TD n°1 (Résolution de système d'équations linéaires) Exercice n°1: Donner les matrices D, E et F correspondant à la décomposition de la matrice A de la méthode de Jacobi. 1 3 0 A 6 7 1 3 4 9 Exercice n°2: 2 1 0 On considère la matrice A 1 2 1 0 1 2 1 et le vecteur b 0 1 1) écrire la méthode de jacobi pour la résolution du système Ax b sous la forme x k 1 BJ x k CJ 2) calculer le rayon spectral de BJ , en déduire que la méthode de Jacobi converge. 3) calculer les deux première itérations en prenant comme valeurs initiales : 0 1 2 0 0 0 Exercice n°3: en reprend le même système précédent (ex2), écrire la méthode de pour la résolution du système Ax b ,sous la forme x k 1 BGS x k CGS 2) Calculer le rayon spectral de BGS , en déduire que la méthode de Gauss-Seidel converge. 3) Calculer les deux première itérations en prenant comme valeurs initiales : 0 1 2 ; 0 0 0 T T Exercice n°4: 1) Calculer dans chacun des cas suivants le rayon spectral de la matrice de jacobi et de la matrice de Gauss Seidel pour la résolution du système A x = b 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 Que peut-on déduire ? Exercice n°5: Soit a et 1 a a A a 1 a a a 1 Pour quelle valeur de a la matriceA est elle définie positive ? Pour quelle valeur de a la méthode de Jacobi converge-elle ?
