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Groupe
: Définition.
G ROUPES
: Résultat de cours.
On appelle groupe tout ensemble G muni d’une loi de composition interne ? vérifiant :
• la loi ? est associative: 8x, y, z 2 G : (x ? y) ? z = x ? (y ? z)
• G possède un élément neutre: 9e 2 G tel que: 8x 2 G, x ? e =
e?x=e
• Tout élément x de G admet un symétrique, c’est-à-dire 8x 2 G,
9x0 2 G tel que x ? x0 = x0 ? x = e
Si de plus 8x, y 2 G: x ? y = y ? x, on dit que la loi ? est commutative, et
que le groupe est abélien.
Groupe produit
Soit (G1 , ?1 ), ..., (Gn , ?n ) des groupes. En définissant dans G1 ⇥ · · · ⇥ Gn
la loi ? par: 8(x1 , · · · , xn ), (y1 , · · · , yn ) 2 G1 ⇥ · · · ⇥ Gn :
(x1 , · · · , xn ) ? (y1 , · · · , yn ) = (x1 ?1 y1 , · · · , xn ?n yn )
1
= (x1 1 , · · · , xn 1 )
Alors (G1 ⇥ · · · ⇥ Gn , ?) est un groupe d’élément neutre (eG1 , · · · , eGn ) et
pour tout (x1 , · · · , xn ) 2 G1 ⇥ · · · ⇥ Gn , on a
(x1 , · · · , xn )
Un tel groupe est appelé le groupe produit
y 2 H)
: Résultat pratique.
: Démarche.
G ROUPES
: Astuce.
M ORPHISMES DE GROUPES
Soit (G, .), (G0 , ?) deux groupes de neutres respectifs e et e0 .
Morphismes de groupes
f (x.y) = f (x) ? f (y)
: Attention.
: Information
G ROUPES MONOGÈNE , CYCLIQUE
• Si G est infini, il est isomorphe à Z
Soit G = gr(a) un groupe monogène, alors
• Si G est d’ordre n, il est isomorphe à
Soit k 2 [[0, n
2⇡
1
sont les seuls générateurs de gr(a)
Générateurs de Z/nZ et de Un
1]] et ! = ei n
⇣ .
⌘
Z
, + () n ^ k = 1
nZ
• k engendre
• ! k engendre (Un , ⇥) () n ^ k = 1
T HÉORÈME DE L AGRANGE
Soit G un groupe fini. Alors:
Théorème de Lagrange
1. Tout élément de G est d’ordre fini;
2. l’ordre de tout élément de G divise le cardinal G.
En particulier: 8a 2 G, aCardG = eG
Soit G un groupe fini d’ordre premier p. Alors G est cyclique.
Exemple: Groupe d’ordre premier
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Page: 01
2. Si G est cyclique d’ordre n, alors les générateurs de G sont exactement ar avec r 2 [[0, n 1]] et r ^ n = 1
1. Si G est infini, alors a et a
Soit G = gr(a) un groupe monogène
Générateurs d’un groupe monogène
⇣ .
⌘
Z
,+
nZ
Classification de groupes monogènes
Tout groupe monogène est abélien
Propriété
2. Un groupe cyclique est un groupe monogène fini.
1. S’il existe a 2 G tel que G = gr(a), le groupe est dit monogène.
Groupe monogène, groupe cyclique
: Exemple classique.
Une application f : G ! G0 est dite morphisme de groupes si:
8x, y 2 G,
Si de plus f est bijectif, on dit que f est un isomorphisme de groupes
Opérations de morphismes
1
• La composée de deux morphismes est un morphisme;
• L’application réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme
Propriétés de morphismes
1
3. f xy 1 = f (x) ? f (y)
4. f (xn ) = f (x)n
Soit f : (G, .) ! (G0 , ?) un morphisme de groupes.
Alors 8x, y 2 G et n 2 Z:
1. f (e) = e0
2. f (x 1 ) = f (x)
Images de sous-groupes
Soit f : (G, .) ! (G0 , ?) un morphisme de groupes. Alors
• Si H est un sous-groupe de G, alors f (H) est un sous-groupe de G0 .
• Si H 0 est un sous-groupe de G0 , alors f 1 (H 0 ) est un sous-groupe
de G.
Caractérisation de l’ordre
O RDRES
1. injectif si, et seulement, si Kerf = {eG }
2. surjective si, et seulement, si Imf = G0
Un morphisme de groupe f : (G, .) ! (G0 , ?) est
• Ker(f ) = f 1 ({e0 }), le noyau de f , est un sous-groupe de G.
• Im (f ) = f (G), l’image de f , est un sous-groupe de G0 .
En particulier
(x
Sous-groupe
2 H.
Injectivité et surjectivité
1
Soit (G, .) un groupe. Une partie H ⇢ G est un sous-groupe de G
8
< H 6= ;;
8x, y 2 H : x.y 2 H; (x + y 2 H)
()
:
8x 2 H : x 1 2 H
( x 2 H)
(
()
H 6= ;;
8x, y 2 H : x.y
Un sous-groupe d’un groupe est un groupe.
Théorème
Les sous-groupes de (Z, +)
Soit H un sous groupe de Z, alors il existe un unique entier n 2 N tel que
H = nZ
n
n^r
1
Un élément a 2 G est d’ordre fini s’il existe k 2 Z⇤ tel que ak = e. Au quel
cas (a) = min{k 2 N⇤ | ak = e} est appelé l’ordre de a et aussi l’unique
entier n de N⇤ tel que l’on ait : 8k 2 Z, ak = e () n | k
Ordre des itérés
Sous-groupe engendré
• L’intersection d’une famille non vide de sous-groupes est un sousgroupe
Ordre et cardinal
Si a est d’ordre n, alors
• Le groupe gr(a) est de cardinal n et gr(a) := e, a, · · · , an
⇣ .
⌘
Z
,+
• gr(a) est isomorphe à
nZ
Si a 2 G est d’ordre fini n et r 2 Z, alors (ar ) =
• Soit S ⇢ G. L’ensemble gr(S) intersection de tous les sous-groupes
de G contenant S est le plus petit sous-groupe de (G, .), au sens de
l’inclusion, contenant S, dit le sous-groupe engendré par S
Exemple
Pour a 2 G, gr(a) = {ak , k 2 Z}.
En notation additive gr(a) = {ka , k 2 Z}
: Définition.
: Résultat de cours.
: Astuce.
: Démarche.
a k bn
k
• 8(x, y) 2 A2 : f (x + y) = f (x) + f (y) et f (xy) = f (x)f (y).
Si de plus f est bijective, on parle d’isomorphisme d’anneaux
Même définition que morphisme de corps.
Kerf = f 1 ({0A0 }) et Im(f ) = f (A).
f est injective ssi Kerf = {0A }
Lemme de Chinois
.
.
.
Soit m, n 2 N⇤ tels que m ^ n = 1, alors Z
' Z
⇥ Z
mnZ
mZ
nZ
Propriété
I DÉAUX D ’ UN ANNEAU COMMUTATIF
Les images, directe et réciproque, d’un sous-anneau par un morphisme
d’anneaux est un sous-anneau
Idéal
On appelle idéal d’un anneau commutatif A tout sous-groupe additif I de A
vérifiant la propriété d’absorption : 8(a, b) 2 A ⇥ I, ab 2 I
Propriété
Soit I un idéal de A. Alors I = A () 1A 2 I () U(A) \ I 6= ;
Les seuls idéaux d’un corps K sont K et {0}.
: Attention.
: Information
'(pk ) = pk
r ⇣
Y
i=1
piki
piki
1
⌘
pk
=n
r ✓
Y
i=1
1
1
pi
◆
piki est la décomposition en facteurs premiers de l’entier n.
1
I NDICATEUR D ’E ULER
⇣ ⇣ . ⌘⌘
Soit n 2 N⇤ , on note '(n) = Card U Z
.
nZ
L’application ' est appelée l’indicateur d’Euler
Calcul de '
i=1
r
Y
1. Si m ^ n = 1, alors '(mn) = '(m)'(n)
2. Soit p un nombre premier et k 2 N⇤ , alors
Alors
3. Si n =
'(n) =
Théorème d’Euler
A LGÈBRES
Soit n un entier strictement positif et a un entier premier avec n, alors a'(n) ⌘ 1
(mod n).
Si n est premier on retrouve le théorème de Fermat
Algèbre
Soit un corps commutatif K et un ensemble A muni de deux lois de composition interne +, ⇥ et d’une loi de composition externe ".". On dit que (A, +, ⇥, .)
est une algèbre sur K si et seulement si :
1. (A, +, .) est un K-espace vectoriel;
2. (A, +, ⇥) est un anneau ;
3. 8x, y 2 A, 8↵ 2 K, ↵.(x ⇥ y) = (↵.x) ⇥ y = x ⇥ (↵.y)
Sous-algèbre
Soit (A, +, ⇥, .) une K-algèbre et B ⇢ A. On dit B est une sous-algèbre de A si,
et seulement, si
1. 1A 2 B
2. 8x, y 2 B, 8↵, 2 K ↵x + y 2 B
3. 8x, y 2 B, x ⇥ y 2 B
• L’image réciproque (directe ) d’un idéal par un morphisme d’anneaux
(surjectif) est un idéal
• Le noyau d’un morphisme d’anneaux est un idéal
Idéal engendré par une partie
Morphisme d’algèbres
L’idéal qui engendré par un singleton {a} est dit principal: aA = {ab | b 2 A}
Idéal principal
Les idéaux de Z
Soit I un idéal de Z, alors il existe un unique n 2 N tel que I = nZ.
En conséquence pour tous a, b 2 Z, alors
• aZ + bZ = pgcd(a, b)Z.
• aZ \ bZ = ppcm(a, b)Z.
Les idéaux de K[X]
Tout idéal I de K[X] peut s’écrire de façon unique sous la forme : P K[X] avec
P 2 K[X] normalisé. En conséquence pour tous P, Q 2 K[X]
• P K[X] + QK[X] = pgcd (P, Q) K [X];
• P K[X] \ QK[X] = ppcm (P, Q) K [X].
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Un morphisme d’algèbres est à la fois une application linéaire et un morphisme d’anneaux
1. f (1A ) = 1A0
2. 8x, y 2 A, 8↵, 2 K, f (↵x + y) = ↵f (x) + f (y)
3. 8x, y 2 A, f (x ⇥ y) = f (x) ⇥ f (y)
Soient (A, +, ⇥, .) et (A0 , +, ⇥, .) deux K-algèbres. On dit f : A ! A0 est un
morphisme d’algèbres si et seulement si:
Alors munie des lois restreintes, B est une K-algèbre.
Soit S une partie d’un anneau A. On appelle idéal engendré par S
l’intersection de tous les idéaux de A contenant S: c’est donc le plus petit idéal
(au sens de l’inclusion) de A contenant S.
Images d’un idéal
Indicateur d’Euler
: Exemple classique.
A NNEAUX , CORPS ET ALGÈBRES
: Résultat pratique.
M ORPHISME D ’ ANNEAUX
Morphisme d’anneaux
A NNEAUX ET CORPS
Anneau
Soient A,A0 deux anneaux. Une application f : A ! A0 est dite morphisme
d’anneaux si:
n
X
k=0
• f (1A ) = 1A0 ;
Soit A un ensemble et + et ⇥ deux lois de composition interne sur A. On dit
que (A, +, ⇥) a une structure d’anneau lorsque :
• (A, +) est un groupe abélien d’élément neutre 0A ; dit le neutre de A
• ⇥ est associative, distributive par rapport à + et elle admet un élément
neutre 1A ; dit l’unité de A
k
Si de plus ⇥ est commutative, on dit que (A, +, ⇥) est un anneau commutatif.
Anneau intègre
Cnk ak bn
a ⇥ b = 0 ) a = 0 ou b = 0
Un anneau (A, +, ⇥) est dit intègre s’il est commutatif et
8a, b 2 A,
Formules importantes
k=0
b)
Soit a, b deux éléments d’un anneau A tels que ab = ba. Alors pour tout n 2 N
n
X
n
bn+1 = (a
• Formule de binôme de Newton: (a + b) =
• Formule de factorisation: an+1
Groupes des unités
Soit (A, +, ⇥) un anneau. U (A) l’ensemble des éléments inversibles muni de
⇥ est un groupe appelé groupe des inversibles.
Corps
(K, +, ⇥) est corps si, et seulement, si :
• (K, +, ⇥) est un anneau commutatif;
• U (K) = K⇤ = K \ {0}
Tout corps est un anneau intègre
L’ensemble Z/nZ
⇣ .
⌘
• Z
, +, ⇥ est un anneau commutatif.
⇣ nZ
. ⌘
• U Z
= {x, x 2 [[0, n 1]] et x ^ n = 1}
⇣ . nZ
⌘
Z
, +, ⇥ est un corps si et seulement si n est premier;
•
nZ
Sous-anneau
Soit (A, +, ⇥) un anneau. Un sous-ensemble B de A est dit sous-anneau de A
si, et seulement, si
• 1A 2 B
• Pour x, y 2 B, x y 2 B et x ⇥ y 2 B
Auquel cas B muni des lois restreintes est un anneau
Sous-corps
Soient (K, +, ⇥) un corps. On dit qu’une partie L de K est un sous-corps de K
si et seulement si :
• 1K 2 L
• Pour x, y 2 L, x y 2 L et x ⇥ y 2 L
• 8x 2 L \ {0}, x 1 2 L
Auquel cas L muni des lois restreintes est un corps
: Définition.
É LÉMENTS PROPRES
Éléments propres
: Résultat de cours.
· IdE ) n’est pas surjectif
Soit E un K-espace vectoriel et u 2 L (E).
• Soit 2 K. On dit que est valeur propre de u s’il existe x 2 E \ {0} tel
que u(x) = x.
• Soit x 2 E. On dit que x est vecteur propre de u si x 6= 0 et s’il existe
2 K tel que u(x) = x.
• L’ensemble des valeurs propres d’un endomorphisme est appelé le spectre de u et noté SpK (u).
• Soit 2 Sp(u). E (u) = Ker (u
· IdE ) est un sev de E distinct de
{0E } appelé le sous-espace propre de u associé à
Caractérisation en dim finie
, (u
· IdE ) = 0
· IdE ) < n
· IdE ) n’est pas bijectif
Si E est de dimension finie n > 1, alors
2 Sp(u) , (u
· IdE ) n’est pas injectif
, (u
, rg (u
, det (u
Éléments propres d’une matrice
⇢
Mn,1 (K)
X
!
7 !
Mn,1 (K)
AX
u
A
= det (XIdE
= det (XIn
u).
A).
uF | u .
( ) = 0} = Rac (
u)
1
l’ensemble des racines de
n
+ · · · + ( 1) det(A)
tr(A) et a0 = ( 1)n det A
tr(A)Xn
est un polynôme unitaire, de degré n et
=
u
Les éléments propres d’une matrice A sont ceux de l’endomorphisme canoniquement associé
uA :
On écrit A à la place de uA
P OLYNÔME CARACTÉRISTIQUE
E est de dimension finie
• Le polynôme caractéristique de A est
Définition
• Le polynôme caractéristique de u est
Si F est stable par u , alors
Endomorphisme induit
u
Spectre et polynôme caractéristique
Sp (u) = { 2 K ,
1
= Xn
(K), alors
A
A
Coefficients du polynôme caractéristique
Soit A 2
Mn
c’est-à-dire an = 1, an
Ordre de multiplicité
La multiplicité d’une racine de u est appelée l’ordre de multiplicité de , et
ona: elle est noté m( ).
1 6 dim E (u) 6 m ( )
: Résultat pratique.
: Démarche.
R ÉDUCTION
: Astuce.
P OLYNÔME MINIMAL
Polynômes annulateurs et minimal
Ker
"
k
Y
i=1
Pi
!
#
(u) =
k
M
i=1
k
M
Ker (Pi (u))
= 0L(E) .
i=1
Ker (Pi (u))
u (u)
Pi un polynôme annulateur de u, alors E =
,
k }.
Les affirmations suivantes sont équivalentes.
est scindé à racines simples, alors u est diagonalisable.
: Attention.
u
est scindé.
: Information
T RIGONALISATION
E NDOMORPHISMES NILPOTENTS
D ÉCOMPOSITION SPÉCTRALE
Décomposition spéctrale
i pi
P ( i )pi
j=1
j6=i
Si u est diagonalisable où E est de dim finie, avec Sp(u) = { i , i 2 [[1, k]]}.
k
M
i=1
k
X
i=1
k
X
Pour i 2 [[1, k]], on pose pi la projection de E sur E i (u) ( de direction
Alors
1. u =
2. 8P 2 K[X], P (u) =
C ONTACT I NFORMATION
Page: 03
Ej ).
• A est nilpotente () est trigonalisable avec Sp(A) = {0}
A est nilpotente ssi elle est semblable à une matrice triangulairs sup stricte
• u est nilpotent () u est trigonalisable avec Sp(u) = {0}
Propriété caractéristique
Un endomorphisme u 2 L (E) est dit nilpotent s’il existe p 2 N tel que up = 0.
Ce vocabulaire se transpose aux matrices
Soit u 2 L (E) et A 2 Mn (K), avec dim E = n.
Définition
Si K = C, alors tout u 2 L(E) est trigonalisable.
Toute matrice A 2 Mn (C) est trigonalisable.
Corollaire
4. ⇡u est scindé.
3. u annule un polynôme scindé
2.
1. u est trigonalisable.
Les quatres affirmations sont équivalentes :
Propriétés caractéristiques
• u est dite trigonalisable s’il existe une base B de E pour laquelle MB (u)
est triangulaire supérieure.
• A est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice T triangulaire
supérieure.
Soit u 2 L (E) et A 2 Mn (K).
Définition
: Exemple classique.
• Le noyau {P 2 K[X] | P (u) = 0} du morphisme d’évaluation P 7 !
P (u) est un idéal de K[X]. On l’appelle l’idéal annulateur de u.
• On appelle polynôme annulateur de u tout élément de l’idéal annulateur;
• On appelle polynôme minimal de u 2 L (E) l’unique polynôme unitaire
qui engendre l’idéal des polynômes annulateurs.
Même définition pour les matrices
Théorème de décomposition des noyaux
k
Y
i=1
Si P1 , . . . , Pk sont k polynômes deux à deux premiers entre eux, alors :
Si P =
Théorème de Cayley-Hamilton
Soit u le polynôme caractéristique de u , alors
En conséquence ⇡u | u .
