projets d`analyse numérique - Lpc2E

UNIVERSITÉ D’ORLEANS
Année universitaire 2011-2012
Licence de physique, 3ème année
P ROJETS D ’ ANALYSE NUMÉRIQUE
Les projets d’analyse numérique couvrent l’ensemble du cours d’analyse numérique. Vous travaillerez par binôme, et chaque binôme choisira un sujet différent.
Le compte-rendu devra être rendu au secrétariat du département de physique
ou bien par envoi par email à l’adresse [email protected] (pour les sujets proposés par Thierry Dudok de Wit) ou [email protected] (pour
ceux proposés par Nathalie Huret). Votre compte-rendu (un par binôme) devra
comprendre :
– la formulation du problème
– une discussion sur la résolution du problème et sur la méthode utilisée
– les résultats obtenus et une discussion critique
– conclusion avec bibliographie éventuelle
– des graphes + le listing du programme utilisé
La discussion critique des résultats est essentielle. Il est inutile de produire une
dizaine de graphes sans les commenter. Si un résultat vous paraît anormal,
cherchez-en la cause.
La résolution se fera en Scilab.
1
1 Orbite d’un satellite avec pression photonique
Un satellite de masse m gravite autour de la Terre, de masse M. Son orbite se situe dans le plan équatorial. A la force gravitationnelle s’ajoutent d’autres forces,
dont la pression photonique due la lumière solaire. Cette pression est très faible,
mais doit être prise en compte dans le calcul d’orbite des satellites Galileo. Cette
pression donne en première approximation lieu à une force constante, qui est située dans le plan équatorial. Les équations du mouvement dans un repère GSE
(géocentrique avec l’axe x selon la ligne Soleil-Terre) s’écrivent

x
 m ẍ = −GmM + f
r3
 m ÿ = −GmM y
r3
$
où r = x 2 + y 2 , G est la constante de gravitation et f la force due à la pression photonique. Nous négligeons ici les autres forces, telles que l’attraction des
autres astres.
La pression photonique, même si elle est faible, affecte le mouvement des satellites. Elle est notamment prise en compte dans la calcul d’orbite des satellites
GPS.
1. Simplifiez ces équations en introduisant des variables sans dimension.
2. Ecrivez le programme qui intègre ce système par la méthode de RungeKutta. Deux paramètres de ce programme doivent être le rapport ρ entre
forces photonique et gravitationnelle, et la durée du pas d’intégration.
3. Tracez la trajectoire (x en fonction de y) ainsi que l’hodographe (v x en fonction de v y ).
4. Trouvez pour ρ = 0 les conditions initiales nécessaires pour avoir une orbite circulaire, et décrivez quel effet la pression photonique a sur l’orbite
du satellite.
5. Peut-on définir une "pseudo-période" du mouvement ? L’allure de l’orbite
dépend-t-elle de façon simple de la valeur de f ? Que se passe-t-il si les
conditions initiales conduisent à une orbite très allongée ?
NB. Normalement ρ " 1, car la pression est de l’ordre de 10−5 N m −2 . Il existe
cependant des planètes pour lesquelles ρ est plus grand.
2 Période orbitale avec un pas variable
Un satellite de masse m gravite autour de la Terre (de masse M) sur une orbite
elliptique. L’objectif est de calculer sa période orbitale en intégrant ses équations
2
du mouvement avec la méthode de Runge-Kutta. Or, comme la vitesse orbitale
varie fortement au cours du temps, il est intéressant d’adapter le pas d’intégration au cours du temps, afin de réduire les calculs inutiles.
Comment adapter le pas ?
Une stratégie simple pour choisir le pas d’intégration consiste à intégrer les
équations deux fois. Pour chaque temps t , on effectue d’abord un seul pas τa ,
ce qui donne la nouvelle solution x1 (t ). On effectue ensuite deux demi-pas
de valeur τa /2, ce qui conduit à la solution x2 (t ). Soit l’erreur de troncature
∆c = |x1 − x2 | et ∆i la valeur de l’erreur qu’on se donne a priori. Pour la méthode
de Runge-Kutta, on sait que ∆c ∝ τ5 . Le nouveau pas de temps τn sera alors relié
au pas actuel τa par la relation
τn = γτa
avec
%
∆i
γ=
∆c
&1/5
Il faudra donc intégrer une troisième fois les équations en prenant le pas recommandé τn . Dans la pratique, il est préférable de placer des garde-fous, afin d’éviter que le pas de temps varie trop rapidement ou devienne trop grand. On préconise alors

γτn > δτa
 δτa si
γτn < τa /δ
τn = τa /δ si

γτa sinon
où δ > 1 est un paramètre de sécurité à fixer.
