Circuit LC

Electricité
Dipôle LC
Terminale S
Dipôle LC : association en série d’un condensateur chargé de capacité C et de charge initiale 𝑞0 et d’une
bobine d’inductance L et de résistance négligeable.
1. Eude expérimentale
(1)
(2)
K
(1)
i
(2)
K
i
𝑢𝐶
E
L
C
𝐸
𝑢𝐶
C
𝑢𝑅
L
𝑢𝐿
R
Figure1
Figure 2


Quand l’interrupteur est en position 1 (voir figure 1) on charge le condensateur
Lorsqu’on bascule l’interrupteur K en position 2 (voir figure 2), le condensateur se décharge dans la
bobine idéale d'inductance L et de résistance nulle r=0 (ce qui est difficile de réaliser pratiquement car
quel que soit la bobine, sa résistance est non nulle, donc c'est un circuit idéal).
 Lorsque l’on regarde l’évolution de la tension 𝑢𝐶 (𝑡) du condensateur ; on observe alors l’apparition
d’oscillations électriques non amorties (oscillations électriques harmoniques).
2. Equation différentielle
Pour établir l’équation différentielle, on utilise la figure 2.
Conditions initiales : à l’instant t=0, 𝑞(0) = 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝐸
Appliquant la loi d’additivité des tensions, on a : 𝑢𝐶 + 𝑢𝐿 = 0
𝑑𝑞
𝑑𝑢𝐶
𝑑𝑖
𝑑𝑖
𝑑 2 𝑢𝐶
(𝑐𝑎𝑟 𝑟 = 0) ⟹ 𝑢𝐿 = 𝐿𝐶
𝑂𝑛 𝑎 ∶ 𝑞 = 𝑢𝐶 𝐶 avec 𝑖 =
=𝐶
𝑒𝑡 𝑢𝐿 = 𝐿 + 𝑟𝑖 = 𝐿
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡 2
 Variable 𝑢𝐶 :
𝑑𝑖
𝑑 2 𝑢𝐶
𝑑 2 𝑢𝐶
1
1
𝑢𝐶 + 𝐿 = 0 ⟹ 𝑢𝐶 + 𝐿𝐶
=0⟹
+
𝑢𝐶 = 0 ⟺ 𝑢̈ 𝐶 +
𝑢 = 0 (1)
2
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐿𝐶
𝐿𝐶 𝐶
 Variable q
𝑑𝑖
𝑞
𝑑𝑞
𝑑𝑖 𝑑2 𝑞
𝑞
𝑑2𝑞
𝑑2 𝑞
1
𝑢𝐶 + 𝐿 = 0 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝐶 = 𝑒𝑡 𝑖 =
⟹
= 2 ⟹ +𝐿 2 =0⟹ 2 +
𝑞 = 0 (2)
𝑑𝑡
𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝐶
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐿𝐶
3. Equation horaire ou solution de l’équation différentielle
Soit 𝑢𝐶 (𝑡) la variable, la solution de l’équation différentielle est :
𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑)
𝑈𝑚𝑎𝑥 : Amplitude (valeur maximale de la tension 𝑢𝐶 (𝑡))
𝜔0 : Pulsation propre [rad/s]
𝜑 : Phase initiale de la tension 𝑢𝐶 (𝑡) à la date t=0
3.1. Détermination de la pulsation propre 𝜔0
Remplaçons la solution et sa dérivée seconde dans l’équation différentielle (1) :
𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) ⟹
⟹
𝑑2 𝑢𝐶
𝑑𝑡 2
1
𝑑𝑢𝐶
𝑑𝑡
= −𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑) ⟹
𝑑2 𝑢𝐶
𝑑𝑡 2
= −𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 2 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑)
1
+ 𝐿𝐶 𝑢𝐶 = 0 ⟹ −𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 2 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝐿𝐶 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = 0
1
1
⟹ (−𝜔0 2 + 𝐿𝐶) 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = 0 𝑜𝑟 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) ≠ 0 ⟹ −𝜔0 2 + 𝐿𝐶 = 0
[email protected]
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𝑆𝑜𝑖𝑡 𝜔0 2 =
Pulsation propre : 𝜔0 =
1
1
⟹ 𝜔0 =
𝐿𝐶
√𝐿𝐶
Dipôle LC
Terminale S
2
2
𝑑 𝑢𝐶
1
𝑑 𝑢𝐶
