ex1-série-4

20/12/2019
Exercices : chapitre 2
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Exercices : chapitreSérie
2
Série
Série 4
Exercice 1
1. Calculer dans chacun des cas suivants le rayon spectral de la matrice de la
méthode de Jacobi et de la matrice de la méthode de Gauss-Seidel pour la
résolution du système
et
Que peut-on déduire ?
2. Montrer que si la matrice
est à diagonale dominante stricte :
alors la méthode itérative de Jacobi pour la résolution de
(on pourra montrer que
).
est convergente
3. Etudier la convergence de la méthode de relaxation (pour la résolution du système
) lorsque
Exercice 2
Soit
une matrice d'ordre
telle que
rappelle que la matrice de Jacobi
avec
pour tout
. On
et la matrice de Gauss-Seidel
,
et
. On dit que la matrice
est correctement ordonnée si :
avec
.
https://www.uvt.rnu.tn/resources-uvt/cours/analyse_num/chap2/exercice2/exercice2.html
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Corrigé des exercices : chapitre 2
Corrigé des exercices : chapitre 2
Exercice1 (série 4)
Exercice 1 (série 4)
Réponse 1
1. a)
Jacobi :
:
,
et
Gauss-Seidel :
,
et
.
Conclusion : la méthode de Jacobi converge et la méthode de Gauss-Seidel diverge.
b)
Jacobi :
:
,
et
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Corrigé des exercices : chapitre 2
Gauss-Seidel :
,
et
.
Conclusion : la méthode de Jacobi diverge et la méthode de Gauss-Seidel converge.
2. La matrice de Jacobi est égale à :
d'où,
3.
ce qui donne
relaxation converge pour
, d'où :
, soit
. Par conséquent, la méthode de
.
Réponse 2
1.
2
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