Circuit LC

Electricité Dipôle LC Terminale S
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Dipôle LC : association en série d’un condensateur chargé de capacité C et de charge initiale  et d’une
bobine d’inductance L et de résistance négligeable.
1. Eude expérimentale
 Quand l’interrupteur est en position 1 (voir figure 1) on charge le condensateur
 Lorsqu’on bascule l’interrupteur K en position 2 (voir figure 2), le condensateur se décharge dans la
bobine idéale d'inductance L et de résistance nulle r=0 (ce qui est difficile de réaliser pratiquement car
quel que soit la bobine, sa résistance est non nulle, donc c'est un circuit idéal).
 Lorsque l’on regarde l’évolution de la tension  du condensateur ; on observe alors l’apparition
d’oscillations électriques non amorties (oscillations électriques harmoniques).
2. Equation différentielle
Pour établir l’équation différentielle, on utilise la figure 2.
Conditions initiales : à l’instant t=0,  
Appliquant la loi d’additivité des tensions, on a : 
 Variable  :
 Variable q
3. Equation horaire ou solution de l’équation différentielle
Soit  la variable, la solution de l’équation différentielle est :
 : Amplitude (valeur maximale de la tension )
 : Pulsation propre [rad/s]
 : Phase initiale de la tension  à la date t=0
3.1. Détermination de la pulsation propre 
Remplaçons la solution et sa dérivée seconde dans l’équation différentielle (1) :
K
E
C
(1)
(2)
R
L
i
Figure1
K
C
(1)
(2)
i
L
Figure 2

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Pulsation propre : 
Période propre : 
3.2. Détermination de  et 
Conditions initiales : à t=0 :
- Le condensateur est chargé et 
-  : le circuit est ouvert
Avec :
On trouve :  (1) et  (2)
(2) : 
(1) :  
L’équation horaire peut s’ecrire : 
3.3. Expressions de l’intensité du courant et de la charge
Pour l’intensité du courant :
Pour la charge q(t) :  
3.4. Courbes de  , i(t)
-
-
,
0
0
t(ms)
avec : L : inductance Henry [H] ;
C : Capacité du condensateur farad [F]

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4. Etude énergétique des oscillations non-amorties
L’énergie totale  emmagasinée dans un circuit LC est à tout instant la somme de l’énergie électrique  dans
le condensateur et de  l’énergie magnétique dans la bobine.
Conservation de l’énergie totale E
Pour montrer que l’énergie totale se conserve, deux approches sont possibles :
 A partir des expressions instantannées de i(t) et 
On a :
 En dérivant l’énergie totale
Remarque : on peut également retrouver l’équation differentielle en utilisant la conservation de l’énergie
totale : 
 (équation differentielle)
5. Graphe d’énergie
5.1.En fonction de 
L’énergie émmagasinée dans la bobine 
 peut s’écrire sous la forme :
 : équation d’une parabole

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L’énergie électrique émmagasinée dans le condensateur :
 équation d’un parabole.
Remarque :
  donc  
  donc  
5.2. En fonction de 
 : équation d’une droite linéaire croissante
 équation d’une droite afine décroissante car 
5.3. En fonction du temps t
,  sont deux fonctions périodiques de pulsation   et de période   
.
Avec   