n
est bornée car : n 
1
 un  1
2
 un n
u0  0
un1  un  2
Donc : v3  2  5  3  1  7
Pour n=2 on a: v2 2  2v21  3v2 donc v4  2v3  3v2
Donc : v4  2  7   3  5  14  15  1
1
car
2
la suite récurrente définie
n 
1- Calculer les 3 premiers termes.
: 0  un
2- Montrer par récurrence que : n 
Pour n=1 on a: v1 2  2v11  3v1 donc v3  2v2  3v1
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On dit que la suite
par : 
Solution :on a vn  2  2vn 1  3vn
:
n 
Exercice5:soit
Calculer : v2 ; v3 ; v4
1
 un ??
2
1
 un n 
2
Donc : u1  3
Donc : u2  8
un  1 ??
1 n  1 1 2  n  1   2n  1
1

 

0
2 2n  1 2
2n  1
2n  1
un 
Pour n=0 on a: u01  5u0  7 donc u1  5  2  7
1
 un  1
2
n  1  2n  1   n  1
n


0
2n  1
2n  1
2n  1
2)Montrons que :
par : 
Solution :on a un 1  5un  7
:
Solution :1)Montrons que :
1  un  1 

la suite définie par :
n 1
n 
2n  1
Montrer que : n 
un1  un
n 
2) Calculer:
 un  n
un 
 un n
3- Montrer par récurrence que : n 
:
un  2
Solution :1)on a un 1  un  2
Pour n=0 on a: u1  u0  2 donc u1  2
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1
:
Pour n=1 on a: u2  u1  2 donc u2 
22
Pour n=2 on a: u3  u2  2 donc u3 
vn  n  1  n 
222
2) Montrons par récurrence que : n 
: 0  un
vn 
1étapes : l’initialisation :Pour n=0 nous avons u0  0
donc
0  u0 .
0  un 1 ??
Or on a : un 1  un  2  0
: un
1étapes : l’initialisation :Pour n=0 nous avons

2
u0  0
u0  2 .
3étapes : Montrons alors que :
un  2
un 1  2 ??
donc un  2  4  un  2 
4
un  2
n 
On dit que la suite
est majorée par 0 car
 un n
est minorée par 0car 0  un
 vn n1
vn  n  1  n
n 
1)Montrer que

est bornée car : n 
la suite définie par :

Calculer
1
0 n 
2
1
n  
2
0

 vn n1 est majorée par
1
2
 vn n1 est bornée car :
: 0  vn 
1
2
 un n
définie par :
u1 et montrer que  un n
est minorée par 1
Solutions :
u01  u0 2  2u0  2   1  2   1  2  1  2  2  1
1
2)Montrer que  vn  n 1 est majorée par
2
3)Que peut-on déduire ?
Solution :1)Montrons que : n 
:
un  1  un 2  2un  2  1  un 2  2un  1   un  1  0
2
Donc : 1  un n 
Donc :

 vn n1 est minorée par 0
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
n  1  n  1  2 et puisque : 1  2
2
0  un  2
Exercice6:soit
n 1  2
un 1  un 2  2un  2

n 

u


1

0

 un n
 un n

n  1 et
Exercice7:Soit la suite récurrente
n 
On dit que la suite


donc 2 
n 
: 0  un  2
On dit que la suite
1
?? n 
2
n  1  n  1  2
3)Donc la suite
: 0  un
Par suite : : n 
vn 
n  1  n  1  2 donc
Donc la suite
 un 1  2
donc : n 


Donc vn
un  2
Supposons que:
n 1 n
1

0
n 1  n
n 1  n

1
1
1 2  n 1  n

 
2
n 1  n 2
n 1  n
Donc vn 
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes : d’hérédité ou Hypothèse de récurrence :
on a :

 (Le conjugué)
 vn n1 est minorée par 0
Donc :
3) Montrons par récurrence que : n 
donc
  n
n 1 
On a : n  1 et n  1  2 donc
: 0  un
donc : n 
n 1  n
2
Donc : 0  vn n 
vn 

n 1  n
2
2)Montrons que :
0  un
3étapes : Montrons alors que :
n 1  n
n 1  n
Donc :
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes : d’hérédité ou Hypothèse de récurrence :
Supposons que:



0  vn ??
 un n
est minorée par 1
Exercice8:Soit la suite récurrente
u0  1

7u n

un 1  2u  1
n

Montrer que
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 un n
définie par :
n 
un n est minorée par 1 et majorée par 3.
2
0  un  3
2  cos n 3
donc : 1 

4 3  sin n
2
1étapes : n=0 on a : 0  u0  3 car 0  1  3
cad : 1  un  3 donc :
Solutions : Montrons par récurrence que : n 
:
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes : d’hérédité ou Hypothèse de récurrence :
Supposons que: 0  un  3
3étapes : Montrons alors que : 0  un 1  3 ??
un 1  3 
est bornée
Exercice11:Soit la suite récurrente
par : un   1 sin n
n
 un n
Solutions :Soit
Donc 0  un 1 1
 un n
2
Montrer que
On a : 0  un donc 0  2un  1 et 0  7un
Et on a : un 1  3 
4
n 
est bornée
n
on a :
n
7u  3  2un  1
7un
3  n
2un  1
2un  1
n
donc un  1 n 
donc :
 un n
est bornée
on a donc : un  3  0 et 0  2un  1
Exercice12:Soit la suite récurrente
Donc un 1  3  0 Donc un 1  3  2 
par : u n 
De 1 et  2  en déduit que : 0  un 1  3
un  3n2  6n  4
Montrer que
définie par :
on a :


un  3n  6n  4  3  n  2n   4  3  n  1  1  4
2
2
2
un  3  n  1  7
2
 n  1
on a : n 
2
donc : 3  n  1  0
2
donc : un  7
0
2  cos n
3  sin n
Montrer que
 un n
Solutions :Soit

 

 n 1 2   n  2 
 un n
définie
 un n est décroissante
Exercice13:soit  un n la suite récurrente définie
On dira que la suite
u0  1
un1  un  2
n 
Solutions :1étapes :on a u1  u0  2  2
u0  1 donc u0  u1 .
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes :Supposons que: un  un 1
3étapes : Montrons alors que : un 1  un  2 ??
on a :
et 1  sin n  1
on a : un  un 1 donc un  2  un 1  2
un  2  un 1  2 donc un1  un 2
donc : 1  2  cos n  3 et 1   sin n  1
donc :
donc : 1  2  cos n  3 et 2  3  sin n  4
Par suite : : n 
1
donc : 1  2  cos n  3 et 1 
1
4 3  sin n
2
On dit que la suite
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n 
Pour n=0 nous avons
est bornée
1  cos n  1 n 
Donc : un 1  un  0 donc un 1  un n 
Montrer par récurrence que un  un 1
 un n
n
n2
 n 1 n  2  n  n  3 
2
0
 n  3 n  2
 n  3 n  2
est minorée par -7
n 
n
n3
2
Exercice10:Soit la suite récurrente
par : un 
un 1  un
par : 
donc  n  1  7  7
par suite
n 
n on a :
   n  1   n  n  1




un1  un 
est minorée
n
définie
Solutions :Soit
n 
 un n
Solutions :Soit
 un n
n
n 2
 un n
Montrer que : un 1  un  0 n 
: 0  un  3
Exercice9:Soit la suite récurrente
définie
un   1 sin n   1 sin n  sin n  1
un  3
et puisque on a : 0  un  3
2un  1
D’où n 
 un n
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: un  un 1
 un n
est croissante
3
Exercice14::soit
 un n
la suite récurrente définie
u0  1; u1  1
par : : 
n 
un  2  2un 1  un  2
un1  un 
1
2  n  1 2n  1
un 1  un 
Montrer que suite :  un nI est croissante.
Solutions :montrons par récurrence que un 1  un
1étapes :on a u1  u0
2n 1
n 1
 un n est strictement croissante
Exercice117:soit  un n la suite récurrente définie
donc la suite
3étapes : Montrons alors que : un  2  un 1 ??
on a : un  2  un 1  2un 1  un  2  un 1
1) Montrer que
2étapes :Supposons que: un 1  un
donc un  2  un 1  un 1  un  2 et on a : un 1  un  0
donc : un 1  un  2  0 donc un  2  un 1  0
n
2
k 1 k
n 
Supposons que:
 un n
n
n
n
2k
2k
2k 2n 1
2k
   

n  1 k 1 k
k 1 k
k 1 k
k 1 k
n 1
un 1  un  
un 1  un 
2
n 1
0 Donc : un  un 1 n 
 un n est strictement croissante
Exercice16:soit  un n la suite définie par :