D IAGONALISATION
Soit u 2 L (E) et A 2 Mn (K).
Définition
• On dit que u 2 L(E) est diagonalisable s’il existe une base B de E telle
que MB (u) est diagonale.
• On dit que A 2 Mn (K) est diagonalisable si elle est semblable à une
matrice diagonale.
Propriété
Si A est diagonalisable et
= P 1 AP , alors les valeurs propres sont les
éléments de la diagonale de
et la multiplicité de chacune est son nombre
d’occurence dans cette diagonale.
Les vecteurs colonnes de P sont des vecteurs propres de A
1, · · ·
Propriétés caractéristiques
Soit Sp (u) = {
i=1
1. u est diagonalisable.
2. E possède une base de vecteurs propres de u;
k
M
E i;
k
X
i=1
dim(E i ) = n;
3. E =
4.
u
5. u est scindé et 8i 2 [[1, k]], dim E i = mi .
6. ⇡u est scindé à racines simples.
7. u annule un polynôme scindé à racines simples.
En particulier si
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Norme
: Résultat de cours.
! R+ telle que : 8x, y 2 E et
: Définition.
N ORMES
On appelle norme toute application k.k : E
↵2K
• Séparation: k x k = 0 =) x = 0E
• Homogénéité: k ↵ · x k = |↵| · k x k
• Inégalité triangulaire : k x + y k 6 k x k + k y k
Auquel cas E est dit un espace vectoriel normé.
Si de plus E est une K-algèbre,
kyk| 6 kx
yk
• la norme est dite sous-multiplicative si: 8x, y 2 E, kxyk 6 kxkkyk.
• la norme est dite d’algèbre si elle est sous-multiplicative et k 1E k = 1
|kxk
Seconde inégalité triangulaire
8x, y 2 E,
Soit k.k une norme sur E
Distance
• On appelle distance associée à la norme k.k sur E l’application d : E ⇥
E ! R+ , (x, y) 7 ! kx yk
d(y, A)| 6 d(x, y)
d(x, A) = inf {d(x, y) , y 2 A}
|d(x, A)
2
• Soit x 2 E et A une partie non vide de E. On appelle distance de x à A
le nombre
Et on a 8x, y 2 E,
Normes équivalentes
Soit N1 et N2 deux normes sur E. On dit que N1 est équivalente à N2 si 9↵,
?
R+
tels que:
8x 2 E, ↵N2 (x) 6 N1 (x) 6 N2 (x)
On note N1 ⇠ N2 . Une telle relation ⇠ est d’équivalence
Propriété fondamentale
et
⇢
N2 (x)
/x 2 E \ {0}
N1 (x)
sont majorés.
Soit N1 et N2 deux normes sur E. Alors les assertions suivantes sont équivalentes
N1 (x)
/x 2 E \ {0}
N2 (x)
1. N1 ⇠ N2
⇢
2.
3. Toute suite d’éléments de E convergente pour une norme converge pour
l’autre vers la même limite.
Méthode pratique
n!+1
N2 (xn )
lim
=0
N1 (xn )
Pour montrer que les deux normes N1 et N2 ne sont pas équivalentes, on
cherche une suite (xn ) 2 E N telle que
N2 (xn )
lim
= +1 ou
N1 (xn )
n!+1
Théorème de Riesz
Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont
équivalentes.
: Astuce.
: Démarche.
N ORMES ET SUITES
: Résultat pratique.
: Exemple classique.
: Attention.
: Information
S UITES EXTRAITES
Suites extraites
B OULES , SPHÈRES ET BORNITUDE
Boules et sphères
On dit que (vn ) est une suite extraite de (un ) s’il existe une application strictement croissante ' : N ! N telle que 8n 2 N, vn = u'(n) .
Une suite non convergente est dite divergente.
`k 6 "
!
E SPACES DE B ANACH
Une suite (un )n2N 2 E N est dite de Cauchy si :
Suites de Cauchy
8" > 0, 9n0 2 N, 8n > m > n0 ) kun
Propriété caractéristique
(
n!+1
8n, p 2 N, k un+p
"n
!0
un k 6 "n
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Tout espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de Banach
Propriété
On appelle espace de Banach tout espace vectoriel normé dont lequel toute
suite de Cauchy est convergente.
Espace de Banach
• Toute suite convergente est une suite de Cauchy.
• Toute suite de Cauchy est bornée.
• Toute suite de Cauchy qui admet une valeur d’adhérence est convergente.
• Une suite de Cauchy possède au plus une valeur d’adhérence.
Propriété
Une suite (un )n2N 2 E N est de Cauchy si et seulement s’il existe une suite
("n )n2N de réels positifs telle que
um k 6 "
Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie, toute suite bornée
d’éléments de E admet au moins une valeur d’adhérence.
Théorème de Bolzano-Weierstrass
• Toute suite convergente admet une et une seule valeur d’adhérence.
• Toute suite ayant au moins deux valeurs d’adhérence est divergente.
• Toute suite n’ayant pas de valeur d’adhérence est divergente.
Propriété
Soit (un )n 2 E N et ↵ 2 E. On dit que ↵ est valeur d’adhérence de la suite (un )n
si elle est limite d’une suite extraite de (un )n .
Valeur d’adhérence
Les suites extraites d’une suite convergente sont convergentes vers la même
limite
Propriété
⇤
(E, k.k) un espace normé, a 2 E et r 2 R+
.
• Boule ouverte: B(a, r) = {x 2 E | kx ak < r}
• Boule fermée: Bf (a, r) = {x 2 E | kx ak 6 r}
• sphère: S(a, r) = {x 2 E | kx ak = r}
Si a = O et r = 1, on parle des boules et sphère unités.
Boules et convexité
Les boules de E sont convexes de E.
Partie bornée
Une partie A non vide de E est dite bornée si 9k 2 R+ tel que 8x 2 A, kxk 6 k.
Autrement-dit A ⇢ Bf (O, k)
Fonction bornée
kun k 6 M
d’éléments de E est bornée si
9M > 0, 8n 2 N,
n > n0 =) kun
n!+1
Une fonction f : X ! E où X est un ensemble quelconque non vide est dite
bornée si la partie f (X) = {f (x) | x 2 X} est bornée. Ou encore 9k 2 R+ tel
que 8x 2 X, kf (x)kE 6 k.
Une suite
Suite bornée
(un )n2N
S UITES CONVERGENTES
Suite convergente
(E, k.k) désigne un espace normé.
8" > 0, 9n0 2 N,
On dit qu’une suite (un )n2N d’éléments de E tend vers ` 2 E si kun `k
0, c’est-à-dire
n!+1
` est unique, appelé la limite de la suite (un )n2N , et on note ` = lim un ou
un
! `.
Domination
! k`k;
n!+1
Soit (un ) une suite de E et ` 2 E. Alors la suite (un ) converge vers ` si, et
seulement, s’il existe une suite réelle et positive (↵n )n convergeant vers 0 et
telle que
8n 2 N; kun `k 6 ↵n
! ` 2 E, alors
n!+1
kun k
Toute suite convergente est bornée
Convergence et bornitude
• Si
Opérations algébriques
un
• Si ↵n 2 K ! ↵ et un ! ` 2 E alors ↵n .un ! ↵.`;
• Si un ! ` et vn ! `0 alors un + µvn ! ` + µ`0 ;
• Si de plus, E est une algèbre normée, un vn ! ``0 .
: Définition.
: Résultat de cours.
: Astuce.
: Démarche.
: Exemple classique.
TOPOLOGIE , LIMITES ET CONTINUITÉ
: Résultat pratique.
A DHÉRENCE D ’ UN PARTIE
: Attention.
: Information
C ONTINUITÉ
Soit f : A ⇢ E ! F et a 2 A.
Continuité
O UVERTS
Soit A une partie de E et a 2 E.
Définition
x2A
2 AN , tq
x2A
! a.
! `.`0
x!a
x2A
!
x!a
x2A
1
2
8(xn )
n!+1
2 AN ,
! f (a)
! a ) f (xn )
n!+1
Continuité uniforme
On dit que f : A ⇢ E ! F est uniformément continue si
8" > 0, 9⌘ > 0, 8x, y 2 A, k x y k < ⌘ ) k f (x) f (y) k < "
Caractérisation séquentielle
n!+1
n!+1
f : A ⇢ E ! F est uniformément continue sur A ssi 8(xn ), (yn ) 2 AN
x n yn
! 0 ) f (xn ) f (yn )
!0
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Page: 05
Soit f : A ⇢ E ! F . Les trois affirmations suivantes sont équivalentes :
1. f est continue sur A;
2. l’image réciproque de tout ouvert de F est ouvert de A;
3. l’image réciproque de tout fermé de F est fermé de A.
Continuité et topologie
Soit f, g : E ! F deux fonctions continues. Si A est dense dans E et f et g
coïncident sur A, alors f et g sont égales.
Continuité et densité
Soit f : A ⇢ E ! F
• Si F est un espace produit alors f est continue si, et seulement si, ses
fonctions composantes le sont.
• Si F est de dimension finie alors f est continue si, et seulement si, ses
fonctions coordonnées dans une base de F le sont.
Propriété
La composée de deux fonctions continues est continue
Composition
• C (A, F ) est un K-espace vectoriel
• Si F est une algèbre normée, alors C (A, F ) est une K-algèbre
• Si ↵ : A ⇢ E ! K et f : A ⇢ E ! F sont continues alors ↵.f est
continue.
1
• Si ↵ : A ⇢ E ! K est continue et elle ne s’annule pas, alors
:A⇢
↵
E ! K est continue
Opérations algébriques
xn
Soit f : A ⇢ E ! F et a 2 A.
f est continue en a si, et seulement si,
Caractérisation séquentielle
C (A, F ) désigne l’ensemble des fonctions continues de A à valeurs dans F
• On dit que f est continue sur A si elle est continue en chaque point de A.
x2A
• On dit que f est continue en a si x!a
lim f (x) = f (a)
Soit O ⇢ E . On dit que O est un ouvert de E si
8x 2 O, 9" > 0, B(a, ") ⇢ O
• a 2 A ()
!a
n!+1
an
Caractérisation séquentielle
9(an )n
• A = E () 9(an )n 2 AN , tq an
Propriété
_
˚
{A = {A
{Å = {A, donc A est un fermé ;
A ⇢ A et A ⇢ B ) A ⇢ B ;
A est un fermé et A = A
A fermé , A = A;
A est le plus petit fermé contenant A .
Soit A et B deux parties de E.
x!a
x2A
la suite (f (xn ))n converge vers `
Opérations sur les limites
x2A
! ` + `0
x!a
x!a
Soient f, g 2 F A , ↵ 2 KE et a adhérent à A telles que:
f x!a
! `, g x!a
! `0 et ↵ x!a
! . Alors
1. f + g
! .`
x!a
6= 0, alors 9W 2 VA (a) sur lequel ↵ ne s’annule pas et
x!a
2. Si F est une algèbre normée f.g
3. ↵f
K⇤
4. Si
Composition
x!a
Soient f : A ⇢ E ! F et g : B ⇢ F ! G telles que f (A) ⇢ B et a adhérent
à A. Si f
! b et g
! `, alors g f
!`
x!b
1
↵
lim f (x) = ` si, et seulement si, toute suite (xn )n2N 2 AN qui converge vers a,
Caractérisation séquentielle
Soit f : A ⇢ E ! F une application, a 2 A et ` 2 F .
On dit que f admet pour limite ` en a selon A, lorsque 8" > 0, 9↵ > 0 tel que
kx akE < ↵ et x 2 A, alors kf (x) `kF < ". On note lim f (x) = `
limite d’une fonction en un point
(E, k . kE ), (F, k . kF ) et (G, k . kG ) sont des K-espaces vectoriels normés
L IMITE D ’ UNE FONCTION EN UN POINT
Soit A une partie de E. La frontière de A est l’ensemble: Fr (A) = A\Å = A\{Å
Frontière
1.
2.
3.
4.
5.
n!+1
• On dit a est dit adhérent à A si :8r > 0, B(a, r) \ A 6= ?.
• On note A l’ensemble des points adhérents à A.
• On dit que A est dense dans E si A = E.
Définition
Propriété
1. ; et E sont des ouverts de E.
2. Union quelconque d’ouverts est un ouvert.
3. Intersection finie d’ouverts est un ouvert.
Propriété
Une boule ouverte est un ouvert.
Ouverts relatifs à une partie
I NTÉRIEURS
B(a, r) ⇢ A
On appelle ouvert dans A ou relativement à A tout ensemble de la forme A\O
où O est un ouvert de E.
Définition
Soit A une partie de E et a 2 E.
On dit que a est intérieur à A si: 9r > 0, tel que
On note Å l’ensemble des points intérieurs à A.
Propriété
Soit A, B deux parties de E.
1. Å ⇢ A et A ⇢ B =) Å ⇢ B̊;
˚
2. Å est ouvert et Å = Å;
3. A ouvert , A = Å.
4. Å est le plus grand ouvert contenu dans A .
Propriété
F ERMÉS
z }|
˚ {
Soit a 2 E et r > 0, alors Bf (a, r) = B(a, r)
Définition
On appelle fermé tout ensemble F dont le complémentaire {E F est ouvert.
Propriété
1. ; et E sont des fermés.
2. Intersection quelconque de fermés est fermé
3. Union finie de fermés est un fermé.
Une boule fermée est un fermé.
Propriété
Caractérisation sequentielle
Une partie F d’un espace vectoriel normé E est fermée , si et seulement, si
toute suite (un )n2N d’éléments de F qui converge admet une limite qui appartient à F.
: Résultat de cours.
!
7 !
(E, N2 )
. est bicontinue ;
x
: Astuce.
: Démarche.
C OMPACITÉ
Soit f 2 C(E, F ) et A un compact de E, alors
Propriété
x2A
• f (A) est un compact de F .
• f (A) est borné et il existe a, b 2 A tels que
9⌘ > 0 :
x2A
8x, y 2 A,
yn
kx
x2A
y k < ⌘ =) k f (x)
! 0 ) f (xn )
n!+1
f : A ⇢ E ! F est uniformément continue sur A ssi
8(xn ), (yn ) 2 AN , xn
Méthode pratique
n!+1
et
: Attention.
: Information
C ONNEXITÉ PAR ARCS
• Les composantes connexes par arcs de
On+ (R) = On (R) \ det
On (R) = On (R) \ det
(0) = x
(1) = y
({1})
Page: 06
(R) sont On+ (R) et On (R). Où
1
({ 1})
C ONTACT I NFORMATION
1
On
• On (R) est compact et non connexe par arcs
On (R) = A 2 Mn (R) , t AA = In
Pour n 2 N, avec n > 2. On note On (R) le groupe orthogonal
Groupe orthogonal
est une relation d’équivalence.
La classe de a pour cette relation est appelée la composante connexe par arcs
de a dans A est connexe par arcs et notée C(a).
xRy () 9 2 C ([0, 1], A) ,
Soit A une partie d’espace vectoriel normé E. La relation R définie sur A par:
pour tout (x, y) 2 A2
(
Propriété
Soient A connexe par arcs, f 2 C(A, R) et (a, b) 2 A2 . Alors pour tout m entre
f (a) et f (b) il existe c 2 A tel que f (c) = m.
Théorème des valeurs intermédiaires
Les connexes par arcs de R sont les intervalles.
Les connexes par arcs de R
Soit f : A ⇢ E ! F continue. Si A est connexe par arcs alors f (A) est connexe
par arcs.
Connexité par arcs et continuité
Toute partie étoilée est connexe par arcs
Propriété
A une partie d’un espace vectoriel normé E est dite étoilée si 9a 2 A tel que
8b 2 A, [a, b] ⇢ A.
Partie étoilée
Si A convexe alors A est connexe par arcs.
Convexité et connexité par arcs
On appelle chemin de a à b dans A toute application continue : [0, 1] ! A
telle que (0) = a et (1) = b.
On dit que A est connexe par arcs si pour tous x, y 2 A il existe un chemin de
x à y dans A.
Connexité par arcs
: Exemple classique.
f (y) k < "
!0
n!+1
n!+1
Toute application uniformément continue est évidemment continue
Propriété
Pour montrer que f n’est pas uniformément continue sur A on cherche deux
suites (xn ), (yn ) 2 AN tels que xn yn
! 0 et f (xn ) f (yn ) 6 ! 0.
f (yn )
Caractérisation séquentielle de la continuité uniforme
Toute application lipschitzienne f : A ⇢ E ! F est uniformément continue.
Propriété
8" > 0,
On dit que l’application f : A ⇢ E ! F est uniformément continue si:
Définition
On dit que f atteint ses bornes de sa norme.
• F = R, alors f est bornée sur A et elle atteint ses bornes: il existe a, b 2 A
tels que:
f (a) = inf f (x) et f (b) = sup f (x)
kf (a)k = inf kf (x)k et kf (b)k = sup kf (x)k
x2A
Les compacts d’un espace vectoriel normé de dimension finie sont ses fermés
bornés.
Propriété
Le produit cartésien de compacts est compact
Produit cartésien des compacts
Tout fermé d’un compact est compact E.
Fermé dans un compact
Tout compact est nécessairement fermé et borné.
Compacité, fermeture et bornitude
Une partie A de E est dite compacte dans E si toute suite d’éléments de A
admet une valeur d’adhérence dans A
(E, k . kE ) et (F, k . kF ) des K-evns
Partie compacte
: Résultat pratique.
A PPLICATIONS MULTILINÉAIRES , COMPACITÉ ET CONNEXITÉ PAR ARCS
: Définition.
A PPLICATIONS LINÉAIRES
(E, k . kE ) et (F, k . kF ) des K-evns
Soit u 2 L(E, F ). Les affirmations suivantes sont équivalentes :
Théorème fondamental
1. u est continue;
2. u est continue en 0E ;
ku(x)k
kxk
3. 9k 2 R⇤ tel que 8x 2 E, ku(x)kF 6 kkxkE ;
+
n
o
| x 2 E \ {0} est majoré;
4. l’ensemble
5. u est lipschitzienne;
6. u est bornée sur la boule Bf (0, 1)
7. u est bornée sur la sphère S(0, 1)
Si E est de dimension finie, alors toute u 2 L (E, F ) est continue
Propriété fondamentale en dim finie
Propriété
Soit N1 et N2 deux normes de E un espace vectoriel normé. Les affirmations
suivantes sont équivalentes :
(E, N1 )
x
1. N1 et N2 sont équivalentes ;
⇢
2. IdE :
3. les ouverts de E pour la norme N1 sont les ouverts de E pour la norme
N2 .
