EXERCICE 4. 1) Pour tout entier n 2 N nous montrons par récurrence que un Pour tout n 2 N, on considère la propriété P (n) 0: un > 0: 1 Pour n = 0, on a u0 = 2¸u0 > 0. Donc la propriété est vraie pour n = 0. On suppose que la proposition est vraie pour n, et on va démontrer qu’elle reste vraie pour n + 1. 2 On peut alors regarder le quotient 2 1 + 3un . 3 + un 1>0 =) 3>0 un+1 = un un 0 0 =) 1 + 3un =) 3 + un 1 + 3un > 0. 3 + un Donc un+1 > 0. est vraie. 2) Démontrer que la suite (un ) est monotone La fonction f correspondante es ici 1 + 3x . 3+x f (x) = on a 8 f 0 (x) = monotone 2 (3 + x) alors f est strictement croissante . Par conséquent, (un ) est monotone. De plus, Pour connaître la monotonie de (un )n2N , il su¢ t d’étudier le signe de u1 u0 7 =) u1 < u0 , 2 et on conclut que (un )n2N est décroissante. 3) En déduire qu’elle est convergente et déterminer sa limite. 3.1 Étudier la convergence de la suite (un )n2N . La suite (un )n2N est : décroissante, minorée par 0 (car un 0 pour tout n 2 N). FPuisque (un ) est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente. N Soit ` = lim un . Alors, ` véri…e nécessairement, la condition : ` = f (`). u0 = 2; monotonie u1 = f (u0 ) = f (2) = n !1 `= 1 + 3` . 3+` Or : 3` + `2 = 1 + 3` `2 = 1 Donc, la limite est soit `1 = 1 ou bien `2 = 1. N Comme 8n, un 0, =) ` 0. Alors `1 = limite possible est ` = `2 = 1. 1 1 est rejetée, et donc la seule 2 Quelques rappels H Les variations d’une suite s’il existe une fonction f telle que pour tout n on a un+1 = f (un ), étudier les variations de f et utiliser le principe de récurrence. Si f est croissante sur I=) (un ) est monotone Si f est croissante sur I cas 1 u1 u0 =) (un ) est croissante. f croissante sur I cas 2 u1 u0 =) (un ) est décroissante. f croissante sur I H Limite éventuelle de la suite (un )n2N Soit (un )n2N une suite récurrente du type un+1 = f (un ). Si la suite converge vers ` et si la fonction f est continue en `, alors ` est un point …xe de f : f (`) = `. Si (un )n converge vers ` 2 R et f est continue alors ` véri…e : f (`) = `. La limite, si elle existe, véri…e nécessairement, la condition : f (`) = `.
