Cinématique du point

Thème : Cinématique Sciences Industrielles pour l'Ingénieur
C
CINÉMATIQUE INÉMATIQUE DU DU POINT POINT
Compétences attendues :
✔définir et calculer la vitesse d'un point
✔définir et calculer l'accélération d'un point
I°/ Trajectoires
La trajectoire d'un point
M
dans le référentiel
R0
est l'ensemble des
positions qu'occupe ce point
M
dans le repère
R0
lorsque le temps
décrit un intervalle.
La trajectoire se définit toujours par rapport à un référentiel.
Exemple : trajectoire d'une balle rebondissante dans un train en mouvement de translation par rapport à la terre.
Observateur hors du train Observateur dans le train
II°/ Vitesse d'un point M par rapport à un référentiel R 0.
II.1) Vecteur vitesse moyenne
On considère la position à l'instant
t
du point
M
dans le référentiel
R0
notée
O0Mt
.
On note le vecteur position à l'instant
t t
:
O0Mt t
.
On appelle vecteur vitesse moyenne du point
M
dans son mouvement par rapport à
R0
entre les instants
t
et
t t
, le vecteur :
[
VM/R0
]
moyt , t t=
O0Mt t− O0Mt
t
Unité : dans le système d'unité SI,
le module de la vitesse moyenne a
pour dimension : Longueur.Temps-1
(en général, m/s)
Exemple : mesure de vitesse
moyenne pour un vilebrequin de
micromoteur (intervalle de temps
entre deux clichés : 0,1s).
1/6
Mt
O0
O0Mt t
Mt
O0
O0Mt
Mt t
Instant t Instant t+
D t

Thème : Cinématique Sciences Industrielles pour l'Ingénieur
Remarque : pour accéder expérimentalement à la vitesse moyenne de manière
précise, on peut utiliser une analyse d'images obtenues par une caméra rapide
(jusqu'à 60 000 images par secondes !) puis une technique de corrélation d'images
pour obtenir le champ de déplacement (amplifié par 10 sur la figure).
II.2) Vecteur vitesse instantanée
L'inconvénient de la vitesse moyenne est sa définition entre deux instants. Nous
aimerions connaître cette vitesse à l'instant
t
.
On appelle vecteur vitesse instantanée ou vitesse à l'instant
t
du point
M
dans son mouvement par rapport à
R0
, le vecteur :
VM/R0= lim
t0
O0Mt t− O0Mt
t
On note cette limite :
V M/R0 =d
O0Mt
dt
∣
R0
V M/R0
est la dérivée de la fonction vectorielle
O0Mt
par rapport au temps dans le repère lié à
R0
(Dimension : en général m/s).
Attention :
V M/R0 =d
O0Mt
dt
∣
R0
, le point
O0
doit être
fixe dans le repère
R0
Représentation graphique :
On note
C
la trajectoire du point
M
dans son mouvement par
rapport à
R0
.
Lorsque
t0
,
Mt t Mt
.
La droite support de
V M/R0
(vecteur vitesse) est la droite
D
tangente à la trajectoire
C
en
M0
.
II.3) Calcul de vitesses
Problématique : On considère un avion qui peut subir un
mouvement de roulis et de lacet. Les efforts de portance et trainée
de l'air sur l'aile sont fonctions de la vitesse relative de chaque
point de l'aile par rapport à l'air. On suppose nulle la vitesse de
l'air. Pour savoir si l'avion peut voler, il est nécessaire de
déterminer ces efforts.
On cherche donc à calculer la vitesse d'un point A défini par
⃗
GA=a⃗x1(t)+b⃗y1(t)
appartenant à l'avion (solide 1) par
rapport au sol (solide 0) :
⃗
V ( A/ 0 )
2/6
O
x
y
z
M
v
t
z0
x0
x1
y0
yi
t
y1
z1
t
A
b
a
G
t