A PPLICATIONS MULTILINÉAIRS
Si u : E ⇥ F ! G est bilinéaire. u est continue si et seulement si
Propriété
9k 2 R, 8x 2 E, 8y 2 F, kB(x, y)k 6 kkxkkyk
Lorsque E et F sont de dimensions finies, alors toute application bilinéaire sur E ⇥ F est continue
Propriété
Soient E1 , . . . , En , F des K-espaces vectoriels normés. Si E1 , . . . , En sont de
dimensions finies alors toute application multilinéaire M : E1 ⇥· · ·⇥En ! F
⇤
est continue. Au quel cas 9k 2 R+
tel que ,8(x1 , . . . , xn ) 2 E1 ⇥ · · · ⇥ En :
kM (x1 , . . . , xn )k 6 kkx1 k · · · kxn k
Inégalité de Hadamard
det(M ) 6 kC1 k2 · · · kCn k2
Soit M une matrice carrée dont les vecteurs colonnes sont C1 , · · · , Cn . On note
la norme euclidienne de Ci . On a l’inégalité suivante :
kCi k2
Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.
Théorème de Heine
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u k + Rn
et
X
n=0
: Résultat de cours.
un , notée
1
X
n=0
qn =
1
un est défini par Rn :=
!0
n!+1
+1
X
n=0
1
q
un .
+1
X
k=n+1
un,i converge
un,i ei le terme général de la
X
Rn
p
X
i=1
un,i
uk ,
un ) converge ssi la suite (un ) est convergente.
un converge, alors la suite (un ) tend vers 0
n
X
n>0
q n converge ssi |q| < 1. Au quel cas
un =
i=1
ei
X
un est convergente et
Inégalité triangulaire
X
un et
X
: Astuce.
: Démarche.
vn deux séries à termes positifs.
converge () la suite (Sn ) est majorée où Sn =
+1
X
n
vn = sup Sn
n
X
vn sont de même nature
k=0
S ÉRIES À TERMES POSITIFS
: Résultat pratique.
Soit
vn
Critère de majoration
X
n>0
En cas de convergence
n=0
Principes de comparaison
n>1
> 0 et ↵ 2 R tels que : un ⇠
un+1
un
! ` 2 R+
n!+1
8
>
<↵ > 1
X
1
CV () ou
>
n↵ ln (n)
:
↵ = 1 et
n>2
Z
Z
+1
X
k=0
k=n+1
n
X
f (t) dt 6
f (t) dt 6
n+1
n+1
0
f (k) 6
+1
n
Z
0
n
f (t) dt
f (t) dt
f (k) 6 f (0) +
: Attention.
vn une SATP et
X
: Information
un une série numérique.
X
un est AC et
vn est convergente
X
n>1
X
n
X
k=0
+1
X
+1
X
!
!
vk
uk ⇠
uk = o
uk = O
+1
X
vk
k=n+1
k=0
n
X
uk ⇠
k=n+1
k=0
n
X
k=0
n
X
vk
k=n+1
+1
X
un est AC et
un est AC et
n>1
k=n+1
+1
X
vk
1
.
kuk
1
=
n=0
un .
!
!
vk
vk
k=n+1
+1
X
k=n+1
S OMMATION DES RELATIONS DE COMPARAISON
X
Théorème
1. On suppose que
• Si un = (vn ), alors
X
n>1
• Si un = O (vn ), alors
X
n
X
uk = o
uk = O
un est DIV et
k=0
n
X
k=0
vn est divergente
• Si un ⇠ vn , alors
2. On suppose que
• Si un = (vn ), alors
X
n>1
• Si un = O (vn ), alors
• Si un ⇠ vn , alors
1
u)
un est absolument convergente.
k6
+1
X
S ÉRIE DE N EUMANN ET SÉRIE EXPONENTIELLE
X
n>0
1
u est inversible dans A et (1A
u)
X un
est absolument convergente.
n!
n>0
+1
X
un
s’appelle la fonction exponentielle sur A.
n!
n=0
C ONTACT-I NFORMATION
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Page: 07
Soit u, v 2 A tels que u ⇥ v = v ⇥ u, alors exp(u + v) = exp(u) ⇥ exp(v)
Propriété
exp : u 7!
Soit u 2 A, alors la série
L’application exponentielle
3. k(1A
2. 1A
1. La série
Soit u 2 A tel que k u k < 1
Série de Neumann
Soit A une K-algèbre normée de dimension finie.
Soit
: Exemple classique.
X 1
converge si, et seulement, si ↵ > 1
n↵
1. Si un = (vn ) ou un = O(vn ) alors
X
X
•
vn converge )
un converge.
X
X
•
vn diverge.
X
un et
un diverge )
X
2. Si un ⇠ vn , alors
Séries de Riemann
Soit ↵ 2 R. la série de Riemann
3. S’il existe
deux réels, alors
Série de Bertrand
Pour ↵ et
Critères de D’Alembert
Si (un )n>0 ne s’annule pas à partir d’un certain rang et
X
1. Si 0 6 ` < 1, alors
un converge
X
2. Si ` > 1, alors
un diverge
3. Si ` = 1 on ne peut pas conclure.
Comparaison série-intégrale
2. L’intégrale
0
• En cas de CV: 8n 2 N,
• En cas de DIV: 8n 2 N⇤ ,
+1
Soit f : R+ ! R+ une fonction décroissante continue sur R+ . Alors
Z n+1
1. La série de terme général
f (t) dr f (n) converge.
n
Z +1
X
f (t)dt et la série
f (n) sont de même nature.
Z
>1
✓ ◆
✓ ◆
X
1
1
1. Si 9↵ > 1 tel que un = O
ou un =
, alors
un converge
n↵
n↵
X
1
1
2. S’il existe ↵ 6 1 tel que
= O (u ) ou
= (u ), alors
un diverge
n
n
n↵
n↵
X
. Alors
un CV ssi ↵ > 1
n↵
Règle de Riemann
vk .
L ES SÉRIES DANS UN ESPACE VECTORIEL NORMÉ DE DIMENSION FINIE
: Définition.
un une série de E
C ONVERGENCE ET CONVERGENCE ABSOLUE
X
n>0
X
n>0
un converge ssi (Sn ) la suite des sommes partielles converge
E un K-espcae vectoriel de dim finie et
X
Définition
On dit que
n>0
dans E. la limite de (Sn ) est appelée somme de la série
(un+1
Une série est dite divergente si elle n’est pas convergente
X
Série télescopique
La série télescopique
X
n>0
Condition nécessaire
Si la série
X
Série géométrique
Soit q 2 C. Alors
n>0
Reste d’une série convergente
1
X
k=0
Le reste d’ordre n d’une série convergente
et on a: 8n 2 N,
n=0
= (e1 , · · · , ep ) une base de E et un =
X
X
un . Alors:
n=0
un converge () 8i 2 [[1, p]], la série
!
p
+1
+1
X
X
X
un =
Séries numériques coordonnées
Soit
série
En cas de convergence:
X
( 1)n un une série telle que (un ) décroît et est de limite nulle. Alors:
Critère spécial des séries alternées
n>0
kun k
k un k est conver-
( 1)n un converge et sgn (Rn ) = sgn ( 1)n+1 un+1 et |Rn | 6 un+1 .
Soit
X
n>0
X
X
un converge absolument si la série
Convergence absolue
On dit que la série
gente.
X
1
X
n=0
un converge absolument, alors la série
un 6
n>0
Convergence absolue ) convergence
Si
n>0
1
X
n=0
Soit E un ensemble.
: Définition.
)
(n)
=
xi 6 M
deux familles de réels positifs
X
yi
s’appelle la somme de la famille
i2I
X
xi
La famille
: Astuce.
: Démarche.
est dite sommable si la famille
Famille numérique sommable
(xk )k2I
X
n2N
xn
(|xk |)k2I
=
+1
X
n=0
xn
(n)
(xi + yi )i2I est sommable et
Sous-famille d’une famille sommable
k2I
xk
X
Soit (xk )k2I une famille sommable et J une partie dénombrable de I. Alors
(xk )k2J est sommable
S OMMATION PAR PAQUETS
In \ Im = ; et
In = I
X
n2N
Soit I un ensemble dénombrable et (In )n2N une famille de parties de I tels que
[
8n 6= m,
Critère suffisant de sommabilité
Soit (xi )i2I une famille numérique. Si :
X
xi =
+1
X
n=0
i2In
X
Tn est convergente avec Tn =
X
i2I
xi
|xi |.
!
i2In
1. Pour tout n 2 N la famille (xi )i2In est sommable.
2. La série
n>0
Alors: (xi )i2I est sommable et
Soit (xk )k2I une famille numérique sommable. Alors :
Sommation par paquets
xi .
X
i2In
xi
!
=
X
i2I
xi
Sn converge avec Sn =
X
n>0
i2In
1. Pour tout n 2 N, la famille (xi )i2In est sommable.
X
X
xi .
+1
X
Sn =
2. La série
3.
+1
X
i2I
n=0
: Attention.
: Information
S UITES DOUBLES
X
X
n>0
m>0
=
n=0
+1
X
am,n
ap,q .
am,n
p+q=n
(n,m)2N2
X
m=0 n=0
+1 X
+1
X
n=0 m=0
+1 X
+1
X
|am,n | converge et la série
|am,n | converge et la série
1. La famille (am,n )(m,n)2N2 est sommable.
2. Pour tout n 2 N, la série
converge.
p+q=n
(p,q)2N2
X
am,n
=
=
P RODUIT DE C AUCHY
(m,n)2N2
|ap,q | converge.
3. Pour tout m 2 N, la série
n>0
n
X X
p
up v n
up v n
p=0
!
p
=
!
+1
X
n=0
un
!
⇥
+1
X
n=0
vn
X
n>0
X
m>0
!
+1
X
|am,n |
!
!
m=0
|am,n |
n=0
est absolument convergent et on a
vn deux séries numériques absolument convergentes alors leur
n>0
converge.
X X
4. La série
un et
X
Auquel cas :
X
n>0
Propriété
Si
produit de Cauchy
n>0
p=0
+1 X
n
X
n=0
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Page: 08
Soit A une K-algèbre normée de dimension finie et a, b 2 A tels que ab = ba.
Alors
exp (a + b) = exp(a) exp(b)
Propriété
+1
X
Soit (am,n )(m,n)2N2 une suite numérique double. Les assertions suivantes sont
équivalentes :
Théorème
: Exemple classique.
k2I
n>0
est sommable.
(n)
Une suite numérique (xn )n2N est sommable si, et seulement, si la série
Cas de I = N
est absolument convergente. Auquel cas
Retour aux séries
n>0
Opérations
k2I
Soit (xk )k2I , (yk )k2I deux familles sommables et
2 K. Alors la famille
X
X
X
( x i + yi ) =
xi +
yi
k2I
Si : N ! I une bijection, alors, (xk )k2I est sommable si, et seulement, si
+1
X
X
X
x
est absolument convergente. Auquel cas
x
=
n=0
xn
Soit I un ensemble dénombrable et (xk )k2I , (yk )k2I deux familles numériques.
FAMILLES NUMÉRIQUES SOMMABLES
: Résultat pratique.
L ES FAMILLES NUMÉRIQUES SOMMABLES
: Résultat de cours.
E NSEMBLES DÉNOMBRABLES
Ensemble au plus dénombrable
On dit que:
• E est dénombrable s’il existe une bijection entre E et N.
• E est au plus dénombrable s’il est fini ou dénombrable
Une sous-famille d’une famille sommable est sommable
Propriété
Opérations
• Une partie de N est dénombrable si, et seulement si, elle est infinie.
• Une partie d’un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.
• Un produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
• Une union dénombrable de parties dénombrables est dénombrable
xi , J ⇢ I et J fini
xi .
xi 6 yi . Alors
i2J
(xi )i2I , (yi )i2I
FAMILLES POSITIVES SOMMABLES
Soient I un ensemble dénombrable et
Définition
X
9M > 0, 8J ⇢ I et J fini ,
On dit que la famille (xi )i2I est sommable si
(
X
i2I
i2J
et on la note
Auquel cas, sup
(xi )i2I
Si: 8i 2 I,
Critère de comparaison
1. Si la famille (yi )i2I
xi 6
est sommable, alors (xi )i2I est sommable et:
X
X
i2I
2. La non sommabilité de la famille (xi )i2J entraîne la non sommabilité de
(yi )i2I
Retour aux séries
x
i2I
Si : N ! I est une
Xbijection, alors, la famille (xi )i2I est sommable si, et
seulement si, la série
x (n) est convergente. Auquel cas
n>0
+1
X
n=0
n=0
Autrement dit :
: Définition.
C ONTEXTE
f (t) =
p
X
i=1
: Résultat de cours.
(n)
fi .ei
Définition
: Astuce.
: Démarche.
O PÉRATIONS
(n)
= L f (n)
i)
)
') 2 Dn (J, E)
Cni B(f (i) , g (n
=
Z
a
a
b
b
fi (t) dt ei
Z
c
a
b
b
f
L f
a+k
n
kf k
a
◆
!
Z
b
f
: Information
M ÉTHODES DE CALCUL
: Attention.
f (b)
k=0
a
b
B(f 0 (t), g(t))dt = [B(f (t), g(t))]ab
n
X
(b
k=0
f (t)dt =
a
n+1
a
a)k (k)
|b a|
f (a) 6
sup kf (n+1) k
k!
(n + 1)! [a,b]
f (x) =
n
X
(x
k=0
a)k (k)
f (a) + o ((x
k!
n
a) )
C ONTACT-I NFORMATION
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Page: 09
Soit f : I ! E une fonction de C n sur I et a 2 I, alors f admet un DLn (a):
Formule de Taylor-Young
2.
1. f (b) =
Soit f 2 C n+1 (I, E) et a, b 2 I
Z b
n
X
(b a)k (k)
(b t)n (n+1)
f (a) +
f
(t) dt
k!
n!
a
Formules de Taylor et Inégalité de Taylor-Lagrange
F ORMULES DE TAYLOR
Alors f est de classe C p sur [a, b] et 8k 2 [[1, p]], f (k) (b) = `k
• f est continue sur [a, b];
• f est de classe C p sur [a, b[
• Pour tout k 2 [[1, p]], f (k) a une limite `k en b
Soit f une application de [a, b] dans E et p 2 N⇤ tels que
de prolongement par dérivabilité
Soit f 2 C 1 (I, E) telle que kf 0 k soit bornée sur I i.e. il existe M 2 R+ tel que
8t 2 I, kf 0 (t)k 6 M , alors 8a, b 2 I, kf (b) f (a)k 6 M |b a|
Inégalité des accroissements finis
il existe c 2]a, b[ tel que f 0 (c) =
Soit f : [a, b] ! R une fonction continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors
f (b) f (a)
b a
En particulier si f (a) = f (b) on retrouve le théorème de Rolle
des accroissements finis
I NÉGALITÉ DES ACCROISSEMENT FINIS
'(a)
'(b)
Soient ' de classe C 1 sur I à valeurs dans J, f 2 C(J, E) et a, b 2 I. Alors:
Z
Z b
'0 (t)f ('(t)) dt
Changement de variable
8a, b 2 I,
Soit f : I ! E et g : I ! F deux fonctions de C 1 sur I et B : E ⇥ F ! G.
Z
Z b
B(f (t), g 0 (t))dt.
Intégration par parties
: Exemple classique.
2 K et f, g 2 Dn (I, E) . Alors f + g 2 Dn (I, R) et
( f + g)(n) = f (n) + g (n)
(L f )
n
X
i=0
Z
p
X
i=1
I NTÉGRATION SUR UN SEGMENT
b
f (t) dt :=
b
f
f
n 1 ✓
aX
k=0
Z
n!+1
Soit f 2 Cpm (I, E).
Pour tout a, b 2 I, on appelle intégrale de f de a à b le vecteur
!
Z
a
f=
!a
S’il n’y a pas de confusion l’intégrale se note
Propriété
2. Relation de Chasles:
Z
n
a
Soient f, g 2 Cpm (I, E), a, b, c 2 I et 2 K, alors:
Z b
Z b
Z b
1. Linéarité:
f+
g
a
a
Z c aZ b
f+
f
( f + g) =
Z b
a
b
3. Si L 2 L(E, F ), alors L
Somme de Riemann
Soit f 2 Cpm ([a, b], E), alors
Inégalité triangulaire
f 6
Soit f 2 Cpm (I, E), a, b 2 I tels que a 6 b alors:
Z
[a,b]
a
Tous les résultats précédents restent vrais si on remplace Dn par C n
Soit f 2 Dn (I, E), ' 2 Dn (J, I). Alors (f
Dérivation et composition
B(f, g)(n) =
Soit B : E ⇥ F ! G une application bilinéaire, n 2 N, f 2 Dn (I, E) et
g 2 Dn (I, F ). Alors B(f, g) 2 Dn (I, G) et
Formule de Leibniz
Soit f 2 Dn (I, E) et L 2 L (E, F ). Alors L f 2 Dn (I, F ) et
Propriété
Soient n 2 N,
Somme et multiplication par un scalaire
: Résultat pratique.
D ÉRIVATION ET INTÉGRATION DES FONCTIONS VECTORIELLES
fi (t) ei
D ÉRIVATION
8t 2 I,
E, F , G sont normés et de dimensions finies sur K et parfois ils sont euclidiens. I, J
désignent des intervalles de R.
Soit f : I ! E, B = (e1 , · · · , ep ) une base de E et (fi )16i6p les applications coordonnées de f dans la base B:
Soit f : I ! E et a 2 I.
Dérivation
df
(a).
dx
f (a)
existe 2 E
a
• On dit que f admet une dérivée en a si
f (x)
lim
x
x!a
Cette limite est noté f 0 (a) on note aussi
• Lorsque f est dérivable en tout point de I on dit que f est dérivable sur
I et la fonction de I vers E qui à x associe f 0 (x) est appelée dérivée de f
sur I, on la note f 0
Dérivées successives
Soit f 2 F(I, E). On définit les dérivées successives de f , si elles existent, au
moyen d’une récurrence
• f (0) = f
• Soit k 2 N. Supposons avoir défini f (k) sur I, si f (k) est dérivable sur I,
0
on pose f (k+1) = f (k)
• L’ensemble des fonctions n-fois dérivable sur I se note Dn (I, E)
La fonction f (k) , si elle existe, est appelée la dérivée k ème de la fonction f .