Le modèle
L’orbite du satellite se situe dans un plan, dans lequel les équations du mouvement s’écrivent

x
 m ẍ = −GmM
r3
 m ÿ = −GmM y
r3
$
où r = x 2 + y 2 et G est la constante de gravitation. Seule l’attraction gravitationnelle terrestre est prise en compte ici. On donne le rayon moyen de la Terre
RT = 6370 km, M = 5.97 · 1024 kg et m = 700 kg.
1. Simplifiez ces équations en introduisant des variables sans dimension.
2. Ecrivez le programme qui intègre ce système par la méthode de RungeKutta, avec un pas fixe.
3
3. Trouvez les conditions initiales nécessaires pour avoir un périgée de 1.8 RT
et un apogée de 9RT .
4. Modifiez le programme pour utiliser un pas de temps variable et tracez l’orbite dans le plan (x, y). Comparez cette orbite à celle obtenue avec un pas
fixe, ainsi que le nombre d’opérations de calcul requises dans les deux cas.
5. Déterminez la période orbitale du satellite.
6. Comment le pas de temps τ varie-t-il avec la distance du satellite par rapport au centre de la Terre. Tracez cela sur un graphe.
3 Réaction chimique
La paire d’équations
dX
dt
dY
dt
= A − (B + 1)X + X 2Y
= B X − X 2Y
décrit la série de réactions chimiques
A −→ X
B + X −→ Y + D
2X + Y
−→ 3X
X −→ C
dans le cas où les concentrations A et B sont maintenues constantes. Ces réactions peuvent donner lieu à des variations cycliques des concentrations X et Y ,
comme dans la réaction de Belousov-Zhabotinsky.
1. Déterminez analytiquement les concentrations à l’état stationnaire, c’està-dire lorsque d/d t = 0.
2. Ecrivez un programme qui intègre les équations différentielles ci-dessus.
Choisissez une méthode plus précise que les schémas d’Euler.
3. Tracez Y en fonction de X pour différentes valeurs de A et de B . L’évolution
du système dépend-t-elle des conditions initiales ?
4. Prenez comme conditions initiales (X = A + 0.001, Y = B /A). Déterminez
quels sont les régimes qui tendent vers une concentration constante et
quels sont ceux qui se mettent à osciller. Trouvez la relation entre A et B
qui sépare les deux types de régime.
4
4 Oscillateur de Duffing
La variation du flux magnétique dans un transformateur peut être approximée
par l’équation de Duffing,
φ̈(t ) + ω20 φ(t ) + kφ3 (t ) =
ω
E cos ωt
N
où E cos ωt est la tension appliquée au primaire, lequel comporte N tours, alors
que ω0 est la pulsation propre de l’oscillateur et k est un paramètre lié à la
conception du transformateur. Le terme cubique kφ3 rend compte du phénomène d’hystérèse, qui joue un rôle important dans les transformateurs.
1. Montrez qu’en changeant de base de temps t → αt % on débouche sur une
équation plus simple
φ̈(t % ) + φ(t % ) + Aφ3 (t % ) = B cos ωt %
2. Résolvez numériquement cette équation par les méthodes d’Euler explicite
et de Runge-Kutta d’ordre 4. Choisissez comme valeurs ω = 100π rad/sec,
N = 600, ω20 = 83 rad2 sec−2 . Prenez pour commencer k = 0.
3. Tracez l’évolution temporelle du flux φ(t % ) pour différentes valeurs de E et
représentez sur le même graphe la solution analytique de l’équation différentielle.
4. Quel est le plus pas de temps possible qui garantisse une erreur relative sur
la valeur maximale de φ(t % ) inférieure à 1 % après 20 périodes ?
5. Comparez ces solutions à celles obtenues avec un terme non-linéaire nonnul, soit k = 0.14. Tracez à nouveau l’évolution temporelle du flux φ(t % ) pour
différentes valeurs de E et représentez sur le même graphe la solution analytique de l’équation différentielle obtenue avec k = 0.