( 2 +
𝑢𝐶 = 0 ⟺
+ 𝜔0 2 𝑢𝐶 = 0)
𝑑𝑡
𝐿𝐶
𝑑𝑡 2
1
avec : L : inductance Henry [H] ;
√𝐿𝐶
2𝜋
C : Capacité du condensateur farad [F]
Période propre : 𝑇0 = 𝜔 = 2𝜋√𝐿𝐶
0
3.2. Détermination de 𝑈𝑚𝑎𝑥 et 𝜑
Conditions initiales : à t=0 :
- Le condensateur est chargé et 𝑢𝐶 (0) = 𝑈0 = 𝐸
- 𝑖(0) = 0 : le circuit est ouvert
Avec : 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑒𝑡 𝑖(𝑡) = 𝐶
𝑑𝑢𝐶
𝑑𝑡
= −𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑)
On trouve : 𝑢𝐶 (0) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 𝐸 (1) et 𝑖(0) = −𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 sin(𝜑) = 0 (2)
(2) : sin(𝜑) = 0 ⟺ 𝜑 = 0 𝑜𝑢 𝜑 = 𝜋
(1) : 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 𝑈
𝐸
𝑚𝑎𝑥
> 0 ⟹ 𝜑 = 0 𝑒𝑡 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 𝐸
L’équation horaire peut s’ecrire : 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡)
3.3. Expressions de l’intensité du courant et de la charge
Pour l’intensité du courant :
𝑖=𝐶
𝑑𝑢𝐶
= −𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑) = −𝐼𝑚𝑎𝑥 sin(𝜔0 𝑡 + 𝜑) ⟹ 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝜔0 = 𝜔0 𝑄𝑚𝑎𝑥
𝑑𝑡
Or 𝜔0 =
1
𝐶
⟹ 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝑈𝑚𝑎𝑥 √
𝐿
√𝐿𝐶
Pour la charge q(t) : 𝑞(𝑡) = 𝑢𝐶 (𝑡)𝐶 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡) = 𝑄𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥
3.4. Courbes de 𝑢𝐶 (𝑡) , i(t)
𝒖𝑪 (𝒕), 𝒊(𝒕)
𝑼𝒎𝒂𝒙
𝑻𝟎
𝑰𝒎𝒂𝒙
0
-𝑰𝒎𝒂𝒙
-𝑼𝒎𝒂𝒙
t(ms)
0
[email protected]
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4. Etude énergétique des oscillations non-amorties
Terminale S
L’énergie totale 𝐸 emmagasinée dans un circuit LC est à tout instant la somme de l’énergie électrique 𝐸𝑐 dans
le condensateur et de 𝐸𝑚 l’énergie magnétique dans la bobine.
1 𝑞2 1
1
𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐸𝑐 =
= 𝐶𝑢𝐶 2 𝑒𝑡 𝐸𝑚 = 𝐿𝑖 2
2𝐶
2
2
𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑚
Conservation de l’énergie totale E
Pour montrer que l’énergie totale se conserve, deux approches sont possibles :
 A partir des expressions instantannées de i(t) et 𝑢𝐶 (𝑡)
1
1
On a : 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑚 = 2 𝐶𝑢𝐶 2 + 2 𝐿𝑖 2 𝑜𝑟 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡 + 𝜑) et 𝑖(𝑡) = −𝐼𝑚𝑎𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝜔0 𝑡 + 𝜑)
𝐸=
⇒ 𝐸=
1
1
× 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝐿𝐼𝑚𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑜𝑟 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝜔0 𝑈𝑚𝑎𝑥
2
2
1
1
1
𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝐿𝐶 2 𝜔0 2 𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑜𝑟 𝜔0 2 =
⇒ 𝐿𝐶𝜔0 2 = 1
2
2
𝐿𝐶
1
1
𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑)
2
2
1
1
⟹ 𝐸 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 (𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) + 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑)) = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 = 𝑐𝑠𝑡𝑒
