exercices-corriges-etude-de-fonctions11

1 .
Exercices corrigés Fonctions
Exercices corrigés Fonctions
1. Généralités
1-1 : Comme une interro…
1-2 : Lecture graphique et interprétation
1-3 : Construction géométrique parabole
1-4 : Vrai/Faux sur les fonctions
1-5 : Vrai/Faux sur les dérivées
1-6 : Dérivées et variations
1-7 : Lecture graphique
1-8 : Tangente
2. Polynômes
2-9 : Second degré 1 (c)
2-10 : Second degré 2 (c)
2-11 : Second degré 3 (c)
2-12 : 3ème degré 3 (c)
2-13 : Ficelle (c)
3. Fonctions rationnelles
3-14 : Hyperbole 1 (c)
3-15 : Tangente (c)
3-16 : Rationnelle 1 (c)
3-17 : Rationnelle 2 (c)
3-18 : Rationnelle 3 (c)
3-19 : Rationnelle 4 (c)
3-20 : Rationnelle 5 (c)
3-21 : Rationnelle 6 (c)
3-22 : Rationnelle 7 (c)
3-23 : Rationnelles 8
3-24 : Asymptotes
3-25 : Factorisons (c)
3-26 : Approximations (c)
3-27 : Eclairement (c)
4. Trigonométrie
4-28 : Sinus cardinal
4-29 : Arctangente
4-30 : Trapèze d’aire maximale
5. Optimisation et modélisation
5-31 : Boite
5-32 : Coûts de production (c)
5-33 : Théorie de la relativité (c)
5-34 : Courbe+optimisation (c)
5-35 : Triangles (c)
5-36 : Polynômes de Legendre
5-37 : Point de Torricelli, Point de Fermat
5-38 : Un conejo
1. Généralités
1-1 : Comme une interro…
1. La courbe représentative d’une fonction
f
est donnée ci-après. En chacun des points indiqués, la courbe
admet une tangente qui est tracée. En vous servant du quadrillage, compléter les égalités suivantes :
0 2 1
' 0 ' 2 ' 1
f f f
f f f
2. Soit la fonction
f
définie sur
0;
par
f x x x
. En revenant à la définition du nombre dérivé,
montrer que
f
est dérivable en 0. Préciser
'0f
.
O
1
1
-2

2 .
Exercices corrigés Fonctions
A l’aide des formules de dérivation, vérifier que
f
est dérivable sur
0;
et exprimer
'fx
pour
0x
. Préciser alors l’ensemble des réels
x
pour lesquels
f
est dérivable.
3.
f
est la fonction
3
xx
. Montrer que l’approximation affine locale de
3
2h
au voisinage de 0 est
égale à
8 12h
.
En déduire des approximations des nombres suivants :
3
1,997
et
3
2,001
.
4. Soit
f
la fonction trinôme telle que
2
f x ax bx c  
. Déterminer les réels
,,a b c
tels que sa courbe Cf
admette au point
1; 3A
une tangente de coefficient directeur égal à 1 ainsi qu’une tangente horizontale
au point d’abscisse
1
2
.
5. Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes et déterminer leur sens de variation.
2
3 2 3f x x x  
,
2
2f x x x x
,
2
3
1
fx x
,
3
2
1
31
x
fx x
,
cos 3f x x
,
6
45f x x
.
6. Etudier les variations de la fonction
2
43
: 2 3 3
2
x
f x x x   
sur (calcul de la dérivée, étude de son
signe, variations de f). On donnera l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse −1.
Correction
1. Il faut lire les coefficients directeurs sur la figure pour f’(0), f’(−2) et f’(1) :
3
0 1 2 1 1 2
1
' 0 ' 2 0 ' 1 2
2
f f f
f f f
2. On calcule
0 0 0
( ) (0)
lim lim lim 0 '(0)
0
x x x
f x f xx xf
xx
.
On peut calculer avec la formule du produit, mais c’est plus élégant de passer par
1 1/2 3/2
()f x x x x x x  
d’où
31
1
22
3 3 3
'( ) 2 2 2 f x x x x
. La dérivée n’existe que lorsque
0x
.
3. L’approximation locale de f est
2
0 0 0
( ) ( ) '( ) ( )f x h f x hf x h h
, avec ici
2
00
'( ) 3f x x
.
On applique avec
02x
:
3 2 2 2
(2 ) 2 3.2 ( ) 8 12 ( )f h h h h h h h
.
33
1,997 (2 0,003) 8 12.0,003 7,964    
et
33
2,001 (2 0,001) 8 12.0,001 8,012    
.
4. On doit avoir
1
(1) 3, '(1) 1, ' 0
2
f f f 
d’où le système
2
3 3 3 1 1 3
2 1 1 ( ) 3
01
a b c c a b
a b b f x x x
a b a b
.
5.
2
3 2 3 ' 2 3 2f x x x f x x     
,
1
2 3 2 0 3 xx
.
2
22
4 1 2 2 (10 3)
1
2 '( ) 4 1 2 2 2 2
x x x x xx
f x x x x f x x x x x x x x
,
le dénominateur est positif,
(10 3)xx
est positif à l’extérieur des racines
3
10
et 0 (pour 0 f’ n’existe pas).
Guesmi.B