• f est dite de C n sur I si f est n-fois dérivable sur I et f (n) est continue
sur I
• f est dite de C 1 sur I ou f est lisse sur I si f est k-fois dérivable sur I
pour tout k 2 N
• C n (I, E) l’ensemble des fonctions de classe C n sur I
• C 1 (I, E) l’ensemble des fonctions de classe C 1 sur I
Fonctions coordonnées
Soit f : I ! E de fonctions coordonnées f1 , · · · , fp dans une base de E. On a
équivalence entre:
1. f 2 Dn (I, E)
i=1
p
X
2. 8i 2 [[1, p]] , fi 2 Dn (I, E)
Auquel cas f (n) =
Mêmes résultats si on remplace Dn par C n ou par C 1
[a,b]
: Définition.
C ONTEXTE
: Résultat de cours.
(fn )n2N est une suite de fonctions définies sur A à valeurs dans F où A ⇢ E avec E
et F sont de K-espaces vectoriels normés de dimensions finies.I intervalle de R.
n!+1
M ODE DE CONVERGENCE
Convergence simple
A
!f
cvs
On dit que (fn )n converge simplement sur A si, et seulement si, pour tout
x 2 A la suite (fn (x)) converge dans F .
On appelle limite ou limite simple de la suite (fn (x)), la fonction f 2 F A
définie par: 8x 2 A, f (x) = lim fn (x).
On écrit fn
!f
cvu
8
< • fn
cvs
A
A
f k1
!0
n!+1
f (xn )) 6! 0, alors fn ne converge pas
N
9("n ) 2 R+
, telle que lim "n = 0
8x 2 A, k fn (x) f (x) k 6 "n à pcr
: • k fn
(
f ) est bornée
On dit que la suite de fonction (fn )n converge uniformément vers f si :
Convergence uniforme
n!+1
! f ou fn
cvu
()
()
!f
1. Il existe n0 à partir duquel (fn
2. kfn f k1
!0
On note fn
A
cvu
A
!f
Propriété caractéristique
fn
A
! f et 9(xn ) 2 AN tq (fn (xn )
cvs
La non convergence uniforme
Si fn
cvs
A
! f.
uniformément vers f sur A
cvu
A
! f , alors fn
CU =) CS
Si fn
x!a
⇣
lim fn (x)
x!a
⌘
I NTERVERSION DES LIMITES
cvu
!f
A
n!+1
◆
= lim
La suite (bn ) converge ;
f admet une limite en a;
lim f (x) = lim bn
x!a
fn
Théorème d’interversion des limites
:
8
>
>
<•
•
>
>
:•
✓
lim fn (x)
n!+1
n!+1
Soit a 2 A.
8
<
8n 2 N, lim fn (x) existe et vaut bn 2 F ;
Si:
Alors:
x!a
Autrement-dit: lim
Si 8n 2 N, fn admet une limite bn en a 2 A et la suite (bn ) diverge, alors
(fn ) ne converge pas uniformément
: Démarche.
C ONTINUITÉ
: Astuce.
I
La suite
I
x
fn
Z
b
converge;
R
b
Z
a n!+1
f (t)dt et 8n 2 N, 'n : x 7 !
n!+1
converge et lim
I
fn =
x
I
fn (t)dt
f
Si:
Alors:
Si:
Si:
: Information
R ÉGULARITÉ DE LA LIMITE
: Attention.
8
>
<
>
:
>
>
:
•
8n 2 N, fn est de classe C 1 (I, F );
(fn ) converge simplement sur I;
(fn0 ) converge uniformément sur tout segment inclus dans I.
◆0
n!+1
= lim fn0 ;
lim fn 2 C 1 (I, F );
n!+1
✓
lim fn
n!+1
(fn ) converge uniformément sur tout segment inclus dans I.
p
8n 2 N ( ou à pcr
⇣ ) fn⌘2 C (I, F );
(k)
1]], fn
converge simplement sur I;
(p)
8k 2 [[0, p
✓
lim fn
◆(k)
8n 2 N ( ou à pcr ) fn 2 C 1 (I, F );
n!+1
= lim fn(k)
La suite⇣(fn )⌘CS sur I;
(p)
8p > 1, fn
CU sur tout segment inclus dans I.
(k)
lim fn est de classe C 1 sur I;
n!+1
lim fn
n!+1
◆(k)
n!+1
= lim fn(k)
8k > 0, fn CU sur tout segment inclus dans I;
On a les interversions
✓
Page: 10
(fn ) converge uniformément sur tout segment inclus dans I.
• On a les interversions
8k 2 [[0, p]] ,
n!+1
8
lim f est de classe C p sur I;
>
n
>• n!+1
<
⇣
⌘
(k)
• 8k 2 [[0, p]], fn
CU sur tout segment inclus dans I;
>
>
:
>
>
:
8
>
>•
<
•
>
>
:
•
8k 2 N,
C ONTACT I NFORMATION
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Alors:
8
>
>
<
Interversion limite-dérivées successives
Alors:
8
>
>
<
Soit p 2 N⇤ .
Interversion limite-dérivées successives
>
>
>
:
8
>
>•
>
<
•
Interversion limite-dérivée
: Exemple classique.
S UITES DE FONCTIONS
: Résultat pratique.
(
A
8n 2 N (ou à pcr) fn est continue sur A;
cvu
fn ! f.
Continuité par convergence uniforme
Si:
Alors: f est continue sur A.
Continuité par convergence uniforme locale
(
8n 2 N (ou à pcr) fn est continue sur A;
Si:
cvu
fn ! f sur tout compact inclus dans A.
Alors: f est continue sur A.
n
fn (t) dt =
lim fn (t) dt
Si A est un intervalle de R, on remplace compact par segment
b
fn
8n 2 N ( ou à pcr) fn 2 C([a, b], F );
(fn ) converge uniformément sur [a, b]
a
a
lim fn est continue
! sur [a, b];
Z
La suite
n!+1
On a l’interversion lim
Z
I NTERVERSION lim ET
Z
Interversion lim et
•
8
>•
>
>
>
>
<
Soit (fn ) une suite de fonctions de [a, b] dans F
(
Si:
Alors:
>
>
>
>
>
:•
Convergence uniforme et primitivation
Z
a
Soit (fn ) une suite de fonctions de C(I, F ). Si :
(fn ) converge uniformément sur tout segment inclus dans I vers f . Pour tout
a 2 I, on pose
':x7 !
a
Alors ('n ) converge uniformément sur tout segment inclus dans I vers '
T HÉORÈME DE CONVERGENCE DOMINÉ
Théorème de convergence dominée
:•
>
il existe ' 2 Cm (I, R+ ) intégrable telle que:
>
>
>
:
8n 2 N, |fn | 6 ' [hypothèse de domination]
8
sur I;
<• Les applications
✓Z
◆fn et f sont intégrables
Z
Z
Soit (fn )n2N une suite de fonctions de I à valeurs dans K telle que :
8
>
Pour tout n 2 N, fn 2 Cm (I, K);
>
>
>
cvs
<
fn ! f 2 Cm (I, K);
Si:
Alors:
Le théorème TCVD ne nécessite pas la convergence uniforme de la suite
de fonctions (fn ), mais la fonction limite doit être cpm sur I.
: Définition.
C ONTEXTE
fn (x) est appelée sa somme.
: Résultat de cours.
fn converge simplement sur A, si 8x 2 A la série
+1
X
X
n>0
fn (x)
(fn )n2N est une suite de fonctions définies sur A à valeurs dans F où A ⇢ E avec
E et F sont de K-espaces vectoriels normés de dimensions finies. Le plus souvent,
E = F = R et A = I un intervalle de R.
n
X
fk
k=0
M ODES DE CONVERGENCE
On note, pour tout entier naturel n : Sn =
X
Convergence simple
On dit que
n>0
converge et f : x 7 !
n=0
Convergence absolue
X
sur
A
X
fn converge
fn converge sim-
ssi
fn converge normalement si la série
X
X
On dit que
fn converge absolument si la série de fonction
k fn kF converge simplement.
Convergence normale
N
kfn k1 converge.
Soit (fn )n2N 2 (B(A, K)) . On dit que
X
numérique
! 0.
A
X
caractéristique de la convergence normale
P
converge
normalement
(cvn)
( fn
• 9 (an ) 2 R+ N / 8n 2 N, 8x 2 A : kfn (x)k 6 an
X
•
an converge
cvu
!0
A
fn converge uniformément vers f , alors fn
cvu
fn converge uniformément sur A si, et seulement, si
Proprieté caractéristique de la convergence uniforme
X
plement sur A et Rn
X
Condition nécessaire
Si
Cas d’une série alternée
!0
A
cvu
fn (x) est alternée vérifiant le CSSA, alors
On suppose que F = R.
X
Si 8x 2 A, la série
n>0
uniformément sur A si, et seulement, si fn
CU
CS
Comparaison des modes de convergence
CN
CA
Toutes les autres implications sont fausses.
X
n>0
! `n 2 F
+1
X
`n =
+1
X
n=0
lim fn (x)
x!a
C ONTINUITÉ
n=0
fn admet une limite en a;
`n converge;
+1
X
fn (x) =
n=0
P
: Démarche.
est continue sur A.
I
fn =
|
I
b
P
+1
X
n=0
fn | 6
fn
+1
X
n=0
ET
R
!
fn (t) dt =
+1 Z
X
n=0
|fn |.
+1 Z
X
b
fn (t)dt
!
Si:
Si:
: Information
R ÉGULARITÉ DE LA LIMITE
: Attention.
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
8
>
>
>•
>
>
>
>
>
<
>•
>
>
>
>
>
>
>•
:
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
fn0 converge uniformément sur tout segment inclus I.
n>0
8n 2 N, fn 2 C 1 (I, F );
X
La série
fn converge simplement sur I;
X
n>0
n>0
+1
X
fn 2 C 1 (I, F ) ;
n=0
!
0
+1
+1
X
X
fn =
fn0 ;
X n=0
fn converge uniformément sur tout segment inclus I
n=0
La série
X
n>0
+1
X
n=0
n>0
fn
!(k)
=
+1
X
fn(k) ;
fn(p) converge uniformément sur tout segment inclus dans I.
n>0
n=0
n=0
X
fn(k) converge uniformément sur tout segment ⇢ I
+1
X
fn 2 C p (I, F );
8k 2 [[0, p]] ,
8k 2 [[0, p]] ,
fn
!(p)
=
+1
X
n=0
fn(p) .
Page: 11
fn(p) converge uniformément sur tout segment ⇢ I.
+1
X
n=0
fn est de classe C 1 sur I et on a :
n>0
X
8n 2 N, fn 2 C 1 (I, F );
X
fn converge simplement sur I;
n>0
8p > 1,
+1
X
n=0
8p 2 N,
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Alors: la somme
Si:
Dérivation terme à terme: Classe C 1
8
>
>
>
>
>•
>
>
>
>
<
Alors: •
>
>
>
>
>
>
>
>
>•
:
>
>
>
>
:
Soit p > 1.
8
8n 2 N, fn 2 C p (I, F );
>
>
X
>
>
<
8k 2 [[0, p 1]] ,
fn(k) CS sur I;
Dérivation terme à terme: Classe C p
Alors:
Dérivation terme à terme: Classe C 1
: Exemple classique.
S ÉRIES DE FONCTIONS
: Astuce.
I NTERVERSION lim ET
: Résultat pratique.
+1
X
n=0
x!a
Interversion limite-somme
n>0
lim
x!a
La somme
La série
8n 2 N, fn (x)
Soit a 2 A un point adhérent.
8
X
>
fn converge uniformément sur A;
<
Si:
>
:
8
>•
>
>
>
>
>
>
>
<
Alors: •
>
>
>
>
>
>
>
>
:•
(
+1
X
fn
I NTERVERSION
!
Z
CV et on a:
n>0
n>0
f est continue
par morceaux sur I;
XZ
|fn | converge.
La série
f=
Z
I
n=0
La fonction f est intégrable sur I;
Z
Z X
+1
+1 Z
X
I
Z
I n=0
|f | =
I
8n 2 N, fn : I ! K est contnue par morceaux et intégrable;
X
La série
fn converge simplement sur I de somme f ;
a
8n 2 N, fn 2 C(A, F );
X
fn converge uniformément sur tout compact inclus dans A.
Continuité par convergence uniforme sur tout compact
Si:
Alors : la somme
n=0
b
fn
est continue;
a
a
8n 2 N, fn 2 C ([a, b], F ) ;
X
fn converge uniformément sur [a, b].
1
X
fn
X Z
n=0
n>0
n=0
Si A est un intervalle de R, on remplace compact par segment
(
8
>
>
>•
>
<
Intégration terme à terme sur un segment
Si:
Alors:
>
>
>
>
:•
8
>
<•
>
>
>
>
>
>
>
:
8
>
>
>
>
>
>
>
<
Convergence dominée (Intervalle quelconque)
Si:
Alors:
>•
:
En outre
I
Définition
Soit (an ) 2 CN .
: Définition.
S ÉRIES ENTIÈRES
n
X
X
an z n .
an z n .
est l’ensemble
est appelée la somme de la
n
n>0
: Résultat de cours.
an z
n>0
On appelle série entière associée à la suite (an ) la série de fonctions
X
n>0
• Les nombres an s’appellent coefficients de la série entière
• Le domaine de convergence de la série entière
X
an z
an z n converge}
n=0
+1
X
n>0
! C, z 7 !
D := {z 2 C/
• L’application S : D
série
Lemme d’Abel
Soit r 2 R+?
8z 2 B(0C , r), la série
n>0
0
X
X
n>0
1
n>0
|an | rn diverge}
= inf{r 2 R+ , (an rn )n non bornée}
= inf{r 2 R+ , an rn 6 ! 0}
X
an rn dinverge}
= inf{r 2 R+ ,
X
an+p z n A
= inf{r 2 R+ ,
0
n>0
X
an z n est l’élément de R+ [ {+1}:
1
an z n+p A = Rc @
|an | rn converge}
n>0
tel que (an rn )n soit une suite bornée avec (an )n 2 CN . Alors
X
an z n converge absolument
n>0
Rayon de convergence
n>0
X
Le rayon de convergence de la série
R
1
a n z n A = Rc @
n>0
= sup{r 2 R+ , (an rn )n est bornée }
= sup{r 2 R+ , an rn
! 0}
n!+1
X
an rn converge }
= sup{r 2 R+ ,
X
= sup{r 2 R+ ,
0
n>0
C ONVERGENCES D ’ UNE SÉRIE ENTIÈRE
Rc @
X
an z n est continue sur D(0, R).
an z n une série entière de rayon de convergence R > 0.
Convergence d’une série entière
Soit
n>0
n=0
an Rn CA, alors
n>0
X
an z n CN sur Df (0, R).
• La série entière converge absolument sur le disque de convergence
D(0, R) = {z 2 C/ |z| < R} ;
• La série entière converge normalement sur tout disque fermé Df (0, R1 )
avec 0 < R1 < R ;
+1
X
X
• f : z 7!
• Si
n>0
an z n et
n>0
: Astuce.
: Démarche.
C ALCUL DE RAYON
bn z n de rayons respectifs Ra et Rb .
an z n et
sn z n et
X
bn z n de rayons de convergences respectifs Ra et Rb et
+1
X
n=0
+1
X
n=0
!
⇥
+1
X
n=0
!
bn z n .
bn z n ;
8z 2 D(0, R),
an z n
an z n +
+1
X
n=0
an z n
1
X
n
X
k=0
nan z n
1
an
Soit Rs
est de rayon
k bk .
pn z n respectivement somme et produit de Cauchy des
n>0
X
n>0
1
. Avec la
`
Soit
: Information
an xn .
n=0
+1
X
an
xn+1
où k 2 C
n+1
R, R[ s’écrivent
an xn une série entière réelle de rayon de convergence R et de somme
C AS DES SÉRIES RÉELLES
: Attention.
X
n>0
+1
X
n=0
x 7! k +
+1
X
n=p
n=0
(n
n!
p)!
+1
X
f (n) (0) n
x
n!
f (p) (x) =
an xn
p
an xn une série entière réelle de rayon de convergence R et de somme
R, R[, K):
R, R[, 8p 2 N,
R, R[, f (x) =
f (n) (0)
et ainsi
n!
8x 2]
r, r[, f (x) =
an xn .
n>0
+1
X
n=0
Z
x
(x
f (x)
0
t)n
k!
xk
!
= 0;
f (n+1) (t) dt = 0.
n
X
f (k) (0)
n!
1. f est développable en série entière;
r, r[, lim
n!+1
2. 9r > 0, 8x 2]
r, r[, lim
Page: 12
Auquel cas les primitives et les dérivées successives de f sont DSE en 0
n!+1
3. 9r > 0, 8x 2]
k=0
Si f existe de classe C 1 au voisinage de 0. Les assertions suivantes sont équivalentes
Proprieté caractéristique
• On dit que f est développable en série entière en 0 s’il existe r > 0 tel
que f soit développable en série entière sur ] r, r[ .
que 8x 2]
s’il existe une série entière
• Soit r > 0. On dit que f est développable en série entière sur ] r, r[
X
an xn de rayon de convergence R > r telle
Soit I un intervalle tel que 0 2 ˚
I et f : I ! C
Fonction développable en série entière
En particulier an =
8x 2]
f . Alors f 2 C 1 (]
n>0
Régularité et coefficients
X
Alors les primitives de f sur ]
f : x 2 ] R, R[ 7 !
Soit
Primitive
: Exemple classique.
an z n est R =
an+1
= ` 2 R.
an
S ÉRIES ENTIÈRES
X
: Résultat pratique.
X
n>0
Critère de comparaison
Soient
• si an = O(bn ) ou an = o(bn ), alors Ra > Rb ;
• si an ⇠ bn , alors Ra = Rb .
Critère de D’Alembert
n>0
Si (an ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang et lim
n!+1
X
1
1
= +1 et
= 0.
0
+1
Alors le rayon de convergence de la série entière
convention
O PÉRATIONS SUR LES SÉRIES ENTIÈRES
n>0
X
X
Somme et produit
Soient
soient
n>0
deux séries précédentes i.e. 8n 2 N, sn = an + bn et pn =
sn z n =
pn z n =
X
n>0
an z n une série entière de rayon R. La série
0
0
1
X an
znA
np
np a n z n A = R c @
n>1
n>1
et Rp les rayons de convergence de ces deux dernières. Alors
1. Rs > min(Ra , Rb ), Rp > min(Ra , Rb ) ;
+1
X
n=0
+1
X
n=0
min(Ra , Rb ).
