Chapitre 2 Intégrales généralisées ou impropres 2.1 2.1.1 Les intégrales généralisées de 1ère espèce Définition Soit f une fonction réelle ou complexe définie dans un intervalle de la forme [a; +∞[ (respectivement ]−∞; b]) et continue par morceaux dans tout intervalle [a; M ] (resp. [m; b]). &M Pour tout majorant M de a (resp. m de b) on peut former l’intégrale a f (x)dx &b (resp. m f (x)dx). & +∞ On appelle intégrale généralisée ou impropre de première espèce a f (x)dx &b &M (resp. −∞ f (x)dx) la limite quand M tend vers +∞ de a f (x)dx (resp. quand &b m tend vers −∞ de m f (x)dx). Si la limite existe et est finie, on dit que l’intégrale généralisée converge. Sinon l’intégrale généralisée est dite divergente. 2.1.2 Remarque Toute fonction continue sur un intervalle [a; +∞[ (resp. ]−∞; b]) admet une in& +∞ &b tégrale généralisée de première espèce de la forme a f (x)dx (resp. −∞ f (x)dx). 11 12 CHAPITRE 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES OU IMPROPRES 2.1.3 Fonction puissance & +∞ qui est continue sur [1; +∞[ . Elle admet donc &M une intégrale généralisée limM →+∞ 1 x1α dx : I = 1 1 dx xα avec f (x) = 1 xα !1er cas : si α = 1 &M limM →+∞ 1 x1 dx = limM →+∞ [ln x]M 1 = limM →+∞ (ln M ) = +∞. & +∞ 1 dx est donc divergente. x 1 !2ème cas : si α ∕= 1 ( 1 −α+1 )M &M limM →+∞ 1 x1α dx = limM →+∞ −α+1 x 1 1 = limM →+∞ ( −α+1 M −α+1 ) − • si (−α + 1) > 0 c’est-à-dire α < 1 1 −α+1 1 limM →+∞ ( −α+1 M −α+1 ) = +∞ & +∞ 1 dx est divergente. xα 1 • si (−α + 1) < 0 c’est-à-dire α > 1 & +∞ 1 limM →+∞ ( −α+1 M −α+1 ) = +∞ et 1 1 dx xα 1 = − −α+1 est convergente. Conclusion & +∞ &1+∞ 1 2.1.4 1 dx xα 1 dx xα = +∞ si α ≤ 1 (intégrale diverge) 1 = − −α+1 si α > 1 (intégrale converge). Propriétés i) Soient a et a′ ∈ R tels que a′ ≥ a. & +∞ L’existence et la convergence de a f (x)dx équivaut à l’existence et à la & +∞ convergence de a′ f (x)dx. & +∞ & a′ & +∞ En effet a f (x)dx = a f (x)dx + a′ f (x)dx. & a′ Comme a f (x)dx est une intégrale définie donc convergente, l’existence et la & +∞ & +∞ convergence de a f (x)dx équivaut à l’existence et à la convergence de a′ f (x)dx. Par conséquent, seul compte le comportement de f (x) pour les grandes valeurs de & +∞ & +∞ x dans la convergence de a f (x)dx. Ainsi la convergence de a f (x)dx dépend du comportement de f (x) pour les plus grandes valeurs de x. 2.1. LES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES DE 1ÈRE ESPÈCE ii) De façon analogue, on montre que la convergence comportement de f (x) pour les plus petites valeurs de x. 2.1.5 Critères de convergence 2.1.5.1 Théorème de comparaison &b −∞ 13 f (x)dx dépend du Soient f et g deux fonctions continues par morceaux dans tout intervalle [a; M ] & +∞ & +∞ telles que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a; +∞[, alors a f (x)dx ≤ a g(x)dx. En particulier : & +∞ & +∞ si a g(x)dx converge alors a f (x)dx converge ; & +∞ & +∞ si a f (x)dx diverge alors a g(x)dx diverge. Exemple : Etudier la convergence de On sait que ∀x dx ln x ∈ [2; +∞[ , 0 ≤ x1 ≤ ln1x , & +∞ 1 & +∞ dx ≤ 2 ln1x dx. x 2 2 ce qui entraine & +∞ & +∞ Or 2 x1 dx a la même convergence que 2 1 dx ln x D’après le théorème de comparaison est divergente. & +∞ 2 & +∞ 1 dx x 2.1.5.2 est divergente. & +∞ 2 1 dx ln x qui est divergente. Doù Théorème (critère du quotient) Soient