6. Comparez les périodes de cet oscillateur avec k = 0 et k = 0.14.
5 Fréquences propres d’un tambour
Si on frappe la membrane circulaire d’un tambour en son centre, celle-ci oscillera à des fréquences particulières, dites fréquences propres. Si u(r, t ) désigne
l’amplitude de la déformation de la membrane à une distance r du centre, alors,
en négligeant les amortissements
%
&
∂u
∂2 u v 2 ∂
r
=
∂t 2
r ∂r ∂r
5
où v est la vitesse des ondes transverses. Nous supposerons ici que le bord est
fixé à un cadre rigide de rayon r 0 , si bien que la déformation y reste nulle : u(r =
r 0 , t ) = 0 ∀t . Au centre, la condition de bord vaut ∂u(r = 0, t )/∂r = 0.
1. Déterminez la solutions analytique de cette équation, en prenant comme
Ansatz une solution séparable de la forme
u(r, t ) = β cos(2π f t ) g (r )
et en vous aidant de tables si nécessaire ; f est ici la fréquence d’oscillation. En raison de la condition de bord g (r = r 0 ) = 0 , la fréquence ne peut
prendre que des valeurs bien précises, qui sont les fréquences propres du
tambour. Les premiers modes propres sont représentés ci-dessous.
2. Tracez la fonction g (x) (elle existe déjà dans la bibliothèque Scilab) pour 0 ≤
x ≤ 16 et repérez approximativement la valeur de ses 5 premières racines.
3. Déterminez avec précision la valeur des 5 premières racines et déduisez-en
les fréquences propres d’un tambour de rayon r 0 = 40 cm, avec une vitesse
v = 522.5 [m/s].
4. Les différentes harmoniques sont-elles régulièrement espacées comme
c’est le cas avec la plupart des instruments à vent ou à cordes ? C’est-àdire, l’écart f k+1 − f k entre deux fréquences de résonance successives est-il
constant ? Quelles conséquences cela a-t-il sur notre perception du son ?
6 Evolution d’une population en vase clos
Volterra a été le premier à examiner le devenir d’une population de microbes
vivant dans un espace fermé. Nous proposons ici l’étude numérique du modèle
de Volterra.
La population (nombre d’individus par unité de volume) évolue à partir d’une
valeur initiale p(0) = p 0 sous l’influence de trois phénomènes.
– Chaque organisme se reproduit avec une probabilité a > 0 par unité de temps.
– Il existe une compétition entre individus ; il en résulte que la population tend à
décroître avec une vitesse proportionnelle au carré de p(t ) (coefficient b > 0).
6
– Les microbes produisent une toxine qui s’accumule dans le milieu ; au temps
t % , la concentration en toxine est proportionnelle à l’intégrale
%
T (t ) =
't %
0
p(τ) dτ
et l’effet sur la population microbienne est un ralentissement de la croissance
proportionnel à p et à T (coefficient c → 0).
1. Montrer que la population à l’instant t % est régie par l’équation intégrodifférentielle :
't %
d p(t % )
%
2 %
%
= a p(t ) − b p (t ) − c p(t )
p(τ) dτ
p(0) = p 0
dt
0
Déterminer les dimensions des coefficients a, b et c et celles des termes de
l’équation ci-dessus. En déduire que l’on peut définir un temps t = t % c/b et
une population u = pb/a, sans dimensions, pour lesquels l’équation d’évolution s’écrit :
't
du(t )
2
= u(t ) − u (t ) − u(t )
u(τ) dτ
u(0) = u0
κ
dt
0
2. L’équation qui précède peut se résoudre numériquement sans grande difficulté après discrétisation. Nous considérons des époques discrètes : tn = i h
et les populations correspondantes un = u(tn ). Supposons connue la solution jusqu’à l’instant tn ; l’intégrale T (tn ) = Tn peut être calculée par la
méthode des trapèzes. Nous pouvons alors faire appel à un algorithme de
résolution d’équation différentielle pour trouver un+1. Ce procédé peut être
itéré jusqu’à ce que la population n’évolue plus.
3. Ecrire un programme pour mettre en œuvre cet algorithme.
4. Représentez graphiquement vos résultats, pour u0 = 0.1 et pour κ =
{0.05, 0.1, 0.25, 0.5}. Que se passe-t-il lorsque κ → 0 ?
