Révision d`algèbre et d`analyse - UTC

Révision d’algèbre et d’analyse
Chapitre 1 : Fonctions d’une ou plusieurs variables réelles. Nombres complexes
Équipe de Mathématiques Appliquées
UTC
Novembre 2009
5

Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
suivant I
2
Chapitre I
Fonctions d’une ou plusieurs variables
réelles. Nombres complexes
I.1 Fonctions d’une variable réelle ..................... 3
I.2 Fonctions de 2 variables ......................... 24
I.3 Nombres complexes ........................... 32

Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
chapitre Nsection suivante I
3
I.1 Fonctions d’une variable réelle
I.1.1 Définition des dérivées ...................... 4
I.1.2 Propriétés des dérivées ...................... 6
I.1.3 Fonctions réciproques ....................... 8
I.1.4 Fonctions trigonométriques réciproques ............ 10
I.1.5 Formule des accroissements finis ................ 12
I.1.6 Formule de Taylor-Lagrange ................... 15
I.1.7 Formule de Taylor-Young ..................... 17
I.1.8 Infiniment petit .......................... 18
I.1.9 Développements limités-définition et calcul .......... 20
I.1.10 Développements limités-applications .............. 22

Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
Documents
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4II
I.1.1 Définition des dérivées
Exercices :
Exercice A.1.1
Exercice A.1.2
Exercice A.1.3
Exercice A.1.4
Soit fune fonction de IR dans IR. On dit que fest continue en x0si
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Si Cest la courbe d’équation y=f(x), si hest un réel non nul, l’expression
A(h) = f(x0+h)−f(x0)
h
est égale à la pente de la droite qui joint les points de coordonnées (x0, f(x0)) et
(x0+h, f(x0+h)). Si A(h)admet une limite quand htend vers 0, on dit que fest
dérivable (ou différentiable) en x0. Cette limite s’appelle la dérivée de fen x0et elle se
note f0(x0). Puisque c’est la limite de la pente de la sécante, f0(x0)est donc la pente de
la tangente à Cau point de coordonnées (x0, f(x0)). On a donc :
f0(x0) = lim
h→0,h6=0
f(x0+h)−f(x0)
h

Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
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JJ 5
Définition des
dérivées
0
x +h
f(x +h)
0
x
f(x )
0
0
x
y
Si une fonction est dérivable en x0, elle est continue en x0, la réciproque est fausse,
il existe des fonctions continues en x0qui ne sont pas dérivables en x0, étudiez l’exercice
A.1.1.
On vient de définir la notion de dérivée première. Lorsque fest dérivable en tout x,
on définit une nouvelle fonction f0, on peut alors s’interroger sur la dérivabilité de f0. Si
f0est dérivable on dit que fest 2 fois dérivable, la dérivée de f0est notée f00 et s’appelle
dérivée seconde de f. On peut recommencer.
Les dérivées successives de fse notent f0ou f(1), f00 ou f(2), f000 ou f(3), f(4), f(5), . . .
Traiter l’exercice de TD A.2.1