2
2
2
2
𝐼𝑚𝑎𝑥
1
𝐼𝑚𝑎𝑥
1 𝐼𝑚𝑎𝑥
1
1
1
=
⟹𝐸= 𝐶× 2 2=
= 𝐿𝐼𝑚𝑎𝑥 2 ⟹ 𝐸 = 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 = 𝐿𝐼𝑚𝑎𝑥 2 = 𝑐𝑠𝑡𝑒
2
𝐶𝜔0
2
𝐶 𝜔0
2 𝐶𝜔0
2
2
2
⇒ 𝐸=
𝑂𝑟 𝑈𝑚𝑎𝑥
 En dérivant l’énergie totale
1 2 1 2
𝑑𝐸 1 𝑑𝑢2 1 𝑑𝑖 2 1
𝑑𝑢 1
𝑑𝑖
𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑚 = 𝐶𝑢 + 𝐿𝑖 ⟹
= 𝐶
+ 𝐿
= 𝐶 × 2𝑢
+ 𝐿 × 2𝑖
2
2
𝑑𝑡 2 𝑑𝑡
2 𝑑𝑡
2
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝐸
𝑑𝑢
𝑑𝑖
𝑑𝑢
𝑑𝑖
𝑑2𝑢
⟹
= 𝐶𝑢
+ 𝐿𝑖
𝑜𝑟 𝑖 = 𝐶
⟹
=𝐶 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝐸
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑2 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑢2
𝑑𝑢2
⇒
= 𝐶𝑢
+ 𝐿𝐶
×𝐶 2 =𝐶
(𝑢 + 𝐿𝐶 2 ) or 𝑢 + 𝐿𝐶 2 = 0 (équation differentielle)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝐸
⇒
= 0 ⟹ 𝐸 = 𝑐𝑠𝑡𝑒
𝑑𝑡
Remarque : on peut également retrouver l’équation differentielle en utilisant la conservation de l’énergie
1
1
totale : 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑚 = 2 𝐶𝑢2 + 2 𝐿𝑖 2 = 𝑐𝑠𝑡𝑒 ⟹
𝑑𝐸
𝑑𝑡
1
= 2𝐶
𝑑𝑢2
𝑑𝑡
1
+ 2𝐿
𝑑𝑖 2
𝑑𝑡
=0
1
𝑑𝑢 1
𝑑𝑖
𝑑𝑢
𝑑𝑖
𝑑𝑢
𝑑𝑖
𝑑2𝑢
⟹ 𝐶 × 2𝑢
+ 𝐿 × 2𝑖 = 0 ⟹ 𝐶𝑢
+ 𝐿𝑖 = 0 𝑜𝑟 𝑖 = 𝐶
⇒
=𝐶 2
2
𝑑𝑡 2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑2 𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑢2
𝑑𝑢
⟹ 𝐶𝑢 + 𝐿𝐶 × 𝐶 2 = 𝐶 (𝑢 + 𝐿𝐶 2 ) = 0 𝑜𝑟 𝐶
≠0
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑢2
⟹ 𝑢 + 𝐿𝐶 𝑑𝑡 2 = 0 ⟹
𝑑𝑢2
𝑑𝑡 2
1
+ 𝐿𝐶 𝑢 = 0 (équation differentielle)
5. Graphe d’énergie
5.1.En fonction de 𝑖
1
L’énergie émmagasinée dans la bobine 𝐸𝑚 = 2 𝐿𝑖 2 peut s’écrire sous la forme :
1
𝐸𝑚 = 2 𝐿𝑖 2 = 𝑎𝑖 2 : équation d’une parabole
[email protected]
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Dipôle LC
L’énergie électrique émmagasinée dans le condensateur :
Terminale S
1
𝐸𝑐 = 𝐸 − 𝐸𝑚 = 𝐸 − 2 𝐿𝑖 2 = 𝑏 + 𝑎′𝑖 2 équation d’un parabole.
Remarque :


𝑢𝐶 = ±𝑈𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝑖 = 0 donc 𝐸𝐶 = 𝐸𝐶𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝐸𝐿 = 0
𝑖 = ±𝐼𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝑢𝐶 = 0 donc 𝐸𝐿 = 𝐸𝐿𝑚𝑎𝑥 ⇒ 𝐸𝐶 = 0
5.2. En fonction de 𝑖 2
1
𝐸𝑚 = 2 𝐿𝑖 2 = 𝑎𝑖 2 : équation d’une droite linéaire croissante
1
1
𝐸𝑐 = 𝐸 − 𝐸𝑚 = 𝐸 − 2 𝐿𝑖 2 = 𝑏 + 𝑎′𝑖 2 équation d’une droite afine décroissante car 𝑎′ = − 2 𝐿 < 0
5.3. En fonction du temps t
1
1
𝐸𝐶 = 2 𝐶𝑢𝐶 2 (𝑡) = 2 × 𝐶𝑈𝑚𝑎𝑥 2 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) =
𝐸𝐶𝑚𝑎𝑥
2
(1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎 =
1+cos(2𝑎)
2
1
1
𝐸𝐿𝑚𝑎𝑥
1 − cos(2𝑎)
𝐸𝐿 = 𝐿𝑖 2 (𝑡) = 𝐿𝐼𝑚𝑎𝑥 2 𝑠𝑖𝑛2 (𝜔0 𝑡 + 𝜑) =
(1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝜔0 𝑡 + 𝜑) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑠𝑖𝑛2 𝑎 =
2
2
2
2
𝐸𝐿 , 𝐸𝐶 sont deux fonctions périodiques de pulsation 𝜔é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 = 2𝜔0 et de période 𝑇é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 = 1⁄2 𝑇0 .
Avec 𝐸𝐶𝑚𝑎𝑥 = 𝐸𝐿𝑚𝑎𝑥 = 𝐸
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