7 Ondes solitaires dans un milieu dispersif
L’équation qui décrit la vitesse u(x, t ) d’une onde dans un milieu non-linéaire,
faiblement dispersif et dissipatif s’écrit
∂
∂3
∂2
∂
u(x, t ) + u u(x, t ) + β 3 u(x, t ) = η 2 u(x, t )
∂t
∂x
∂x
∂x
où le terme de droite décrit la dissipation (avec η ≥ 0). Cette équation porte le
nom d’équation de Korteweg-de Vries-Burgers (ou KdV-Burgers). Elle intervient
7
par exemple dans les fibres optiques mais permet aussi de modéliser la propagation d’un ralentissement sur une autoroute saturée.
On cherche une solution sous la forme d’une onde progressive de vitesse v
constante
u(x, t ) = u(ξ = x − v t )
Nous nous limiterons dès à présent au cas non dissipatif, avec η = 0. Prenez v =
1.
1. Montrez qu’après intégration, cette équation peut se mettre sous la forme
%
&
d 2u
u2
β 2 − vu −
=c
dξ
2
où la constante d’intégration c peut être mise à zéro (pourquoi ?). Seules les
solutions où u ≥ 0 ont un sens physique.
2. Intégrez cette équation par la méthode
d’ordre 4, en pre( de Runge-Kutta
)
nant différentes conditions initiales u ≥ 0, du
dξ = 0 .
3. Il arrive parfois que des solutions finissent par diverger (surtout si u(0) "
1). Y’a-t-il une raison physique à cela ou bien la raison est-elle numérique ?
4. Tracez ces différentes solutions dans un même portrait de phase, avec du
dξ
en fonction de u. Quelle interprétation peut-on donner à ces différentes
orbites ?
5. Quelle influence le paramètre de dispersion β a-t-il sur ce graphe ?
)
(
du
6. Pour quelle(s) valeur(s) de u ≥ 0, dξ = 0 , u reste-t-il constant ?
8 Flexion d’une poutre
Une poutre de section rectangulaire et de longueur L est encastrée dans un mur,
d’où elle sort horizontalement. Elle fléchit sous l’effet de son propre poids et
sous l’effet un traction exercée horizontalement à son extrémité. En première
approximation, la flexion z est décrite par
EI
x2
d 2z
−
T
z
=
µg
d x2
2
Nous avons : E = 510 N/m2 , le module de Young ; µ = 4.2 kg/m, la masse linéique ;
a = 5 cm, la section de la poutre dans le sens vertical ; b = 10 cm, la section dans
le sens horizontal ; L = 3 m, la longueur ; T , la force appliquée ; et I = ba 3 , le
moment d’inertie.
8
z
T
x
0
1. Cette équation peut se résoudre analytiquement. Calculez l’expression
analytique de la flèche z(L) pour le cas particulier où la traction T est nulle.
2. Utilisez la méthode du tir pour résoudre ce problème sous forme numérique. Utilisez un schéma
d’intégration de Runge-Kutta
d’ordre 2 avec des
*
+
%
conditions initiales z(x = 0) = 0, z (x = 0) = p , puis variez la pente p jusqu’à obtenir les bonnes conditions de bord pour x = L. Utilisez une méthode de recherche de racines pour localiser la bonne solution. Prenez
d’abord le cas sans traction, et vérifiez que vous obtenez bien la même solution qu’en 1.
3. Répétez la simulation pour le cas où la traction T équivaut au poids de la
poutre.
4. Quelle sera la longueur de la poutre déformée ?
9 Chaos dans un pendule double
Le système constitué de deux pendules rigides sans amortissement peut donner
lieu à un comportement très complexe, appelé chaos déterministe. Nous supposons ici que les deux pendules sont identiques, de même masse m et de même
longueur L. En coordonnées cartésiennes, nous avons alors
x1 = L sin θ1
y 1 = 2L − L cosθ1
x2 = L sin θ1 + L sinθ2
y 2 = 2L − L cosθ1 − L cos θ2
dont les équations du mouvement peuvent être calculées directement à partir
de l’Hamiltonien
1 p 12 + 2p 22 − 2p 1 p 2 cos(q1 − q2 )
+ mg L(3 − 2 cos q1 − cos q2 )
H=
2mL 2
1 + sin2 (q1 − q2 )
où nous avons introduit les coordonnées généralisées qi = θi et les moments
généralisés p i = mv i . D’après les équations d’Hamilton, nous avons
ṗ i ≡
d pi
∂H
=−
dt
∂qi
et
9
q̇i ≡
∂H
d qi
=
dt
∂p i
y
x
θ1
l
1
m1
θ2
l
2
m2
1. Intégrez ces équations à l’aide d’un schéma de Runge-Kutta, en prenant
m = 1 [kg], L = 1 [m] et g = 9.8 [m/s2 ]. Le paramètre à varier sera l’énergie
totale E = H . Les angles qi seront choisis dans l’intervalle [−π, +π].
