TD1 2023

TD n°1 (Résolution de système d'équations linéaires)
Exercice n°1:
Donner les matrices D, E et F correspondant à la décomposition de la matrice A de la
méthode de Jacobi.
1 3 0
6 7 1
3 4 9
A
Exercice n°2:
On considère la matrice
2 1 0
1 2 1
0 1 2
A
et le vecteur
1
0
1
b
1) écrire la méthode de jacobi pour la résolution du système
Ax b
sous la forme
1kk
JJ
x B x C
2) calculer le rayon spectral de BJ , en déduire que la méthode de Jacobi converge.
3) calculer les deux première itérations en prenant comme valeurs initiales :
00
10
20
Exercice n°3:
en reprend le même système précédent (ex2),
écrire la méthode de pour la résolution du système
Ax b
,sous la forme
1kk
GS GS
x B x C
2) Calculer le rayon spectral de BGS , en déduire que la méthode de Gauss-Seidel converge.
3) Calculer les deux première itérations en prenant comme valeurs initiales :
0 1 2 ; 0 0 0
TT

Exercice n°4:
1) Calculer dans chacun des cas suivants le rayon spectral de la matrice de jacobi et de la
matrice de Gauss Seidel pour la résolution du système A x = b
1 2 2 2 1 1
1 1 1 2 2 2
2 2 1 1 1 2
Que peut-on déduire ?
Exercice n°5:
1
1
1
aa
Soit a et A a a
aa
 Pour quelle valeur de a la matriceA est elle définie positive ?
 Pour quelle valeur de a la méthode de Jacobi converge-elle ?