1
n 
k 1 n  k
un  
Solutions : un 1  un 
 un n
n 1
n
1
1



k 1 n  1  k
k 1 n  k
n 1
Et on a :
un 1  2 
n2
1
1

on pose k   k 1


k 1 n  1  k
k  2 n  k 
Et puisque k  est un variable on peut l’appeler k 
n2
n2
1
1
1





k 1 n  1  k
k  2 n  k 
k 2 n  k
n
1
1
1
1
1




2n  1 2n  2 n  1
k 2 n  k
k 1 n  k
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‫؟؟؟؟‬
un  2
6  un  2 
un  2
2
2  un 1 ??
8  un  1  2  un  2  6un  12

un  2
un  2
et puisque on a :
2  un
et un  2  0
Donc : un 1  2  0
donc
2  un
n 
un  4
1étapes : n=0 on a :
n 
‫؟؟؟؟‬
u0  4 car 3  4
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes : Hypothèse de récurrence :
Supposons que:
un  4
3étapes : Montrons alors que : un 1  4 ??
4  un 1  4 
4  un 1 
Donc :
n2
n 
2  un
un  2  0
Donc :
n 1
un 1  un  
8  un  1
2) Montrons que

Etudier la monotonie de la suite
un 1  2 

donc la suite
n
2  un
3étapes : Montrons alors que :
Solutions :
n 1
 un n
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes : Hypothèse de récurrence :

Etudier la monotonie de la suite
est majorée par 4
1étapes : n=0 on a : 2  u0 car 2  3

un  
est minorée par 2
Solutions :1) Montrons que
 un n est décroissante
Exercice15:soit  un n la suite définie par :
Donc la suite
k
 un n
2) Montrer que  un n
3)Etudier la monotonie de la suite
: un 1  un
Par suite : : n 


0 n 
8  un  1

un 1 
un  2 n 
par : 
u  3
 0
Donc la proposition est vraie pour n=0
n 
0
8  un  1 4  un  2   8  un  1 4un  16


un  2
un  2
un  2
4  4  un  4  4  un 

et puisque on a :
un  2
un  2
un  4
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4
Donc :
4  un  0
et un  2  0
Donc un 1  4 par suite
3) un 1  un 
8  un  1
un  2
On va factoriser
 un 
2
5
2
2
13
3   1  1 et 1  4    et  5  
3
3
3
3
3
un  4 n 
8  un  1  un  un  2 
un  2

5
8
Donc :   1    r
3
3
un  6un  8
2
un  2
un  6un  8 :   36  32  4  0
2
6  2
6  2
 2 et x2 
 4 donc :
2
2
un 2  6un  8    un  2  un  4 
2) Déterminer son premier terme u0 .
3) écrire un en fonction de n
  un  2  un  4 
Solutions : 1) la raison 𝑟 ??
on a :   n; p  
un  2
Or on a : un  2 et un  4
Donc : un 1  un 
  un  2  un  4 
un  2
 0 donc la suite
 un n
est strictement croissante
Exercice18:soit
 un  n
u1  3 et u5  9
1) Déterminer sa raison 𝑟
x1 
Donc : un 1  un 
 un n une suite arithmétique tel que
Exercice21:Soit
la suite définie par :
un  u p   n  p  r
²
Pour n= 5 et p=1 on a : u5  u1   5  1 r
Donc : 9  3  4r  4r  6  r 
2) le terme u0 ??
un  3n  8 n 
u1  u0  1  0  r  3  u0 
Calculer un 1  un
3) un en fonction de n ?