2. si Ra 6= Rb , alors Rs = min(Ra , Rb ) ;
•
•
3. on pose R =
X
Série dérivée
Soit
n>0
1
X
n>0
a n z n A = Rc @
de convergence R et dite série dérivée de
Soit p 2 N,
0
X
n>0
Rc @
C ONTACT I NFORMATION
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: Définition.
C ONTEXTE
: Résultat de cours.
Soient E, F , G et H des R-espaces vectoriels de dimensions finies non nulles. On
pose dimE = n et dimF = p.
Soient U ⇢ E et V ⇢ F deux ouverts non vide, a 2 U , f : U ! F , B = (e1 , . . . , en )
une base de E et C = ("1 , . . . , "p ) une base de F .
D ÉRIVÉES PARTIELLES ET DIFFÉRENTIELLES
Dérivée selon un vecteur
f (a + th) f (a)
On dit que f admet une dérivée en a suivant h 2 E\{0} si lim
t!0
t
existe ou encore si ' : t 7 ! f (a+th) est dérivable en 0. Dans ce cas, cette limite
s’appelle la dérivée de f en a suivant h et on la note '0 (0) = Dh f (a).
Dérivées partielles
• On appelle dérivées partielles de f en a les dérivées, lorsqu’elles existent,
de f en a suivant les vecteurs e1 , . . . , en .
@f
• La dérivée en a selon ei se note Di f (a) ou
(a).
@xi
@f
• x 7!
(x) s’appelle la i-ème application dérivée partielle de f sur U .
@xi
@f
On la note
.
@xi
D IFFÉRENTIELLE
Différentielle en un point
On dit que f est différentiable en a s’il existe une application linéaire ` de E
vers F et " une application de E dans F continue et nulle en 0 telles que 8h 2 E
tel que a + h 2 U : f (a + h) = f (a) + `(h) + k h k "(h) L’application ` est
h!0E
unique, appelée la différentielle de f en a et notée dfa . On écrit o(k h k) pour
k h k "(h).
Propriété
1.
2.
3.
4.
i=1
dfa (h) = Dh f (a) =
n
X
i=1
hi
@f
(a)
@xi
f est différentiable en a ) f est continue en a.
f est différentiable en a ) f est dérivable en a selon tout vecteur et:
8h 2 E \ {0}, dfa (h) = Dh f (a).
Si E = R. L’application f est différentiable en a si, et seulement, si f est
dérivable en a.
Auquel cas, 8h 2 R, dfa (h) = hf 0 (a).
Si f est différentiable en a alors les dérivées partielles de f en a existent
n
X
hi ei 2 E,
et on a 8h =
Différentielle
On dit que f est différentiable sur U si f est différentiable en tout point de U .
L’application df : x 2 U 7! dfx 2 L(E, F ) s’appelle la différentielle de f sur
U.
: Démarche.
: Attention.
: Information
hi
hi ei 2 E tel que a + h 2 U on a :
n
n
@f
1 XX
@2f
(a) +
hi hj
(a) +
@xi
2 i=1 j=1
@xi @xj
i=1
n
X
D ÉVELOPPEMENT DE TAYLOR D ’ ORDRE 2
n
X
i=1
Si f : U ⇢ E ! R de classe C 1 et a 2 U . Alors
Caractérisation de points critiques
a est point critique de f () 8i 2 [[1, n]] ,
Extrémums en dimension 2
khk2 .
@2f
(a, b), s =
@x2
rt < 0 et r > 0 alors f admet un minimum local stricte en a.
rt < 0 et r < 0 alors f admet un maximum local stricte en a.
rt > 0 alors a est un point col ou selle de f
rt = 0, on ne peut pas conclure
Soit f : U ⇢ R2 ! R de classe C 2 et a critique de f . On note r =
Si s2
Si s2
Si s2
Si s2
M ATRICE J ACOBIENNE
rf (a) =
@fi
(a)
@xj
n
X
@f
(a)ei
@xi
i=1
16i6p
16j6n
C ONTACT-I NFORMATION
Page: 13
Si f : U ⇢ E ! R est une application de classe C 1 alors pour tout a 2 U ,
il existe un unique vecteur dans E noté rf (a) et appelé gradient de f en a
vérifiant 8h 2 E, Dh f (a) = (rf (a)|h)
De plus, si B = (e1, · · · , en ) est une BON de E alors
Gradient
E désigne un espace euclidien dont on note (.|.) le produit scalaire
G RADIENT
Si f1 , · · · , fp les coordonnées de f : Jf (a) =
On appelle matrice jacobienne relative aux bases B et C d’une application f :
U ⇢ E ! F différentiable en a 2 U la matrice de l’application linéaire dfa
relative aux bases B et C: Jf (a) = Mat (dfa ) 2 Mp,n (R)
B,C
✓
◆
Définition
1.
2.
3.
4.
@2f
@2f
(a, b) et t =
(a, b).
@y@x
@y 2
@f
(a) = 0
@xi
A PPLICATIONS AUX EXTRÉMUMS
f (a + h) = f (a) +
Soit f 2 C 2 (U ). Alors 8h =
Propriété
: Exemple classique.
C ALCUL DIFFÉRENTIEL
: Astuce.
F ONCTIONS DE CLASSE C k
: Résultat pratique.
Définition
On dit que f est de classe :
• C k ( k > 1 ) sur U si ses dérivées partielles d’ordre k existent et sont
continues sur U .
• C 1 sur U si 8k 2 N⇤ , f est de C k sur U .
La notion de fonction de classe C k ne dépend pas du choix de la base B.
Somme
Soit k 2 N⇤ [ {1}. Soiet f, g : U ⇢ E ! F et , µ 2 R.
Si f et g sont de classe C k alors f + µg est de classe C k et
@( f + µg)
@f
@g
=
+µ
@xi
@xi
@xi
Composition par une application bilinéaire
@B(f, g)
=B
@xi
Soit k 2 N⇤ [ {1}. Soit f : U ⇢ E ! F, g : U ⇢ E ! G et B : F ⇥ G ! H
bilinéaire. Si f et g sont de classe C k alors B(f, g) l’est aussi et
✓
◆
✓
◆
@f
@g
, g + B f,
@xi
@xi
Propriété
Si f 2 C k (U, F ) et g 2 C k (U, K), alors gf 2 C k (U, F ). Si de plus g ne s’annule
f
est de classe C k
g
pas sur U alors
Lien avec les composantes
Soit f : U ⇢ E ! F . Alors f est de classe C k sur U ssi ses fonctions composantes sont de classe C k sur U
Règle de la chaine
p
G RADIENT
X @fi
@(g f )
@g
(a) =
(a).
(f (a))
@xj
@xj
@yi
i=1
Soit f : U ⇢ E ! F et g : V ⇢ F ! G deux fonctions de C k telles que
f (U ) ⇢ V , alors g f est de C k et 8a 2 U
8j 2 [[1, n]] ,
Formule d’intégration
Gradient
1
avec f1 , · · · , fp les fonctions coordonnées de f .
E désigne un espace euclidien dont on note (.|.) le produit scalaire
i=1
@2f
@2f
=
.
@xi @xj
@xj @xi
Soit
!R
F est
uneune
application
de classe
C etC 1 alors
: [0, 1]pour
!E
estaun
Si f f: :UU⇢⇢EE !
application
de classe
tout
2 arc
U,
de
classeun
C 1 unique
inscrit dans
U d’extrémités
= (a)
(0) et
et appelé
b = (1)gradient
alors de f en a
il existe
vecteur
dans E notéa rf
Z
1
vérifiant 8h 2 E, Dh f (a) = (rf (a)|h)
f (b) f (a) =
df (t) ( 0 (t)) dt
De plus, si B = (e1, · · · , en ) est une BON
de E alors
0
En particulier si U est un ouvert connexe par arcs alors f est constante si, et
n
X
@f
seulement si, df = e
0
rf (a) =
(a)ei
@xi
Soit f 2 C 2 (U, F ). Alors :
Théorème de Schwarz
2
8i 6= j 2 [[1, n]] ,
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: Définition.
P RODUIT SCALAIRE
E désigne un R-espace vectoriel
E est dit espace préhilbertien
: Démarche.
1/2
: Exemple classique.
: Attention.
: Information
S YMÉTRIE ORTHOGONALE
: Astuce.
P ROJECTEURS ORTHOGONAUX
?
Propriété
H = Vect(a
b)?
Soient a, b 2 E tels que kak = kbk et a 6= b.
Il existe une réflexion et une seule qui échange a et b.
Propriété
sF est un endomorphisme de E vérifiant s2 = id, Ker(s
id) = F ? . De plus sF = sF ? et sF = 2pF id
sF (x) = 2
j=1
p
X
< x|a >
a
kak2
< x|a >
a
kak2
x
< ej , x > e j
Si B = (e1 , · · · , ep ) est une base orthonormée de F alors
Expression du symétrique
8x 2 E,
sD (x) = 2
2
Soit s une symétrie de E. On a équivalence entre:
Propriété caractéristique
Les symétries ? conservent le produit scalaire
8x, y 2 E, (s(x)|s(y)) = (x|y)
8x 2 E,
ks(x)k = kxk
x
En particulier, les symétries orthogonales conservent la norme
C ONTACT I NFORMATION
Page: 14
La matrice d’une symétrie orthogonale dans une base orthonormée est
symétrique.
1. s est une symétrie orthogonale
2. 8x, y 2 E, (s(x)|y) = (x|s(y)).
3. 8x 2 E, k s(x) k = kxk
id) = F et Ker(s +
On appelle symétrie orthogonale par rapport à F la symétrie vectorielle sF par
rapport à F parallèlement à F ? .
Si F est un hyperplan de E, on dit que sF est la réflexion par rapport à F .
Définition
Soit F un sous-espace vectoriel d’un préhilbertien E tel que F et F ? sont supplémentaires dans E
Propriété
Soit p un projecteur de E. Alors
?
pF est un endomorphisme de E vérifiant p2 = p, Imp = F et Kerp = F ? . De
plus id p projection orthogonale sur F ?
Propriété
On appelle projection orthogonale sur F la projection vectorielle pF sur F parallèlement à F ? .
Définition
Soit F un sous-espace vectoriel d’un préhilbertien E tel que F et F ? sont supplémentaires dans E
: Résultat pratique.
E SPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS
: Résultat de cours.
' est bilinéaire
' est symétrique i.e. 8x, y 2 E, '(x, y) = '(y, x)
' est positive i.e. 8x 2 E, '(x, x) > 0
' est définie i.e. 8x 2 E, '(x, x) = 0 ) x = 0.
On appelle produit scalaire sur E toute application ' : E ⇥ E ! R vérifiant
Définition
1.
2.
3.
4.
Norme euclidienne
Kerp ? Imp () Kerp = (Imp) () Imp = (Kerp)
Tout projecteur vérifiant l’une des trois assertions est projecteur orthogonal
Propriété caractéristique
Soit E un espace préhilbertien. p
L’application k . k : x 2 E 7 ! < x|x > est une norme sur E dite norme
euclidienne
Identités et inégalités classiques
Soit p 2 L(E) un projecteur. On a équivalence entre :
< ej , x > e j
1 (ek )
1 (ek )k
8x 2 E,
Soit D = Vect (a) et H = D? avec a 6= 0. Alors
p
X
Pk
Pk
et
Exemple
pF (x) =
j=1
ek
kek
sH (x) = x
La matrice d’un projecteur orthogonal dans une base orthonormée est
symétrique.
8x 2 E,
Si B = (e1 , · · · , ep ) est une base orthonormée de F alors
Exemple
?
Soit D = Vect (a) et H = Vect(a) avec a 6= 0. Alors
< a|x >
a
kak2
pF (x)k avec égalité ssi, y = pF (x).
< a|x >
8x 2 E, pD (x) =
a et pH (x) = x
kak2
• Vect("1 , . . . , "k ) = Vect(e1 , . . . , ek ).
• < "k , ek >> 0.
Cette famille est donnée par :
e1
et 8k 2 [[2, n]] ,
ke1 k
8x 2 E,
Expression du projeté
1. p est un projecteur orthogonal
2. 8x, y 2 E, < p(x)|y >=< x|p(y) >.
3. 8x 2 E, kp(x)k 6 kxk
Soit E un préhilbertien. Pour tout x, y 2 E
• Inégalité de Cauchy-Schwarz: 8x, y 2 E, |< x|y >| 6 kxk.kyk.
Il y a égalité si, et seulement si, (x, y) est liée.
O RTHOGONALITÉ
• Inégalité de Minkowski: 8x, y 2 E, kx + yk  kxk + kyk.
Il y a égalité ssi x et y sont positivement liés
Définition
La famille (xi )i2I de vecteurs de E est dite
• orthogonale si 8i, j 2 I, i 6= j )< xi , xj >= 0.
• orthonormale si 8i, j 2 I, < xi , xj >= ij .
Une famille orthogonale sans vecteur nul est libre.
Toute famille orthonormale est libre.
Tout espace euclidien, non nul, admet une base orthonormale;
Toute famille orthonormale d’un euclidien se complète en une BON.
Propriété
•
•
•
•
Pour tout y 2 F , kx
yk > kx
Autrement-dit d (x, F ) = kx pF (x)k
Minimisation de distance
Calcul avec une BON
Algorithme de Gram-Schmidt
k=1
yk )
2
E euclidien et B = (e , . . . , en ) une BON sur E et soit u 2 L(E).
1
n
n
X
X
xk ek , y =
yk ek , alors:
k=1
k=1
v
u n
uX
(xk
yk = t
v
u n
uX
xk =< ek , x > et kxk = t
xk2 .
xk yk et kx
"1 =
Avec Pi désigne le projecteur ? sur Vect("1 , . . . , "i )
"k =
Soit (e1 , . . . , en ) une famille libre de E . Il existe une et une seule famille orthonormée ("1 , . . . , "n ) de E telle que : 8k 2 [[1, n]]
Soit x =
k=1
n
X
k=1
• 8k 2 [[1, n]] ,
• < x, y >=
B
• Mat(u) = (hei , u(ej )i)16i,j6n
Existence de supplémentaire orthogonal
Si F un sev de dimension finie d’un préhilbertien E alors les espaces F et F ?
sont supplémentaires dans E.
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: Définition.
FAMILLE TOTALE
hen | xi2 6 kxk2
E un espace préhilbertien réel et (en )n2N une suite de E
Inégalité de Bessel
n2N
2
: Astuce.
min
: Démarche.
max
= min (Sp (u)) et
Extrémum sur la sphère
Soit u 2 S(E). Posons
•
•
•
•
2
2/2
: Attention.
: Information
A PPLICATIONS AUX EXTREMA
0
Iq
..
.
···
0
cos ✓
sin ✓
···
..
.
R1
..
.
···
.
···
..
.
0
..
1
0
sin ✓A
cos ✓
1
0
. C
C
.. C
. C
C
.. C
C
0A
Rr
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Page: 15
• le signe de sin ✓ est celui de Det(u, x, f (x)) où x est un vecteur non colinéaire à u
• Pour déterminer cos ✓, on utilise la trace de f ;
• Pour déterminer une telle base on prend u normé qui engendre Ker(f
id), v unitaire et orthogonal à u et w = u ^ v;
Comment déterminer les éléments de f
f est dite la rotation d’axe dirigé et orienté par u et d’angle ✓.
0
1
@0
0
Soit f 2 O+ (E), alors il existe une BON directe B = (u, v, w) dans laquelle la
matrice de f est de la forme
Isométries positives en dim 3
✓
◆
cos ✓k
sin ✓k
où pour tout k 2 [[1, r]], on note : Rk =
avec ✓k 2 ]0, 2⇡[\{⇡}
sin ✓k
cos ✓k
et p, q, r sont des entiers naturels tels p + q + 2r = n (si l’un de ces entiers est
nul, les blocs de matrices correspondants n’existent pas).
0
Ip
B
B
B0
B
Mat (u) = B ...
B
B
B
@ ...
0
Soit u 2 O(E) avec n > 2. Il existe une BON B de E telle que
Réduction des endomorphismes ?
E désigne un plan euclidien orienté,
R ÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ?
⇤
1. Si Sp (Hf (a)) ⇢ R+
, alors f admet un minimum local en a;
2. Si Sp (Hf (a)) ⇢ R⇤ , alors f admet un maximum local en a;
3. Si Hf (a) admet deux valeurs propres de signes opposés, alors a est un
point col ou selle.
Soit U ⇢ E
non vide, a 2 U et f : U ! R une fonction de classe C 2 .
✓ un ouvert ◆
@2f
Hf (a) =
(a)
est la matrice Hessienne de f en a. On suppose
@xi @xj
16i,j6n
que f admet un point critique en a, alors:
Applications aux extrema
: Exemple classique.
= max (Sp (u)). Alors
kxk
8x 2 E, ku(x)k = kxk;
8x, y 2 E, < u(x), u(y) >=< x, y >;
u transforme toute BON de E une BON de E;
u transforme une BON de E une BON de E.
la matrice A est orthogonale
la famille (C1 , · · · , Cn ) est orthonormale
la famille (L1 , · · · , Ln ) est orthonormale.
A est la matrice de passage d’une BON à une BON
u 2 O(E) () MatB (u) 2 On (R)
On (R) est isomorphe à O(E);
On+ (R) w O+ (E) = {u 2 O(E); det u = 1};
On (R) w O (E) = {u 2 O(E); det u = 1}.
Soit u 2 L(E) et B une BON de E. Alors
Lien avec les matrices
• A 2 On (R), alors det A = ±1.
• On+ (R) = {M 2 On (R), det M = 1} est un sous-groupe de On (R)
• On (R) = {M 2 On (R), det M = 1} n’est pas un groupe
Propriété
1.
2.
3.
4.
Soit A 2 Mn (R) de colonnes C1 , · · · , Cn et de lignes L1 , · · · , Ln . On a équivalence entre :
Propriétés caractéristiques
Une matrice réelle A 2 Mn (R) est dite orthogonale si t AA = In .
On (R), l’ensemble de matrices orthogonales, est un groupe, appelé
groupe orthogonal d’ordre n.
Matrices orthogonales
1.
2.
3.
4.
Soit u 2 L(E). Les assertions suivantes sont équivalentes:
Propriété caractéristique
Si u 2 O(E), alors Sp (u) ⇢ { 1, 1}.
Propriété
O(E), l’ensemble des automorphismes orthogonaux, est un groupe, appelé le groupe orthogonal de E.
