Integrale Generalisees MIAGE-GI 23-24

Chapitre 2
Intégrales généralisées ou impropres
2.1 Les intégrales généralisées de 1` ere espèce
2.1.1 Définition
Soit fune fonction réelle ou complexe définie dans un intervalle de la forme
[a; +∞[(respectivement ]−∞;b]) et continue par morceaux dans tout intervalle
[a;M](resp. [m;b]).
Pour tout majorant Mde a(resp. mde b) on peut former l’intégrale &M
af(x)dx
(resp. &b
mf(x)dx).
On appelle intégrale généralisée ou impropre de première espèce &+∞
af(x)dx
(resp. &b
−∞ f(x)dx) la limite quand Mtend vers +∞de &M af(x)dx (resp. quand
mtend vers −∞ de &b
mf(x)dx).
Si la limite existe et est finie, on dit que l’intégrale généralisée converge.
Sinon l’intégrale généralisée est dite divergente.
2.1.2 Remarque
Toute fonction continue sur un intervalle [a; +∞[(resp. ]−∞;b]) admet une in-
tégrale généralisée de première espèce de la forme &+∞
af(x)dx (resp. &b −∞ f(x)dx).
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12 CHAPITRE 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES OU IMPROPRES
2.1.3 Fonction puissance
I=&+∞
1
1
xαdx avec f(x) = 1 xαqui est continue sur [1; +∞[.Elle admet donc
une intégrale généralisée limM→+∞&M
1
1
xαdx :
!1er cas :si α= 1
limM→+∞&M
1
1
xdx = limM→+∞[ln x]M
1= limM→+∞(ln M) = +∞.
&+∞
1
1
xdx est donc divergente.
!2`eme cas :si α∕= 1
limM→+∞&M
1
1
xαdx = limM→+∞(1 −α+1 x−α+1)M
1
= limM→+∞(1
−α+1 M−α+1)−1 −α+1
•si (−α+ 1) >0c’est-à-dire α<1
limM→+∞(1
−α+1 M−α+1) = +∞
&+∞
1
1
xαdx est divergente.
•si (−α+ 1) <0c’est-à-dire α>1
limM→+∞(1
−α+1 M−α+1) = +∞et &+∞
1
1
xαdx =−1 −α+1 est convergente.
Conclusion
&+∞
1
1
xαdx = +∞si α≤1(intégrale diverge)
&+∞
1
1
xαdx =−1 −α+1 si α>1(intégrale converge).
2.1.4 Propriétés
i)Soient aet a′∈Rtels que a′≥a.
L’existence et la convergence de &+∞
af(x)dx équivaut à l’existence et à la
convergence de &+∞
a′f(x)dx.
En effet &+∞
af(x)dx =&a′ af(x)dx +&+∞ a′f(x)dx.
Comme &a′
af(x)dx est une intégrale définie donc convergente, l’existence et la
convergence de &+∞
af(x)dx équivaut à l’existence et à la convergence de &+∞ a′f(x)dx.
Par conséquent, seul compte le comportement de f(x)pour les grandes valeurs de
xdans la convergence de &+∞
af(x)dx. Ainsi la convergence de &+∞ af(x)dx dépend
du comportement de f(x)pour les plus grandes valeurs de x.

2.1. LES INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES DE 1` ERE ESPÈCE 13
ii)De façon analogue, on montre que la convergence &b
−∞ f(x)dx dépend du
comportement de f(x)pour les plus petites valeurs de x.
2.1.5 Critères de convergence
2.1.5.1 Théorème de comparaison
Soient fet gdeux fonctions continues par morceaux dans tout intervalle [a;M]
telles que 0≤f(x)≤g(x)∀x∈[a; +∞[, alors &+∞
af(x)dx ≤&+∞ ag(x)dx.
En particulier :
si &+∞
ag(x)dx converge alors &+∞ af(x)dx converge ;
si &+∞
af(x)dx diverge alors &+∞ ag(x)dx diverge.
Exemple :
Etudier la convergence de &+∞
2
dx
ln x
On sait que ∀x∈[2; +∞[,0≤1
x≤1 ln x,
ce qui entraine &+∞
2
1
xdx ≤&+∞
2
1
ln xdx.
Or &+∞
2
1
xdx a la même convergence que &+∞
2
1
ln xdx qui est divergente. Doù
&+∞
2
1
xdx est divergente.
D’après le théorème de comparaison &+∞
2
1
ln xdx est divergente.
2.1.5.2 Théorème (critère du quotient)
Soient fet gdeux fonctions continues par morceaux dans tout intervalle [a;M]
telles que f(x)≥0et g(x)≥0∀x∈[a; +∞[avec g(x)∕= 0 dans un voisinage de
+∞.
Si limx→+∞
f(x)
g(x)=Aalors on a :
i)lorsque A∕= 0 et Aest finie, &+∞
af(x)dx et &+∞ ag(x)dx convergent toute
deux ou divergent toute deux.
ii)lorsque A= 0 et si &+∞
ag(x)dx converge alors &+∞ af(x)dx converge.
iii)lorsque A= +∞et si &+∞
ag(x)dx diverge alors &+∞ af(x)dx diverge.

