projets d`analyse numérique - Lpc2E

UNIVERSITÉ D’ORLEANS Année universitaire 2011-2012
Licence de physique, 3ème année
PROJETS D’ANALYSE NUMÉRIQUE
Les projets d’analyse numérique couvrent l’ensemble du cours d’analyse numé-
rique. Vous travaillerez par binôme, et chaque binôme choisira un sujet différent.
Le compte-rendu devra être rendu au secrétariat du département de physique
ou bien par envoi par email à l’adresse [email protected] (pour les su-
jets proposés par Thierry Dudok de Wit) ou [email protected] (pour
ceux proposés par Nathalie Huret). Votre compte-rendu (un par binôme) devra
comprendre :
–laformulationduproblème
– une discussion sur la résolution du problème et sur la méthodeutilisée
– les résultats obtenus et une discussion critique
–conclusionavecbibliographieéventuelle
–desgraphes+lelistingduprogrammeutilisé
La discussion critique des résultats est essentielle. Il est inutile de produire une
dizaine de graphes sans les commenter. Si un résultat vous paraît anormal,
cherchez-en la cause.
La résolution se fera en Scilab.
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1Orbited’unsatelliteavecpressionphotonique
Un satellite de masse mgravite autour de la Terre, de masse M. Son orbite se si-
tue dans le plan équatorial. A la force gravitationnelle s’ajoutent d’autres forces,
dont la pression photonique due la lumière solaire. Cette pression est très faible,
mais doit être prise en compte dans le calcul d’orbite des satellites Galileo. Cette
pression donne en première approximation lieu à une force constante, qui est si-
tuée dans le plan équatorial. Les équations du mouvement dansunrepèreGSE
(géocentrique avec l’axe xselon la ligne Soleil-Terre) s’écrivent
m¨ x=−GmM x
r3+f
m¨ y=−GmM y
r3
où r=$x2+y2,Gest la constante de gravitation et fla force due à la pres-
sion photonique. Nous négligeons ici les autres forces, telles que l’attraction des
autres astres.
La pression photonique, même si elle est faible, affecte le mouvement des satel-
lites. Elle est notamment prise en compte dans la calcul d’orbite des satellites
GPS.
1. Simplifiez ces équations en introduisant des variables sans dimension.
2. Ecrivez le programme qui intègre ce système par la méthode de Runge-
Kutta. Deux paramètres de ce programme doivent être le rapport ρentre
forces photonique et gravitationnelle, et la durée du pas d’intégration.
3. Tracez la trajectoire (xen fonction de y)ainsiquel’hodographe(vxen fonc-
tion de vy).
4. Trouvez pour ρ=0lesconditionsinitialesnécessairespouravoiruneor-
bite circulaire, et décrivez quel effet la pression photonique a sur l’orbite
du satellite.
5. Peut-on définir une "pseudo-période" du mouvement ? L’allure de l’orbite
dépend-t-elle de façon simple de la valeur de f?Quesepasse-t-ilsiles
conditions initiales conduisent à une orbite très allongée ?
NB. Normalement ρ"1, car la pression est de l’ordre de 10−5Nm−2.Ilexiste
cependant des planètes pour lesquelles ρest plus grand.
2Périodeorbitaleavecunpasvariable
Un satellite de masse mgravite autour de la Terre (de masse M) sur une orbite
elliptique. L’objectif est de calculer sa période orbitale enintégrantseséquations
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du mouvement avec la méthode de Runge-Kutta. Or, comme la vitesse orbitale
varie fortement au cours du temps, il est intéressant d’adapter le pas d’intégra-
tion au cours du temps, afin de réduire les calculs inutiles.
Comment adapter le pas ?
Une stratégie simple pour choisir le pas d’intégration consiste à intégrer les
équations deux fois. Pour chaque temps t,oneffectued’abordunseulpasτa,
ce qui donne la nouvelle solution x1(t). On effectue ensuite deux demi-pas
de valeur τa/2, ce qui conduit à la solution x2(t). Soit l’erreur de troncature
∆c=|x1−x2|et ∆ila valeur de l’erreur qu’on se donne a priori. Pour la méthode
de Runge-Kutta, on sait que ∆c∝τ5.Lenouveaupasdetempsτnsera alors relié
au pas actuel τapar la relation
τn=γτaavec γ=%∆i
∆c&1/5
Il faudra donc intégrer une troisième fois les équations en prenant le pas recom-
mandé τn. Dans la pratique, il est préférable de placer des garde-fous,afind’évi-
ter que le pas de temps varie trop rapidement ou devienne trop grand. On pré-
conise alors
τn=
δτasi γτn>δτa
τa/δsi γτn<τa/δ
γτasinon
où δ>1estunparamètredesécuritéàfixer.
