Suite numérique(2éme PC)(partie 1)

PROFESSEUR
LAHBABI
2éme PC
Les suites numériques
(Partie1)
Activités
Exercice1
On considère la suite U n  définie par :
9
(n  IN ) : U 0  1 et U n 1 
6  Un
1) a) Calculer : U1 , U 2
b) Montrer que: (n  IN ) : U n 3 .
2) Etudier la monotonie de la suite U n 
1
3) On pose : (n  IN ) : Vn 
Un  3
a) montrer que Vn  est une suite arithmétique et préciser sa raison.
b) Déterminer U n en fonction de n.
k n
c) Calculer en fonction de n la somme : S n   Vk
k 2
Exercice2
On considère la suite U n  définie par :
3
2U n  1
(n  IN ) : U 0   et U n 1 
4
2U n  5
1) a) Calculer : U1 , U 2
b) Vérifier que  n  IN  : U n 1  1 
6
2U n  5
1
c) Montrer que : n  N  : 1  U n  
2
2) Etudier la monotonie de la suite U n  .
2U n  1
3) On pose (n  IN ) : Vn 
Un 1
a) Montrer que Vn  est une suite géométrique
b) Déterminer Vn et U n en fonction de n
k n
c) Calculer en fonction de n la somme : S n   Vk
k 0
4) a) Montrer que :
1 6
1
U n 1  
Un 
2 7
2
b) Montrer que :
n  IN  :
1 1 6
 n  IN  : U n    
2 47
n
1
Rappels
Définition
Toute fonction de IN vers IR ou d’une partie I de IN vers IR est appelée une suite réelle ou
une suite numérique.
Vocabulaires
Soit U une suite réelle définie sur I I  N 
n0 : le plus petit élément de I.
1- l’image U (n) est notée Un (U indice n)
2- la suite U est notée U n nI ou U n n  n 0 .
3- Un est appelé le terme général de la suite U n n  n 0
Si I=N
La suite sera notée : U n nIN ou U n n  0 ou (Un)
Suite minorée- majorée et bornée
Définition
Soit U n nI une suite réelle
1- U n nI est minorée   m  IR n  I  : m  U n
2- U n nI est majorée   M  IR n  I  : U n  M
3- U n nI est bornée     m, M   IR 2   n  I  : m  U n  M
 U n nI est minorée et majorée.
  k  IR n  I  : U n  k
Remarque
Pour montrer qu’une suite récurrente est minorée majorée ou bornée on utilise une
démonstration par récurrence.
La monotonie d’une suite réelle.
Définition
Soit U n nI une suite réelle.  I  IN 
1- U n nI est croissante  n  I  : U n 1  U n
2- U n nI est strictement croissante  n  I  : U n 1  U n
3- U n nI est décroissante  n  I  : U n 1  U n
4- U n nI est strictement décroissante  n  I  : U n 1  U n
5- U n nI est constante  n  I  : U n 1  U n
2
Remarques
1- Pour étudier la monotonie d’une suite U n nI
On étudie le signe de la différence U n 1  U n  pour tout n  I .
2- Si n  I  : U n  0 ou U n  0
Alors pour étudier la monotonie de U n nI
On peut comparer :
U n 1
avec 1 pour tout n  I .
Un
3- Si la suite U n nI est croissante alors : n  I  : U n0  U n
4- Si la suite U n nI est décroissante alors : n  I  : U n0  U n
Suite arithmétique
Définition
Soit U n nI une suite réelle et r un réel fixe.
On dit que la suite U n nI est arithmétique de raison r ssi : n  I  : U n 1  U n  r
Remarques
1- Pour montrer que la suite U n nI est arithmétique de raison r
On montre que : n  I  : U n 1  U n  r
2- Toutes les suites de la forme :
(n  N ) : U n  an  b ( a et b sont des réels) Sont arithmétiques de raison r = a.
Propriétés
Soit U n  suite arithmétique une de raison r.
1-  n  IN  : U n  U0  n.r
U n  U1  n  1.r
n  p  : U n  U p  n  p .r
2- U n nI est suite arithmétique  (n  I ) : U n  U n 2  2.U n1
3- Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique
On pose : S n  U p  U p 1  U P  2      U n ( p  n)
On a : Sn 
(n  p  1).(U p  U n )
2
Suite géométrique
Définition
Soit U n nI une suite réelle et q un réel fixe
On dit que : U n nI est une suite géométrique de raison q ssi n  I  : U n 1  q.U n
3
Remarques
1- Pour montrer que la suite U n nI est géométrique de raison q
On montre que : n  I  : U n 1  ........  q.U n
2- Toutes les suites de la forme :
(n  IN ) : U n  k .a n ( a et k sont des réels) Sont géométriques de raison q = a.
Propriétés
Soit U n  une suite géométrique de raison q.
1- n  N  : U n  U 0 .q n
U n  U1.q n 1
n  p : Un  U p .qn p
2- U n nI est suite géométrique  (n  I ) : U n  U n  2  (U n 1 ) 2
3- Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique.
On pose : S n  U p  U p 1  U P  2      U n ( p  n)
Si q  1
Alors : Sn 
U p .(1  q n  p 1 )
1 q
Si q=1
Sn  (n  p  1).U p
4