Solution : un1  un  3  n  1  8   3n  8
un1  un  3n  3  8  3n  8  3  cons tan te
 un nI est une suite arithmétique
Exercice19: soient Les suites  un n et  vn n
On dit que la suite
définies par : un 1  un  3
vn  n²  2
1)La suite
n 
 un n
est arithmétique de raison 𝑟 = −3
et de premier terme
2) v0
et
u0  2 n 
 2; v1  3; v2  6
Ainsi :
La suite
 vn n
Exercice20: Déterminer le réel 𝑥 pour que les
nombres (3𝑥 − 1) ;(1 − 4𝑥) et (𝑥 − 5) soient les termes
consécutifs d’une suite Arithmétique pour laquelle il
faut déterminer la raison.
Solution : (3𝑥 − 1) ;(1 − 4𝑥) et (𝑥 − 5) soient les
Termes consécutifs d’une suite Arithmétique
Ssi 2 1  4 x    3x  1   x  5
8 x  2  4 x  6  12 x  8  x 
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2
3
 un n
Exercice22:soit
la suite récurrente définie
2un  1

un 1 
un n 
par : 
u  2
 0
et on considère la suite
définie par :
1
n 
un  1
1) Montrer que
n’est donc pas arithmétique
Donc les termes de la suite sont :
3
3
 n  1  un  3   n  1
2
2
3 3
un   n n 
2 2
vn 
v1  v0  1 et v2  v1  3
3
3 3
 u0  3  
2
2 2
un  u1 
 vn n
u0  2
3
2
 un n
est une suite arithmétique
2) écrire un en fonction de n
Solution :
1) vn 1  vn 
vn 1  vn 
Donc
1
1
1
1


un 1  1 un  1 2un  1
 1 un  1
un

un
1

1
un  1 un  1
 vn n
est une suite arithmétique de raison
r  1 et de premier terme v0 
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1
1

1
u0  1 2  1
5
2) écrire un en fonction de n
On a
 vn n
est une suite arithmétique de raison
r  1 et de premier terme v0  1
Donc : vn  v0  nr  1  n 1  1  n
Puisque : vn 
1   n  1
n 1

k n
 k  1  2  3  ...  n
k 1
Solutions :1)on pose : un  n
 un n une suite arithmétique de raison r=1
k n
n
Donc : sn   k  u1  u2  u3  ...  un   u1  un 
2
k 1
n
1  n 
2
 vn n une suite arithmétique de raison r=2
Car : vn 1  vn  2
1
un   
2
²
un  q n  p u p
n 1
sn    2k  1  v0  v1  v2  ...  vn 
 q 4 1u1
31
 u1  un   
2 2
 un n
un

u

n

1

3  un
n 

u  1
 0 2
un
 vn n
n 1
n 
la suite définie par :
et on considère la suite
définie par : vn  1 
1) Montrer que
2) écrire
Donc :
k 0
q ??
2) un en fonction de n ?
 vn n
1)on pose : vn  2n  1
k n
q
3
3
1
1
 q3
 q3   q 
16
126
8
2
Exercice26:soit
Car : un 1  un  1
On a :
on a :   n; p  
Donc :
k 0
sn 
1) Déterminer sa raison
Pour n= 4 et p=1 on a : u4
k n
Donc :
3
3
et u4 
2
16
Solutions : 1) la raison
2) sn    2k  1  1  3  5  ...   2n  1
On a :
u1 
2) écrire un en fonction de n
n2
n 1
Exercice23: calculer en fonction de n les sommes
suivantes :
1) sn 
 un n une suite géométrique tel que
Exercice25:Soit
1
1
1
donc un  1 
donc un   1
un  1
vn
vn
donc un  vn  1 
vn
c) Donner l'expression du nombre Un de camions que
possède l'entreprise l'année n.
3) Quel est le nombre de camions que possède
l'entreprise en 2002 ?
2
n 
un
est une suite géométrique
en fonction de n
Solution :1) vn 1  1  2  1  2  1  6  2un
n 1
un
v

v
 0 n
un 1
un
2
3u
n
Donc :
n 1
n 1
sn 
1  2n  1 
 2n  2    n  1 ²
2
2
Exercice24: Une entreprise de transport possède 40
camions en décembre 1991.
L'évolution de l'entreprise est telle
que celle-ci doit acheter 8 camions
supplémentaires chaque année.
1) Calculer le nombre de camions que possède
l'entreprise en 1992, en 1993 et en 1994.
2) Ces nombres forment une suite.
a) Donner la nature de cette suite.
b) Préciser le premier terme u1 et la raison de cette