14 CHAPITRE 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES OU IMPROPRES
2.1.5.3 Corollaire (critère du quotient)
Soit fune fonction continue par morceaux dans l’intervalle [a;M]telle que
f(x)≥0∀x∈[a; +∞[, si limx→+∞xαf(x) = A, alors :
i)&+∞
af(x)dx converge si α>1et Afinie (A= 0 ou A∕= 0).
ii)&+∞
af(x)dx diverge si α≤1et A∕= 0 (Apeut-être infinie).
Exemple
Etudier la convergence de &+∞
1
2x
√x5+x+1 dx.
On va chercher les fonctions équivalentes de 2xet √x5+x+ 1 au voisinage de
+∞:
2x..∼+∞2xet √x5+x+ 1..∼+∞x5/2ce qui entraine que
2x
√x5+x+1 ..∼+∞2x
x5/2= 2x−3/2.
limx→+∞*x3/2×(2x
√x5+x+1 )+= 2.On choisie α=3
2≻1et A= 2 (fini), d’après
le corollaire du critère de quotient &+∞
1
2x
√x5+x+1 dx converge.
2.1.6 Convergence absolue
2.1.6.1 Définition
On dit l’intégrale généralisée &+∞
af(x)dx est ”absolument convergente”si :
&+∞
a|f(x)|dx est convergente.
2.1.6.2 Théorème
Une intégrale généralisée de première espèce absolument convergente est conver-
gente.
Remarque
Le théorème 1-6-2 permet souvent de se ramener au cas des fonctions positives
et d’utiliser les critères déjà énoncés.

2.2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES DE 2ÈME ESPÈCE 15
2.2 Intégrales généralisées de 2ème espèce
2.2.1 Définition
Soit fune fonction réelle ou complexe définie dans un intervalle ]a;b](resp.
[a;b[) et continue par morceaux dans tout l’intervalle [m;b](resp. [a;M]).
On peut former l’intégrale &b
mf(x)dx (resp. &M af(x)dx).
On appelle intégrale généralisée ou intégrale impropre de 2ème espèce définie
sur ]a;b](resp. [a;b[) et on note &b
af(x)dx la limite quand mtend vers a+de
&b
mf(x)dx (resp. quand Mtend vers b−de &M af(x)dx).
Si la limite existe et est finie, on dit que l’intégrale est convergente sinon l’in-
tégrale est dite divergente.
2.2.2 Remarque
Toute fonction continue dans [a;b[(ou ]a;b]) admet une intégrale généralisée
de 2ème espèce &b
af(x)dx.
2.2.3 Fonction puissance
Etudions la convergence de &b
a
dx
(x−a)poù f(x) = 1 (x−a)pest continue sur ]a;b].
Calculons limm→a&b
m
dx
(x−a)p
1er cas :p= 1
limm→a+&b
m
dx
(x−a)= limm→a+[ln(b−a)−ln(m−a)] = +∞
&b
m
dx
(x−a)= +∞diverge.
2`eme cas :p∕= 1
limm→a+&b
m
dx
(x−a)p= limm→a+1 −p+1 [(x−a)−p+1]b
m
= limm→a+1
−p+1 [(b−a)−p+1 −(m−a)−p+1]
= limm→a+*1
−p+1 (b−a)−p+1 −1 −p+1 (m−a)−p+1+
limm→a+&b
m
dx
(x−a)p=1 −p+1 (b−a)−p+1 −limm→a+*1 −p+1 (m−a)−p+1+