f et g deux fonctions continues par morceaux dans tout intervalle [a; M ] telles que f (x) ≥ 0 et g(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; +∞[ avec g(x) ∕= 0 dans un voisinage de +∞. Si limx→+∞ f (x) g(x) = A alors on a : i) lorsque A ∕= 0 et A est finie, & +∞ a f (x)dx et & +∞ a g(x)dx convergent toute deux ou divergent toute deux. & +∞ & +∞ ii) lorsque A = 0 et si a g(x)dx converge alors a f (x)dx converge. & +∞ & +∞ iii) lorsque A = +∞ et si a g(x)dx diverge alors a f (x)dx diverge. 14 CHAPITRE 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES OU IMPROPRES 2.1.5.3 Corollaire (critère du quotient) Soit f une fonction continue par morceaux dans l’intervalle [a; M ] telle que f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; +∞[, si limx→+∞ xα f (x) = A, alors : & +∞ i) a f (x)dx converge si α > 1 et A finie (A = 0 ou A ∕= 0). & +∞ ii) a f (x)dx diverge si α ≤ 1 et A ∕= 0 (A peut-être infinie). Exemple Etudier la convergence de & +∞ 1 √ 2x dx. x5 +x+1 On va chercher les fonctions équivalentes de 2x et +∞ : 2x..∼+∞2x et √ √ x5 + x + 1 au voisinage de x5 + x + 1..∼+∞x5/2 ce qui entraine que −3/2 √ 2x ..∼+∞ x2x . 5/2 = 2x x5 +x+1 * + limx→+∞ x3/2 × ( √x52x ) = +x+1 2. On choisie α = 32 ≻ 1 et A = 2 (fini), d’après & +∞ le corollaire du critère de quotient 1 √x52x dx converge. +x+1 2.1.6 Convergence absolue 2.1.6.1 Définition On dit l’intégrale généralisée & +∞ a |f (x)| dx est convergente. 2.1.6.2 & +∞ a f (x)dx est ”absolument convergente” si : Théorème Une intégrale généralisée de première espèce absolument convergente est convergente. Remarque Le théorème 1-6-2 permet souvent de se ramener au cas des fonctions positives et d’utiliser les critères déjà énoncés. 2.2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES DE 2ÈME ESPÈCE 2.2 2.2.1 15 Intégrales généralisées de 2ème espèce Définition Soit f une fonction réelle ou complexe définie dans un intervalle ]a; b] (resp. [a; b[) et continue par morceaux dans tout l’intervalle [m; b] (resp. [a; M ]). &b &M On peut former l’intégrale m f (x)dx (resp. a f (x)dx). On appelle intégrale généralisée ou intégrale impropre de 2ème espèce définie &b sur ]a; b] (resp. [a; b[) et on note a f (x)dx la limite quand m tend vers a+ de &b &M f (x)dx (resp. quand M tend vers b− de a f (x)dx). m Si la limite existe et est finie, on dit que l’intégrale est convergente sinon l’in- tégrale est dite divergente. 2.2.2 Remarque Toute fonction continue dans [a; b[ (ou ]a; b]) admet une intégrale généralisée &b de 2ème espèce a f (x)dx. 2.2.3 Fonction puissance Etudions la convergence de & b dx Calculons limm→a m (x−a) p &b dx a (x−a)p où f (x) = 1 (x−a)p est continue sur ]a; b]. 1er cas : p = 1 & b dx limm→a+ m (x−a) = limm→a+ [ln(b − a) − ln(m − a)] = +∞ & b dx = +∞ diverge. m (x−a) 2ème cas : p ∕= 1 & b dx limm→a+ m (x−a) p = limm→a+ 1 −p+1 b [(x − a)−p+1 ]m 1 = limm→a+ −p+1 [(b − a)−p+1 − (m − a)−p+1 ] * + 1 1 = limm→a+ −p+1 (b − a)−p+1 − −p+1 (m − a)−p+1 * + & b dx 1 1 −p+1 −p+1 limm→a+ m (x−a)p = −p+1 (b − a) − limm→a+ −p+1 (m − a) 16 CHAPITRE 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES OU IMPROPRES ! si (−p + 1) > 0 c’est-à-dire p < 1 alors & b dx limm→a+ [(m − a)−p+1 ] = 0 et a (x−a) = p converge. 