2
vn 1  3 1   donc vn 1  3vn
 un 
Donc
 vn n
est une suite géométrique de raison
q  3 et de premier terme v0  3
2) écrire un en fonction de n
On a
 vn n
est une suite géométrique de raison
q  3 et de premier terme v0  3
Donc : vn  u0  qn  vn  3 3n  3n1 n 
Puisque : vn  1 
2
2
2
donc un 
donc un 
un
1  vn
1  3n 1
suite.
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6
Exercice27 : Un jeune homme se préparait à consécutifs d’une suite géométrique dans cet ordre et
l'examen du baccalauréat ; son père, pour
l'encourager, lui demanda ce qu'il désirait en
récompense
Mon examen devant avoir lieu le 20 juin, répond-t-il,
donne-moi seulement 1 centime le 1er juin, 2 centimes
le lendemain, 4 centimes le surlendemain, en doublant
chaque jour jusqu'au 20 inclusivement. Et donne mois
la somme. J’emploierai cet argent pour faire un voyage
pendant les vacances.
Le père pensa qu'avec cette somme son fils n'irait pas
loin ; mais au bout de quelques jours, il commença à
s'apercevoir de son erreur.
Avec quelle somme le fils va-t-il pouvoir partir en
vacances ?
déterminer sa raison.
Solution : (1 + 𝑥²) ; (3 + 𝑥) et 10 sont trois termes
consécutifs d’une suite géométrique
si et seulement si
3  x 
2
 10  1  x 2 
 x 2  6 x  9  10 x 2  10  9 x 2  6 x  1  0
1
2
  3 x  1  0  3 x  1  0  x 
3
Donc les termes sont :
Exercice30:soit
10 3
10 10
3
et et 10 donc : q 
10 9
9
3
 un n
la suite définie par :
1

un  2  27 12un 1  un 
n 

4
u  2; u 
1
 0
9
Solution :Les nombres de centimes à payer
chaque jour sont les termes d'une suite
géométrique de 20 termes dont le premier est : et on considère la suite  vn n définie par :
u1  1 et et la raison q  2
1
vn  un  n n 
u2  2 (La somme à donner le 2 iem jour) ....
3
1
2
1) Montrer que un 1  un  n  2 n 
u20  ... (La somme à donner le 20e jour)
9
3
Donc : un  u1  q
n1
 1 2n1  2n1
2) a)Montrer que
b) écrire
La somme totale à payer serait :

k 0
k
2
1
2
k 0
1
2
un 1  un  n  2
9
3
n 
1étapes : n=0 u1 
1
2
2 2 4
u0  0  2   
9
3
9 9 9
n 1
Donc la proposition est vraie pour n=0
1
2
un  n  2
9
3
1
2
3étapes : Montrons alors que : un  2  un 1  n 3 ??
9
3
2 
1
2

on a: un 1  un  n  2 donc un  9  un 1  n  2 
3 
9
3

2étapes :Supposons que: un 1 
n
1
 un n une suite géométrique de raison q  2
n
1
1  
k
n
k  n 1


un 1 1
1
 Donc : sn      1  2   2 1   1  
Car :
 2 
1
un 2
k 0  2 


1
2
Exercice29:Déterminer le réel 𝑥 pour que les
nombres : (1 + 𝑥²) ; (3 + 𝑥) et 10 soient les termes
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un en fonction de n
Solution :1)montrons par récurrence que
Solutions :1)on pose : un   
On a :
et
c) calculer la somme : sn   uk  u0  u1  ...  un
Exercice28: calculer en fonction de n la somme
suivante :
1 1
1
1
   1      ...   
2 2
2
2
vn
k n
1  22011
s20  u1  u2  u3  ...  u20  u1
1 2
20
s20  2 1  10485.75
centimes s20 1million 500dh Joli voyage !
k  n 1
est une suite géométrique
dont en déterminera la raison et le premier terme
u20  2201  219  524288 Centimes
sn 
 vn n
et on a : un  2 
un  2 
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1
12un1  un 
27
1 
2 