Le modèle
L’orbite du satellite se situe dans un plan, dans lequel les équations du mouve-
ment s’écrivent 
m¨ x=−GmM x
r3
m¨ y=−GmM y
r3
où r=$x2+y2et Gest la constante de gravitation. Seule l’attraction gravita-
tionnelle terrestre est prise en compte ici. On donne le rayon moyen de la Terre
RT=6370 km, M=5.97 ·1024 kg et m=700 kg.
1. Simplifiez ces équations en introduisant des variables sans dimension.
2. Ecrivez le programme qui intègre ce système par la méthode de Runge-
Kutta, avec un pas fixe.
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3. Trouvez les conditions initiales nécessaires pour avoir un périgée de 1.8 RT
et un apogée de 9RT.
4. Modifiez le programme pour utiliser un pas de temps variableettracezl’or-
bite dans le plan (x,y). Comparez cette orbite à celle obtenue avec un pas
fixe, ainsi que le nombre d’opérations de calcul requises danslesdeuxcas.
5. Déterminez la période orbitale du satellite.
6. Comment le pas de temps τvarie-t-il avec la distance du satellite par rap-
port au centre de la Terre. Tracez cela sur un graphe.
3Réactionchimique
La paire d’équations
dX
dt =A−(B+1)X+X2Y
dY
dt =BX −X2Y
décrit la série de réactions chimiques
A−→ X
B+X−→ Y+D
2X+Y−→ 3X
X−→ C
dans le cas où les concentrations Aet Bsont maintenues constantes. Ces réac-
tions peuvent donner lieu à des variations cycliques des concentrations Xet Y,
comme dans la réaction de Belousov-Zhabotinsky.
1. Déterminez analytiquement les concentrations à l’état stationnaire, c’est-
à-dire lorsque d/dt =0.
2. Ecrivez un programme qui intègre les équations différentielles ci-dessus.
Choisissez une méthode plus précise que les schémas d’Euler.
3. Tracez Yen fonction de Xpour différentes valeurs de Aet de B.L’évolution
du système dépend-t-elle des conditions initiales ?
4. Prenez comme conditions initiales (X=A+0.001,Y=B/A). Déterminez
quels sont les régimes qui tendent vers une concentration constante et
quels sont ceux qui se mettent à osciller. Trouvez la relationentreAet B
qui sépare les deux types de régime.
4

4OscillateurdeDuffing
La variation du flux magnétique dans un transformateur peut être approximée
par l’équation de Duffing,
¨
φ(t)+ω2
0φ(t)+kφ3(t)=ω
NEcosωt
où Ecosωtest la tension appliquée au primaire, lequel comporte Ntours, alors
que ω0est la pulsation propre de l’oscillateur et kest un paramètre lié à la
conception du transformateur. Le terme cubique kφ3rend compte du phéno-
mène d’hystérèse, qui joue un rôle important dans les transformateurs.
1. Montrez qu’en changeant de base de temps t→αt%on débouche sur une
équation plus simple
¨
φ(t%)+φ(t%)+Aφ3(t%)=Bcosωt%
2. Résolvez numériquement cette équation par les méthodes d’Euler explicite
et de Runge-Kutta d’ordre 4. Choisissez comme valeurs ω=100πrad/sec,
N=600, ω2
0=83 rad2sec−2.Prenezpourcommencerk=0.
3. Tracez l’évolution temporelle du flux φ(t%) pour différentes valeurs de Eet
représentez sur le même graphe la solution analytique de l’équation diffé-
rentielle.
4. Quel est le plus pas de temps possible qui garantisse une erreur relative sur
la valeur maximale de φ(t%) inférieure à 1 % après 20 périodes ?
5. Comparez ces solutions à celles obtenues avec un terme non-linéaire non-
nul, soit k=0.14. Tracez à nouveau l’évolution temporelle du flux φ(t%)pour
différentes valeurs de Eet représentez sur le même graphe la solution ana-
lytique de l’équation différentielle obtenue avec k=0.
6. Comparez les périodes de cet oscillateur avec k=0etk=0.14.
5Fréquencespropresd’untambour
Si on frappe la membrane circulaire d’un tambour en son centre, celle-ci oscil-
lera à des fréquences particulières, dites fréquences propres. Si u(r,t)désigne
l’amplitude de la déformation de la membrane à une distance rdu centre, alors,
en négligeant les amortissements
∂2u
∂t2=v2 r
∂
∂r%r∂u ∂r&
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