2. Vérifiez d’abord que les solutions obtenues dans des cas particulier sont
correctes : par exemple en forçant dans les équations q1 = 0 ou encore q2 =
0.
3. Prenez maintenant comme condition initiale p 1 = 0. Tracez q1 (t ), q2 (t ),
p 1 (t ), et p 2 (t ) en fonction du temps pour les énergies E = 1, 5, 10, 15, 40, en
prenant pour chaque énergie plusieurs conditions initiales. Que peut-on
conclure sur la nature du mouvement en fonction de E ?
4. Pour les conditions ci-dessus, tracez les portraits de phase (p 1 , q1 ) et
(p 2 , q2 ). En quoi ceux-ci nous renseignent-ils mieux sur la nature du mouvement ?
5. Déterminez la valeur critique de l’énergie à partir de laquelle il apparaît des
solutions chaotiques.
10 Forme d’un câble de téléphérique
Un téléphérique relie deux stations séparées de L dans le sens horizontal et de
h0 en altitude. Une cabine est suspendue au câble, qui est en acier. Cette cabine,
qui est unique, se situe quelque part entre les deux stations.
L’acier possède une faible élasticité. On montre alors que la position verticale
h(x) du câble en fonction de la position horizontale x obéit à l’équation
,
d 2h
A
à l’emplacement de la cabine
=
f (x) ailleurs
d x2
10
où f (x) est proportionnel à la masse linéique du câble. Prenez L = 3000 m, et
h0 = 700 m, f (x) = 0.0002 m−1 .
h(x)
1. Intégrez cette équation par une méthode de votre choix, sans prendre en
compte la cabine. Montrez qu’il n’est pas indispensable d’utiliser ici une
méthode d’intégration d’ordre élevé. Les conditions initiales sont h(x =
0) = 0 et la pente dh/d x que fait le câble dans la station inférieure.
2. Déterminez la longueur du câble.
3. On suspend une cabine au câble. La cabine est normalement ancrée en un
point unique. Toutefois, pour faciliter la modélisation, on supposera que la
masse de la cabine est répartie sur une étendue l = 10 m de part et d’autre
du point d’ancrage x0 de la façon suivante
,
100 f (x)(1 − |x − x0 |/l ) si |x − x0 | ≤ l
m(x) =
0
sinon
Veillez à choisir un pas d’intégration adéquat et prenez l ≤ x ≤ L − l .
Utilisez la méthode du tir pour déterminer la pente nécessaire à la station
inférieure pour que le câble passe aussi par la station supérieure. Créez une
fonction qui estime l’allure du câble pour un emplacement quelconque de
la cabine.
4. Tracez sur un graphe l’évolution de la pente à l’origine ainsi que de la longueur du câble en fonction de l’emplacement de la cabine.
5. La pente à l’origine permet-elle de déterminer sans ambiguïté l’emplacement de la cabine ?
11 Puissance dissipée dans une alimentation stabilisée
Le circuit schématisé ci-dessous est un redresseur de tension classique, qui génère une tension à peu près constante à partir d’un source alternative. La résistance Z = 500Ω représente la charge branchée à la sortie du redresseur, dont la
11
résistance R = 100Ω, associée au condensateur, fait office de filtre passe-bas. On
supposera le transformateur sans pertes et les diodes idéales, avec une tension
de seuil de U s = 0.7 V. La fréquence de la source alternative est de f = 50 Hz.
1. Chaque période oscillation comprend deux phases : une phase pendant laquelle Z est alimenté et le condensateur se charge, et une phase pendant
laquelle le condensateur se décharge dans Z . Ecrivez les équations différentielles correspondant à ces deux phases, ainsi que les conditions pour
passer d’une phase à l’autre.
