Enoncé

Mathématiques Lycée Schuman-Perret
2015-2016
Exercice xx
La courbe ci-contre est la courbe représentative de la fonction f . Déterminer graphiquement :
5 points
1. Le signe de f (x)
2. f (−2) =
f ′ (−2) =
3. f (0) =
f ′ (0) =
4. f (1) =
f ′ (1) =
5. L’équation de la tangente en 1 :
6. L’équation de la tangente en −2 :
Exercice xx
On étudie la fonction f (x) = x3 − 3x2 − 45x + 1 définie sur R
5 points
1) Montrer que f ′ (x) = 3(x2 − 2x − 15)
2) Factoriser f ′ (x) et donner le tableau de signe de f ′ (x)
3) Compléter ce tableau avec les variations de f
4) En quel abscisse f admet-elle un maximum local ? Quel en est sa valeur ?
Exercice xx
5 points
L’iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. II peut cependant être dangereux lorsqu’on le reçoit en
grande quantité.
On considère un échantillon d’une population de noyaux d’iode 131 comportant 106 noyaux au début de l’observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3 %.
On note un le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de n jours. On a donc u0 = 106 .
1. Calculer u1 puis u2 .
2. Exprimer un+1 en fonction de un . En déduire la nature de la suite (un ).
3. Exprimer un en fonction de n.
4. Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.
Cette durée s’appelle la demi-vie de l’iode 131.
5. On considère l’algorithme suivant :
1
2
3
Variables :
Initialisation :
n et u sont des nombres
Affecter la valeur 0 Ã n
Affecter la valeur 106 Ã u
4
Traitement :
Tant que u >
5
6
7
8
Sortie :
106
2
n prend la valeur n + 1
u prend la valeur u × 0,917
Fin tant que
Afficher n
a. A quoi correspond la valeur n en sortie de cet algorithme ?
b. Si on programme cet algorithme, quel résultat affiche-t-il ?
c. Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3 %.
Quelles modifications faut-il apporter à l’algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137
sachant que la population au départ est de 108 noyaux ?
1
Stéphane Le Méteil
Mathématiques Lycée Schuman-Perret
2015-2016
Exercice xx
5 points
→
− →
−
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v .
On note C l’ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d’argument
π
.
2
1. On considère l’équation (E) d’inconnue z :
(2 − i)z = 2 − 6i.
a. Résoudre dans C l’équation (E). On notera z1 la solution de (E) que l’on écrira sous forme algébrique.
b. Déterminer la forme exponentielle de z1 .
c. Soit z2 le nombre complexe défini par : z2 = −i × z1 .
Déterminer les formes algébrique et exponentielle de z2 .
2. Soit A, B et C les points du plan d’affixes respectives : zA = 2 − 2i, zB = −2 − 2i et zC = −4i.
a. Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
b. Calculer les distances AB, AC et BC.
c. En déduire la nature du triangle ABC.
2
Stéphane Le Méteil