8x 2 E, ku(x)k = kxk
Soit u 2 L(E). On dit que u est orthogonal si
Endomorphisme orthogonal
E désigne un euclidien de dimension n > 1
E NDOMORPHISMES ORTHOGONAUX
• 8x 2 E : min k x k 6< u(x), x >6
• min {< u(x), x > , k x k = 1} = min
• max {< u(x), x > , k x k = 1} = max
max
E XTRÉMUM SUR LA SPHÈRE
: Résultat pratique.
E SPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS
: Résultat de cours.
Si (en )n2N est orthonormale. Alors 8x 2 E la famille (< en | x >)n2N est de
carré sommable et
X
Famille totale
La famille (en )n2N est dite totale si l’espace vectoriel qu’elle engendre est dense
dans E. Autrement-dit
Vect((en )n2N ) = E
Base hilbertienne
(en )n2N est dite base hilbertienne si elle est à la fois orthonormale et totale
Propriété
n!+1
Soit (en )n2N base hilbertienne de E et Pn le projecteur orthogonal de E sur
Vect (e0 , · · · , en ), alors 8x 2 E, Pn (x)
!x
Soit (en )n2N
Égalité de Parseval
n2N
une base hilbertienne de E. Alors pour tout x 2 E la famille
X
hen | xi2 = kxk2 .
(< ei | x >)i2N est de carré sommable et
E NDOMORPHISMES SYMÉTRIQUES
E un espace préhilbertien
Endomorphisme symétrique
< u(x), y >=< x, u(y) >
Soit u 2 L(E). On dit que u est symétrique si:
8x, y 2 E,
S (E) désigne l’ensemble des endomorphismes symétriques de E
?
Soit u 2 S(E) et F un sev de E stable par u. Alors F ? est stable par u
Stabilité- Image et noyau
Cas euclidien
Soit E un espace euclidien et u 2 S (E), alors Im (u) = (Keru)
Propriété caractéristique
B
Soit E un espace euclidien, B une BON de E et u 2 L(E).
Alors u 2 S(E) () Mat (u) 2 Sn (R)
Soit E un espace euclidien et u 2 L(E).
Endomorphismes involutifs, idempotents
1. u est un projecteur ? ssi u 2 S(E) et u2 = u;
2. u est une symétrie ? ssi u 2 S(E) et u2 = idE .
Théorème spectral
Soit A 2 Sn (R), alors il existe P 2 On (R) tel que t P AP soit diagonale.
Tout endomorphisme symétrique d’un espace euclidien E est diagonalisable
dans une BON.
Soit
f
: Définition.
|fn | converge.
+1 Z
X
n=0
I
✓Z
fn
◆
n2N
con-
: Résultat de cours.
8n 2 N, 8x 2 I |fn (x)| 6 '(x)
I
C ONVERGENCE DOMINÉE POUR LES SUITES
une suite de fonctions telle que:
Convergence dominée pour les suites
(fn )n2N
I
• 8n 2 N, fn : I ! K est cpm;
cvs
• fn ! f et f : I ! K cpm sur I;
!
• il existe ' 2 Cm (I, R+ ) intégrable telle que
fn
n!+1
I
Alors les applications fn et f sont intégrables sur I, la suite
Z
Z
verge et
I
I
fn =
fn
C ONVERGENCE DOMINÉE POUR LES SÉRIES
Soit (fn )n2N une suite de fonctions telle que:
Convergence dominée pour les séries
n>0
XZ
n>0
Z X
+1
I n=0
• 8n 2 N, fn : I ! K est cpm et intégrable sur I;
X
fn cvs sur I de somme f cpm sur I;
• La série
• La série
Alors f est intégrable sur I et on a:
Astuce
Si la domination dans le cas des séries n’est pas accessible vous pouvez utiliser
le TCVD appliqué à la suite des sommes partielles.
C ONTINUITÉ PAR DOMINATION GLOBALE
⇢
A⇥I !K
où A ⇢ Rn telle que:
(x, t) 7! f (x, t)
Propriété
Soit F :
• 8t 2 I, x 7 ! f (x, t) est continue sur A;
• 8x 2 A, t 7 ! f (x, t) est cpm sur I;
• Il existe ' 2 Cm (I, R+ ) intégrable telle que
8(x, t) 2 A ⇥ I, |f (x, t)| 6 '(t)
I
Alors 8x 2 A, la fonction t 7 ! f (x, t) est intégrable sur I et
Z
f (x, t)dt est continue sur A
F :x2A7 !
' ne dépend pas de x
: Astuce.
: Démarche.
- C LASSE C 1
: Attention.
: Information
D ÉRIVATION SOUS SIGNE
Alors F : x 7 !
Z
Z
I
I
+1
tx
1
e
8(x, t) 2 [a, b] ⇥ I,
R
- C LASSE C n
Z
I
- C LASSE C 1
@kf
(x, t)dt
@xk
@nf
(x, t) 6 'n (t)
@xn
R
F (k) (x) =
f (x, t)dt est de classe C n sur J et
t
⇤
dt est de classe C 1 sur R+
F (n) (x) =
Z
I
@nf
(x, t)dt
@xn
f (x, t)dt est de classe C 1 sur J et
8n 2 N⇤ , 8x 2 J,
'n ne dépend pas de x
Z
0
Gamma d’Euler
x7 !
Page: 16
• Pour tout x 2 J, t 7 ! f (x, t) est cpm et intégrable sur I;
@nf
• Pour tout n 2 N⇤ , l’application f admet une dérivée partielle
con@xn
tinue par rapport à la première variable, continue par morceaux par rapport à la seconde
• Pour tous [a, b] ⇢ J et n 2 N⇤ , il existe 'n 2 Cm (I, R+ ) intégrable telle
que:
@nf
8(x, t) 2 [a, b] ⇥ I,
(x, t) 6 'n (t)
@xn
Soit f : J ⇥ I ! K une fonction telle que:
Classe C 1
D ÉRIVATION SOUS SIGNE
'n ne dépend pas de x
8k 2 [[1, n]] , 8x 2 J,
Alors F : x 7 !
@if
• 8i 2 [[0, n 1]] et 8x 2 J, l’application t 7 !
(x, t) est cpm et inté@xi
grable sur I;
@nf
•
qui est continue par rapport à la première variable et cpm par rap@xn
port à la seconde
• Pour tout [a, b] ⇢ J, il existe 'n 2 Cm (I, R+ ) intégrable telle que:
Soit n 2 N⇤ et f : J ⇥ I ! K une fonction admettant des dérivées partielles
@f
@nf
, · · · , n tels que:
@x
@x
Classe C n
: Exemple classique.
I NTÉGRALES PARAMÉTRÉES
: Résultat pratique.
C ONTINUITÉ PAR DOMINATION LOCALE
⇢
A⇥I !K
où A ⇢ Rn telle que:
(x, t) 7! f (x, t)
Propriété
Soit F :
• 8t 2 I, x 7 ! f (x, t) est continue sur A;
• 8x 2 A, t 7 ! f (x, t) est cpm sur I;
• Pour tout compact K contenu dans A, il existe ' 2 Cm (I, R+ ) intégrable
telle que
8(x, t) 2 K ⇥ I, |f (x, t)| 6 '(t)
I
Alors 8x 2 A, la fonction t 7 ! f (x, t) est intégrable sur I et
Z
f (x, t)dt est continue sur A
F :x2A7 !
' ne dépend pas de x
Lorsque A intervalle de R, on remplace K par [a, b]
R
Dans la troisième assertion, on peut remplacer K par A et obtenir une
domination globale
D ÉRIVATION SOUS SIGNE
R
Soit f : J ⇥ I ! K une fonction telle que:
Dérivation sous le signe
I
• 8x 2 J, t 7 ! f (x, t) est cpm et intégrable sur I;
@f
• f admet sur J ⇥ I une dérivée partielle
qui est continue par rapport
@x
à la première variable et cpm par rapport à la seconde
• Pour tout [a, b] contenu dans J il existe ' 2 Cm (I, R+ ) intégrable telle
que
@f
8(x, t) 2 [a, b] ⇥ I,
(x, t) 6 '(t)
@x
Z
Alors F : x 7 ! f (x, t)dt est de classe C 1 sur J et
I
Z
@f
(x, t)dt (Formule de Leibniz)
@x
8x 2 J, F 0 (x) =
' ne dépend pas de x
Cas d’un segment
a
Soit f : J ⇥ [a, b] ! K une fonction de classe C n sur J ⇥ [a, b].
Z b
f (x, t)dt est de classe C n sur J
Alors F : x 2 J 7 !
C ONTACT I NFORMATION
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Tribu
: Définition.
T RIBU
: Résultat de cours.
Soit ⌦ un ensemble et T une partie de P(⌦). On dit que T est une tribu de
parties de ⌦ si :
i2I
• ⌦ 2 T et 8A 2 T, on a A 2 T
[
• Pour toute (Ai )i2I au plus dénombrable d’éléments de T, on a
Ai 2 T.
\
i2I
Ai 2 T.
Le couple (⌦, T) s’appelle un espace probabilisable. Les éléments de T sont
appelés des événements et on a:
• ; 2 T et 8A, B 2 T, on a A [ B, A \ B et A \ B sont dans T.
• Pour toute (Ai )i2I au plus dénombrable d’éléments de T, on a
Système complet d’événements
Une famille au plus dénombrable (Ai )i2I d’événements est dite un système
complet d’événements si
i2I
P ROBABILITÉ
• 8i 2 I, Ai 6= ;
• 8(i, j) 2 I 2 i 6= j =) Ai \ Aj = ;,
[
Ai .
• ⌦=
Probabilité
Soit (⌦, T) un espace probabilisable
An
=
+1
X
n=0
P(An )
-additivité
On appelle probabilité toute application P de T dans R+ telle que
• P(⌦) = 1,
• Si (An )n2N
+1
[
n=0
une suite d’événements deux à deux incompatibles, alors
!
P
Le triplet (⌦, T, P) est appelé espace probabilisé et on a:
P
n
[
k=0
An
Ak
!
6
+1
X
n=0
k=0
P(An )
Sigma sous-additivité
P A = 1 P(A) et 0 6 P(A) 6 1.
P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B).
Si A ⇢ B, alors P(A) 6 P(B) et P(B \ A) = P(B)
Soit (An )n2N une suite des événements. Alors
+1
[
n=0
P(A)
• P(;) = 0.
• Soit A0 , · · · , An sont des événements deux à deux incompatibles
!
n
X
=
P(Ak ) Additivité finie
•
•
•
•
P
• On dit qu’un événement A est négligeable si P(A) = 0.
Événement négligeable, quasi-certain
• On dit qu’un événement A est quasi-certain ou presque sûr si P(A) = 1.
: Astuce.
: Démarche.
P ROBABILITÉS
: Résultat pratique.
: B
An
n!+1
= lim P
An
7 !
n!+1
n!+1
n
[
k=0
n
\
Ak
Ak
!
!
P(A \ B)
P(A)
= lim P(An )
PA (B) =
n
\
Ai
!
P(B|Ai )P(Ai ).
avec
: Information
U NIVERS AU PLUS DÉNOMBRABLE
: Attention.
n=0
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P
\
i2J
!2A
X
p!
P ({!}) = p!
P(A) =
Ai
=
i2J
C ONTACT I NFORMATION
Soit (Ai )i2I une suite d’événements indépendants pour la probabilité P avec
I est au plus dénombrable.
Si pour tout i 2 I, Bi = Ai ou Ai alors (Bi )i2I est une suite d’événements
indépendants pour la probabilité P .
Propriété
• On dit que (Ai )i2I est une famille d’événements mutuellement indépendants pour la probabilité P si pour toute partie J finie de I, on a
!
Y
P(Ai )
i 6= j ) P (Ai \ Aj ) = P (Ai ) P (Aj )
• On dit que (Ai )i2I est une famille d’événements deux à deux indépendants pour la probabilité P si pour tout i, j 2 I,
Soit (Ai )i2I une suite d’événements où I est au plus dénombrable.
Indépendance d’événements
I NDÉPENDANCE
N
Une probabilité sur (N, P (N)) est déterminée par le choix de (pn )n2N 2 R+
+1
X
pn = 1
Cas particulier ⌦ = N
8A ⇢ ⌦,
De plus, celle-ci est déterminée par
8! 2 ⌦,
Soit ⌦ un ensemble au plus dénombrable. Si (p! )!2⌦ est une famille de réels
positifs, sommable et de somme égale à 1 alors il existe une unique probabilité
P sur (⌦, P (⌦)) vérifiant
Univers au plus dénombrable
Soit ⌦ un ensemble au plus dénombrable , T = P(⌦) et P une probabilité sur
(⌦, T ). Alors (P ({!}))!2⌦ est une famille de réels positifs, sommable et de
somme égale à 1.
Univers au plus dénombrable
: Exemple classique.
1 ).
6= 0. Alors
L ES THÉORÈMES DE PROBABILITÉS
Continuité croissante
(⌦, T, P) un espace probabilisé
n=0
Soit (An )n2N une suite d’événements, alors
!
+1
[
P
En particulier si (An )n2N
+1
[
An
k=0
= lim P (An )
n!+1
= lim P
An
est croissante, alors:
!
P
n=0
Continuité décroissante
Soit (An )n2N
+1
\
n=0
une suite d’événements, alors
!
P
En particulier si (An )n2N
+1
\
n=0
est décroissante, alors:
!
P
Probabilité conditionnelle
!
= P(A1 )P(A2 |A1 ) · · · P(An |A1 \ · · · An
i=1
Soit A un événement avec P(A) > 0. Alors l’application
8
! R+
< T
PA :
est une probabilité sur (⌦, T ) dite conditionnée à A
n
\
Ai
une suite d’événements telle que P
Fromule des probabilité composées
Soit
(Ai )16i6n
P
i=1
Formule des probabilités totales
i2I
Soit (Ai )i2I un système complet d’événements. Pour tout événement B, la
X
P(B \ Ai ).
i2I
X
famille (P(B \ Ai ))i2I est sommable et P(B) =
Si de plus 8i 2 I, P (Ai ) 6= 0, alors P(B) =
P(A) ⇥ PA (B)
P(B)
Si A et B sont deux événements de probabilités non nulles, on a :
Formule de Bayes
PB (A) =
PAi (B)P(Ai )
Soient (Ai )i2I un système complet d’événements de probabilités non nulles et
A et B deux événements de probabilités non nulles. On a :
PA (B)P(A)
PB (A) = X
i2I
: Définition.
X(⌦)
x
1
(] 1, x]) 2 T
!
7 !
R
P (X = x)
(A) = {! 2 ⌦/X(!) 2 A}
X
x2X(⌦)\A
P (X = x)
1)
Espérance
: Astuce.
x2X(⌦)
: Démarche.
M OMENTS
Théorème du transfert
Variance
V (X) = E(X 2 )
Si X admet un moment d’ordre 2, alors:
Formule de Huygens ou de Kœnig
Propriété
V (aX + b) = a2 V (X)
1/2
: Attention.
: Information
L OIS DISCRÈTES USUELLES
et
et
V (X) = p(1
V (X) = np(1
p)
p)
X(⌦) = [[1; n]], 8k 2 [[1; n]],
n+1
n2 1
et V (X) =
2
12
1
p
et
V (X) =
1
X(⌦) = N⇤ , 8n 2 N⇤ ,
et on a: E(X) =
V (X) =
X(⌦) = N, 8n 2 N,
et
8k 2 N,
p
p
et P (X = 1) = p
P (X = k) =
P (X = n) = (1
P (X = n) =
P(Xn = k)
!
n!+1
k
k!
e
e
1
n
p)n
n!
C ONTACT I NFORMATION
n
1
p)n
p
k
Page: 18
Soit (Xn )n2N une suite de variables aléatoires indépendantes. On suppose que
pour tout n 2 N la variable Xn suit une loi binomiale B(n, pn ) avec lim npn =
n!1
> 0.
Alors
Poisson et Binomiale
et on a: E(X) =
Soit > 0. On dit qu’une VAR X suit une loi de Poisson (notée P( )) X ,!
P( ) si :
Loi de Poisson
Une variable X discrète à valeurs dans N⇤ . Alors X est sans mémoire si, et
seulement si, elle suit une loi géométrique
Loi sans mémoire (Concours Français)
p2
Soit p 2]0; 1[. On dit qu’une VAR X suit la loi géométrique de paramètre p
(notée G(p)) X ,! G (p), si :
Loi géométrique
et on a: E(X) =
Soit n 2 N⇤ . On dit que X suit la loi uniforme U ([[1; n]]) X ,! U ([[1, n]]) si :
Loi uniforme
et on a:E(X) = np
X(⌦) = [[0; n]] et 8k 2 [[0; n]], P (X = k) = Cnk pk (1
Soit p 2 [0; 1] et n 2 N. On dit que la VAR X suit la loi binomiale de taille n et
de paramètre p (notée B(n, p)) X ,! B(n, p) si :
Loi binomiale (ou des tirages avec remise)
et on a:E(X) = p
X(⌦) = {0; 1}, P (X = 0) = 1
Soit p 2 [0; 1]. On dit qu’une VAR X suit la loi de Bernoulli de paramètre p
(notée B(p)) X ,! B(p) si :
Loi de Bernoulli
: Exemple classique.
Si X est une VAR discrète admettant une variance alors pour tout (a, b) 2 R2 ,
aX + b admet une variance et
E(X)2
De plus lorsque V (X) existe, on appelle écart-type de X le réel
p
V (X).
Soit X une VAR discrète admettant une espérance et telle que la variable X
E(X) admet un moment d’ordre 2. On appelle variance de X le réel :
⇣
⌘
2
V (X) = E (X E(X))
(X) =
Soit r 2 N⇤ . Si X admet un moment d’ordre r alors X admet des moments
d’ordre s pour tout s 2 [[1; r]].
Propriété
Soit r 2 N⇤ . Si X r admet une espérance alors on dit que X admet un moment
d’ordre r qui est le réel mr (X) = E(X r ).
Moments d’ordre r
Soit g une fonction définie au moins sur X (⌦) et à valeurs dans R.Alors g(X)
admet une espérance ssi (g(x)P(X = x))x2X(⌦) est sommable.
Au quel cas
X
E(g(X)) =
g(x)P(X = x)
x2X(⌦)
• Si X > 0 et admet une espérance, alors E(X) > 0.
Si de plus E(X) = 0 alors X = 0 est quasi certain.