Thème : Cinématique Sciences Industrielles pour l'Ingénieur
On associe un repère
R1 G ,  x1, y1, z1
à l'avion 1 et un repère
R0 O ,  x0, y0, z0
au sol 0.
On suppose connue la position du centre de gravité G (point particulier de l'avion) :
⃗
OG=xG(t)⃗ x0+yG(t)⃗ y0+zG(t)⃗ z0
La vitesse du point A se calcule alors à partir de la définition :
⃗
V ( A/0 ) =d
⃗
OA
d t
∣
R0
Or,
OA= OG GA
, donc
⃗
V ( A/0 ) =d
⃗
OG
d t
∣
R0
+d
⃗
GA
d t
∣
R0
.
Calcul de
⃗
V ( G/0 ) =d
⃗
OG
d t
∣
R0
alors :
⃗
V ( G/0 ) =d xG(t)
dt ⃗x0+d yG(t) dt ⃗y0+d zG(t) dt ⃗z0
car les vecteurs de la base
B0
sont fixes dans
R0
.
Calcul de
d GA
dt
∣
R0
: la difficulté est de déterminer
d GA
d t
∣
R0
en fonction des coordonnées du point A qui ne
sont pas exprimées dans le repère R0 et de l'orientation de l'avion 1.
Cas particulier : mouvement de roulis uniquement
On a dans ce cas un mouvement de rotation autour de
G ,  x0
d'angle
t = y0, y1 = z0, z1
On a, dans ce cas, un mouvement de rotation autour de l'axe
G ,  x0
d'angle
t
;
d GA
d t
∣
R0
=ad
x1
d t
∣
R0
bd
y1
d t
∣
R0
et comme
x1= x0
,
d x1
d t
∣
R0
= 0
.
En utilisant la vue géométrale associée à cette rotation, on a :
y1=cos t y0sin  t z0
et
z1=cos t z0−sin  t y0
(cf. complément de cours sur le produit
scalaire).
Ainsi,
d y1
d t
∣
R0
=˙ t
[
−sin  t y0cos t z0
]
=˙ t z1
.
D'où, au final,
d GA
d t
∣
R0
=bd
y1
d t
∣
R0
=b˙ t z1
.
En introduisant le vecteur taux de rotation (vecteur vitesse angulaire)
1/0 t =˙ t x0
, on peut écrire :
d y1
d t
∣
R0
=˙  x0∧ y1= 1/0∧ y1
(cf. complément de cours sur le produit vectoriel).
3/6
t
t
x0
y0
y1
z1
A
b
G
a
y0
z0
y1
z1
t
x0= x1
t
Figure géométrale

Thème : Cinématique Sciences Industrielles pour l'Ingénieur
Cas particulier : mouvement de lacet uniquement
On a dans ce cas un mouvement de rotation autour de
G ,  z0
d'angle
t = x0, x1 = y0, y1
Dans ce cas, on a un mouvement de rotation autour de l'axe
G ,  z0
d'angle
t
.
Ainsi,
1/0 t =˙ t z0
pour ce mouvement.
D'où,
d x1
d t
∣
R0
=˙  z0∧ x1=˙  y1
et
d y1
d t
∣
R0
=˙  z0∧ y1=− ˙  x1
Ainsi,
d GA
d t
∣
R0
=a˙ t y1−b˙ t x1
Cas général :
Formule de dérivation vectorielle
Soit
u t
un vecteur en mouvement par rapport à un référentiel R0 et un référentiel R1 en mouvement par
rapport à R0.
du t
d t
∣
R0
=du
t
d t
∣
R1
R1/R0 ∧u t
avec
R1/R0
le taux de rotation (vecteur vitesse angulaire) du référentiel R1 par rapport au référentiel R0.
(Cf. démonstration dans le complément de cours sur la dérivation vectorielle)
Remarque : si
u
est fixe dans R1 (vecteur de base de R1 par exemple), alors,
d u t
d t
∣
R0
= 0 R1/R0 ∧ u t
Attention : On appliquera toujours la formule de dérivation vectorielle sur les vecteurs de base en
choisissant les référentiels adéquats de dérivation en fonction des vecteurs dérivés.
4/6
z0
x0
x1
y0
y1
t
t
GA b
a
x0
x1
y1
z0= z1
t
t
y0
Figure géométrale

Thème : Cinématique Sciences Industrielles pour l'Ingénieur
Exemple : Calcul de la vitesse du point A dans le cas d'un mouvement de lacet et de roulis.
Avec une rotation autour de
G ,  z0
d'angle
t = x0, x1 = y0, yi
puis rotation autour de
G ,  x1
d'angle
t = yi, y1 = z0, z1
Rotation autour de
G ,  z0
d'angle
t
puis rotation autour de
G ,  x1
d'angle
t
Dans ces conditions, on a
1/0=˙  z0˙  x1
d x1
d t
∣
R0
=
˙
 z0˙  x1 ∧ x1=˙  y1
d y1
d t
∣
R0
=
˙
 z0˙  x1 ∧ y1=˙  z0∧ cos yisin  z0 ˙  z1=− ˙ cos x1˙  z1
Ainsi,
d GA
d t
∣
R0
=a˙ t y1−b˙ cos x1b˙  z1
III°/ Accélération d'un point M par rapport à un référentiel R 0
III.1) Définition
Soit
V M/R0 t
la vitesse du point
M
par rapport à
R0
à l'instant
t
.
Soit
V M/R0 t t
la vitesse du point
M
par rapport à
R0
à l'instant
t t
.
On définit le vecteur accélération instantanée par :
M/R0 =lim
t0
V M/R0 t t − V M/R0 t
t
M/R0 =d
V M/R0 t
d t
∣
R0
=d2
O0M
d t2
∣
R0
M/R0 t
est la dérivée de la fonction vectorielle
V M/R0 t
par rapport au temps dans le repère R0.
Ce vecteur représente l'accroissement de la fonction vectorielle
V M/R0 t
.
Dimensions : Longueur/Temps² (en général, m/s²).
5/6
x0
x1
yi
z0
t
t
y0
yi
z0
y1
z1
t
x1
t
Figures géométrales
t
z0
x0
x1
y0
yi
t
y1
z1
t
A
b
a
G
t