Cinématique du point

Thème : Cinématique
Sciences Industrielles pour l'Ingénieur
CINÉMATIQUE DU POINT
Compétences attendues :
✔ définir et calculer la vitesse d'un point
✔ définir et calculer l'accélération d'un point
I°/ Trajectoires
La trajectoire d'un point M dans le référentiel R0 est l'ensemble des
positions qu'occupe ce point M dans le repère R0 lorsque le temps
décrit un intervalle.
La trajectoire se définit toujours par rapport à un référentiel.
Exemple : trajectoire d'une balle rebondissante dans un train en mouvement de translation par rapport à la terre.
Observateur hors du train
Observateur dans le train
II°/ Vitesse d'un point M par rapport à un référentiel R0.
II.1) Vecteur vitesse moyenne
O 0 M t  .
On considère la position à l'instant t du point M dans le référentiel R0 notée 

On note le vecteur position à l'instant t t : O 0 M t t  .
On appelle vecteur vitesse moyenne du point M dans son mouvement par rapport à R0 entre les instants t et
t t , le vecteur :
[ V  M / R0  ]moy t , t t =
Unité : dans le système d'unité SI,
le module de la vitesse moyenne a
pour dimension : Longueur.Temps-1
(en général, m/s)
Exemple : mesure de vitesse
moyenne pour un vilebrequin de
micromoteur (intervalle de temps
entre deux clichés : 0,1s).

O0 M t t −
O0 M t
t
M  t
M  t t 
M t

O0 M  t 
O0

O 0 M  t t 
O0
Instant t
Instant t+Dt
1/6
Thème : Cinématique
Sciences Industrielles pour l'Ingénieur
Remarque : pour accéder expérimentalement à la vitesse moyenne de manière
précise, on peut utiliser une analyse d'images obtenues par une caméra rapide
(jusqu'à 60 000 images par secondes !) puis une technique de corrélation d'images
pour obtenir le champ de déplacement (amplifié par 10 sur la figure).
II.2) Vecteur vitesse instantanée
L'inconvénient de la vitesse moyenne est sa définition entre deux instants. Nous
aimerions connaître cette vitesse à l'instant t .
On appelle vecteur vitesse instantanée ou vitesse à l'instant t du point M dans son mouvement par rapport à
R0 , le vecteur :

O 0 M t t −
O0 M t
t
 t 0
V  M /R 0= lim
On note cette limite :
∣

  M / R0 = d O 0 M t 
V
dt
R0
V  M / R0  est la dérivée de la fonction vectorielle 
O 0 M t  par rapport au temps dans le repère lié à R0
(Dimension : en général m/s).
d
O 0 M t
Attention : V  M / R0 =
, le point O0 doit être
dt

R
z
fixe dans le repère R0
Représentation graphique :
On note C  la trajectoire du point M dans son mouvement par
rapport à R0 .
M
∣
0

v
O
Lorsque  t  0 , M t t  M t  .
La droite support de V  M / R0  (vecteur vitesse) est la droite  D
tangente à la trajectoire C  en M 0 .

x

y
II.3) Calcul de vitesses
Problématique : On considère un avion qui peut subir un
mouvement de roulis et de lacet. Les efforts de portance et trainée
de l'air sur l'aile sont fonctions de la vitesse relative de chaque
point de l'aile par rapport à l'air. On suppose nulle la vitesse de
l'air. Pour savoir si l'avion peut voler, il est nécessaire de
déterminer ces efforts.
On cherche donc à calculer la vitesse d'un point A défini par
⃗
GA=a x⃗1 (t )+b y⃗1 (t) appartenant à l'avion (solide 1) par
rapport au sol (solide 0) : ⃗
V ( A / 0)
z1
z0
t 
G
 t 
x0
x1
b
A
a
t 
 t 
y1
yi