2. Intégrez ces équations avec une méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. Prenez
un condensateur initialement déchargé et simulez le redresseur pendant
plusieurs périodes pour vous affranchir des transitoires.
3. Quelle valeur de la résistance R faut-il prendre pour avoir une ondulation
(ou ripple) δU inférieur à 5 % ? Le ripple est l’écart entre la valeur minimum
et la valeur maximum de la tension appliquée à la charge.
4. Tracez la puissance instantanée dissipée dans la résistance R. Comparez sa
valeur moyenne à celle dissipée dans la charge.
12 Quel est le volume d’une hypersphère en 6 dimensions ?
Le calcul d’intégrales multiples est une tâche ardue, surtout si le domaine d’intégration ne possède pas de symétries. La méthode de Monte-Carlo est une méthode stochastique qui est couramment utilisée pour estimer de telles intégrales.
Elle sert aussi à simuler des systèmes physiques dans lesquels intervient une
composante aléatoire, comme par exemple le mouvement brownien de molécules.
En D = 2 dimensions, le "volume" d’une sphère de rayon R vaut VD=2 = πR 2 .
En D = 3 dimensions, le volume devient VD=3 = 34 πR 3 . En D > 3 dimensions, on
s’attend à obtenir un résultat de la forme
VD = γR D
12
où γ est une constante à déterminer. La méthode de Monte-Carlo consiste à tirer
au hasard N0 points tous situés à l’intérieur d’une région V0 de l’espace, dont le
volume est connu exactement et qui englobe le volume V1 à déterminer. Il est
important que ces points soient réparties aléatoirement et remplissent V0 de façon uniforme. Il suffit alors de dénombrer les points qui se trouvent à l’intérieur
de V1 pour avoir une estimation du volume de celui-ci, sachant que
N1
V1
= lim
V0 N0 →∞ N0
où Nk est le nombre de points contenu dans Vk .
1. Commencez par déterminer par la méthode de Monte-Carlo l’aire d’un
disque de rayon R, centré en l’origine. Définissez d’abord la condition que
doit satisfaire un point de coordonnées (x, y) pour être situé à l’intérieur
de ce disque. Définissez ensuite une forme géométrique A simple qui enferme totalement le disque. Utilisez le générateur de nombres aléatoires de
Scilab pour générer un grand nombre de points. Ces points doivent tous se
situer à l’intérieur de A et remplir celui-ci de façon uniforme. Estimez l’aire
par la méthode de Monte-Carlo.
2. Vérifiez la solution en la comparant avec la solution analytique. Faites des
essais avec diverses valeurs de R.
3. Combien de points N faut-il prendre pour que l’incertitude relative sur
l’aire soit inférieure à 1% ?
4. Comment l’incertitude relative est-elle reliée à la valeur de N ?
5. Pour un N donné, l’incertitude relative se dégrade-t-elle avec la dimension
D?
6. Modifiez votre programme pour qu’il calcule le volume d’une hypersphère
de rayon R en D dimensions, pour un D allant de 2 à 6. Déterminez pour
chaque dimension la valeur de γ ci-dessus avec la plus grande précision
possible. Dans la mesure du possible, exprimez-la sous forme de fraction
rationnelle, qui soit multiple de π. Donnez par exemple 34 π au lieu de
4.18879. . .
13 La balistique du tireur à l’arc
Un tireur à l’arc doit choisir au mieux l’angle d’inclinaison ainsi que l’impulsion
initiale pour que sa flèche atteigne une cible précise. Cette dernière se situe à
une distance horizontale x0 de lui et y 0 mètres en contrebas.
13
La flèche subit la force d’attraction gravitationnelle ainsi que la force de frottement de l’air. Pour un nombre de Reynolds compris entre 10 et 800, cette dernière vaut F ≈ γv 1.4 , où v est la vitesse de la flèche et γ un coefficient qui dépend
de sa forme aérodynamique et de sa surface. On néglige ici des effets tels que la
rotation de la flèche sur elle-même. Les équations du mouvement deviennent
alors
m ẍ = −γv 1.4
ẋ
v
m ÿ = −mg − γv 1.4
ẏ
v
$
où m est la masse de la flèche et v = ẋ 2 + ẏ 2 . On prendra ici γ/m = 0.015 kg,
x0 = 188 m et y 0 = 20 m (la cible se trouve plus bas que le joueur).
