Enoncé

Math´ ematiques Lyc´ee Schuman-Perret 2015-2016
Exercice xx 5 points
La courbe ci-contre est la courbe repr´esentative de la fonc-
tion f. D´eterminer graphiquement :
1. Le signe de f(x)
2. f(−2) = f′(−2) =
3. f(0) = f′(0) =
4. f(1) = f′(1) =
5. L’´equation de la tangente en 1 :
6. L’´equation de la tangente en −2 :
Exercice xx 5 points
On ´etudie la fonction f(x) = x3−3x2−45x+ 1 d´efinie sur R
1) Montrer que f′(x) = 3(x2−2x−15)
2) Factoriser f′(x) et donner le tableau de signe de f′(x)
3) Compl´eter ce tableau avec les variations de f
4) En quel abscisse fadmet-elle un maximum local ? Quel en est sa valeur ?
Exercice xx 5 points
L’iode 131 est un produit radioactif utilis´e en m´edecine. II peut cependant ˆetre dangereux lorsqu’on le re¸coit en
grande quantit´e.
On consid`ere un ´echantillon d’une population de noyaux d’iode 131 comportant 106noyaux au d´ebut de l’obser-
vation. On consid`ere que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3 %.
On note unle nombre de noyaux de cet ´echantillon au bout de njours. On a donc u0= 106.
1. Calculer u1puis u2.
2. Exprimer un+1 en fonction de un. En d´eduire la nature de la suite (un).
3. Exprimer unen fonction de n.
4. D´eterminer `a partir de combien de jours la population de noyaux aura diminu´e au moins de moiti´e.
Cette dur´ee s’appelle la demi-vie de l’iode 131.
5. On consid`ere l’algorithme suivant :
1Variables : net usont des nombres
2Initialisation : Affecter la valeur 0 ˜ An
3 Affecter la valeur 106˜ Au
4Traitement : Tant que u > 106
2
5nprend la valeur n+ 1
6uprend la valeur u×0,917
7 Fin tant que
8Sortie : Afficher n
a. A quoi correspond la valeur nen sortie de cet algorithme ?
b. Si on programme cet algorithme, quel r´esultat affiche-t-il ?
c. Pour le C´esium 137, le nombre de noyaux diminue chaque ann´ee de 2,3 %.
Quelles modifications faut-il apporter `a l’algorithme pr´ec´edent pour trouver la demi-vie du c´esium 137
sachant que la population au d´epart est de 108noyaux ?
1St´ephane Le M´eteil

Math´ ematiques Lyc´ee Schuman-Perret 2015-2016
Exercice xx 5 points
Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonormal direct O,
−→
u ,
−→
v.
On note Cl’ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d’argument π
2.
1. On consid`ere l’´equation (E) d’inconnue z:
(2 −i)z= 2 −6i.
a. R´esoudre dans Cl’´equation (E). On notera z1la solution de (E) que l’on ´ecrira sous forme alg´ebrique.
b. D´eterminer la forme exponentielle de z1.
c. Soit z2le nombre complexe d´efini par : z2=−i×z1.
D´eterminer les formes alg´ebrique et exponentielle de z2.
2. Soit A, B et C les points du plan d’affixes respectives : zA= 2 −2i, zB=−2−2i et zC=−4i.
a. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
b. Calculer les distances AB, AC et BC.
c. En d´eduire la nature du triangle ABC.
2St´ephane Le M´eteil