y0
2/6
Thème : Cinématique
Sciences Industrielles pour l'Ingénieur
On associe un repère R1  G , x1 , y1 , z1  à l'avion 1 et un repère R0 O , x0 , y0 , z0  au sol 0.
On suppose connue la position du centre de gravité G (point particulier de l'avion) :
⃗
OG= xG (t) x⃗0+ y G (t) y⃗0+z G (t ) z⃗0
d⃗
OA
La vitesse du point A se calcule alors à partir de la définition : V⃗ ( A/0 )=
dt R
∣
∣
d⃗
OG
d⃗
GA
+
Or, 
OA=
OG
GA , donc V⃗ ( A/0 )=
dt R
dt
d⃗
OG
Calcul de V⃗ (G /0 )=
dt
0
∣
0
.
R0
∣
R0
d x G ( t)
d y G (t)
d z (t)
x⃗0+
y⃗0+ G
z⃗0 car les vecteurs de la base B0 sont fixes dans R0 .
dt
dt
dt
d
GA
d
GA
Calcul de
: la difficulté est de déterminer
en fonction des coordonnées du point A qui ne
dt R
dt R
sont pas exprimées dans le repère R0 et de l'orientation de l'avion 1.
alors : V⃗ (G /0 )=
∣
∣
0
0
Cas particulier : mouvement de roulis uniquement
On a dans ce cas un mouvement de rotation autour de G , x0  d'angle   t  =  y 0 , y 1  =  z 0 , z 1 
z1
t
z1
z0
t 
b
G
A
a
t
x0= x1
y1
y1
t  y
0
Figure géométrale
y0
x0
On a, dans ce cas, un mouvement de rotation autour de l'axe  G , x0  d'angle   t  ;
d x1
d y1
d x1
d
GA
=a
b
=0 .
et comme x1= x0 ,
dt R
dt R
dt R
dt R
En utilisant la vue géométrale associée à cette rotation, on a :
y1=cos   t  y0sin   t  z0 et z1=cos   t  z0−sin   t  y0 (cf. complément de cours sur le produit
scalaire).
d y1
=̇  t  [−sin   t  y0cos   t  z0 ]=̇  t  z1 .
Ainsi,
dt R
d y1
d
GA
=b
=b ̇  t  z1 .
D'où, au final,
dt R
dt R
En introduisant le vecteur taux de rotation (vecteur vitesse angulaire) 1/ 0  t =̇  t  x0 , on peut écrire :
d y1
=̇ x0∧ y1=1/ 0∧ y1 (cf. complément de cours sur le produit vectoriel).
dt R
∣
∣
0
∣
∣
0
0
0
∣
∣
∣
0
0
∣
0
0
3/6
Thème : Cinématique
Sciences Industrielles pour l'Ingénieur
Cas particulier : mouvement de lacet uniquement
On a dans ce cas un mouvement de rotation autour de G , z0 d'angle   t  =  x 0 , x 1  =  y 0 , y 1 
z0
y0
y1
 t 
G
b
A
z0 = z1
a
 t 
 t 
x0
y1
x1
 t  x
0
Figure géométrale
y0
x1
Dans ce cas, on a un mouvement de rotation autour de l'axe  G , z0  d'angle   t  .
Ainsi, 1/ 0  t = ̇  t  z0 pour ce mouvement.
d x1
d y1
= ̇ z0 ∧ x1=̇ y1 et
=̇ z0∧ y1=−̇ x1
D'où,
dt R
dt R
∣
Ainsi,
∣
0
∣
0
d
GA
=a ̇  t  y1−b ̇  t  x1
dt R
0
Cas général :
Formule de dérivation vectorielle
u  t  un vecteur en mouvement par rapport à un référentiel R0 et un référentiel R1 en mouvement par
Soit 
rapport à R0.
d
ut 
dt
∣
R0
=
∣
d u  t 
  R1 / R0 ∧

u  t
dt R
1
 R / R le taux de rotation (vecteur vitesse angulaire) du référentiel R1 par rapport au référentiel R0.
avec 
1
0
(Cf. démonstration dans le complément de cours sur la dérivation vectorielle)
u est fixe dans R1 (vecteur de base de R1 par exemple), alors,
Remarque : si 
∣
d u t 
  R1 / R 0 ∧ 
=0 
ut 
dt R
0
Attention : On appliquera toujours la formule de dérivation vectorielle sur les vecteurs de base en
choisissant les référentiels adéquats de dérivation en fonction des vecteurs dérivés.
4/6
Thème : Cinématique
Sciences Industrielles pour l'Ingénieur
Exemple : Calcul de la vitesse du point A dans le cas d'un mouvement de lacet et de roulis.
Avec une rotation autour de G , z0 d'angle   t  =  x 0 , x 1  =  y 0 , y i  puis rotation autour de G , x1  d'angle
  t  =  y i , y 1  =  z 0 , z 1 
y0
yi

