EXERCICE 4.
1) Pour tout entier n2Nnous montrons par récurrence que un0:
Pour tout n2N, on considère la propriété P (n)
un>0:
Pour n= 0, on a u0= 2¸u0>0. Donc la propriété est vraie pour n= 0.
On suppose que la proposition est vraie pour n, et on va démontrer qu’elle
reste vraie pour n+ 1.
On peut alors regarder le quotient
un+1 =1+3un
3 + un
.
un0 =)1+3un1>0
un0 =)3 + un3>0=)1+3un
3 + un
>0.
Donc
un+1 >0.
est vraie.
2) Démontrer que la suite (un)est monotone
La fonction fcorrespondante es ici
f(x) = 1+3x
3 + x.
on a
f0(x) = 8
(3 + x)2
alors fest strictement croissante . Par conséquent, (un)est monotone.
De plus, Pour connaître la monotonie de (un)n2N, il su¢ t d’étudier le signe
de u1u0
u0= 2; u1=f(u0) = f(2) = 7
2=)u1< u0,
et on conclut que (un)n2Nest décroissante.
3) En déduire qu’elle est convergente et déterminer sa limite.
3.1 Étudier la convergence de la suite (un)n2N.
La suite (un)n2Nest :
décroissante,
minorée par 0(car un0pour tout n2N).
FPuisque (un)est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.
NSoit `= lim
n!1un. Alors, `véri…e nécessairement, la condition : `=f(`).
`=1+3`
3 + `.
Or :
3`+`2= 1 + 3`
`2= 1
Donc, la limite est soit `1=1ou bien `2= 1.
NComme 8n,un0,=)`0. Alors `1=1est rejetée, et donc la seule
limite possible est `=`2= 1.
1
1
2
2
monotone
monotonie
2
Quelques rappels
HLes variations d’une suite
s’il existe une fonction f telle que pour tout non a un+1 =f(un), étudier les
variations de fet utiliser le principe de récurrence.
Si fest croissante sur I=)(un)est monotone
Si fest croissante sur I
cas 1
u1u0
fcroissante sur I=)(un)est croissante.
cas 2
u1u0
fcroissante sur I=)(un)est décroissante.
HLimite éventuelle de la suite (un)n2N
Soit (un)n2Nune suite récurrente du type un+1 =f(un).
Si la suite converge vers `et si la fonction fest continue en `, alors `est un
point …xe de f:
f(`) = `.
Si (un)nconverge vers `2Ret fest continue alors `véri…e : f(`) = `.
La limite, si elle existe, véri…e nécessairement, la condition : f(`) = `.
1
/
2
100%