1 (b −p+1 − a)−p+1 est finie, donc ! si (−p + 1) < 0 c’est-à-dire p > 1 alors * + & b dx 1 −p+1 limm→a+ −p+1 (m − a) = −∞ et a (x−a) p = +∞ est infinie, donc diverge. Conclusion , & b dx = a (x−a)p 2.2.4 1 (b −p+1 +∞ si p ≥ 1 (diverge) − a)−p+1 si p < 1 (converge) Critères de convergence Remarque Les critères seront énoncés pour les fonctions f définies sur ]a; b]. Ces critères restent valables pour f définie sur [a; b[. 2.2.4.1 Théorème (critères de comparaison) Soient f et g deux fonctions définies sur ]a; b] , continues par morceaux dans tout intervalle [m; b] où a < m ≤ b telles que 0 ≤ f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ ]a; b] alors &b &b f (x)dx ≤ a g(x)dx. En particulier a &b &b • si a g(x)dx converge alors a f (x)dx converge ; &b &b • si a f (x)dx diverge alors a g(x)dx diverge. Exemple Etudions la convergence de &5 1 √ dx x4 −1 est continue sur ]1; 5] . √ √ 1 Pour x > 1 on a x4 − 1 > x − 1 ce qui entraine 0 < √x14 −1 < √x−1 . &5 1 &5 1 &5 & 5 1 1 D’où : 1 √x4 −1 dx < 1 √x−1 dx ou 1 (x4 −1)1/2 dx < 1 (x−1)1/2 dx. f (x) = √ 1 x4 −1 2.2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES DE 2ÈME ESPÈCE Puisque &5 1 dx est une fonction puissance avec 1 (x−1)1/2 &5 1 ⇒ 1 (x−1) 1/2 dx converge. Donc d’après le on a p < 1 &5 √ 14 dx converge. 1 (x −1) 2.2.4.2 17 a = 1, b = 5 et p = 12 , critère de comparaison Théorème (Critère du quotient) Soient f et g deux fonctions définies sur ]a; b] , continues par morceaux dans tout intervalle [m; b] où a < m ≤ b telles que f (x) ≥ 0 et g(x) ≥ 0. ∀x ∈ ]a; b] . Si limx→a+ f (x) g(x) = A alors i) Si A est fini et non nul alors &b a f (x)dx et &b a g(x)dx convergent toutes deux ou divergent toutes deux. &b &b ii) Si A = 0 et si a g(x)dx converge alors a f (x)dx converge. &b &b iii) Si A = +∞ et si a g(x)dx diverge alors a f (x)dx diverge. 2.2.4.3 Corollaire (Critère du quotient) Soit f une fonction définie sur ]a; b] continue par morceaux dans tout intervalle [m; b] telle que f (x) ≥ 0 ∀x ∈ ]a; b] . Si limx→a+ (x − a)p f (x) = A, alors : &b i) a f (x)dx converge si p < 1 et A est fini. &b ii) a f (x)dx diverge si p ≥ 1 et A ∕= 0 (A pouvant être infini). Exemple &5 Etudions la convergence de 1 √xdx 4 −1 . / 01/2 limx→1+ (x − 1)1/2 √ 14 = limx→1+ xx−1 = 4 −1 (x −1) 1 2 car x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1). &5 p = 12 < 1 et A = 12 qui est finie. Donc 1 √xdx 4 −1 converge. 18 CHAPITRE 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES OU IMPROPRES 2.2.5 Convergence absolue 2.2.5.1 Définition On dit que l’intégrale généralisée de deuxième espèce &b convergente” si : a |f (x)| dx est convergente. 2.2.5.2 &b a f (x)dx est ”absolument Théorème Une intégrale généralisée de deuxième espèce absolument convergente est convergente. 2.3 2.3.1 Intégrale généralisée de 3ème espèce Définition On appelle intégrale généralisée (ou impropre) de 3ème espèce toute combinaison d’intégrale généralisée de 1ère espèce et d’intégrale généralisée de 2ème espèce. Il s’en suit que l’étude de la convergence des intégrales généralisées de 3ème espèce se ramène à l’étude de la convergence des intégrales généralisée de 1ère espèce et de 2ème espèce associées. 2.3.2 Soit & +∞ 0 Exemple & +∞ une intégrale généralisée. On a : 1 +∞ dx dx dx = + x2 2 x x2 2 0 34 5 2 1 34 5 2ème espèce 1ère espèce 0 dx x12 1 diverge Donc l’intégrale généralisée converge & +∞ 0 dx x2 diverge.