3 .
Exercices corrigés Fonctions
2 2 2
32
'3
1 ( 1)
x
f x f x
xx
, est positif lorsque x < 0 (attention, f et f’ pas définies en −1 et1).
2 2 3
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2
3 (3 1) ( 1)(6 )
1 3 2 2 3 2
' 3 3
3 1 (3 1) (3 1) (3 1)
x x x x
x x x x x x
f x f x x x
x x x x
, on ne peut pas
donner le sens de variation directement car on ne sait pas résoudre
3
3 2 0xx  
.
cos 3 '( ) 3sin(3 )f x x f x x   
; plaçons nous sur
0 ; 2
, alors
sin3x
s’annule pour
2 4 5
0, , , , , , 2
3 3 3 3
x
et change de signe à chaque fois.
65
4 5 '( ) 6 4 4 5f x x f x x      
. f’ est du signe de 4x + 5, soit positive lorsque
4
5
x
.
6.
2
4 3 3 2 2
( ) 2 3 3 '( ) 8 9 (8 9 1) ( 1)(8 1)
2
x
f x x x f x x x x x x x x x x             
.
Un tableau de signes donne f’ positive sur
1
0 ; 1;
8
.
Tangente à Cf au point d’abscisse −1 :
17 53
'( 1)( 1) ( 1) 18( 1) 18
22
y f x f x x         
.
1-2 : Lecture graphique et interprétation
La courbe (C) ci-dessous est celle d’une fonction f définie sur I = ]1 ; + [
1. a. Lire les valeurs de f(2), f(3) et f(9).
b. Par lecture graphique, donner une valeur approchée des solutions de l’équation f(x) = 0.
c. Déterminer le signe de f sur I.
2. a. Que vaut f’(5) ? (Justifier)
b. Donner une équation de la droite (T). Quel nombre dérivé peut-on en déduire ?
c. Dresser le tableau de variations de f sur I.
3. f est de la forme
() 1
c
f x ax b x
.
a. Calculer f ’(x) en fonction de a et de c.
b. Exprimer que A et B sont des points de C et qu’en S la tangente est horizontale.
c. En déduire un système d’inconnues a, b et c puis le résoudre pour trouver l’expression de f(x).
4. On admet que
16
( ) 10 1 f x x x
.
a. Montrer que la droite (D) d’équation y = x – 10 est asymptote à la courbe (C) en .
b. Etudier la position de (D) par rapport à (C).
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 1 2 3 4 5 6 7
y
x
Guesmi.B

4 .
Exercices corrigés Fonctions
c. Déterminer l’équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 2.
d. Résoudre par le calcul l’équation f(x) = 0 et retrouver le résultat de la question 1. b.
Correction
1. a. f(2) = 8, f(3)= 1, f(9) = 1.
b. f(x) = 0 lorsque x = 3,5 ou x = 7,5 environ.
c. f est positive sur
[1 ; 3, 5] [7, 5 ; [  
f est positive, sur
[3,5 ; 7, 5]
f est négative.
2. a. f’(5) vaut 0 car la tangente à la courbe de f en 5 est horizontale.
b. (T) passe par (1 ; 7) et par (3 ; 1) d’où
3 1 3 0 6 18 2 2 0 3 10
1 7 1
xx y y x
y
. Comme (T)
est tangente à la courbe au point (3 ; 1), on a
'(3) 3f
, coefficient directeur de (T).
c.
3. a.
2
() ( 1)
c
f x a x
.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
x
y
A
B
S
(T)
x
f
0
+∞
f’
+∞
1
−
+∞
5
+
−1

5 .
Exercices corrigés Fonctions
b. et c. f(2)=8 donc
28a b c  
, f(9) = 1 donc
91
8
c
ab  
,
'(5) 0f
donc
0
16
c
a
.
c.
2 8 18 8 18 8 1
72 8 8 88 8 8 11 1 10.
16 0 16 16 16
a b c a b a b a
a b c a b a b b
a c a c a c c
4.
16
( ) 10 1 f x x x
.
a. y = x – 10 est asymptote si
lim ( ) ( 10) 0
xf x x
or
16
( ) ( 10) 10 f x x x
qui tend bien vers
lorsque x tend vers .
b. Comme x > 1,
16 0
1x
donc C est au-dessus de D.
c.
2
16 16
'( ) 1 '(2) 1 15
1
( 1)
f x f
x
et
(2) 8 16 8f   
: la tangente a pour équation
15( 2) 8 15 38y x x      
.
d.
2
( 10)( 1) 16 11 26
() 11
xx xx
fx xx
;
121 104 17   
,
1
11 17 3,5
2
x
et
1
11 17 7,5
2
x
.
1-3 : Construction géométrique parabole
Avec Chamois
1. Construire une droite horizontale passant par deux points A et B ainsi que la médiatrice (d) de [AB]
passant par O, milieu de [AB]. On place un point F sur (d).
2. On prend H un point de (AB) et la perpendiculaire (D) à (AB) passant par H. Construire la droite (FH)
ainsi que la médiatrice (d’) de [FH]. Construire le point M d’intersection de (d’) et (D).
3. Avec l’outil lieu de points construire le lieu (P) des points M quand H parcourt (AB). Que pouvez-vous
dire de (d’) par rapport à (P) ?
4. Soit N le symétrique de H par rapport à M, K le milieu de [FH] et K’ le symétrique de K par rapport à M.
Mesurer les angles
HMK
,
FMK
et
'NMK
. Déplacez le point H. Que constatez-vous ?
5. On considère que (P) est constitué d’une infinité de tout petits miroirs qui se confondent en chaque
point M de (P) avec (d’) et qu’un rayon lumineux provenant de N aboutit en M. Dans quelle direction ce
rayon lumineux est-il réfléchi ? Connaissez-vous une application concrète de ce phénomène ?
Correction