• Si X et Y admettent des espérances et X 6 Y alors E(X) 6 E(Y ).
• Si Y admet une espérance et |X| 6 Y , alors X aussi.
Propriétés
Lorsque E(X) = 0, on parle de variable centrée
On dit que X admet une espérance lorsque la famille (xP(X = x))x2X(⌦) est
sommable.
On appelle alors espérance de X, le réel
X
xP(X = x)
E(X) =
X est une variable aléatoire discrète
: Résultat pratique.
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
: Résultat de cours.
VARIABLES A LÉATOIRES DISCRÈTES
(⌦, T, P) désigne un espace probabilisé.
Variable aléatoire discrète
X
On appelle variable aléatoire définie sur (⌦, T ) toute application X de ⌦ dans
un ensemble R telle que:
8x 2 X(⌦),
Si de plus X(⌦) est un ensemble au plus dénombrable, on dit que la variable
est discrète
Loi d’une VARD
⇢
On appelle loi de probabilité de la VARD X (ou distribution de X)
l’application
PX :
PX est bien déterminée par l’ensemble de couples (x, P (X = x))x2X(⌦)
Soit X une VARD. Alors
Propriété
1
1. La famille ([X = x])x2X(⌦) est un système complet d’événements.
2. La famille (P (X = x))x2X(⌦) est sommable de somme 1
3. Pour tout A sous-ensemble de R, l’ensemble
X
P (X 2 A) =
est un événement de T que l’on notera [X 2 A]. et
Définition
X
P (X = k)
x!+1
k2X(⌦)
k6x
Soit X une variable aléatoire réelle.
On appelle fonction de répartition de X l’application FX : R ! R définie par
:
FX (x) = P(X 6 x)
On a aussi FX (x) =
Propriété
x! 1
1. 8x 2 R, FX (x) 2 [0; 1]
2. FX est croissante.
3. lim FX (x) = 0 et lim FX (x) = 1.
4. 8a 6 b 2 R, P (a < X 6 b) = FX (b) FX (a)
5. FX est continue à droite en tout point de R
6. FX est continue à gauche en x si, et seulement si, P(X = x) = 0
Loi d’une VARD et fonction de répartition
FX (xi
Si X(⌦) = {xi /i 2 I} tel que les xi sont rangés par ordre croissant alors pour
tout x 2 I tel que i 1 2 I (on a donc xi 1 < xi ) on a
P(X = xi ) = FX (xi )
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: Définition.
famille
: Astuce.
X
(x,y)2X(⌦)⇥Y (⌦)
g(x,y)=z
=
=
=
P([X = x] \ [Y = y])
X
=
=
s
s
X
X
X
x2X(⌦)
x2Y (⌦)
y2Y (⌦)
y2X(⌦)
X
Xi
P (X = x) P (Y = y)
x)
y) P (Y = y)
P (X = x) P (Y = s
P (X = s
(x,y)2X(⌦)⇥Y (⌦)
i=1
E (Xi )
g(x, y)P(X = x, Y = y)
i=1
famille
2/2
: Information
GX (t) = E tX =
p + pt
p + pt)
(t 1)
P(X = k)tk
> 0, alors
n
k=0
+1
X
F ONCTION GÉNÉRATRICE
: Attention.
Propriété
8n 2 N,
1. X admet une espérance
1
tp
P (X = n) =
Les assertions suivantes sont équivalentes
2. GX est dérivable en 1.
0
Dans ce cas: E (X) = GX
(1)
qt
(n)
2
GX (0)
n!
0
(GX
(1))
Les assertions suivantes sont équivalentes
Propriété
1. X admet un moment d’ordre 2
2. GX est deux fois dérivable en 1.
00
0
Dans ce cas: V (X) = GX
(1) + GX
(1)
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Page: 19
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N et GX sa fonction génératrice,
alors
Loi et fonction génératrice
GX (t) =
• Si X suit la loi géométrique G (p) avec p 2 ]0, 1[, alors
GX (t) = e
• Si X suit la loi de poisson P ( ) avec
GX (t) = (1
• Si X suit la loi binomiale B (n, p), alors
GX (t) = 1
• Si X suit la loi de Bernoulli B (1, p), alors
Fonctions génératrices usuelles
8t 2 [ 1, 1] ,
On définit sa fonction génératrice GX par
Définition
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N.
: Exemple classique.
y, Y = y)
x)
P (X = x, Y = y)
P (X = s
P (X = x, Y = s
(x,y)2X(⌦)⇥Y (⌦)
x+y=s
x2X(⌦)
x2Y (⌦)
X
s
y2Y (⌦)
y2X(⌦)
X
s
deux variables réelles
: Démarche.
L OI DE PROBABILITÉ
P (X + Y = s)
E(g(X, Y )) =
La variable Z
=
g(X, Y ) a une espérance ssi la
(g(x, y)P(X = x, Y = y))(x,y)2X(⌦)⇥Y (⌦) est sommable et dans ce cas
Théorème de Transfert
Si X et Y sont deux VAR indépendantes suivant des lois de Poisson de
paramètres respectifs et µ alors X + Y suit une loi de Poisson de paramètre
+ µ.
Stabilité des lois de poisson
Si X et Y sont deux VARD indépendantes suivant des lois binomiales de
paramètres respectifs (m, p) et (n, p) alors X + Y suit une loi binomiale de
paramètre (m + n, p).
Stabilité des lois binomiales
=
(x,y)2X(⌦)⇥Y (⌦)
x+y=s
Si X et Y sont des variables aléatoires réelles discrètes indépendantes, alors
P (X + Y = s)
S = X + Y est une variable aléatoire réelle discrète, et
Loi d’une somme
P(Z = z) =
Soit Z = g(X, Y ). Alors, Pour tout z 2 Z (⌦), on a :
Propriété
Z = g(X, Y ) est une variable aléatoire réelle discrète.
Propriété
g désigne une fonction de R2 dans R et X, Y
discrètes.
: Résultat pratique.
VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES
: Résultat de cours.
L OIS D ’ UN COUPLE DE VARD
X et Y désigneront deux variables discrètes définies sur un même espace probabilisé (⌦, T, P).
Définition
P(X = x, Y = y) = P([X = x] \ [Y = y])
la
On appelle loi du couple (X, Y ), ou encore loi conjointe des X et Y ,
l’ensemble des couples ((x, y), P(X = x, Y = y))(x,y)2X(⌦)⇥Y (⌦) où
Propriété
Avec
les
notations
précédentes,
alors
(P(X = x, Y = y))(x,y)2X(⌦)⇥Y (⌦) est sommable de somme 1
Lois marginales
P(X = x, Y = y)
La loi de X est appelé la première loi marginale du couple (X, Y ) et la loi de
Y est appelée la deuxième loi marginale du couple (X, Y ).
On peut obtenir les lois marginales à partir de la loi conjointe à l’aide des
égalités
X
X
P(X = x, Y = y)
y2Y (⌦)
x2X(⌦)
• 8x 2 X(⌦), P(X = x) =
• 8y 2 Y (⌦), P(Y = y) =
Loi conditionnelle
= y] de X l’ensemble des couples
8(x, y) 2 X(⌦) ⇥ Y (⌦) tel que P(Y = y) 6= 0 on a :
Soit y 2 Y (⌦) tel que P(Y = y) 6= 0.
On appelle loi conditionnelle à [Y
x, P[Y =y] (X = x) x2X(⌦) .
P(X = x, Y = y)
P[Y =y] (X = x) =
P(Y = y)
P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)
X et Y sont indépendantes si :8(x, y) 2 X(⌦) ⇥ Y (⌦)
Indépendance
Propriété
1. X et Y sont indépendantes
Les assertions suivantes sont équivalentes
2. 8(x, y) 2 R2 , [X 6 x] et [Y 6 y] sont indépendants
3. 8A, B ⇢ R, [X 2 A] et [Y 2 B] sont indépendants.
Indépendance héritée
Si X et Y sont indépendantes et si f et g sont deux fonctions numériques
définies respectivement sur X(⌦) et Y (⌦) alors f (X) et g(Y ) sont indépendantes.
L’espérance d’une somme
Xi
Si X1 , · · · , Xn admettant toutes des espérances.
Alors
!
n
n
n
X
X
X
admet une espérance: E
=
i=1
: Définition.
VARIABLE À DENSITÉ
(⌦, T, P ) est un espace probabilisé
: Résultat de cours.
Une variable aléatoire réelle X est dite de loi à densité si:
Définition
est de C 1 sur R privé d’un sous-ensemble fini F .
• sa fonction de répartition FX est continue sur R
•
FX
0
On appelle la densité de X la fonction définie sur R par fX (t) = FX
(t) pour
t 2 R \ F et fX (t) = 0 pour t 2 F
Soit
une densité d’une variable aléatoire réelle X.
Propriétés caractéristiques de la densité
fX
1
fX (t) dt est convergente et
1
1. fX est à valeurs réelles positives
2. fX est continue sur R, sauf éventuellement en un nombre fini de points
Z +1
Z +1
f (t) dt = 1
3.
Z
x
1
f (t) dt = 1
Z
f (t) dt
F (x)
f (t) dt
Soit X une variable aléatoire admettant une densité f .
Règles de calcul
1. Pour tout x réel :
(a) P (X = x) = 0
(c) P (X > x) =
(b) P (X < x) = P (X 6 x) =
Z +1
x
2. Pour tout intervalle I:P (X 2 I) =
I
S OMME DE DEUX VARIABLES
Discrète + à Densité
X
P (X = x) .FY (s
x)
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes dont les lois
sont discrète pour X et à densité pour Y . Alors la loi de S = X + Y est de
fonction de répartition
FS : s 7 !
x2X(⌦)
Somme de deux VAR à densité
:s7 !
Z
+1
1
fX (t)fY
(s
t) dt =
Z
+1
1
fX (s
t)fY
(t) dt
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes admettant respectivement des densités fX et fY . Alors la loi de S = X + Y est à densité, de
densité
fS
Somme de deux variables à densités et positives
fS (s) =
0
Si de plus X et Y sont à valeurs positives ou nulles, alors fS est définie sur R+
par
Z s
fX (t)fY (s t) dt
et est nulle sur R⇤
: Démarche.
M OMENTS
: Astuce.
g(t)f (t) dt
E(X)2
2
: Information
L OIS USUELLES
M OMENTS
ET VARIANCE
: Attention.
Et on a:
E(X) =
Loi exponentielle
Et on a:
f (x) = e
x
↵
1
et
V(X) =
0
e
et V(X) =
]0,+1[ (x)
E(X) =
x
2
1
2
↵
si x > 0
si x 6 0
C ONTACT I NFORMATION
Page: 20
Soit un réel strictement positif.
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre ; et
on note X ,! E( ), si elle admet pour densité la fonction f définie sur R par:
(
=
Soit ↵ et deux réels strictement positifs.
Définition
On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi Gamma de paramètre (↵, ); et
X E(X)
⇤
on
note
X ,!
(↵, ), si elle
f définie
sur R
Si X
admet
un écart-type
nonadmet
nul, Xpour
= densité la fonction
est appelée
la variable
(X)
par:
8
centrée réduite associée à X.< ↵ ↵ 1
x
x
e
si x > 0
(↵)
f (x) =
:
0
si x 6 0
able réduite.
Loi
gamma
Lorsque µ = 0 et = 1 on parle de la loi normale centrée réduite
Si X est une variable à densité telle que (X) = 1, on dit que X est une vari-
Définition
On
X ,!
N µ, à 2densité
et on admettant
a
Soitécrit
X une
variable
une variance. Alors pour tout réels a
et b, aX + b admet une variance et V(aX + b) = a2 V(X)
E(X) = µ et V(X) = 2
Propriété
Soit µ un réel, et un réel strictement positif.
Soitdit
X que
une X
VAR
On
est àdedensité.
loi gaussienne de paramètres (µ, 2 ) ou de loi normale de
X admet une variance
si, et seulement, si X admet un moment
d’ordre
et en
2
paramètres
(µ,
)
si
elle
admet
pour
densité
la
fonction
f définie
sur R2par:
cas d’existence, on a :
2✓
2 ◆
V(X) =
E(X)
1E X
(x
µ)2
f (x) = p exp
2 2
2⇡
Loi gaussienne de paramètres
Théorème de Huygens Kœing
Soient
a et
deux
réelsVAR
tels que
a < b. On
qu’une
variable
X tout
suit
Soit r 2
N⇤b et
X une
admettant
un dit
moment
d’ordre
r, aléatoire
alors pour
la
[a; b] si un
ellemoment
admet pour
densité
s 2loi
[[1,uniforme
r]] la VARsur
X admet
d’ordre
s la fonction f définie par:
8
< 1
si t 2]a; b[
Définition
f (t) = b a
2
Si la variable aléatoire X admet:
une
0 espérance
sinon et si la variable (X E(X))
admet une espérance, on appelle variance de X le réel
On note X ,! U([a; b]) et on a:
⇣
⌘
2
V(X) = E (X E(X))
a+b
(b a)2
E (X) =
et V p
(X) =
2
On appelle alors écart-type le réel
(X) = V(X) 12
Loi
uniforme
Propriété
: Exemple classique.
VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉS
: Résultat pratique.
Définition
1
Soit r 2 N⇤ et X une VAR à densité f .
On dit que X admet un moment d’ordre r, notée mr (X), si X r admet une
espérance et on a
Z +1
xr f (x) dx
mr (X) =
Le moment d’ordre 1 est appelé l’espérance
Domination
Soit X et Y deux VAR .
Si Y admet une espérance et si |X| 6 Y alors X admet une espérance
Pour tous réels a et b, E(aX + b) = aE(X) + b
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
Si X > 0 presque sûrement, alors E(X) > 0
Si X > Y presque sûrement, alors E(X) > E (Y )
Inégalité triangulaire: |E(X)| 6 E (|X|)
Si X ?? Y , alors E(XY ) = E(X)E(Y ).
Soient X et Y deux VAR admettant des espérances.
Propriété
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Théorème du transfert
Z
1
+1
Soient X une VAR de densité f et g une fonction continue sur R sauf
éventuellement en un nombre fini de points. Alors g(X) admet une espérance
Z +1
g(t)f (t) dt est absolument convergente. Au
1
E(g(X)) =
si, et seulement, si l’intégrale
quel cas
Propriété
V(X)
Si r 2 N⇤ et X admet un moment d’ordre r, alors 8s 2 [[1, r]] la VAR X admet
un moment d’ordre s
Définition
p
Si la variable aléatoire X admet une espérance et si la variable (X E(X))
admet
une espérance,
on appelle variance de X le réel V(X) =
⇣
⌘
2
E (X E(X)) .
On appelle alors écart-type le réel (X) =
Théorème de Huygens Kœing
V(X) = E X 2
Une VAR X admet une variance si, et seulement, si X admet un moment
d’ordre 2 et en cas d’existence, on a :
Propriété
Soit X une variable à densité admettant une variance. Alors 8a, b 2 R, aX + b
admet une variance et
V(aX + b) = a2 V(X)
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: Définition.
: Résultat pratique.
: Démarche.
C OVARIANCE
: Astuce.
P (Xi 2 Ii )
E (XY ) 6 E X 2 E Y 2
Il y a égalité si et seulement si X est quasi nulle ou Y est une fonction quasi
linéaire de X, c’est-à-dire, il existe un réel a tel que P (Y = aX) = 1.
Propriété
L’ensemble des variables admettant un moment d’ordre 2 est un sous-espace
vectoriel de l’espace des variables admettant un moment d’ordre 1.
Définition
E(X))(Y
cov(X, Y )
.
(X) (Y )
E(Y )))
(X) (Y ) 6= 0, le coefficient de corrélation de X et de Y est :
cov(X, Y ) = E((X
Soient X et Y deux variables aléatoires admettant des moments d’ordre 2.
On appelle covariance de X et de Y le nombre réel
Si
⇢(X, Y ) =
On dit que X et Y sont non corrélées si cov(X, Y ) = 0.
cov(X, Y ) = E(XY )
E(X)E(Y )
Soit X et Y admettant un moment d’ordre 2 alors
Propriété
Propriété
: Attention.
: Information
C ONVERGENCE EN PROBABILITÉ
n!1
Soit (Xn )n2N une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelles. On dit que (Xn ) converge en probabilité vers X si:
8" > 0 lim P [|Xn X| > "] = 0
P
On écrit Xn ! X
Propriété
Xn = fn (X) ,
Y = f (X)
On considère (fn )n2N une suite de fonctions continues à valeurs réelles
définies sur R qui converge simplement sur R vers l’application f . On considère X une VAR et on définit des variables aléatoires réelles par
Alors la suite (Xn ) converge en probabilité en Y
Théorème central limite
n
X
!m
P
Soit (Xn )n2N une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, de même
loi, possédant une espérance m = E(X) et une variance 2 = V(X). Alors
Xi
n
i=1
C ONVERGENCE EN LOI
Convergence en loi
n!1
lim Fn (x) = F (x).
Soit (Xn )n2N une suite de variables aléatoires réelles et X une variable aléatoire réelles. On note Fn la fonction de répartition de Xn et F celle de X. On
dit que (Xn ) converge en loi vers X si en tout point x où F est continue
L
On note Xn ! X
La convergence en probabilité ) la convergence en loi.
Propriété
n
X
Xi
!
=
n
X
i=1
Xi
=
X
n
X
i=1
cov (Xi , Xj ).
V (Xi ).
16i<j6n
n
X
Xi admet une vari-
p.p pour un certain (↵, ) 2 R⇤ ⇥ R.
!
V (Xi ) + 2
n
X
i=1
n
X
i=1
Xi
p
n
nm
! N (0, 1)
L
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Soit (Xn )n2N une suite de variables aléatoires réelles indépendantes, de même
loi, possédant une espérance m = E(X) et une variance 2 = V(X) > 0. Alors
Théorème central limite
n!1
Soit (Xn )n2N une suite de variables aléatoires et Y une variable aléatoire. On
suppose que 8n 2 N Xn (⌦) ⇢ Y (⌦) ⇢ N. La convergence en loi (Xn ) vers Y
équivaut à:
8k 2 N lim P (Xn = k) = P (Y = k).
Cas de variables discrètes
1. cov(X, X) = V(X),
2
4. cov (X, Y ) 6 V (X) V (Y )
5. |⇢(X, Y )| 6 1
1 () Y = ↵X +
6. ⇢(X, Y ) = 1 () Y = ↵X +
7. ⇢(X, Y ) =
ance et on a
V
i=1
Si X1 , · · · , Xn admettant de moments d’ordre 2, alors
Variance d’une somme
⇤
p.p pour un certain (↵, ) 2 R+
⇥ R.
