ex1-série-4

20/12/2019 Exercices : chapitre 2
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Exercices : chapitre 2
Exercice1
1. Calculer dans chacun des cas suivants le rayon spectral de la matrice de la
méthode de Jacobi et de la matrice de la méthode de Gauss-Seidel pour la
résolution du système
  et
Que peut-on déduire ?
2. Montrer que si la matrice est à diagonale dominante stricte :
alors la méthode itérative de Jacobi pour la résolution de est convergente
(on pourra montrer que ).
3. Etudier la convergence de la méthode de relaxation (pour la résolution du système
) lorsque
Exercice2
Soit une matrice d'ordre telle que pour tout . On
rappelle que la matrice de Jacobi et la matrice de Gauss-Seidel
avec , et . On dit que la matrice
est correctement ordonnée si :
avec .
Série 4
Série 4
Série 4

20/12/2019 Corrigé des exercices : chapitre 2
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Corrigé des exercices : chapitre 2
Réponse1
1. a) :
Jacobi : , et
Gauss-Seidel : , et
.
Conclusion : la méthode de Jacobi converge et la méthode de Gauss-Seidel diverge.
b) :
Jacobi : ,
et
Exercice1 (série 4)
Exercice 1 (série 4)
1

20/12/2019 Corrigé des exercices : chapitre 2
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Gauss-Seidel : ,
et
.
Conclusion : la méthode de Jacobi diverge et la méthode de Gauss-Seidel converge.
2. La matrice de Jacobi est égale à :
d'où,
3. , d'où :
ce qui donne , soit . Par conséquent, la méthode de
relaxation converge pour .
Réponse2
1.
2