12un 1  9  un 1  n  2  

27 
3 

7
1 
2
1
2
 3un 1  n  donc un  2  un 1  n  2
27 
3 
9
3
1
2
Par suite : : n 
: un 1  un  n  2
9
3
1
2)a) on a: vn 1  un 1  n 1
3
1
2
1
1
1
Donc : vn 1  un  n  2  n 1  un  n  2
9
3
3
9
3
1
1
1
vn 1   un  n  donc vn 1  vn
9
3 
9
un  2 
 vn n
Donc
est une suite géométrique de raison
1
et de premier terme v0  1
9
2) b)écrire vn et un en fonction de n
 vn n
q
 un n
2) Montrer que
0 n 
un
est une suite strictement
croissante
un
3) Montrer que un 1 
un  2
Et en déduire que : un 

n 
u0

u0  2
Solution : 1) montrons par récurrence que
1 un
n 
0
1étapes : n=0 on a : 1
u0
0
3étapes : Montrons alors que : 1
est une suite géométrique de raison
1
et de premier terme v0  1
9
un 1
0 donc : 1 un  2
On a : 1
un
donc : 1
un  2
2 donc :
n
1
1 1
Puisque : un  vn  n donc un      
3
 9  3
n
k n
2) c) sn   uk  u0  u1  ...  un ??
k 0
on a
 vn n
et
 wn n
1
un  2
2 ) Montrons que
 un n
un 1  un 
sont deux suites
1
1
et q  donc
9
3
k n
k n
k 0
k 0
n 1
n 
0
est une suite strictement
croissante
donc sn   uk   vk   wk
k 0
0
un
1
1
un  2
0 donc 1 un 1
un  2
d’où : 1
u n
1 alors : 0
un
donc : 1
n
géométriques de raison q 
k n
un
et puisque : 0
0 ??
2
1
2
n
1
Donc : vn  v0  q  vn    n 
9
n
1
un  vn  wn avec wn   
3
n 
n
Donc la proposition est vraie pour n=0
2étapes :Supposons que: 1 un 0
q
On a
1) Montrer que 1
un
un  2
 un 
et puisque : 1  un  2
alors : un 1  un
un
un  2
0 et
1 
un  2
un

0
un  2
0 donc  un n est une suite
strictement croissante
n 1
un
1
1
3) Montrons que un 1 
n 
1  
1  
n 1
n 1
un  2
9 1  3 1 
9
3


sn   uk  v0
 w0
 1      1    
1
1
8   9   2   3   Soit n on a : u  u car  u 
k 0
1
1
n n croissante
n
0
9
3
k n
n
k n
21 1  1  1  1 
uk       

8 89 2 2
k 0
Exercice31:soit
un

un 1  u  2
n

u  1;0

 0 
 un n
n 
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n
Donc :
la suite définie par :
2  un  2  u0 cad
et puisque : un
Donc : un 1 
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0 alors :
un
2  u0
1

2  un
un
2  un

1
2  u0
un
2  u0
n 
8
un 1 
on a : 0
3)Soit n
Donc : 0  un 1 
un
2  u0
un
2  u0
En donnant à n des valeurs on trouve :
u0
0  u1 
2  u0
0  u2 
u1
2  u1
………
un  2
0  un 1 
0  u n 
2  u0
un 1
2  u0
Le produit des inégalités donne : 0
Donc : un 

u0
u0  2

n
un 

u0
u0  2

n
n 
C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un
proverbe.
C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et
exercices Que l’on devient un mathématicien
Exercice32:1) La population d’un village de montagne
diminue tous les ans de 20 %. Sachant qu’en 1996
elle était de 1 875 habitants, compléter le tableau
suivant :
Année
1996 1997 1998 1999 2000
Nombre
d’habitants
2) Montrer que les nombres d’habitants sont des
termes d’une suite dont on déterminera la nature et la
raison.
3) À l’aide de la calculatrice ou d’un tableur :
a) Déterminer la population de ce village en 2010
b) Donner l’année d’extinction de ce village si on
suppose la diminution de la population constante
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9