1. Intégrez cette équation par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. Les
conditions initiales sont spécifiées par le couple (v 0 , α), où v 0 est la vitesse
initiale et α l’angle initial que fait la trajectoire avec le sol. Construisez une
fonction qui restitue le point de chute [xc , y c ] en fonction des conditions
initiales.
2. Utilisez la méthode du tir pour déterminer les conditions initiales nécessaires pour atteindre exactement la cible. Existe-t-il plusieurs solutions ?
3. Un bon tireur peut tirer des flèches dont la vitesse initiale avoisine les 100
m/s. Définissez son périmètre de sécurité, c’est-à-dire la région dans le plan
(x, y) qui risque d’être atteinte par les flèches.
14 Trajectoire d’électrons dans le champ magnétique terrestre
Le champ magnétique terrestre peut être assimilé à celui d’un dipôle situé au
centre de la Terre, et aligné avec l’axe nord-sud. On cherche à connaître ici la
trajectoire d’électrons de haute énergie, issus de la magnétosphère terrestre (la
cavité magnétique qui entoure la Terre), qui sont responsables des aurores boréales. Le champ magnétique dipolaire s’écrit
#=
B
# r − r 2m
#
r · m)#
µ0 3(#
4π
r5
# désigne le moment magnétique du dipôle et #
où m
r le vecteur qui joint le centre
du dipôle au point d’observation. En France, |B | = 46600 nano Tesla au niveau
de la mer (r = 6380 km).
14
1. Trouvez la valeur de m z .
2. Ecrivez les équations du mouvement d’un électron dans le champ dipolaire, en l’absence de champ électrique (ce qui n’est pas tout à fait réaliste).
3. Rédigez un programme qui résout numériquement ces équations par la
méthode de Runge-Kutta d’ordre 4. Calculez l’énergie de l’électron et vérifiez qu’elle est conservée.
4. Représentez les trajectoires de particules dont les conditions initiales sont
x0 = z0 = 0, y 0 = 2 · 107 m, v x0 = 0, v y0 = −V , pour différentes valeurs de
V > 0 correspondant à des énergies cinétiques qui augmentent par ordre
croissant E = 1, 10, 100 keV, puis E = 1, 10, 100, 1000 MeV. Le système de coordonnées est centré sur la Terre.
5. Qu’arrive-t-il lorsque la vitesse initiale de l’électron est dirigée parallèlement à l’équateur ?
6. Quelle énergie faut-il pour qu’un électron puisse s’échapper du champ magnétique terrestre ?
15
15 Résolution de l’équation de la chaleur (N. Huret)
L’équation de propagation de la chaleur le long d’une barre peut s’écrire :
∂u ∂ 2 u
=
∂t ∂x 2
Quelque soit t, on considère la température nulle aux deux extrémités (x=0 et x=1) :
u(0,t)=0=u(1,t)=0
A t=0 le profil de température est donné u(x,0)=f(x).
Pour résoudre cette équation, on la linéarise par discrétisation sur une grille régulière en x et
en t avec xj=jΔx et tn=nΔt , et 0 ≤ x ≤ JΔx 0 ≤ t ≤ NΔt , j et tn sont toujours positifs ou nuls.
on donne :
∂u ( j, n + 1) u ( j, n + 1) − u ( j, n )
=
∂t
Δt
2
∂ u ( j, n + 1) u ( j − 1, n + 1) − 2u ( j, n + 1) + u ( j + 1, n + 1)
=
∂x 2
Δx 2
1) en remplaçant dans l’équation de propagation de la chaleur les expressions
discrétisées, montrer que cette équation se met sous la forme :
–a u(j-1,n+1)+ (1+2a) u(j,n+1)-a u(j+1,n+1)=u(j,n), j=1....J-1
u à l’instant n peut donc être déterminé à partir des valeurs de u à l’instant n.
Ecrire le système d’équation linéaire ainsi obtenu si on considère que J=4, pour calculer u à
l’échéance n+1.
Quelle est la forme de la matrice ?
2) Application.
a. Ecrire les programmes permettant de résoudre ce système linéaire par la méthode de
Gauss et la méthode de décomposition LU
Résoudre ce système précédent en prenant :
f ( x ) = 5x 0 ≤ x ≤ 0.5
f ( x ) = 2 − 2x 0.5 ≤ x ≤ 1
a=0.1 et J=20 et N=60.
Représenter graphique u(x) aux échéances n=0,10,20,30,40,50,60.