3. cov(aX + bZ, Y ) = a.cov(X, Y ) + b.cov(Z, Y )
2. cov(X, Y ) = cov(Y, X),
Soit X, Y, Z des variables aléatoires admettant des moments d’ordre 2 et soit a
et b deux réels
Convergence en probabilité
: Exemple classique.
V ECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES ET CONVEGENCES
: Résultat de cours.
I NÉGALITÉS CLASSIQUES
Inégalité de Cauchy-Schwarz
[Xi 2 Ii ]
2
Inégalité de Markov
.
Si les variables X et Y admettent chacune un moment d’ordre 2. Alors XY
admet une espérance et
E (X)
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (⌦, T, P )
positive et possédant une espérance m = E(X), alors on a
8 > 0 P (X > ) 6
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit X une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (⌦, T, P)
possédant un moment d’ordre 2, alors on a
V (X)
.
8" > 0 P (|X E(X)| > ") 6
"2
Inégalité de Jensen
Si X est une variable aléatoire réelle admettant une espérance, si f : R ! R
est une application convexe telle que Y = f (X) admet une espérance alors
f (E (X)) 6 E (f (X))
V ECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES
X1 , · · · , Xn des variables aléatoires réelles
Définition
Z(!) = (X1 (!), · · · , Xn (!))
On appelle vecteur aléatoire discret défini à partir des X1 , · · · , Xn la variable
aléatoire discrète Z donnée par
8! 2 ⌦,
La loi de la variable Z est appelée loi conjointe des variables X1 , · · · , Xn tandis
que les lois de X1 , · · · , Xn sont les lois marginales de Z.
Fonction de répartition d’un vecteur
La fonction de répartition de (X1 , · · · , Xn ) est la fonction de n variables
F(X1 ,··· ,Xn ) définie par
F(X1 ,··· ,Xn ) (x1 , · · · , xn ) = P (X1 6 x1 , · · · , Xn 6 xn )
Espérance d’un vecteur
i=1
Si 8i 2 [[1, n]] la variable Xi admet une espérance, on définit le vecteur espérance E (X1 , · · · , Xn ) du vecteur aléatoire (X1 , · · · , Xn ) par l’égalité
=
E (X1 , · · · , Xn ) = (E (X1 ) , · · · , E (Xn ))
Indépendance de n variables
i=1
On dit que X , ..., X sont indépendantes lorsque pour tous I1 , · · · , In inter1
n
valles de de R:
!
n
n
\
Y
P
ni
Indépendance héritée ou lemme de coalition
1 +1
Si la famille (Xi )16i6nk est indépendante et si Soit n0 = 0 < n1 < n2 < · · · <
nk et (Xi )16i6nk une famille de VAR indépendantes. Pour i 2 [[1, k]], on pose
Yi = fi X
, · · · , X , alors Y1 , · · · , Yk sont indépendantes
ni
En cas de l’indépendance: V
i=1
: Définition.
où (t0 , x0 ) 2 I ⇥ F admet une et une seule solu-
n
X
i=1
0
i 'i
=b,
0
=W
1
B
Soient
: Astuce.
Les problèmes de Cauhy
k=0
: Démarche.
:
Z0 = T Z
Y 0 = TY + P
1
B(t)
1
X () X = P Y
(L2 )
:
É QUATION SCALAIRE D ’ ORDRE n
···
···
1
..
.
0
..
.
..
.
···
···
x(n) +
n
X1
k=0
···
..
.
..
.
0
···
0
.
..
0
1
an
1
1
0 1
0
C
C
B.C
C
B .. C
C
B
C
C et B = @
0A
C
A
b
ak x(k) = b () X 0 = AX + B
d’inconnue x : I ! K fonction n fois dérivable. On a
0
B
B
B
B
Avec A = B
B
@
0
.
..
.
..
0
a0
Propriété
: Information
où t0 2 I, u0 , v0 2 K
É QU - DIFF LINÉAIRES D ’ ORDRE 2
: Attention.
⇢
u10 .h1 + u20 h2
u10 h10 + u20 h20
ar2 + br + c = 0
ay 00 (t) + by 0 (t) + cy(t) = 0
p + iq et p
iq
=c
où (↵, ) 2 R2
avec (p, q) 2 R ⇥ R⇤
• Si ↵ n’est pas solution de (EC), alors m = 0
• Si ↵ est solution simple de (EC), alors m = 1
• Si ↵ est solution double de (EC), alors m = 2
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L’équation ay 00 +by 0 +cy = P (t)e↵t admet une solution particulière de la forme
yp (t) = tm Q(t)e↵t où Q est une fonction polynomiale de même degré que P
Propriété
Les solutions réelles sont les fonctions:
⇢
R
! R
t 7 ! (↵ cos(qt) + sin(qt)) ept
f:
Soit a, b, c 2 R. Si l’équation ar2 + br + c = 0 possède des racines distinctes
complexes conjuguées:
Propriété
1. Si (EC) possède des racines distinctes r1 et r2 , les solutions de l’équation
homogène (H) sont les fonctions définies par y(t) = 1 er1 t + 2 er2 t où
1, 2 2 K
2. Si (EC) possède une racine double r, les solutions de l’équation homogène (H) sont les fonctions définies par y(t) = ( 1 t + 2 ) ert où
1, 2 2 K
Propriété
d’équation caractéristique (EC) :
(H) :
Soit a, b, c 2 K avec a 6= 0 et (H) l’équation différentielle
É QU - DIFF LINÉAIRE D ’ ORDRE 2 ( CONSTANT )
f solution de (L) ()
Soit (h1 , h2 ) une base de SH : pour tout f 2 C 2 (I, K), il existe un unique couple
(u1 , u2 ) d’applications de C l (I, K) tel que: f = u1 .h1 + u2 .h2 . Alors
(
=0
Méthode de variation des constantes
2. L’ensemble SL des solutions de (L) est un sous-espace affine de C 2 (I, K)
de direction SH .
1. L’ensemble SH des solutions de H est un sous-espace vectoriel de dimension 2 du K-espace vectoriel C 2 (I, K).
Structure des solutions de (L) et de (H)
admet une et une seule solution.
x00 + a(t) · x0 + b(t) · x = c(t)
x(t0 ) = u0 , x0 (t0 ) = v0
Le problème de Cauchy
: Exemple classique.
Mn,1
ak x(k) = 0 est un sev de dimension n de l’espace C n (I, K).
• L’ensemble S0 des solutions sur I de l’équation homogène (E0 ) :
n
X1
x(n) +
Une équation différentielle scalaire linéaire d’ordre n définie sur I est toute équation
n
X1
ak x(k) = b, avec a0 , · · · , an 1 : I ! K et b : I ! K continues, et
(E) : x(n) +
Si A n’est pas trigonalisable, dans ce cas K = R, alors on résout le système
différentiel avec le corps de base C puis on cherche les solutions réelles.
A n’est pas trigonalisable
On résout ces systèmes par la méthode de la remontée.
(H2 )
qui aboutit aux nouveaux systèmes différentiels:
Y =P
Si A est diagonalisable ( resp trigonalisable ), 9P 2 GLn (C) telle que P 1 AP =
T diagonale ( resp triangulaire supérieure). On effectue alors le changement
de fonction inconnue défini par:
A est diagonalisable ou trigonalisable
Aux applications a et b sont associées les applications A : t 7 ! Mn (K) et
B : t 7 ! Mn,1 (K), où, pour tout t 2 I, A(t) et B(t) sont les matrices de
a(t) et b(t) dans la base B. On appelle système différentiel l’équation notée
X 0 = A(t)X + B(t) dont les inconnues X sont à valeurs dans
(K).
Système différentiel
1. 8(t , x ) 2 R ⇥ F , l’unique solution au problème de Cauchy
0
0
(
x0 = a.x
est t 7 ! e(t t0 )a x0
x(t0 ) = x0
2. Pour
tout (t0 , x0 ) 2 I ⇥ F , l’unique solution au problème de Cauchy
(
Z t
x0 = a.x + b
est t 7 ! e(t t0 )a .x0 +
e(t s)a b(s) ds
x(t0 ) = x0
t0
a constante
É QUA - DIFF LINÉAIRES À COEFS CONSTANTS
: Résultat pratique.
L ES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
: Résultat de cours.
É QUA - DIFF LINÉAIRE D ’ ORDRE 1
F est un K-espace vectoriel normé de dimension finie n > 1, une base de F . Si
u 2 L(F ) et x 2 F , on note u.x plutôt que u(x). Soit a 2 C I, L(F ) et b 2 C(I, F ).
Équation différentielle linéaire du 1er ordre
On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre toute équation du
type : (L) : x0 = a.x + b.
On appelle équation homogène associée à (L) l’équation: (H) : x0 = a.x
Solution de l’équation différentielle linéaire
Une solution de l’équation différentielle linéaire (L) est une fonction ' 2
D(I, F ) telle que : 8t 2 I, '0 (t) = a(t).'(t) + b(t)
Régularité des solutions
Si ' est solution de (L), alors ' 2 C 1 (I, F ).
Si a et b sont de classe C k alors ' sera de classe C k+1 .
⇢
x0 = a(t).x + b(t)
x(t0 ) = x0
Théorème de Cauchy-Lipschitz-linéaire
Le PC :
tion.
Structures de SH et de SL
SH
1. SH est un sev de C 1 (I, F ) isomorphe à F , dim SH = n
2.
est un sous-espace affine de C 1 (I, F ) de direction
SL
Wronskien
Soient ('1 , . . . , 'n ) une famille de fonctions de I à valeurs dans F . Pour tout
t 2 I la matrice W (t) = Mat ('1 (t), . . . , 'n (t)) est appelée matrice wronskienne en t du système H = ('1 , . . . , 'n ) par rapport à la base B.
Le déterminant w(t) = det W (t) est appelé le wronskien en t du système
H = ('1 , . . . , 'n ) par rapport à la base B
Base de SH
Soit H = ('1 , . . . , 'n ) une famille de n éléments de SH espace solution de
(H) : x0 = a(t).x. Alors
1. Pour tout t 2 I, rg (H) = rg ('1 (t), . . . , 'n (t))
2. Les trois affirmations suivantes sont équivalentes:
(a) ('1 , . . . , 'n ) est une base de SH ;
(b) 8t 2 I, w(t) 6= 0;
(c) 9t0 2 I / w(t0 ) 6= 0.
i=1
Au quel cas ('1 , . . . , 'n ) est un système fondamental de solutions de (H)
Variation des constantes
2 C 1 (I, K) tel que ' =
B
' est solution de (L) ,
Soit ('1 , . . . , 'n ) un système fondamental de solutions de (H).
n
X
i 'i . Alors
n
B
= Mat (') et B = Mat (b)
1, . . . ,
Où
k=0
• L’ensemble S des solutions sur I de l’équation complète (E) est un sousespace affine de C n (I, K) de direction S0 .
: Définition.
C ONTEXTE
: Résultat de cours.
˜ = (x, y) 2 R2 | x + iy 2 ⌦ .
• ⌦ est un ouvert non vide de C et ⌦
˜ est un ouvert non vide de R2
• ⌦
• f : ⌦ ! C une fonction;
˜ par f˜(x, y) = f (x + iy)
• On note f˜ l’application définie sur ⌦
˜ 7! <ef (x + iy) et Q : (x, y) 2 ⌦
˜ 7! =mf (x + iy)
• On pose P : (x, y) 2 ⌦
z0 | < r}
f (z)
z
f (z0 )
existe dans C.
z0
F ONCTIONS HOLOMORPHES
D (z0 , r) = {z 2 C , |z
• Pour tout z0 2 C et r 2 R+ [ {+1}, on note
Définition
z!z0
On dit que f est C-dérivable en z0 2 ⌦ si lim
Auquel cas elle est notée f 0 (z0 )
Propriété
Si f est C -dérivable en z0 2 ⌦ alors f est continue en z0 .
Fonction holomorphe
Une fonction f : ⌦ ! C est dite holomorphe, si elle est C-dérivable en tout
point de ⌦ et si la fonction z 7 ! f 0 (z) est continue sur ⌦.
La fonction z 7 ! f 0 (z) est alors appelée la dérivée de f , notée f 0 .
Propriété
H (⌦) l’ensemble des fonctions holomorphes sur ⌦. est une C-algèbre
Conditions de Cauchy-Riemann
Soit f : ⌦ ! C une fonction. Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. f est holomorphe sur ⌦.
2. f˜ est différentiable de C 1 sur ⌦ et vérifie l’équation d’Euler
@ f˜
@ f˜
(x, y) + i (x, y) = 0.
@x
@y
@P
@Q
(x, y) =
(x, y)
@x
@y
et
@P
(x, y) =
@y
@Q
(x, y).
@x
3. P et Q sont de classe C 1 sur ⌦ et elles vérifient les équations d’Euler
Propriété
X
On suppose que ⌦ est ouvert connexe par arcs et f holomorphe sur ⌦. Alors f
est constante sur ⌦ si et seulement si f 0 = 0 sur ⌦.
Soient
an z n une série entière de rayon de convergence R > 0 et de somme
Holomorphie et séries entières
n>0
+1
X
n=0
k
k!Cn+k
an+k z n
f . Alors f est infiniment C -dérivable sur D(0, R) et on a
8k 2 N, 8z 2 D(0, R), f (k) (z) =
: Astuce.
: Démarche.
: Exemple classique.
L ES FONCTIONS HOLOMORPHES
: Résultat pratique.
F ONCTIONS ANALYTIQUES
0
X
f z0 + rei✓ e
an (z
z0 ) n
z0 )
n
z0 ) n
int
dt.
an z n a un rayon de convergence au moins égal à R,
+1
X
n=0
0
: Attention.
: Information
P RINCIPE DES ZÉROS ISOLÉS
Principe d’identification
Soient ⌦ un ouvert connexe par arcs,
X
an z n et
X
n>0
bn z n deux séries entières
C ONTACT I NFORMATION
Page: 23
Soit g une fonction holomorphr sur un ouvert non vide ⌦1 ; s’il existe un ouvert connexe par arcs ⌦ contenant ⌦1 et une fonction f holomorphe sur ⌦ et
prolongeant g, alors f est unique
Théorème
P RINCIPE DE PROLONGEMENT ANALYTIQUE
2. Il existe une suite (zn ) 2 CN de points deux à deux distincts qui tend vers
0 et telle que 8n 2 N, f (zn ) = g(zn ).
1. 8n 2 N, an = bn .
de rayons de convergence non nuls et de sommes respectives f et g . Les
assertions suivantes sont équivalentes :
n>0
Soient ⌦ un ouvert connexe par arcs, f et g holomorphes sur ⌦.
Si 9(zn ) 2 ⌦N à valeurs deux à deux distinctes et convergente dans ⌦ telle que
8n 2 N, f (zn ) = g(zn ) alors f = g sur ⌦ .
Principe d’identification
2. Soient ⌦ un ouvert connexe par arcs, f , g et h trois fonctions analytiques
sur ⌦ avec h non identiquement nulle sur ⌦ . Si f h = gh sur ⌦ alors
f = g sur ⌦ .
C’est-à-dire H (⌦) est intègre
1. Soient ⌦ un ouvert connexe par arcs, f et g deux fonctions analytiques
sur ⌦ . Si f g = 0 alors f = 0 ou g = 0 sur ⌦ .
Corollaire
Le résultat est faux si l’ouvert n’est pas connexe par arcs. En effet, l’application
f définie sur C \ {z 2 C/|z| = 1} par f (z) = 0 si |z| < 1 et f (z) = 1 si |z| > 1
est holomorphe, non nulle et tous ses zéros sont non isolés.
Attention
Si ⌦ est un ouvert connexe par arcs et f une fonction non identiquement nulle
holomorphe sur ⌦ alors les zéros de f sont isolés.
Principe des zéros isolés
2. On dit que a est un zéro isolé de f si a est un zéro de f et 9" > 0 tel que
8z 2 D(a, ") \ {a}, f (z) 6= 0.
1. On dit que a est un zéro de f si f (a) = 0 .
Définition
z0 ) n
Fonctions analytiques
an (z
Soit f 2 H(⌦) et a 2 ⌦ .
+1
X
f est dite analytique sur ⌦ si pour tout z0 2 ⌦ il existe r > 0 et une série entière
X
an z n de rayon de convergence R > r tels que
n>0
8z 2 D(z0 , r), f (z) =
n=0
On note O (⌦) l’ensemble des fonctions analytiques sur ⌦
n>0
an z n la somme une série entière dont le rayon de convergence
n=0
+1
X
f (n) (z0 )
(z
n!
|z0 | et on a
f (z) =
X f (n) (z0 )
2 D(0, R). Alors la série entière
un a un rayon de
n!
n=0
+1
X
Propriété
Soit f (z) =
R > 0 et
z0
|z0 |) ,
convergence au moins égal à R
8z 2 D (z0 , R
On suppose que f est analytique sur ⌦. Alors :
Propriété
n=0
+1
X
f (n) (z0 )
(z
n!
1. f est holomorphe sur ⌦.
2. f est infiniment dérivable sur ⌦.
3. f admet un développement de Taylor au voisinage de tout point z0 2 ⌦.
8z0 2 ⌦, 9r > 0, 8z 2 D(z0 , r), f (z) =
Analyticité des fonctions holomorphes
1
2⇡rn
Si f est holomorphe sur ⌦, z0 2 ⌦ et R > 0 tels que D (z0 , R) ⇢ ⌦. Alors
Z 2⇡
in✓
d✓ ne dépend pas du choix r 2 ]0, R[
1. an =
2. La série entière
n>0
et on a l’égalité 8z 2 D(z0 , R), f (z) =
+1
f (n) (z0 )
1
=
n!
2⇡rn
2C.
X f (n) (z0 )
8z 2 D(z0 , R), f (z) =
(z z0 )n .
n!
n=0
Z 2⇡
f (z0 + reit )e
80 < r < R, 8n 2 N,
1. Soient f et g deux fonctions analytiques sur ⌦ et
Propriété
Alors f + g, f et f g sont analytiques sur ⌦. Si de plus, 8z 2 ⌦, g(z) 6= 0
f
alors est analytique sur ⌦ .
g
2. Soit V un ouvert de C . Soit f et g deux fonctions analytiques sur ⌦ et V
respectivement avec f (⌦) ⇢ V . Alors g f , est analytique sur ⌦ .
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