z1
z0
z0
z1
 t 
x1
t 
t 
 t  x
0
G
 t 
z0
b
t  y
i
x1
A
a
t
 t 
x0
y1
y1
Figures géométrales
yi

y0
x1
Rotation autour de  G , z0  d'angle   t  puis rotation autour de  G , x1  d'angle   t 
 1/ 0=̇ z0 ̇ x1
Dans ces conditions, on a 
d x1
= ̇ z0 ̇ x1 ∧ x1 =̇ 
y1
dt R
d y1
= ̇ z0̇ x1 ∧ y1=̇ z0 ∧ cos  
y i sin  z0 ̇ z1=−̇ cos  x1̇ z1
dt R
d
GA
=a ̇  t  y1−b ̇ cos  x1b ̇ z1
Ainsi,
dt R
∣
∣
0
0
∣
0
III°/ Accélération d'un point M par rapport à un référentiel R0
III.1) Définition
Soit V  M / R0  t la vitesse du point M par rapport à R0 à l'instant t .
Soit V  M / R0  t t la vitesse du point M par rapport à R0 à l'instant t t .
On définit le vecteur accélération instantanée par :
 M / R0   t  t  −V
  M / R0   t 
V
  M / R0  = lim 

t
 t 0
  M / R0  =

  M / R0   t 
dV
dt
∣
R0
=
∣
d 2
O0 M
d t2
R0
  M /R 0   t  est la dérivée de la fonction vectorielle V  M / R0   t  par rapport au temps dans le repère R0.

Ce vecteur représente l'accroissement de la fonction vectorielle V  M / R0   t  .
Dimensions : Longueur/Temps² (en général, m/s²).
5/6
Thème : Cinématique
Sciences Industrielles pour l'Ingénieur
III.2) Méthode pratique de calcul
En pratique, on ne calcule que très rarement l'accélération en entier, on cherche en général une projection
selon un axe donné (cf. cours de dynamique en spé).
⃗ ( A/0 )
d V⃗ ( A/0 )⋅x⃗i
d x⃗
dV
a ( A/0 )⋅⃗
⃗
x i=
=
−V⃗ ( A/0 )⋅ i
dt
dt
dt 0
0
0
On constate alors qu'il suffit simplement de calculer la vitesse en A et d'utiliser la formule de dérivation
vectorielle pour calculer la dérivée de xi (résultat nul si le vecteur est un vecteur de la base 0 !!! ) puis de faire
quelques produits scalaires.
∣
∣
∣
Cette méthode est beaucoup plus simple que celle consistant à dériver le vecteur vitesse puis à faire la
projection (cf. TD pour les exemples).
Exemple de calcul pour l'avion
On suppose que l'avion vole en ligne droite et subit un mouvement de roulis et de lacet
La vitesse du point A est donc la suivante : V⃗ ( A/0)= x˙G x⃗0 +a β̇(t) y⃗1 (t)−b β̇(t) cos α (t) x⃗1 (t)+b α̇( t) z⃗1 (t)
On rappelle les figures de calcul suivantes :
y0
z0
yi
z1

 t 
t 
a ( A / 0 )⋅⃗
x0
Calculons ⃗
x1
y1
 t  x
0
z0
t  y
i
x1
d⃗
V ( A / 0 )⋅⃗
x0
d⃗
V ( A / 0)
x 0 est fixe
⋅⃗
x 0=
car ⃗
dt
dt
0
0
⃗
V ( A / 0) ⃗
x 0= x˙G +a β̇⃗
y 1⋅⃗
x 0−b β̇cos α cos β+b α̇ ⃗
x 0⋅⃗
z1
x 0=cos β ⃗
x 1−sin β ⃗
yi
Or ⃗
d'où :
y 1⋅⃗
x 0= ⃗
y 1⋅( cos β ⃗
x 1−sin β ⃗
y i)=−sin β cos α
⃗
z 1⋅⃗
x 0= ⃗
z 1⋅( cos β ⃗
x 1−sin β⃗
y i )=+sin βsin α
⃗
Ainsi
d ( x˙G −a β̇sin βcos α−b β̇ cos α cosβ+b α̇ sin βsin α )
a ( A / 0 )⋅⃗
x 0=
⃗
dt
(
a ( A / 0 )⋅⃗
x 0=
⃗
)
(
)
6/6