Tracer ces évolutions de température à l’aide d’iso contours, x en ordonnée, t en
abscisse.
Calculer le temps de calcul nécessaire à la résolution du système.
b. Tests de sensibilités :
-faites varier la discrétisation en prenant successivement (J=5 ; N =15) puis (J=80 ;
N=240). Comparer et commenter les résultats obtenus. Evaluer pour chaque
simulation le temps de calcul pour la résolution du système. Commenter
- faites varier les conditions initiales, en considérant une décroissance linéaire de la
température de 500K à 273K° C puis de 1000K à 273K à l’instant initial (on prendra
J=100 ;N=1000).
Utiliser des graphes adaptés pour analyser les résultats.
16. Résolution de l’équation de Laplace (N. Huret)
Dans une région vide de charges, le potentiel électrique est régi par l’équation de Laplace
∂ 2 V ∂ 2V
+
=0
∂x 2 ∂y 2
à laquelle s’ajoutent des conditions aux limites.
Cette équation peut être résolue numériquement après discrétisation. On ne s’intéresse qu’aux
valeurs V(i,j) que prend la fonction potentiel aux points de coordonnées xi, yj , où xi = i × h et
yj = j × h. On a choisi ici le même pas h en x et en y pour simplifier les équations à venir.
On utilise les approximations suivantes des dérivées partielles calculées en chaque point de la
grille :
∂ 2 V(i, j) V(i + 1, j) − 2V(i, j) + V(i − 1, j)
=
∂x 2
h2
∂ 2 V(i, j) V(i, j + 1) − 2V(i, j) + V(i, j − 1)
=
∂y 2
h2
1) Montrer que l’équation de Laplace se réduit, dans cette approximation, au système
linéaire
V(i,j) =(1/4) [Vi+1,j + Vi−1,j + Vi,j+1 + Vi,j−1]
17. Ecrire le système linéaire obtenu sous forme de matrice en considérant (4x4) point de
grille en effectuant un changement d’indice approprié.
18. Quelle est la forme de la matrice obtenue ?
19. Ecrire les programmes permettant de résoudre un tel système par la méthode directe
de Gauss et une méthode itérative.
20. A l’aide des deux méthodes résoudre le système. Pour chacune des deux méthode
donner le temps de calcul nécessaire à la résolution. Étudier le potentiel à l’intérieur et
au voisinage d’un condensateur plan en traçant les isocontours de potentiel.
21. Trouver le potentiel au voisinage du système formé par un disque chargé proche d’une
droite maintenue au potentiel zéro et tracer les isocontours .
17. Equation du mouvement (N. Huret)
1) On se propose de résoudre par une méthode directe et une méthode itérative des
systèmes d’équation linéaires. Expliquer les principes des deux méthodes choisies et
écrire les deux programmes correspondants.
2) Application
On lâche une balle de tennis de l’hauteur h. Les points de mesures nous permettent de tracer
sa trajectoire en fonction du temps au cours de ses rebonds sur le sol.
Cette trajectoire peut-être modélisé à l’aide de trois polynômes de quel degré ?
y en fonction du temps t
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,000
0,500
1,000
1,500
2,000
3) Déterminer à l’aide de vos deux programmes les coefficients des polynômes
correspondant à ces 3 équations. Pour la méthode itérative on effectuera des tests en
fonction du seuil et du nombre d’itération. Comparer les coefficients obtenus, et tracer les
courbes sur un même graphe.
On donne les points de mesures (t,x) :
(0; 1,17) ; (0,102 ; 1,07) ; (0,238 ; 0,79)
er
Après le 1 rebond :
(0,476 ;0,13) ; (0,578 ;0,13) ; (0,714 ;0,72)
Après le 2ème rebond : (1,292;0,14) ; (1,394 ;0,39) ; (1,53 ;0,56)
4) On considère que les sommets des paraboles des rebonds ont une altitude qui décroit
exponentiellement. Trouvez la loi permettant de calculer l’altitude des sommets des
rebonds en fonction de t. Touver également d’après les trois premiers rebonds une loi
permettant que calculer l’évolution du temps de vol pour chaque rebond.
5) Calculer ne nombre de rebonds jusqu’à ce que l’altitude du sommet soit inférieur à 10
cm.
6) Calculer les coefficients des différentes paraboles. Tracer vos résultats.